Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.1

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.1 त्रिभुज

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में DE ||BC यदि AD = 2.5 सेमी, DB = 3 सेमी तथा AE = 3.75 सेमी है तो AC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
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AD = 2.5 cm
DB = 3 cm
AE = 3.75
अब ∆ABC में, DE||BC
तब आधारभूत समानुपातिका (UPBoardSolutions.com) प्रमेय से,
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अतः AC = AE + EC
= 3.75 +4.5 = 8.25 सेमी

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प्रश्न 2.
दी गई आकृति में DE ||BC यदि AD = 1.7 सेमी, AB = 6.8 सेमी तथा AC = 9 सेमी है तो AE का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,
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AD = 1.7 सेमी
AB = 6.8 सेमी
AC = 9 सेमी (UPBoardSolutions.com)
अतः हम जानते हैं कि
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प्रश्न 3.
दो समान त्रिभुजों ABC तथा PQR का परिमाप क्रमशः 32 सेमी तथा 24 सेमी हैं। यदि PQ = 12 सेमी है तो AB का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
चूँकि समान त्रिभुजों की संगत भुजाओं का (UPBoardSolutions.com) अनुपात उनके परिमाप के अनुपात के बराबर होता है।
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प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC में, AD, ∠A का अर्द्धक है। जो भुजा BC पर D पर मिलता है।
(i) यदि AB = 5.6 सेमी, AC = 6 सेमी, DC = 3 सेमी है तो BC ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि AD = 5.6 सेमी, BC = 6 सेमी, BD = 3.2 सेमी है तो AC ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) AB = 5.6 cm
AC = 6 cm
DC = 3cm (UPBoardSolutions.com)
BC = ?
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चित्र से, BC = BD + DC
BC = BD + 3 …(1)
हम जानते हैं त्रिभुज के किसी कोण से (UPBoardSolutions.com) भुजा पर डाला गया लम्ब समकोण होता है। अतः ∆ADC से,
AC2 = AD2 + DC2
62 = AD2 +32
36 = AD2 + 9
AD2 = 27
AD = [latex] \sqrt{{27}} [/latex] = 3[latex] \sqrt{{3}} [/latex] cm
इसी प्रकार ∆ABD में,
AB2 = BD2 + AD2
(5.6)2 = BD2 + 27
BD2 = 4.36
BD = 2.08 cm
अतः BC = BD + DC
= 2.08 +3
= 5.08 सेमी

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(ii) दिया है,
AD = 5.6 सेमी
BC = 6 सेमी
BD = 3.2 सेमी
AC = ?
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∆ABC में,
BC = BD + DC
6 = 3.2 + DC
DC = 6 – 3.2
DC = 2.8 सेमी
∆ADC में,
AC2 = AD2 + DC2
AC2 = (5.6)2 + (2.8)2
AC2 = 31.36 + 7.84
AC2 = 39.2
AC = 6.26 सेमी

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प्रश्न 5.
एक समान्तर चतुर्भज ABCD है, भुजा BC पर एक बिन्दु P है तथा DP को बढ़ाने पर AB से बिन्दु L पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए कि
(i) [latex]\frac{D P}{P L}=\frac{D C}{B L}[/latex]
(ii) [latex]\frac{D L}{D P}=\frac{A L}{D C}[/latex]
हल:
(i) ∆ALD में, ज्ञात है
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प्रश्न 6.
एक चतुर्भुज ABCD है तथा P,Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD व DA के ट्राईसैक्सन बिन्दु A व C के सम्मुख हैं। तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
हलः
माना चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि (UPBoardSolutions.com) इनकी भुजाओं के मध्य बिन्दु क्रमशः P, Q, R, S हैं।
अब AC को मिलाया
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∆ABC में, P तथा Q, AB तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
तब PQ|| AC …(1)
इसी प्रकार ∆ACD में, R तथा S क्रमशः DC तथा DA के मध्य बिन्दु हैं
तब SR || AC …(2)
समी० (1) तथा (2) से,
PQ || AC तथा SR || AC
इसलिये PQ|| SR
इसी प्रकार, ∆ ABD तथा ABDC हैं।
PS||QR
अतः PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।

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प्रश्न 7.
एक ∆ ABC की भुजा BC का अर्द्धक D है। O AD पर कोई बिन्दु है। AC तथा AB में बिन्दु E तथा F मिल जाने पर BO तथा CO बनते हैं। AD को x तक बढ़ाया इसलिए D,OX का मध्य बिन्दु है तो सिद्ध कीजिए कि
(i) AO : AX = AF : AB
(ii) FE||BC
हल:
B और CX को मिलाया।
दिया है, BD = CD और OD = DX
इस प्रकार, BC तथा Ox (UPBoardSolutions.com) एक-दूसरे को काटते हैं।
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⇒ OB, XC समान्तर है।
⇒ BX||CO और CX||BO
⇒ BX ||CF और CX||BE
⇒ BX ||OF और CX||OE
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इस प्रकार E तथा F, AB तथा AC इस प्रकार है जोकि AB तथा AC को समान अनुपात में बाँटते हैं। अतः थेल्स प्रमेय के व्युत्क्रम से,
FE || BC

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प्रश्न 8.
एक ∆ ABC में, बिन्दु D तथा E क्रमशः भुजाओं AB व AC पर हैं। तब प्रत्येक निम्नलिखित के लिए सिद्ध कीजिए कि DE || BC
(i) AD = 5.7 सेमी, BD = 9.5 सेमी, AE = 3.3 सेमी, EC = 5.5 सेमी
(ii) AB = 12 सेमी, AD = 8 सेमी, AE = 12 सेमी तथा AC = 18 सेमी
हलः
(i) दिया है, AD = 5.7 सेमी, (UPBoardSolutions.com) BD = 9.5 सेमी, AE = 3.3 सेमी, EC = 5.5 सेमी
हम जानते हैं कि
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[latex]\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}[/latex]
⇒ AD × EC = AE × BD
⇒ [latex]\frac{5.7}{9.5}=\frac{3.3}{5.5}[/latex]
⇒ 5.7 × 5.5 = 9.5 × 3.3
⇒ 31.35 = 31.35
यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक अनुपात में प्रतिच्छेद करती है तब वह तीसरी भुजा के समान्तर होती है आधारभूत समानुपातिका की मूल प्रमेय की व्युत्क्रमानुपाती सिद्धान्त से, DE ||BC यही सिद्ध करना था।

(ii) दिया है, AB = 12 सेमी, AD = 8 सेमी, AE = 12 सेमी तथा AC = 18 सेमी
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यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक अनुपात (UPBoardSolutions.com) में प्रतिच्छेद करती है तब वह तीसरी भुजा के समान्तर होती है, आधारभूत समानुपातिका की मूल प्रमेय की व्युत्क्रमानुपाती सिद्धान्त से, DE ||BC यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 9.
एक ∆ABC में, भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E है तथा DE||BC है। यदि AD = 2.4 सेमी, AE = 3.2 सेमी, DE = 2 सेमी, BC = 5 सेमी है तो BD तथा CE ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D व E हैं तथा DE ||BC है।
दिया है, AD = 2.4 सेमी, AE = 3.2 सेमी, (UPBoardSolutions.com) DE = 2 सेमी तथा BC = 5 सेमी BD = ? तथा CE = ?
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यदि BD = 3.6 सेमी तथा CE = 4.8 सेमी

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प्रश्न 10.
एक ∆ABC की भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E हैं तथा DE ||BC और BD = CE है। तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हलः
यहाँ ∆ABC है जिसमें बिन्दु D तथा E भुजाओं AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं तथा DE ||BC अतः हमें सिद्ध करना है कि AB = AC
∆ ABC में ∠B का अर्द्धक BE है, इसलिये
[latex]\frac{A B}{B C}=\frac{A E}{E C}[/latex] …(1)
∆ ABC में, ∠C का अर्द्धक CD है इसलिये
[latex]\frac{A C}{B C}=\frac{A D}{D B}[/latex] …(2)
अब BD||CE तब आधारभूत (UPBoardSolutions.com) समानुपातिक प्रमेय के विलोम द्वारा,
[latex]\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}[/latex] …(3)
समी० (1), (2) तथा (3) से,
[latex]\frac{A B}{B C}=\frac{A C}{B C}[/latex]
⇒ AB = AC
अत: ∆ ABC समद्विबाहु है।

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प्रश्न 11.
बिन्दुओं L, M, N के तीन रेखाखण्ड OA,OB तथा Oc ऐसे लिए गए हैं कि LM ||AB तथा MN||BC लेकिन न तो L, M, N न ही A,B,C समरेख हैं। तो सिद्ध कीजिए कि LN||AC
हलः
बिन्दुओं L,M, N के तीन रेखाखण्ड OA, OB तथा OC ऐसे लिए गए हैं कि LM ||AB तथा MN ||BC
परन्तु, L, M, N तथा A, B, C समरेख नहीं हैं।
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⇒ ∆ONL में C तथा A क्रमश: ON तथा OL (UPBoardSolutions.com) को समान अनुपात में बाँटते हैं। अत: तब थेल्स के आधारभत समानुपातिक प्रमेय के विलोम से, LN || AC यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 12.
त्रिभुज ABC का कोई अन्तः बिन्दु ० है। ∠AOB, ∠BOC तथा ∠COA का अर्द्धक भुजाओं AB, BC तथा CA से क्रमशः बिन्दुओं D, E तथा F में मिलता है। तो सिद्ध कीजिए कि
AD × BE × CF = DB × EC × FA
हल:
∆AOD में,
OD, ∠AOB का लम्बर्द्धक है।
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प्रश्न 13.
माना ∆ABC का मध्य AD है। ∠ADB तथा ∠ADC के अर्द्धक, AB तथा AC में क्रमशः E तथा F मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि EF ||BC
हलः
दिया है- ∆ABC में माध्यिका AD और DE और (UPBoardSolutions.com) DF, कोण ADB तथा ∠ADC के लम्बर्द्धक हैं।
सिद्ध करना है- EF||BC
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उपपत्ति-∆ADB में, DE, ∠ADB का लम्बर्द्धक है।
[latex]\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E B}[/latex] …(1)
∆ADC में,
DF, ∠ADC का लम्बर्द्धक है,
[latex]\frac{A D}{D C}=\frac{A F}{F C}[/latex] …(2) [∵ AD माध्यिका है, ∴ BD = DC]
समी० (1) तथा (2) से,
[latex]\frac{A E}{E B}=\frac{A F}{F C}[/latex]
इस प्रकार ∆ABC में रेखाखण्ड EF, (UPBoardSolutions.com) भुजाओं AB तथा AC को समान अनुपात में बाँटता है।
अतः EF || BC

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