UP Board Solutions for Class 9 Social Science सामाजिक विज्ञान

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UP Board Solutions for Class 9 Social Science सामाजिक विज्ञान
UP Board Solutions for Class 9 Social Science सामाजिक विज्ञान

UP Board Class 9 Social Science Solutions सामाजिक विज्ञान

UP Board Solutions for Class 9 Social Science History (इतिहास)
इकाई-1 
भारत और समकालीन विश्व-1

खण्ड-1 : घटनाएँ और प्रक्रियायें

खण्ड-2 : जीविका, अर्थव्यवस्था एवं समाज

खण्ड-3 : रोजाना की जिंदगी, संस्कृति और राजनीति

मानचित्र-कार्य

UP Board Solutions for Class 9 Social Science Geography (भूगोल)
इकाई-2 
समकालीन भारत-1

UP Board Solutions for Class 9 Social Science Civics (नागरिकशास्त्र)
इकाई-3 लोकतांत्रिक राजनीति-1

UP Board Solutions for Class 9 Social Science Economics (अर्थशास्त्र)
इकाई-4 अर्थव्यवस्था

मासिक आन्तरिक मूल्यांकन एवं प्रोजेक्ट कार्य
• प्रतिदर्श प्रश्न-पत्र

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 त्रिभुजों की सर्वांगसमता

प्रश्न 1.
चित्र में, AB = AC तथा BC को बढ़ाने पर कोई बिन्दु D है तो सिद्ध कीजिए कि (NCERT Exemplar)
हलः
∵ AB = AC …(1)
∆ACD में ∠ACD अधिक कोण है
तथा ∠ADC न्यूनकोण है।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
∴ अधिक कोण की सम्मुख भुजा बड़ी तथा न्यूनकोण की सम्मुख भुजा छोटी होती है।
∴ AD > AC
AD > AB (समीकरण (1) से)

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC में यदि ∠A = 45° और ∠B = 70° तब त्रिभुज की छोटी और बड़ी भुजा ज्ञात कीजिए।
हलः
∠C = 180 – (∠A + ∠B)
= 180 – (45 + 70)
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
= 180 – 115 = 65°
सबसे बड़ा कोण = 70°
सबसे छोटा कोण = 45°
∴ सबसे बडा कोण की सम्मुख भुजा AC सबसे बड़ी तथा सबसे छोटे कोण की सम्मुख भुजा BC सबसे छोटी है।

प्रश्न 3.
क्या हम 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी लम्बाई की भुजा वाला त्रिभुज खींच सकते हैं?
हल:
∵ 3+ 4 = 7 > 5, 4 + 5 > 3 तथा 3 + 5 > 4
∵ त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा है।
∴ ∆ की रचना सम्भव है।

प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में, AB = AC तो सिद्ध कीजिए कि AF > AE
हलः ::
AB = AC
∠B = ∠C … (1)
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
∠AFE = ∠CFD (शीर्षाभिमुख कोण) … (2)
∆ABD में, ∠AEF = ∠B + ∠EDB … (3)
बहिष्कोण समीकरण (2) व (3) से सिद्ध होता है।
∠AEF > ∠AFE
∴ AF > AE

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC में AB > AC, ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक P पर मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि BP > CP
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज का परिमाप, उसकी ऊँचाइयों के योग से बड़ा होता है।
हलः
एक ∆ABC में AM, BN तथा PC ∆ की ऊचाईयाँ है।
∆ABM में, ∠AMB समकोण है
∴ AB > AM … (1)
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
∆BNC में, ∠BNC समकोण है
BC > BN … (2)
∆APC में, ∠APC समकोण है
AC > PC … (3)
समीकरण (1) + (2) + (3) करने पर
AB + BC + AC > AM + BN + PC
∴ ∆ का परिमाप > ∆ की ऊँचाईयाँ

प्रश्न 7.
दिये गये चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा XY व्यास है। तो सिद्ध कीजिए कि XY > XZ
हल:
∵ XY व्यास है तथा XZ वृत्त की एक जीवा है
∵ वृत्त का व्यास, वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है।
∵ XY > XZ
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण 60° से बड़ा होता है।
हल:
∆ABC में, AB = BC = AC
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
परन्तु यदि इनमें से एक भुजा बड़ी है तो दोनों भुजायें छोटी होगी तो सबसे बड़ी भुजा का सम्मुख कोण 60° से बड़ा होता है।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

Ex 12.4 Congruence of Triangles विविध प्रश्नावली

Ex 12.4 Congruence of Triangles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
∆ABC तथा ∆PQR में, AB = PR तथा ∠A = ∠P तब SAS कथन द्वारा प्रतिबंध ज्ञात कीजिए कि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होंगे। (NCERT Exemplar)
हल:
∆ABC ≅ ∆PQR होगे यदि AC = PQ
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में, यह दिया है कि ∆ABD = ∆BAC अभिगृहित ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
हलः
सर्वांगसमता की RHS कसौटी द्वारा।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles VS Q2

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, यदि AB = DC, ∆ABD ≅ ∆CDB तब ∠ABD = ∠CDB को सिद्ध करने के लिए प्रयोग किए जाने वाले सर्वांगसमता नियम को ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABD ≅ ∆CDB होंगे सर्वांगसमता SAS कसौटी से।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में, यह दिया है कि ∆OAP ≅ ∆OBP अभिगृहित ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा त्रिभुज सर्वांगसम है।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q4
∆OAP तथा ∆OBP में,
OA = OB (दिया है)
∠AOP = ∠BOP (दिया है)
OP (उभयनिष्ठ)
सर्वांगसमता की SAS कसौटी से ∆OAP ≅ ∆OBP

प्रश्न 5.
∆PQR में, यदि ∠R > ∠Q तब निम्नलिखित में से कौन-सा एक सत्य है? (NCERT Exemplar)
(a) PR > PQ
(b) QR > PR
(c) PQ > PR
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
∆PQR में, ∠R > ∠Q तो PQ > PR
विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 6.
यदि एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाईयाँ 5 सेमी तथा 1.5 सेमी हैं। तब त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई निम्न में से कौन-सी नहीं हो सकती है? (NCERT Exemplar)
(a) 3.4 सेमी
(b) 3.6 सेमी
(c) 3.8 सेमी
(d) 4.1 सेमी
हलः
∵ ∆ की रचना करने के लिए दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
∴ विकल्प (a) में 3.4 सेमी लेने पर त्रिभुज की रचना सम्भव नहीं है इसलिए ∆ की तीसरी भुजा 3.4 सेमी नहीं हो सकती।

प्रश्न 7.
∆AOC में तथा ∆XYZ में ∠A = ∠X, AO = XZ, AC = XY, तब सर्वांगसमता नियम ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा ∆AOC ≅ ∆XZY
हल:
SAS कसौटी द्वारा।

