Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.4

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.4 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि (3x – 2), बहुपद p(x) = 3x3 + x2 – 20x + 12 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
(3x – 2), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड होगा यदि p(2/3) = 0
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अतः (3x – 2) बहुपद p(x) = 3x3 + x2 – 20x + 12 का एक गुणनखण्ड है।

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प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि (x – 1), बहुपद x20 – 1 तथा x21 – 1 का एक गुणनखण्ड है।
हल:
p(x) = x20 – 1
∵ x – 1 = 0 = x = 1 रखने पर,
p(1) = 120 – 1 = 1 – 1 = 0
x = 1 रखने पर p(1) = 0
अतः (x – 1) बहुपद x20 – 1 का एक गुणनखण्ड होगा।
इसी प्रकार, p(x) = x21 – 1
p(1) = 121 – 1 = 0
अतः (x – 1), बहुपद x21 – 1 का भी एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 3.
यदि 4x4 – ax3 + 2x2 + 4x + 3 का एक गुणनखण्ड (1 – 2x) है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
1 – 2x = 0 ⇒ x = [latex]\frac{1}{2}[/latex] रखने पर,
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प्रश्न 4.
यदि R1 तथा R2 दो शेषफल हैं। जब क्रमश: x3 + 2x2 – 5ax + 7 को (x + 1) तथा x3 + ax2 – 12x + 6 को (x – 2) से विभाजित किया जाता है। यदि R1 – R2 = 20, तो सिद्ध कीजिए a = 2।
हलः
R1 = p( – 1) = (-1)3 + 2(- 1)2 – 5a (-1) + 7 = – 1 + 2 + 5a + 7 = (5a + 8)
R2 = P(2) = 23 + a(2)2 – 12 × 2 + 6 = 8 + 4a – 24 + 6 = 4a – 10
तब दिया है, R1 – R2 = 20
⇒ (5a + 8) – (4a – 10) = 20
⇒ a + 8 + 10 = 20 ⇒ a = 2

प्रश्न 5.
यदि R1 तथा R2 दो शेषफल हैं जब क्रमशः f(x) = x3 + 2ax2 – 5x – 7 को (x + 1) तथा g(x) = x3 + x2 – 12x + 6a को (x – 2) से विभाजित किया जाता है। यदि 2R1 + R2 = 12 तो सिद्ध कीजिए a = 3।
हल:
R1 = f(-1) = (-1)3 + 2a (-1)2 – 5(-1) – 7 = – 1 + 2a + 5 – 7 = 2a – 3
R2 = g (2) = (2)3 + 22 – 12 × 2 + 6a = 8 + 4 – 24 + 6a = 6a – 12
दिया है,
2R1 + R2 = 12 .
2(2a – 3) + 6a – 12 = 12
10a – 18 = 12
10a = 30 ⇒ a = [latex]\frac{30}{10}[/latex] = 3

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प्रश्न 6.
यदि बहुपद ax3 + 3x2 – 3 तथा 2x3 – 5x + a को (x – 4) से भाग देने पर क्रमशः R1 तथा R2 शेषफल प्राप्त होते हैं तब a का मान ज्ञात कीजिए, यदि
(i) R1 = R2
(iii) 2R1 – R2 =0
हलः
R1 = P(4) = a (4)3 + 3(4)2 – 3 = 64a + 48 – 3 = 64a + 45
R2 = q(4) = 2(4)3 – 5(4) + a = 128 – 20 + a = a + 108
तब (i)
R1 = R2
⇒ 64a + 45 = a + 108
⇒ 63a = 63 ⇒ a = 1

(ii) 2R1 – R2 = 0
2(64a + 45) – (a + 108) = 0
128a + 90 – a – 108 = 0
127a – 18 = 0 ⇒ a = [latex]\frac{18}{127}[/latex]

