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UP Board Solutions for Class 9 Social Science Geography Chapter 1 भारत-आकार एवं स्थिति

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पाठ्य-पुस्तक के प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
निम्नलिखित चार उत्तरों में से उपयुक्त उत्तर लिखिए-
(i) कर्क रेखा किस राज्य से नहीं गुजरती है?
(क) राजस्थान
(ख) ओडिशा
(ग) छत्तीसगढ़
(घ) त्रिपुरा

(ii) भारत का सबसे पूर्वी देशांतर कौन-सा है?
(क) 97°25′ पू.
(ख) 77°6′ पू.
(ग) 68°7′ पू.
(घ) 82°32′ पू.

(iii) उत्तराखण्ड, उत्तर प्रदेश, बिहार, पश्चिम बंगाल और सिक्किम की सीमाएँ किस देश को छूती हैं?
(क) चीन
(ख) भूटान
(ग)नेपाल
(घ) म्यांमार

(iv) ग्रीष्मावकाश में आप यदि कावारत्ती जाना चाहते हैं तो किस केंद्रशासित क्षेत्र में जाएँगे?
(क) पुडुचेरी
(ख) लक्षद्वीप
(ग) अंडमान और निकोबार
(घ) दीव और दमन

(v) मेरे मित्र एक ऐसे देश के निवासी हैं जिस देश की सीमा भारत के साथ नहीं लगती है। आप बताइए, वह कौन-सा देश है?
(क) भूटान
(ख) ताजिकिस्तान
(ग) बांग्लादेश
(घ) नेपाल
उत्तर:
(i) (ख) ओडिशा
(ii) (क) 97° 25′ पू०
(iii) (ग) नेपाल
(iv) (ख) लक्षद्वीप
(v) (ख) ताजिकिस्तान।

प्रश्न 2.
निम्न प्रश्नों के उत्तर संक्षेप में दीजिए –

1. अरब सागर तथा बंगाल की खाड़ी में स्थित द्वीप समूह के नाम बताइए। दक्षिण में कौन-कौन से द्वीपीय देश हमारे पड़ोसी हैं?
2. उन देशों के नाम बताइए जो क्षेत्रफल में भारत से बड़े हैं?
3. हमारे उत्तर-पश्चिमी, उत्तरी तथा उत्तर-पूर्वी पड़ोसी देशों के नाम बताइए।
4. भारत में किन-किन राज्यों से कर्क रेखा गुजरती है? उनके नाम बताइए।

उत्तर:

1. अरब सागर में लक्षद्वीप तथा बंगाल की खाड़ी में अंडमान और निकोबार द्वीप समूह स्थित हैं। भारत के दक्षिण में श्रीलंका तथा मालदीव द्वीपीय देश हमारे पड़ोसी हैं।
2. रूस, कनाडा, अमेरिका, चीन, ब्राजील और ऑस्ट्रेलिया क्षेत्रफल में भारत से बड़े देश हैं।
3. भारत के उत्तर-पश्चिम में पाकिस्तान व अफगानिस्तान, उत्तर में चीन, नेपाल व भूटान, उत्तर-पूर्व में म्यांमार व बांग्लादेश स्थित हैं।
4. कर्क रेखा भारत के गुजरात, मध्य प्रदेश, छत्तीसगढ़, झारखण्ड, पश्चिम बंगाल, त्रिपुरा एवं मिजोरम राज्यों से होकर गुजरती है।

प्रश्न 3.
सूर्योदय अरुणाचल प्रदेश के पूर्वी भाग में गुजरात के पश्चिमी भाग की अपेक्षा 2 घंटे पहले क्यों होता है, जबकि दोनों राज्यों में घड़ी एक ही समय दर्शाती है? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
अरुणाचल प्रदेश के पूर्वी भाग में सूर्योदय गुजरात के पश्चिमी भाग की अपेक्षा 2 घण्टे पहले होने के कारण निम्नलिखित हैं-

1. सूर्योदय पूर्व में होता है अतः पूर्व में समय पश्चिम की अपेक्षा आगे होता है।
2. अरुणाचल प्रदेश के पूर्वी भाग की अंतिम मध्याह्न रेखा 97° 25′ पूर्व है जबकि गुजरात के पश्चिमी भाग की मध्याह्न रेखा 68° 7′ पूर्व है। इन दोनों स्थानों में लगभग 30 मध्याह्न रेखाओं का अंतर है।
3. प्रत्येक मध्याह्न रेखा पर सूर्य निकलने के समय में 4 मिनट का अंतर आता है।
4. इस प्रकार गुजरात के पश्चिमी भाग में अरुणाचल प्रदेश के पूर्वी भाग की तुलना में समय 2 घण्टे पीछे रहता है।
5. भारत की घड़ियाँ 82° 30° पूर्व के मानक समय को मानती हैं और प्रत्येक मध्याह्न रेखा पर घड़ी के अनुसार समय एक जैसा ही रहता है। 82°30′ भारत का मानक याम्योत्तर है। यह रेखा भारत के इलाहाबाद जनपद से होकर गुजरती है।

प्रश्न 4.
हिन्द महासागर में भारत की केन्द्रीय स्थिति से इसे किस प्रकार लाभ प्राप्त हुआ है?
उत्तर:
हिन्द महासागर में भारत की केन्द्रीय स्थिति से इसे निम्नलिखित लाभ प्राप्त हुए हैं-

1. भारतीय भूखण्ड पूर्वी एवं पश्चिमी एशिया केन्द्र में स्थित है।
2. प्राचीन समय में भारत का समुद्री व्यापार समुद्र मार्ग से होता था। हिन्द महासागर के शीर्ष पर स्थित भारत की केन्द्रीय स्थिति इस कार्य में सहायक रही है।
3. भारत के विचार तथा वस्तुओं का आदान-प्रदान अफ्रीका के पूर्वी तटीय देशों, एशिया के पश्चिमी भाग तथा दक्षिणी देशों, पूर्व में चीन, जापान तथा दक्षिणी-पूर्वी देशों के साथ होता रहा है।
4. उत्तर में पर्वतों के आर-पार जाने वाले विभिन्न दरों से प्राचीन यात्रियों को आने-जाने का मार्ग मिलता था। उपनिषदों, रामायण, पंचतंत्र की कहानियों, भारतीय अंकों और दशमलव प्रणाली से सम्बन्धित विचार इसी माध्यम से विश्व के अन्य भागों में पहुँचा था। मसाले, मलमल (UPBoardSolutions.com) और व्यापार का अन्य सामान भारत से अन्य देशों में ले जाया जाता था।
5. दूसरी ओर यूनानी मूर्तिकला, पश्चिम एशिया से विभिन्न प्रकार के गुंबद एवं मीनार बनाने की भवन निर्माण कला देश के विभिन्न भागों में देखी जा सकती है।
6.  हिन्द महासागर में स्थित किसी भी अन्य देश का समुद्र तट भारत जितना बड़ा नहीं है और वास्तव में भारत की महत्त्वपूर्ण स्थिति के कारण ही इस महासागर का नामकरण ‘हिन्द महासागर’ भारत के नाम पर किया जाना सही ठहराता है।

मानचित्र कौशल

प्रश्न 1.
दिए गए मानचित्र की सहायता से पहचान कीजिए :

1. 1. अरब सागर और बंगाल की खाड़ी में स्थित द्वीप समूह
   2. भारतीय उपमहाद्वीप किन देशों से मिलकर बनता है?
   3. कर्क रेखा कौन-कौन से राज्यों से गुजरती है?
   4. भारतीय मुख्य भूभाग का दक्षिणी शीर्ष बिन्दु।
   5. भारत का सबसे उत्तरी अक्षांश।
   6. अंशों में भारत का मुख्य भू-भाग का दक्षिणी अक्षांश।
   7. भारत का सबसे पूर्वी और पश्चिमी देशांतर।
   8. सबसे लंबी तट रेखा वाला राज्य।
   9. भारत और श्रीलंका को अलग करने वाली जलसंधि।
   10. भारत के केंद्रशासित क्षेत्र।

उत्तर:

1. लक्षद्वीप तथा अंडमान एवं निकोबार द्वीप समूह।।
2. भारत, पाकिस्तान, नेपाल, भूटान, बांग्लादेश, श्रीलंका तथा मालदीव।
3. गुजरात, राजस्थान, मध्य प्रदेश, छत्तीसगढ़, झारखण्ड, पश्चिम बंगाल, त्रिपुरा तथा मिजोरम।
4. कन्याकुमारी
5. 37°6′ उत्तरी
6. 8°4′ द.
7.  97°25′ पू.,68°7′ पू.
8.  गुजरात
9. पाक जलसंधि
10. अंडमान निकोबार द्वीप समूह, लक्षद्वीप समूह, चंडीगढ़, दादर व नगर हवेली, दमन व दीव, दिल्ली और पुडुचेरी।

परियोजना कार्य

प्रश्न 1.

1. अपने राज्य का विस्तार अक्षांश और देशांतर में ज्ञात कीजिए।
2. रेशम मार्ग’ के बारे में सूचना एकत्र कीजिए। यह भी ज्ञात कीजिए कि किन नई विकास योजनाओं द्वारा उच्च पर्वतीय क्षेत्रों में आवागमन के मार्ग विकसित किए गए हैं?

उत्तर:

1. इस प्रश्न का समाधान विद्यार्थी अध्यापक की (UPBoardSolutions.com) सहायता से करें।
2. रेशम मार्ग-रेशम मार्ग’ चीन एवं भूमध्य सागर के बीच अंतर्राष्ट्रीय व्यापार का एक महत्त्वपूर्ण मार्ग है। क्योंकि इस मार्ग से होने वाले व्यापार में रेशम का एक बड़ा हिस्सा होता था, अतः 1877 ई0 में फड़नेन्ड वॉन रिक्टॉफेन नामक एक प्रसिद्ध जर्मन भूगोलवेत्ता ने इसका नाम ‘रेशम मार्ग’ रख दिया। पारंपरिक रेशम मार्ग पूर्व एवं पश्चिम के बीच संबंध के कारण विकसित हुआ जिसने सांस्कृतिक विरासत के आदान-प्रदान को बढ़ावा दिया। हाल के वर्षों में रेशम मार्ग एक बार पुनः समुद्री मार्ग एवं थल मार्ग दोनों से प्रयोग किया जा रहा है।

नई विकास योजनाओं द्वारा आवागमन के साधनों का विकास0 सुरंगें बनाकर रेलवे लाइनें बिछाई गई हैं-

• • रोपवे (Ropeway) बनाए गए हैं।
  • केबिल पुलों का निर्माण किया गया है।
  • संचार संसाधनों का विकास किया गया है।
  • प्रधानमंत्री ग्रामीण सड़क योजना के अंतर्गत हर गाँव को मुख्य कस्बे या जिला मुख्यालय से जोड़ा जा रहा है।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सन् 2014 में आंध्र प्रदेश के पुनर्गठन से उत्पन्न दो राज्यों को लिखिए।
उत्तर:
आंध्र प्रदेश को विभाजित करके तेलंगाना और आंध्र प्रदेश दो राज्य अस्तित्व में आए। तेलंगाना की राजधानी हैदराबाद है जबकि आंध्र प्रदेश की राजधानी अमरावती में निर्माणाधीन है।

प्रश्न 2.
उत्तर प्रदेश, मध्य प्रदेश और बिहार की राजधानियों के नाम बताइए।
उत्तर:
उत्तर प्रदेश की राजधानी लखनऊ, मध्य प्रदेश की भोपाल और बिहार की पटना है।

प्रश्न 3.
बांग्लादेश की सीमा को स्पर्श करने वाले चार भारतीय राज्यों के नाम लिखिए।
उत्तर:

1. पश्चिम बंगाल,
2. असोम,
3. मेघालय,
4. मिजोरम।

प्रश्न 4.
अरब सागर को स्पर्श करने वाले चार भारतीय राज्यों के नाम बताइए।
उत्तर:

1. केरल,
2. कर्नाटक,
3. महाराष्ट्र,
4. गुजरात।

प्रश्न 5.
भारत का मानक समय ग्रीनविच के समय से कितना आगे है?
उत्तर:
भारत का मानक समय ग्रीनविच के समय से साढ़े पाँच घण्टे आगे है।

प्रश्न 6.
मालदीव कहाँ स्थित है?
उत्तर:
मालदीव देश लक्षद्वीप के दक्षिण में स्थित है।

प्रश्न 7.
क्षेत्रफल की दृष्टि से भारत का विश्व में कौन-सा स्थान है?
उत्तर:
क्षेत्रफल की दृष्टि से भारत का विश्व में सातवाँ स्थान है।

प्रश्न 8.
भारत की स्थलीय सीमा की लंबाई बताइए।
उत्तर:
भारत की स्थलीय सीमा की लंबाई लगभग 15,200 किमी है।

प्रश्न 9.
भारत के पूर्वी तट पर स्थित चार राज्यों के नाम बताइए।
उत्तर:
तमिलनाडु, आंध्र प्रदेश, ओडिशा तथा पश्चिम बंगाल भारत के पूर्वी तट पर स्थित चार राज्य हैं।

प्रश्न 10.
क्षेत्रफल की दृष्टि से भारत के सबसे बड़े और सबसे छोटे राज्यों के नाम बताइए।
उत्तर:
क्षेत्रफल की दृष्टि से राजस्थान सबसे बड़ा और गोवा सबसे छोटा राज्य है।

प्रश्न 11.
देश में राज्यों और केन्द्रशासित प्रदेशों की संख्या कितनी है?
उत्तर:
आज देश में राज्यों की कुल संख्या 29 और संघशासित प्रदेशों की संख्या 7 है।

प्रश्न 12.
उत्तर में भारत की सीमा किन राज्यों को स्पर्श करती है?
उत्तर:
उत्तर में भारत की सीमा चीन, नेपाल व भूटान देशों को स्पर्श करती है।

प्रश्न 13.
भारत की प्रामाणिक समय रेखा कौन-सी है और यह कहाँ से गुजरती है?
उत्तर:
भारत की प्रामाणिक समय रेखा 82° 30′ पूर्व देशांतर पर स्थित है और यह इलाहाबाद के पास मिर्जापुर से होकर गुजरती है।

प्रश्न 14.
भारत के दो पड़ोसी द्वीपीय राज्य कौन-से हैं?
उत्तर:
भारत के दो पड़ोसी द्वीपीय राज्य श्रीलंका और मालदीव हैं।

प्रश्न 15.
भारत के तीनों ओर स्थित सागरों के नाम बताइए।
उत्तर:
भारत के पूर्व में बंगाल की खाड़ी, पश्चिम में अरब सागर तथा दक्षिण में हिन्द महासागर स्थित है।

प्रश्न 16.
कौन से राज्य अंतर्राष्ट्रीय सीमा तथा समुद्र तट को स्पर्श नहीं करते हैं?
उत्तर:
हरियाणा, मध्य प्रदेश, छत्तीसगढ़, झारखण्ड राज्य की सीमा न ही अंतर्राष्ट्रीय सीमा और न ही समुद्र तट से मिलती है।

प्रश्न 17.
कन्याकुमारी और कश्मीर में दिन-रात की अवधि में अंतर क्यों है?
उत्तर:
कन्याकुमारी विषुवत् रेखा के समीप है और विषुवत् रेखा पर दिन-रात बराबर होते हैं। जबकि कश्मीर 35° उत्तरी अक्षांश पर स्थित है इसलिए कश्मीर में ग्रीष्म और शीत ऋतु में दिन-रात बराबर नहीं होते। ग्रीष्म ऋतु में दिन बड़ा होता है और शीत ऋतु में रात बड़ी होती है।

प्रश्न 18.
1947 से पूर्व भारत में किस तरह के दो प्रकार के राज्य थे?
उत्तर:
1947 से पूर्व भारत में दो प्रकार के राज्य थे, प्रांत और रियासत। वायसराय द्वारा नियुक्त अंग्रेज अधिकारी प्रांतों १५ शासन करते थे और रियासतों का शासन स्थानीय शासकों द्वारा पैतृकता के आधार पर अंग्रेजी शासकों की प्रभुसता मानकर स्वायत्तता से किया जाता था।

प्रश्न 19.
उपमहाद्वीप किसे कहते हैं? कौन से देश मिलकर भारतीय उपमहाद्वीप बनाते हैं।
उत्तर:
उपमहाद्वीप एक विशाल भौगोलिक इकाई है जो शेष महाद्वीप से अलग दिखाई देती है। भारतीय उपमहाद्वीप ?
पाकिस्तान, भारत, नेपाल, भूटान, बांग्लादेश सम्मिलित हैं।

प्रश्न 20.
कर्क रेखा से क्या तात्पर्य है?
उत्तर:
23°30′ उत्तर अक्षांश से गुजरने वाली रेखा है जो पूरे देश को लगभग दो बराबर भागों में बाँटती है जिसे कर्क रेखा कहा जाता है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारत की भौगोलिक स्थिति और विस्तार को स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
क्षेत्रफल की दृष्टि से भारत का विश्व में सातवाँ स्थान है। भारत का क्षेत्रफल 32.8 लाख वर्ग किमी है। यह विश्व के कुल भू-भाग का 2.4 प्रतिशत है। भारत की मुख्य भूमि 8°4′ उत्तर से 37°6′ उत्तरी अक्षांशों के बीच फैली हुई है। भारत का देशान्तरीय विस्तार 68°7′ पू. से 97°25° पूर्वी देशान्तरों के बीच है। कर्क वृत्त (23° 30′ उ.) भारत को लगभग दो समान भागों में बांटता है। भारत हिन्द महासागर के शीर्ष पर (UPBoardSolutions.com) अपनी केन्द्रीय स्थिति के कारण सभी अंतर्राष्ट्रीय व्यापार मार्गों का संगम है। परिणामस्वरूप विश्व के लगभग सभी देशों के साथ इसके व्यापारिक सम्बन्ध हैं।

प्रश्न 2.
82°30′ को भारत का मानक अक्षांश क्यों चुना गया?
उत्तर:
82°30′ को भारत का मानक अक्षांश चुना गया है क्योंकि यह उन अक्षांश एवं देशांतर रेखाओं के मध्य में स्थित है जिनमें हमारा देश स्थित है। यह इलाहाबाद से गुजरती है। भारतीय मानक समय (IST) की गणना 82.5° पू. अक्षांश से की जाती है जो कि उत्तर प्रदेश में इलाहाबाद के पास स्थित मिर्जापुर कस्बे के एकदम पूर्व से गुजरती है। समय के अंतर के कारण किसी प्रकार के भ्रम से बचने और पूरे देश के लिए एक मानक समय निर्धारित करने के लिए 82°30° पू. अक्षांश से गुजरने वाली रेखा को चुना गया है। यही कारण है कि पूरे देश में घड़ियाँ एक ही समय दर्शाती हैं।

प्रश्न 3.
भारत दक्षिण एशिया में महत्त्वपूर्ण सामरिक स्थिति में है। स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
भारतीय भू-भाग पूर्व एवं पश्चिम एशिया के मध्य में स्थित है। भारत, एशिया महाद्वीप के दक्षिण में विस्तृत हैं।
भारत पश्चिम स्थित यूरोप के देशों को पूर्व में स्थित एशियाई देशों को जोड़ने वाले हिन्द महासागर पार के समुद्री मार्ग की सामरिक केन्द्रीय स्थिति में है। भारतीय भूखंड पूर्व एवं पश्चिम एशिया के मध्य में स्थित है। भारत का जो भाग एशिया महाद्वीप से जुड़ा हुआ है (भू-मार्ग एवं दरों के रास्ते से) (UPBoardSolutions.com) वह भारत को इसके उत्तर, पश्चिम एवं पूर्व में स्थित विभिन्न देशों से जोड़ता है। दक्षिण प्रायद्वीप हिन्द महासागर में दूर तक चला गया है जिससे भारत को पश्चिमी तट से पश्चिम एशियाई, अफ्रीका और यूरोप तथा दक्षिणपूर्वी एवं पूर्वी तट से पूर्व एशिया के देशों के साथ नजदीकी संबंध बनाने में मदद मिलती है।

प्रश्न 4.
भारत को उपमहाद्वीप का दर्जा क्यों दिया जाता है? भारतीय उपमहाद्वीप किन देशों से मिलकर बना है?
उत्तर:
भारत एशिया महाद्वीप के दक्षिण में स्थित है। एशिया का भाग होते हुए भी यह एक विशिष्ट भौगोलिक इकाई है। हिमालय पर्वत इसे शेष एशिया से पृथक् करता है। भारत की इसी विशेषता के कारण भारत को उपमहाद्वीप का दर्जा दिया जाता है। भारतीय उपमहाद्वीप में भारत के अतिरिक्त पाकिस्तान, नेपाल, भूटान, बांग्लादेश, श्रीलंका, मालदीव आदि देश शामिल हैं।

प्रश्न 5.
कर्क वृत्त भारत को दो समान भागों में विभक्त करता है। इन दोनों भागों का संक्षिप्त विवेचन कीजिए।
उत्तर:
भारत का उत्तरी भाग-भारत का कर्क वृत्त के उत्तर में फैला हुआ विशाल भू-भाग है। यह पूर्व से पश्चिम की ओर विस्तृत है। इसमें ऊँचे पर्वत तथा विशाल मैदान स्थित हैं।
भारत का दक्षिणी भाग – भारत का कर्क वृत्त के दक्षिण में फैला हुआ भाग त्रिभुजाकार है। इस त्रिभुज का आधार उत्तर की ओर है। दक्षिण की ओर जाते हुए यह भाग संकीर्ण होता जाता है। इस भाम में मुख्य रूप से प्रायद्वीपीय पठार एवं पश्चिमी तटीय मैदान सम्मिलित हैं।

प्रश्न 6.
विश्व क्षेत्रफल की दृष्टि से भारत की स्थिति स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
भारत संसार का सातवाँ बड़ा देश है। इससे बड़े 6 देश हैं-रूस, कनाडा, संयुक्त राज्य अमेरिका, चीन, ब्राजील तथा आस्ट्रेलिया।

1. यह तीन गोलार्थों में स्थित है-उत्तरी गोलार्द्ध, पूर्वी गोलार्द्ध तथा स्थलीय गोलार्द्ध।
2. इसका पूर्व-पश्चिम विस्तार 2,933 किमी तथा उत्तर दक्षिण विस्तार 3,214 किमी है।
3. इसका कुल क्षेत्रफल विश्व के क्षेत्रफल का 2.4% है।
4. पूर्वी सीमा पर बंगाल की खाड़ी, पश्चिमी सीमा पर अरब सागर तथा दक्षिणी सीमा पर हिंद महासागर इसकी प्राकृतिक सीमा निर्धारित करते हैं।
5. पश्चिम में पाकिस्तान, उत्तर-पश्चिम में अफगानिस्तान, उत्तर तथा उत्तर-पूर्व में चीन, उत्तर में नेपाल, पूर्व में म्यांमार तथा बांग्लादेश भारत की स्थल सीमा निर्धारित करते हैं।

प्रश्न 7.
भारत में स्थानीय समय में अंतर की समस्या का समाधान किस प्रकार निकाला गया है?
उत्तर:
भारत के पूर्वी एवं पश्चिमी भागों के स्थानीय समय में अंतर के कारण उत्पन्न समस्याओं के निराकरण के लिए एक मानक समय निर्धारित किया गया। मानक समय का निर्धारण प्रधान मध्याह्न रेखा के समय के आधार पर किया जाता है। संसार को 15° देशांतर के अंतर पर 24 समय क्षेत्रों में बाँटा गया है। इनमें से प्रत्येक समय क्षेत्र की मानक मध्याह्न रेखा, ऐसी चुनी । जाती है, जो 74° से विभाजित हो।। एक समय क्षेत्र में अधिकतम आधे घंटे का अंतर हो, इसलिए 7%° से ‘विभाजित देशांतर को संबंधित क्षेत्र न्यू मूर द्वीप (UPBoardSolutions.com) की मानक रेखा माना जाता है।
चित् झील की मानक मध्याह्न रेखा 824° पूर्वी देशांतर है।
बंगाल की खाड़ी विस्तार अधिक होने से हमारे दैनिक ‘क्रिया-कलापों का प्रारंभ और समापन अलग-अलग स्थानों पर अलग-अलग

1. 1. कच्छ की खाड़ी समय पर होता है। लेकिन देश में
   2. खंभात की खाड़ी
   3. मन्नार की खाड़ी मानक मध्याह्न रेखा के समय के
   4. पाक जलसंधि आधार पर ही घड़ियाँ चलती हैं। ‘यही समय सब जगह एक जैसा होता है। स्थान-स्थान का स्थानीय समय अलग होता है मगर मानक समय सब स्थानों पर समान होता है।

प्रश्न 8.
भारत के सबसे पूर्वी एवं पश्चिमी भू-भाग में सूर्योदय के समय में अंतर का क्या कारण है?
उत्तर:
भारत के सबसे पूर्वी क्षैतिज पर पश्चिमी सिरे की क्षैतिज से 2 घंटे पहले सूर्य उदय होता है। अर्थात् अरुणाचल प्रदेश का वासी जब अपनी प्रातः की दिनचर्या प्रारंभ करता है, उस समय गुजरात प्रदेश का वासी आराम से सोया होता है। दूसरी ओर सायं के समय अरुणाचल प्रदेश का वासी दैनिक कार्य को समाप्त कर विश्राम करने की स्थिति में होता है, उस समय गुजरात का वासी अपने दैनिक कार्य को समाप्त करने (UPBoardSolutions.com) में जुटा होता है। भारत का देशांतरीय विस्तार 30° है। दो देशांतरों के बीच सूर्य उदय होने में 4 मिनट का अंतर आता है। पूर्वी और पश्चिमी सीमांतों पर 30 x 4 = 120 मिनट अर्थात् 2 घंटे का अंतर हो जाता है।

प्रश्न 9.
कन्याकुमारी में दिन और रात की अवधि में कम अंतर पाया जाता है जबकि कश्मीर में यह अंतर अधिक है। ऐसा क्यों?
उत्तर:
विषुवत् वृत्त पर स्थित स्थानों को छोड़ सभी स्थानों पर दिन और रात असमान होते हैं। विषुव वृत्त से ध्रुवों की ओर जाने पर दिन-रात की अवधि में अंतर बढ़ता जाता है। यहाँ तक कि ध्रुवों पर छः महीने की रात और छः महीने का दिन होता है।
भारत का अक्षांशीय विस्तार 6°48′ उत्तर से लेकर 37°6′ तक है। कन्याकुमारी भारत की मुख्य भूमि का दक्षिणतम सिरा है, जो विषुवत् वृत्त के निकट है। अतः कन्याकुमारी में यह अंतर केवल 45 मिनट का हो जाता है।
कश्मीर के उत्तरतम भागों में यह अंतर बढ़कर 5 घंटे का हो जाता है।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारत के राज्यों एवं केन्द्रशासित प्रदेशों का विवरण प्रस्तुत कीजिए।
उत्तर:
वर्तमान में भारत में 29 राज्य और 7 संघशासित क्षेत्र हैं, जिनका  विवरण इस प्रकार है|
राज्य–

1. जम्मू और कशमीर ,
2. पंजाब,
3. हरियाणा,
4. हिमाचल प्रदेश,
5. उत्तर प्रदेश,
6. बिहार,
7. पश्चिम बंगाल,
8. सिक्किम,
9. असोम,
10. नगालैण्ड,
11. अरुणाचल
12. मणिपुर,
13. तांग्लादेश मणिपुर मिजोरम,
14. मेघालय,
15. त्रिपुरा,
16. ओडिशा,
17. मध्य प्रदेश,
18. राजस्थान,
19. गुजरात,
20. महाराष्ट्र,
21. गोवा,
22. आंध्र प्रदेश,
23. कर्नाटक,
24. केरल,
25. तमिलनाडु,
26. छत्तीसगढ़,
27. उत्तराखण्ड,
28. झारखण्ड,
29. तेलंगाना।
    

केन्द्रशासित क्षेत्र

1. अण्डमान निकोबार द्वीप समूह,
2. चंडीगढ़,
3. दादर व नगर हवेली,
4. दिल्ली,
5. दमन व दीव,
6. लक्षद्वीप,
7. पुडुचेरी।

उल्लेखनीय है कि दमन व दीव दो अलग-अलग स्थानों पर स्थित हैं जबकि करैकल, यमन व माहे, ये तीन स्थान केन्द्र शासित क्षेत्र पुडुचेरी के अंतर्गत आते हैं।

प्रश्न 2.
भारत की स्थिति और विस्तार का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
उत्तरी गोलार्द्ध में स्थित भारत विश्व का सातवाँ बड़ा देश है। इसका भौगोलिक विस्तार 8°4′ उत्तर से 37° 6′ उत्तरी अक्षांश तक तथा 68° 7′ पूर्व से 97° 25′ पूर्व देशान्तर तक फैला है। 23° 30′ उत्तर अक्षांश रेखा जिसे कर्क रेखा भी कहते हैं, भारत को दो लगभग समान भागों में बांटती है। भारत के मुख्य भू-भाग के दक्षिण-पूर्व में अंडमान और निकोबार द्वीप समूह बंगाल की खाड़ी में तथा लक्षद्वीप समूह अरब (UPBoardSolutions.com) सागर में क्रमशः स्थित हैं। गुजरात, राजस्थान, मध्य प्रदेश, छत्तीसगढ़, झारखण्ड, पश्चिम बंगाल, त्रिपुरा और मिजोरम ऐसे राज्य हैं जिनमें से कर्क रेखा गुजरती है।

भारत के भूभाग का कुल क्षेत्रफल लगभग 32.8 लाख वर्ग किलोमीटर है। भारत का क्षेत्रफल विश्व के कुल भौगोलिक क्षेत्रफल का 2.4 प्रतिशत है। यह विश्व का सातवाँ सबसे बड़ा देश है। भारत की थल सीमा रेखा लगभग 15,200 किमी और समुद्री तट रेखा अंडमान और निकोबार द्वीप समूह और लक्षद्वीप समूह को मिलाकर 7,516 किमी है। भारत उत्तर-पश्चिम, उत्तर एवं उत्तर-पूर्वी सीमा पर नवीनतम वलित पर्वतों से घिरा हुआ है। यह दक्षिण में 22° उत्तर अक्षांश से हिन्द महासागर की ओर संकरा होता चला गया है जहाँ इसे दो सागरों पश्चिम में अरब सागर तथा पूर्व में बंगाल की खाड़ी में विभाजित कर देता है।

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UP Board Solutions for Class 9 Science Chapter 8 Motion (गति)

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पाठ्य – पुस्तक के प्रश्नोत्तर

पाठगत प्रश्न (पृष्ठ संख्या – 110)

प्रश्न 1.
एक वस्तु के द्वारा कुछ दूरी तय की गई। क्या इसका विस्थापन शून्य हो सकता है? अगर हाँ, तो अपने उत्तर को उदाहरण के द्वारा समझाएँ।
उत्तर-
एक धावक जब वृत्ताकार पथ पर दौड़ता है। और एक चक्कर पूरा करके प्रारम्भिक बिन्दु पर पहुँच जाता है तब उसका विस्थापन शून्य होगा, परन्तु तय की गई दूरी (UPBoardSolutions.com) परिधि (वृत्ताकार पथ) के बराबर होगी।

The Average Velocity calculator computes the velocity (V) based on the change in position (Δx) and the change in time (Δt).