प्रश्न 8.
संलग्न चित्र में, AD = BC तथा ∠BAD = ∠ABC तब ∠ACB ज्ञात D कीजिए।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q8
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
SAS कसौटी से ∆ACB ≅ ∆ADB
∴ ∠ACB = ∠ADB

प्रश्न 9.
यदि दो समकोण त्रिभुज ABC और DEF क्रमश: B और E पर समकोण है जो RHS द्वारा सर्वांगसम है तब निम्न में से कौन-सा एक सत्य है?
(a) AC = DF
(b) AB = DE
(c) (a) और (b) दोनों सत्य हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
विकल्प (c) सत्य है।

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 10.
एक समकोण त्रिभुज में, एक न्यूनकोण अन्य का दोगुना है तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) कर्ण = छोटी भुजा का दोगुना
(b) कर्ण = [latex]\frac{3}{4}[/latex] × छोटी भुजा
(c) एक न्यूनकोण 40° है
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
कर्ण = छोटी भुजा का दो गुना। अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 11.
∆ABC में, यदि AD माध्यिका है तब निम्न में से कौन-सा एक सत्य है?
(a) AB + AC > 2AD
(b) AB + AC < 2 AD
(c) AB + AC = 2 AD
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 12.
संलग्न चित्र में, ∠ABD : ∠ACD का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
∆ABC में, AB = AC
∴ ∠B = ∠C … (1)
∆BCD में, DB = DC
∠DBC = ∠DCB … (2)
समीकरण (1) – (2) करने पर,
∠B – ∠DBC = ∠C – ∠DCB
∠ABD = ∠DCA
∴ ABD : ACD = 1 : 1

प्रश्न 13.
निम्न में से कौन-सी त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए एक कसौटी नहीं है? (NCERT Exemplar)
(a) SAS
(b) SSS
(c) ASA
(d) SSA
हल:
विकल्प (d) SSA

प्रश्न 14.
∆ABC में ∠B = 35°, ∠C = 65° तथा AD, ∠BAC का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) BD > AD > CD
(b) AD > BD > CD
(c) AD > CD > BD
(d) इनमें से कोई नहीं
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
हलः
विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 15.
यदि एक त्रिभुज के दो शीर्षलम्बों की ऊँचाईयाँ, विपरीत भुजाओं के बराबर है तब त्रिभुज का नाम बताइये।
हलः
समद्विबाहु त्रिभुज।

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 16.
यदि ∆PQR ≅ ∆EFD तब ∠E ज्ञात कीजिए।
हलः
∠E = ∠P
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 17.
यदि ∆PQR ≅ ∆EFD तब ED ज्ञात कीजिए।
हलः
ED = PR

प्रश्न 18.
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, यदि शीर्ष कोण, आधार कोणों के योग से दोगुना है तब त्रिभुज के शीर्ष कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 19.
∆ABC में यदि AB = AC तथा BC को D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि ∠ACD = 100° तब ∠A ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 20.
यदि ∆ABC ≅ ∆ACB तब कौन-सी भुजाओं के लिए ∆ABC समद्विबाहु है।
हलः
AB = BC
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q20

Ex 12.4 Congruence of Triangles लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-1)

प्रश्न 21.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसमें AB = AC,BE और CF इसकी दो माध्यिकाएँ हैं तो सिद्ध कीजिए कि BE = CF
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 22.
एक वर्ग ABCD की एक भुजा CD पर, एक समद्विबाहु त्रिभुज CDE है तो दिखाइये कि ∆ADE ≅ ∆BCE
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 23.
एक रेखाखंड AB है तथा रेखा । इसकी लाम्बिक समद्विभाजक है यदि एक बिंदु P, l पर स्थित है तो दिखाइये कि P, A तथा B से समदूरस्थ है। (NCERT)
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles VS Q23

प्रश्न 24.
एक चतुर्भुज ABCD में, AC = AD तथा AB, ∠A को समद्विभाजित करता है तो दिखाइये कि ∆ABC ≅ ∆ABD
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 25.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का ऊर्ध्वाधर कोण 100° है तो दिखाइये कि इसका आधार कोण 40° है।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q25
∵ ∆ABC में
AB = BC
∠BAC = ∠ACB = 40°

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 26.
संलग्न चित्र में, एक वर्ग ABCD है तथा P, AD का मध्य बिंदु है, BP और CP मिलाये गये हैं। तो सिद्ध कीजिए कि ∠PCB = ∠PBC
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q26
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q26.1

प्रश्न 27.
संलग्न चित्र में, बिंदु P और Q, BC पर इस प्रकार है कि BQ = CP तथा AP = AQ तो दिखाइये कि AB = AC
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q27
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 28.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की बराबर भुजाओं के विपरीत कोण भी बराबर होते हैं।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

Ex 12.4 Congruence of Triangles लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 29.
एक चतुर्भुज ABCD में, यदि विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है तथा AB = AD तब दिखाइये कि ∠CBA = ∠CDA
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 30.
संलग्न चित्र में, ∆ABC में, ∠B = 30°, ∠C=65° तथा ∠A का समद्विभाजक BC पर X में मिलता है। दिखाइये कि CX < AX < BX
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q30
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 31.
संलग्न चित्र में, O, AB तथा CD का मध्य बिंदु है। तो सिद्ध कीजिए कि AC = BD
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 32.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की बराबर कोणों की विपरीत भुजाएँ भी बराबर होती हैं।
हल:
रचना- बिन्दु A से आधार BC पर लम्ब AM डाला। समकोण ∆AMB तथा समकोण ∆AMC में
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q32
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 33.
एक न्यूनकोण त्रिभुज ABC है। B से AC पर लम्ब, C से AB पर लम्ब के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि AB = AC
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 34.
सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज (समबाहु त्रिभुज से अलग) सबसे बड़ी भुजा के विपरीत कोण 60° से बड़ा होता है। (NCERT Exemplar)
हलः
समबाहु ∆ से अलग दो स्थिति होगी
(i) अधिक कोण त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा के विपरीत कोण 60° से बड़ा होता है।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q34
(ii) न्यूनकोण त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा के विपरीत कोण 60° से अधिक ही होगा।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

Ex 12.4 Congruence of Triangles दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 35.
सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ बराबर होती हैं।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 36.
संलग्न चित्र में, AB = AC, CH = CB तथा HK || BC यदि ∠CAX = 137°तब ∠CHR ज्ञात कीजिए।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 37.
दिखाइये कि एक चतुर्भुज ABCD में AB + BC + CD + DA > AC + BD
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 38.
संलग्न चित्र में, एक समबाहु त्रिभुज ABC है। PQ||AC तथा AC को R तक इस प्रकार बढ़ाया है कि CR = BP तो दिखाइये कि QR, PC को समद्विभाजित करता है।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 39.
सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से माध्यिका, उर्ध्वाधर कोण को समद्विभाजित करती है।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 40.
संलग्न चित्र में, यदि x = y तथा AB = CB तब सिद्ध कीजिए कि AE = CD
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 VS Q40
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

