Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 7 Linear Equation in Two Variables Ex 7.1 दो चरों के रैखिक समीकरण
प्रश्न 1.
एक समीकरण का ग्राफ खींचिए, यदि
(i) x = 0, y = 4 समीकरण का एक हल है।
(ii) x = 1, y = 5 समीकरण का एक हल है।
(iii) (-4, -4) समीकरण के ग्राफ पर स्थित है।
(iv) रेखा (y – 2x = 4) और अक्षों के निर्देशांक के द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल
हलः
प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रत्येक का ग्राफ खींचिए।
(i) x = 2
(ii) x = -4
(iii) x = -4
हलः
प्रश्न 3.
नीचे दिये गये समीकरणों के ग्राफ खींचिए।
(i) y = 2x (NCERT)
(ii) y = -3x
(iii) 3x + 4y =0
हलः
प्रश्न 4.
निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण के लिए चार हल ज्ञात कीजिए।
(i) 12x + 5y = 0
(ii) 5x – 3y = 0
(iii) 2(x – 1) + 3y = 4
(iv) 2x – 3(y – 2) = 1
हलः
(i) 12x + 5y = 0
प्रश्न 5.
समीकरण x + 2y – 4 = 0 का ग्राफ खींचिए तथा उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। जहाँ ग्राफ y-अक्ष को काटता है।
हलः
प्रश्न 6.
समीकरण y = 3x का ग्राफ खींचिए। ग्राफ से x का मान ज्ञात कीजिए। जब y = -3
हलः
प्रश्न 7.
समीकरण 2x + 3y = 11 का ग्राफ खींचिए। ग्राफ से y का मान ज्ञात कीजिए। जब x = 1
हलः
प्रश्न 8.
एक त्रिभुज खींचिए जिसकी भुजाएं x = 0, y = 0 और x + y = 3.द्वारा निरूपित है।
हल:
Ex 7.1 Linear Equation in Two Variables बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)
सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
समीकरण 2x – y = 4 का आलेख x – अक्ष को किस बिन्दु पर काटेगा?
(a) (0, 2)
(b) (2, 0)
(c) (-2, 0)
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
x-अक्ष पर बिन्दु के लिए y = 0 रखने पर,
2x – 0 = 4 ⇒ x = 2
अतः बिन्दु (2, 0) है।
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 2.
यदि (2a – 1, a) समीकरण 10x – 9y = 12 का हल है तो a =
(a) 2
(b) 1
(c) 1/2
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
यदि (2a – 1, a) दी गई समीकरण का हल है, तो यह समीकरण को सन्तुष्ट करेगा।
10(2a – 1) – 9a = 12
20a – 10 – 9a = 12
11a = 22 ⇒ a = 2
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 3.
x = 2 तथा y = -4 से सन्तुष्ट होने वाली समीकरणों की संख्या
(a) केवल एक
(b) केवल दो
(c) अनन्त
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
अनन्त
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 4.
y = -1 तथा y = 3 के ग्राफों के बीच की दूरी =
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
y = -1 तथा y = 3 के ग्राफों के बीच की दूरी = 3 + 1 = 4
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 5.
बिन्दु (a, a), a ≠ 0 स्थित है (NCERT Exemplar)
(a) x-अक्ष पर
(b) y-अक्ष पर
(c) रेखा y = x पर
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए बिन्दु का भुज तथा कोटि समान है, अतः यह बिन्दु y = x रेखा पर स्थित है।
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 6.
रैखिक समीकरण 3x + 2y = 6 का ग्राफ y-अक्ष को किस बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा?
(a) (3, 0)
(b) (0, 3)
(c) (2, 0)
(d) (0, 2)
हल:
y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु के लिए x = 0 रखने पर,
3 × 0 + 2y = 6
⇒ y = 3
अतः y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 3) होगा।
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 7.
रेखा x = 3 निम्न में से किस बिन्दु से गुजरेगा?
(a) (3, 2)
(b) (2, 3)
(c) (0, 3)
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(3, 0) से
अतः विकल्प (d) सही है।
प्रश्न 8.
y-अक्ष पर स्थित बिन्दु का रूप है
(a) (0, y),(y ≠ 0)
(b) (y, 0)
(c) (-y, 0)
(d) (x, x)
हलः
y-अक्ष पर स्थित बिन्दु के लिए x = 0
अतः बिन्दु (0, y) है।
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 9.
2x + 5y = 10 को निरूपित करने वाली रेखा y-अक्ष के किस बिन्दु से मिलेगी?
(a) (2, 0)
(b) (0, 2)
(c) (1/2, 2)
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
y-अक्ष के लिए x = 0 रखने पर,
2 × 0 + 5y = 10 ⇒ y = [latex]\frac{10}{5}[/latex] = 2
रेखा बिन्दु (0, 2) पर मिलेगी।
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 10.
बिन्दुओं (-1,1),(0, 0) तथा (1, -1) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण
(a) y = x
(b) x – y = 0
(c) x + y = 0
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में से x + y = 0, को प्रत्येक बिन्दु सन्तुष्ट करता है। अतः इन बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का
समीकरण x + y = 0 है।
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 11.
यदि (3, 2) समीकरण 3x – ky = 5 का हल है तब k =
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
हलः
∵ (3, 2) समीकरण 3x – ky = 5 का हल है, तो यह बिन्दु (3, 2), दी गयी समीकरण को सन्तुष्ट करेगा।
– 3 × 3 – k × 2 = 5 ⇒ -2k = -4 ⇒ k = 2
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 12.
x = 2 व y = -1 निम्न में से किसका हल होगा?
(a) x + y = 3
(b) x – y = 3
(c) x + y + 3 = 0
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में x – y = 3 समीकरण x = 2 व y = -1 से सन्तुष्ट हो जाता है।
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 13.
ax + by + c = 0 का ज्यामितीय निरूपण
(a) सरल रेखा
(b) वृत्त
(c) बिन्दु .
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
सरल रेखा।
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 14.
x = 5, y = 2 निम्न में से किसका हल है? (NCERT Exemplar)
(a) x – y = 7
(b) x + y = 7
(c) x + 2y = 7
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में x + y = 7 समीकरण x = 5, y = 2 से सन्तुष्ट हो जाती है।
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 15.
y = 8 का आलेख एक रेखा है जो
(a) x-अक्ष के समान्तर तथा मूलबिन्दु से 8 इकाई दूरी पर
(b) y-अक्ष के समान्तर तथा मूलबिन्दु से 8 इकाई दूरी पर
(c) (a) व (b) दोनों सत्य हैं।
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
x-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से 8 इकाई दूरी पर।
अतः विकल्प (a) सही है।
Ex 7.1 Linear Equation in Two Variables स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)
प्रश्न 1.
एक पुस्तक का मूल्य, एक पैन के मूल्य से दोगुना है। इसे व्यक्त करने के लिए दो चरों का रैखिक समीकरण लिखिये।
हलः
माना पुस्तक का मूल्य = ₹ x तथा पैन का मूल्य = ₹ y
प्रश्नानुसार, x = 2y
x – 2y =0
प्रश्न 2.
विवेचना कीजिए, दो चरों के रैखिक समीकरण का आलेख, एक रेखा नहीं होती।
हलः
दो चरों के रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सरल रेखा होगी जो उस पर स्थित प्रत्येक बिन्दु को संतुष्ट करेगी।
प्रश्न 3.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। जिसके निर्देशांकों का योग 10 इकाई है।
हलः
x+ y = 10
प्रश्न 4.
2x + 3y = 12 का आलेख बनाइये। किस बिन्दु पर यह x-अक्ष तथा y-अक्ष को काटती है?
हलः
प्रश्न 5.
3x + 4y = 6 का आलेख बनाइए। किस बिन्दु पर यह :-अक्ष तथा y-अक्ष को काटती है?
हलः
प्रश्न 6.
c के किस मान के लिए समीकरण 2x + cy = 8 में x व y के मान समान होंगे?
हलः
2x + cy = 8
cy = 8 – 2x ……………(1)
c = [latex]\frac{8-2 x}{y}[/latex]
SHERPREE
∵ x तथा y के मान समान है।
∴ c = [latex]\frac{8-2 x}{x}[/latex] जहाँ x ≠ 0
प्रश्न 7.
किस बिन्दु पर रेखा x + y = 5, y-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से धनात्मक दिशा में 2 इकाई दूरी पर स्थित रेखा से मिलता है?
हल:
y-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से +2 इकाई दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण x = 2 ………..(1)
तथा x + y = 5 ………………. (2) रेखा का समीकरण है।
समीकरण (1) से मान रखने पर 2 + y = 5
y = 5 – 2 = 3
∴ बिन्दु = (2, 3) पर रेखा मिलती है।
प्रश्न 8.
एक शहर में ऑटो रिक्शा पहले किमी के लिए ₹ 10 तथा आगे के अन्य दूरी के प्रति किमी ₹ 4 लेता है। इस तथ्य को रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त करके, उसके आलेख खींचें।
हलः
प्रश्न 9.
एक गाड़ी को खींचने के लिए, उसके द्वारा प्रदत्त बल, त्वरण के समानुपाती है। इस कथन को दो चरों के रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए तथा उसका ग्राफ खींचिए। स्थिर द्रव्यमान 6 किग्रा वह बल ज्ञात कीजिए जो निम्न त्वरण के द्वारा लगेगा। (NCERT Exemplar)
(i) 5 मी/से2
(ii) 6 मी/से2
हलः
y = mx जहाँ y = बल, x = चर तथा m अचर है।
(i) m = 6 किग्रा, त्वरण x = 5 मी/सेकण्ड2
बल y = mx = 5 × 6 = 30 न्यूटन
(ii) m = 6 किग्रा, त्वरण x = 6 मी/सेकण्ड2
बल y = mx = 6 × 6 = 36 न्यूटन
प्रश्न 10.
एक पिता एवं उसके पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः x तथा y है। 5 वर्ष पहले पिता की आयु, अपने पुत्र की आयु के 7 गुने से 2 अधिक है। इस कथन को रैखिक समीकरण द्वारा व्यक्त कीजिए।
हलः
x – 5 = 7(y – 5) + 2
x – 5 = 7y – 35 + 2
x – 7y – 5 + 33 = 0
x – 7y + 28 = 0
प्रश्न 11.
यदि x = 2, y =1 समीकरण 2x + 3y = m का हल है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
2x + 3y =m
2 × 2 + 3 × 1 = m
4 + 3 = m ⇒ m = 7
प्रश्न 12.
एक आयताकार बाग का परिमाप 80 मीटर है। यदि लम्बाई 5 मीटर कम कर दी जाए तथा चौड़ाई 5 मीटर बढ़ा दी जाए तब इसका क्षेत्रफल 55 वर्ग मीटर बढ़ जाता है, इस कथन को रैखिक समीकरण द्वारा व्यक्त कीजिए।
हलः
माना आयताकार बाग की लम्बाई = x मीटर
आयताकार बाग की चौड़ाई = y मीटर
आयताकार बाग का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई) = 2(x + y)
2(x + y) = 80 ………………(1)
आयताकार बाग का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = xy
तथा (x – 5)(y + 5) = xy + 55
प्रश्न 13.
एक नाव धारा के विपरीत 8 किमी तथा धारा की दिशा में 16 किमी की दूरी 6 घण्टे में पूरी करती है। इस कथन को रैखिक समीकरण में व्यक्त कीजिए।
हलः
माना नाव की चाल = x किमी/घण्टा
धारा की चाल = y किमी/घण्टा
धारा की दिशा में नाव की चाल = (x + y) किमी/घण्टा
धारा की विपरीत दिशा में नाव की चाल = (x – y) किमी/घण्टा
प्रश्न 14.
3x – 2y = 4 तथा x + y – 3 = 0 के आलेख एक ही पेपर पर खींचकर दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 15.
यदि बिन्दु A(3, 5) तथा B(1, 4) रेखा ax + by = 7 के आलेख पर स्थित हो तो a व b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि रेखा ax + by = 7, बिन्दु A व बिन्दु B से जाती है, तो दिए गए बिन्दु, रेखा को सन्तुष्ट करते हैं, अतः
x = 3, y = 5 रखने पर,
3a + 5b = 7 ……………….. (1)
x = 1, y = 4 रखने पर,
a + 4b = 7 ……………… (2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
a = -1, b = 2
प्रश्न 16.
रेखाओं 2x + y = 6 तथा 2x – y + 2 = 0 के आलेख खींचे तथा दोनों रेखाओं से घिरे क्षेत्र को छायांकित कर, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 17.
एक संख्या, उसके अंकों को पलटकर बनी संख्या से 27 अधिक है। यदि इकाई व दहाई के अंक क्रमशः x व y हैं तो उपरोक्त कथन को प्रदर्शित करने वाली रैखिक समीकरण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना इकाई का अंक = x तथा दहाई का अंक = y
अतः संख्या = 10y + x
तथा अंकों को पलटकर बनने वाली संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार, (10y + x) – (10x + y) = 27
-9x + 9y = 27
या x – y = -3
x – y + 3 = 0
प्रश्न 18.
रैखिक समीकरण 4x – 3y + 4 = 0 तथा 4x + 3y – 20 = 0 का आलेख बनाइये तथा इन रेखाओं व x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 19.
यदि बिन्दु (2, -2) रैखिक समीकरण 5x + ky = 4 पर स्थित है तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गई रैखिक समीकरण 5x + ky = 4
x = 2, y = -2 रखने पर,
5 × 2 + k(-2) = 4
10 – 2k = 4
-2k = -6 ⇒ k = 3