प्रश्न 2.
एक किसान 10m की भुजा वाले एक वर्गाकार खेत की सीमा पर 40s में चक्कर लगाती है। 2 मिनट 20 सेकण्ड के बाद किसान के विस्थापन का परिमाण क्या होगा?
हल-
वर्गाकारे खेत की भुजा = 10 m
एक चक्कर में तय की गई दूरी = 10 x 4 = 40 m
एक चक्कर लगाने में लगा समय = 40 सेकण्ड
चाल = [latex]\frac { 40 }{ 40 }[/latex] = 1 m/s
2 मिनट और 20 सेकण्ड अर्थात् 140 सेकण्ड में किसान द्वारा तय की गई दूरी = 140 x 1 = 140 मीटर
अर्थात् 140 सेकण्ड में किसान 3[latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] चक्कर पूरे करेगा और उस समय उसकी स्थिति B बिन्दु पर होगी।

प्रश्न 3.
विस्थापन के लिए निम्न में कौन सही है?
(a) यह शून्य नहीं हो सकता है।
(b) इसका परिमाण वस्तु के द्वारा तय की गई दूरी से अधिक होता है।
उत्तर-
विस्थापन के लिये निम्न में से कोई सही नहीं है।

पाठगत प्रश्न (पृष्ठ संख्या – 112)

प्रश्न 1.
चाल एवं वेग में अन्तर बताइए।
उत्तर-
चाल एवं वेग में निम्नलिखित अन्तर हैं-

प्रश्न 2.
किस अवस्था में किसी वस्तु के औसत वेग का परिमाण उसकी औसत चाल के बराबर होगा?
उत्तर-
यदि कोई वस्तु समान त्वरण से चलती है और उसका विस्थापन तथा कुल तय की गई दूरी समान है, तब उसके औसत वेग को परिमाण उसकी औसत चाल के समान होगा।

प्रश्न 3.
एक गाड़ी का ओडोमीटर क्या मापता है?
उत्तर-
एक गाड़ी का ओडोमीटर गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी को मापता है।

प्रश्न 4.
जब वस्तु एकसमान गति में होती है तब उसका मार्ग कैसा दिखाई पड़ता है?
उत्तर-
वस्तु एक सरल रेखीय गति से चलती है तथा उसका मार्ग सरल रैखिक होता है।

प्रश्न 5.
एक प्रयोग के दौरान अंतरिक्ष यान से एक सिग्नल को पृथ्वी पर पहुँचने में 5 मिनट का समय लगता है। पृथ्वी पर स्थित स्टेशन से उस अंतरिक्षयान की दूरी क्या है? (सिग्नल की चाल = प्रकाश की चाल = 3 x 108 ms^-1)
हल-
सिग्नल द्वारा पृथ्वी तक पहुँचने में लगा समय t = 5 मिनट = 300 सेकण्ड
इसलिए, स्टेशन से अन्तरिक्ष यान की दूरी = सिग्नल की चाल x लगा समय

पाठगत प्रश्न (पृष्ठ संख्या – 114)

प्रश्न 1.
आप किसी वस्तु के बारे में कब कहेंगे कि,
(i) वह एकसमान त्वरण से गति में है?
(ii) वह असमान त्वरण से गति में है?
उत्तर-
(i) एक वस्तु समान त्वरण में कही जाती है। यदि उसके एक सरल रेखा में वेग परिवर्तन (बढ़ना यो घटना) की दर समान समयान्तरालों में समान है चाहे समयान्तराल (UPBoardSolutions.com) कितना भी कम क्यों न हो।
उदाहरण- एक स्वतन्त्र रूप से गिरती हुई वस्तु का त्वरण एक समान त्वरित गति का उदाहरण है।
(ii) एक वस्तु असमान त्वरण में कही जाती है यदि उसका वेग असमान रूप से बढ़े या घटे अर्थात् समान समयान्तरालों में असमान वेग में परिवर्तन हो।

प्रश्न 2.
एक बस की गति 5s में 80 kmh^-1 से घटकर 60 kmh^-1 हो जाती है। बस का त्वरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी स्टेशन से चलना प्रारम्भ करती है और एकसमान त्वरण के साथ चलते हुए 10 मिनट में 40 km/h की चाल प्राप्त करती है। इसका त्वरण ज्ञात कीजिए।

पाठगत प्रश्न (पृष्ठ संख्या – 118)

प्रश्न 1.
किसी वस्तु के एकसमान व असमान गति के लिए समय-दूरी ग्राफ की प्रकृति क्या होगी?
उत्तर-
समान गति के लिए ग्राफ का स्वरूप एक सरल रेखा में होता है, जबकि असमान गति के लिए यह वक्र रेखा में होता है।

प्रश्न 2.
किसी वस्तु की गति के विषय में आप क्या कह सकते हैं, जिसका दूरी-समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सरल रेखा है?
उत्तर-
यदि समय-दूरी ग्राफ समय अक्ष के समानान्तर है तो इसका यह अर्थ है कि वस्तु की स्थिति में समय के साथ। कोई परिवर्तन नहीं है अर्थात् वस्तु विराम अवस्था में होगी।

प्रश्न 3.
किसी वस्तु की गति के विषय में आप क्या कह सकते हैं, जिसका चाल-समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सरल रेखा है?
उत्तर-
यदि चाल-समय ग्राफ समय अक्ष के समानान्तर एक (UPBoardSolutions.com) सरल रेखा है तो वह वस्तु एकसमान चाल से चल रही है क्योंकि समय बढ़ने पर चाल में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

प्रश्न 4.
वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्र से मापी गई राशि क्या होती है?
उत्तर-
समय-वेग ग्राफ के अन्तर्गत क्षेत्रफल से हम वस्तु के द्वारा निश्चित समय में तय की दूरी नाप सकते हैं।

पाठगत प्रश्न (पृष्ठ संख्या – 121)

प्रश्न 1.
कोई बस विरामावस्था से चलना प्रारम्भ करती है तथा 2 मिनट तक 0.1 ms-2 के एकसमान त्वरण से चलती है। परिकलन कीजिए
(a) प्राप्त की गई चाल तथा
(b) तय की गई दूरी।
हल-
बस का प्रारंभिक वेग = u = 0
त्वरण (a) = 0.1 m/s²
समय है = 2 मिनट = 120 सेकण्ड
हम जानते हैं-
v = u + at = 0 + 0.1 x 120 = 12 m/s
(a) 2 मिनट के पश्चात् बस का वेग = 12 m/s
(b) तय की गई दूरी (s) = ?

प्रश्न 2.
कोई रेलगाड़ी 90 kmh^-1 के चाल से चल रही है। ब्रेक लगाए जाने पर वह -0.5 ms^-2 का एकसमान त्वरण उत्पन्न करती है। रेलगाड़ी विराम अवस्था में आने के पहले कितनी दूरी तय करेगी?
हल-
रेलगाड़ी का प्रारम्भिक वेग (u) = 90 km/h
= [latex]\frac { 90 x 1000 }{ 60 x 60 }[/latex] = 25 m/s
अन्तिम वेग (v) = 0
त्वरण (a) = -0.5 m/s²
मान लो रुकने से पहले रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = s = ?
हम जानते हैं
2 as = v² – u²
2 (- 0.5) x s = (0)² – (25)²
– 2 x 0.5s = – 625
s = 625 m

प्रश्न 3.
एक ट्रॉली एक आनत तल पर 2ms^-2 के त्वरण से नीचे जा रही है। गति प्रारंभ करने के 3s के पश्चात् उसका वेग क्या होगा?
हल-
ट्रॉली का त्वरण (a) = 2 cm/s²
ट्रॉली का आरम्भिक वेग (u) = 0
समय (t) = 3 सेकण्ड
माना 3 सेकण्ड के पश्चात् वेग (v) = ?
v = u + at
v = 0 + 2 x 3 = 6 cm/s

प्रश्न 4.
एक रेसिंग कार को एकसमान त्वरण 4 ms^-1 है। गति प्रारम्भ करने के 10s के पश्चात् वह कितनी दूरी तय करेगी?
हल-
कार का प्रारम्भिक वेग (u) = 0
त्वरण (a) = 4 m/s²
समय (t) = 10 सेकण्ड
माना 10 सेकण्ड के पश्चात् तय की गई दूरी = s
s = ut + [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] at²
= 0 x t + [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] x 4 x (10)²
= 2 x 100 = 200 m.

प्रश्न 5.
किसी पत्थर को ऊध्र्वाधर ऊपर की ओर 5s^-1 के वेग से फेंका जाता है। यदि गति के दौरान पत्थर का नीचे की ओर दिष्ट त्वरण 10ms^-2 है, तो पत्थर के द्वारा कितनी ऊँचाई प्राप्त की गई तथा उसे वहाँ पहुँचने में कितना समय लगा?
हल-
पत्थर का आरम्भिक वेग (u) = 5 m/s
त्वरण (a) = – 10 m/s²
(i) माना पत्थर की अधिकतम ऊँचाई = h या s
2ah = v² – u²
2(-10) h = 0 – (5)²
– 20h = -25
h = [latex]\frac { 5 }{ 4 }[/latex]
या
h = 1.25 m
(ii) माना अधिकतम ऊँचाई पहुँचने में लगा समय = t है।
v = u + at
0 = 5 – 10t
t = [latex]\frac { 5 }{ 10 }[/latex] = 0.5 सेकण्ड

अभ्यास प्रश्न (पृष्ठ संख्या 124 – 125)

प्रश्न 1.
एक एथलीट वृत्तीय रास्ते, जिसका व्यास 200 m है, का एक चक्कर 40 s में लगाता है। 2min 20s के बाद वह कितनी दूरी तय करेगा और उसका विस्थापन क्या होगा?

प्रश्न 2.
300 m सीधे रास्ते पर जोसेफ जॉगिंग करता हुआ 2min 50s में एक सिरे A से दूसरे सिरे B पर पहुँचता है और घूमकर 1min में 100m पीछे बिंद C पर पहुँचता है। जोसेफ की और चाल तथा औसत वेग क्या होंगे?
(a) सिरे A से सिरे B तक तथा
(b) सिरे A से सिरे C तक।
उत्तर-
(i) सिरे ‘A’ से सिरे ‘B’ तक कुल तय दूरी AB = 300 m
तथा लिया गया समय = 2 मिनट 50 सेकण्ड = 170 सेकण्ड

प्रश्न 3.
अब्दुल गाड़ी से स्कूल जाने के क्रम में औसत चाल को 20 kmh^-1 पाता है। उसी रास्ते से लौटने के समय वहाँ भीड़ कम है और औसत चाल 40 kmh^-1 है। अब्दुल की इस पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल क्या है?
हल-
विद्यालय जाते समय औसत चाल = 20 km/h

प्रश्न 4.
कोई मोटरबोट एक झील में विरामावस्था से सरल रेखीय पथ पर 3.0 ms^-2 की नियत त्वरण से 8.0s सेकण्ड तक चलती है। इस समय अंतराल में मोटरबोट कितनी दूरी तय करती है?
हल-
मोटरबोट का प्रारम्भिक वेग, u = 0
मोटरबोट का त्वरण (a) = 3.0 m/s²
लिया गया समय = 8.0s
माना मोटरबोट द्वारा तय की गई दूरी, s = ?
हम जानते हैं-

प्रश्न 5.
किसी गाड़ी का चालक 52 kmh^-1 की गति से चल रही कार में ब्रेक लगाता है तथा कार विपरीत दिशा में एकसमान दर से त्वरित होती है। कार 5s में रुक जाती है। दूसरा चालक 30 kmh^-1 की गति से चलती हुई दूसरी कार पर धीमे-धीमे ब्रेक लगाता है तथा 10s में रुक जाता है। एक ही ग्राफ पेपर पर दोनों कारों के लिए चाल-समय ग्राफ आलेखित करें। ब्रेक लगाने के पश्चात् दोनों में से कौन-सी कार अधिक दूरी तक जाएगी?

प्रश्न 6.
चित्र में तीन वस्तु A, B और C के दुरी-समय ग्राफ प्रदर्शित हैं। ग्राफ को अध्ययन करके निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए
(a) तीनों में से कौन सबसे तीव्र गति से गतिमान
(b) क्या ये तीनों किसी भी समय सड़क के एक ही बिंदु पर होंगे?
(c) जिस समय B, A से गुजरती है उस समय तक c कितनी दूरी तय कर लेती है?
(d) जिस समय B, C से गुजरती है उस समय तक यह कितनी दूरी तय कर लेती है?

उत्तर-
(a) B सबसे तेज चल रहा है क्योंकि B की ढाल A तथा C की अपेक्षा अधिक है।
(b) तीनों सड़क पर किसी एक स्थान पर कभी नहीं मिलेंगे क्योंकि तीनों ग्राफ आपस में किसी एक बिन्दु पर नहीं काटते या मिलते।
(c) जब B तथा A एक-दूसरे को मिलते हैं तो C मूल बिन्दु से 7 km की दूरी पर था।
(d) जब B तथा C एक बिन्दु पर मिलते हैं उस समय B मूल बिन्दु से 5 km की दूरी तय कर चुका था।

प्रश्न 7.
20 m ऊँचाई से एक गेंद को गिराया जाता है। यदि उसका वेग 10 ms-2 के एकसमान त्वरण की दर से बढ़ता है तो यह किसे वेग से धरातल से टकराएगी? कितने समय पश्चात् वह धरातल से टकराएगी?
उत्तर-
(i) गेंद का प्रारम्भिक वेग (u) = 0
त्वरण (a) = 10 m/s²
ऊँचाई (S) = 20 m.
मान लिया गेंद पृथ्वी से वेग से टकराती है।
हम जानते हैं v² – u² = 2as
v² – 0 = 2 x 10 x 20
v² = 400
v = 20 ms^-1
(ii) गेंद द्वारा पृथ्वी तल से टकराने में लिया गया समय = t = ?
v = u + at
20 = 0 + 10 x t
t = 2 s

प्रश्न 8.
किसी कार को चाल-समय ग्राफ निम्न चित्र में प्रदर्शित किया गया है-

(a) पहले 4 सेकण्ड में कार कितनी दूरी तय करती है? इस अवधि में कार द्वारा तय की गई दूरी को ग्राफ में छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाइए।
(b) ग्राफ का कौन-सा भाग कार की एकसमान गति को दर्शाता है?
हल-
(a) प्रथम 4 सेकण्ड में कार द्वारा तय दूरी को संलग्न चित्र में छायांकित क्षेत्र द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
(b) प्रथम 6 सेकण्ड के बाद का ग्राफ एक (UPBoardSolutions.com) क्षैतिज रेखा है, अर्थात् ग्राफ का ढाल (त्वरण) शून्य है, अत: ग्राफ का यह भाग कार की एकसमान गति को प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित में से कौन-सी अवस्थाएँ संभव हैं तथा प्रत्येक के लिए एक उदाहरण दीजिए-
(a) कोई वस्तु जिसका त्वरण नियत हो परंतु वेग शून्य हो।
(b) कोई वस्तु किसी निश्चित दिशा में गति कर रही हो तथा त्वरण उसके लंबवत् हो।।
उत्तर-
(a) संभव है। मकान की छत से छोड़ते समय गेंद का वेग शून्य होता है, जबकि त्वरण नियत रहता है।

(b) असंभव है; क्योंकि यदि त्वरण गति की दिशा के लंबवत् दिशा में है तो दिशा निश्चित नहीं रह सकती, वह समय के साथ बदल जाएगी।
उदाहरण- जब किसी मकान की छत से किसी गेंद को क्षैतिज दिशा में फेंका जाता है तो गेंद पर गुरुत्वीय त्वरण गति की दिशा के लंब दिशा में कार्य करता है जिस कारण उसकी गति की दिशा बदलती जाती है।

प्रश्न 10.
एक कृत्रिम उपग्रह 42,250 किमी त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। यदि वह 24 घंटे में पृथ्वी की परिक्रमा करता है तो उसकी चाल का परिकलन कीजिए।
हल-
कृत्रिम उपग्रह के वृत्तीय पथ की त्रिज्या (r) = 42,250 km
पृथ्वी के चारों ओर एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय (t) = 24 घंटे

अन्य महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सजीवों में किस प्रकार गति होती है?
उत्तर-
सजीव वस्तुएँ स्वयं गतिमान होती हैं।

प्रश्न 2.
सरल रेखीय गति से क्या समझते हो?
उत्तर-
सरल रेखीय गति (Linear Motion)यदि किसी पिण्ड (वस्तु) की गति का पथ एक सरल रेखा (सीधा) हो तो उस पिण्ड (वस्तु) की गति सरल रेखीय गति कहलाती है।

प्रश्न 3.
अदिश भौतिक राशियाँ किन्हें कहते हैं?
अथवा
अदिश राशियों को परिभाषित कीजिए।
उत्तर-
अदिश भौतिक राशियाँ (Scalar Physical Quantities) या अदिश राशियाँ (Scalar Quantities)- वे भौतिक राशियाँ जिनको व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण (UPBoardSolutions.com) की आवश्यकता होती है, दिशा की नहीं, अदिश भौतिक राशियाँ अथवा अदिश राशियाँ कहलाती हैं।

Meter to Mile Calculator.