Ex 12.4 Congruence of Triangles बहु विकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार है कि AB = AC तथा AD आधार BC की माध्यिका है तब ∠BAD =
(a) 50°
(b) 55°
(c) 65°
(d) 75°
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में, AB > AC निम्न में से कौन-सा एक सत्य है?
(a) AB > AD
(b) AB < AD
(c) AB = AD
(d) इनमें से कोई नहीं हलः
∵ AB > AC … (1)
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 M Q2
⇒ ∠3 > ∠2 [∵ बड़ी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है]
परन्तु ∠4 > ∠2
क्योंकि ∠4, ∆ABD का बहिष्कोण है तथा यह किसी भी अन्तकोण से बड़ा होता है।
तब ∠5 > ∠2 से
⇒ AB > AD
अतः विकल्प (a) सही है।

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, BE L CA तथा CF | BA इस प्रकार हैं कि BE = CF तो निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) ∆ABE ≅ ∆AFC
(b) ∆ABE ≅ ∆ACF
(c) (a) व (b) दोनों सत्य हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
∆ABE तथा ∆ACF में, BE = CF (दिया है)
∠AEB = ∠AFC (प्रत्येक 90°)
∠BAE = ∠CAF (उभयनिष्ठ)
अतः ∆ABE ≅ ∆ACF
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में, AE = DB, CB = EF तथा ∠ABC = ∠FED तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 M Q4
(a) ∆ABC ≅ ∆DEF
(b) ∆ABC ≅ ∆EFD
(c) (a) व (b) दोनों सत्य हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः :
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

Ex 12.4 Congruence of Triangles स्विमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
रेखा l कोण A की समद्विभाजक है तथा । पर कोई बिंदु B है। BP और BQ बिन्दु B से ∠A की भुजाओं पर लम्ब हैं तो दिखाइये कि-
(i) ∆APB ≅ ∆AQB
(ii) BP = BQ
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 S Q1

प्रश्न 2.
C पर समकोण, एक समकोण ∆ABC में M, कर्ण AB का मध्य बिंदु है। C को M से मिलाया गया है तथा एक बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM बिंदु D को बिंदु B से मिलाया गया है तो दिखाइये कि
(i) ∆AMC = ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ∆DBC ≅ ∆ACB
(iv) CM = [latex]\frac{1}{2}[/latex]FAB
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 S Q2
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 S Q2.1

प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु ∆ABC में AB = AC, ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं A को O से मिलाया तो दिखाइये कि-
(i) OB = OC
(ii) AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC है जिसमें ऊँचाईयाँ BE और CF भुजाओं AC और AB के बराबर हैं तो दिखाइये कि-
(i) ∆ABE ≅ ∆ACF
(ii) AB = AC, अर्थात् ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 S Q4
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 5.
समान आधार BC पर दो समद्विबाहु त्रिभुज ABC तथा DBC हैं तथा BC की समान भुजा पर शीर्ष A और D हैं यदि AD को बढ़ाने पर, BC को P पर प्रतिच्छेद करती है।
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD
(ii) ∆ABP ≅ ∆ACP
(iii) AP, ∠A व ∠D को समद्विभाजित करते हैं।
(iv) AP, BC का लम्बअर्द्धक है।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 S Q5
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 6.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, AD ⊥ BC खींच तो दिखाइये कि ∠B = ∠C
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 S Q6
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 S Q6.1

प्रश्न 7.
संलग्न चित्र में, ∠B < ∠A, ∠C <∠D तो दिखाइये कि AD > BC
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 8.
यदि एक उभयनिष्ठ आधार के दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं। तो सिद्ध कीजिए कि इनके शीर्षों को मिलाने वाली रेखा इन दोनों को समकोण पर समद्विभाजित करती है।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, AD, ∆ABC की माध्यिका है यदि AD पर दो लम्ब BL और CM खींचे गये हैं तथा AD को बढ़ाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि BL = CM
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 S Q9
∆BLD तथा ∆DMC में
∠BLP = ∠DMC (प्रत्येक 90°)
∠BDL = ∠MDC (शीर्षाभिमुख कोण)
BD = DC [ ∵ D, BC का मध्य बिन्दु है]
अतः ∆BLD ≅ ∆DMC
BL = CM

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 10.
संलग्न चित्र में, एक त्रिभुज ABC है, जो B पर समकोण है। यदि भुजा BC पर एक वर्ग BCDE है तथा AC पर एक वर्ग ACFG है तो दिखाइये कि AD = BF
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 11.
संलग्न चित्र में, OA = OB तथा OP = OQ तो सिद्ध कीजिए किः
(i) PX = Qx
(ii) AX = BX
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 S Q11
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 12.
यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार को दोनों ओर को बढ़ाया गया है तो सिद्ध कीजिए की इस प्रकार बने बहिष्कोण परस्पर बराबर हैं।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए किं ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज होगा यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है।
(i) शीर्षलम्ब AD, ∠BAC को समद्विभाजित करता है।
(ii) ∠BAC का समद्विभाजक आधार BC पर लम्ब है।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 14.
बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाओं l व m से समान दूरी पर स्थित एक बिन्दु P है। सिद्ध कीजिए कि AP उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करते हैं।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4

प्रश्न 15.
दो रेखायें AB व CD बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि BC, AD के बराबर तथा समान्तर हैं। सिद्ध कीजिए कि AB व CD रेखाएँ, बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हलः
दिया है- BC = AD तथा BC || AD
सिद्ध करना है- AB तथा CD रेखाएँ, बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
उपपत्ति- ∆AOD तथा ∆BOC में,
AD = BC
∠OAD = ∠OBD (एकान्तर कोण)
∠ADO = ∠OCB (एकान्तर कोण)
∆AOD ≅ ∆BOC
अत: ∠AOD = ∠BOC
अत: AB तथा CD रेखाएँ, बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles VS Q24

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.1 त्रिभुजों की सर्वांगसमता

प्रश्न 1.
दिये गये चित्र में, AD = CB, AB = CD तथा EF, BD को G पर समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि G, EF का मध्य बिन्दु है।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3
∵ AB = CB = CD … (1)
∆DEG तथा ∆GFB में
DG = GB (दिया है)
∠FGB = ∠DGE (शीर्षाभिमुख कोण)
DE = FB (दिया है)
अतः ∆DEG ≅ ∆GFB
∴ EG = GF

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ सर्वांगसम होती हैं।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3

प्रश्न 3.
एक चतुर्भुज ABCD है। जिसमें AB = CD तथा चतुर्भुज का एक अन्तः बिन्दु O इस प्रकार है कि OA = OD तथा OB = OC तो सिद्ध कीजिए कि BC || AD.
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं
∴ AB || DC
अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
∴ BC|| AD