प्रश्न 7.
यदि (x + α), x2 + px + q तथा x2 + mx + n, का गुणनखण्ड है तब सिद्ध कीजिए कि α = [latex]\frac{n-q}{m-p}[/latex]
हलः
यदि (x + α), x2 + px + q का एक गुणनखण्ड है, तब x = – α रखने पर शेषफल शून्य प्राप्त होगा। अतः
(-α)2 + p(-α) + q = 0
α2 – αp + q = 0 ………………… (1)
इसी प्रकार यदि (x + α), x2 + mx + n का एक गुणनखण्ड है, तब x = – α रखने पर शेषफल शून्य प्राप्त होता है, अतः
(α)2 + m(α) + n = 0
α2 – mα + n = 0 ……………………… (2)
समी० (1) व (2) से,
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प्रश्न 8.
यदि (x + 2), व्यंजक ax2 + bx + c तथा bx2 + ax + c का महत्तम समापवर्तक (HCF) है तो सिद्ध कीजिए a = b तथा a + b + c = 0
हलः
यदि (x + 2) व्यंजक ax2 + bx + c तथा bx2 + ax + c का म०स० है, तब यह उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा।
अत: x = – 2 रखने पर,
a( – 2)2 + b( – 2) + c = 0
या 4a – 2b + c = 0 …………………….. (1)
4b – 2a + c = 0 ……………….(2)
समी० (1) व (2) को जोड़ने पर,
2a + 2b + 2c = 0
⇒ a + b + c = 0
समी० (1) व (2) को घटाने पर, a = b

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प्रश्न 9.
यदि (x – 1), व्यंजक x2 – 1 तथा ax2 – b(x + 1), का महत्तम समापवर्तक (HCF) है तो सिद्ध कीजिए a = 2b
हलः
यदि (x – 1), व्यंजक (x2 – 1) और ax2 – b(x + 1) का म०स० है, तो (x – 1) इसका उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा। अतः
a(1)2 – b(1 + 1) = 0
a – 2b = 0
a = 2b

Ex 6.4 Remainder Theorem and Factor Theorem स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
x3 + 3x2 + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
5 + 2x = 0 या 2x = – 5
∴ x = [latex]-\frac{5}{2}[/latex] को बहुपद में रखने पर
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प्रश्न 2.
गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके 2y3 + y2 – 2y – 1 के गुणनखण्ड कीजिए।
हलः
2y3 + y2 – 2y – 1 में y = 1 रखने पर
शेषफल = 2(1)3 + (1)2 – 2(1) – 1 = 2 + 1 – 2 – 1 = 0
अतः (y – 1) बहुपद 2y3 + y2 – 2y – 1 का एक गुणनखण्ड है।
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∴ 2y2 + 3y + 1 = 2y2 + (2 + 1)y + 1
= 2y2 + 2y + y + 1
= 2y(y + 1) + 1(y + 1) = (2y + 1)(y + 1)
∴ गुणनखण्ड = (y – 1)(y + 1)(2y + 1)

प्रश्न 3.
x4 + x3 – 2x2 + x + 1 को (x – 1) से भाग करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए। .
हलः
∵ x – 1 = 0 या x = 1 का मान बहुपद में रखने पर
शेषफल = (1)4 + (1)3 – 2(1)2 + 1 + 1
= 1 + 1 – 2 + 1 + 1 = 2

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प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि (x + 2) बहुपद x3 + 3x2 + 5x + 6 व 2x + 4 का गुणनखण्ड है।
हलः
∵ x + 2 = 0 ∴x = 0 – 2 = – 2 रखने पर
बहुपद x3 + 3x2 + 5x + 6 का शेषफल
=(-2)3 + 3(-2)2 + 5(-2) + 6 = – 8 + 12 – 10 + 6 = 0
बहुपद 2x + 4 का शेषफल = 2(-2) + 4 = – 4 + 4 = 0
∴ (x + 2), बहुपद x3 + 3x2 + 5x + 6 व 2x + 4 का गुणनखण्ड है।

प्रश्न 5.
गुणनखण्ड प्रमेय से 6x2 + 17x + 5 के गुणनखण्ड कीजिए।
हल:
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प्रश्न 6.
गुणनखण्ड प्रमेय से y2 – 5y + 6 के गुणनखण्ड कीजिए।
हलः
बहुपद y2 – 5y + 6 में y = 2 रखने पर
(2)2 – 5(2) + 6
4 – 10 + 6 = 0
अतः (y – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
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∴ गुणनखण्ड = (y – 2)(y – 3)

