Class 10

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.3 द्विघात समीकरण

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए –
प्रश्न 1.
(i) x(x + 1)(x + 3)(x + 4) = 180
(ii) (2x + 3)(2x + 5)(x – 1)(x – 2) = 30
(iii) (x – 5)(x – 7)(x + 4) (UPBoardSolutions.com) (x + 6) = 504
(iv) x(2x + 1)(x – 2)(2x – 3) = 63
(v) (x² – 3x – 10)(x² – 5x – 6) = 144
(vi) (x + 2)(3x + 4)(3x + 7)(x + 3) = 2400
हलः
(i) दिया गया समीकरण
{x(x + 1)(x + 3)(x + 4)} = 180
{x(x + 4)}{(x + 1)(x + 3)} = 180
(x² + 4x)(x² + x + 3x + 3) = 180
(x² + 4x)(x² + 4x + 3) = 180
माना x² + 4x = y
∴ दिया हुआ समीकरण, y(y + 3) = 180
y² + 3y – 180 = 0

अब y = 12 लेने पर, x² + 4x = 12
x² + 4x – 12 = 0
x² + 6x (UPBoardSolutions.com) – 2x – 12 = 0
x(x + 6) – 2(x + 6) = 0
(x + 6)(x – 2) = 0
x = 2, – 6
y = 15 लेने पर, x² + 4x = – 15
x² + 4x + 15 = 0

(ii) दिया गया समीकरण
(2x + 3) (2x + 5)(x – 1)(x – 2) = 30
{(2x + 3)(x – 1)}{(2x + 5)(x – 2)} = 30
(2x² – 2x + 3x – 3)(2x² – 4x + 5x – 10) = 30
(2x² + x – 3)(2x² + x – 10) = 30
माना 2x² + x = y
∴ दिया गया समीकरण
(y – 3)(y – 10) = 30
y² – 10y – 3y + 30 = 30
y² – 13y = 0
y(y – 13) = 0
y= 0 व y = 13
जब y = 0, 2x² (UPBoardSolutions.com) + x = 0
x(2x + 1) = 0
⇒ x = 0, x = [latex]-\frac{1}{2}[/latex]
y = 13 लेने पर, 2x² + x = 13
2x² + x – 13 = 0

(iii) दिया गया समीकरण
{(x – 5)(x + 4)}{(x – 7)(x + 6)} = 504
(x² – 5x + 4x – 20)(x² – 7x + 6x – 42) = 504
(x² – x – 20)(x² – x – 42) = 504
माना x² – x = y
∴ दिया गया समीकरण
(y – 20)(y – 42) = 504
y² – 20y – 42y + 840 – 504 = 0
y² – 62y + 336 = 0
y² – 6y – 56y + 336 (UPBoardSolutions.com) = 0
y(y – 6) – 56(y – 6) = 0
(y – 6)(y – 56) = 0
जब y – 6 = 0 तब y = 6
जब y – 56 = 0
तब y = 56
y = 6 लेने पर, x² – x = 6
x² – x – 6 = 0
x² + 2x – 3x – 6 = 0
x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
(x + 2)(x – 3) = 0
x = – 2, 3
y = 56 लेने पर, x² – x = 56
x² – x – 56 = 0
x² – 8x + 7x – 56 = 0
x(x – 8) + 7(x – 8) = 0
(x + 7)(x – 8) = 0
जब x + 7 = 0 तब x = – 7
जब x – 8 = 0 तब x = 8

(iv) दिया गया समीकरण
x(2x + 1)(x – 2)(2x – 3) = 63
{x(2x – 3)} {(2x + 1)(x – 2)} = 63
(2x² – 3x)(2x² – 4x + x – 2) = 63
(2x² – 3x)(2x² – 3x – 2) = 63
माना 2x² – 3x (UPBoardSolutions.com) = y
y(y – 2) = 63
y² – 2y – 63 = 0
y² – 9y + 7y – 63 = 0
y(y – 9) + 7(y – 9) = 0
(y + 7)(y – 9) = 0
जब y + 7 = 0 तब y = – 7
जब y – 9 = 0 तब y = 9
y = – 7 लेने पर, 2x² – 3x = – 7
2x² – 3x + 7 = 0

y = 9 लेने पर, 2x² – 3x = 9
2x² – 3x – 9 = 0
2x² + 3x – 6x – 9 = 0
x(2x + 3) – 3(2x + 3) = 0
(x – 3)(2x + 3) = 0
जब x – 3 = 0 तब (UPBoardSolutions.com) x = 3
जब 2x + 3 = 0 तब x = [latex]\frac{-3}{2}[/latex]

(v) दिया गया समीकरण
(x² – 3x – 10)(x² – 5x – 6) = 144
(x² – 5x + 2x – 10)(x² – 6x + x – 6) = 144
[x(x – 5) + 2(x – 5)][x(x – 6) + 1(x – 6)] = 144
(x – 5)(x + 2)(x + 1)(x – 6) = 144
{(x – 5)(x + 1)}{(x + 2)(x – 6)} = 144
(x² – 4x – 5) (x² – 4x – 12) = 144
माना x² – 4x = y
∴ दिया गया समीकरण,
(y – 5)(y – 12) = 144
y² – 5y – 12y + 60 – 144 = 0
y² – 17y – 84 = 0
y² + 4y – 21y – 84 = 0
y(y + 4) – 21 (y + 4) = 0
(y + 4)(y – 21) = 0
जब y + 4 = 0, (UPBoardSolutions.com) तब y = -4
जब y – 21 = 0, तब y = 21
y = – 4 लेने पर, x² – 4x + 4 = 0
x² – 2x – 2x + 4 = 0
x(x – 2) – 2(x – 2) = 0
(x – 2)(x – 2) = 0
x = 2, 2
y = 21 लेने पर, x² – 4x = 21
x² – 4x – 21 = 0
x² – 7x + 3x – 21 = 0
x(x – 7) + 3(x – 7) = 0
x = – 3, 7

(vi) दिया गया समीकरण,
{(x + 2)(3x + 7)} {(3x + 4)(x + 3)} = 2400
(3x² + 7x + 6x + 14)(3x² + 9x + 4x + 12) = 2400
(3x² + 13x + 14) (UPBoardSolutions.com) (3x² + 13x + 12) = 2400
माना 3x² + 13x = y
∴ दिया गया समीकरण (y + 14)(y + 12) = 2400
y² + 14y + 12y + 168 = 2400
y² + 26y + 168 – 2400 = 0
y² + 26y – 2232 = 0
y² – 36y + 62y – 2232 = 0
y(y – 36) + 62(y – 36) = 0
(y – 36)(y + 62) = 0
जब y – 36 = 0 तब y = 36
जब y + 62 = 0 तब y = – 62
y = 36 लेने पर, 3x² + 13x = 36
3x² + 13x – 36 = 0

प्रश्न 2.

हल:
(i) दिया गया समीकरण
[latex]\sqrt{3 x+1}-\sqrt{x-1}[/latex] = 2
[latex]\sqrt{3 x+1}[/latex] = 2 + [latex]\sqrt{x-1}[/latex]
3x + 1 = 4 + (x – 1) + 4[latex]\sqrt{x-1}[/latex] (दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
3x – x + 1 – 4 + 1 = 4[latex]\sqrt{x-1}[/latex]
2x – 2 = 4[latex]\sqrt{x-1}[/latex] (UPBoardSolutions.com)
2(x – 1) = 2.2[latex]\sqrt{x-1}[/latex]
(x – 1) = 2[latex]\sqrt{x-1}[/latex]
x² – 2x + 1 = 4(x – 1) (दोनों पक्षों का पुनः वर्ग करने पर)
x² – 2x – 4x + 1 + 4 = 0
x² – 6x + 5 = 0
x² –x – 5x + 5 = 0
x(x – 1) – 5(x – 1)
(x – 1)(x – 5) = 0
जब (x – 1) = 0 तब x = 1
तथा जब (x – 5) = 0 तब x = 5

(ii) दिया गया समीकरण.
[latex]\sqrt{2 x+8}[/latex] + [latex]\sqrt{x+5}[/latex] = 7
[latex]\sqrt{2 x+8}[/latex] = 7 – [latex]\sqrt{x+5}[/latex]
2x + 8 = 49 + (x + 5) (UPBoardSolutions.com) – 14[latex]\sqrt{x+5}[/latex] (दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
2x + 8 – x – 49 – 5 = – 14[latex]\sqrt{x+5}[/latex]
x – 46 = – 14[latex]\sqrt{x+5}[/latex]
(x – 46)² = ( – 14[latex]\sqrt{x+5}[/latex])² (दोनों पक्षों का पुनः वर्ग करने पर)
x² – 92x + (46)² = 196(x + 5)
x² – 92x – 196x + 2116 – 980 = 0
x² – 288x + 1136 = 0
x² – 4x – 284x + 1136 = 0
x(x – 4) – 284(x – 4) = 0
यदि x – 4 = 0 तब x = 4
तथा यदि x – 284 = 0 तब x = 284
परन्तु x = 284 समीकरण को सन्तुष्ट नहीं करता।
अतः x = 4

