Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.3

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.3 वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.3 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
जाँचिए कि π एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय।
हलः
चूँकि π का मान दशमलव के कुछ (UPBoardSolutions.com) स्थान तक निम्न होता है,
π = 3.1415929…
जोकि असांत व अनावर्ती होता है।
अतः π एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
जाँचिए कि [latex]\frac{22}{7}[/latex] एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय।
हलः
चूँकि [latex]\frac{22}{7}, \frac{p}{q}[/latex] (जहाँ q ≠ 0) के रूप की होती है। अतः यह एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 3.
जाँचिए कि संख्या [latex]\frac{2 \sqrt{45}+3 \sqrt{20}}{2 \sqrt{5}}[/latex], (UPBoardSolutions.com) सरल करने पर परिमेय संख्या प्राप्त होगी या अपरिमेय।
हलः
दी गयी संख्या = [latex]\frac{2 \sqrt{45}+3 \sqrt{20}}{2 \sqrt{5}}[/latex]

चूँकि 6 एक परिमेय संख्या है। इसलिए प्राप्त संख्या 6 एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 4.
संख्या [latex]\frac{14753}{1250}[/latex] का दशमलव (UPBoardSolutions.com) प्रसार, दशमलव के कितने स्थानों के बाद स्थगित होगा?
हल:
संख्या [latex]\frac{14753}{1250}[/latex] = 11.8024
अर्थात् दी गई संख्या दशमलव के चार स्थान बाद स्थगित होगी।

प्रश्न 5.
संख्या [latex]\frac{43}{2^{2} \times 5}[/latex] का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों बाद स्थगित होगा?
हल:
यहाँ संख्या का हर [latex]\frac{43}{2^{2} \times 5}[/latex] के अभाज्य गुणनफल 2^m × 5ⁿ के रूप का है। अतः यह सांत प्रसार है।
जोकि 2 {= अधिकतम (2, 1)} स्थान के बाद सांत होगा।

प्रश्न 6.
संख्या [latex]1.23 \overline{48}[/latex] की प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या = [latex]1.23 \overline{48}[/latex]
= 1.23484848…
का विस्तार सांत तथा आवर्ती है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 7.
संख्या [latex]3. \overline{35}[/latex] की (UPBoardSolutions.com) प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गई संख्या [latex]3. \overline{35}[/latex] = 3.353535… की प्रवृत्ति सांत व आवर्ती है।
अतः यह एक परिमेय संख्या होगी।

प्रश्न 8.
संख्या 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] की प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या = 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex]
चूँकि [latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है जिसका मान 2.236067977… जोकि असांत व अनावर्ती है तथा 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] का मान भी असांत व अनावर्ती होगा।
अतः संख्या 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।।

प्रश्न 9.
एक अशून्य परिमेय तथा अपरिमेय संख्या की गुणा की प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
एक अशून्य परिमेय तथा अपरिमेय संख्या की गुणा एक अपरिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्या होगी। जैसे- 2 तथा [latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक परिमेय
तथा अपरिमेय संख्या है परन्तु इसका गुणनफल 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 1.3 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 10.
किसी संख्या [latex]\frac{p}{q}[/latex] में 4 द्वारा सम्तुष्ट होने वाला वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिसके लिए इसका दशमलव प्रसार सांत हो।
हलः
संख्या [latex]\frac{p}{q}[/latex] का प्रसार सांत जब होगा, (UPBoardSolutions.com) तब q का अभाज्य गुणनखण्ड 2^m × 5ⁿ के रूप का हो।

प्रश्न 11.
संख्या [latex]\frac{441}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{2}}[/latex] का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवृत्ति?
हलः
दी गयी संख्या = [latex]\frac{441}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{2}}[/latex]
चूँकि हर 2^m × 5ⁿ के रूप का नहीं है इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि दो अपरिमेय संख्या 7 + [latex] \sqrt{{5}} [/latex] तथा 7 – [latex] \sqrt{{5}} [/latex] का योग तथा गुणनफल, परिमेय संख्याऐं है।
हलः
अपरिमेय संख्याओं का योग = 7 + [latex] \sqrt{{5}} [/latex] + 7 – 15 = 14
∵ 14 एक परिमेय संख्या है अतः परिमेय संख्या का योग एक परिमेय संख्या होगी।
अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल = (7 + [latex] \sqrt{{5}} [/latex])(7 – [latex] \sqrt{{5}} [/latex])
= [(7)² – ([latex] \sqrt{{5}} [/latex])²] = 49 – 5 = 4
अतः 44 एक परिमेय संख्या है अर्थात् परिमेय संख्याओं का गुणनफल (UPBoardSolutions.com) भी एक परिमेय संख्या होगी।

Ex 1.3 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 13.
संख्या [latex]0 . \overline{32}[/latex] को इसके सरलतम रूप में लिखो।
हलः
माना x = [latex]0 . \overline{32}[/latex]
= 0.323232… …(1) (UPBoardSolutions.com)
⇒ 10x = 3.23232… ..(2)
⇒ 1000x = 323.232… …(3)
समी० (2) तथा (3) का प्रयोग करने पर,
990 x = 320
⇒ x = [latex]\frac{320}{990}=\frac{32}{99}[/latex]
अतः [latex]0 . \overline{32}=\frac{32}{99}[/latex]

प्रश्न 14.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न (UPBoardSolutions.com) में से प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार सांत होगा।

हलः

प्रश्न 15.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न में से प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार असांत आवर्ती है।

हलः

प्रश्न 16.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न परिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्यायें असांत-आवर्ती हैं।

हलः

प्रश्न 17.
निम्न संख्याओं को जाँचिए कि ये परिमेय हैं या (UPBoardSolutions.com) अपरिमेय। (NCERT)
(i) 3.245
(ii) 1.03458
(iii) 2.121121112…
(iv) 43.123456789
हलः
(i) दी गयी संख्या = 3.245
= [latex]\frac{3245}{1000}=\frac{3245}{2^{3} \times 5^{3}}[/latex]
चूँकि, 2³ × 5³, 2^m × 5ⁿ के रूप का है अतः संख्या 3.245 एक परिमेय संख्या है।

(ii) संख्या = 1.03458
= [latex]\frac{103458}{100000}=\frac{103458}{2^{5}, \times 5^{5}}[/latex]
चूँकि 2⁵ × 5⁵, 2^m × 5ⁿ के रूप का है, अतः इसका दशमलव प्रसार सांत है। अतः संख्या 1.03458 परिमेय संख्या है।

(iii) संख्या = 2.121121112…
स्पष्टतः दशमलव व प्रसार असांत व आवर्ती है अतः दी गयी संख्या अपरिमेय है।

(iv) संख्या = [latex]43 . \overline{123456789}[/latex] (UPBoardSolutions.com)
= 43.123456789123456789…
स्पष्टतः दशमलव व प्रसार सांत व आवर्ती है। अतः दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है।

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