प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में, AD = BC तथा AC = BD तो सिद्ध कीजिए कि ∠ADC = ∠BCD
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3

प्रश्न 5.
दिये गये चित्र में, एक समांतर चतुर्भुज ABCD तथा ∆BXC और ∆AYD इस प्रकार है कि BX = DY तथा CX = AY तो सिद्ध कीजिए कि-
(i) BX || DY
(ii) XY और BD एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3 Q4
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3
परन्तु ये एकान्तर कोण है।
(i) ∴ BX || YD
(ii) XO = OY तथा BO = OD
∴ XY, BD एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3

प्रश्न 6.
एक चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं तो सिद्ध कीजिए कि इसके कोण, विकर्ण द्वारा समद्विभाजित होते हैं। हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.3

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2 त्रिभुज एवं उसके गुण

Ex 11.2 Triangles and Its Angles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में, ∠BAC = 30°, ∠ABC = 50° तथा ∠CDE = 40°, तो ∠AED ज्ञात कीजिए।
हलः
बहिष्कोण
∠ACD = ∠ABC + ∠CAB
= 50 + 30 = 80°
बहिष्कोण ∠AED = ∠ACD + ∠ EDC
= 80 + 40 = 120°
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
(∵ A का बहिष्कोण, अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।)

प्रश्न 2.
∆ABC में, भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है। यदि ∠ABC = 40° और ∠ACD = 120° तो ∠A ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC का बहिष्कोण ∠ACD है।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠ACD = ∠ABC + ∠ BAC
120 = 40 + ∠ BAC
120 – 40 = ∠ BAC
80° = ∠BAC

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, BO तथा CO क्रमशः ∠B और ∠C के समद्विभाजक है यदि ∠A = 50° तब ∠BOC ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
माना ∠ABC = x ∴ ∠OBC =[latex]\frac{x}{2}[/latex]
तथा ∠ACB = y तथा ∠OCB = [latex]\frac{y}{2}[/latex]
∆ABC में, 50 + x + y = 180
x + y = 180 – 50 = 130°
∆OBC में, BOC = [latex]180-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)=180-\left(\frac{130}{2}\right)[/latex]
= 180 – 65 = 115°

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC को बायीं ओर को D तक बढ़ाया गया है तथा दाँयी ओर को E तक बढ़या गया है तथा यहाँ ∠ABD = 125° और ∠ACE = 130° तब ∠A ज्ञात कीजिए।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∆ABC में,
∠ABC = 180 – 125 = 55°
∠ACB = 180 – 130 = 50°
∆ABC में, ∠ABC + ∠ACB + ∠ BAC = 180°
55 + 50 + ∠BAC = 180°
105 + ∠ BAC = 180°
∠BAC = 180 – 105 = 75°

प्रश्न 5.
∆ABC में, BD⊥AC, ∠CAE = 30° और ∠CBD = 40° तब ∠AEB ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠BCD = 180° – (40+ 90)
= 180 – 130
= 50°
तथा ∠AEB = ∠EAC + ∠ACE
∠AEB = 30 + 50
= 80°

Ex 11.2 Triangles and Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 6.
∆ABC में, यदि 3∠A = 4∠B = 6∠C तो ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में,
∠A = [latex]\frac{4}{3} \angle B[/latex]
∠C = [latex]\frac{4}{6} \angle B=\frac{2}{3} \angle B[/latex]
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 7.
∆PQR में, यदि ∠P – ∠Q = 42° और ∠Q – ∠R = 21° तब ∠P, ∠Q और ∠R ज्ञात कीजिए।
हलः
∠P = 42° + ∠Q तथा ∠R = ∠Q – 21°
∆PQR में, ∵ ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
42°+ ∠Q + ∠Q + ∠Q – 21° = 180°
3∠Q + 21° = 180°
3∠Q = 180° – 21° = 159°
∠Q = [latex]\frac{159}{3}[/latex] = 53°
∠P = 42 + 53 = 95°
∴ ∠R = 53 – 21 = 32°

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 8.
∆ABC में, ∠A + ∠B = 125° और ∠A + ∠C = 113° तब ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, ∠A + ∠B = 125° ………..(1)
∠A + ∠C = 113° ………… (2)
समीकरण (1) से, ∠A = 125° – ∠B ……………… (3)
समीकरण (2) से, ∠C = 113° – ∠A ………………….. (4)
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180
125 – ∠B + ∠B + 113 – ∠A = 180
238 – ∠A = 180
238 – 180 = ∠A ⇒ ∠A = 58°
समीकरण (3) में ∠A का मान रखने पर
58 = 125 – ∠B
∠B = 125 – 58 = 67°
समीकरण (2) में ∠A का मान रखने पर
58 + ∠C = 113
∠C = 113 – 58 = 55°

प्रश्न 9.
∆ABC में, यदि ∠A + ∠B = 108° और ∠B + ∠C = 130° तो ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ ∠A + ∠B = 108°
∴ ∠A = 108° -∠B …………..(1)
तथा
∠B + ∠C = 130°
∠C = 130° – ∠B
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180
108 – ∠B + ∠B + 130 – ∠B = 180
238 – ∠B = 180
238 – 180 = ∠B ⇒ ∠B = 58°
∠C = 130 – 58 = 72°
∠A = 108 – 58 = 50°

प्रश्न 10.
निम्न चित्र में x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠ACD = 120°
∠ACB = 180 – 120 = 60°
बहिष्कोण ∠BAE = ∠ABC + ∠ACB
110 = x + 60
110 – 60 = x
50° = x

Ex 11.2 Triangles and Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 11.
निम्न प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
हलः
चित्र (i) में,
∠ACB = 180 – 110 = 70°
∆ABC में, ∠EBA बहिष्कोण है।
∠EBA = ∠BAC + ∠ACB
120 = x + 70
120 – 70 = x
∴ x = 50°
चित्र (ii) में, AD = DC (दिया है)
∴ ∠DAC = ∠DCA = a (माना)
∆ADC में, x + ∠DAC + ∠DCA = 180
x + a + a = 180
x + 2a = 180 ……………. (1)
∆ABC में, 45 + 35 + 50 + a + a = 180
130 + 2a = 180
2a = 180 – 130 = 50°
a = [latex]\frac{50}{2}[/latex] = 25°
समीकरण (1) में a का मान रखने पर
x + 2 × 25 = 180
x + 50 = 180 ⇒ x = 180 – 50 = 130°

