Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.1

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.1 वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.1 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
1152 व 1664 को पूर्णतया विभाजित करने वाली (UPBoardSolutions.com) सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ 1152 < 1664

∴ यहाँ पर शेषफल 0 है, अतः 1152 तथा 1664 दोनों को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या 128 है।
अर्थात् HCF (1152, 1664) = 128

प्रश्न 2.
किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए, वह रूप ज्ञात कीजिए, जिसमें प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक को लिखा जा सकता है। (NCERT Exemplar)
हलः
वह संख्या जिसमें प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक को लिखा जा सकता है, 2m है।
अर्थात् इसमें m = 1, 2, 3, … रखने पर संख्याऐं (UPBoardSolutions.com) 2, 4, 6, … प्राप्त होंगी, जोकि धनात्मक सम पूर्णांक हैं।

प्रश्न 3.
किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए वह रूप ज्ञात कीजिए, जिसमें प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक को लिखा जा सकता है। (NCERT Exemplar)
हलः
वह संख्या जिसमें प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक को लिखा जा सकता है, 2m + 1 है।
अर्थात् इसमें m = 1, 2, 3, … रखने पर संख्याएँ (UPBoardSolutions.com) 3, 5, 7,… प्राप्त होंगी, जोकि धनात्मक विषम पूर्णांक हैं।

प्रश्न 4.
संख्या 405 व 2520 का HCF ज्ञात कीजिए।
हलः
माना a = 405 तथा b = 2520

इसलिए, HCF (405, 2520) = 45

प्रश्न 5.
संख्या 960 व 1575 का HCF (UPBoardSolutions.com) ज्ञात कीजए।
हलः
माना a = 960 तथा b = 1575

अतः शेषफल 0 है।
इसलिए, HCF (960, 1575) = 15

प्रश्न 6.
संख्या 135 व 225 का HCF ज्ञात कीजिए।
हलः
माना a = 135 तथा b = 225

∵ शेषफल = 0
इसलिए, HCF (135, 225) = 45

प्रश्न 7.
यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार धनात्मक पूर्णांक (UPBoardSolutions.com) a व b के लिए अद्वितीय पूर्णांक q व r का अस्तित्व इस प्रकार है कि a = bq + r, तब r द्वारा सन्तुष्ट असमिका ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्या) a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b
से इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि शेषफल (Remainder) r प्राप्त होता है, जहाँ 0 < r <b
अतः a = bq + r
अतः r द्वारा सन्तुष्ट असमिका = 0 < r < b

Ex 1.1 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 8.
वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 61 से विभाजित करने (UPBoardSolutions.com) पर भागफल 27 तथा शेषफल 32 आता है।
हलः
हम जानते हैं कि विभाजन प्रमेयिका से
a = bq + r
यहाँ दिया है, b = 61, q= 27, r = 32
अतः a = 61 × 27 + 32
= 1647 + 32 = 1679

प्रश्न 9.
संख्या 1365 को किस संख्या से विभाजित किया जाये कि भागफल 31 तथा शेषफल 32 आये?
हलः
हम जानते हैं कि a = bq + r
यहाँ दिया है, b = 1365, q= 31, r = 32
अतः 1365 = b × 31 + 32
⇒ 1365 – 32 = b × 31
1333 = b × 31
b = [latex]\frac{1333}{31}[/latex] =43

प्रश्न 10.
यदि 408 तथा 1032 के HCF को 1032m – 408 × 5 के रूप (UPBoardSolutions.com) में प्रकट किया जाता है तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
1032 = 408 × 2 + 216
408 = 216 × 1 + 192
216 = 192 × 1 + 24
192 = 24 × 8 + 0
अत: HCF (408, 1032) = 24
दिया है, 24 = 1032m – 408x × 5
⇒ 24 + 2040 = 1032m
⇒ 2064 = 1032m
m = [latex]\frac{2064}{1032}[/latex] = 2

प्रश्न 11.
यदि 657 तथा 963 के HCF को 657x + 963 × ( – 15) के रूप में प्रकट किया जाता है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
963 = 657 × 1 + 306
657 = 306 × 2 + 45
306 = 45 × 6 + 36
45 = 36 × 1 + 9
36 = 9 × 4 + 0
अत: HCF (657, 963)= 9
प्रश्नानुसार, HCF = 657x + 963x – 15
⇒ 9 = 657x – 14445
⇒ 9 + 14445 = 657x
⇒ 14454 = 657x
⇒ [latex]\frac{14454}{657}[/latex] = x
⇒ x = 2

प्रश्न 12.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 तथा 1029 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 देती है।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को 245 तथा 1029 को विभाजित करने (UPBoardSolutions.com) पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 आता है।
∴245 – 5 = 240 और 1029 – 5 = 1024
दोनों अभीष्ट संख्या से पूर्णतयाः विभाजित हो जाते हैं।
अब हम 240 तथा 1024 का म०स० ज्ञात करेंगे
अतः 240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 3
1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
अतः अभीष्ट संख्या HCF (240, 1024) = 16

प्रश्न 13.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 285 तथा 1249 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 9 व 7 प्राप्त होते हैं।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को 285 तथा 1249 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल क्रमश: 9 व 7 प्राप्त होते हैं।
अतः 285 – 9 = 276 तथा 1249 – 7 = 1242
दोनों संख्याएँ, अभीष्ट संख्या से पूर्णतया विभाजित हो (UPBoardSolutions.com) जाते हैं, इसलिए अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।
अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे
276 = 2 × 2 × 3 × 23
1242 = 2 × 3 × 3 × 3 × 23
अतः अभीष्ट संख्या HCF (276, 1242) = 2 × 3 × 23 = 138