प्रश्न 4.
अदिश भौतिक राशियों के उदाहरण दीजिए।
उत्तर-
अदिश भौतिक राशियों के उदाहरण-दूरी, चाल, द्रव्यमान, लम्बाई, समय, घनत्व, दाब आदि।

प्रश्न 5.
सदिश भौतिक राशियाँ किन्हें कहते हैं?
अथवा
सदिश राशियों को परिभाषित कीजिए।
उत्तर-
सदिश भौतिक राशियाँ (Vector Physical Quantities) अथवा सदिश राशियाँ (Vector Quantities)- वे भौतिक राशियाँ जिनको व्यक्त करने के (UPBoardSolutions.com) लिए परिमाण एवं दिशा दोनों की आवश्यकता होती है, सदिश भौतिक राशियाँ अथवा सदिश राशियाँ कहलाती हैं।

प्रश्न 6.
सदिश राशियों के उदाहरण दीजिए।
उत्तर-
सदिश भौतिक राशियों के उदाहरणविस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग आदि।

प्रश्न 7.
अदिश एवं सदिश राशियों में प्रमुख अन्तर बताइए।
उत्तर-
अदिश एवं सदिश राशियों में प्रमुख अन्तर-अदिश राशियों को व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण की आवश्यकता होती है जबकि सदिश राशियों को व्यक्त करने के लिए परिमाण एवं दिशा दोनों की आवश्यकता होती है।

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प्रश्न 8.
विस्थापन किसे कहते हैं? इसका मात्रक बताइये।
उत्तर-
विस्थापन (Displacement)- किसी वस्तु की स्थिति में एक निश्चित दिशा में हुए परिवर्तन को विस्थापन कहते हैं। विस्थापन का मात्रक-इसका मात्र ‘मीटर है।

प्रश्न 9.
दूरी किसे कहते हैं? इसका मात्रक बताइये।
उत्तर-
दूरी (Distance)- उस मार्ग की कुल लम्बाई को जिस पर कोई वस्तु गतिशील होती है, दूरी कहते हैं।
दूरी का मात्रक-इसका मात्रक ‘मीटर’ है।

प्रश्न 10.
दूरी (स्थानान्तरण) एवं विस्थापन में प्रमुख अन्तर बताइए।
उत्तर-
दूरी (स्थानान्तरण) एक अदिश राशि है। जबकि विस्थापन एक सदिश राशि है।

प्रश्न 11.
वेग-समय ग्राफ का ढाल (Slope) क्या प्रदर्शित करता है?
उत्तर-
वेग-समय ग्राफ का ढाल त्वरण प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 12.
एक पिंड एक वृत्ताकार पथ पर निश्चित गति से घूम रहा है, क्या गति समान है या त्वरित?
उत्तर-
पिंड वृत्ताकार पथ पर निश्चित गति से घूम रहा है, अतः इसकी गति नहीं बदलती है, लेकिन दिशा लगातार बदलती है,
अतः गति एकसमान नहीं है, त्वरित है।

प्रश्न 13.
मुक्त रूप से गिरता हुआ पिंड किस प्रकार की गति प्रदर्शित करता है?
उत्तर-
यह एकसमान त्वरित गति प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 14.
एक पत्थर ऊर्ध्वाधर दिशा में फेंका जाता है, इसका वेग लगातार कम होता जाता है। क्यों?
उत्तर-
जब कोई पत्थर ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंका जाता है तो उसका वेग लगातार कम होता जाता है क्योंकि गुरुत्वीय त्वरण सदैव पृथ्वी के केन्द्र की तरफ आरोपित होता है।
अतः त्वरण विपरीत दिशा में लगता है और पत्थर की गति लगातार कम होती जाती है।

प्रश्न 15.
वृत्तीय गति की परिभाषा लिखिए।
उत्तर-
एक स्थिर बिन्दु के चारों तरफ वृत्ताकार पथ पर गति करती हुई चलती हुई वस्तु की गति वृत्तीय गति कहलाती है।

प्रश्न 16.
एक व्यक्ति वृत्ताकार पथ पर घूमकर पुनः अपनी मूल स्थिति में आ जाता है। दूरी व विस्थापन क्या है?
उत्तर-
दूरी होगी 2πr यदि r वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है और विस्थापन है शून्य।

प्रश्न 17.
एक भौतिक राशि को -10ms-1 मापा गया, क्या यह चाल है अथवा वेग?
उत्तर-
यह वेग है क्योंकि वेग ऋणात्मक हो सकता है लेकिन चाल हमेशा धनात्मक होती है।

प्रश्न 18.
कोई वस्तु एकसमान गति में कब कही जाती है?
उत्तर-
कोई वस्तु एकसमान गति में कही जाती है, जब वह समान समय अन्तराल में समान दूरी तय करे।

प्रश्न 19.
कोई गति असमान कब कही जाती है?
उत्तर-
कोई वस्तु असमान गति में कही जाती है जब वह समान समय अन्तराल में असमान दूरी तय करती है।

प्रश्न 20.
चाल व वेग में मुख्य अन्तर बताइये।
उत्तर-
चाल व वेग में मुख्य अन्तर यह है कि चाल एक अदिश राशि है जबकि वेग एक सदिश राशि है।

प्रश्न 21.
वेग का S.I. मात्रक क्या है?
उत्तर-
वेग का मात्रक है मीटर/सेकण्ड या m/s

प्रश्न 22.
ऊर्जा व त्वरण में से कौन सदिश राशि है?
उत्तर-
त्वरण सदिश राशि है।

प्रश्न 23.
त्वरण से क्या तात्पर्य है? त्वरण को। मात्रक क्या है?
उत्तर-
त्वरण-वेग परिवर्तन की दर त्वरण कहलाती है। त्वरण का मात्रक है मीटर/सेकण्ड2 या m/s2 या ms-2

प्रश्न 24.
तुम कब कह सकते हो कि कोई वस्तु समान त्वरण से गति कर रही है?
उत्तर-
जब कोई वस्तु समान समय अन्तराल में वेग में समान वृद्धि करती है, समान त्वरण से गति कर रही होती है।

प्रश्न 25.
उस भौतिक राशि का नाम लिखिए जो विस्थापन में परिवर्तन की दर को प्रदर्शित करती है।
उत्तर-
विस्थापन में परिवर्तन की दर वेग कहलाती है।

प्रश्न 26.
ऋणात्मक त्वरण क्या है?
उत्तर-
ऋणात्मक त्वरण मंदन है।

प्रश्न 27.
मंदन का S.I. मात्रक क्या है?
उत्तर-
मीटर/सेकण्ड² या m/s² या ms^-2

प्रश्न 28.
दूरी-समय ग्राफ -अक्ष के समान्तर है। यह क्या प्रदर्शित करता है?
उत्तर-
यह वस्तु की विरामावस्था को प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 29.
यदि एक पिंड एकसमान चाल से चल रहा है तो दूरी-समय ग्राफ किस प्रकार का प्राप्त होगा?
उत्तर-
एकसमान चाल से चल रहे पिंड की दूरीसमय ग्राफ एक सरल रेखा होती है।

प्रश्न 30.
दूरी-समय ग्राफ का ढाल (Slope) क्यो प्रदर्शित करता है?
उत्तर-
दूरी-समय ग्राफ का ढाल पिंड की चाल प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 31.
किसी पिंड का चाल-समय ग्राफ x-अक्ष के समान्तर है। यह क्या प्रदर्शित करता है?
उत्तर-
यह पिंड की समान गति प्रदर्शित करता है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
चाल’ किसे कहते हैं? इसका मात्रक लिखिए।
उत्तर-
चाल (Speed) – किसी भी वस्तु द्वारा इकाई समय में तय की गयी दूरी को, चाल कहते हैं।

प्रश्न 2.
‘एकसमान चाल’ से क्या तात्पर्य है? किसी ऐसी वस्तु का उदाहरण दें जिसकी चाल एकसमान हो?
उत्तर-
एकसमान चाल (Uniform Speed) – यदि कोई वस्तु बराबर समय-अन्तराल में बराबर दूरी तय करे तो उस वस्तु की चाल को एकससाने चाल कहते हैं।
उदाहरण-घड़ी की सूई की चाल।

प्रश्न 3.
‘असमान चाल’ किसे कहते हैं?
उत्तर-
असमान चाल (Variable Speed) – यदि कोई वस्तु बराबर समय-अन्तराल में बराबर दूरी तय नहीं करे तो उस वस्तु की चाल को असमानं चाल कहते हैं।

प्रश्न 4.
‘औसत चाल’ किसे कहते हैं? इसका मात्रक लिखिए।
उत्तर-
औसत चाल (Average Speed) – किसी समय अन्तराल में तय की गयी कुल दूरी और समयअन्तराल के अनुपात को, औसत चाल कहते हैं।

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प्रश्न 5.
वेग की परिभाषा लिखिए। C.G.S. तथा M.K.S. पद्धतियों में इनके मात्रक लिखिए।
उत्तर-
वेग (Velocity) – समय के साथ विस्थापन की दर को वेग कहते हैं।

वेग का मात्रक-
(i) C.G.S. पद्धति में सेमी/सेकण्ड’ है।
(ii) M.K.S. पद्धति में ‘मीटर/सेकण्ड’ है।

प्रश्न 6.
समान वेग किसे कहते हैं?
उत्तर-
समान वेग (Uniform Velocity)-कोई गतिशील वस्तु बराबर समय अन्तराल में एक ही निश्चित दिशा में बराबर दूरी तय करती है तो उस वस्तु के वेग को समान वेग कहते हैं।

प्रश्न 7.
असमान (परिवर्ती) वेग किसे कहते हैं?
उत्तर-
असमान (परिवर्ती) वेग (Variable velocity) – कोई गतिशील वस्तु बराबर समय-अन्तराल में बराबर दूरी तय करे लेकिन उसकी गति की दिशा बदल जाये अथवा बराबर (UPBoardSolutions.com) समय-अन्तराल में बराबर दूरी तय नहीं करे तो उस वस्तु के वेग को, असमान वेग कहते हैं।

प्रश्न 8.
दूरी एवं विस्थापन में अन्तर स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
दूरी एवं विस्थापन में प्रमुख अन्तर निम्नलिखित हैं-

प्रश्न 9.
चाल, वेग तथा त्वरण के सूत्र लिखिए।

प्रश्न 10.
चाल और वेग में प्रमुख अन्तर बताइये।
उत्तर-
चाल और वेग में प्रमुख अन्तर निम्नलिखित हैं-

प्रश्न 11.
समान वेग’ और परिवर्ती वेग’ में उदाहरण देकर अन्तर स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
समान वेग’ एवं ‘परिवर्ती वेग’ में अन्तर| जब कोई पिण्ड सुनिश्चित दिशा में समान कालखण्ड में समान दूरी तय करे, तो उसका वेग समान वेग होता है। जैसे-समान चाल से एक सीधी रेखा में उड़ते हुए वायुयान का वेग समान वेग होता है।
जब किसी पिण्ड की गति दिशा परिवर्तित हो तो उसकी चाल समान होते हुए भी उसका वेग परिवर्ती होगा। जैसे-वृत्ताकार मार्ग पर समान चाल से चलते हुए पिण्ड का वेग परिवर्ती वेग होगा।

प्रश्न 12.
क्या गति सापेक्ष है? सोदाहरण स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
हाँ, गति सापेक्ष है। एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं। मान लीजिए A, B व C तीन व्यक्ति हैं। B व C कार के अन्दर बैठे हैं व A कार के बाहर खड़ा है। कार गति करना आरम्भ करती है, B व C अपनी स्थिति A के सापेक्ष परिवर्तित करते हैं, किन्तु B व C एक-दूसरे के सापेक्ष अपनी (UPBoardSolutions.com) स्थिति में परिवर्तन नहीं करते हैं।
अतः B व C, A के सापेक्ष गति में हैं। लेकिन B, C के सापेक्ष यो C, B के सापेक्ष गति में नहीं है। अतः गति सापेक्ष है।

प्रश्न 13.
अदिश राशि वे सदिश राशि में अन्तर बताइये।
उत्तर-
अदिश राशि व सदिश राशि में प्रमुख अन्तर निम्नलिखित हैं-

प्रश्न 14.
एक बस, 235 किमी लम्बे मार्ग में पहले 60 किमी 40 किमी/घण्टा की एक समान चाल से तय करती है। शेष 175 किमी की दूरी किस चाल से तय करे कि पूरी यात्रा के लिये उसकी औसत चाल 47 किमी/घण्टा हो?

प्रश्न 15.
एक स्कूटर सवार स्थाने A से B तक की दूरी 30 किमी/घण्टा की एकसमान चाल से तय करता है। B से A तक 50 किमी/घण्टे की एकसमान चाल से वापस आता है। सम्पूर्ण यात्रा के लिए औसत चाल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 16.
एक स्कूटर सवार 36 km/h की चाल से चल रहा है, उसकी चाल को m/s में व्यक्त कीजिए।

प्रश्न 17.
निम्न को बढ़ते हुए क्रम में व्यवस्थित कीजिए-
(i) 18 किमी/घण्टा की चाल से चलती हुई साइकिल
(ii) 7 ms की चाल से दौड़ता हुआ धावक
(iii) 2000 m/min की चाल से चलती हुई कार।

प्रश्न 18.
रेखीय गति में किसी कण के विस्थापन को परिभाषित कीजिए। क्या यह मूल (Origin) पर निर्भर करता है?
उत्तर-
वस्तु, जब एक स्थिति से दूसरी तक चलती है, दिशा के साथ, वस्तु की प्रारम्भिक स्थिति और अन्तिम स्थिति के बीच सबसे छोटी दूरी (सीधी रेखा)को उसका (UPBoardSolutions.com) विस्थापन कहा जाता है।
विस्थापन का मान मूल बिन्दु की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

प्रश्न 19.
एक साइकिल सवार P से Q दूरी 4 km दूरी चलता है और फिर PQ से समकोण पर 3 km की दूरी पर मुड़ जाता है। इसका परिणामी विस्थापन ज्ञात कीजिए।
हल-
परिणामी विस्थापन PR है।

प्रश्न 20.
एक व्यक्ति पूर्व की ओर 3 km चलता है। फिर 2 km उत्तर की ओर और अन्त में 3.5 km पूर्व की ओर दूरी तय करता है।
(i) चली गई कुल दूरी क्या है?
(ii) उसका परिणामी विस्थापन क्या है?
हल-
AB की दूरी = 3 km पूर्व,
BC = 2 km उत्तर
तथा CD = 5.5 km पूर्व
(i) चली गई कुल दूरी = AB + BC + CD = 3 km + 2 km + 3.5 km = 8.5 km.

