UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations

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प्रश्नावली 4.1 (NCERT Page 82)

प्र. 1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)2 = 2 (x – 3)
(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = ( x – 1) (UPBoardSolutions.com) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) 2 (x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
(viii) x3 – 4×2 – x + 1 = (x – 2)3

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प्र. 2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है| क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है| हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है|
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है| हमें (UPBoardSolutions.com) पूर्णाकों को ज्ञात करना है|
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है|
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है| यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती| हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|
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(UPBoardSolutions.com)

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प्रश्नावली 4.2 (NCERT Page 85)

प्र. 1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात (UPBoardSolutions.com) समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 – 3x – 10 = 0
(ii) 2×2 ​+ x – 6 = 0
(iii) √2×2 + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2×2 – x + 1/8 = 0
(v) 100×2 – 20x + 1 = 0
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प्र. 2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए| (UPBoardSolutions.com)
(i) x2 ​- 45x + 324 = 0
(ii) x2 ​- 55x + 750 = 0
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प्र. 3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो|
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प्र. 4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके (UPBoardSolutions.com) वर्गों का योग 365 हो| 
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प्र. 5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7cm कम है| यदि (UPBoardSolutions.com) कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
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प्र. 6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है| एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी| यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत (UPBoardSolutions.com) 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए|
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प्रश्नावली 4.3 (NCERT Page 97)

प्र. 1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व (UPBoardSolutions.com) हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए|
(i) 2×2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2×2 + x – 4 = 0
(iii) 4×2 +4 √3x + 3 = 0
(iv) 2×2 + x + 4 = 0
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प्र. 2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, (UPBoardSolutions.com) द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए|
(i) 2×2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2×2 + x – 4 = 0
(iii) 4×2 +4 √3x + 3 = 0
(iv) 2×2 + x + 4 = 0
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प्र. 3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
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प्र 4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षो में) का व्युत्क्रम और अब से (UPBoardSolutions.com) 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex] है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
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प्र 5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है| यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए|
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प्र 6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से (UPBoardSolutions.com) 60 मीटर अधिक लंबा है| यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
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प्र 7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है| छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है| दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए|
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प्र 8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है| यदि यह चाल (UPBoardSolutions.com) 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती| रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए|
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प्र० 9. दो पानी के नल एक-साथ हौज को भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
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प्र० 10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, (UPBoardSolutions.com) सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए|
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प्र० 11 दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2 है| यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
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प्रश्नावली 4.4 (NCERT Page 100)

प्र० 1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए| यदि मूलों का (UPBoardSolutions.com) अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2×2 – 3x + 5 = 0
(ii) 3×2 ​ – 4√3x + 4 = 0
(iii) 2×2 + 6x + 3 = 0
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प्र० 2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों|
(i) 2×2 + kx + 3 = 0
(ii) kx (x – 2 ) + 6 = 0
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प्र० 3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए|
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प्र० 4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था|
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प्र० 5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400m2 के एक पार्क को बनाना संभव है ? (UPBoardSolutions.com) यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए|
हल : माना पार्क का लंबाई = x m
परिमाप = 80 m
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Hope given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 are helpful to complete your homework.

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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables

UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables

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प्रश्नावली 3.1 (NCERT Page 49)

प्र. 1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था | अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए|
हल :
माना आफ़ताब की वर्त्तमान आयु = x वर्ष
और उसकी पुत्री की वर्त्तमान आयु = y वर्ष
7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = x – 7 वर्ष
और उसकी पुत्री की आयु (UPBoardSolutions.com) = y – 7 वर्ष
स्थित – I
x – 7 = 7(y – 7)
x – 7 = 7y – 49
x – 7y = 7 – 49
x – 7y = – 42 ……… (1)
3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = x + 3 वर्ष
और उसकी पुत्री की आयु = y + 3 वर्ष
स्थित – II
x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x – 3y = 9 – 3
x – 3y = 6 ……. (2)
बीजगणितीय रूप में :
x – 7y = – 42 ……… (1)
x – 3y = 6 ……. (2)

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प्र. 2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रू में 3 बल्ले तथा 6 (UPBoardSolutions.com) गेंदे खरीदी बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदे 1300 रू में खरीदीं इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए
हल : माना एक बल्ले का मूल्य = x रुपये
और एक गेंद का मूल्य = y रुपये
अत: बीजगणितीय निरूपण
3x + 6y = 3900 ………. (1) और
x + 2y = 1300 ………. (2)
समी० (1) से
3x + 6y = 3900
3(x + 2y) = 3990
या x + 2y = 1300
x = 1300 – 2y
इसी प्रकार समी० (2) से
x + 2y = 1300
x = 1300 – 2y
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प्र. 3. 2kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रू था | एक (UPBoardSolutions.com) महीने बाद 4 kg सेब और दो kg अंगूर का मूल्य 300 रू हो जाता है |इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए
हल : माना एक किलों सेब का मूल्य = x रुपया
और एक किलो अंगूर का मूल्य = y रुपया
अत: बीजगणितीय निरूपण :
2x + y = 160 ……… (1)
4x + 2y = 300 …….. (2)
ग्राफीय निरूपण :
समी० (1) से
2x + y = 160
y = 160 – 2x
अब समी० (2) से (UPBoardSolutions.com)
4x + 2y = 300
या 2x + y = 150
y = 150 – 2x
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प्रश्नावली 3.2 (NCERT Page 55)

प्र. 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए
(i) कक्षा x के 10 विधार्थियों ने एक गणित की पहेली (UPBoardSolutions.com) प्रतियोगिता में भाग लिया यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लडको और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए
हल :
माना लड़कियों की संख्या = x
तथा लड़कों की संख्या = y
प्रश्नानुसार,
लड़के और लडकियाँ की कुल संख्या 10 है|
इसलिए, x + y = 10 …….. (1)
लड़कों से लड़कियाँ 4 अधिक हैं |
इसलिए, x – y = -4 …….. (2)
समी० (1) के लिए (UPBoardSolutions.com) तालिका
x + y = 10
⇒ y = 10 – x
समी० (2) के लिए तालिका
x – y = -4
⇒ y = x + 4
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ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं (UPBoardSolutions.com) कि बिंदु (3, 5) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |
इसलिए, पेन्सिल का मूल्य = 3 और कलम का मूल्य = 5 है|

प्र 2. अनुपातों [latex]\frac { { { a }_{ 1 } } }{ { a }_{ 2 } }[/latex], [latex]\frac { { { b }_{ 1 } } }{ { b }_{ 2 } }[/latex] और [latex]\frac { { { c }_{ 1 } } }{ { c }_{ 2 } }[/latex] की तुलना कर ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
(i) 5x – 4y +8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x +3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
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प्र० 3. अनुपातों [latex]\frac { { { a }_{ 1 } } }{ { a }_{ 2 } }[/latex], [latex]\frac { { { b }_{ 1 } } }{ { b }_{ 2 } }[/latex] और [latex]\frac { { { c }_{ 1 } } }{ { c }_{ 2 } }[/latex] की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगतः
(i) 3x + 2y = 5;
2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8;
4x – 6y = 9
(iii) [latex]\frac { 3 }{ 2 }[/latex] x – [latex]\frac { 5 }{ 3 }[/latex] y = 7;
9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11
-10x + 6y = -22
(v) [latex]\frac { 4 }{ 3 }[/latex] x + 2y = 8; (UPBoardSolutions.com)
2x + 3y = 12
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प्र० 4. निम्न रैखिक समीकरणों के (UPBoardSolutions.com) युग्मों में से कौन से युग्म संगत /असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
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प्र० 5. एक आयताकार बाग़ जिसकी लंम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, (UPBoardSolutions.com) का अर्धपरिमाप 36m है| बाग़ की विमाएँ ज्ञात कीजिए|
हल : माना आयताकार बाग की लंबाई = x m
और चौड़ाई = y m है|
अर्धपरिमाप = 36 m
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प्र० 6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है दी चरों में एक (UPBoardSolutions.com) ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिछेद करती रेखाएँ हों
(ii) समांतर रेखाएँ हों|
(iii) संपाती रेखाएँ हों
हल : 2x + 3y – 8 = 0 …… (i) (दिया है)
हमें एक और ऐसी ही रैखिक समीकरण खींचना है जिससे प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाए हो
रेखाए प्रतिच्छेद करती हो इसके लिए
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प्र० 7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का (UPBoardSolutions.com) ग्राफ खींचिए x- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए
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प्रश्नावली 3.3 (NCERT Page 59)

