Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.2

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.2 वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.2 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि HCF (26, 169) = 13 तब LCM (26, 169) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF (26, 169) = 13
हम जानते हैं कि LCM × HCF = (UPBoardSolutions.com) दोनों संख्याओं का गुणनफल
LCM × 13 = 26 × 169
LCM = [latex]\frac{26 \times 169}{13}[/latex]
= 26 × 13
= 338

प्रश्न 2.
दो संख्याओं का HCF 16 तथा गुणनफल 3072 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 16
दोनों संख्याओं का गुणनफल = 3072
हम जानते हैं कि,
LCM × HCF = दोनों संख्याओं (UPBoardSolutions.com) का गुणनफल
LCM = [latex]\frac{3072}{\mathrm{HCF}}[/latex]
= [latex]\frac{3072}{\mathrm{16}}[/latex] = 192

प्रश्न 3.
संख्या 144 के अभाज्य गुणनखण्डन में 2 की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
144 का अभाज्य गुणनफल = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
अतः संख्या 144 के अभाज्य गुणनफल में 2 की घात 4 होगी।

प्रश्न 4.
संख्या 196 के अभाज्य गुणनखण्डन में घातों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या 196 का अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 7 × 7
= 2² × 7²
अतः इस गुणनखण्ड की घातों का योग = 2 + 2 = 4

प्रश्न 5.
यदि a व 18 का LCM 36 तथा HCF 2 है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, संख्यायें a तथा 18
LCM = 36 तथा HCF = 2
हम जानते हैं कि LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल
⇒ 36 × 2 = a × 18
⇒ a = [latex]\frac{36 \times 2}{18}[/latex] = 4
⇒ a = 4

प्रश्न 6.
यदि p व qधनात्मक पूर्णांक इस प्रकार है (UPBoardSolutions.com) कि p = ab², q = a²b जहाँ p तथा q अभाज्य संख्याऐं हैं। तब LCM (p, 4) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, p = ab² = a × b × b तथा
q = a²b = a × a × b अतः
LCM (p, q) = a × b × b × a
= a²b²

प्रश्न 7.
वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 व 10 तथा इनके बीच की सभी प्राकृत संख्याओं से विभाजित है। (NCERT Exemplar)
हलः
प्रश्नानुसार, 1 से 10 तक सभी प्राकृत संख्याओं का अभाज्य गुणनखण्ड करने पर तथा उसके पश्चात् उनका LCM ज्ञात करते हैं। अर्थात्
1 = 1 × 1 × 1, 6 = 2 × 3
2 = 1 × 2, 7 = 7 × 1
3 = 1 × 3, 8 = 2 × 2 × 2
4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3
5 = 1 × 5, 10 = 2 × 5
अत: LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7= 2520

प्रश्न 8.
(2³ × 3 × 5) तथा (2⁴ × 5 × 7) का LCM ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, 2³ × 3 × 5 तथा (UPBoardSolutions.com) 2⁴ × 5 × 7
अतः LCM = 2⁴ × 5 × 3 × 7
= 1680

Ex 1.2 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 9.
दो संख्याओं का HCF 27 तथा LCM 162 है। यदि एक संख्या 54 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 27, LCM = 162
यदि पहली संख्या = 54
दूसरी संख्या = ?
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 10.
दो संख्याओं का HCF 23 तथा LCM 1449 है। (UPBoardSolutions.com) यदि एक संख्या 161 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 23, LCM = 1449
यदि पहली संख्या = 161
दूसरी संख्या = ?
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 11.
दो संख्याओं का HCF 11 तथा LCM 7700 है। यदि एक संख्या 275 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 11, LCM = 7700
यदि पहली संख्या = 275 (UPBoardSolutions.com)
दूसरी संख्या = ?
हम जानते हैं कि,
HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या

प्रश्न 12.
संख्या 20570 का अभाज्य गुणनखण्डन ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ

अतः अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 5 × 11² × 17

प्रश्न 13.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्न (UPBoardSolutions.com) संख्याओं का LCM तथा HCF ज्ञात कीजिए।
(i) 12, 15, 21
(ii) 8, 9, 25 (NCERT)
हलः
(i) संख्याएँ = 12, 15, 21
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
अत: HCF = 3
तथा LCM = 2² × 3 × 7 × 5 = 420

(ii) संख्याएँ = 8, 9, 25
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
8 = 2 × 2 × 2 × 1
9 = 3 × 3 × 1
25 = 5 × 5 × 1
अत: LCM = 2³ × 3² × 5² = 1800
तथा HCF = 1

प्रश्न 14.
वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसको (UPBoardSolutions.com) 35, 56 तथा 91 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 आता है।
हल:
LCM (36, 56, 91) =

= 2 × 2 × 2 × 7 × 5 × 13
= 3640
∵ शेषफल = 7
∴ अभीष्ट संख्या = 3640 + 7 = 3647

प्रश्न 15.
वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 28 (UPBoardSolutions.com) तथा 32 से विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 8 व 12 प्राप्त होते हैं।
हल:
LCM (28, 32) =

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7
= 32 × 7= 224
∵ शेषफल = 8, 12
∴ अभीष्ट संख्या = 224 – (8+12) = 204

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि 2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
हलः
यदि सम्भव हो तो माना कि 2 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 2 एक परिमेय संख्या है। हम यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय संख्या होती है।
∴ (2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 2) भी एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या (UPBoardSolutions.com) है जो कि एक विरोधाभास है क्योंकि [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
अतः (2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex]) एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है। (NCERT Exemplar)
हलः
माना [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/latex] एक परिमेय संख्या है
∴ [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}=\frac{p}{q}[/latex]
⇒ [latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक परिमेय संख्या है, चूँकि [latex]\frac{p^{2}+2 q^{2}}{2 p q}[/latex] एक परिमेय संख्या है जोकि एक विरोधाभास है।
अतः [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 1.2 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 18.
एक गोलाकार क्षेत्र की परिमाप 360 किमी है। तीन साइकिल सवार (UPBoardSolutions.com) इस प्रकार चलना प्रारम्भ करते हैं कि वे एक दिन में 48, 60 तथा 72 किमी की यात्रा करते हैं। वे दोबारा कब एक-दूसरे से मिलेंगे?
हलः
दिया है, गोलाकार क्षेत्र की परिमाप = 360 किमी
अतः तीनों साइकिल सवार द्वारा एक दिन में की गई यात्रा
= HCF (48, 60, 72) = 2 × 2 × 3 = 12 किमी
अतः तीनों साइकिल सवार एक साथ मिलेंगे = [latex]\frac{360}{12}[/latex] = 30 दिन में

प्रश्न 19.
यदि p व q धनात्मक अभाज्य पूर्णांक है तो सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{p}+\sqrt{q}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है। (NCERT Exemplar)
हलः
माना p तथा q दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं तब यदि सम्भव हो तो [latex] \sqrt{{p}} [/latex] तथा [latex] \sqrt{{q}} [/latex] अपरिमेय संख्या नहीं है तब [latex] \sqrt{{p}} [/latex]
तथा [latex] \sqrt{{q}} [/latex] दोनों परिमेय संख्याएँ होंगी। अतः दो परिमेय संख्याओं का योग ([latex]\sqrt{p}+\sqrt{q}[/latex]) भी एक परिमेय संख्या होगी।

⇒ [latex] \sqrt{{q}} [/latex] एक परिमेय संख्या है, यह एक विरोधाभास है।
अतः [latex] \sqrt{{q}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए [latex]\sqrt{p}+\sqrt{q}[/latex] भी एक अपरिमेय संख्या होगी।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
हलः
माना 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्या नहीं है।
अर्थात् 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक परिमेय संख्या होगी।

अत: 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि निम्न संख्याएँ अपरिमेय हैं।
(i) 3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex]
(ii) 5 + 3[latex] \sqrt{{2}} [/latex]
(iii) [latex]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/latex]
(iv) 4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex]
हलः
(i) यदि सम्भव हो तो माना (3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex]) एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 3 एक परिमेय संख्या है
तथा यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्या होती है। (3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex] – 3) भी एक परिमेय संख्या है अर्थात् [latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक परिमेय संख्या है जोकि एक विरोधाभास है क्योंकि [latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
अत: 3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) यदि सम्भव हो तो माना 5 + 3[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या नहीं है
तब परिमेय संख्या की परिभाषा से,

(iv) यदि सम्भव हो तो माना कि 4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 3 एक परिमेय संख्या है तथा यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय संख्या होगी। अतः (4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 4) (UPBoardSolutions.com) भी एक परिमेय संख्या है अर्थात् [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या है जोकि एक विरोधाभास है। क्योंकि [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
अतः 4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 22.
6 गेंदों को 2, 4, 6, 8, 10, 12 मिनट के अन्तराल पर क्रमशः घुमाया (UPBoardSolutions.com) जाता है। 30 घण्टे में कितनी बार वे एक साथ घूमेंगी।
हल:
LCM (2, 4, 6, 8, 10, 12)

= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
अतः प्रत्येक 120 मिनट अर्थात 2 घण्टे बाद एक साथ घूमेंगी।
इसलिए 30 घण्टे में एक साथ घूमेंगी = [latex]\left[\left(\frac{30}{2}\right)+1\right][/latex] बार = 16 बार

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