प्रश्न 21.
मीनाक्षी के घर तथा स्कूल के बीच की दूरी 2 km है। वह घर से स्कूल जाती है तथा वापस स्कूल से घर आती है। इस पूरी यात्रा में मीनाक्षी द्वारा चली गई दूरी तथा विस्थापन ज्ञात कीजिए।
हल-
स्कूल से घर की दूरी = 2 km
मीनाक्षी इस दूरी को दो बार तय करती है अत: उसके द्वारा चली गई कुल दूरी = 2 x 2 = 4 km
मीनाक्षी घर से स्कूल जाकर वापस आ जाती है।
अतः उसके द्वारा कम-से-कम चली गई दूरी = शून्य
अत: विस्थापन = शून्य

प्रश्न 22.
एक उपग्रह समान चाल से पृथ्वी के इर्द-गिर्द चक्कर काटता है। क्या वह गति त्वरित है? यदि हाँ तो त्वरण किस दिशा में क्रियाशील है?
उत्तर-
पृथ्वी के इर्द-गिर्द चक्कर काटते उपग्रह का वेग उसकी गति की दिशा में परिवर्तन के सापेक्ष परिवर्तित होता है। अतः उपग्रह की गति त्वरित है। उसका त्वरण पृथ्वी के केन्द्र की ओर क्रियाशील होता है।

प्रश्न 23.
एक प्रयोग के दौरान, अंतरिक्ष यान से एक सिग्नल को पृथ्वी पर पहुँचने में 5 मिनट का समय लगता है। पृथ्वी पर स्थित स्टेशन से उस अंतरिक्ष यान की दूरी क्या है?
हल-
सिग्नल द्वारा पृथ्वी तक पहुँचने में लगा समय
t = 5 मिनट = 300 सेकण्ड
इसलिए स्टेशन से अन्तरिक्ष यान की दूरी = सिग्नल की चाल x लगा समय

प्रश्न 24.
एक रेलगाड़ी स्टेशन से चलना प्रारम्भ करती है और एकसमान त्वरण के साथ चलते हुए 10 मिनट में 40 किमी/घण्टा की चाल प्राप्त करती है। इसका त्वरण क्या है?
हल-
स्टेशन पर, रेलगाड़ी का प्रारम्भिक वेग u = 0
जबकि अन्तिम वेग v = 40 किमी/घण्टा

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
गति के प्रथम समीकरण v = u + at की व्युत्पत्ति कीजिए।
उत्तर-
मान लीजिए किसी गतिमान पिण्ड का प्रारम्भिक वेग u तथा t समय पश्चात् उसको अन्तिम वेग है तथा आरोपित त्वरण a है तो गति के समीकरण
v = u + at की व्युत्पत्ति करनी है।

प्रश्न 2.
गतिके द्वितीय समीकरण’ s = ut + [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] at² की व्युत्पत्ति कीजिए।
उत्तर-
मान लीजिए कि किसी गतिमान पिण्ड का प्रारम्भिक वेग u, अन्तिम वेग v, त्वरण a तथा t समय में चली गई दूरी s हो तो गति के समीकरण
s = ut + [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] at² की व्युत्पत्ति करनी है।
चूँकि प्रारम्भिक वेग u तथा अन्तिम वेग v है इसलिए औसत वेग = [latex]\frac { u + v }{ 2 }[/latex] होगा।

प्रश्न 3.
गति के तृतीय समीकरण v² = u² + 2as की व्युत्पत्ति कीजिए।
उत्तर-
मान लीजिए कि किसी गतिमान वस्तु का प्रारम्भिक वेग u, अन्तिम वेग v, त्वरण a, यात्रा में लगा समय t है एवं कुल चली गई दूरी s हो, तो
चूँकि v = u + at (गति का प्रथम समीकरण) …(i)

प्रश्न 4.
(i) वेग-समय आरेख क्या प्रकट करता है?
(ii) समान वेग से गतिमान वस्तु का आरेख कैसा दिखाई देगा?
(iii) समान वेग 40 km/h की गति से चलती एक कार के लिए एक वेग-समय आरेख खींचिए।
उत्तर-
(i) सर रखा में गतिमान किसी वस्तु के लिए समय के साथ वेग में विभिन्नता को वेग-समय आरेख द्वारा दर्शाया जाता है। इस आरेख में समय को x-अक्ष के साथ और वेग को y-अक्ष के साथ दर्शाया जाता है।
(ii) यदि वस्तु समान वेग से गतिमान होती है, तो समय के साथ इसके वेग-समय ग्राफ की ऊँचाई नहीं बदलेगी। यह x-अक्ष के समानान्तर एक सरल रेखा होगी।

प्रश्न 5.
एक वस्तु स्थिर अवस्था से चलना आरम्भ करती है। यदि वस्तु प्रथम 4 सेकण्ड में S₁ तथा अगले 4 सेकण्ड में S₂ दूरी तय करे, तो सिद्ध कीजिए।
S₂ = 3S₁

प्रश्न 6.
समय-दूरी ग्राफ क्या है? एकसमान तथा असमान गतियों के लिए एक ग्राफ खींचें। इस वक़ से नीचे वाला क्षेत्र क्या दर्शाता है? इसकी ढाल क्या बताती है?
उत्तर-
समय-दुरी ग्राफ – समय को स्वतन्त्र-चर अक्ष पर तथा दूरी को परतंत्र- चर अक्ष पर लेकर खींचा गया ग्राफ समय-दूरी ग्राफ कहलाता है। इससे हर क्षण पर दूरी का तथा इसकी ढाल से चाल का पता चल सकती है।
समय-दूरी ग्राफ निम्न तीन प्रकार के हो सकते हैं-
(i) समय-दुरी ग्राफ जब चाल अपरिवर्तित रहती है – जब चाल अपरिवर्तित रहती है तो समय-दूरी ग्राफ एक सरल रेखा होती है। इसे चित्र में रेखा OA द्वारा प्रदर्शित किया गया है। समय-दूरी ग्राफ की किसी बिन्दु पर ढाल उसकी चाल बताती है।

(ii) समय-दूरी ग्राफ जब चाल एकसमान दर से बदलती हो – इस स्थिति में समय-दूरी ग्राफ एक परवलय (Parabola) होती है। इसे चित्र में दिखाया गया है।

(iii) समय-दूरी ग्राफ जब चाल असमान दर से बदलती हो – इस स्थिति में समय-दूरी ग्राफ एक सरल रेखा या परवलय न होकर एक वक्र रेखा होती है जिसका स्वरूप चाल बदलने की दर पर निर्भर करता है। इसे चित्र में दिखाया गया है।

प्रश्न 7.
(i) वृत्तीय गति क्या है? एक उदाहरण दीजिए।
(ii) समान वृत्तीय गति क्या है?
(iii) यदि एक धावकr त्रिज्या वाले वृत्तीय पथ को एक पूरा चक्कर लगाने में समय लेता है तो वेग-विस्तार, त्रिज्या और समय के बीच सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
(iv) एक कृत्रिम उपग्रह पृथ्वी का एक पूरा चक्कर लगाने में 90 मिनट लेता है। उपग्रह की कोणीय गति का परिकलन कीजिए।
उत्तर-
(i) एक वृत्तीय पथ के साथ-साथ किसी पिण्ड की गति वृत्तीय गति कहलाती है। वृत्तीय गति के दौरान, किसी निश्चित बिन्दु पर गति की दिशा को उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा डालकर जाना जाता है।
उदाहरण-
1. पृथ्वी तथा अन्य ग्रह सूर्य के इर्द-गिर्द वृत्तीय पथ पर चक्कर काटते हैं।
2. चन्द्रमा भी पृथ्वी के इर्द-गिर्द वृत्तीय पथ पर गतिशील है।
3. एक मजबूत धागे से बँधा पत्थर जब घुमाया/हिलाया जाता है, तो वह पत्थर भी वृत्तीय गति को संकेतित करता है।

प्रश्न 8.
ग्राफीय विधि से v = u + at स्थापित कीजिए।
उत्तर-
एकसमान त्वरण से गतिशील वस्तु का चाल-समय आरेख निम्न रूप में प्रदर्शित है-

प्रश्न 9.
विस्थापन क्या है? यह दूरी से किस प्रकार भिन्न है?
उत्तर-
विस्थापन – किसी निश्चित दिशा में वस्तु की स्थिति में हुआ परिवर्तन विस्थापन कहलाता है।
मान लीजिए, एक वस्तु मूल बिन्दु O से समय t₁ पर x₁ स्थिति में है और समय t₂ पर x₂ स्थिति में है।

अगर विस्थापन d है तो d = (x₂ – x₁).
विस्थापन का चिन्ह – विस्थापन की दिशा तीर (arrow-head) द्वारा प्रदर्शित करते हैं, जो मूल बिन्दु से अन्तिम स्थिति की तरफ खींचा जाता है, तीर (arrowhead) की लम्बाई विस्थापन का परिमाण (magnitude) प्रदर्शित करती है।
अगर विस्थापन मूल बिन्दु के दायीं तरफ है तो इसे धन चिन्ह (+) से व विस्थापन मूल बिन्दु के बायीं तरफ है तो इसे ऋण चिन्ह (-) से प्रदर्शित करते हैं।
दुरी – आम भाषा में विस्थापन व दूरी का एक ही अर्थ लिया जाता है, लेकिन विज्ञान में विस्थापन व दूरी में थोड़ा अन्तर है,
“विस्थापन किसी वस्तु की स्थिति में किसी निश्चित दिशा में परिवर्तन कहलाता है जबकि दूरी वस्तु द्वारा उसकी अन्तिम स्थिति में पहुँचने में तय किये गये पथ की लम्बाई।”
उदाहरणार्थ- यदि एक व्यक्ति A से B की तरफ 4 किमी गति करता है, वे B से लम्बवत् 3 किमी उत्तर दिशा में C की तरफ गति करता है, जैसा कि चित्र में
प्रदर्शित है।

तो दूरी = AB + BC
और विस्थापन = AC. [अगर आप एक निश्चित स्केल लेकर दूरियाँ खींचें]
जैसे
1 km = 1 cm, तुम देखोगे कि
AC = 5 cm
अतः विस्थापन = 5 km
जबकि दूरी = 4 km + 3 km = 7 km

प्रश्न 10.
कोई व्यक्ति 3 किमी की दूरी पूरब की ओर, फिर 2 किमी की दूरी उत्तर की ओर और 3.5 किमी की दूरी पूरब की ओर तय करता है। ज्ञात कीजिए
(i) व्यक्ति द्वारा तय की गयी दूरी
(ii) उसकी स्थिति में विस्थापन।
उत्तर-
(i) जैसा कि हम जानते हैं, दूरी किसी वस्तु द्वारा तय किये गये पथ की वास्तविक लम्बाई होती है।
अतः दूरी = 3 किमी + 3 किमी + 3.5 किमी = 8.5 किमी
(ii) विस्थापन या अन्तिम व आरम्भिक स्थितियों में अन्तर ज्ञात करने के लिए, एक सुविधाजनक स्केल (पैमाना) लेकर चित्र खींचते हैं।
माना 1 किमी = 1 सेमी
व्यक्ति 3 किमी पूरब जाता है, तब AB = 3 सेमी BC = 2 सेमी उत्तर अर्थात् AB के लम्बवत् खींची फिर CD = 3.5 सेमी पूरब अर्थात् पुनः BC के लम्बवत् खींची जैसा कि चित्र में प्रदर्शित है।

AD को मापकर देखो।
AD की लम्बाई = 6.8 सेमी
विस्थापन = 6.8 किमी

प्रश्न 11.
वृत्तीय और एकसमान वृत्तीय गति को वर्णन कीजिए।
उत्तर-
वृत्तीय-गति – एक वृत्ताकार पथ पर किसी पिण्ड की गति वृत्तीय गति कहलाती है।
समान वृत्तीय गति – जब कोई पिण्ड किसी वृत्ताकार पथ पर समान चाल से गति करता है, तब यह गति समान वृत्तीय गति कहलाती है।
क्या समान वृत्तीय गति त्वरित गति है – वह गति एकसमान गति कहलाती है, यदि गति करने वाला पिण्ड किसी निश्चित दिशा में समान समय अन्तराल में समान दूरी तय करता है। यदि पिण्ड असमान दूरी तय करता है। या दिशा बदलता है तो यह गति त्वरित गति कहलाती है।
एकसमान वृत्तीय गति के विषय में, एक उदाहरण द्वारा उसे स्पष्ट करेंगे। एक छोटे पत्थर के टुकड़े को एक मजबूत धागे से बाँधकर उसे एक वृत्ताकार पथ पर एकसमान गति से घुमाते हैं, जैसा कि चित्र में प्रदर्शित है।
जब पत्थर P बिन्दु पर है, और उसे छोड़ दिया जाये तो वह पूरब दिशा में गति करता है, और जब पत्थर Q स्थिति में है और उसे छोड़ा जाये तो वह दक्षिण दिशा में गति करता है।

अत: P व Q बिन्दुओं पर पिण्ड के गति करने की दिशा समान नहीं है इसीलिए पिण्ड का वेग तो समान है। फिर भी दिशा में हर बिन्दु पर लगातार परिवर्तन होता है।
अत: समान वृत्तीय गति सदैव एक त्वरित गति है।

प्रश्न 12.
समान रेखीय गति व समान वृत्तीय गति में अन्तर कीजिए व समान वृत्तीय गति के चार उदाहरण दीजिए।

समान वृत्तीय गति के उदाहरण-
1. समान गति से घूमते हुए पहिये पर किसी कण की गति
2. किसी उपग्रह के ग्रह के चारों तरफ घुमने की गति
3. चन्द्रमा की पृथ्वी के चारों तरफ गति
4. किसी घड़ी की सूई पर स्थित किसी कण की गति

आंकिक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक वस्तु विरामावस्था से आरम्भ कर समान त्वरित गति से चलकर 100 मी दूरी 5 सेकण्ड में तय करती है। त्वरण की गणना करिये।

प्रश्न 2.
विरामावस्था से गतिशील होकर किसी पिण्ड का त्वरण 10 m/s हो जाता है। पिण्ड द्वारा 5 सेकण्ड में चली गई दूरी को परिकंलन कीजिए।

प्रश्न 3.
एक कार 72 किमी/घण्टा की चाल से चल रही है। चालक 50 मी की दूर पर एक बच्चे को देखता है, वह ब्रेक लगाकर कार को बच्चे से ठीक पहले रोक देता है। त्वरण की गणना कीजिए।

प्रश्न 4.
एक बस 54 किमी प्रति घण्टे की चाल से चल रही है। ब्रेक लगाने से 8 सेकण्ड में रुक जाती है। त्वरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5.
एक कार 72 किमी/घण्टा की चाल से गुति कर रही है। ब्रेक लगाने से 4 सेकण्ड में विरामावस्था में आ जाती है। गणना कीजिए
(i) त्वरण व
(ii) इस समय अन्तराल में चली गयी दूरी।

प्रश्न 6.
एक कार एक सीधी सड़क पर समान त्वरित गति से चल रही है। विभिन्न समय अन्तरालों पर उसका वेग निम्न प्रकार है-

उचित पैमाने का चयन कर वेग-समय ग्राफ खीचिए वे ज्ञात कीजिए|
(i) कार को त्वरण
(ii) 50 सेकेण्ड में कार द्वारा चली गयी दूरी।
उत्तर-
(i) x-अक्ष व y-अक्ष खींचकर उचित पैमाने का चयन करें।
माना x-अक्ष पर 1 सेमी = 10 मी/से व y-अक्ष पर 1 सेमी = 5 मी/से
सभी बिन्दुओं को अंकित कर ग्राफ खींचें। यह चित्र की तरह प्राप्त होगा।

अभ्यास प्रश्न

बहुविकल्पीय प्रश्न

1. सदिश राशि है
(a) कार्य
(b) दाब
(c) बल
(d) सामर्थ्य

2. अदिश राशि है
(a) संवेग
(b) आवेग
(c) बल
(d) दाब

3. एक पिण्ड वृत्ताकार पथ पर निश्चित चाल से चल रहा है। उसकी गति
(a) समान है।
(b) त्वरित है।
(c) मंदन होती हुई
(d) इनमें से कोई नहीं।

4. नीचे की तरफ ढाल वाला वेग-समय ग्राफ, इंगित करता है-
(a) समान गति
(b) त्वरित गति
(c) मंदन करती गति
(d) इनमें से कोई नहीं।

5. एक कार 72 किमी/घण्टा की चाल से चल रही है। उसकी चाल है
(a) 7.2 मी/से
(b) 10 मी/से
(c) 15 मी/से
(d) 20 मी/से

6. ……. सदिश नहीं है-
(a) त्वरण
(b) वेग
(c) घनत्व
(d) विस्थापन

7. विस्थापन परिवर्तन की दर कहलाती है
(a) त्वरण
(b) वेग
(c) चाल
(d) इनमें से कोई भी नहीं।

8. वेग परिवर्तन की दर कहलाती है
(a) त्वरण
(b) वेग
(c) चाल
(d) उपर्युक्त से कोई भी नहीं।

9. किसी पिण्ड का दूरी-समय ग्राफ x-अक्ष के समान्तर है। यह प्रदर्शित करता है कि
(a) पिण्ड समान गति से चल रहा है।
(b) पिण्ड त्वरित गति से चल रहा है।
(c) पिण्ड विरामावस्था में हैं।
(d) पिण्ड असमान गति से चल रहा है।

10. वेग-समय ग्राफ x-अक्ष के समान्तर है। यह प्रदर्शित करता है कि
(a) पिण्ड समान गति से चल रहा है।
(b) पिण्ड त्वरित गति से चल रहा है
(c) पिण्ड विरामावस्था में है।
(d) पिण्ड असमान गति से चल रहा है।

11. m/s SI मात्रक है
(a) वेग का
(b) चाल का .
(c) विस्थापन का
(d) त्वरण का

12. वेग-समय ग्राफ का ढाल प्रदर्शित करता है
(a) चाल
(b) त्वरण
(c) विस्थापन
(d) वेग

उत्तरमाला

1. (c)
2. (d)
3. (b)
4. (c)
5. (d)
6. (c)
7. (b)
8. (a)
9. (c)
10. (a)
11. (d)
12. (b)

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UP Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद)

These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 9 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद).

प्रश्नावली 2.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए :
(i) 2 + x² + x
(ii) 2 – x² + x³
(iii) [latex]\frac { \pi }{ 2 }[/latex] x² + x
(iv) √2 x – 1
हल :
(i) 2 + x² + x में x² का गुणांक = 1
(ii) 2 – x² + x³ में x² का गुणांक = -1
(iii) [latex]\frac { \pi }{ 2 }[/latex] x² + x में x² का गुणांक = [latex]\frac { \pi }{ 2 }[/latex]
(iv) √2 x – 1 अर्थात 0.x² + √2 x – 1 में x² का गुणांक = 0

प्रश्न 3.
35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) 5x³ + 4x² + 7x
(ii) 4 – y²
(iii) 5t – √7
(iv) 3
हल :
(i) 5x³ + 4x² + 7x में चर x की अधिकतम घात = 3
दिए हुए बहुपद की घात= 3
(ii) 4 – y² में चर y की अधिकतम घात = 2
दिए हुए बहुपद की घात = 2
(iii) 5t – √7 में चर है की अधिकतम घात = 1
दिए हुए बहुपद की घात = 1
(iv) 3 एक अचर पद है अर्थात 3.x⁰
दिए हुए बहुपद की घात = 0

Synthetic Division Calculator, Calculator will divide polynomial by binomial using synthetic divsion.

प्रश्न 5.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक है, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं :
(i) x² + x
(ii) x – x³
(iii) y + y² + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r²
(vii) 7x³
हल :
(i) बहुपद x² + x में चर x की अधिकतम घात = 2
यह बहुपद द्विघाती है।
(ii) बहुपद x – x³ में चर x की अधिकतम घात = 3
यह बहुपद त्रिघाती है।
(iii) बहुपद y + y² + 4 में चर y की अधिकतम घात = 2
यह बहुपद द्विघाती है।
(iv) बहुपद 1 + x में चर x की अधिकतम घात 1 है।
यह बहुपद रैखिक है।
(v) बहुपद 3t में चर है की अधिकतम घात 1 है।
यह बहुपद रैखिक है।
(vi) बहुपद r² में चर r की अधिकतम घात 2 है।
यह बहुपद द्विघाती है।
(vii) बहुपद 7x³ में चर x की अधिकतम घात 3 है।
यह बहुपद त्रिघाती है।

प्रटनावली 2.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए।
(i) x = 0
(ii) x = – 1
(iii) x = 2
हल :
माना बहुपद p (x) = 5 – 4x² + 3
(i) x = 0 पर बहुपद p (x) का मान
p(0)= 5 (0) – 4 (0)² + 3 = 3
(ii) x = -1 पर बहुपद p (x) का मान
p(-1) = 5 (-1) – 4 (-1)² + 3 = – 5 – 4 + 3 = -6
(iii) x = 2 पर बहुपद p (x) का मान
p(2) = 5 (2) – 4 (2)² + 3 = 10 – 16 + 3 = -3

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p (0), p (1) और p (2) ज्ञात कीजिए :
(i) p(y) = y² – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
(iii) p(x) = x³
(iv) p(x) = (x – 1)(x + 1)
हल :
(i) p(y) = y² – y + 1
p (0) = 0² – 0 + 1 = 0 – 0 + 1 = 1
p (1) = 1² – 1 + 1 = 1 – 1 + 1 = 1
p(2) = 2² – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3
(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
p(0) = 2 + 0 + 2 (0)² – (0)³ = 2
p (1) = 2 + 1 + 2 (1)² – (1)³ = 2 + 1 + 2 – 1 = 4
p (2) = 2 + 2 + 2 (2)² – (2)³ = 2 + 2 + 8 – 8 = 4
(iii) p (x) = x³
p(0) = (0)³ = 0
p (1) = (1)³ = 1
p (2) = (2)³ = 8
(iv) p (x) = (x – 1) (x + 1)
p(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (-1) (1) = -1
p (1) = (1 – 1) (1 + 1) = (0) (2) = 0
p (3) = (2 – 1) (2 + 1) = (1) (3) = 3

प्रश्न 3.
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं :

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद को शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x + 5
(ii) p(x) = x – 5
(iii) p(x) = 2x + 5
(iv) p(x) = 3x – 2
(v) p(x) = 3x
(vi) p(x) = ax; a ≠ 0
(vii) p (x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल :
(i) बहुपद p (x) = x + 5 का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं।
p(x) = 0
⇒ x + 5 = 0
⇒ x = – 5
p(3) को शून्यक = – 5
(ii) बहुपद p (x) = x – 5 को शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं।
p (x) = 0
⇒ x – 5 = 0
⇒ x = 5
p(x) का शून्यक = 5
(iii) बहुपद p (x) = 2x + 5 का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं।
p(3) = 0
⇒ 2x + 5 = 0
⇒ 2x = – 5
⇒ x = [latex]\frac { -5 }{ 2 }[/latex]
p (x) का शून्यके = [latex]\frac { -5 }{ 2 }[/latex]
(iv) बहुपद p (x) = 3x – 2 का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं।
p (5) = 0
⇒ 3x – 2 = 0
⇒ 3x = 2
⇒ x = [latex]\frac { 2 }{ 3 }[/latex]
p (x) का शून्यक = [latex]\frac { 2 }{ 3 }[/latex]
(v) बहुपद p (x) = 3x का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं।
p (x) = 0
⇒ 3x = 0
⇒ x = 0
p (x) का शून्यक = 0
(vi) बहुपद p(x) = ax; a ≠ 0 का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं।
p(x) = 0
⇒ ax = 0
⇒ x = 0 (a ≠ 0)
p(x) का शून्यक = 0
(vii) बहुपद p (x) = cx + d, c ≠ 0 का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं।
p(x) = 0
cx + d = 0
cx = -d
x = [latex]\frac { -d }{ c }[/latex] (c ≠ 0)
p (x) का शून्यक = [latex]\frac { -d }{ c }[/latex]

प्रश्नावली 2.3

प्रश्न 1.
x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) x + 1
(ii) x – [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex]
(iii) x
(iv) x + π
(v) 5 + 2x
हल :
माना p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
(i) माना x + 1 = 0 ⇒ x = -1
p (x) को + 1 से भाग देने पर शेषफल
p(- 1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1 = -1 + 3 – 3 + 1 = 0

प्रश्न 2.
x³ – ax² + 6x – a को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना p (x) = x³ – ax² + 6x – a तथा x – a = 0
p (x) को x – a से भाग देने पर शेषफल = (a)³ – a(a)² + 6(a) – a = a³ – a³ + 6a – a = 5a

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखण्ड है या नहीं।
हल :
माना p (x) = 3x + 7x
यदि 7 + 3x, p (x) का एक गुणनखण्ड है तो p (x) को 7 + 3x से भाग देने पर शेषफल शून्य होना चाहिए।
माना 7 + 3x = 0 ⇒ 3x = – 7 ⇒ x = [latex]\frac { -3 }{ 7 }[/latex]

प्रश्नावली 2.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड (x + 1) है।
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x² – (2 + √2) x + √2

प्रश्न 2.
गुणनखण्ड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g (x), p (x) का एक गुणनखण्ड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g (x) = x + 1
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g (3) = x + 2
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g (x) = x – 3

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p (x) का एक गुणनखण्ड हो :
(i) p(3) = x² + x + k
(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
(iii) p(x) = kx² – √2 x + 1
(iv) p(x) = kx² – 3x + k

प्रश्न 4.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x² – 7x + 1
(ii) 2x² + 7x + 3
(iii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4

प्रश्न 5.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) x³ – 2x² – x + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1

प्रश्नावली 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(iv) (y² + [latex]\frac { 3 }{ 2 }[/latex]) (y² – [latex]\frac { 3 }{ 2 }[/latex])
(v) (3 – 2x) (3 + 2x)

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 x 107
(ii) 95 x 96
(iii) 104 x 96

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्डन कीजिए :
(i) 9x² + 6xy + y²
(ii) 4y² – 4y + 1
(iii) x² – [latex]\frac { { y }^{ 2 } }{ 100 }[/latex]

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :

प्रश्न 5.
गुणनखण्डन कीजिए :

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए :

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)³
(ii) (102)³
(iii) (998)³

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए।

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए :

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए

प्रश्न 11.
गुणनखण्ड कीजिए : 27x³ + y³ + z³ – 9xyz

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए :

प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz

प्रश्न 14.
घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए सम्भव व्यंजक दीजिए।
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12

प्रश्न 16.
घनाभों (Cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए सम्भव व्यंजक क्या हैं :
(i) आयतन : 3x² – 12x
(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k

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UP Board Solutions for Class 9 Hindi Chapter 12 केदारनाथ अग्रवाल (काव्य-खण्ड)

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विस्तृत उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पद्यांशों की ससन्दर्भ व्याख्या कीजिए तथा काव्यगत सौन्दर्य भी स्पष्ट कीजिए :

(अच्छा होता)

1. अच्छा होता ……………………………………………………………………… कच्चा होता।

सन्दर्भ – प्रस्तुत काव्य-पंक्तियाँ केदारनाथ अग्रवाल द्वारा रचित ‘अच्छा होता’ नामक कविता से उधृत की गयी हैं।

प्रसंग – प्रस्तुत पंक्तियों में कवि आदमी को एक अच्छा इन्सान बनाने की इच्छा करता है जो स्वार्थ रहित और सदचरित्र हो। क्योंकि आज व्यक्ति का चारित्रिक पतन हो चुका है। वह पूर्णतया स्वार्थी बन गया है। कवि एक स्वस्थ समाज की कल्पना करता है।

व्याख्या – कवि कहता है कि यह देश और समाज के लिए बहुत अच्छा होता जब एक आदमी दूसरे आदमी के हित में काम करता। वह स्वार्थी न होकर परोपकारी होता । उसकी नियति स्वच्छ और साफ होती तो यह देश और समाज के लिए बहुत अच्छा होता। वह स्वार्थी और दागी न होकर नि:स्वार्थी (UPBoardSolutions.com) और निष्कलंक होता तो बहुत बेहतर होता। आगे वह यह भी कहता है कि व्यक्ति को सचरित्र का होना चाहिए। कहीं भी व्यक्ति के चरित्र में खोट नहीं होना चाहिए। क्योंकि एक सद्चरित्रवान व्यक्ति ही अच्छे आचरण का व्यवहार करने में सक्षम है। कवि एक स्वच्छ समाज की कल्पना की है जिसमें जन-साधारण को भी कष्ट न हो।

काव्यगत सौन्दर्य

• इन पंक्तियों में कवि एक स्वच्छ समाज की कल्पना की है, जो परोपकार एवं नि:स्वार्थपूर्ण हो।
• भाषा-सहज, स्वाभाविक एवं बोधगम्य।

2. अच्छा होता ……………………………………………………………………… बराती होता।

सन्दर्भ – प्रस्तुत पद्य-पंक्तियाँ केदारनाथ अग्रवाल द्वारा रचित ‘अच्छा होता’ शीर्षक कविता से उद्धृत हैं।

प्रसंग – इन पंक्तियों में भी कवि ने समाज को मानवता का सन्देश दिया है। वह एक भयमुक्त एवं स्वार्थ-रहित समाज की कल्पना करता है।

व्याख्या – कवि कहता है कि यह कितना अच्छा होता कि जब आदमी, आदमी के लिए मर-मिटने को तैयार रहता। आदमी, आदमी के दु:ख-दर्द में शामिल होता। दूसरे का हित करने वाला, दूसरे के सुख-दु:ख को बाँटने वाला व्यक्ति सबको प्रिय होता है। आज आदमी ईमानदारी की धज्जियाँ उड़ा रहा है, ठगी में लिप्त है। चारों तरफ मौत का ताण्डव है। यदि ये सब न होते तो समाज कितना खुशहाल होता । (UPBoardSolutions.com) समाज में अमन-चैन कायम हो जाता समाज में आज इतनी ठगी है, हिंसा एवं रक्तपात है जिसके चलते एक स्वच्छ समाज की कल्पना साकार नहीं हो सकती है।

काव्यगत सौन्दर्य

• प्रस्तुत पंक्तियों में कवि ने मानवता का संदेश दिया है। मैथिलीशरण गुप्त के शब्दों में, ”वही मनुष्य, मनुष्य है जो मनुष्य के लिए मरे।”
• भाषा-सरल एवं बोधगम्य।

(सितार-संगीत की रात)
1. आग के ओंठ ……………………………………………………………………… चन्द्रमा के साथ।

सन्दर्भ – प्रस्तुत पद्य-पंक्तियाँ केदारनाथ अग्रवाल द्वारा रचित ‘सितार-संगीत की रात’ शीर्षक से उद्धृत हैं।

प्रसंग – प्रस्तुत पंक्तियों में सितार की बोल का वर्णन है।

व्याख्या – कवि कहता है कि सितार की ध्वनि जब निकलती है तो शहदयुक्त पंखुड़ियाँ खुलती चली जाती हैं। अँगुलियाँ नृत्य करने लगती हैं। रात के खुले आसमान पर चन्द्रमा के साथ जो ध्वनियाँ निकलती हैं, वह अत्यन्त मोहक होती हैं। कवि ने अग्निवत ओंठ के बोल की तुलना सितार के बोल से की है।

2. शताब्दियाँ ……………………………………………………………………… विचरण करती हैं।

सन्दर्भ – प्रस्तुत पद्य-पंक्तियाँ केदारनाथ अग्रवाल द्वारा रचित ‘सितार-संगीत की रात’ शीर्षक से उद्धृत हैं।

प्रसंग – प्रस्तुत पंक्तियों में संगीत का वर्णन है।

व्याख्या – कवि कहता है कि अनंत आकाश की खिड़कियों से मानो शताब्दियाँ झाँक रही हों। संगीत के इस समारोह में कौमार्य झलकता है। हर्ष रूपी हंस मानो दूध पर तैर (UPBoardSolutions.com) रहा है। ऐसा मालूम पड़ रहा है जैसे धरती की सरस्वती हंस पर सवार होकर काव्य लोक में भ्रमण कर रही हैं।

प्रश्न 2.
केदारनाथ अग्रवाल की जीवनी एवं रचनाओं का परिचय दीजिए।
अथवा केदारनाथ की साहित्यिक सेवाओं एवं भाषा-शैली का उल्लेख कीजिए।

केदारनाथ अग्रवाल)
(स्मरणीय तथ्)

जन्म – 1 अप्रैल, सन् 1911 ई०।
मृत्यु – 22 जून, सन् 2000 ई०
जन्म – स्थान – बाँदा (कमासिन गाँव)।
पिता का नाम – श्री हनुमान प्रसाद
भाषा – सरल-सहज, सीधी-ठेठ।।

जीवन – परिचय-केदारनाथ अग्रवाल हिन्दी प्रगतिशील कविता के अन्तिम रूप से गौरवपूर्ण स्तम्भ थे। ग्रामीण परिवेश और लोकजीवन को सशक्त वाणी प्रदान करनेवाले कवियों में केदारनाथ अग्रवाल विशिष्ट हैं। परम्परागत प्रतीकों को नया अर्थ सन्दर्भ देकर केदार जी ने वास्तुतत्त्व एवं रूपतत्त्व दोनों में नयेपन के आग्रह को स्थापित किया है। अग्रवाल जी प्रज्ञा और व्यक्तित्व-बोध को महत्त्व देनेवाले प्रगतिशील सोच के अग्रणी कवि हैं।

अमर कवि केदारनाथ अग्रवाल बाँदा की धरती में कमासिन गाँव में 1 अप्रैल, 1911 ई० को पैदा हुए। इनकी माँ का नाम घसिट्टो एवं पिता हनुमान प्रसाद थे, जो बहुत ही रसिक प्रवृत्ति के थे। रामलीला वगैरह में अभिनय करने के साथ ब्रजभाषा में कविता भी लिखते थे। केदार बाबू ने काव्य के संस्कार अपने पिता से ही ग्रहण किये थे।

केदार बाबू की शुरुआती शिक्षा अपने गाँव कमासिन में ही हुई कक्षा तीन पढ़ने के बाद रायबरेली पढ़ने के लिए भेजे अये, जहाँ उनके बाबा के भाई गया बाबा रहते थे। छठी कक्षा तक रायबरेली में शिक्षा पाकर, सातवीं-आठवीं की शिक्षा प्राप्त करने के लिए कटनी एवं जबलपुर भेजे गये, वह सातवीं में (UPBoardSolutions.com) पढ़ ही रहे थे कि नैनी (इलाहाबाद) में एक धनी परिवार की लड़की पार्वती देवी से विवाह हो गया, जिसे उन्होंने पत्नी के रूप में नहीं प्रेमिका के रूप में लिया-गया, ब्याह में युवती लाने/प्रेम ब्याह कर संग में लाया।

विवाह के बाद उनकी शिक्षा इलाहाबाद में हुई। नवीं में पढ़ने के लिए उन्होंने इविंग क्रिश्चियन कालेज में दाखिला लिया। इण्टर की पढ़ाई पूरी करने के बाद केदार बाबू ने बी० ए० की पढ़ाई के लिए इलाहाबाद विश्वविद्यालय में दाखिला लिया।

यहाँ उनका सम्पर्क शमशेर और नरेन्द्र शर्मा से हुआ। घनिष्ठता बढ़ी। उनके काव्य संस्कारों में एक नया मोड़ आया। साहित्यिक गतिविधियों में सक्रियता बढ़ी। फलत: वह बी० ए० में फेल हो गये। इसके बाद वकालत पढ़ने कानपुर आये। यहाँ डी० ए० वी० कालेज में दाखिला लिया।

सन् 1937 में कानपुर से तकालत पास करने के बाद सन् 1938 में बाँदा आये इस समय उनके चाचा बाबू मुकुन्द लाल शहर के नामी वकीलों में से थे। उनके साथ रहकर वकालत (UPBoardSolutions.com) करने लगे। वकालत केदार जी के लिए कभी पैसा कमाने का जरिया नहीं रही। कचहरी ने उनके दृष्टिकोण को मार्क्स के दर्शन के प्रति और आधारभूत दृढ़ता प्रदान की।

सन् 1963 से 1970 तक सरकारी वकील रहे। सन् 1972 ई० में बाँदा में अखिल भारतीय प्रगतिशील लेखक संघ के सम्मेलन का आयोजन किया। सन् 1973 ई० में उनके काव्य संकलन, ‘फूल नहीं रंग बोलते हैं के लिए उन्हें ‘सोवियतलैण्ड नेहरू’ सम्मान दिया गया। 1974 ई० में उन्होंने रूस की यात्रा सम्पन्न की। 1981 ई० में उत्तर प्रदेश हिन्दी संस्थाने ने पुरस्कृत एवं सम्मानित किया। 1981 ई० में मध्य प्रदेश प्रगतिशील लेखक संघ ने उनके कृतित्व के मूल्यांकन के लिए महत्त्व केदारनाथ अग्रवाल’ का आयोजन किया। 1987 ई० में साहित्य अकादमी’ ने उन्हें उनके ‘अपूर्वा’ काव्य संकलन के लिए अकादमी सम्मान से सम्मानित किया। वर्ष 1990-91 ई० में (UPBoardSolutions.com) मध्य प्रदेश शासन ने उन्हें मैथिलीशरण गुप्त सम्मान से सम्मानित किया। वर्ष 1986 ई० में मध्य प्रदेश साहित्य परिषद् द्वारा ‘तुलसी सम्मान’ से सम्मानित किया गया। वर्ष 1993-94 ई० में उन्हें बुन्देलखण्ड विश्वविद्यालय ने डी० लिट्० की उपाधि प्रदान की और हिन्दी साहित्य सम्मेलन, प्रयाग ने ‘साहित्य वाचस्पति’ उपाधि से सम्मानित किया, 22 जून, 2000 ई० को केदारनाथ अग्रवाल का 90 वर्ष की अवस्था में निधन हो गया।

रचनाएँ – युग की गंगा (1947), नींद के बादल (1947), लोक और आलोक (1957), फूल नहीं रंग बोलते हैं। (1965), आग का आईना (1970), देश-देश की कविताएँ, अनुवाद (1970), गुल मेंहदी (1978), पंख और पतवार (1979), हे मेरी तुम (1981), मार प्यार की थापें (1981), कहे केदार खरी-खरी (1983), बम्बई का रक्त स्नान (1983), अपूर्वा (1984), बोले बोल अबोल (1985), जो शिलाएँ तोड़ते हैं (1985), जमुन जल तुम (1984), अनिहारी हरियाली (1990), खुली आँखें-खुले डैने (1992), आत्मगन्ध (1986), पुष्पदीप (1994), वसन्त में हुई प्रसन्न पृथ्वी (1996), कुहकी कोयल खड़े पेड़ की देह (1997), चेता नैया खेता (नयी कविताओं का संग्रह, परिमल प्रकाशन, इलाहाबाद)।

गद्य साहित्य – समय-समय पर (1970), विचार बोध (1980), विवेक-विवेचन (1980), यात्रा संस्मरण-बस्ती खिले गुलाबों की (1974), दतिया (उपन्यास, 1985), बैल बाजी मार ले गये (अधूरा उपन्यास) जो साक्षात्कार मध्य प्रदेश साहित्य परिषद् की पत्रिका में प्रकाशित।

काव्य-भाषा – प्रगितवादी काव्य में जनसाधारण की चेतना को स्वर मिला है, अतः उसमें एक सरसता विद्यमान है। छायावादी काव्य की भाँति उसमें दूरारूढ़ कल्पना की उड़ान नहीं है। प्रायः सभी कवियों ने काव्य-भाषा के रूप में जनप्रचलित भाषा को ही प्रगतिवादी काव्य में अपनाया है परन्तु केदार कुछ मामलों में अन्य कवियों से विशिष्ट हैं। उनकी काव्य-भाषा में जहाँ एक ओर गाँव की सीधी-ठेठ शब्दावली जुड़ (UPBoardSolutions.com) गयी है, वहीं प्राकृतिक दृश्यों की प्रमुखता के कारण भाषा में सरलता और कोमलता है। गाँव की गन्ध, वन-फूलों की महक, आँवई भाषा, सरल जीवन और आसपास के परिवेश को मिलाकर केदारनाथ अग्रवाल ने कविता को प्रगतिशील बौद्धिक चेतना से जोड़े रखकर भी मोहकता बनाये रखी है।

समग्रतः केदारनाथ अग्रवाल सूक्ष्म मानवीय संवेदनाओं, प्रगतिशील चेतना और सामाजिक परिवर्तन के पक्षधर कवि हैं। संवेदनशील होकर कला के प्रति बिना आग्रह रखे वे काव्य की जनवादी चेतना से जुड़े हैं। ‘युग की गंगा’ में उन्होंने लिखा है-”अब हिन्दी की कविता न रस की प्यासी है, न अलंकार की इच्छुक है और न संगीत के तुकान्त की भूखी है।” इन तीनों से मुक्त काव्य का प्रणयन करनेवाले केदारनाथ अग्रवाल के काव्य में रस, अलंकार और संगीतात्मकता के साथ प्रवहमान है और भावबोध एवं गहन संवेदना उनके काव्य की अन्यतम विशेषता है।

प्रश्न 3.
‘अच्छा होता’ का सारांश अपने शब्दों में लिखिए।
उत्तर :
‘अच्छा होता’ केदारनाथ अग्रवाल की चर्चित कविता है। प्रस्तुत कविता के माध्यम से कवि ने समाज में अमन-चैन एवं सच्ची मानवता की कामना की है। कवि कहता है कि व्यक्ति को व्यक्ति के सुख-दु:ख में साथ रहना चाहिए मनुष्य को मनुष्य के कष्ट में भागीदार होना चाहिए। व्यक्ति को नि:स्वार्थ (UPBoardSolutions.com) होकर अपनी नियति को साफ रखना चाहिए। सच्चे आचरण वाला होना चाहिए। आदमी को ईमानदार एवं जनप्रिय होना चाहिए। आदमी को ठगी एवं हिंसा में लिप्त नहीं होना चाहिए। तभी एक स्वच्छ समाज की कल्पना की जा सकती है। यदि व्यक्ति एवं समाज का भला होगा तो राष्ट्र भी उन्मति के पथ पर अग्रसर होगा।

प्रश्न 4.
‘सितार-संगीत की रात’ कविता का सारांश एवं मूल भाव अपने शब्दों में लिखिए।
उत्तर :
‘सितार-संगीत की रात’ समकालीन कवि केदारनाथ अग्रवाल की चर्चित रचना है। कवि कहता है कि सितार की ध्वनि जब निकलती है तो हर्ष एवं उल्लास का माहौल छा जाता है। (UPBoardSolutions.com) शहद से परिपूर्ण पंखुड़ियाँ खुलती चली जाती हैं। अँगुलियाँ जब सितार पर थिरकती हैं तो ऐसा मालूम पड़ता है जैसे वे नृत्य कर रही हैं। हर्ष रूपी हंस दूध पर तैरने लगता है जिस पर सवार होकर सरस्वती काव्यलोक में भ्रमण करती हैं।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
‘अच्छा होता’ में कवि ने मनुष्य की किन विशेषताओं को उजागर किया है?
उत्तर :
‘अच्छा होता’ कविता में कवि ने मनुष्य की सचरित्रता, ईमानदारी एवं नि:स्वार्थ जैसी विशेषताओं को उजागर किया है।

प्रश्न 2.
‘सितार-संगीत की रात’ कविता के आधार पर संगीत के प्रभाव का वर्णन कीजिए।
उत्तर :
सितार के बोल जब बोलते हैं तो शहद से युक्त पंखुड़ियाँ खुल जाती हैं। हर्ष रूपी हंस दूध पर तैरने लगता है, जिस हंस पर सवार होकर सरस्वती काव्य लोक में विचरण करती हैं।

प्रश्न 3.
‘शहद की पंखुड़ियों’ से कवि का क्या आशय है?
उत्तर :
शहद की पंखुड़ियों से कवि का आशय है-ऐसी पंखुड़ियाँ जो शहद से भरी हुई हैं।

प्रश्न 4.
‘शताब्दियाँ झाँकती हैं’ कवि के इस कथन में छिपे भाव की व्याख्या कीजिए।
उत्तर :
‘शताब्दियाँ झाँकती हैं’ का अर्थ है-ऐसे तथ्य जो बरसों पहले घटित हुए हों, उनकी स्पष्ट झाँकी झलकती है।

प्रश्न 5.
‘हृदय की थाती’ का आशय समझाइए।
उत्तर :
हृदय की थाती का आशय है-हृदय को प्रिय

प्रश्न 6.
‘चरित्र का कच्चा’ का क्या तात्पर्य है?
उत्तर :
चरित्र का कच्चा का तात्पर्य है-चरित्रहीन मनुष्य को सचरित्र होना चाहिए जिससे वह मानवीय आचरण कर सके।

प्रश्न 7.
‘कौमार्य बरसता है’ शब्दों द्वारा कवि क्या बताना चाहता है?
उत्तर :
कुँआरापन झलकता है।

प्रश्न 8.
‘मौत का बाराती’ कहने का क्या तात्पर्य है?
उत्तर :
आज समाज में हिंसा एवं रक्तपात मचा हुआ है। बेगुनाह लोग मारे जा रहे हैं। कवि को आशंका है कि यह सम्पूर्ण समाज कहीं मौत का बराती न बन जाय।

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
केदारनाथ अग्रवाल किस काल के कवि हैं?
उत्तर :
आधुनिक (समकालीन) काल के।

प्रश्न 2.
केदारनाथ अग्रवाल मूलतः कवि हैं या लेखक?
उत्तर :
कवि।

प्रश्न 3.
केदारनाथ अग्रवाल किस धारा के कवि हैं?
उत्तर :
समकालीन धारा के।

प्रश्न 4.
‘अच्छा होता’ कविता में ‘ठगैता ठाकुर’ को अर्थ क्या है?
उत्तर :
वर्तमान समाज में ठगी का बोलबाला है। आदमी आदमी को ही ठगने में लगा हुआ है। वह अपनी सारी दिगामी ऊर्जा दूसरे को परेशान करने में लगा रहा है।

प्रश्न 5.
‘हर्ष का हंस’ में अलंकार बताइए।
उत्तर :
अनुप्रास अलंकार।

प्रश्न 6.
‘अच्छा होता’ कविता कवि के किस काव्य में संकलित है?
उत्तर :
अपूर्वा में।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में से सही वाक्य के सम्मुख सही (✓) का चिह्न लगाइए
(अ) अच्छा होता’ कविता में कवि ने नैतिक मनुष्य की अभिलाषा की है। (✓)
(ब) ‘अच्छा होता’ कविता में कवि ने मनुष्य को ठगैत ठाकुर बताया है। (✗)
(स) दगैल-दागी मनुष्य ही नियति का सच्चा होता है। (✗)
(द) अनंत की खिड़कियों से शताब्दियाँ झाँकती हैं। (✓)

काव्य-सौन्दर्य एवं व्याकरण-बोध
1.
निम्नलिखित काव्य-पंक्तियों का काव्य-सौन्दर्य स्पष्ट कीजिए
(अ) अगर आदमी आदमी के लिए।
(ब) राग पर राग करते हैं किलोल।
(स) संगीत के समारोह में कौमार्य बरसता है।
(द) हर्ष का हंस दूध पर तैरता है।
उत्तर :
(अ) काव्य-सौन्दर्य-

• यदि आदमी आदमी के लिए जिये-मरे तथा उसके सुख-दु:ख का साथी बना रहे तो यह समाज खुशहाल बन सकता है।
• अलंकार-अनुप्रास
• भाषा-सरल एवं बोधगम्य।

(ब) काव्य-सौन्दर्य-

• जब बीणा या सितार के बोल निकलते हैं तो यह अत्यन्त आकर्षक होता है।
• राग पर राग में अनुप्रास अलंकार है।
• भाषा-सरल, सहज एवं बोधगम्य

(स) काव्य-सौन्दर्य-

• संगीत के समारोह में कौमार्य स्पष्ट झलकता है।
• संगीत के समारोह में अनुप्रास अलंकार है।
• भाषा–सरल एवं स्वाभाविक है।

(द) काव्य-सौन्दर्य-

• हर्ष रूपी हंस मानो दूध पर तैर रहा है।
• हर्ष का हंस में अनुप्रास अलंकार है।
• भाषा-सहज एवं स्वाभाविक है।

2.
‘आग के ओंठ’ का काव्य-सौन्दर्य बताइए।
उत्तर :
काव्य-सौन्दर्य-

• ऐसा ओंठ जिससे आग की भाँति वचन निकलते हों।
• आग के ओंठ में अनुप्रास अलंकार है।
• भाषा-सरल एवं बोधगम्य।

3.
निम्नलिखित पंक्तियों में स्थायी भाव सहित रस का नाम लिखिए–
(अ) शताब्दियाँ झाँकती हैं, अनंत की खिड़कियों से।
(ब) हर्ष का हंस दूध पर तैरता है, जिस पर सवार भूमि की सरस्वती काव्य लोक में विचरण करती हैं।
उत्तर :
(अ) शान्त रस-निर्वेद
(ब) श्रृंगार रस-रति

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UP Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Lines and Angles (रेखाएँ और कोण)

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प्रश्नावलीं 6.1

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में रेखाएँ AB और CD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।

हल :
रेखाएँ AB तथा CD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
दिया है :
∠BOD = 40°
∠AOC = 40° …(1)
यह भी ज्ञात है कि ∠AOC + ∠BOE = 70°
∠BOE = 70° – ∠AOC
∠BOE = 70° – 40°
∠BOE = 30°
AB एक ऋजु रेखा है और उस पर स्थित बिन्दु O से OC तथा OE मिलती हैं।
∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°
40° + ∠COE + 30° = 180°
∠COE = 180° – 40° – 30°
∠COE = 110°
तब प्रतिवर्ती ∠COE = 360° – 110° = 250°
अतः ∠BOE = 30° तथा प्रतिवर्ती ∠COE = 250°

Reference Angle Calculator is a free online tool that displays the reference angle for the given angle and its position.