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 12.
चित्र में, एक समबाहु ∆EAB, एक वर्ग ABCD के ऊपर अध्यारोपित है। x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समबाहु ∆EAB में, ∠ABE = 60° तथा ∠ABC = 90° [वर्ग ABCD के कोण]
∠EBC = 60 + 90 = 150°
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∆EBC में, EB = BA = BC
∠CEB + y = 180 – 150 = 30°
प्रत्येक ∠CEB = y = [latex]\frac{30}{2}[/latex] = 15°
∵ ∆EAB एक समबाहु A है।
∴ ∠AEB = 60°
∴ x + ∠CEB = 60°
x + 15 = 60° ⇒ x = 60 – 15 = 45°

प्रश्न 13.
चित्र में, AB, ∠DAC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है और AB = DB, x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ AB, ∠ DAC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करती है।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
माना ∠ DAB = a
∠BAC = 3a
∴ a + 3a + 108 = 180 ⇒ 4a = 180 – 108 = 72°
a = [latex]\frac{72}{4}[/latex] = 18°
∴ ∠DAB = 18°
∴ ∠ADB = 18°
∠BAC = 3 × 18 = 54°
∴ ∠DAC = 18 + 54 = 72°
∆ADC में, ∠DAC + ∠ADC + x = 180°
72 + 18 + x = 180°
90 + x = 180° ⇒ x = 180 – 90 = 90°

प्रश्न 14.
चित्र में, CD⊥AB, ∠ABE = 130° तथा ∠BAC = 70°, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हलः
∠BDC, ∆ADC का बहिष्कोण है।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠BDC = ∠DAC + ∠ACD
90 = 70 + y
90 – 70 = y
∴ y = 20°
∴ ∠ABE, ∆ABC का बहिष्कोण है।
∠ABE = ∠BAC + ∠BCA
130 = 70 + x + y
130 = 70 + x + 20
130 – 70 – 20 = x
40° = x

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 15.
यदि ∠ABD = 125° तथा ∠ACE = 130° तब ∠ BAC ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠ABC = 180 – 125 = 55° [रैखिक युग्म कोण]
∠ACE, ∆ABC का बहिष्कोण है।
∴ ∠ACE = ∠ABC + ∠BAC
130 = 55 + ∠BAC
130 – 55 = ∠BAC
75° = ∠BAC

Ex 11.2 Triangles and Its Angles दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 16.
∆ABC में, भुजाओं AB और AC को क्रमश: D तथा E तक बढ़ाया गया है। ∠DBC और ∠ECB के समद्विभाजक एक बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠BOC = 90° – [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠A
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 17.
एक ∆ABC की भुजा BC को दोनों ओर को बढ़ाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि दोनों बाह्य कोणों का योग ∠A से 180° बड़ा होगा।
हलः
सिद्ध करना है: ∠ABD + ∠ACE = ∠A + 180°
∆ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
उपपत्तिः
∠ABD = ∠A + ∠ACB
∠ABD = ∠A + 180 – ∠ACE
∠ABD + ∠ACE = ∠A + 180°

प्रश्न 18.
यदि एक त्रिभुज के आधार कोण के समद्विभाजक द्वारा 135° का एक कोण बना है। तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समकोण है।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
माना ∆ABC में,
∠B = 2x तथा ∠C = 2y
∴ ∠DBC = [latex]\frac{2 x}{2}[/latex] = x
∠DCB = [latex]\frac{2 y}{2}[/latex] = y
∆BDC में,
x + y + 135 = 180
x + y = 180 – 135 = 45°
∆ABC में, ∠ABC + ∠ BCA + ∠BAC = 180
2x + 2y + ∠BAC = 180
2(x + y) + ∠BAC = 180
समीकरण (1) से
2 × 45 + ∠BAC = 180
∠BAC = 180 – 90 = 90°
∴ ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 19.
एक त्रिभुज ABC है। B पर बाह्य कोण का समद्विभाजक तथा ∠C का समद्विभाजक परस्पर D पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠D = [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠A
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 20.
एक ∆ABC में, AD, ∠A का समद्विभाजक है तथा ∠C > ∠B तो सिद्ध कीजिए कि ∠ADB > ∠ADC
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∵ ∠C > ∠B
AB > AC [बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।]
∆ABD तथा ∆ADC में,
∠ADB > ∠ADC

Ex 11.2 Triangles and Its Angles बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक ∆ABC में, ∠B = ∠C तथा किरण AX, बहिष्कोण DAC को समद्विभाजित करती है। यदि ∠DAX = 70° तब ∠ACB =
(a) 60°
(b) 70°
(c) 45°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠B = ∠C
तथा AX, बहिष्कोण DAC को समद्विभाजित करती है, तब
∠DAX = 70°
∠XAC = 70°
∵ AX||BC तथा AC तिर्यक रेखा इन्हें काटती हैं।
तब ∠XAC = ∠ACB = 70°
अतः विकल्प (b) सही है।

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 2.
यदि एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण के समद्विभाजक O पर मिलते हैं तब दोनों समद्विभाजकों के बीच कोण O है
(a) 90°
(b) 45°
(c) 145°
(d) 135°
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠ABC = 90°
माना∠BAC = 2x, ∠BCA = 2y
OA, OC क्रमशः ∠BAC तथा ∠BCA के समद्विभाजक हैं।
तब ∠BAO = ∠OAC = x
∠BCO = ∠OCA = y
∆AOC में, x + y + ∠AOC = 180°
∠AOC = 180° – (x + y) …………… (1)
∆ABC में, 2x + 2y + 90° = 180°
x + y = 45
समी० (1) व समी० (2) से,
∠AOC = 180° – 45° = 135°
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 3.
∆ABC में, यदि ∠A = 100°, AD, ∠A को समद्विभाजित करता है तथा AD⊥BC तब ∠B =
(a) 40°
(b) 50°
(c) 60°
(d) 90°
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∵ AD, ∠A को समद्विभाजित करता है, अतः ।
∠BAD = ∠CAD = 50°
∆ABD में,
∠ABD + 50 + 90 = 180
∠ABD = 180 – 140 = 40°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 4.
एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष पर एक बहिष्कोण 95° है तथा इसका एक बना हुआ अभिमुख कोण है
(a) 180°
(b) [latex]47 \frac{1}{2}^{\circ}[/latex]
(c) 90°
(d) 270°
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
2x = 95°
x = [latex]\frac{95}{2}=47 \frac{1}{2}^{\circ}[/latex]
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 5.
एक ∆ABC में, ∠A = 50° तथा BC को एक बिंदु D तक बढ़ाया गया है। यदि ∠ABC और ∠ACD के समद्विभाजक E पर मिलते हैं तब ∠E =
(a) 35°
(b) 45°
(c) 25°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
माना ∠ABC = 2x तथा ∠ACD = 2y
तब BE, ∠ABC का समद्विभाजक है, अतः
∠ABE = ∠EBC = x
तथा CE, ∠ACD का समद्विभाजक है, अतः
∠ACE = ∠ECD = y
∠ACD, ∆ABC का बहिष्कोण है। अत:
∠ACD = ∠CAB + ∠ABC
2y = 50° + 2x ⇒ y – x = 25° …………..(1)
∆BCE में, ∠EBC + ∠ECB + ∠BEC = 180°
x + (180° – y) + ∠BEC = 180°
∠BEC = 180° – 180° + y – x = (y – x) = 25°
अतः ∠E = 25°
अतः विकल्प (c) सही है।