प्रश्न 14.
संख्या 65 तथा 117 का HCF ज्ञात कीजिए तथा इसे 65x + 117y के रूप में प्रकट कीजिए।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,

अब
HCF (65, 117) = 13
अब पुनः प्रश्नानुसार, 13 = 65x + 117y …(1)
अतः समी० (1) में, x = 2 तथा y = – 1 समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं।

प्रश्न 15.
यदि 56 तथा 72 का HCF, d है तो x व y के वे मान (UPBoardSolutions.com) ज्ञात कीजिए जो d = 56x + 72y को सन्तुष्ट करते हैं। यह भी सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त x व y अद्वितीय नहीं है।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
72 = 56 × 1 + 16
56 = 16 × 3 + 8
16 = 8 × 2 + 0
अत: HCF (56, 72) = 8 = d
∵ दिया है, d = 56x + 72y
8 = 56x + 72y
8 = 56 × 4 + 72 × ( – 3)
8 = 224 – 216
अतः x व y के मान क्रमशः 4 तथा – 3 हैं।

प्रश्न 16.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 2053 तथा 967 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 तथा 7 आता है।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को 2053 तथा 976 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल क्रमशः 5 व 7 प्राप्त होते हैं।
अतः 2053 – 5 = 2048 तथा 967 – 7 = 960
अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।
अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे
2048 = 2⁶ × 2⁵
960 = 2⁶ × 5
म०स० (2048, 960) = 2⁶ = 64
अतः अभीष्ट संख्या = 64

प्रश्न 17.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 398, 436 तथा (UPBoardSolutions.com) 542 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 तथा 15 आता है।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को दी गई संख्याओं से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 व 15 आता है।
अतः 398 – 7 = 391
436 – 11 = 425
तथा 542 – 15 = 527
अतः अभीष्ट संख्या तीनों संख्याओं को पूर्णतया विभाजित करती है।
अतः हम तीनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे
391 = 17 × 23
425 = 5 × 5 × 17
527 = 17 × 31
म०स० (391, 425, 527) = 17
अतः अभीष्ट संख्या = 17

Ex 1.1 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 18.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 546 तथा 764 को भाग देने पर शेषफल क्रमश: 6 तथा 8 प्राप्त होते हैं।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को दी गई संख्याओं 546 तथा 764 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 6 व 8 बचते हैं।
अतः 546 – 6 = 540
764 – 8 = 756
अतः अभीष्ट संख्या इन दोनों संख्याओं को पूर्णतया विभाजित (UPBoardSolutions.com) करती है। अत: अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।
अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे –
540 = 2² × 3³ × 5
756 = 2² × 3³ × 7
म०स० (540, 756) = 22 × 33 = 108
अतः अभीष्ट संख्या = 108

प्रश्न 19.
किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सिद्ध कीजिए कि n³ – n, 6 से विभाजित है। (NCERT Exemplar)
हलः
दिया है,
n³ – n = (n – 1) n (n + 1)
जोकि क्रमशः तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल है।
माना n एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है।
चूँकि कोई भी धनात्मक पूर्णांक 64 या 6q + 1 या 6q + 2 या 6q + 3 या 6q + 4 या 6q + 5 के रूप का होता है।
यदि n = 6q तब
(n – 1)n (n + 1) = (6q – 1) 6q (6q + 1), जोकि 6 से भाज्य है।
यदि n = 6q + 1 तब
(n – 1)n (n + 1) = 6q(6q + 1)(6q + 2), जोकि 6 से भाज्य है।
यदि n = 6q + 2,
तब (n – 1)n (n + 1) = (6q + 1)(6q + 2)(6q + 3)
= 6 (6q + 1) (3q + 1)(2q + 1) जोकि (UPBoardSolutions.com) 6 से विभाज्य है।
इसी प्रकार, (n – 1)n(n + 1), 6 से भाज्य होगा यदि n = 6q + 3; 6q + 4; 6q + 5

प्रश्न 20.
किसी पूर्णांक q के लिए सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 5q, 5q + 1 तथा 5q + 4 के रूप का होता है।
हलः
हम जानते हैं कि कोई भी धनात्मक पूर्णांक n, 5m, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 या 5m + 4 के रूप में हैं।
यदि n = 5m, तब
n² = 25m² = 5(5m²) = 5q, जहाँ q = 5m²
यदि n = 5m + 1, तब
n² = (5m + 1)² = 5m(5m + 2) + 1 = 5q + 1, जहाँ q = m(5m + 2)
यदि n = 5m + 2, तब
n² = (5m + 2)² = 5m(5m + 4) + 4 = (UPBoardSolutions.com) 5q + 4, जहाँ q = m(5m + 4)
यदि n = 5m + 3, तब
n² = (5m + 3)² = 5 (5m² + 6m + 1) + 4 = 5q + 4, जहाँ q= (5m² + 6m + 1)
यदि n = 5m + 4, तब
n² = 5(5m² + 8m + 3) + 1 = 5q + 1, जहाँ q = 5m² + 8m + 3
अतः n², 5q या 5q + 1 या 5q + 4 के रूप में हैं।

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions