Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 2 Exponents of Real Numbers Ex 2.1

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 2 Exponents of Real Numbers Ex 2.1 वास्तविक संख्याओं के घातांक

Ex 2.1 Exponents of Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

निम्न के मान ज्ञात कीजिए। ( प्रश्न 1 – 5)
प्रश्न 1.
5⁸ ÷ 5³
हलः
[latex]\frac{5^{8}}{5^{3}}[/latex] = 5^8-3 = 5⁵ = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3125

प्रश्न 2.
5² × 5⁴
हलः
5²⁺⁴ = 5⁶ = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15625

प्रश्न 3
[latex]\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}[/latex]
हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:

निम्न का सरलीकरण कीजिए। (प्रश्न 6 – 16)

प्रश्न 6.
[latex](\sqrt{4})^{-3}[/latex]
हलः

प्रश्न 7.
[latex](\sqrt{5})^{-3} \times(\sqrt{2})^{-3}[/latex]
हलः

प्रश्न 8.
(x^-2/3y^-1/2)²
हलः

प्रश्न 9.
[latex]\sqrt[5]{243 x^{10} y^{5} z^{10}}[/latex]
हलः

प्रश्न 10.

हलः

प्रश्न 11.
(0.001)^1/3
हलः
(0.001)^1/3 = (10^-3 )^1/3 = 10^-3×1/3 = 10^-1 = [latex]\frac{1}{10}[/latex] = 0.1

प्रश्न 12.

हलः

प्रश्न 13.

हलः

प्रश्न 14.

हलः

प्रश्न 15.

हलः

प्रश्न 16.

हलः

प्रश्न 17.
यदि 2^5x ÷ 2^x = [latex]\sqrt[5]{2^{20}}[/latex] तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 18.
यदि (2³)⁴ = (2²)^x तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(2³)⁴ = (2²)^x ⇒ 2¹² = 2^2x
दोनों पक्षों के घातांकों की तुलना से
2x = 12 ⇒ x = [latex]\frac{12}{2}[/latex] = 6

प्रश्न 19.
[latex]\sqrt[3]{125 \times 27}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 20.
यदि 3^x-1 = 9 व 4^y+2 = 64, तब [latex]\frac{x}{y}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
3^x-1 = 9
∴ 3^x-1 = 3²
घातांकों की तुलना करने से
x – 1 = 2
इसी प्रकार x = 3
4^y+2 = 64
4^y+2 = 4³
घातांकों की तुलना करने से
y + 2 = 3
∴ y = 3 – 2 = 1
∴ [latex]\frac{x}{y}=\frac{3}{1}[/latex] = 3

प्रश्न 21.
यदि (x – 1)³ = 8, तब (x + 1)² का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(x – 1)³ = 8
⇒ x – 1 = [latex]\sqrt[3]{8}[/latex]= (2³)^1/3 = 2
∴ x = 2 + 1 = 3
अतः (x + 1)² = (3 + 1)² = (4)² =16

Ex 2.1 Exponents of Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 22.
[latex]\frac{2^{0}+8^{0}}{6^{0}}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 23.
[latex]\left(\frac{64}{125}\right)^{-2 / 3}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 24.
यदि 4^x – 4^x-1 = 24 तब (2x)^x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 25.
यदि 8^x+1 =64 तब 3^2x+1 का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है: 8^x+1 = 64
⇒ (2³)^x+1 = 26
⇒ 2^3x+3 = 26
दोनों पक्षों के घातांकों की तुलना से
∴ 3x + 3 = 6
⇒ 3x = 6 – 3 = 3
⇒ x = [latex]\frac{3}{3}[/latex] =1
∴ 3^2x+1 = 3^2×1×1 = 3²⁺¹= 3³ = 27

प्रश्न 26.
यदि x^-2 = 64 तब x^1/3 + x⁰ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 27.
यदि (2³)² = 4^x तब x³ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ 2⁶ = 4^x
⇒ 2⁶ = (2)^2x
दोनों पक्षों के घातांकों की तुलना से
2x = 6
x = = 3
∴ x³ = (3)³ = 27