(iii) दिया गया समीकरण,
[latex]\sqrt{x+4}[/latex] + [latex]\sqrt{x+20}[/latex] = 2[latex]\sqrt{x+11}[/latex]
x + 4 + x + 20 + 2/[latex]\sqrt{(x+4)} \sqrt{x+20}[/latex] = 4(x + 11) (दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
2x + 24 + 21[latex]\sqrt{x^{2}+24 x+80}[/latex] = 4x + 44
2x + 24 – 4x – 44 = [latex]\sqrt{x^{2}+24 x+80}[/latex]
– 2x – 20 = – 2[latex]\sqrt{x^{2}+24 x+80}[/latex]
– 2(x + 10) = -2[latex]\sqrt{x^{2}+24 x+80}[/latex]
(x + 10) = [latex]\sqrt{x^{2}+24 x+80}[/latex]
x² + 20x + 100 = x² + 24x + 80 (दोनों पक्षों का पुन: वर्ग करने पर)
x² + 20x + 100 – x² – 24x – 80 = 0
– 4x + 20 = 0
– 4x = – 20
x = 5

(iv) दिया गया समीकरण,
[latex]\sqrt{x+1}[/latex] – [latex]\sqrt{x-1}[/latex] = [latex]\sqrt{4x-1}[/latex]
x + 1 + x – 1 – 2[latex]\sqrt{x^{2}-1}[/latex] = 4x – 1 (दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
2x – 4x + 1 = 20[latex]\sqrt{x^{2}-1}[/latex] (UPBoardSolutions.com)
– 2x + 1 = 2[latex]\sqrt{x^{2}-1}[/latex]
4x² + 1 – 4x = 4(x² – 1) (दोनों पक्षों का पुनः वर्ग करने पर)
4x² – 4x + 1 – 4x² + 4 = 0
– 4x + 5 = 0
– 4x = – 5
x = [latex]\frac{5}{4}[/latex]

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 3.4 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

(A) सामान खर्चा तथा कीमतों पर आधारित

प्रश्न 1.
4 कुसियों और 3 मेजों का मूल्य ₹ 2100 तथा 5 कुर्सियों और 2 (UPBoardSolutions.com) मेजों का मूल्य ₹1750 है तो एक कुर्सी तथा एक मेज का मूल्य अलग – अलग ज्ञात कीजिए।
हलः
माना एक कुर्सी का मूल्य = ₹ x
तथा एक मेज का मूल्य = ₹y
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, 4x + 3y = 2100 ………(1)
तथा दूसरी शर्त, 5x + 2y = 1750 …..(2)
समी० (1) को 2 से तथा समी० (2) को 3 से गुणा करने पर,

x का मान समी० (1) में रखने पर,
4 × 150 + 3y = 2100
600 + 3y = 2100
3y = 2100 – 600 = 1500
y = [latex]\frac{1500}{3}[/latex] = 500
अतः एक कुर्सी का मूल्य = ₹ 150 और एक मेज (UPBoardSolutions.com) का मूल्य = ₹ 500

प्रश्न 2.
2 मेजों और 3 कुर्सियों का एक – साथ मूल्य ₹ 2000 है तथा 3 मेजों और 2 कुर्सियों का एक – साथ मूल्य ₹ 2500 है, तो एक मेज और 5 कुर्सियों का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
हलः
माना एक मेज का मूल्य = ₹ x
तथा एक कुर्सी का मूल्य = ₹ y
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, 2x + 3y = 2000 …………(1)
तथा दूसरी शर्त, 3x + 2y = 2500 …..(2)
समी० (1) को 3 से तथा समी० (2) को 2 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
2x + 3 × 200 = 2000
2x + 600 = 2000
2x = 2000 – 600 = 1400
1400 700
x= [latex]\frac{1500}{2}[/latex] (UPBoardSolutions.com) = 700
∵ एक मेज का मूल्य = ₹ 700
तथा एक कुर्सी का मूल्य = ₹ 200
अतः एक मेज तथा 5 कुर्सियों का मूल्य = x + 5y = 700 + 5 × 200
= 700 + 1000 = ₹1700

प्रश्न 3.
एक मित्र दूसरे से कहता है कि यदि तुम मुझे एक सौ दे दो, तो मैं (UPBoardSolutions.com) आपसे दोगना धनी बन जाऊँगा। दूसरा उत्तर देता है, यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा। बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तियाँ हैं? (NCERT)
हलः
माना पहले मित्र के पास धन = ₹ x
तथा दूसरे मित्र के पास धन = ₹ y
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, x + 100 = 2(y – 100)
x + 100 = 2y – 200
x – 2y = –200 – 100
x – 2y = – 300 ……(1)
तथा दूसरी शर्त, 6 (x – 10) = y + 10
6x – 60 = y + 10
6x – y = 10 + 60
6x – y = 70 ………..(2)
समी० (2) को 2 से गुणा करने पर,

x का मान समी० (1) में रखने पर,
6 × 40 – y = 70
240 – y = 70
– y = 70 – 240 = – 170
y = 170
अतः पहले मित्र के पास धन = ₹ 40 तथा दूसरे मित्र के पास धन = ₹ 170

प्रश्न 4.
एक व्यक्ति के पर्स में 20 पैसे तथा 25 पैसे के सिक्के हैं। उसके (UPBoardSolutions.com) पास कुल ₹ 11.25 हैं। जिनमें सिक्कों की संख्या 50 है। उसके पास दोनों प्रकार के कितने – कितने सिक्के हैं?
हलः
माना 20 पैसे के सिक्कों की संख्या = x
तथा 25 पैसे के सिक्कों की संख्या = y
प्रश्नानुसार, उसके पास कुल रुपये = 11.25
पहली शर्त, [latex]\frac{x}{5}+\frac{y}{4}[/latex] = 11.25 (∵ 1 रुपया = 100 पैसे)
[latex]\frac{4 x+5 y}{20}[/latex] = 11.25
4x + 5y = 11.25 × 20
4x + 5y = 225 ……….(1)
तथा दूसरी शर्त, सिक्कों की संख्या = 50
x + y = 50
समी० (2) को 4 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (2) में रखने पर,
x + 25 = 50
x = 50 – 25 या x = 25
अतः 20 पैसे के सिक्कों की संख्या = 25
तथा 25 पैसे के सिक्कों की संख्या = 25

प्रश्न 5.
3 बैग और 4 पेनों का एक साथ मूल्य ₹ 257 है। ऐसे ही 4 बैग (UPBoardSolutions.com) और 3 पेनों का एक साथ मूल्य ₹ 324 है तो एक बैग और 10 पेनों का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
हलः
माना एक बैग का मूल्य = ₹ x
तथा एक पैन का मूल्य = ₹ y
प्रश्नानुसार,
3x + 4y = 257 ……….(1)
4x + 3y = 324 ………(2)
समी० (1) को 4 से तथा समी० (2) को 3 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
3x + 4 × 8 = 257
3x + 32 = 257
3x = 257 – 32 = 225
x = [latex]\frac{225}{3}[/latex] = 75
अतः एक बैग का मूल्य = ₹ 75
तथा एक पेन का मूल्य = ₹ 8
अतः एक बैग और 10 पेनों का मूल्य = x + 10y
= 75 + 10 × 8 = 75 + 80 = ₹ 155

(A) संख्याओं पर आधारित

प्रश्न 6.
दो अंकों की एक संख्या में दहाई का अंक, इकाई के अंक से (UPBoardSolutions.com) तीन गुना है। यदि इस संख्या में 54 जोड़ा जाये तो उसके अंक पलट जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दहाई का अंक = x
तथा इकाई का अंक = y
मूल संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, दहाई का अंक = 3 × इकाई का अंक
x = 3y
x – 3y = 0 ………(1)
दूसरी शर्त, अंकों को पलट देने पर प्राप्त संख्या = 10 y + x
मूल संख्या + 54 = 10 y + x
10x + y + 54 = 10 y + x
10x + y – 10y – x = – 54
9x – 9y = – 54
9(x – y) = – 54
x – y = [latex]\frac{54}{9}[/latex]

y का मान समी० (1) में रखने पर,
x – 3 × 3 = 0
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
अतः
मूल संख्या = 10x + y
= 10 × 9 + 3 = 90 + 3 = 93

प्रश्न 7.
एक दो अंकों की संख्या तथा उसके अंकों को उलटने (UPBoardSolutions.com) पर बनी संख्या का योग 121 है। उसके दोनों अंकों का अन्तर 3 है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दहाई का अंक = x
तथा इकाई का अंक = y
मूल संख्या = 10x + y
तथा अंकों को उलटने पर बनी संख्या = 10 y + x
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, 10x + y + 10y + x = 121
11x + 11y = 121
11(x + y) = 121

x का मान समी० (1) में रखने पर,
7 + y = 11
या y = 11 – 7 – 4
अतः अभीष्ट संख्या = 10x + y
= 10 × 7 + 4 = 70 + 4 = 74