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 6.
∆ABC के B तथा C पर बहिष्कोणों के समद्विभाजक O पर मिलते हैं यदि ∠A = x° तब ∠BOC =
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2 Q23
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
माना ∠CBD = 2y तथा ∠BCE = 2x
∵ BO तथा CO क्रमश: कोण ∠CBD तथा ∠BCE के समद्विभाजक हैं, तब
∠DBO = ∠OBC = y°
∠BCO = ∠COE = x°
∆ABC के ∠B तथा ∠C बहिष्कोण हैं, तब
∠DBC = x + ∠BCA ⇒ 2y = x + 180° – 2z
⇒ 2y + 2z = x + 180°
y + z = [latex]\frac{x}{2}[/latex] + 90°
∆BOC में, ∠BOC = 180° – (y + z)
= [latex]180^{\circ}-\left(\frac{x}{2}+90^{\circ}\right)=\left(90^{\circ}-\frac{x}{2}\right) [/latex]
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
यदि एक त्रिभुज के कोण 3 : 4 : 5 के अनुपात में है तब छोटा कोण है
(a) 45°
(b) 30°
(c) 60°
(d) 35°
हलः
कोणों में अनुपात = 3 : 4 : 5 तब कोण = 3x, 4x, 5x
3x + 4x + 5x = 180° ⇒ 12x = 180°
x = [latex]\frac{180^{\circ}}{12}[/latex] = 15
सबसे छोटा कोण = 3x = 3 × 15 = 45°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 8.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण 110° का है, तब अन्य दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच कोण हो सकता है
(a) 135°
(b) 160°
(c) 145°
(d) 90°
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
माना ∠BAC = 2.x, ∠BCA = 2y
∵ OA तथा OC, ∠BAC तथा /BCA के समद्विभाजक हैं, तब
∆ABC में, 2x + 2y + 110° = 180°
2x + 2y = 180° – 110°
2x + 2y = 70
⇒ x + y = 35
∆AOC में, ∠AOC + x + y = 180°
∠AOC = 180° – (x + y) = 180° – 35 = 145°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, OA तथा OB, ∠A और ∠B के समद्विभाजक है यदि ∠C = 30° तब ∠AOB =
(a) 45°
(b) 90°
(c) 180°
(d) 105°
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
माना ∠CAB = 2x, ∠CBA = 2y
∆ABC में, 2x + 2y + 30° = 180°
2x + 2y = 150° = x + y = 75° …………. (1)
∆OAB में, x + y + ∠AOB = 180°
∠AOB = 180° – (x + y)= 180° – 75° = 105°
अतः विकल्प (d) सही है।

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 10.
चित्र में एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसमें ∠A = ∠B तथा PQ||AB यदि ∠C = 70° तब ∠APQ =
(a) 45°
(b) 900
(c) 125°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠A = ∠B
∆ABC में, ∠A + ∠B + 70° = 180°
∠A + ∠A = 180° – 70°
2∠A = 110° ⇒ ∠A = 55°
∵ PQ|| AB ∴ ∠CPQ = ∠PAB = 55° (संगत कोण)
∠APQ = 180° – 55° = 125° अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 11.2 Triangles and Its Angles  स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो के योग के बराबर है तब सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
हलः
माना ∆ के तीन कोण = ∠A, ∠B, ∠C
∠A = ∠B+ ∠C …………….(1)
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180
∠A + ∠A = 180
2∠A = 180
∠A = [latex]\frac{180}{2}[/latex] = 90°
∴ ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में यदि AB||DE, ∠ BAC = 35° तथा ∠CDE = 53° तब दिखाइये कि ∠DCE = 92°
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
AB||DE
∠BAE = ∠AED = 35° (एकान्तर कोण)
∆CDE में, ∠DCE = 180 – (53 + 35)
= 180 – 88 = 92°

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC दोनों ओर को बढ़ायी गयी है तो दिखाइये कि बने हुए बहिष्कोणों का योग, दो समकोण द्वारा ∠A से बड़ा है।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
बहिष्कोण ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC ……………(1)
बहिष्कोण ∠ABE = ∠BAC + ∠ACB …………. (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
∠ACD + ∠ABE = ∠BAC + ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB
= ∠BAC + (∠ABC + ∠BAC + ∠ACB)
= ∠BAC + 180°

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 4.
∆ABC में, BD⊥AC तथा CE⊥AB, यदि BD तथा CE, O पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠BOC = 180° – ∠A
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB) ……………. (1)
∆BDC में, ∠DBC + ∠BCD = 90 …………… (2)
∆BEC में, ∠EBC + ∠ECB = 90 ……………… (3)
∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180 ………………. (4)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर
∠DBC + ∠ECB = 180 – ∠BCD – ∠EBC
= 180 – (180 -∠A) = ∠A ……………. (5)
समी० (1) में समी० (5) का मान रखने पर
∠BOC = 180° – ∠A

प्रश्न 5.
यदि एक त्रिभुज के दो कोणों का योग, तीसरे कोण के बराबर है तब तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ∆ के तीन कोण = x, y, z
∵ x + y = z ………….(1)
x + y + z = 180
z + z = 180
2z = 180
∴ z = [latex]\frac{180}{2}[/latex] = 90°
तीसरा कोण = 90°

प्रश्न 6.
यदि एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण, अन्य दो कोणों के योग से छोटा है तो दिखाइए कि यह न्यूनकोण त्रिभुज है।
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∵ ∠A < ∠B + ∠C ………….(1)
∠B < ∠A + ∠C ………… (2)
∠C < ∠A + ∠B …………(3)
समीकरण (1) में दोनों और ∠A जोड़ने पर
2∠A < ∠A + ∠B + ∠C
2∠A < 180
∠A < [latex]\frac{180}{2}[/latex] < 90°
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं ∠B < 90°
∠C < 90° ∴ यह एक न्यूनकोण ∆ होगा।

प्रश्न 7.
एक ∆ABC की भुजा BC को नीचे दिये गये चित्र में दिखाये अनुसार एक बिन्दु D तक बढ़ाया गया है। ∠A का समद्विभाजक BC से L पर मिलता है। तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABC + ∠ACD = 2∠ ALC ∠ACD = ∠CA∠ + ∠A∠C …(1) ∠ACD = ∠CAB + ∠A∠C
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 8.
संलग्न चित्र में, चतुर्भुज PQRS के दो आसन्न कोण P और s के समद्विभाजक PA और SA हैं। तो सिद्ध कीजिए कि 2∠PAS = ∠Q +∠R
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
सिद्ध करना है। 2∠PAS = ∠Q + ∠R
∆PAS में, ∠ PAS = 180 – (∠1 + ∠2)
2 से गुणा करने पर,
2∠PAS = 360 – 2(∠1 + ∠2)
= 360 – (2∠1 + 2∠2)
= 360 – (∠P + ∠S)
= ∠Q + ∠R

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, DE||QR और AP और BP क्रमश: ∠EAB तथा ∠RBA के समद्विभाजक है। तो दिखाइए कि ∠APB = 90°
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∵ DE ||QR
तथा AB एक तिर्यक रेखा है। समान्तर रेखाओं के एक ही ओर के अन्तः कोणों के युग्मों का योग 180°  होता है।
∴ ∠EAB + ∠ABR = 180
2∠1 + 2∠2 = 180
2(∠1 + ∠2) = 180
∠1 + ∠2 = 90
अब ∆PAB में, ∠APB + ∠1 + ∠2 = 180
∠APB + 90 = 180
∠APB = 180 – 90 = 90°

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प्रश्न 10.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग से बड़ा है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज अधिक कोण वाला है।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∠A > ∠B + ∠C
दोनों पक्षों में ∠A जोड़ने पर,
∠A + ∠A > ∠A + ∠B +∠C
⇒ 2∠A > 180°
⇒ ∠A > [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] ⇒ ∠A > 90°
अतः ∠A , एक अधिककोण है।

प्रश्न 11.
यदि एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण, अन्य दो कोणों के योग से कम है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज न्यूनकोण वाला है।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∵ ∠A < ∠B + ∠C …………(1)
∠B < ∠A + ∠C …………… (2)
∠C < ∠A + ∠B …………….(3)
समी० (1) में दोनों पक्षों में ∠A जोड़ने पर,
∠A + ∠A < ∠A + ∠B + ∠C
2∠A < 180°
∠A < [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] ⇒ ∠A < 90°
अतः ∠A , एक न्यूनकोण है।

प्रश्न 12.
यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ क्रम में बढ़ायी गयी है तो सिद्ध कीजिए कि बने हुए बहिष्कोणों का योग, चार सम कोणों के बराबर है।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
वृहत ∠A = ∠B + ∠C ………… (1)
वृहत ∠B = ∠A + ∠C …………… (2)
वृहत ∠C = ∠A + ∠B …………..(3)
समी० (1), (2) व (3) को जोड़ने पर,
वृहत [∠A + ∠B + ∠C ] = ∠B + ∠C + ∠A + ∠C + ∠A + ∠B
= 2[∠A + ∠B + ∠C] = 2 × 180° = 360°
= 4 × 90° = 4 समकोण

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प्रश्न 13.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समकोण है।
हलः
∴ ∠A = ∠B + ∠C
दोनों पक्षों में ∠A जोड़ने पर,
∠A + ∠A = ∠A+ ∠B + ∠C
2∠A = 180°
∠A = [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] = 90°
अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 14.
∆ABC में, ∠B = 90° तथा BD⊥AC तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABD = ∠ACB
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∵ BD⊥AC
∴ ∠BDA = ∠BDC = 90°
∆ABD में,
∠ABD + ∠A + ∠ADB = 180°
∠ABD + ∠A + 90°= 180°
∠ABD = 90°- ∠A ………….(1)
परन्तु
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠B + ∠C = 180° – ∠A
∠C = 180° – ∠A – ∠B
= 180° – ∠A – 90°
= 90° – ∠A ………….(2)
समी० (1) व (2) से,
∠ABD = ∠C = ∠ACB

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.1

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.1 त्रिभुज एवं उसके गुण

Ex 11.1 Triangles and Its Angles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि एक त्रिभुज के दो कोण बराबर है तब दोनों की विपरीत भुजा बराबर है या नहीं?
हलः
एक त्रिभुज के दो कोण बराबर है तब उस त्रिभुज की सम्मुख भुजाएं भी बराबर होगी।

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प्रश्न 2.
एक त्रिभुज की बराबर भुजाओं के विपरीत कोण बराबर है या नहीं?
हलः
बराबर

प्रश्न 3.
यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 6 सेमी तथा 11 सेमी हैं तब त्रिभुज का नाम बताइए।
हलः
∵ किसी त्रिभुज की रचना के लिए दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए परन्तु 5 + 6 = 11, 11, के बराबर है।
∴ त्रिभुज की रचना सम्भव नहीं है।

प्रश्न 4.
यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 4 सेमी तथा 3 सेमी हैं तब त्रिभुज का नाम बताइए।
हलः :
∵ 3 + 4 = 7 > 5
अतः त्रिभुज की रचना सम्भव है।
(5)2 = (3)2 + (4)2 .
∴ यह एक समकोण त्रिभज है।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की दो भुजाओं का योग, हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है या नहीं?
हलः
एक त्रिभुज की दो भुजाओं का योग, हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है। हाँ

प्रश्न 6.
यदि एक त्रिभुज के सभी कोण बराबर है, तब इनमें प्रत्येक कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180° …………. (1)
माना ∠A = x, ∠B = x, ∠C = x
∴ x + x + x = 180°
3x = 180°
x = [latex]\frac{180^{\circ}}{3}[/latex] = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°

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प्रश्न 7.
यदि एक समकोण त्रिभुज के दो न्यूनकोण बराबर है, तब प्रत्येक न्यूनकोण ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
यदि ∠A = 90° तथा ∠B = ∠C
तब 90° + ∠B + ∠C = 180°
∠B + ∠C = 180° – 90° = 90°
प्रत्येक ∠B = ∠C = 45°

Ex 11.1 Triangles and Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 7 के अनुपात में है। त्रिभुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हलः
माना
∆ABC का ∠A = 2x
∠B = 3x
∠C = 7x
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
2x + 3x + 7x = 180°
12x = 180°
x = [latex]\frac{180^{\circ}}{12}[/latex] = 15°
∴ ∠A = 2 × 15 = 30°
∠B = 3 × 15 = 45°
∠C = 7 × 15 = 105°

प्रश्न 9.
∆ABC में, ∠A + ∠B = 65° तथा / B+ ∠C =140°, त्रिभुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
65° + ∠C = 180°
∠C = 180°- 65° = 115°
तथा ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 140° = 180°
∠A = 180° – 140° = 40°
∵ ∠A + ∠B = 65°
40° + ∠B = 65°
∴∠B = 65° – 40° = 25°

प्रश्न 10.
∆ABC में, यदि ∠B = 76° तथा ∠C = 48° है, तो ∠A ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 76° + 48° = 180°
∠A = 180° – 124° = 56°

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प्रश्न 11.
∆ABC में, यदि ∠B = 105° तथा ∠C =50° है, तो ∠A ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 105° + 50° = 180°
∠A = 180° – 155° = 25°

