Class 10

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 3.2 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Ex 3.2 Pair of Linear Equation in Two Variables अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

निम्नलिखित रैखिक समीकरण (UPBoardSolutions.com) निकाय को हल कीजिए –

प्रश्न 1.
31x + 47y = 15, 47x + 31y = 63
हलः
समीकरण
31x + 47y = 15 …..(1)
और 47x + 31y = 63
विलोपन विधि से,
समी० (1) में 17 तथा समी० (2) को 31 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
31x + 47 × ( – 1) = 15
31x – 47 = 15
31x = 15 + 47 (UPBoardSolutions.com)
31x = 62
x = [latex]\frac{62}{31}[/latex] ⇒ x = 2
अत: x = 2, y = – 1

प्रश्न 2.
3x + 4y + 7 = 0, 5x – 7y – 2 = 0
हलः
समीकरण 3x + 4y + 7 = 0
3x + 4y = – 7 ….. (1)
और 5x – 7y – 2 = 0
या 5x – 7y = 2 ….. (2)
विलोपन विधि से, समी० (1) को 5 तथा समी० (2) को 3 से गुणा करने पर,

y = [latex]-\frac{41}{41}[/latex]
⇒ y = – 1
y का मान समी० (1) में (UPBoardSolutions.com) रखने पर,
3x + 4 × ( – 1) = – 7
3x – 4 = – 7
3x = – 7 + 4
3x = – 3
x = [latex]-\frac{3}{3}[/latex]
⇒ x = – 1
अतः x = – 1, y = – 1

प्रश्न 3.

हलः

अतः x = 1, y = 3

प्रश्न 4.
2x + 3y = 18; x – 2y = 2
हलः

y का मान समी० (2) (UPBoardSolutions.com) में रखने पर,
x – 2 × 2 = 2
x – 4 = 2
x = 2 + 4 ⇒ x = 6
अतः x = 6 व y = 2

प्रश्न 5.
3x – 5y – 4 = 0, 9x = 2y + 7
हलः
समीकरण 3x – 5y – 4 = 0
या 3x – 5y = 4 ….(1)
तथा 9x = 2y + 7
या 9x – 2y = 7 …….(2)
समी० (1) को 3 से गुणा करने पर,

प्रश्न 6.
29x – 23y = 110 , 23x – 29y = 98
हल:

x का मान समी० (UPBoardSolutions.com) (1) में रखने पर,
29x – 23y = 110
29 × 3 – 23y = 110
87 – 23y = 110
– 23y = 110 – 87
– 23y = 23
y = – 1
अत: x = 3 तथा y = – 1 दी गई समीकरणों के अभीष्ट हल हैं।

प्रश्न 7.
x + y = 5; 2x – 3y = 4 (NCERT)
हलः

Ex 3.2 Pair of Linear Equation (UPBoardSolutions.com) in Two Variables लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन या विलोपन विधि से हल कीजिए।
प्रश्न 8.
[latex]\frac{4}{x}[/latex] + 3y = 8; [latex]\frac{6}{x}[/latex] – 4y = – 5
हलः

अतः x = 2 व y = 2

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.
3x – [latex]\frac{y+7}{11}[/latex] + 2 (UPBoardSolutions.com) = 10 ; 2y + [latex]\frac{x+11}{7}[/latex] = 10
हलः

x = [latex]\frac{1389}{463}[/latex] = 3
x का मान समी० (2) में रखने पर
3 + 14y = 59
14y = 59 – 3
14y = 56
y = [latex]\frac{56}{14}[/latex] = 4
अतः x = 3, y = 4

प्रश्न 11.

हलः

अतः x = 4, y = 5

प्रश्न 12.

हलः


x का मान समी० (6) में रखने पर
3 × 1 – 2y = 1
– 2y = 1 – 3
– 2y = – 2
2y = 2 या y = 1
अतः x = 1 तथा y =1

प्रश्न 13.
99x + 101y = 499; 101x + (UPBoardSolutions.com) 99y = 501
हलः
99x + 101y = 499 …..(1)
101x + 99y = 501 …(2)
समी० (1) में 101 तथा समी० (2) में 99 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
99x + 202 = 499
99x = 499 – 202 = 297
x = [latex]\frac{297}{99}[/latex] = 3
अतः x = 3, y = 2

प्रश्न 14.

(NCERT)
हल:

प्रश्न 15.

(NCERT)
हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.
2(3x – y) (UPBoardSolutions.com) = 5xy; 2(x + 3y) = 5xy
हलः
समीकरण, 2(3x – y) = 5xy

[latex]\frac{6}{x}[/latex] = 5 – 2 = 3
3x = 6 या x = 2
अतः x = 2, y =1

Ex 3.2 Pair of Linear Equation in Two Variables दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म (UPBoardSolutions.com) को हल कीजिए-

प्रश्न 18.
[latex]\frac{2 x+5 y}{x y}=6 ; \frac{4 x-5 y}{x y}[/latex] = -3 x ≠ 0, y ≠ 0
हलः

अतः x = 1 व y = 2

प्रश्न 19.
[latex]\frac{b x}{a}-\frac{a y}{b}[/latex] + a + b = 0; bx – ay + 2ab = 0
हल:


अतः x = – a, y = b

प्रश्न 20.
[latex]\frac{b x}{a}-\frac{a y}{b}[/latex] (UPBoardSolutions.com) + a² + b² = 0; x + y = 2ab
हल:

x का मान समी० (2) में रखने पर,
ab + y = 2ab
y = 2ab – ab
y = ab
अत: x = ab, y = ab

प्रश्न 21.
2(ax – by) + (a + 4b) = 0; 2(bx + ay) + (b – 4a) = 0
हलः
समीकरण 2(ax – by) + (a + 4b) = 0
या 2ax – 2by = – a – 4b ………(1)
तथा 2(bx + ay) + b – 4a = 0
या 2bx + 2ay = 4a – b
समी० (1) में a तथा समी० (2) में b से गुणा करने पर,

प्रश्न 22.
[latex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}[/latex] = 2; ax – by = a² – b²
हल:


अत: x = 1 व y = 2

प्रश्न 23.
6(ax + by) = 3a + 2b; 6(bx – ay) = 3b – 2a
हलः
समीकरण 6(ax + by) = 3a + 2b
या 6ax + 6by = 3a + 2b …………..(1)
तथा 6(bx – ay) (UPBoardSolutions.com) = 3b – 2a
या 6bx – 6ay = 3b – 2a
समी० (1) में b तथा समी० (2) में a से गुणा करने पर,

6ax = 3a + 2b – 2b
⇒ 6ax = 3a
x = [latex]\frac{3 a}{6 a}[/latex] ⇒ x = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
अत: x = [latex]\frac{1}{2}[/latex] व y = [latex]\frac{1}{3}[/latex]

प्रश्न 24.