प्रश्न 8.
एक दो अंकों की संख्या तथा उसके अंकों को उलटने पर (UPBoardSolutions.com) बनी संख्या का योग 165 है तथा इसके दोनों अंकों का अन्तर 3 है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दहाई का अंक = x
तथा इकाई का अंक = y
मूल संख्या = 10x + y
तथा अंकों को उलटने पर बनी संख्या = 10 y + x
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, 10x + y + 10 y + x = 165
11x + 11y = 165
11(x + y) = 165
x + y = [latex]\frac{165}{11}[/latex]
x + y = 15 ….(1)
दूसरी शर्त, x – y = 3 ………..(2)
समी० (1) व (2) को जोड़ने पर,

x का मान समी० (1) में रखने पर,
9 + y = 15
या y = 15 – 9 ⇒ y = 6
अभीष्ट संख्या = 10x + y
= 10 × 9 + 6 = 96

प्रश्न 9.
एक दो अंकों की संख्या तथा उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का (UPBoardSolutions.com) योग 132 है। यदि इस संख्या में 12 जोड़ा जाये तो नई संख्या, अंकों के योग से 5 गुनी होगी। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दहाई का अंक = x
तथा इकाई का अंक = y
तब मूल संख्या = 10x + y
तथा अंकों को उलटने पर प्राप्त नई संख्या = 10y + x
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, 10x + y + 10 y + x = 165
11x + 11y = 132
11(x + y) = 132
x + y = [latex]\frac{132}{11}[/latex]
x + y = 12 ……..(1)
दूसरी शर्त, 10x + y + 12 = (UPBoardSolutions.com) 5(x + y)
10x + y + 12 = 5x + 5y
10x + y – 5x – 5y = – 12
5x – 4y = – 12 ……(2)
समी० (1) को 4 से गुणा करने पर,

x = [latex]\frac{36}{9}[/latex] या x = 4
x का मान समी० (1) में रखने पर,
4 + y = 12
या y = 12 – 4 = 8
अतः अभीष्ट संख्या = 10x + y
= 10 × 4 + 8 = 40 + 8 = 48

प्रश्न 10.
एक दो अंकों की संख्या, उसके अंकों के योग से 4 गुनी है। (UPBoardSolutions.com) यदि संख्या में 18 जोड़ा जाये तो संख्या के अंक आपस में बदल जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दहाई का अंक = x
तथा इकाई का अंक = y
तब अभीष्ट संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, 10x + y = 4(x + y)
10x + y = 4x + 4y
10x + y – 4x – 4y = 0
6x – 3y = 0
3(2x – y) = 0
2x – y = 0 …..(1)
दूसरी शर्त, अंकों को बदलने पर (UPBoardSolutions.com) प्राप्त संख्या = 10 y + x
10x + y + 18 = 10 y + x
10x + y – 10y – x = – 18
9x – 9y = – 18
9(x – y) = – 18
x – y = [latex]-\frac{18}{9}[/latex]
x – y = – 2 ….(2)
समी० (1) में से समी० (2) घटाने पर,

x का मान समी० (1) में रखने पर,
2 × 2 – y = 0 या 4 – y = 0
– y = – 4 या y = 4
अतः अभीष्ट संख्या = 10x + y
= 10 × 2 + 4 = 20 + 4 = 24

प्रश्न 11.
दो अंकों से बनी एक संख्या तथा उसके अंकों को (UPBoardSolutions.com) बदलकर बनी संख्या का योग 66 है। यदि दोनों अंकों का अन्तर 2 है तो संख्या ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना दहाई का अंक = x
तथा इकाई का अंक = y
मूल संख्या = 10x + y
तथा अंकों को बदलने पर प्राप्त संख्या = 10 y + x
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, 10x + y + 10y + x = 66
11x + 11y = 66
11(x + y) = 66
x + y = [latex]\frac{66}{11}[/latex]
x + y = 6 ……..(1)
दूसरी शर्त, x – y = 2 ……(2)
समी० (1) व (2) को जोड़ने पर,

x का मान समी० (1) में रखने पर,
4 + y = 6
या y = 6 – 4 ⇒ y = 2
अतः अभीष्ट संख्या = 10x + y
= 10 × 4 + 2
= 40 + 2 = 42

प्रश्न 12.
एक दो अंकों से बनी संख्या उसके अंकों के योग से चार (UPBoardSolutions.com) गुनी तथा अंकों की गुणा से दोगुनी है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दहाई का अंक = x
तथा इकाई का अंक = y
तब मूल संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, 10x + y = 4x(x + y)
10x + y = 4x + 4y
10x + y – 4x – 4y = 0
6x – 3y = 0
3(2x – y) = 0
2x – y = 0 ……….(1)
दूसरी शर्त, 10x + y = 2xy ……(2)
समी० (1) व (2) को जोड़ने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
2x – 6 = 0 या 2x = 6
x = [latex]\frac{6}{2}[/latex] या x = 3
अतः
मूल संख्या = 10x + y
= 10 × 3 + 6 = 30 + 6 = 36

(C) भिन्नों पर आधारित

प्रश्न 13.
एक भिन्न के अंश को 3 से गुणा करने तथा हर में से 3 घटाने पर वह [latex]\frac{18}{11}[/latex] होती है। लेकिन यदि अंश में 8 जोड़ा जाये तथा हर को 2 गुना किया जाये तो वह [latex]\frac{2}{3}[/latex] हो जाती है। (UPBoardSolutions.com) भिन्न ज्ञात कीजिए।
हलः
माना भिन्न का अंश = x तथा हर = y
तब अभीष्ट भिन्न = [latex]\frac{x}{y}[/latex]
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, [latex]\frac{3 x}{y-3}=\frac{18}{11}[/latex]
3x = 18y – 54
33x = 18y – 54 ………..(1)
33x – 18y = – 54
दूसरी शर्त, [latex]\frac{x+8}{2 y}=\frac{2}{5}[/latex]
5x + 40 = 4y
5x – 4y = – 40
समी० (1) को 2 से तथा समी० (2) को 9 से गुणा करने पर,

x = [latex]\frac{252}{21}[/latex] = 12
x का मान समी० (2) में रखने पर,
5 × 12 – 4y = – 40
60 – 4y = – 40 या – 4y = – 40 – 60
– 4y = – 100 या y = [latex]\frac{100}{2}[/latex] = 25
अतः अभीष्ट भिन्न = [latex]\frac{x}{y}=\frac{12}{25}[/latex]

प्रश्न 14.
एक भिन्न के अंश व हर में यदि 2 जोड़ा जाये (UPBoardSolutions.com) तो वह [latex]\frac{9}{11}[/latex] हो जाती है। लेकिन यदि भिन्न के अंश व हर में 3 जोड़ा जाये तो यह [latex]\frac{5}{6}[/latex] हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना भिन्न का अंश = x तथा हर = y
तब अभीष्ट भिन्न = [latex]\frac{x}{y}[/latex]
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, [latex]\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}[/latex]
11 (x + 2) = 9 (y + 2)
11x + 22 = 9y + 18
11x – 9y + 22 – 18 = 0
11x – 9y + 4 = 0
11x – 9y = – 4 ………(1)
दूसरी शर्त, [latex]\frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}[/latex]
6 (x + 3) = 5(y + 3)
6x + 18 = 5y + 15
6x – 5y + 18 – 15 = 0
6x – 5y + 3 = 0
6x – 5y = – 3 ………(2)
समी० (1) को 5 से तथा समी० (2) को 9 से गुणा करने पर,

x का मान समी० (2) में रखने पर,
6 × 7 – 5y = – 3
42 – 5y = – 3
– 5y = – 3 – 42
या – 5y = – 45
y = [latex]\frac{45}{5}[/latex] ⇒ y = 9
अतः अभीष्ट भिन्न = [latex]\frac{x}{y}=\frac{7}{9}[/latex]

प्रश्न 15.
एक भिन्न के अंश व हर का योग अंश के दोगुने से 4 अधिक है। (UPBoardSolutions.com) यदि अंश व हर में 3 जोड़ा जाता है तो वे 2 : 3 के अनुपात में होते हैं। भिन्न ज्ञात कीजिए।
हलः
माना अभीष्ट भिन्न =
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, x + y = 2x + 4
x + y – 2x = 4
-x + y = 4 …….(1)
दूसरी शर्त, [latex]\frac{x+3}{y+3}=\frac{2}{3}[/latex]
3x + 9 = 2y + 6 या 3x – 2y = 6 – 9
3x – 2y = – 3
समी० (1) को 3 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
– x + 9 = 4 या – x = 4 – 9 = – 5
x = 5
अतः अभीष्ट भिन्न = [latex]\frac{x}{y}=\frac{5}{9}[/latex]

प्रश्न 16.
एक भिन्न के अंश व हर का योग 18 है। यदि हर में  (UPBoardSolutions.com) जोड़ा जाये तो वह [latex]\frac{1}{3}[/latex] हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
हलः
माना अभीष्ट भिन्न =
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, x + y = 18 …………(10
दूसरी शर्त, [latex]\frac{x}{y+2}=\frac{1}{3}[/latex]
3x = y + 2
3x – y = 2 ………..(2)
समी० (1) व समी० (2) को जोड़ने पर,

x का मान समी० (1) में रखने पर,
5 + y = 18
या y = 18 – 5
y = 13
अतः अभीष्ट भिन्न = [latex]\frac{x}{y}=\frac{5}{13}[/latex]

प्रश्न 17.
एक भिन्न के अंश व हर का योग उसके हर के दोगुने से 3 कम है। यदि (UPBoardSolutions.com) अंश व हर में 1 घटा दिया जाये तो उसका अंश हर का आधा हो जाता है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
हलः
माना भिन्न का अंश = x तथा हर = y
तब अभीष्ट भिन्न = [latex]\frac{x}{y}[/latex]
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, x + y = 2y – 3
x + y – 2y = – 3
या x – y = – 3 …..(1)
दूसरी शर्त, (x – 1) = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × (y – 1)
2x – 2 = y – 1
या 2x – y = – 1 + 2

y का मान समी० (1) में रखने पर,
4 – y = – 3
या – y = – 3 – 4 = – 7
y = 7
अतः अभीष्ट भिन्न = x = [latex]\frac{x}{y}=\frac{4}{7}[/latex]

(D) आयु पर आधारित

प्रश्न 18.
पिता की उम्र तथा उसके बेटे की उम्र के दोगुने का योग 70 है। यदि पिता की (UPBoardSolutions.com) उम्र का दोगुना पुत्र की उम्र में जोड़ा जाये तो वह 95 हो जाती है। पिता व पुत्र की उम्र ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पिता की उम्र = x वर्ष तथा पुत्र की उम्र = y
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, x + 2y = 70 …….(1)
दूसरी शर्त, 2x + y = 95
समी० (1) को 2 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
x + 2 × 15 = 70 या x + 30 = 70
x = 70 – 30 = 40
अतः पिता की उम्र = 40 वर्ष तथा पुत्र की उम्र = 15 वर्ष

प्रश्न 19.
10 वर्ष बाद, A की आयु B से दोगुनी है तथा 5 वर्ष पहले, A की उम्र, B की उम्र से 3 गुनी थी। A व B की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, A की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा B की वर्तमान आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार, प्रथम शर्त, x + 10 = 2 × (y + 10)
x + 10 = 2y + 20
x – 2y = 20 – 10
x – 2y = 10 ….(1)
दूसरी शर्त, x – 5 = 3 × (y – 5)
x – 3y = – 15 + 5

y का मान समी० (1) में रखने पर,
x – 2 × 20 = 10
या x – 40 = 10
x = 10 + 40 या x = 50
अतः A की आयु = 50 वर्ष तथा B की आयु = 20 वर्ष

प्रश्न 20.
पिता की आयु, उसके दो बच्चों की आयु से 3 गुना है। 5 वर्ष बाद उसकी (UPBoardSolutions.com) आयु, उसके बच्चों की आयु के योग की दोगुनी होगी। पिता की आयु ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पिता की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा दो बच्चों की आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, x = 3y
x – 3y = 0 ……….(1)
दूसरी शर्त, (x + 5) = 2 × (y + 10)
x + 5 = 2y + 20
या x – 2y = 20 – 5

y का मान समी० (1) में रखने पर,
x – 3 × 15 = 0
या x – 45 = 0 ⇒ x = 45
अतः पिता की उम्र = 45 वर्ष

प्रश्न 21.
दो मित्रों A व B की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है। A के पिता D की आयु (UPBoardSolutions.com) A से दोगुनी है तथा B की आयु उसकी बहन C से दोगुनी है। C व D की आयु में अन्तर 30 वर्ष का है। A व B की आयु ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना A की आयु = x वर्ष तथा C आयु = y वर्ष
तब D की आयु = 2x वर्ष तथा B की आयु = 2y वर्ष
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, 2y – x = 3
या – x + 2y = 3 …..(1)
दूसरी शर्त, 2x – y = 30 ……..(2)
समी० (1) को 2 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
– x + 2 × 12 = 3
या – x + 24 = 3
या – x = 3 – 24 = – 21
x = 21
अतः A की आयु = 21 वर्ष, B की आयु 2y = 2 × 12 = 24 वर्ष

प्रश्न 22.
6 वर्ष बाद, एक व्यक्ति की आयु उसके बेटे की आयु की तीन गुनी (UPBoardSolutions.com) होगी। तीन वर्ष पहले वह अपने पुत्र की आयु से 9 गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हलः
माना व्यक्ति की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, x + 6 = 3 × (y + 6)
x + 6 = 3y + 18
x – 3y = 18 – 6
x – 3y = 12
दूसरी शर्त, x – 3 = 9 × (y – 3)
x – 3 = 9y – 27
x – 9y = – 27 + 3

y का मान समी० (1) में रखने पर,
x – 3 × 6 = 12
या x – 18 = 12
x = 12 + 18 या x = 30
अतः पिता की आयु = 30 वर्ष तथा पुत्र की आयु = 6 वर्ष

(E) दूरी एवं चाल पर आधारित

प्रश्न 23.
एक हाइवे के दो बिन्दुओं A व B के बीच 90 किमी की दूरी है। एक (UPBoardSolutions.com) कार बिन्दु A से तथा दूसरी बिन्दु B से समान समय पर चलना प्रारम्भ करती है। एक ही दिशा में चलने पर वे 9 घण्टे बाद मिलती हैं तथा विपरीत दिशा में चलने पर वे [latex]\frac{9}{7}[/latex] घण्टे बाद मिलती हैं। उनकी गति ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पहली कार की गति = x किमी/घण्टा
तथा दूसरी कार की गति = y किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार, दो बिन्दुओं A व B के बीच की दूरी = 90 किमी
पहली शर्त, एक ही दिशा में चलने पर कारों की गति = (x – y) किमी/घण्टा
तथा समय = 9 घण्टे

x का मान समी० (2) में रखने पर,
40 + y = 70
या y = 70 – 40 = 30
अतः पहली कार की गति = 40 किमी/घण्टा
तथा दूसरी कार की गति = 30 किमी/घण्टा

प्रश्न 24.
एक हाइवे पर दो बिन्दु A व B, 70 किमी० की दूरी पर हैं। एक (UPBoardSolutions.com) कार बिन्दु A से तथा दूसरी कार बिन्दु B से एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करती है। यदि वे एक ही दिशा में चलती हैं तो वे 7 घण्टे बाद मिलती है और विपरीत दिशा में चलने पर एक घण्टे बाद मिलती हैं। दोनों कार की गति ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पहली कार की गति = x किमी/घण्टा
तथा दूसरी कार की गति = y किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार, दो बिन्दुओं A व B के बीच की दूरी = 70 किमी
पहली शर्त, एक ही दिशा में चलने पर कारों की गति = (x – y) किमी/घण्टा
तथा समय = 7 घण्टे

या x – y = 10
दूसरी शर्त, विपरीत दिशा में चलने पर कारों की गति = (x + y)
किमी/घण्टा तथा समय = 1 घण्टा

x का मान समी० (2) में रखने पर,
40 + y = 70
y = 70 – 40
या y = 30
अत: पहली कार की गति = 40 किमी/घण्टा
तथा दूसरी कार की गति = 30 किमी/घण्टा

प्रश्न 25.
एक हाइवे पर A व B दो स्थान 80 किमी की दूरी पर हैं। एक कार बिन्दु A से तथा दूसरी कार बिन्दु B से एक ही समय पर चलना शुरू करती हैं। यदि वे एक ही दिशा में चलती हैं तो वे 8 घण्टे पश्चात् तथा विपरीत दिशा में चलने पर एक घण्टा 20 मिनट में मिलती (UPBoardSolutions.com) हैं। कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पहली कार की चाल = x किमी/घण्टा
तथा दूसरी कार की चाल = y किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार, स्थान A तथा B के बीच की दूरी = 80 किमी/घण्टा
पहली शर्त, एक ही दिशा में कारों की चाल = (x – y) किमी/घण्टा
तथा समय = 8 घण्टे


x का मान समी० (2) में रखने पर,
35 + y = 60 या y = 60 – 35 = 25
अतः पहली कार की चाल = 35 किमी/घण्टा
तथा दूसरी कार की चाल = 25 किमी/घण्टा

प्रश्न 26.
एक हाइवे पर दो स्थान A व B की दूरी 160 किमी है। एक कार A से (UPBoardSolutions.com) तथा दूसरी B से एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करती हैं। एक ही दिशा में चलने पर वे 8 घण्टे बाद तथा विपरीत दिशा में चलने पर 2 घण्टे बाद मिलती हैं। कारों की चाल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना पहली कार की चाल = x किमी/घण्टा
तथा दूसरी कार की चाल = y किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार, दो स्थान A तथा B के बीच की दूरी = 160 किमी/घण्टा
पहली शर्त, एक ही दिशा में कारों की चाल = (x – y) किमी/घण्टा
तथा समय = 8 घण्टे

x का मान समी० (2) में रखने पर,
50 + y = 80
y = 80 – 50 ⇒ y = 30
अतः पहली कार की चाल = 50 किमी/घण्टा
तथा दूसरी कार की चाल = 30 किमी/घण्टा

प्रश्न 27.
एक नाव 7 घण्टे में धारा के विपरीत 32 किमी तथा धारा की दिशा में (UPBoardSolutions.com) 36 किमी चलती है और यह नाव धारा के प्रतिकूल 40 किमी तथा धारा की दिशा में 60 किमी समान समय में चलती है। शांत जल में नाव की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हलः
माना नाव की चाल = x किमी/घण्टा
तथा धारा की चाल = y किमी/घण्टा
तब धारा की दिशा में नाव की चाल = (x + y) किमी/घण्टा
तथा धारा की विपरीत दिशा में नाव की चाल = (x – y) किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार,

x का मान समी० (5) में रखने पर,
10 + y = 12
या y = 12 – 10 = 2
अतः नाव की चाल = 10 किमी/घण्टा
तथा धारा की चाल = 2 किमी/घण्टा

प्रश्न 28.
एक नाव 6 घण्टे में धारा की दिशा में 24 किमी तथा विपरीत दिशा (UPBoardSolutions.com) में 16 किमी चलती है तथा वह विपरीत दिशा में 12 किमी तथा धारा की दिशा में 36 किमी उसी समय में चलती है। शांत जल में नाव की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हलः
माना नाव की चाल = x किमी/घण्टा
तथा धारा की चाल = y किमी/घण्टा
तब धारा की दिशा में नाव की चाल = (x + y) किमी/घण्टा
तथा धारा की विपरीत दिशा में नाव की चाल = (x – y) किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार,

x का मान समी० (6) में रखने पर,
8 + y = 12
या y = 12 – 8 ⇒ y = 4
अतः नाव की चाल = 8 किमी/घण्टा तथा (UPBoardSolutions.com) धारा की चाल = 4 किमी/घण्टा

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.2 द्विघात समीकरण

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए
प्रश्न 1.
x⁴ – 8x² – 9 = 0
हलः
दिया हुआ समीकरण
x⁴ – 8x² – 9 = 0 …(1)
x² = y समीकरण (1) में रखने पर
y² – 8y – 9 = 0
⇒ y² – 9y + y – 9 = 0
⇒ y(y – 9) + 1(y – 9) = 0
⇒ (y – 9)(y + 1) = 0
⇒ y = 9, – 1
अब y = 9 ⇒ x² = 9
⇒ x = ±3
तथा y = – 1 = i²
⇒ x² = i²
⇒ x = ±i
अतः समीकरण के (UPBoardSolutions.com) हल = (±3, ±i)

प्रश्न 2.
4x⁴ – 5x² + 1 = 0
हलः
दिया गया समीकरण
4x⁴ – 5x² + 1 = 0
4(x²)² – 5x² + 1 = 0 …(1)
x² = y, समीकरण (1) में रखने पर
4y² – 5y + 1 = 0
⇒ 4y² – 4y – y + 1 = 0
⇒ 4y(y – 1) – 1(y – 1) = 0

प्रश्न 3.
[latex]\left[\frac{\boldsymbol{x} – \boldsymbol{a}}{\boldsymbol{x} + \boldsymbol{a}}\right]^{2} – 5\left[\frac{\boldsymbol{x} – \boldsymbol{a}}{\boldsymbol{x} + \boldsymbol{a}}\right][/latex] + 6 = 0 (UPBoardSolutions.com)
हलः
दिया गया समीकरण
[latex]\left[\frac{\boldsymbol{x} – \boldsymbol{a}}{\boldsymbol{x} + \boldsymbol{a}}\right]^{2} – 5\left[\frac{\boldsymbol{x} – \boldsymbol{a}}{\boldsymbol{x} + \boldsymbol{a}}\right][/latex] + 6 = 0
समीकरण (1) में [latex]\frac{x – a}{x + a}[/latex] = y रखने पर
y² – 5y + 6 = 0
⇒ y² – 2y – 3y + 6 = 0
⇒ y(y – 2) – 3(y – 2) = 0
⇒ (y – 2) (y – 3) = 0
⇒ y = 2, 3
जब y = 2 ⇒ [latex]\frac{x – a}{x + a}[/latex] = 2
x – a = 2(x + a)
2x + 2a = x – a
2x – x = – a – 2a = – 3a
x = – 3a

जब y = 3 ⇒ [latex]\frac{x – a}{x + a}[/latex] = 3
x – a = 3(x + a)
3x + 3a = x – a
3x – x = – a – 3a
2x = – 4a
x = – 2a
अतः समीकरण के हल क्रमशः – 2a, – 3a हैं।

प्रश्न 4.
x ^{– 2} – 12 = – x ^{– 1}
हलः

∴ दिया गया समीकरण y ² + y – 12 = 0
y² + 4y – 3y – 12 = 0
y(y + 4) – 3(y + 4) = 0
(y – 3)(y + 4) = 0
यदि y – 3 = 0, तब y = 3
और यदि y + 4 = 0, तब y = – 4
y = 3 लेने पर, [latex]\frac{1}{x}[/latex] = 3
x = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
y = – 4 लेने पर, [latex]\frac{1}{x}[/latex] = – 4
x = [latex] – \frac{1}{4}[/latex]

प्रश्न 5.
(x² – 3x + 3)² – (x – 1)(x – 2) = 7
हलः
दिया गया समीकरण (UPBoardSolutions.com)
(x² – 3x + 3)² – (x – 1)(x – 2) = 7
(x² – 3x + 2 + 1)² – (x² – 3x + 2) – 7 = 0 …(1)
समीकरण (1) में x² – 3x + 2 = y रखने पर
(y + 1)² – y – 7 = 0
y² + 1 + 2y – y – 7 = 0
y² + y – 6 = 0
y² + 3y – 2y – 6 = 0
y(y + 3) – 2(y + 3) = 0
(y – 2)(y + 3) = 0
y = 2, – 3
जब y = 2 ⇒ x² – 3x + 2 = 2
x² – 3x = 0
x(x – 3) = 0
x= 0, 3
जब y = – 3 ⇒ x² – 3x + 2 = – 3
x² – 3x + 2 + 3 = 0
x² – 3x + 5 = 0

प्रश्न 6.
(x² – 5x)² – 30(x² – 5x) – 216 = 0
हलः
दिया गया समीकरण
(x² – 5x)² – 30(x² – 5x) – 216 = 0 …(1)
समीकरण (1) में x² – 5x = y रखने पर
y² – 30y – 216 = 0
y² – 36y + 6y – 216 = 0
y(y – 36) + 6(y – 36) = 0
(y + 6)(y – 36) = 0
y = – 6, 36
जब y = – 6 ⇒ x² – 5x = – 6
x² – 5x + 6 = 0
x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0
(x – 2)(x – 3) = 0
x = 2, 3
जब y = 36 ⇒ x² – 5x = 36
x² – 5x – 36 = 0
x² – 9x + 4x – 36 = 0
x(x – 9) + 4(x – 9) = 0
(x + 4)(x – 9) = 0
x = – 4, 9

प्रश्न 7.
(x² – 5x + 7)² – (x – 2)(x – 3) = 1
हलः
दिया गया (UPBoardSolutions.com) समीकरण
(x² – 5x + 7)² – (x – 2)(x – 3) = 1
{(x² – 5x + 6) + 1}² – (x² – 5x + 6) = 1 …(1)
समीकरण (1) में x² – 5x + 6 = y रखने पर
(y + 1)² – y = 1
y² + 2y + 1 – y – 1 = 0
y² + y = 0
y(y + 1) = 0
y = 0, – 1
जब y = 0 ⇒ x² – 5x + 6 = 0
x² – 2x – 3x + 6 = 0
x(x – 2) – 3(x – 2) = 0
x = 2, 3
जब y = – 1 ⇒ x² – 5x + 6 = – 1
x² – 5x + 7 = 0

प्रश्न 8.
12x⁴ – 56x³ + 89x² – 56x + 12 = 0
हलः
दिया गया समीकरण
12x⁴ – 56x³ + 89x² – 56x + 12 = 0
दोनों पक्षों में x² से भाग करने पर,

x² + [latex]\frac{1}{x^{2}}[/latex] + 2 = y²
x² + [latex]\frac{1}{x^{2}}[/latex] = y² – 2
समीकरण (1) में x² + (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac{1}{x^{2}}[/latex] = y² – 2 तथा x + [latex]\frac{1}{x}[/latex] = y
12(y² – 2) – 56y + 89 = 0
12y² – 24 – 56y + 89 = 0
12y² – 56y + 65 = 0

2(x² + 1) = 5x
2x² – 5x + 2 = 0
2x² – x – 4x + 2 = 0
x(2x – 1) – 2(2x – 1) = 0
(x – 2)(2x – 1) = 0

6(x² + 1) = 13x
6x² – 13x + 6 = 0
6x² – 9x – 4x + (UPBoardSolutions.com) 6 = 0
3x(2x – 3) – 2(2x – 3) = 0
(3x – 2)(2x – 3) = 0
x = [latex]\frac{2}{3}, \frac{3}{2}[/latex]

प्रश्न 9.

हलः

2(y² + 1) = 5y
2y² – 5y + 2 = 0
2y² – 4y – y + (UPBoardSolutions.com) 2 = 0
2y(y – 2) – 1(y – 2) = 0
(y – 2)(2y – 1) = 0
जब y – 2 = 0 तब जब y = 2
जब 2y – 1 = 0 तब y = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
y = 2 लेने पर, [latex]\frac{3 x+1}{x+1}[/latex] = 2
3x + 1 = 2(x + 1)
3x + 1 = 2x + 2
3x – 2x = 2 – 1
x = 1
y = [latex]\frac{1}{2}[/latex] लेने पर, [latex]\frac{3 x+1}{x+1}=\frac{1}{2}[/latex]
2(3x + 1) = x + 1
6x + 2 = x + 1
6x – x = 1 – 2
5x = -1
x = [latex]-\frac{1}{5}[/latex]

प्रश्न 10.

हलः

6(y² + 1) = 13y
6y² – 13y + 6 = 0
6y² – 4y – 9y + 6 = 0
2y(3y – 2) – 3(3y – 2) (UPBoardSolutions.com) = 0
(2y – 3)(3y – 2) = 0
जब 2y – 3 = 0 तब y = [latex]\frac{3}{2}[/latex]
जब 3y – 2 = 0 तब y = [latex]\frac{2}{3}[/latex]
y = [latex]\frac{3}{2}[/latex] लेने पर, [latex]\frac{x}{1+x}=\frac{3}{2}[/latex]
3(1 + x) = 2x
3 + 3x = 2x
3x – 2x = -3
x = – 3
y = [latex]\frac{2}{3}[/latex] लेने पर, [latex]\frac{x}{1+x}=\frac{2}{3}[/latex]
3x = 2(1 + x)
3x = 2 + 2x
3x – 2x = 2
x = 2

प्रश्न 11.
[latex]\frac{4 x-1}{4 x+1}+\frac{4 x+1}{4 x-1}=\frac{10}{3}[/latex]
हलः


3(y² + 1) = 10y
3y² – 10y + 3 = 0
3y² – 9y – y + 3 = 0
3y(y – 3) – 1(y – 3) = 0
(y – 3)(3y – 1) = 0
जब y – 3 = 0, तब y = 3
जब 3y – 1 = 0, तब y = 1/3 (UPBoardSolutions.com)
y = 3 लेने पर, [latex]\frac{4 x-1}{4 x+1}=\frac{3}{1}[/latex]
3(4x + 1)= 4x – 1
12x + 3 = 4x – 1
12x – 4x = – 1 – 3
8x = – 4
x = [latex]-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}[/latex]
y = [latex]\frac{1}{3}[/latex] लेने पर, [latex]\frac{4 x-1}{4 x+1}=\frac{1}{3}[/latex]
⇒ 3(4x – 1) = 4x + 1
12x – 3 = 4x + 1
12x – 4x = 1 + 3
8x = 4
⇒ x = [latex]\frac{4}{8}=\frac{1}{2}[/latex]
अतः x = [latex]\pm \frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 12.
5^1+x + 5^1-x = 26
हलः
दिया गया समीकरण 5·5^x + 5·5^-x = 26
5(5^x + 5^-x) = 26
5^x + 5^-x = [latex]\frac{26}{5}[/latex]
माना 5^x = y तब 5^-x = [latex]\frac{1}{y}[/latex]
∴ दिया गया समीकरण y + [latex]\frac{1}{y}[/latex] = [latex]\frac{26}{5}[/latex]
[latex]\frac{y^{2}+1}{y}=\frac{26}{5}[/latex]
5(y² + 1) = 26y
5y² + 5 – 26y = 0
5y² – 26y + 5 = 0
5y² – 25y – y + 5 = 0
5y(y – 5) – 1(y – 5) = 0
(y – 5)(5y – 1) = 0
जब y – 5 = 0 तब y = 5
तथा जब 5y – 1 = 0 तब y = [latex]\frac{1}{5}[/latex]
y = 5 लेने पर, 5^x = 5 = 5¹
x = 1
y = [latex]\frac{1}{5}[/latex] लेने पर, 5^x = 5^-1
x = -1

प्रश्न 13.
5^x+1 + 5^2-x = 5³ + 1
हलः
दिया गया समीकरण
5^x+1 + 5^2-x = 5³ + 1
5^x ·5 + [latex]\frac{5^{2}}{5^{x}}[/latex] = 5³ + 1
5·5^x · 5^x + 5² = 5³ · 5^x + 5^x
माना 5^x = y 5y · y + 5² = 125y + y
5y² – 126y + 5² = 0 (UPBoardSolutions.com)
5y² – 126y + 25 = 0
5y² – 1y – 125y + 25 = 0
y(5y – 1) – 25(5y – 1) = 0
(y – 25)(5y – 1) = 0
y = 25 या y = [latex]\frac{1}{5}[/latex]
यदि y = 25, तब 5^x = y = 25
5^x = 5²
तब x = 2 (घातों की तुलना करने पर)
तथा यदि y = [latex]\frac{1}{5}[/latex] = 5^-1
तब 5^x = y
5^x = 5^-1
x = – 1 (घातों की तुलना करने पर)
अतः x = – 1, 2

प्रश्न 14.
3^x + 3^-x – 2 = 0
हलः

y² + 1 – 2y = 0
(y – 1)² = 0
y = 1, 1
y = 1 लेने पर, 3^x = 1
3^x = 3⁰
x = 0

प्रश्न 15.
2^2x+8 – 8·2^x+2 + 1 = 0
हलः
दिया गया (UPBoardSolutions.com) समीकरण
2^2x+4-4 – 8·2^x+2+1 = 0
2^2x+4 · 2⁴ – 8·2^x+2 + 1 = 0
16·2^2(x+2) – 8·2^x+2 + 1 = 0
माना 2^x+2 = y
∴ दिया गया समीकरण
16y^x – 8y + 1 = 0
16y^x – 4y – 4y + 1 = 0
4y(4y – 1) – 1(4y – 1) = 0
(4y – 1)(4y – 1) = 0

दोनों पक्षों में घातों की तुलना करने पर
x + 2 = – 2
x = – 2 – 2
x = – 4

प्रश्न 16.

हलः

y² + 4 = 5y
y² – 5y + 4 = 0
y² – y – 4y + 4 = 0
y(y – 1) – 4(y – 1) = 0
(y – 1)(y – 4) = 0
जब y – 1 = 0 तब y = 1
जब y – 4 = 0 तब y = 4
y = 1 लेने पर, [latex]\sqrt{3 x^{2}+1}[/latex] = 1
3x² + 1 = 1
3x² = 0
x² = 0 ⇒ x = 0, 0
y = 4 लेने पर, [latex]\sqrt{3 x^{2}+1}[/latex] = 4 ⇒ 3x² + 1 = 16
3x² = 16 – 1 = 15
⇒ 3x² = 15
⇒ x² = ±[latex] \sqrt{{5}} [/latex]
⇒ x = + 15

प्रश्न 17.
2^x = 4^2x-1
हलः
दिया गया समीकरण (UPBoardSolutions.com) 2² = 4^2x-1
2^x = [latex]\frac{4^{2 x}}{4}[/latex]
4·2² = 4^2x
4·2^x = (2²)^2x
4·2^x = (2^2x)²
4·2^x = 2^2x2^2x = (2^x)²(2^x)²
माना 2^x = y तब, 4y = y^x·y^x
4y = y⁴
(4y – y⁴) = 0
y(4 – y³) = 0
y = 0 या 4 – y³ = 0
4 = y³
∴ y³ = 4
y = 4^1/3 = (2²)^1/3
यदि y = 0 तब 2^x = 0, x = 0 (अमान्य)
y = 4^1/3 तब 2^x = 4^1/3
2^x = 2^2/3
दोनों ओर घातों की तुलना करने पर
x = [latex]\frac{2}{3}[/latex]

प्रश्न 18.

हलः
दिया गया समीकरण

8y² – 1 = 2y
8y² – 2y – 1 = 0
8y² – 4y + 2y – 1 = 0
4y(2y – 1) + 1(2y – 1) = 0
(2y – 1)(4y + 1) = 0
जब 2y – 1 = 0 तब y = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
जब 4y + 1 = 0 तब y = [latex]-\frac{1}{4}[/latex]

4x = x + 3
4x – x = 3
3x = 3
x = 1

16x = x + 3
16x – x = 3
15x = 3 ⇒ x = [latex]\frac{3}{15}=\frac{1}{5}[/latex]
परन x= [latex]\frac{1}{5}[/latex] समीकरण को सन्तुष्ट नहीं करती है अतः x = 1

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 3.3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को (UPBoardSolutions.com) ब्रज – गुणन विधि द्वारा हल कीजिए।
a₁x + b₁y + 1 = 0
a₂x + b₂y + c₁ = 0

प्रश्न 1.
2x + y – 35 = 0; 3x + 4y – 65 = 0
हलः
समीकरण 2x + y – 35 = 0 ……..(1)
3x + 4y – 65 = 0 …(2)

प्रश्न 2.
x + y = a + b; ax (UPBoardSolutions.com) – by = a² – b²
हलः
x + y = a + b
या x + y – (a + b) = 0 …………..(1)
तथा ax – by = a² – b²
या ax – by – (a² – b²) = 0 ……….(2)


अत: x = a, y = b

प्रश्न 3.
a(x + y) + b(x – y) = a² – ab + b²; a(x + y) – b(x – y)= a² + ab + b²
हलः
a(x + y) + b(x – y) = a² – ab + b²
या a(x + y) + b(x – y) – (UPBoardSolutions.com) (a² – ab + b²) = 0 …….(1)
तथा a(x + y) – b(x – y) = a² + ab + b²
या a(x + y) – b(x – y) – (a² + ab + b²)= 0 ……..(2)

प्रश्न 4.
ax + by = a²; bx + ay = b²
हलः
समीकरण, ax + by = a²
या ax + by – a² = (UPBoardSolutions.com) 0 ……….(1)
तथा bx + ay = b²
या bx + ay – b² = 0 ……(2)

प्रश्न 5.

हलः

प्रश्न 6.
2ax + 3 by = a + 2b; 3ax + 2by = 2a + b
हलः
2ax + 3by = a + 2b (UPBoardSolutions.com)
या 2ax + 3by – (a + 2b) = 0 ………..(1)
तथा 3ax + 2by = 2a + b
या 3ax + 2by – (2a + b) = 0 ………..(2)

प्रश्न 7.

हलः

प्रश्न 8.
6(ax + by) = 3a + 2b; 6(bx – ay) = 3b – 2a
हलः
समीकरण 6(ax + by) (UPBoardSolutions.com) = 3a + 2b
या 6ax + 6by – (3a + 2b) = 0 ………(1)
तथा 6 (bx – ay) = 3b – 2a
या 6bx – 6ay – (3b – 2a) = 0 ………….(2)

प्रश्न 9.
[latex]\frac{a x}{b}-\frac{b y}{a}[/latex] =(UPBoardSolutions.com)  a + b; ax – by = 2ab
हलः

प्रश्न 10.

हलः

प्रश्न 11.
mx – ny = m² + n²; x + y = 2m (UPBoardSolutions.com)
हलः
mx – ny = m² + n²
या mx – ny – (m² + n²) = 0 ………(1)
तथा x + y = 2m
या x + y – 2m = 0 …….(2)

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.1 द्विघात समीकरण

Ex 4.1 Quadratic Equations गुणनखण्ड विधि (Factorization Method)

निम्नलिखित समीकरणों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करें।
प्रश्न 1.
(i) 9x² – 3x – 2 = 0
(ii) 8x² – 22x – 21 = 0
हल:
(i) 9x² – 3x – 2 = 0
9x² – 6x + 3x – 2 = 0
3x(3x – 2) + 1(3x – 2) = (UPBoardSolutions.com) 0
(3x – 2)(3x + 1) = 0
यदि 3x – 2 = 0, तब x = [latex]\frac{2}{3}[/latex]
यदि 3x + 1 = 0, तब x = [latex]-\frac{1}{3}[/latex]
अतः x = [latex]\frac{2}{3}[/latex] व [latex]-\frac{1}{3}[/latex]

(ii) 8x² – 22x – 21 = 0
8x² – 28x + 6x – 21 = 0
4x(2x – 7) + 3(2x – 7) = 0
(2x – 7)(4x + 3) = (UPBoardSolutions.com) 0
यदि 2x – 7 = 0, तब x = [latex]\frac{7}{2}[/latex]
यदि 4x + 3 = 0, तब x = [latex]-\frac{3}{4}[/latex]
अत: x = [latex]\frac{7}{2}[/latex] व [latex]-\frac{3}{4}[/latex]

प्रश्न 2.

हल:

4x² + 6x – x – 3 + 3x + 9 = 0
4x² + 10x + 6 = 0
4x² + 6x + 4x + 6 = 0
2x(2x + 3) + 2(2x + 3) = 0
(2x + 3)(2x + 2) = (UPBoardSolutions.com) 0
यदि 2x + 3 = 0 तब x = [latex]-\frac{3}{2}[/latex]
यदि 2x + 2 = 0 तब x = [latex]-\frac{2}{2}[/latex] = -1
अतः x = [latex]-\frac{3}{2}[/latex] व -1

प्रश्न 3.
4x² – 2(a² + b²)x + a²b² = 0
हलः
4x² – 2(a² + b²)x + a²b² = 0
4x² – 2a²x – 2b²x + a²b² = 0
2x(2x – a²) – b²(2x – a²) = 0
(2x – a²)(2x – b²)
यदि 2x – a² = 0 तब x = [latex]\frac{a^{2}}{2}[/latex]
यदि 2x – b² = 0 तब x = [latex]\frac{b^{2}}{2}[/latex]
अतः x = [latex]\frac{a^{2}}{2}[/latex] व [latex]\frac{b^{2}}{2}[/latex]

प्रश्न 4.
(i) a²b²x² + b²x – a²x – 1 = 0
(ii) x² + [latex]\left(\frac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}+\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}}\right)[/latex]x + 1 = 0
हलः
(i) a²b²x² + b²x – ax – 1 = 0
b²x(a²x + 1) – 1(a²x + 1) = 0
(a²x + 1)(b²x – 1) = 0

प्रश्न 5.
(i) abx² + (b² – ac)x – bc = 0 (UPBoardSolutions.com)
(ii) x² + [latex]\left(\boldsymbol{a}+\frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{a}}\right)[/latex]x + 1 = 0
(iii) [latex]\frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}=\frac{10}{3}[/latex], x ≠ 2, x ≠ 4
(iv) 3x² – 2[latex] \sqrt{{6}} [/latex]x + 2 = 0 (NCERT)
(v) [latex]\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+5}=\frac{6}{7}[/latex], x ≠ 1, -5
(vi) [latex]x+\frac{2}{x}[/latex] = 3, x ≠ 0 (NCERT)
(vii) [latex]\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}[/latex], x ≠ 4, 7 (NCERT)
हलः
(i) abx² + (b² – ac)x – bc = 0
abx² + b²x – acx – bc = 0
bx(ax + b) – c(ax + b) = 0
(ax + b) (bx – c) = 0
ax + b = 0 तथा bx – c = 0
x = [latex]-\frac{b}{a}[/latex], (UPBoardSolutions.com) x = [latex]\frac{c}{b}[/latex]
अतः [latex]-\frac{b}{a}[/latex], व x = [latex]\frac{c}{b}[/latex]

प्रश्न 6.

हलः
(i)

a(x² – cx – bx + bc) + b(x² – cx + ax + ac) – 2c(x² – bx – ax + ab) = 0
ax² – acx – abx + abc + bx² – bcx – abx + abc – 2cx² + 2bcx + 2acx – 2abc = 0
ax² + bx² – 2cx² – 2abx + bcx + acx = 0
x[ax + bx – 2cx – 2ab + bc + ac] = 0
∴ x = 0

8x² – 40x + 48 = 3x² – 8x
8x² – 40x + 48 – 3x² + 8x = 0
5x² – 32x + 48 = 0
5x² – 20 x – 12x + 48 = 0
x(x – 4) – 12(x – 4) = 0
(x – 4)(5x – 12) = 0
(x – 4) = 0 तथा 5x – 12 = 0
x = 4 , x = [latex]\frac{12}{5}[/latex]
अतः x = 4 व [latex]\frac{12}{5}[/latex]

(iii)

5x – 8x – 12 + 6x² + 9x = 0
6x² + 6x – 12 = 0
6(x² + x – 2) = 0
x² + x – = 0
x² + 2x – x – 2 = 0
x(x + 2) – 1(x + 2) = 0
(x + 2)(x – 1) = 0
x + 2 = 0 तथा x – 1 = 0
x = – 2 , x = 1
अतः x = -2 व 1

(iv)

या 16x = 75 – 3x²
या 16x – 75 + 3x² = 0
3x² + 16 x – 75 = 0
या 3x² + 25x – 9x – 75 = 0
या x(3x + 25) – 3(3x + 25) = 0
या (3x + 25)(x – 3) = 0
3x + 25 = 0 तथा x – 3 = 0 (UPBoardSolutions.com)
x = [latex]-\frac{25}{3}[/latex], x = 3
अतः x = [latex]-\frac{25}{3}[/latex], 3

(v)

30x² + 35x – 15 – 19x² + 42x + 15 = 0
11x² + 77x = (UPBoardSolutions.com) 0
11x(x + 7) = 0
11x = 0 तथा x + 7 = 0
x = 0 , x = -1
अतः x = 0, – 7

(vi)

29x² – 29 = 28x² + 4x – 7x – 1
29x² – 29 = 28x² – 3x – 1
29x² – 29 – 28x² + 3x + 1 = 0
x² + 3x – 28 = 0
x² + 7x – 4x – 28 = 0
x(x + 7) – 4(x + 7) = 0
(x + 7)(x – 4) = 0
x + 7 = 0 तथा x – 4 = 0
x = – 7 , x = 4
अतः x = – 7, 4

प्रश्न 7.