प्रश्न 28.
यदि (16)^2x+3 = (64)^x+3, तब 4^2x-2 का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(16)^2x+3 = (64)^x+3
⇒ (2⁴)^2x+3 = (2⁶)^x+3
(2)^8x+12 = (2)^6x+18
दोनों पक्षों में 2 के घातांकों की तुलना से
8x + 12 = 6x + 18
⇒ 8x – 6x = 18 – 12
⇒ 2x = 6
⇒ x = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3
∴ 4^2x-2 = 4^2×3-2 = 4^6-2 = 4⁴ = 256

प्रश्न 29.

हलः

दोनों पक्षों के. घातांकों की तुलना से
x = 4

प्रश्न 30.

हलः

दोनों पक्षों के समान आधार वाले घातांकों की तुलना करने से x = 3

प्रश्न 31.
यदि x एक धनात्मक वास्तविक संख्या है तथा x² = 2, तब x³ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ x² = 2
∴ x = (2)^1/2
∴ x³ = [(2)^1/2]³ = (2)^3/2 = [latex]\sqrt{2 \times 2 \times 2}=2 \sqrt{2}[/latex]

प्रश्न 32.
(256) ^-(4-3/2 का मान ज्ञात कीजिए।   (NCERT Exemplar)
हलः

Ex 2.1 Exponents of Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 33.
निम्न में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए (NCERT)
(i) (64)^1/3
(ii) (125)^-1/3
(iii) (27)^-2/3
(iv) [latex]\left(\frac{64}{25}\right)^{-3 / 2}[/latex]
हल:

प्रश्न 34.
यदि x,y, धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं तब निम्न का सरलीकरण कीजिए।

हल:

प्रश्न 35.
निम्न को सिद्ध कीजिए

हल:

प्रश्न 36.
(i) यदि 2^x = 3^y = 12^x, तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{2}{x}[/latex]
(ii) यदि 2^x = 3^y =6^x, तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=0[/latex]
(iii) यदि 3^x = 5^y = (75)^x, तब सिद्ध कीजिए z = [latex]\frac{x y}{2 x+y}[/latex]
(iv) यदि x = 2^1/3 + 2^2/3, तब सिद्ध कीजिए कि x³ – 6x = 6
हलः

प्रश्न 37.
सिद्ध कीजिए:

हलः

प्रश्न 38.
सिद्ध कीजिए:

हलः

प्रश्न 39.

हलः

Ex 2.1 Exponents of Real Numbers स्वमल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
निम्न का सरलीकरण कीजिए

हलः

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए [(16)^-1/5]^5/2 = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
हल:

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.
यदि 27^x = [latex]\frac{9}{3^{x}}[/latex] तो सिद्ध कीजिए कि x = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
हलः
L.H.S. = 27^x = [latex]\frac{9}{3^{x}}[/latex]
⇒ 27^x . 3^x = 9
⇒ (3³)^x = 3²
⇒ 3^3x . 3^x = 3²
⇒ 3^3x+x = 3²
⇒ 3^4x = 3^x
दोनों पक्षों के घातों की तुलना से
4x = 2
x = [latex]\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए {5(8^1/3 + 27^1/3)³}^1/4 = 5
हलः

प्रश्न 7.
वास्तविक संख्या x के लिए सिद्ध कीजिए कि

हलः

प्रश्न 8.

हलः

प्रश्न 9.

हलः

प्रश्न 10.

हलः

प्रश्न 11.
यदि x,y, धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं तो सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{x^{-1} y} \sqrt{y^{-1} z} \sqrt{x^{-1} x}[/latex] =1
हलः

प्रश्न 12.

हलः

प्रश्न 13.
निम्न में से प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए

हलः
(i) (2³)⁴ = (2²)^x
2¹² = 2^2x

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions