Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 15 Probability Ex 15.1

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 15 Probability Ex 15.1 प्रायिकता

Ex 15.1 Probability अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं तो अधिक-से-अधिक एक चित् प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि दो सिक्के एक साथ उछालने पर, सभी सम्भव परिणाम हैं HH, HT, TH,TT
∴ कुल. संभव परिणामों की संख्या = 4
यदि अधिक से अधिक एक (UPBoardSolutions.com) चित् प्राप्त होने की घटना E है।
तब अनुकूल परिणाम है HT, TH, HH
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
अतः अधिक से अधिक एक चित् आने की प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{3}{4}[/latex]

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प्रश्न 2.
एक बार एक पाँसा फेंका जाता है तो प्राप्त संख्या के 3 से छोटी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
एक पाँसा एक बार फेंकने पर कुल संभव परिणामों की संख्या = 6
यदि 3 से छोटी संख्या प्राप्त होने की घटना E है
तब, अनुकूल परिणाम = 1, 2
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 15 Probability Ex 15.1 1

प्रश्न 3.
एक थैले में 3 से 20 तक की संख्याओं के कार्ड हैं और इन्हें अच्छी तरह से फेंटा गया है। थैले से यादृच्छया एक कार्ड निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर एक सम संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
एक थैले में 3 से 20 तक संख्या के कार्डों से एक कार्ड निकालने की कुल संभव परिणाम = 18
यदि कार्ड पर एक सम संख्या होने की घटना E है।
तब, अनुकूल परिणाम = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ..
∴ अनुकूल परिणाम की (UPBoardSolutions.com) संख्या = 9
तब, P(E) = [latex]\frac{9}{18}=\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 4.
एक बक्से में, 6, 7, 8,…,15 तक की अंकित संख्याओं के कार्ड हैं तथा इन्हें अच्छी तरह से फेंट दिया गया है। बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर 10 से छोटी संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
एक बक्से में, 6, 7, 8,…,15 तक अंकिंत कार्डों में से एक कार्ड निकालने के कुल संभव परिणाम = 10
यदि कार्ड पर 10 से छोटी संख्या आने की घटना E है
तब, अनुकूल परिणाम = 6, 7, 8, 9
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
तब, प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{4}{10}=\frac{2}{5}[/latex]

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प्रश्न 5.
एक बक्से में 3 नीले, 2 सफेद तथा 4 लाल कंचे हैं। यदि बक्से से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह कंचा सफेद नहीं होगा?
हलः
यहाँ, नीले कंचे की संख्या = 3
सफेद कंचे की संख्या = 2
लाल कंचे की संख्या = 4
कुल कंचों की संख्या = 3 + 2 + 4 = 9
माना एक सफेद कंचा आने की घटना E है।
माना एक सफेद कंचा आने के परिणामों की संख्या = 2
∴ एक सफेद कंचा आने की प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{2}{9}[/latex]
∴ एक सफेद कंचा नहीं आने की (UPBoardSolutions.com) प्रायिकता P([latex]\overline{E}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{2}{9}=\frac{9-2}{9}=\frac{7}{9}[/latex]

प्रश्न 6.
एक थैले में 4 लाल और 6 काली गेंदे हैं। थैले से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। तो गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ लाल गेंद की संख्या = 4
काली गेंद की संख्या = 6
कुल गेंदों की संख्या = 4 + 6 = 10
यदि एक काली गेंद आने की घटना E है।
तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
∴ P(E) = [latex]\frac{6}{10}=\frac{3}{5}[/latex]

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प्रश्न 7.
52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी हुई गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये पत्ते के एक काला बादशाह होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
52 पत्तों से एक पत्ता निकालने के कुल संभव परिणाम = 52
माना, E = एक काला बादशाह होने की घटना
तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 52 पत्तों में से कुल काले बादशाहों की संख्या
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या (UPBoardSolutions.com) = 2
तब, प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{2}{52}=\frac{1}{26}[/latex]

प्रश्न 8.
दो मित्र, वर्ष 2000 में जन्में हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनका जन्मदिन समान है।
हलः
चूँकि वर्ष 2000 लीप वर्ष है।
इसलिए वर्ष 2000 में कुल दिनों की संख्या = 366
∴ दोनों मित्रों के जन्मदिनों के कुल प्रकार = 366 × 366
यदि दोनों मित्रों का जन्मदिन एक ही है
तब, अनुकूल स्थितियों की संख्या = 366
तब, अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{366}{366 \times 366}=\frac{1}{366}[/latex]

प्रश्न 9.
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दो मित्रों के जन्मदिन भिन्न-भिन्न हैं। (लीप वर्ष नहीं)। (NCERT)
हलः
चूँकि संबंधित वर्ष लीप वर्ष नहीं है।
इसलिए कुल दिनों की संख्या = 365
∴ दोनों मित्रों के जन्मदिनों के कुल प्रकार = 365 × 365
जब, दोनों मित्रों के जन्मदिन (UPBoardSolutions.com) समान होने पर कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 365
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प्रश्न 10.
यदि एक घटना के होने की प्रायिकता p है तब इसके विपरीत घटना के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि एक घटना के घटित होने की प्रायिकता p है
तब घटना के नहीं होने की प्रायिकता 1 – p होगी।

Ex 15.1 Probability लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 11.
एक असंभव घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि किसी एक परीक्षण के n संभव परिणाम है।
यदि A एक असंभव घटना है तो n संभव परिणामों में से कोई भी इसका समर्थन नहीं करेगा।
अर्थात् कुल अनुकूल परिणाम m = 0
अतः P(A) = [latex]\frac{m}{n}=\frac{0}{n}[/latex]
P(A) = 0

प्रश्न 12.
एक निश्चित घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि किसी एक परीक्षण के n संभव परिणाम है।
यदि A एक निश्चित घटना है, तब (UPBoardSolutions.com) सभी n संभव परिणाम इसका समर्थन करेंगे।
अर्थात् कुल अनुकूल परिणाम m = n
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प्रश्न 13.
दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं तो दो संख्याओं के प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिनका योग 10 है।
हलः
हम जानते हैं कि जब दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं तब,
कुल संभव परिणामों की संख्या = 6 × 6 = 36
माना कि, दोनों पाँसों पर प्राप्त संख्या का योगफल 10 होने की घटना E है।
तब कुल अनुकूल परिणाम = (4, 6),(6, 4), (5, 5)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
तब अभीष्ट प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{3}{36}=\frac{1}{12}[/latex]

प्रश्न 14.
एक लॉटरी में, 8 उपहार तथा 16 खाली हैं। तब एक उपहार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ एक लॉटरी में, उपहार की संख्या = 8
खाली की संख्या (UPBoardSolutions.com) = 16
कुल संभव परिणाम = 8 + 16 = 24
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प्रश्न 15.
यहाँ एक लॉटरी में, 10 उपहार तथा 25 खाली हैं। तो एक उपहार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ एक लाटॅरी में, उपहार की संख्या = 10
खाली की संख्या = 25
कुल संभव परिणाम = 10 + 25 = 35
माना एक उपहार प्राप्त होने की घटना A है।
तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
तब, अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{10}{35}=\frac{2}{7}[/latex]

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प्रश्न 16.
क्या प्रायिकता है कि एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार हैं?
हलः
एक सामान्य वर्ष में दिनों की संख्या = 365
= 52 हफ्ते और 1 दिन
स्पष्ट है सामान्य वर्ष (UPBoardSolutions.com) में 52 रविवार होते हैं।
तब, शेष 1 दिन होना चाहिए:

  • रविवार
  • सोमवार
  • मंगलवार
  • बुधवार
  • बृहस्पतिवार
  • शुक्रवार
  • शनिवार

तब, कुल संभव परिणाम = 7
एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार होने के लिए 7 परिणामों में स्थिति (i) घटित होगी।
∴ कुल अनुकूल परिणाम = 1
तब, एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता = [latex]\frac{1}{7}[/latex]

प्रश्न 17.
एक सिक्का, एक बार उछाला जाता है तो एक चित् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?
हलः
एक सिक्का, एक बार उछालने में कुल संभव परिणाम = H, T
∴ कुल संभव परिणामों की संख्या = 2
एक चित् प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
तब अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

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प्रश्न 18.
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता न तो लाल और न ही एक बेगम है।
हलः
52 पत्तों में से एक पत्ता निकालने में,
कुल संभव परिणाम = 52
52 पत्तों में लाल पत्तों की संख्या = 26
काली बेगमों की (UPBoardSolutions.com) संख्या = 2
∴ कुल न आने वाले पत्तों की संख्या = 26 + 2 = 28
इसलिए एक पत्ता न आने वाले के अनुकूल परिणामों की संख्या = 28
तब अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{28}{52}=\frac{7}{13}[/latex]

प्रश्न 19.
52 पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी हुई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तो निकाले गये पत्ते के एक बादशाह होने की क्या प्रायिकता है?
हलः
52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकालने में कुल संभव परिणाम = 52
माना, निकाले गए एक पत्ते के बादशाह होने की घटना A है।
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
तब एक बादशाह आने की प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{4}{52}=\frac{1}{13}[/latex]

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प्रश्न 20.
यदि एक खेल के जीतने की प्रायिकता 0.7 है तो इसे हारने की क्या प्रायिकता है?
हलः
माना एक खेल के जीतने की प्रायिकता P(A) है।
तब, दिया है P(A) = 0.7
∴ खेल हारने की प्रायिकता P([latex]\overline{A}[/latex]) = 1 – P(A)
P([latex]\overline{A}[/latex]) = 1 – 0.7
P([latex]\overline{A}[/latex]) = 0.3

Ex 15.1 Probability लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 21.
अंग्रेजी वर्णमाला से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर व्यंजन है।
हलः अ
ंग्रेजी वर्णमाला में कुल अक्षर = 26
26 अक्षरों में से एक अक्षर चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 26
अंग्रेजी वर्णमाला में कुल (UPBoardSolutions.com) व्यंजनों की संख्या = 21
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 21
तब, अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{21}{26}[/latex]

प्रश्न 22.
एक बक्से में, 1 से 20 तक की अंकित संख्याओं के 20 कार्ड हैं बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो निकाले गये पत्ते पर संख्या के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) 2 और 3 से विभाजित
(ii) एक अभाज्य संख्या
हल:
1 से 20 तक अंकित संख्या के कार्यों से 1 कार्ड निकालने में,
कुल संभव परिणाम = 20
(i) माना निकाले गये कार्ड की संख्या 2 और 3 से विभाजित होने की घटना A है।
तब, 2 से विभाजित होने वाली संख्या = 2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16, 18, 20
∴ 2 से विभाजित होने वाले कार्डों की कुल संख्या = 10
3 से विभाजित होने वाली संख्या = 3, 6, 9,12, 15, 18
∴ 3 से विभाजित होने वाले (UPBoardSolutions.com) कार्डों की कुल संख्या = 6
तब कुल अनुकूल स्थितियों की संख्या = 10 + 6 = 16
∴ अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{16}{20}=\frac{4}{5}[/latex]

(ii) माना निकाला गया पत्ता एक अभाज्य संख्या होने की घटना B है।
तब अनुकूल परिणाम = 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
तब अभीष्ट प्रायिकता P(B) = [latex]\frac{8}{20}=\frac{2}{5}[/latex]

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प्रश्न 23.
एक थैले में समान आकार के 30 कार्ड हैं जिन पर 1 से 30 तक की संख्याएँ लिखी हुई हैं। थैले से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये कार्ड पर, 3 से विभाजित संख्या नहीं है।
हल:
1 से 30 तक अंकित संख्या वाले कार्यों से एक कार्ड निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 30
1 से 30 तक 3 से विभाजित होने वाली संख्याएँ = 3, 6, 9, 12,15,18, 21, 24, 27, 30
कुल संख्याएँ = 10
∴ 3 से विभाजित नहीं होने वाली संख्याओं की संख्या = 30 – 10 = 20
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
तब अभीष्ट प्रायिकता P(B) = [latex]\frac{20}{30}=\frac{2}{3}[/latex]

प्रश्न 24.
एक बक्से में, 11 से 60 तक की संख्याओं के कार्ड रखे गये हैं। यदि बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये पत्ते पर संख्या है-
(i) एक विषम संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाजित
(iv) 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या
हल:
11 से 60 तक की संख्याओं के कार्डों से एक कार्ड निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 50
(i) निकाले गये कार्ड पर एक विषम संख्या है—
कुल अनुकूल परिणाम = 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59
कुल परिणामों की संख्या = 25
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{25}{50}=\frac{1}{2}[/latex]

(ii) निकाले गये कार्ड पर एक पूर्ण वर्ग संख्या है—
तब अनुकूल परिणाम = 16, 25,3 6, 49
कुल अनुकूल परिणामों की (UPBoardSolutions.com) संख्या = 4
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{4}{50}=\frac{2}{25}[/latex]

(iii) निकाले गये कार्ड की संख्या 5 से विभाजित है-
तब अनुकूल परिणाम = 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60
अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{10}{50}=\frac{1}{5}[/latex]

(iv) निकाले गये कार्ड की संख्या, 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या है-
तब अनुकूल परिणाम = 11, 13, 17, 19
अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{4}{50}=\frac{2}{25}[/latex]

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प्रश्न 25.
संख्याओं 1, 2, 3,…, 25 में से एक अभाज्य संख्या चुनने की क्या प्रायिकता है जब प्रत्येक संख्या का चुना जाना समप्रायिक है?
हल:
संख्या 1 से 25 तक में से एक संख्या चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 25
माना चुनी गयी संख्या एक अभाज्य होने की घटना A है।
तब अनुकूल परिणाम = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
∴ कुल अनुकूल स्थितियाँ = 9
तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{9}{25}[/latex]

प्रश्न 26.
1000 टिकटों की एक लॉटरी में, 5 उपहार हैं। यदि किसी एक द्वारा लॉटरी का एक टिकट खरीदा जाता है तो, उसके एक उपहार जीतने की क्या प्रायिकता है?
हलः
1000 टिकटों की एक लॉटरी में (UPBoardSolutions.com) से एक लॉटरी आने में कुल संभव परिणाम = 1000
यहाँ उपहारों की संख्या = 5
तब एक उपहार जीतने की प्रायिकता = [latex]\frac{5}{1000}=\frac{1}{200}[/latex] = 0.005

प्रश्न 27.
यदि संख्याओं -2, -1, 0, 1, 2 में से एक संख्या x यादृच्छया चुनी जाती है तो क्या प्रायिकता है कि x2 < 2?
हलः
संख्या –2, -1, 0, 1, 2 में से एक संख्या x चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 5
माना एक संख्या x2 < 2 आने की घटना A है।
तब अनुकूल (UPBoardSolutions.com) परिणाम = -1, 0, 1
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{3}{5}[/latex]

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प्रश्न 28.
संख्याओं 1, 2, 3 में से एक संख्या x चुनी गई तथा संख्याओं 1, 4, 9 में से यादृच्छया एक संख्या y चुनी गई तो क्या प्रायिकता है कि दो संख्याओं की xy गुणा, 9 से छोटी होगी?
हलः
संख्या 1, 2, 3 में से एक संख्या x चुनने में कुल परिणाम = 3
संख्या 1, 4, 9 में से एक संख्या y चुनने में कुल परिणाम = 3
इसलिए एक संख्या xy चुनने के कुल संभव परिणाम = 3 × 3 = 9
माना दो संख्याओं की xy गुणा, 9 से छोटी होने की घटना A है।
तब, अनुकूल परिणाम = (1, 4), (1, 1), (2, 1), (2, 4), (3, 1)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
∴ अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{5}{9}[/latex]

प्रश्न 29.
एक थैले में 6 लाल, 8 काली तथा 4 सफेद गेंदे हैं। इनमें से, एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है तो क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद काली नहीं है?
हलः
दिया है, लाल गेंद = 6, काली गेंद = 8, सफेद गेंद = 4
एक गेंद थैले में से निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 6 + 8 + 4 = 18
अब गेंदे जो काली (UPBoardSolutions.com) नहीं हैं = 6 + 4 = 10
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
इसलिए, प्रायिकता P(काली गेंद नहीं है) = [latex]\frac{10}{18}=\frac{5}{9}[/latex]

प्रश्न 30.
एक थैले में 2 से 90 तक की लिखी संख्याओं के कार्ड हैं थैले से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) एक दो अंकों की संख्या
(ii) एक संख्या जो एक पूर्ण वर्ग है।
हल:
2 से 90 तक की संख्याओं के कार्डों में से एक कार्ड निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 89
(i) माना निकाले गये कार्ड पर एक दो अंकों की संख्या होने की घटना A है।
तब अनुकूल परिणाम = 89 – 8 = 81
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 15 Probability Ex 15.1 5

(ii) माना निकाले गये कार्ड पर पूर्ण वर्ग संख्या होने की घटना B है।
तब कुल अनुकूल परिणाम = 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
तब, प्रायिकता P(B) = [latex]\frac{8}{89}[/latex]

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Ex 15.1 Probability दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 31.
52 पत्तों की एक गड्डी में से सभी गुलाम, बेगम और बादशाह निकाल दिये जाते हैं। शेष बचे पत्तों को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है तब इनमें से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, निकाला गया पत्ता है-
(i) एक काली तस्वीर वाला पत्ता
(ii) एक लाल पत्ता
हलः
हम जानते हैं कि 52 पत्तों की गड्डी में चार गुलाम, चार बेगम और चार बादशाह होते हैं।
अत: गुलाम, बेगम और (UPBoardSolutions.com) बादशाह निकालने के बाद, शेष बचे पत्तों की संख्या = 52 – 12 = 40
40 पत्तों में से एक पत्ता निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 40
(i) माना एक काली तस्वीर वाला पत्ता आने की घटना A है।
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 0
तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{0}{40}[/latex] = 0
(ii) 40 पत्तों की गड्डी में कुल लाल पत्ते =
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
∴ प्रायिकता P (एक लाल पत्ता) = [latex]\frac{20}{40}=\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 32.
ताश के पत्तों की एक गड्डी में से सभी लाल तस्वीर वाले पत्ते निकाल दिये जाते हैं। शेष बचे पत्तों को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है तथा तब इनमें से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता है-
(i) एक लाल पत्ता
(ii) एक तस्वीर वाला पत्ता
(iii) एक चिड़ी का पत्ता
हलः
लाल तस्वीर वाले पत्ते = 6
52 पत्तों में से लाल तस्वीर वाले पत्ते निकालने पर शेष बचे पत्ते = 52 – 6 = 46
46 पत्तों में से एक पत्ता निकालने परे,
कुल संभव परिणाम = 46
(i) 46 पत्तों में कुल लाल पत्तों की संख्या = 26 – 6 = 20
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
∴ प्रायिकता P (एक लाल पत्ता) = [latex]\frac{20}{46}=\frac{10}{23}[/latex]

(ii) 46 पत्तों में तस्वीर वाले पत्ते = 6
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
तब अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{6}{46}=\frac{3}{23}[/latex]

(iii) 46 पत्तों में चिड़ी के पत्तों की कुल संख्या = 13
तब कुल अनुकूल परिणामों (UPBoardSolutions.com) की संख्या = 13
∴ अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{13}{46}[/latex]

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प्रश्न 33.
12 व्यक्तियों के एक समूह में, 3 बहुत अधिक बीमार हैं, 6 बहुत अधिक ईमानदार व शेष बहुत अधिक दयालु हैं। समूह से एक व्यक्ति चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया व्यक्ति-
(i) बहुत अधिक बीमार
(ii) बहुत अधिक दयालु या ईमानदार हो।
हलः
दिया है, अधिक बीमार = 3
अधिक ईमानदार = 6
बहुत अधिक दयालु = 3
कुल व्यक्ति = 12
12 व्यक्तियों में से एक व्यक्ति चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 12
(i) बहुत अधिक बीमार व्यक्तियों की संख्या = 3
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
∴ अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{3}{12}=\frac{1}{4}[/latex]

(ii) बहुत अधिक दयालु या ईमानदार व्यक्तियों की संख्या = 3 + 6 = 9
तब कुल अनुकूल स्थितियों (UPBoardSolutions.com) की संख्या = 9
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प्रश्न 34.
एक पाँसे को दो बार उछाला गया है। तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (NCERT)
(i) किसी भी बार 5 ऊपर नहीं आयेगा।
(ii) ठीक एक बार ही 5 ऊपर आयेगा।
हलः
हम जानते हैं कि एक पाँसे को दो बार उछालने पर कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36
5 अंक आने की संभावना = (1, 5), (2, 5 ), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
(i) किसी भी बार 5 ऊपर नहीं आयेगा –
5 आने की प्रायिकता = [latex]\frac{11}{36}[/latex]
हम जानते हैं कि
5 आने की प्रायिकता +5 नहीं आने की प्रायिकता = 1
⇒ 5 नहीं आने की प्रायिकता = 1 – [latex]\frac{11}{36}[/latex]
⇒ = [latex]\frac{36-11}{36}=\frac{25}{36}[/latex]

(ii) ठीक एक बार ही 5 ऊपर आयेगा-
कम से कम एक बार 5 आने की प्रायिकता = [latex]\frac{11}{36}[/latex]

प्रश्न 35.
दो पाँसे एक साथ उछाले जाते हैं तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) दोनों पर कभी भी 5 ऊपर नहीं आये।
(ii) कम-से-कम एक पर 5 आये।
(iii) दोनों पाँसों के ऊपर 5 आये।
हलः
हम जानते हैं कि दो पाँसे उछालते पर,
कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36
(i) दोनों पाँसों पर कभी भी 5 ऊपर न आने पर,
कुल अनुकूल परिणाम = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 6)
कुल अनुकूल परिणामों (UPBoardSolutions.com) की संख्या = 25
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{25}{36}[/latex]

(ii) कम से कम एक पर 5 आने पर, कुल अनुकूल परिणाम,
= (1, 5), (2, 5), (3, 5),(4, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),(5, 5), (5, 6)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{11}{36}[/latex]

(iii) दोनों पाँसों के ऊपर 5 आने पर,
कुल अनुकूल परिणाम = (5, 5)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{1}{36}[/latex]

UP Board Solutions

प्रश्न 36.
एक बक्से में 90 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 90 संख्याएँ अंकित हैं यदि इस बक्से से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी-
(i) एक दो अंकों की संख्या
(ii) एक पूर्ण-वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या (NCERT)
हलः
कुल अंकित संख्याएँ = 90
अतः कुल संभव परिणाम = 90
(i) दो अंकों की एक संख्या-
दो अंकों की संख्याओं की संख्या = 90 – 9 = 81
अतः कुल अनुकूल परिणाम = 81
∴ दो अंकों की एक संख्या आने की प्रायिकता = [latex]\frac{81}{90}=\frac{9}{10}[/latex]

(ii) 1 से 90 के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ = 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81
पूर्ण वर्ग संख्याओं की संख्या = 9
प्रायिकता (एक पूर्ण वर्ग संख्या) = [latex]\frac{9}{90}=\frac{1}{10}[/latex]

(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या-
1 से 90 के बीच 5 से विभाज्य संख्या = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90
कुल 5 से विभाज्य (UPBoardSolutions.com) संख्या = 18
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 18
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{18}{90}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}[/latex]

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

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