हलः

3y² – 11y – 4 = 0
3y² – 12y + y – 4 = 0
3y(y – 4) + 1(y – 4) = 0
(y – 4)(3y + 1) = (UPBoardSolutions.com) 0
y – 4 = 0 तथा 3y + 1 = 0
y = 4 , y = [latex]-\frac{1}{3}[/latex]

10x² – 80x + 150 = 6x² – 42x + 66
10x² – 80x + 150 – 6x² + 42x – 66 = 0
4x² – 38x + 84 = 0
2(2x² – 19x + 42) = 0
2x² – 19x + 42 = 0
2x² – 12x – 7x + 42 = 0
2x(x – 6) – 7(x – 6) = 0
(x – 6)(2x – 7) = 0
x – 6 = 0 तथा 2x – 7 = 0
x = 6 , x = [latex]\frac{7}{2}[/latex]
अत: x = 6, [latex]\frac{7}{2}[/latex]

(iii)

(2a + b + 2x)(bx + 2ax + ab) = 2abx
2abx + 4a²x + 2a²b + b²x + 2abx + ab² + 2bx² + 4ax² + 2abx – 2abx = 0
4ax² + 2bx² + 4a²x + b²x + 4abx + 2a²b + ab² = 0
2x²(2a + b) + x(4a² + b² + 4ab) + ab(2a + b) = 0
2x²(2a + b) + x(2a + b)² + ab(2a + b) = 0
(2a + b)[2x² + x(2a + b) + ab] = 0
2x² + 2ax + bx + ab = 0
2x(x + a) + b(x + a) = 0
(x + a)(2x + b) = 0
x + a = 0 तथा 2x + b = 0
x = – a , x = [latex]-\frac{b}{2}[/latex]
अतः x = -a, [latex]-\frac{b}{2}[/latex]

Ex 4.1 Quadratic Equations पूर्ण वर्ग द्वारा हल (Solution by Completing the Square)

पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि से निम्नलिखित (UPBoardSolutions.com) द्विघात समीकरणों को हल कीजिए

प्रश्न 8.
(i) 2x²2 – 5x + 3 = 0 (NCERT)
(ii) 5x² – 6x – 2 = 0 (NCERT)
(iii) 4x² + 4bx – (a² – b²) = 0
(iv) x² – ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] + 1)x + [latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 0
(v) a²x² – 3abx + 2b² = 0 (NCERT)
हलः
(i) 2x²2 – 5x + 3 = 0
x² का गुणांक = 2 से समीकरण को भाग करने पर,

अब x के गुणांक के आधे का वर्ग करके दोनों पक्षों में जोड़ने पर,

प्रश्न 9.
पूर्ण वर्ग बनाने वाली विधि का प्रयोग करके, (UPBoardSolutions.com) सिद्ध कीजिए कि समीकरण 4x² + 3x + 5 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हैं। (NCERT)
हलः
4x² + 3x + 5 = 0
4 से भाग देने पर,

∵ दायाँ पक्ष ऋणात्मक है। [latex]\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}[/latex], x के किसी भी वास्तविक मान के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
∴. दी गई समीकरण के मूल वास्तविक नहीं है।
यही सिद्ध करना था।

Ex 4.1 Quadratic Equations द्विघात सूत्र के प्रयोग द्वारा (By using the Quadratic Formula)

द्विघात सूत्र का प्रयोग करके निम्नलिखित (UPBoardSolutions.com) समीकरणों को हल कीजिए-

प्रश्न 10.

हलः
(i)

4(x² + 3x + 2) = (3x + 4)(x + 4) (UPBoardSolutions.com)
4x² + 12x + 8 = 3x² + 12x + 4x + 16
4x² + 12x + 8 – 3x² – 12x – 4x – 16 = 0
x² – 4x – 8 = 0
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 1, b = – 4, c = – 8
द्विघात सूत्र (श्रीधराचार्य सूत्र) से,

(ii)
2x² – 2[latex] \sqrt{{2}} [/latex]x + 1 = 0
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 2, b = – 2[latex] \sqrt{{2}} [/latex], c = 1

(iii) [latex] \sqrt{{2}} [/latex]. x² + 7x + 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] = 0
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से (UPBoardSolutions.com) तुलना करने पर,
a = [latex] \sqrt{{2}} [/latex], b = 7, c = 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex]

Ex 4.1 Quadratic Equations विविध प्रश्न (Miscellaneous Problems)

प्रश्न 11.
निम्नलिखित. समीकरणों को गुणनखण्ड (UPBoardSolutions.com) विधि द्वारा हल करें
(i) 2x² + x – 6 = 0 (NCERT)
(ii) 100x² – 20x + 1 = 0 (NCERT)
(iii) 2x² – x + [latex]\frac{1}{8}[/latex] = 0 (NCERT)
हलः
(i)
2x² + x – 6 = 0
2x² + 4x – 3x – 6 = 0
2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
(x + 2)(2x – 3) = 0
x + 2 = 0 तथा 2x – 3 = 0
x = – 2, x = [latex]\frac{3}{2}[/latex]
अतः x= – 2, [latex]\frac{3}{2}[/latex]

(ii) 100x² – 20x + 1 = 0
100x² – (10 + 10)x + 1 = 0
100x² – 10x – 10x + 1 = 0
10x (10x – 1) – 1(10x – 1) = 0
(10x – 1)(10x – 1) = 0
10x – 1 = 0, तथा 10x – 1 = 0
x = [latex]\frac{1}{10}[/latex], x = [latex]\frac{1}{10}[/latex]
अतः x = [latex]\frac{1}{10}[/latex], [latex]\frac{1}{10}[/latex]

⇒ 16x² – 8x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x (4x – 1) – 1(4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1)(4x – 1) = 0
4x – 1 = 0 तथा 4x – 1 = 0
x = [latex]\frac{1}{4}[/latex], x = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
अत: x = [latex]\frac{1}{4}[/latex], [latex]\frac{1}{4}[/latex]

प्रश्न 12.
x के लिए हल कीजिए – 12abx² – (9a² – 8b²)x – 6ab = 0
हलः
12abx² – (9a² – 8b²)x – 6ab = 0
12abx² – 9a²x + 8b²x – 6ab = 0
3ax(4bx – 3a) + 2b (4bx – 3a) = 0
(4bx – 3a) (3ax + 2b) = 0
4bx – 3a = 0 तथा 3ax + 2b = 0
x = [latex]\frac{3a}{4b}[/latex], x = [latex]-\frac{2b}{3a}[/latex]
अतः x [latex]\frac{3a}{4b}[/latex], [latex]-\frac{2b}{3a}[/latex]

प्रश्न 13.
समीकरण 4x² – 2x + [latex]\frac{1}{4}[/latex] = 0 (UPBoardSolutions.com) के मूल, पूर्ण वर्ग बनाने वाली विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

प्रश्न 14.
x के लिए हल कीजिए – 4x² – 4a²x + a⁴ – b⁴ = 0
हलः
4x² – 4a²x + a⁴ – b⁴ = 0
4x² – (2a² + 2b²)x – (2a² – 2b²)x + (a²)² – (b²)² = 0
4x² – 2(a² + b²)x – 2(a² – b²)x + (a + b)(a² – b²)= 0.
2x{2x – (a² + b²)} – (a² – b²){2x – (a² + b²)} = 0
{2x – (a² + b²)} {2x – (a² – b²)} = 0
2x – (a² + b²) = 0 तथा 2x – (a² – b²) = 0
x = [latex]\frac{a^{2}+b^{2}}{2}[/latex], x = [latex]\frac{a^{2}-b^{2}}{2}[/latex]
अत: x = [latex]\frac{a^{2}+b^{2}}{2}[/latex], [latex]\frac{a^{2}-b^{2}}{2}[/latex]

प्रश्न 15.
x के लिए हल कीजिए – 9x² – 9(a + b)x + (2a² + 5ab + 2b²) = 0
हलः
9x² – 9(a + b)x + (2a² + 5ab + 2b²) = 0
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से तुलना करने (UPBoardSolutions.com) पर,
a = 9, b = – 9(a + b), c = 2a² + 5ab + 2b²
द्विघात सूत्र (श्रीधराचार्य सूत्र) से,

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