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज के दो कोणों का योग, तीसरे कोण के बराबर है। तीसरे कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, (∠A + ∠B) + ∠C = 180°
∠A + ∠B = ∠C ……………. (1)
∠C + ∠C = 180°
2∠C = 180°
∠C = [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] = 90°
तीसरा कोण ∠C = 90°

प्रश्न 13.
यदि एक त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में है। कोण ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हल:
∆ABC के कोण ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4
माना ∠A = 2x, ∠B = 3x, ∠C = 4x
∠A + ∠B + ∠C = 180°
2x + 3x + 4x = 180° ⇒ 9x = 180°
x = [latex]\frac{180^{\circ}}{9}[/latex] = 20°
∴∠A = 2 × 20° = 40°, ∠B = 3 × 20° = 60°, ∠C = 4 × 20°= 80°

Ex 11.1 Triangles and Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 14.
एक ∆ABC में, 15∠A = 10∠B = 6∠C हो, तो ∠A, ∠B तथा ∠C ज्ञात कीजिए।
हलः
15∠A = 10∠B = 6∠C
माना
∠B = x
15∠A = 10x
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प्रश्न 15.
एक ∆ABC में, यदि ∠A = 55°, ∠B = 40° तब ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में,
∠A + ∠ B + ∠C = 180°
55° + 40° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 95° = 85°

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प्रश्न 16.
A, B, C एक त्रिभुज के तीन कोण हैं। यदि A – B = 15°, B – C = 30° हो, तो ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
A – B = 15° ⇒ A = B + 15° ………….(1)
B – C = 30° ⇒ C = B – 30° …………(2)
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
B + 15° + B + B – 30° = 180°
3B – 15° = 180°
3B = 180° + 15° = 195°
∴ B = [latex]\frac{195^{\circ}}{3}[/latex] = 65°
∴ समीकरण (1) से
∠A = 65° + 15° = 80°
∠C = 65° – 30° = 35°

प्रश्न 17.
एक त्रिभुज के दो कोणों का योग 106° है तथा उनका अन्तर 10° है। त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना A के दो कोण ∠A तथा ∠B है।
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समीकरण (1) में ∠A का मान रखने पर
58° + ∠B = 106°
∠B = 106° – 58° = 48°
तथा ∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° (58° + 48°) = 180° – 106° = 74°

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प्रश्न 18.
दिये गये चित्र में, AB||DC यदि x = [latex]\frac{4 y}{3}[/latex], y = [latex]\frac{3 z}{8}[/latex] हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ AB|| DC तथा BD तिर्यक रेखा है।
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प्रश्न 19.
एक ∆ABC में, ∠A – ∠B = 33° तथा ∠B – ∠C = 18° हो, तो त्रिभुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
∠A – ∠B = 33° ⇒ ∠A = 2B + 33° …………. (1)
∠B – ∠C = 18° ⇒ ∠B – 18° = ∠C ……………. (2)
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠B + 33°+ ∠B + ∠B – 18° = 180°
3∠B + 15° = 180°
3∠B = 180° – 15° = 165°
∠B = [latex]\frac{165^{\circ}}{3}[/latex] = 55°
∴ ∠A = ∠B + 33° = 55 + 33 = 88°
∴ ∠C = ∠B – 18 = 55 – 18 = 37°

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प्रश्न 20.
दिये गये चित्र में, सिद्ध कीजिए कि ∠a + ∠b + ∠c = 360°
हलः
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
180 – ∠a + 180 – ∠b + 180 – ∠c = 180°
360° = ∠a + ∠b + ∠c
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Ex 11.1 Triangles and Its Angles दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 21.
एक त्रिभुज ABC है जिसमें ∠A = 72°, ∠B तथा ∠C के अन्तः समद्विभाजक बिन्दु O पर मिलते हैं तो∠BOC का परिमाण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ∠ABC = x तथा ∠ACB = y
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प्रश्न 22.
दिये गये चित्र में, AE, ∠CAD का अर्द्धक है तथा ∠B = ∠C तो सिद्ध कीजिए कि AE||BC
हलः
माना
∠CAD = 2x
∴ ∠DAE = ∠CAE = x
∠B = ∠C
∠CAD, ∆ABC का बहिष्कोण है।
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∴ ∠CAD = ∠ABC + ∠ACB
∴ ∠ABC + ∠ACB = 2x
परन्तु ∠ABC = ∠ACB
∴ प्रत्येक ∠ABC = ∠ACB = x°
∴ ∠EAC = ∠ACB = x° (परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।)
AE ||BC

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प्रश्न 23.
दिये गये चित्र में, AB||CD है। x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ AB||CD
∠FED = ∠EMB
58 = y + 20
58 – 20 = y
∴ y = 38°
∴ ∠MEB = 180 – (58 + 22)
= 180° – 80° = 100°
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∆EBM में,
x + y + 100 = 180
x + 38 + 100 = 180
x = 180 – 138 = 42°

प्रश्न 24.
दिये गये चित्र में, x और y के मान ज्ञात कीजिए।
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.1
हल:
∵ y + 125 = 180 (रैखिक युग्म कोण)
y = 180 – 125 = 55°
∠CDE = ∠BMC = 65° (एकान्तर कोण)
तथा ∠CDN = ∠ENG = 65° (एकान्तर कोण)
∆NEG में, x + y + 65 = 180
∴ x + 55 + 65 = 180
x = 180 – 120 = 60°

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प्रश्न 25.
निम्न प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
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चित्र (i) में,
∠EAF = ∠BAC = 60° [शीर्षाभिमुख कोण]
∆ABC का बहिष्कोण ∠ACD है।
∠ACD = ∠BAC + ∠ABC .
115° = 60° + x
115° – 60° = x
x = 55°
चित्र (ii) में, ∆ABE में ∠AEB = 180 – (75 + 65)
= 180 – 140 = 40°
∠CED = ∠AEB = 40° [शीर्षाभिमुख कोण]
∆ECD में, 40 + 110 + x = 180°
150 + x = 180°
x = 180° – 150° = 30°

प्रश्न 26.
एक त्रिभुज के कोणों को परिमाण के बढ़ते हुए क्रम में रखा गया है यदि दो क्रमागत कोणों के बीच का अन्तर 10° है तो तीनों कोणों को ज्ञात कीजिए।
हलः
माना त्रिभुज के तीन कोण क्रमशः x, x + 10, x + 20 हैं।
∴ x + x + 10+ x + 20 = 180
3x + 30 = 180
3x = 180 – 30 = 150°
x = [latex]\frac{150}{3}[/latex] = 50°
∴ त्रिभुज के तीन कोण क्रमश: 50°, 60°, 70° है।

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प्रश्न 27.
दिये गये चित्र में, ∆ABC के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में,
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∠1 = 180 – 110 = 70°
∠3 = 180 – 140 = 40°
∠2 = 180 – (70 + 40) = 180 – 110 = 70°

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