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में रेखाएँ XY और MN बिन्दु0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और d : b = 2 : 3 हो तो c ज्ञात कीजिए।

हल :
XY एक ऋजु रेखा है और ∠POY = 90°
∠POX + ∠POY = 180° (रेखीय युग्म)
परन्तु ∠POY = 90°
घटाने पर, ∠POX = 90°
∠POM + ∠MOX = a + b = 90° …(1)
दिया है :
a : b = 2 : 3
⇒ [latex]\frac { a }{ b }[/latex] = [latex]\frac { 2 }{ 3 }[/latex]
⇒ 2b = 3a
⇒ b = [latex]\frac { 3 }{ 2 }[/latex] a
समीकरण (1) से,
a + b = 90°
⇒ a + [latex]\frac { 3 }{ 2 }[/latex] a = 90° (b = [latex]\frac { 3 }{ 2 }[/latex] a)
⇒ [latex]\frac { 2a + 3a }{ 2 }[/latex] = 90°
⇒ 5a = 180°
⇒ a = 36° ……(2)
ऋजु रेखाएँ XY और MN बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
∠XON = ∠YOM (शीर्षाभिमुख कोण)
∠XON = ∠MOP + ∠POY (आकृति से)
c = 2 + 90°
c = 36° + 90° = 126°
अतः c = 126°

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।

हल :
दी गई आकृति में SR एक ऋजु रेखा है और उसके बिन्दु Q पर रेखा PQ मिलती है।
∠PQS तथा ∠PQR एक रैखिक युग्म के कोण हैं।
∠PQS + ∠PQR = 180° …..(1)
पुनः QT एक ऋजु रेखा है जिसके बिन्दु R पर रेखा PR मिलती है।
अतः ∠PRT और ∠PRQ भी एक रैखिक युग्म के कोण हैं।
∠PRQ + ∠PRT = 180° ………(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
∠PQS + ∠PQR = ∠PRQ + ∠PRT ……(3)
परन्तु दिया है कि ∠PQR = ∠PRQ ………(4)
तब समीकरण (3) में से समीकरण (4) को घटाने पर,
∠PQS = ∠PRT
Proved.

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में यदि x + y = w + z है तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक ऋजु रेखा है।

हल :
∠x, ∠y, ∠w व ∠z एक ही बिन्दु O पर बने हैं।
x + y + w + z = 360° …….(1)
परन्तु दिया है कि x + y = w + z
x + y – w – z = 0 ……..(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
2x + 2y = 360°
⇒ x + y = 180° …(3)
समीकरण (3) से ∠x व ∠y दो आसन्न कोण हैं जिनका योग 180° है तथा रेखा OC दोनों कोणों की उभयनिष्ठ रेखा है, तब इन कोणों की शेष भुजाएँ AO तथा OB एक सरल रेखा बनाएँगी।
अत: AOB एक ऋजु रेखा है।
Proved.

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच में Os एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए :
∠ROS = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] (∠QOS – ∠POS)

हल :
POQ एक ऋजु रेखा है और किरण OR, रेखा PQ पर लम्ब है।
∠QOR = 90° और ∠POR = 90°
∠POR = 90°
∠POS + ∠ROS = 90° (आकृति से)
∠POS = 90° – ∠ROS …(1)
∠QOS = ∠ROS + ∠QOR (आकृति से)
∠QOS = ∠ROS + 90° …..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
∠QOS – ∠POS = (∠ROS + 90°) – (90° – ∠ROS)
∠QOS – ∠POS = ∠ROS + 90° – 90° + ∠ROS
(∠QOS – ∠POS) = 2 ∠ROS
[latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] (∠QOS – ∠POS) = ∠ROS
अतः ∠ROS = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] (∠QOS – ∠POS)
Proved.

प्रश्न 6.
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी। हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।

हल :
दी गई सूचना से आकृति खींचना :
(i) एक किरण YZ खींची।
(ii) किरण YZ के बिन्दु Y पर ∠XYZ = 64° खींचा।
(iii) XY को बिन्दु P तक बढ़ाकर रेखा XYP खींची।
तत्पश्चात् दूसरी आकृति बनाकर बिन्दु Y से किरण YQ इस प्रकार खींची कि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करे।
निर्दिष्ट कोणों की माप की गणना :

(i) ∠XYQ
∠XYZ की कोण-रेखा XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है।
XYP एक ऋजु रेखा है।
तब, ∠XYZ और ∠ZYP कोणों का युग्म एक रैखिक युग्म है।
∠XYZ + ∠ZYP = 180°
64° + ∠ZYP = 180° (दिया है ∠XYZ = 64°)
∠ZYP = 180° – 64° = 116°
किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है।
∠ZYQ = ∠QYP और ∠ZYQ + ∠QYP = 116°
हल करने पर, ∠ZYQ = 58° और ∠QYP = 58° …(1)
अब चूँकि ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ (आकृति से)
= 64° + 58° = 122°
अतः ∠XYQ = 122°
(ii) प्रतिवर्ती ∠QYP समीकरण (1) से,
∠QYP = 58° प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – 58° = 302°
अत: प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°

प्रश्नावली 6.2

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में, और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।

हल :
दी गई आकृति में ऋजु रेखा AB पर एक तिर्यक (तिरछी) रेखा 50° के कोण पर झुकी है। तब, यह 50° का कोण और ∠x एक रैखिक (कोण) युग्म बनाते हैं।
50° + ∠x = 180°
∠x = 180° – 50° = 130°
पुनः ऋजु रेखा CD को एक अन्य तिर्यक ऋजु रेखा काटती है।
∠y और चित्र में बना 130° के कोण शीर्षाभिमुख कोण युग्म के कोण हैं जिससे
∠y = 130°
∠x और ∠y एकान्तर अन्त:कोण हैं और परस्पर बराबर भी हैं।
यह समान्तर रेखाओं को तिर्यक रेखा के काटने से बनेंगे
अत: ऋजु रेखा AB || CD

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में, यदि AB || CD; CD || EF और y : 2 = 3: 7 है। तो x का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
दी गई आकृति में AB || CD और CD || EF
AB || EF
अब चूँकि AB || EF को एक तिर्यक ऋजु रेखा l काटती है जिससे एकान्तर कोण ∠x और ∠y बनते हैं।
∠x = ∠y ……(1)
AB || CD और एक तिर्यक रेखा l इन्हें काटती है जिससे ∠x और ∠y, तिर्यक रेखा l के एक ही ओर बने अन्त:कोण हैं।
∠x + ∠y = 180° …(2)
तब समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
∠y + ∠z = 180° ……..(3)
y : 2 = 3 : 7 तब माना y = 3k तथा z = 7k
y और z के ये मान समीकरण (3) में रखने पर,
3k + 7k = 180°
⇒ 10k = 180°
⇒ k = 18°
z = 7k = 7 x 18° = 126°
समीकरण (1) से,
∠x = ∠z और z = 126° .
∠x = 126°
अतः x = 126°

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° हो तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।

हल :
AB || CD और GE एक तिर्यक रेखा है।
∠AGE = ∠GED (एकान्तर कोण)
⇒ ∠AGE = 126° (∠GED = 126°)
⇒ ∠GED = 126°
⇒ ∠GEF + ∠FED = 126°
⇒ ∠GEF + 90° = 126° (∠ZFED = 90°)
⇒ ∠GEF = 126° – 90° = 36°
⇒ ∠GEF = 36°
पुनः AB एक ऋजु रेखा है और GE, उससे बिन्दु G पर मिलती है।
∠AGE और ∠FGE एक रैखिक कोण-युग्म बनाते हैं।
∠AGE + ∠FGE = 180°
⇒ 126° + ∠FGE = 180° (∠AGE = 126° अभी ऊपर ज्ञात किया है।)
⇒ ∠FGE = 180° – 126°
⇒ ∠FGE = 54°
अतः ∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54°

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° हो तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।

हल :
दिया है : दी गई आकृति में PQ || ST , ∠PQR = 110° तथा ∠RST = 130°
ज्ञात करना है : ∠QRS की माप।
रचना : बिन्दु R से PQ के समान्तर एक ऋजु रेखा XY खींची।
विश्लेषण : PQ || XY (रचना से) और QR तिर्यक रेखा है जो इन्हें Q तथा R पर काटती है।
∠PQR और ∠QRX, QR के एक ही ओर बने अन्त: कोण हैं।
∠PQR + ∠QRX = 180°
⇒ ∠QRX = 180° – ∠PQR = 180° – 110° (ZPQR = 110°)
⇒ ∠QRX = 70°
अब :: PQ || XY रचना से और PQ || ST दिया है।
ST || XY
ST || XY और RS तिर्यक रेखा है।
∠SRY और ∠RST तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अन्त: कोण हैं।
∠SRY + ∠RST = 180°
⇒ ∠SRY + 130° = 180° (∠RST = 130°)
⇒ ∠SRY = 180° – 130°
⇒ ∠SRY = 50°
पुनः ∠QRX, ∠QRS और ∠SRY एक ही ऋजु रेखा के बिन्दु R पर रेखा XY के एक ही ओर बने हैं।
∠QRX + ∠QRS + ∠SRY = 180° (आकृति से)
⇒ 70° + ∠QRS + 50° = 180°
⇒ ∠QRS = 180° – 70° – 50° = 60°
अतः ∠QRS = 60°

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल :
दिया है : ऋजु रेखा AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127°
ज्ञात करना है : x तथा y
विश्लेषण : AB|| CD और PQ एक तिर्यक रेखा है।
∠APQ = ∠PQR (एकान्तर कोण युग्म)
50° = x
x = 50°
पुनः AB || CD और PR एक तिर्यक रेखा है।
∠APR = ∠PRD (एकान्तर कोण युग्म)
∠APQ + ∠QPR = ∠PRD (∠APR = ∠APQ + ∠QPR, चित्र से)
50° + y = 127°
y = 127° – 50° = 77°
अतः x = 50° और y = 77°

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में P और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (Incident Ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (Reflected Ray) पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।

हल :
दिया है : दर्पण PQ || दर्पण RS तथा AB और BC दर्पण PQ के लिए क्रमश: आपतित और परावर्तित किरणें हैं। दर्पण RS के लिए आपतित किरण BC तथा परावर्तित किरण CD है।
BP’ दर्पण PQ के बिन्दु B पर तथा CQ’ दर्पण RS के बिन्दु C पर अभिलम्ब हैं।
सिद्ध करना है : AB || CD
उपपत्ति : BP’, बिन्दु B पर अभिलम्ब है;
अतः BP’ ⊥ PQ
और CQ’, बिन्दु C पर अभिलम्ब है;
अतः CQ ⊥ RS
PQ || RS
उक्त तीनों तथ्यों से BP’ || CQ’ और BC तिर्यक रेखा है।
∠P’BC = ∠Q’CB (एकान्तर कोण)
∠r₁ = ∠i₂ …..(1)
परावर्तन के नियमों से,
∠i₁ = ∠r₁ …..(2)
∠i₂ = ∠r₂ ……(3)
समीकरण (1), (2) व (3) से,
∠i₁ = ∠r₂
समीकरण (1) व समीकरण (4) को जोड़ने पर,
∠(i₁ + r₁) = ∠(i₂ + r₂)
∠ABC = ∠BCD
परन्तु ये AB तथा CD को BC द्वारा प्रतिच्छेद करने से निर्मित समान एकान्तर कोण हैं।
अत: AB || CD
Proved.

प्रश्नावली 6.3

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में ΔPQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमशः बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔPQR की भुजा QP को बिन्दु S तक बढ़ाया गया है जिससे
बहिष्कोण ∠SPR = ∠PQR + ∠PRQ . (किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण उसके अन्तः अभिमुख कोणों के योगफल के बराबर होता है।)
परन्तु दिया है :
∠SPR = 135°
∠SPR = 135°
∠PQR + ∠PRQ = 135° …….(1)
पुनः ΔPQR की भुजा RQ को बिन्दु T तक बढ़ाया गया है जिससे
बहिष्कोण ∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ
(किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण उसके अन्तः अभिमुख कोणों के योगफल के बराबर होता है।)
परन्तु ज्ञात है कि
∠PQT = 110°
∠QPR + ∠PRQ = 110° …….(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
∠PQR + ∠QPR + ∠PRQ + ∠PRQ = 245° …(3)
परन्तु ΔPQR में,
∠PQR + ∠QPR +∠PRQ = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
समीकरण (3) से (4) को घटाने पर,
∠PRQ = 65°
अतः ∠PRQ = 65°

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में, ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमशः ΔXYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔXYZ में,
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180° ( त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है)
62° + 54° + ∠XZY = 180°
⇒ ∠XZY = 180° – (62° + 54°) = 180° – 116°
⇒ ∠XZY = 64°
YO, ∠XYZ का और ZO, ∠XZY का समद्विभाजक है।
∠OYZ = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠XYZ और ∠OZY = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠XZY
⇒ ∠OYZ = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] x 54° और ∠OZY = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] x 64°
⇒ ∠OYZ = 27° और ∠OZY = 32°
तब, ΔOYZ में, ∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180°
(त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
27° + 32° + ∠YOZ = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° – (27° + 32°) = 180° – 59°
⇒ ∠YOZ = 121°
अतः ∠OZY = 32°
तथा ∠YOZ = 121°

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।

हल :
AB || DE और ऋजु रेखा AE इन्हें काटती है।
तब, ∠BAE = ∠AED (एकान्तर कोण)
परन्तु ∠BAE = ∠BAC और ∠AED = ∠CED
∠BAC = ∠CED
⇒ 35° = ∠CED
⇒ ∠CED = 35°
तब, ΔCDE में,
∠CDE + ∠CED + ∠DCE = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
⇒ 53° + 35° + ∠DCE = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – (53° + 35°) = 180° – 88° = 92°
अतः ∠DCE = 92°

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में यदि रेखाएँ PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔPRT में,
∠PRT + ∠RPT + ∠PTR = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
⇒ 40° + 95° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180° – (95° + 40°) = 180° – 135°
⇒ ∠PTR = 45°
ऋजु रेखाएँ PQ और RS परस्पर बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती हैं।
∠QTS = ∠PTR (शीर्षाभिमुख कोण)
∠QTS = 45°
∠PTR = 45°
अब, ΔQTS में, ∠QTS + ∠TSQ + ∠SQT = 180°
(त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
45° + 75° + ∠SQT = 180°
⇒ ∠SQT = 180° – (45° + 75°) = 180° – 120° = 60°
अतः
∠SQT = 60°

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔQRS में ∠QRT बहिष्कोण है।
∠SQR + ∠QSR = ∠QRT (किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण उसके अन्तः अभिमुख कोणों के योगफल के बराबर होता है।)
28° + ∠QSR = 65°
⇒ ∠QSR = 65° – 28° = 37°
अब, PQ || SR और QS एक तिर्यक प्रतिच्छेदी रेखा है,
∠PQS = ∠QSR (एकान्तर कोण)
x = 37°
PQ ⊥ PS
∠P = 90°
ΔPQS में ∠P + ∠PQS + ∠PSQ = 180° (त्रिभुज के अन्त: कोणों का योग 180° होता है।)
90° + x + y = 180°
⇒ x + y = 90°
⇒ 37° + y = 90°
⇒ y = 90° – 37° = 53°
x = 37° तथा y = 53°

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में ΔPQR की भुजा QR को बिन्दु S तक बढ़ाया P गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु T पर मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠QPR

हल :
ΔPQR में,
∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR = 180°
तथा ΔTQR में,
∠TQR + ∠QRT + ∠QTR = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
∠TQR + ∠QRT + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR
∠TQR + (∠PRQ + ∠PRT) + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR [∴ ∠QRT = ∠PRQ + ∠PRT]
∠TQR + ∠PRQ + ∠PRT + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR
∠TQR + ∠PRT + ∠QTR = ∠PQR + ∠QPR …….(1)
QT, ∠PQR का समद्विभाजक है।
∠TQR = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠PQR ⇒ ∠PQR = 2 ∠TQR ……..(2)
समीकरण (1) वे समीकरण (2) से,
∠TQR + ∠PRT + ∠QTR = 2 ∠TQR + ∠QPR
∠PRT + ∠QTR = ∠TQR + ∠QPR
RT, ∠PRS का समद्विभाजक है।
∠PRT = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠PRS
और ∠PRS, ΔPQR का बहिष्कोण है।
∠PRS = ∠PQR + ∠QPR (किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण उसके अन्तः अभिमुख कोणों के योगफल के बराबर होता है।)
∠PRS = 2 ∠TQR + ∠QPR [समीकरण (2) से] …(4)
∠PRT = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠PRS = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] (2 ∠TQR + ∠QPR) [समीकरण (4) से
∠PRT = ∠TQR + [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠QPR …(5)
समीकरण (3) में से समीकरण (5) को घटाने पर,
∠QTR = ∠QPR – [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠QPR
∠QTR = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠QPR
Proved.

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