प्र० 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
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प्र० 2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें (UPBoardSolutions.com) ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो |
हल :
2x + 3y = 11 ……. (i)
2x – 4y = – 24 ….. (ii)
समीकरण (i) से
2x + 3y = 11
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प्र 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के (UPBoardSolutions.com) अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 किमी. दूरी के लिए भाड़ा 105 है तथा 15 किमी. के लिए भाड़ा 155 है। नियत भाड़ा तथा
प्रति किमी. भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी. यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह [latex]\frac { 9 }{ 11 }[/latex] हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह [latex]\frac { 5 }{ 6 }[/latex] हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
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प्रश्नावली 3.4 (NCERT Page 63)

प्र 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल (UPBoardSolutions.com) कीजिए कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) [latex]\frac { x }{ 2 }[/latex] + [latex]\frac { 2y }{ 3 }[/latex] = -1 और x – [latex]\frac { y }{ 3 }[/latex] = 3
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प्र 2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 (UPBoardSolutions.com) में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] हो जाती है। यह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से रे 50 तथा 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 और 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच (UPBoardSolutions.com) दिनों तक रखने के 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) माना भिन्न का अंश = x और भिन्न का हर =y
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प्रश्नावली 3.5 (NCERT Page 69)

प्र 1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक (UPBoardSolutions.com) अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है | अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज – गुणन विधि से ज्ञात कीजिए
(i) x – 3y = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
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प्र 2. (i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b) x + ( a + b) y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक (UPBoardSolutions.com) समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?
3x + y = 1
(2k – 1) x + (k – 1) y = 2k + 1
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(UPBoardSolutions.com)
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प्र 3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज – गुणन विधियों से हल कीजिए किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
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प्र 4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि (UPBoardSolutions.com) उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्धार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है, जबकि एक विधार्थी B को,जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते है | नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए|
(ii) एक भिन्न [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex] हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है| वह भिन्न ज्ञात कीजिए|
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे (UPBoardSolutions.com) प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई | यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश ५०अन्क अर्जित करता टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है | एक कार A से तथा दूसरी कार b से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है | यदि ए कारे भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं | दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए|
(v) एक आयात का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है| आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए|

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प्रश्नावली 3.6 (NCERT Page 74)

प्र 1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों (UPBoardSolutions.com) के युग्म में बदल करके हल कीजिए :
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प्र 2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है| उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए|

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(ii) 2 महिलाएँ एंव 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ- साथ 4 (UPBoardSolutions.com) दिन में पूरा कर सकते है | जबकि 3 महिलाएँ एंव 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते है ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक महिला कितना समय लेगी | पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा|
(iii) रूही 300 km दुरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दुरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दुरी बस द्वारा तय करती है | यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं | यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं| रेलगाड़ी एंव बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए|
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प्रश्नावली 3.7 (NCERT Page 75)

प्र 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है| अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है| कैथी और धरम की आयु का अन्तर 300 वर्ष है| अणि (UPBoardSolutions.com) और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए|
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प्र 2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी (UPBoardSolutions.com) बन जाऊँगा’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए की उनकी क्रमशः कल्या संपत्तिया हैं ?
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प्र 3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते(UPBoardSolutions.com) रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए|
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प्र 4. एक कक्षा के विधार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है| यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक होते, तो पंक्ति कम होती| यदि पंक्ति में 3 विधार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं| कक्षा में विधार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए|
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प्र 5. एक त्रिभुज ∆ABC में, ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B) है| (UPBoardSolutions.com) त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए|
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प्र 6. समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए| इन रेखाओं और y -अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए| इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए|
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प्र 7. निम्न रैखिक समीकरणों (UPBoardSolutions.com) के युग्मों को हल कीजिए :
(i) px + qy = p – q
qx – pq = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) [latex]\frac { x }{ a }[/latex] – [latex]\frac { y }{ b }[/latex] = 0
ax + by = a² + b²
(iv) (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b) (x + y ) = a² + b²
(v) 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604
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प्र 8. ABCD एक चतुर्भुज है इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए|
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Hope given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 are helpful to complete your homework.

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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials

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These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 10 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials.

प्रश्नावली 2.1 (NCERT Page 31)

प्र. 1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |
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हलः
(i) दिया गया ग्राफ -अक्ष के समान्तर है।
यह x-अक्ष को किसी भी बिन्दु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है।
शून्यकों की संख्या = 0
(ii) दिया गया p(x) का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या =1
(iii) p(x) का ग्राफ x-अक्ष (UPBoardSolutions.com) को तीन बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 3
(iv) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को दो बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 2
(v) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 4
(vi) p(x) का ग्राफ -अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 3 (UPBoardSolutions.com)

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प्रश्नावली 2.2 (NCERT Page 36)

प्र. 1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s +1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² +8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
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प्र. 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, (UPBoardSolutions.com) जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं :
(i) [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] , -1
(ii) √2, [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex]
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) [latex]\frac { -1 }{ 4 }[/latex] , [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex]
(vi) 4, 1
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प्रश्नावली 2.3 (NCERT Page 39)

प्र. 1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, (UPBoardSolutions.com) निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
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प्र. 2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को (UPBoardSolutions.com) भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 (UPBoardSolutions.com)
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प्र. 4. यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) (UPBoardSolutions.com) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : भाज्य p(x) = x3 – 3x2 + x + 2
भागफल q(x) = x – 2,
शेषफल r(x) = -2x + 4
भाजक g(x) = ?
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
p(x) = g(x) × q(x) + r(x) (UPBoardSolutions.com)
x3 – 3x2 + x + 2 = g(x) (x – 2) + (- 2x + 4)
x3 – 3x2 + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)
g(x) (x – 2) = x3 – 3x2 + 3x – 2
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प्र. 5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के (UPBoardSolutions.com) ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
(iii) घात r(x) = 0
 विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हुए प्रत्येक (UPBoardSolutions.com) का एक-एक उदाहरण इस प्रकार हैः ।
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प्रश्नावली 2.4 (NCERT Page 40)

प्र. 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात (UPBoardSolutions.com) बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x3 + x2 – 5x + 2; [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex], 1, -2;
(ii) x3 – 4x2 + 5x – 2; 2, 1, 1
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प्र० 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों (UPBoardSolutions.com) का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
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प्र० 3. यवि बहुपव x3 – 3x2 + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
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प्र० 4. यदि बहुपद x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35 के दो शून्यक (UPBoardSolutions.com) 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
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प्र० 5. यदि बहुपद x4 – 6x3 + 16x2 – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x2 – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers

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These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 10 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers.

प्रश्नावली 1.1 (NCERT Page 8)

प्र. 1.
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड (UPBoardSolutions.com) विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255
हलः
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प्र. 2.
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q +1 या 6q +3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णाक है। [NCERT Exempler]
हलः
मान ‘a’ एक धनात्मक पूर्णाक है। को 6 से विभाजित करने पर (UPBoardSolutions.com) भागफल q और शेष । प्राप्त होता है। .: यूक्लिड प्रमेयिका से,
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प्र. 3.
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 (UPBoardSolutions.com) सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे | मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
हलः
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प्र. 4.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक (UPBoardSolutions.com) पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है।
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हलः
माना x एक धनात्मक पूर्णांक 3q, 3g + 1 या 3g + 2 के रूप में है।
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प्र. 5.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m +8 के रूप का होता है।
हलः
एक धनात्मक पूर्ण x की कल्पना करें कि यह 3q, (3q + 1) या (3q + 2) (UPBoardSolutions.com) के रूप में है।
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प्रश्नावली 1.2 (NCERT Page 13)

प्र. 1.
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के (UPBoardSolutions.com) गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429
हुलः
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प्र. 2.
पूर्णाकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि वो संख्याओं को गुणनफल = HCF x LCM है।
(i) 28 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 64
हलः
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प्र. 3.
अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के (UPBoardSolutions.com) HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8, 9 और 25
हलः
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प्र. 4.
HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हलः
HCF (306, 657) अर्थात् 306 और 657 का HCF = 9
चूंकि LCM x HCF = संख्याओं का गुणनफल
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प्र. 5.
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6″ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है। [NCERT Exemplar]
हुलः
यहाँ n एक प्राकृत संख्या है और माना 69 अंक 0 पर (UPBoardSolutions.com) समाप्त होती है।
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प्र. 6.
व्याख्या कीजिए कि 7 x 11 x 13 + 13 और 7×6 x 5x4x3 x 2 x 1+ 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
हलः
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प्र. 7.
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान (UPBoardSolutions.com) और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?
हलः
एक चक्कर लगाने में सोनिया का समय = 18 मिनट
एक चक्कर लगाने में रवि का समय = (UPBoardSolutions.com) 12 मिनट
18 और 12 का LCM के समान समय के बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे।
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प्रश्नावली 1.3 (NCERT Page 17)

प्र. 1.
सिद्ध कीजिए कि 5 एक अपरिमेय संख्या (UPBoardSolutions.com) है।
हलः
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प्र.2.
सिद्ध कीजिए कि 3+24/5 एक अपरिमेय संख्या है।
हलः
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers img 19

प्र. 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं।
(a) [latex]\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } [/latex]
(b) [latex]7\sqrt { 5 }[/latex]
(c) [latex]6+\sqrt { 2 } [/latex]
हलः
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परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों (UPBoardSolutions.com) का पुनर्भमण
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प्रश्नावली 1.4 (NCERT Page 22)

प्र. 1.
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं।
(i) [latex s=2]\frac { 13 }{ 3125 } [/latex]
(ii) [latex s=2]\frac { 17 }{ 8 } [/latex]
(iii) [latex s=2]\frac { 64 }{ 455 } [/latex]
(iv)  [latex s=2]\frac { 15 }{ 1600 } [/latex]
(v) [latex s=2]\frac { 29 }{ 343 } [/latex]
(vi) [latex s=2]\frac { 23 }{ { 2 }^{ 3 }{ 5 }^{ 2 } } [/latex]
(vii) [latex s=2]\frac { 129 }{ { 2 }^{ 2 }{ 5 }^{ 7 }{ 7 }^{ 5 } } [/latex]
(viii) [latex s=2]\frac { 6 }{ 15 } [/latex]
(ix) [latex s=2]\frac { 35 }{ 50 } [/latex]
(x) [latex s=2]\frac { 77 }{ 210 } [/latex]
हलः
चूंकि किसी भी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखण्डन में 2n, 5m के (UPBoardSolutions.com) अतिरिक्त गुणनखण्ड नहीं हैं तो इसका दशमलव प्रसार सांत-दशमलव होता है अन्यथा यह असांत-आवर्ती दशमलव प्रसार होता है।
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प्र. 2.
ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव (UPBoardSolutions.com) प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।
हलः
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प्र. 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि वह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और P के रूप की है तो q के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

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(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000 (UPBoardSolutions.com)
(iii) 43.123456789
हलः
(i) 43.123456789
चूंकि उक्त दशमलव प्रसार सांत है। .:. इसे [latex]\frac { p }{ q }[/latex] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

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Hope given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 are helpful to complete your homework.

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