हलः

y का मान समी० (1) में (UPBoardSolutions.com) रखने पर,
3x + 2 × 13 = 47
या 3x + 26 = 47
3x = 47 – 26 = 21
x = [latex]\frac{21}{3}[/latex] या x = 7
अत: x = 7, y = 13

प्रश्न 25.
152x – 378y = – 74; – 378x + 152y = – 604 (NCERT)
हलः
समीकरण 152x – 378y = – 74 ……….(1)
तथा – 378x + 152y = – 604 ……(2)
समी० (1) में 378 से तथा समी० (2) में 152 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
152x – 378 × 1 = – 74
152x – 378 = – 74
152x = – 74 + 378
152x = 304
या x = [latex]\frac{304}{152}[/latex]
x = 2
अत: x = 2, y = 1

प्रश्न 26.
[latex]\frac{4}{x}[/latex] (UPBoardSolutions.com) + 5y = 7 ; [latex]\frac{3}{x}[/latex] + 4y = 5
हलः

12 + 5y = 7
5y = 7 – 12
5y = – 5
y = [latex]-\frac{5}{5}[/latex] ⇒ y = – 1
अत: x = [latex]\frac{1}{3}[/latex] व y = – 1

प्रश्न 27.

हलः

प्रश्न 28.

(NCERT)
हलः

प्रश्न 29.
ax + by = c; bx + ay = 1 + c
हलः
ax + by = c …………..(1)
bx + ay = 1 + c …………(2)
समी0 (1) में b से तथा समी० (2) में a से गुणा करने पर,

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 3.5 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Ex 3.5 Pair of Linear Equation in Two Variables अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक (UPBoardSolutions.com) समीकरण निकाय x + 2y = 3; 5x + ky = 15 के अनंततः अनेक हल हैं।
हलः
समीकरण निकाय x + 2y = 3 ……(1)
तथा 5x + ky = 15 …(2)
∵ समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल हैं।

प्रश्न 2.
a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण निकाय 9x – y = 25; 6x – ay = 3 का एक अद्वितीय हल है।
हलः
समीकरण निकाय 9x – y = 2 ….(1)
तथा 6x – 2y = 3 …(2)
∵ समीकरण निकाय एक अद्वितीय हल है

प्रश्न 3.
a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (UPBoardSolutions.com) समीकरण युग्म 10x + 5y = a – 5; 20x + 10y – a = 0 के अनंततः अनेक हल हैं।
हलः
समीकरण युग्म 10x + 5y = a – 5 …(1)
तथा 20x + 10y – a = 0
या 20x + 10 y = a …(2)
∵ समीकरण के अनंततः अनेक हल हैं।

प्रश्न 4.
यदि एक समीकरण युग्म संगत है तब रेखाएँ भी संगत होंगी या नहीं?
हलः
यदि एक समीकरण युग्म संगत है तब रेखाएँ भी संगत होंगी।

प्रश्न 5.
किस प्रकार के रैखिक समीकरण युग्म का आलेखीय हल नहीं होता।
हलः
यदि दोनों रेखायें समान्तर होंगी।

प्रश्न 6.
दो रैखिक समीकरणों का ग्राफ समानांतर (UPBoardSolutions.com) रेखाएँ हैं, तब रैखिक समीकरण युग्म के कितने हल होंगे?
हलः
कोई हल नहीं।

प्रश्न 7.
एक रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है। इसका आलेखीय रूप कितने बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है?
हलः
एक बिन्दु पर।

प्रश्न 8.
यदि दो रैखिक समीकरणों के आलेखीय रूप में प्रतिच्छेदक रेखाएँ हैं, तब रैखिक समीकरण युग्म के कितने हल हैं?
हलः
रैखिक समीकरण युग्म का 1 हल है।

प्रश्न 9.
यदि [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}[/latex] तब समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के कितने हल हैं?
हलः
यदि [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}[/latex]
तब समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

प्रश्न 10.
यदि [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}[/latex] तब समीकरण निकाय a₁x + b₁y + q = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के कितने हल हैं?
हलः
यदि [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}[/latex]
तब समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल है।

Ex 3.5 Pair of Linear Equation in Two Variables लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निम्नलिखित (UPBoardSolutions.com) समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
3x – y – 5 = 0; 6x – 2y – k = 0
हलः
समीकरण 3x – y – 5 = 0 …….(1)
तथा 6x – 2y – k = 0 ……….(2)
∵ समीकरण का कोई हल नहीं है

प्रश्न 12.
निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए-
(i) 2x – y = 4
3y – x = 3
(ii) x – 2y = – 3
2x + y = 4
(iii) x – y + 1 = 0
4x + 3y = 24
(iv) 3x – 2y – 1 = 0
2x – 3y + 6 = 0
(v) 3x – 5y = 19
3y – 7x + 1 = 0
(vi) 2x – 3y =1
3x – 4y = 1
हलः
(i) समीकरण 2x – y = 4 ………………(1)
तथा 3y – x = 3 …………(2)
समी० (1) से, 2x – 4 = y या y = 2x – 4

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखायें (UPBoardSolutions.com) बिन्दु (3, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः x = 3, y = 2

(ii) समीकरण x – 2y = -3 ……..(1)
तथा 2x + y = 4 ……..(2)
समी० (1) से,
x – 2y = – 3
⇒ x + 3 = 2y
⇒ 2y = x + 3
⇒ y = [latex]\frac{x+3}{2}[/latex]

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखायें बिन्दु (1, 2) पर काटती हैं।
अतः x = 1, y = 2

(iii) समीकरण (UPBoardSolutions.com) x – y + 1 = 0 …….(1)
तथा 4x + 3y = 24 …………..(2)
समी० (1) से, x – y + 1 = 0
या y = x + 1

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखायें बिन्दु (3, 4) पर काटती हैं।
अत: x = 3, y = 4

(iv) समीकरण (UPBoardSolutions.com) 3x – 2y – 1 = 0 ………(1)
तथा 2x – 3y + 6 = 0 ………(2)
समी० (1) से, 3x – 2y – 1 = 0
⇒ 2y = 3x – 1


∵ दोनों रेखायें परस्पर बिन्दु B(3, 4) पर काटती हैं।
अतः x = 3 तथा y = 4

(v) समीकरण 3x – 5y = 19 ……..(1)
तथा 3y – 7x + 1 = 0 ……..(2)
संमी० (1) से, 3x – 19 = 5y
या y = [latex]\frac{3 x-19}{5}[/latex]

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि (UPBoardSolutions.com) दोनों रेखायें बिन्दु (- 2, – 5) पर काटती हैं।
अत: x = – 2, y = – 5

(vi) समीकरण निकाय 2x – 3y = 1 …………..(1)
तथा 3x – 4y = 1 …………(2)
समी० (1) से, 2x – 1 = 3y या [latex]\frac{2 x-1}{3}[/latex] = y
या y = [latex]\frac{2 x-1}{3}[/latex]


∵ दोनों रेखायें एक – दूसरे को बिन्दु ( – 1 – 1) पर काटती हैं।
अतः x = – 1 तथा y = – 1

प्रश्न 13.
समीकरण 3x – y + 9 = 0 और 3x + y = 0 तथा 3x + 4y – 6 = 0 (UPBoardSolutions.com) का आलेख दर्शाइये तथा रेखाओं और x – अक्ष से निर्मित त्रिभुज के शीर्ष भी ज्ञात कीजिए।
हलः
समीकरण 3x – y + 9 = 0 ……….(1)
तथा 3x + y = 0 ……(2)
तथा 3x + 4y – 6 = 0 ……(3)
समी० (1) से, 3x + 9 = y
या y = 3x + 9

प्रश्न 14.
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म (UPBoardSolutions.com) को प्रतिस्थापन विधि से हल करें-
(i) 7x – 15y = 2
x + 2y = 3 (NCERT)
(ii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9 (NCERT)
(iii) s – t = 3
[latex]\frac{s}{3}+\frac{t}{2}[/latex] = 6 (NCERT)
(iv) [latex]\frac{\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{a}}+\frac{\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{b}}[/latex] = 2, a ≠ 0, b ≠ 0
ax – by = a² – b²
हल:
(i) समीकरण 7x – 15y = 2 ……..(1)
तथा x + 2y = 3 …..(2)
समी० (2) से, x = 3 – 2y ……………(3)
समी० (3) से x का मान समी० (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
7(3 – 2y) – 15y = 2
21 – 14y – 15y = 2
21 – 29y = 2
या – 29y = 2 – 21
या – 29y = – 19
या y = [latex]\frac{19}{29}[/latex]
y का मान समी० (3) में रखने पर,

प्रश्न 15.
निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय (UPBoardSolutions.com) को विलोपन विधि से हल करें-
(i) x + y = 5
2x – 3y = 4 (NCERT)
(ii) 3x – 5y = 4
9x – 2y = 7 (NCERT)
(iii) [latex]\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}[/latex] = -1
x = [latex]\frac{y}{3}[/latex] = 3 (NCERT)
(iv) [latex]\frac{3 a}{x}-\frac{2 b}{y}[/latex] + 5 = 0
[latex]\frac{a}{x}+\frac{3 b}{y}[/latex] – 2 = 0, x ≠ 0, y ≠ 0
हलः
विलोपन विधि से-
(i) समीकरण x + y = 5 ….(1)
तथा 2x – 3y = 4 ……(2)
समी० (1) को 3 से गुणा करने पर,

(ii) समीकरण 3x – 5y = 4 …..(1)
तथा 9x – 2y = 7 ….(2)
समी० (1) को 3 से गुणा करने पर,

प्रश्न 16.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों (UPBoardSolutions.com) को ब्रज-गुणन विधि से हल करें –
(i) 8x + 5y = 9
3x + 2y = 4 (NCERT)
(ii) 2x + 3y – 7 = 0
6x + 5y – 11 = 0 (NCERT)
हलः
ब्रज – गुणन विधि से-
(i) समीकरण 8x + 5y = 9
या 8x + 5y – 9 = 0 …(1)
तथा 3x + 2y = 4
या 3x + 2y – 4 = 0 ………(2)

(ii) समीकरण (UPBoardSolutions.com) 2x + 3y – 7 = 0 …(1)
तथा 6x + 5y – 11 = 0 …(2)

Ex 3.5 Pair of Linear Equation in Two Variables दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 17.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि प्रत्येक पंक्ति में 4 विद्यार्थी अतिरिक्त हो तो पंक्तियों की संख्या 2 कम हो जाती है तथा यदि प्रत्येक पंक्ति में 4 विद्यार्थी कम हो तो 4 पंक्तियाँ और बनानी पड़ेंगी। कक्षा में विद्यार्थियों (UPBoardSolutions.com) की संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = x
तथा पंक्तियों की संख्या = y
तब कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = xy
प्रश्नानुसार, पहली शर्त,
प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थी = (x + 4)
तथा पंक्तियों की संख्या = (y – 2)
कुल विद्यार्थियों की संख्या = xy
(x + 4) × (y – 2) = xy
xy – 2x + 4y – 8 = xy
– 2x + 4y = xy – xy + 8
– 2x + 4y = 8 …(1)
तथा दूसरी शर्त,
प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थी = (x – 4)
पंक्तियों की संख्या = (y + 4)
कुल विद्यार्थियों की संख्या = xy
(x – 4)x (y + 4) = xy
xy + 4x – 4y – 16 = xy
4x – 4y = xy – xy + 16

x का मान समी० (1) में रखने पर,
– 2 × 12 + 4y = 8
या 4y = 8 + 24
4y = 32
या y = [latex]\frac{32}{4}[/latex] = 8
अतः कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = xy = 12 × 8 = 96

प्रश्न 18.
2 वर्ष पहले, एक व्यक्ति की आयु अपने पुत्र की आयु से 5 (UPBoardSolutions.com) गुनी थी। दो वर्ष बाद, उसकी आयु उसके पुत्र की आयु के तीन गुने से 8 अधिक थी। पिता एवं पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पिता की वर्तमान आयु = x वर्ष तथा पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार,
पहली शर्त, (x – 2) = 5 × (y – 2)
x – 2 = 5y – 10
x – 5y = – 10 + 2 या x – 5y= – 8 ….(1)
तथा दूसरी शर्त, (x + 2) = 3x (y + 2) + 8
x + 2 = 3y + 6 + 8
या x – 3y = 14 – 2

y का मान समी० (1) में रखने पर,
x – 5 × 10 = – 8
x – 50 = – 8 या x = – 8 + 50
x = 42
अतः पिता की आयु = 42 वर्ष तथा पुत्र की आयु = 10 वर्ष

प्रश्न 19.
एक भिन्न का अंश, उसके हर से एक कम है। यदि अंश व हर दोनों में 3 (UPBoardSolutions.com) जोड़ा जाये तो वह भिन्न मूल भिन्न से [latex]\frac{3}{28}[/latex] अधिक हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
हलः
भिन्न का हर = x तथा अंश = x – 1

प्रश्न 20.
एक रेलगाड़ी एक नियत चाल से 300 किमी० चलती है। यदि रेलगाड़ी की (UPBoardSolutions.com) चाल 5 किमी०/घण्टा बढ़ा दी जाये, तो यात्रा पूरी करने में दो घण्टे कम लगते हैं। रेलगाड़ी की मूल चाल ज्ञात कीजिए।
हलः
माना रेलगाड़ी की मूल चाल = x km/hr
तब, 300 किमी की दूरी तय करने में रेलगाड़ी को लगा समय =  घण्टे
यदि रेलगाड़ी की चाल 5 km/h बढ़ा दी जाये तो
अब, रेलगाड़ी की चाल = (x + 5) km/h

प्रश्न 21.
m व n के वे मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए निम्न (UPBoardSolutions.com) समीकरण निकाय, अनंततः हल रखता है।
3x + 4y = 12;
(m + n)x + 2(m – n)y = 5m – 1
हलः
समीकरण 3x + 4y = 12 …(1)
तथा (m + n)x + 2(m – n)y = 5m – 1
∵ समीकरण निकाय के अनंततः हल है।

प्रश्न 22.
k के किस मान के लिए निम्न समीकरण निकाय अनंततः हल रखता है
2x – 3y = 7;
(k + 1)x + (1 – 2k)y = 5k – 4
हलः
समीकरण 2x – 3y – 7 = 0 ….(1)
तथा (k + 1)x + (1 – 2k)y = 5k – 4 …(2)
∵ समीकरण निकाय के अनंततः हल है।

अतः k = 5

प्रश्न 23.
दो अंकों की एक संख्या के दोनों अंकों का गुणनफल 14 है। (UPBoardSolutions.com) यदि संख्या में 45 जोड़ा जाये तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, इहाई का अंक = x तथा इकाई का अंक = y है।
तब अभीष्ट संख्या = (10x + y)
प्रश्नानुसार, पहली शर्त xy = 14
या y = [latex]\frac{14}{x}[/latex] …(1)
तथा दूसरी शर्त, 10x + y + 45 = 10 y + x
10x + y – 10y – x = – 45
या 9x – 9y = – 45
9(x – y) = – 45
या x – y = [latex]-\frac{45}{9}[/latex]
या x – y = – 5 …(2)
समी० (1) से y का मान समी० (2) में रखने पर,
x – [latex]\frac{14}{x}[/latex] = -5
या [latex]\frac{x^{2}-14}{x}[/latex] = -5
x² – 14 = – 5x
x² + 5x – 14 = 0
या x² + 7x – 2x – 14 = 0
x(x + 7) – 2(x + 7) = 0
(x + 7)(x – 2) – 0
x + 7 = 0 तथा x – 2 = 0
x = – 7 (अमान्य) x = 2
x का मान समी० (1) में रखने पर,
y = [latex]\frac{14}{2}[/latex] = 7
अतः अभीष्ट संख्या = 10x + y = 10 × 2 + 7 = 20 + 7 = 27

प्रश्न 24.
उस चक्रीय चतुर्भुज ABCD के कोण ज्ञात कीजिए, जिसमें
∠A = (4x + 20)°, ∠B = (3x – 5)°, ∠C = (4y)° तथा ∠D = (7y + 5)°
हल:
चक्रीय चतुर्भुज ABCD में,
∠A = (4x + 20), ∠B = (3x – – 5)°
∠C = (4y)° तथा ∠D = (7y + 5)°
∵ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योगफल = 180°
∴ ∠A + ∠C = 180°
4x + 20 + 4y = 180 या 4x + 4y = 180 – 20
4x + 4y = 160 या 4(x + y) = 160

y का मान समी० (1) में रखने पर,
x + 15 = 40 या
x = 40 – 15 = 25
अतः ∠A = (4x + 20) = 4 × 25 + 20 = 100 + 20 = 120°
∠B = (3x – 5)° = 3 × 25 – 5 = 75 – 5 = 70°
∠C = 4y = 4 × 15 = 60°
∠D = (7y + 5)° = 7 × 15 + 5 = 105 + 5 = 110°

प्रश्न 25.
निम्न समीकरण निकाय को (UPBoardSolutions.com) हल कीजिए-

हलः


x का मान समी० (5) में रखने पर,
4 – y = 1
या 4 – 1 = y या y = 3
अतः x = 4 तथा y = 3

प्रश्न 26.
k के किस मान के लिए निम्न समीकरण (UPBoardSolutions.com) निकाय का कोई हल नहीं है।
(3k + 1)x + 3y – 2 = 0;
(k² + 1)x + (k – 2)y – 5 = 0
हलः
समीकरण निकाय
(3k + 1)x + 3y – 2 = 0 …(1)
(k² + 1)x + (k – 2)y – 5 = 0 …(2)
∵ समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है,

(3k + 1) (k – 2) = 3 (k2 + 1)
3k² – 6k + k – 2 = 3k² + 3
3k² – 5k, – 3k² = 3 + 2
-5k = 5
-k = [latex]\frac{5}{5}[/latex] ⇒ -k = 1
अतः k = – 1

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.3 वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.3 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
जाँचिए कि π एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय।
हलः
चूँकि π का मान दशमलव के कुछ (UPBoardSolutions.com) स्थान तक निम्न होता है,
π = 3.1415929…
जोकि असांत व अनावर्ती होता है।
अतः π एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
जाँचिए कि [latex]\frac{22}{7}[/latex] एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय।
हलः
चूँकि [latex]\frac{22}{7}, \frac{p}{q}[/latex] (जहाँ q ≠ 0) के रूप की होती है। अतः यह एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 3.
जाँचिए कि संख्या [latex]\frac{2 \sqrt{45}+3 \sqrt{20}}{2 \sqrt{5}}[/latex], (UPBoardSolutions.com) सरल करने पर परिमेय संख्या प्राप्त होगी या अपरिमेय।
हलः
दी गयी संख्या = [latex]\frac{2 \sqrt{45}+3 \sqrt{20}}{2 \sqrt{5}}[/latex]

चूँकि 6 एक परिमेय संख्या है। इसलिए प्राप्त संख्या 6 एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 4.
संख्या [latex]\frac{14753}{1250}[/latex] का दशमलव (UPBoardSolutions.com) प्रसार, दशमलव के कितने स्थानों के बाद स्थगित होगा?
हल:
संख्या [latex]\frac{14753}{1250}[/latex] = 11.8024
अर्थात् दी गई संख्या दशमलव के चार स्थान बाद स्थगित होगी।

प्रश्न 5.
संख्या [latex]\frac{43}{2^{2} \times 5}[/latex] का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों बाद स्थगित होगा?
हल:
यहाँ संख्या का हर [latex]\frac{43}{2^{2} \times 5}[/latex] के अभाज्य गुणनफल 2^m × 5ⁿ के रूप का है। अतः यह सांत प्रसार है।
जोकि 2 {= अधिकतम (2, 1)} स्थान के बाद सांत होगा।

प्रश्न 6.
संख्या [latex]1.23 \overline{48}[/latex] की प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या = [latex]1.23 \overline{48}[/latex]
= 1.23484848…
का विस्तार सांत तथा आवर्ती है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 7.
संख्या [latex]3. \overline{35}[/latex] की (UPBoardSolutions.com) प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गई संख्या [latex]3. \overline{35}[/latex] = 3.353535… की प्रवृत्ति सांत व आवर्ती है।
अतः यह एक परिमेय संख्या होगी।

प्रश्न 8.
संख्या 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] की प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या = 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex]
चूँकि [latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है जिसका मान 2.236067977… जोकि असांत व अनावर्ती है तथा 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] का मान भी असांत व अनावर्ती होगा।
अतः संख्या 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।।

प्रश्न 9.
एक अशून्य परिमेय तथा अपरिमेय संख्या की गुणा की प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
एक अशून्य परिमेय तथा अपरिमेय संख्या की गुणा एक अपरिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्या होगी। जैसे- 2 तथा [latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक परिमेय
तथा अपरिमेय संख्या है परन्तु इसका गुणनफल 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 1.3 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 10.
किसी संख्या [latex]\frac{p}{q}[/latex] में 4 द्वारा सम्तुष्ट होने वाला वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिसके लिए इसका दशमलव प्रसार सांत हो।
हलः
संख्या [latex]\frac{p}{q}[/latex] का प्रसार सांत जब होगा, (UPBoardSolutions.com) तब q का अभाज्य गुणनखण्ड 2^m × 5ⁿ के रूप का हो।

प्रश्न 11.
संख्या [latex]\frac{441}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{2}}[/latex] का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवृत्ति?
हलः
दी गयी संख्या = [latex]\frac{441}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{2}}[/latex]
चूँकि हर 2^m × 5ⁿ के रूप का नहीं है इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि दो अपरिमेय संख्या 7 + [latex] \sqrt{{5}} [/latex] तथा 7 – [latex] \sqrt{{5}} [/latex] का योग तथा गुणनफल, परिमेय संख्याऐं है।
हलः
अपरिमेय संख्याओं का योग = 7 + [latex] \sqrt{{5}} [/latex] + 7 – 15 = 14
∵ 14 एक परिमेय संख्या है अतः परिमेय संख्या का योग एक परिमेय संख्या होगी।
अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल = (7 + [latex] \sqrt{{5}} [/latex])(7 – [latex] \sqrt{{5}} [/latex])
= [(7)² – ([latex] \sqrt{{5}} [/latex])²] = 49 – 5 = 4
अतः 44 एक परिमेय संख्या है अर्थात् परिमेय संख्याओं का गुणनफल (UPBoardSolutions.com) भी एक परिमेय संख्या होगी।

Ex 1.3 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 13.
संख्या [latex]0 . \overline{32}[/latex] को इसके सरलतम रूप में लिखो।
हलः
माना x = [latex]0 . \overline{32}[/latex]
= 0.323232… …(1) (UPBoardSolutions.com)
⇒ 10x = 3.23232… ..(2)
⇒ 1000x = 323.232… …(3)
समी० (2) तथा (3) का प्रयोग करने पर,
990 x = 320
⇒ x = [latex]\frac{320}{990}=\frac{32}{99}[/latex]
अतः [latex]0 . \overline{32}=\frac{32}{99}[/latex]

प्रश्न 14.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न (UPBoardSolutions.com) में से प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार सांत होगा।

हलः

प्रश्न 15.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न में से प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार असांत आवर्ती है।

हलः

प्रश्न 16.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न परिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्यायें असांत-आवर्ती हैं।

हलः

प्रश्न 17.
निम्न संख्याओं को जाँचिए कि ये परिमेय हैं या (UPBoardSolutions.com) अपरिमेय। (NCERT)
(i) 3.245
(ii) 1.03458
(iii) 2.121121112…
(iv) 43.123456789
हलः
(i) दी गयी संख्या = 3.245
= [latex]\frac{3245}{1000}=\frac{3245}{2^{3} \times 5^{3}}[/latex]
चूँकि, 2³ × 5³, 2^m × 5ⁿ के रूप का है अतः संख्या 3.245 एक परिमेय संख्या है।

(ii) संख्या = 1.03458
= [latex]\frac{103458}{100000}=\frac{103458}{2^{5}, \times 5^{5}}[/latex]
चूँकि 2⁵ × 5⁵, 2^m × 5ⁿ के रूप का है, अतः इसका दशमलव प्रसार सांत है। अतः संख्या 1.03458 परिमेय संख्या है।

(iii) संख्या = 2.121121112…
स्पष्टतः दशमलव व प्रसार असांत व आवर्ती है अतः दी गयी संख्या अपरिमेय है।

(iv) संख्या = [latex]43 . \overline{123456789}[/latex] (UPBoardSolutions.com)
= 43.123456789123456789…
स्पष्टतः दशमलव व प्रसार सांत व आवर्ती है। अतः दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है।

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.2 वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.2 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि HCF (26, 169) = 13 तब LCM (26, 169) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF (26, 169) = 13
हम जानते हैं कि LCM × HCF = (UPBoardSolutions.com) दोनों संख्याओं का गुणनफल
LCM × 13 = 26 × 169
LCM = [latex]\frac{26 \times 169}{13}[/latex]
= 26 × 13
= 338

प्रश्न 2.
दो संख्याओं का HCF 16 तथा गुणनफल 3072 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 16
दोनों संख्याओं का गुणनफल = 3072
हम जानते हैं कि,
LCM × HCF = दोनों संख्याओं (UPBoardSolutions.com) का गुणनफल
LCM = [latex]\frac{3072}{\mathrm{HCF}}[/latex]
= [latex]\frac{3072}{\mathrm{16}}[/latex] = 192

प्रश्न 3.
संख्या 144 के अभाज्य गुणनखण्डन में 2 की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
144 का अभाज्य गुणनफल = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
अतः संख्या 144 के अभाज्य गुणनफल में 2 की घात 4 होगी।

प्रश्न 4.
संख्या 196 के अभाज्य गुणनखण्डन में घातों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या 196 का अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 7 × 7
= 2² × 7²
अतः इस गुणनखण्ड की घातों का योग = 2 + 2 = 4

प्रश्न 5.
यदि a व 18 का LCM 36 तथा HCF 2 है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, संख्यायें a तथा 18
LCM = 36 तथा HCF = 2
हम जानते हैं कि LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल
⇒ 36 × 2 = a × 18
⇒ a = [latex]\frac{36 \times 2}{18}[/latex] = 4
⇒ a = 4

प्रश्न 6.
यदि p व qधनात्मक पूर्णांक इस प्रकार है (UPBoardSolutions.com) कि p = ab², q = a²b जहाँ p तथा q अभाज्य संख्याऐं हैं। तब LCM (p, 4) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, p = ab² = a × b × b तथा
q = a²b = a × a × b अतः
LCM (p, q) = a × b × b × a
= a²b²

प्रश्न 7.
वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 व 10 तथा इनके बीच की सभी प्राकृत संख्याओं से विभाजित है। (NCERT Exemplar)
हलः
प्रश्नानुसार, 1 से 10 तक सभी प्राकृत संख्याओं का अभाज्य गुणनखण्ड करने पर तथा उसके पश्चात् उनका LCM ज्ञात करते हैं। अर्थात्
1 = 1 × 1 × 1, 6 = 2 × 3
2 = 1 × 2, 7 = 7 × 1
3 = 1 × 3, 8 = 2 × 2 × 2
4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3
5 = 1 × 5, 10 = 2 × 5
अत: LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7= 2520

प्रश्न 8.
(2³ × 3 × 5) तथा (2⁴ × 5 × 7) का LCM ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, 2³ × 3 × 5 तथा (UPBoardSolutions.com) 2⁴ × 5 × 7
अतः LCM = 2⁴ × 5 × 3 × 7
= 1680

Ex 1.2 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 9.
दो संख्याओं का HCF 27 तथा LCM 162 है। यदि एक संख्या 54 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 27, LCM = 162
यदि पहली संख्या = 54
दूसरी संख्या = ?
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 10.
दो संख्याओं का HCF 23 तथा LCM 1449 है। (UPBoardSolutions.com) यदि एक संख्या 161 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 23, LCM = 1449
यदि पहली संख्या = 161
दूसरी संख्या = ?
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 11.
दो संख्याओं का HCF 11 तथा LCM 7700 है। यदि एक संख्या 275 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 11, LCM = 7700
यदि पहली संख्या = 275 (UPBoardSolutions.com)
दूसरी संख्या = ?
हम जानते हैं कि,
HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या

प्रश्न 12.
संख्या 20570 का अभाज्य गुणनखण्डन ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ

अतः अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 5 × 11² × 17

प्रश्न 13.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्न (UPBoardSolutions.com) संख्याओं का LCM तथा HCF ज्ञात कीजिए।
(i) 12, 15, 21
(ii) 8, 9, 25 (NCERT)
हलः
(i) संख्याएँ = 12, 15, 21
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
अत: HCF = 3
तथा LCM = 2² × 3 × 7 × 5 = 420

(ii) संख्याएँ = 8, 9, 25
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
8 = 2 × 2 × 2 × 1
9 = 3 × 3 × 1
25 = 5 × 5 × 1
अत: LCM = 2³ × 3² × 5² = 1800
तथा HCF = 1

प्रश्न 14.
वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसको (UPBoardSolutions.com) 35, 56 तथा 91 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 आता है।
हल:
LCM (36, 56, 91) =

= 2 × 2 × 2 × 7 × 5 × 13
= 3640
∵ शेषफल = 7
∴ अभीष्ट संख्या = 3640 + 7 = 3647

प्रश्न 15.
वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 28 (UPBoardSolutions.com) तथा 32 से विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 8 व 12 प्राप्त होते हैं।
हल:
LCM (28, 32) =

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7
= 32 × 7= 224
∵ शेषफल = 8, 12
∴ अभीष्ट संख्या = 224 – (8+12) = 204

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि 2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
हलः
यदि सम्भव हो तो माना कि 2 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 2 एक परिमेय संख्या है। हम यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय संख्या होती है।
∴ (2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 2) भी एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या (UPBoardSolutions.com) है जो कि एक विरोधाभास है क्योंकि [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
अतः (2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex]) एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है। (NCERT Exemplar)
हलः
माना [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/latex] एक परिमेय संख्या है
∴ [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}=\frac{p}{q}[/latex]
⇒ [latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक परिमेय संख्या है, चूँकि [latex]\frac{p^{2}+2 q^{2}}{2 p q}[/latex] एक परिमेय संख्या है जोकि एक विरोधाभास है।
अतः [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 1.2 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 18.
एक गोलाकार क्षेत्र की परिमाप 360 किमी है। तीन साइकिल सवार (UPBoardSolutions.com) इस प्रकार चलना प्रारम्भ करते हैं कि वे एक दिन में 48, 60 तथा 72 किमी की यात्रा करते हैं। वे दोबारा कब एक-दूसरे से मिलेंगे?
हलः
दिया है, गोलाकार क्षेत्र की परिमाप = 360 किमी
अतः तीनों साइकिल सवार द्वारा एक दिन में की गई यात्रा
= HCF (48, 60, 72) = 2 × 2 × 3 = 12 किमी
अतः तीनों साइकिल सवार एक साथ मिलेंगे = [latex]\frac{360}{12}[/latex] = 30 दिन में

प्रश्न 19.
यदि p व q धनात्मक अभाज्य पूर्णांक है तो सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{p}+\sqrt{q}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है। (NCERT Exemplar)
हलः
माना p तथा q दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं तब यदि सम्भव हो तो [latex] \sqrt{{p}} [/latex] तथा [latex] \sqrt{{q}} [/latex] अपरिमेय संख्या नहीं है तब [latex] \sqrt{{p}} [/latex]
तथा [latex] \sqrt{{q}} [/latex] दोनों परिमेय संख्याएँ होंगी। अतः दो परिमेय संख्याओं का योग ([latex]\sqrt{p}+\sqrt{q}[/latex]) भी एक परिमेय संख्या होगी।

⇒ [latex] \sqrt{{q}} [/latex] एक परिमेय संख्या है, यह एक विरोधाभास है।
अतः [latex] \sqrt{{q}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए [latex]\sqrt{p}+\sqrt{q}[/latex] भी एक अपरिमेय संख्या होगी।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
हलः
माना 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्या नहीं है।
अर्थात् 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक परिमेय संख्या होगी।

अत: 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि निम्न संख्याएँ अपरिमेय हैं।
(i) 3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex]
(ii) 5 + 3[latex] \sqrt{{2}} [/latex]
(iii) [latex]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/latex]
(iv) 4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex]
हलः
(i) यदि सम्भव हो तो माना (3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex]) एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 3 एक परिमेय संख्या है
तथा यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्या होती है। (3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex] – 3) भी एक परिमेय संख्या है अर्थात् [latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक परिमेय संख्या है जोकि एक विरोधाभास है क्योंकि [latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
अत: 3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) यदि सम्भव हो तो माना 5 + 3[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या नहीं है
तब परिमेय संख्या की परिभाषा से,

(iv) यदि सम्भव हो तो माना कि 4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 3 एक परिमेय संख्या है तथा यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय संख्या होगी। अतः (4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 4) (UPBoardSolutions.com) भी एक परिमेय संख्या है अर्थात् [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या है जोकि एक विरोधाभास है। क्योंकि [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
अतः 4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 22.
6 गेंदों को 2, 4, 6, 8, 10, 12 मिनट के अन्तराल पर क्रमशः घुमाया (UPBoardSolutions.com) जाता है। 30 घण्टे में कितनी बार वे एक साथ घूमेंगी।
हल:
LCM (2, 4, 6, 8, 10, 12)

= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
अतः प्रत्येक 120 मिनट अर्थात 2 घण्टे बाद एक साथ घूमेंगी।
इसलिए 30 घण्टे में एक साथ घूमेंगी = [latex]\left[\left(\frac{30}{2}\right)+1\right][/latex] बार = 16 बार

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.1 वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.1 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
1152 व 1664 को पूर्णतया विभाजित करने वाली (UPBoardSolutions.com) सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ 1152 < 1664

∴ यहाँ पर शेषफल 0 है, अतः 1152 तथा 1664 दोनों को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या 128 है।
अर्थात् HCF (1152, 1664) = 128

प्रश्न 2.
किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए, वह रूप ज्ञात कीजिए, जिसमें प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक को लिखा जा सकता है। (NCERT Exemplar)
हलः
वह संख्या जिसमें प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक को लिखा जा सकता है, 2m है।
अर्थात् इसमें m = 1, 2, 3, … रखने पर संख्याऐं (UPBoardSolutions.com) 2, 4, 6, … प्राप्त होंगी, जोकि धनात्मक सम पूर्णांक हैं।

प्रश्न 3.
किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए वह रूप ज्ञात कीजिए, जिसमें प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक को लिखा जा सकता है। (NCERT Exemplar)
हलः
वह संख्या जिसमें प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक को लिखा जा सकता है, 2m + 1 है।
अर्थात् इसमें m = 1, 2, 3, … रखने पर संख्याएँ (UPBoardSolutions.com) 3, 5, 7,… प्राप्त होंगी, जोकि धनात्मक विषम पूर्णांक हैं।

प्रश्न 4.
संख्या 405 व 2520 का HCF ज्ञात कीजिए।
हलः
माना a = 405 तथा b = 2520

इसलिए, HCF (405, 2520) = 45

प्रश्न 5.
संख्या 960 व 1575 का HCF (UPBoardSolutions.com) ज्ञात कीजए।
हलः
माना a = 960 तथा b = 1575

अतः शेषफल 0 है।
इसलिए, HCF (960, 1575) = 15

प्रश्न 6.
संख्या 135 व 225 का HCF ज्ञात कीजिए।
हलः
माना a = 135 तथा b = 225

∵ शेषफल = 0
इसलिए, HCF (135, 225) = 45

प्रश्न 7.
यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार धनात्मक पूर्णांक (UPBoardSolutions.com) a व b के लिए अद्वितीय पूर्णांक q व r का अस्तित्व इस प्रकार है कि a = bq + r, तब r द्वारा सन्तुष्ट असमिका ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्या) a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b
से इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि शेषफल (Remainder) r प्राप्त होता है, जहाँ 0 < r <b
अतः a = bq + r
अतः r द्वारा सन्तुष्ट असमिका = 0 < r < b

Ex 1.1 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 8.
वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 61 से विभाजित करने (UPBoardSolutions.com) पर भागफल 27 तथा शेषफल 32 आता है।
हलः
हम जानते हैं कि विभाजन प्रमेयिका से
a = bq + r
यहाँ दिया है, b = 61, q= 27, r = 32
अतः a = 61 × 27 + 32
= 1647 + 32 = 1679

प्रश्न 9.
संख्या 1365 को किस संख्या से विभाजित किया जाये कि भागफल 31 तथा शेषफल 32 आये?
हलः
हम जानते हैं कि a = bq + r
यहाँ दिया है, b = 1365, q= 31, r = 32
अतः 1365 = b × 31 + 32
⇒ 1365 – 32 = b × 31
1333 = b × 31
b = [latex]\frac{1333}{31}[/latex] =43

प्रश्न 10.
यदि 408 तथा 1032 के HCF को 1032m – 408 × 5 के रूप (UPBoardSolutions.com) में प्रकट किया जाता है तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
1032 = 408 × 2 + 216
408 = 216 × 1 + 192
216 = 192 × 1 + 24
192 = 24 × 8 + 0
अत: HCF (408, 1032) = 24
दिया है, 24 = 1032m – 408x × 5
⇒ 24 + 2040 = 1032m
⇒ 2064 = 1032m
m = [latex]\frac{2064}{1032}[/latex] = 2

प्रश्न 11.
यदि 657 तथा 963 के HCF को 657x + 963 × ( – 15) के रूप में प्रकट किया जाता है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
963 = 657 × 1 + 306
657 = 306 × 2 + 45
306 = 45 × 6 + 36
45 = 36 × 1 + 9
36 = 9 × 4 + 0
अत: HCF (657, 963)= 9
प्रश्नानुसार, HCF = 657x + 963x – 15
⇒ 9 = 657x – 14445
⇒ 9 + 14445 = 657x
⇒ 14454 = 657x
⇒ [latex]\frac{14454}{657}[/latex] = x
⇒ x = 2

प्रश्न 12.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 तथा 1029 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 देती है।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को 245 तथा 1029 को विभाजित करने (UPBoardSolutions.com) पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 आता है।
∴245 – 5 = 240 और 1029 – 5 = 1024
दोनों अभीष्ट संख्या से पूर्णतयाः विभाजित हो जाते हैं।
अब हम 240 तथा 1024 का म०स० ज्ञात करेंगे
अतः 240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 3
1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
अतः अभीष्ट संख्या HCF (240, 1024) = 16

प्रश्न 13.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 285 तथा 1249 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 9 व 7 प्राप्त होते हैं।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को 285 तथा 1249 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल क्रमश: 9 व 7 प्राप्त होते हैं।
अतः 285 – 9 = 276 तथा 1249 – 7 = 1242
दोनों संख्याएँ, अभीष्ट संख्या से पूर्णतया विभाजित हो (UPBoardSolutions.com) जाते हैं, इसलिए अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।
अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे
276 = 2 × 2 × 3 × 23
1242 = 2 × 3 × 3 × 3 × 23
अतः अभीष्ट संख्या HCF (276, 1242) = 2 × 3 × 23 = 138

प्रश्न 14.
संख्या 65 तथा 117 का HCF ज्ञात कीजिए तथा इसे 65x + 117y के रूप में प्रकट कीजिए।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,

अब
HCF (65, 117) = 13
अब पुनः प्रश्नानुसार, 13 = 65x + 117y …(1)
अतः समी० (1) में, x = 2 तथा y = – 1 समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं।

प्रश्न 15.
यदि 56 तथा 72 का HCF, d है तो x व y के वे मान (UPBoardSolutions.com) ज्ञात कीजिए जो d = 56x + 72y को सन्तुष्ट करते हैं। यह भी सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त x व y अद्वितीय नहीं है।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
72 = 56 × 1 + 16
56 = 16 × 3 + 8
16 = 8 × 2 + 0
अत: HCF (56, 72) = 8 = d
∵ दिया है, d = 56x + 72y
8 = 56x + 72y
8 = 56 × 4 + 72 × ( – 3)
8 = 224 – 216
अतः x व y के मान क्रमशः 4 तथा – 3 हैं।

प्रश्न 16.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 2053 तथा 967 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 तथा 7 आता है।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को 2053 तथा 976 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल क्रमशः 5 व 7 प्राप्त होते हैं।
अतः 2053 – 5 = 2048 तथा 967 – 7 = 960
अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।
अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे
2048 = 2⁶ × 2⁵
960 = 2⁶ × 5
म०स० (2048, 960) = 2⁶ = 64
अतः अभीष्ट संख्या = 64

प्रश्न 17.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 398, 436 तथा (UPBoardSolutions.com) 542 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 तथा 15 आता है।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को दी गई संख्याओं से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 व 15 आता है।
अतः 398 – 7 = 391
436 – 11 = 425
तथा 542 – 15 = 527
अतः अभीष्ट संख्या तीनों संख्याओं को पूर्णतया विभाजित करती है।
अतः हम तीनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे
391 = 17 × 23
425 = 5 × 5 × 17
527 = 17 × 31
म०स० (391, 425, 527) = 17
अतः अभीष्ट संख्या = 17

Ex 1.1 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 18.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 546 तथा 764 को भाग देने पर शेषफल क्रमश: 6 तथा 8 प्राप्त होते हैं।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को दी गई संख्याओं 546 तथा 764 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 6 व 8 बचते हैं।
अतः 546 – 6 = 540
764 – 8 = 756
अतः अभीष्ट संख्या इन दोनों संख्याओं को पूर्णतया विभाजित (UPBoardSolutions.com) करती है। अत: अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।
अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे –
540 = 2² × 3³ × 5
756 = 2² × 3³ × 7
म०स० (540, 756) = 22 × 33 = 108
अतः अभीष्ट संख्या = 108

प्रश्न 19.
किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सिद्ध कीजिए कि n³ – n, 6 से विभाजित है। (NCERT Exemplar)
हलः
दिया है,
n³ – n = (n – 1) n (n + 1)
जोकि क्रमशः तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल है।
माना n एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है।
चूँकि कोई भी धनात्मक पूर्णांक 64 या 6q + 1 या 6q + 2 या 6q + 3 या 6q + 4 या 6q + 5 के रूप का होता है।
यदि n = 6q तब
(n – 1)n (n + 1) = (6q – 1) 6q (6q + 1), जोकि 6 से भाज्य है।
यदि n = 6q + 1 तब
(n – 1)n (n + 1) = 6q(6q + 1)(6q + 2), जोकि 6 से भाज्य है।
यदि n = 6q + 2,
तब (n – 1)n (n + 1) = (6q + 1)(6q + 2)(6q + 3)
= 6 (6q + 1) (3q + 1)(2q + 1) जोकि (UPBoardSolutions.com) 6 से विभाज्य है।
इसी प्रकार, (n – 1)n(n + 1), 6 से भाज्य होगा यदि n = 6q + 3; 6q + 4; 6q + 5

प्रश्न 20.
किसी पूर्णांक q के लिए सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 5q, 5q + 1 तथा 5q + 4 के रूप का होता है।
हलः
हम जानते हैं कि कोई भी धनात्मक पूर्णांक n, 5m, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 या 5m + 4 के रूप में हैं।
यदि n = 5m, तब
n² = 25m² = 5(5m²) = 5q, जहाँ q = 5m²
यदि n = 5m + 1, तब
n² = (5m + 1)² = 5m(5m + 2) + 1 = 5q + 1, जहाँ q = m(5m + 2)
यदि n = 5m + 2, तब
n² = (5m + 2)² = 5m(5m + 4) + 4 = (UPBoardSolutions.com) 5q + 4, जहाँ q = m(5m + 4)
यदि n = 5m + 3, तब
n² = (5m + 3)² = 5 (5m² + 6m + 1) + 4 = 5q + 4, जहाँ q= (5m² + 6m + 1)
यदि n = 5m + 4, तब
n² = 5(5m² + 8m + 3) + 1 = 5q + 1, जहाँ q = 5m² + 8m + 3
अतः n², 5q या 5q + 1 या 5q + 4 के रूप में हैं।

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