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि (x + 2), बहुपद x3 + 3x2 + 3x + 2 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
∵ x + 2 = 0 इसलिए x = – 2 का मान बहुपद में रखने पर
(-2)3 + 3(-2)2 + 38 – 2) + 2
– 8 + 12 – 6 + 2 = 0
अतः (x + 2), बहुपद x3 + 3x2 + 3x + 2 का एक गुणनखण्ड है।

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प्रश्न 8.
बहुपद 9x3 + 3x2 – 13 व 2x3 – 5x + α को (x + 2) से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तब α का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद 9x3 + 3x2 – 13 को (x + 2) से भाग देने पर
x + 2 = 0 या x = – 2 रखने पर
शेषफल = 9(-2)3 + 3(-2)2 – 13
= 9(-8) + 3(4) – 13 = – 72 + 12 – 13 = – 73
बहुपद 2x3 – 5x + α को (x + 2) से भाग देने पर शेषफल
= 2(-2)3 – 5( – 2) + α = – 16 + 10 + α = – 6 + α
दोनों शेषफल समान होने की दिशा में
– 6 + α = – 73
α = – 73 + 6 = – 67

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि (x + 1) तथा (2x – 3) बहुपद 2x3 – 9x2 + x + 12 के गुणनखण्ड है। (NCERT Exemplar)
हलः
(i) बहुपद 2x3 – 9x2 + x + 12 में x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = – 1 रखने पर
शेषफल = 2(-1)3 – 9(-1)2 + (-1) + 12
= 2(-1) – 9(1) – 1 + 12 = – 2 – 9 – 1 + 12 = 0
अतः (x + 1), बहुपद 2x3 – 9x2 + x + 12 का गुणनखण्ड है।

(ii) 2x – 3 = 0 या x = [latex]\frac{3}{2}[/latex] का मान बहुपद 2x3 – 9x2 + x + 12 में रखने पर
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अतः (2x – 3) बहुपद 2x3 – 9x2 + x + 12 का गुणनखण्ड है।

प्रश्न 10.
α के किस मान के लिए बहुपद 2x3 + 9x2 + 11x + α + 3, 2x – 1 से पूर्णतया विभाजित है।
हल:
2x – 1 = 0 या x = [latex]\frac{1}{2}[/latex] का मान बहुपद में रखने पर, शेषफल = 0
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प्रश्न 11.
4x4 – 2x3 – 6x2 + x – 5 से क्या घटाया जाए कि वह 2x2 + x – 1 से पूर्णतया विभाजित है।
हल:
2x2 + x – 1 = 2x2 + (2 – 1)x – 1
= 2x + 2x – x – 1
= 2x(x + 1) – 1(x + 1) = (x + 1)(2x – 1)
(x + 1) से पूर्णतया विभाजित होने पर x + 1 = 0 या x = – 1 रखने पर
शेषफल = 4(-1)4 – 2(-1)3 – 6(-1)2 + (-1) – 5 .
= 4(1) – 2(-1) – 6(1) – 1 – 5 = 4 + 2 – 6 – 1 – 5 = – 6
इसी प्रकार 2x – 1 = 0 या x = [latex]\frac{1}{2}[/latex] रखने पर
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∴ 2x2 + x – 1 के दोनों गुणनखण्डों से विभाजित करने पर बहुपद 4x4 – 2x3 – 6x2 + x – 5 के शेषफल = – 6

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प्रश्न 12.
यदि x3 + ax2 – bx + 10, x2 – 3x + 2 से पूर्णतया विभाजित हो तो a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x2 – 3x + 2 = x2 – (2 + 1) x + 2 = x2 – 2x – x + 2
= x (x – 2) – 1(x – 2)= (x – 2)(x – 1)
∵ x – 2 = 0 ∴ x = 2 का मान बहुपद x3 + ax2 – bx + 10 में रखने पर
शेषफल = (2)3 + a(2)2 – b(2) + 10
= 8 + 4a – 2b + 10 = 4a – 2b + 18 ………………….. (1)
∵ x – 1 = 0 ∴ x = 1 का मान बहुपद x3 + ax2 – bx + 10 में रखने पर
शेषफल = (1)3 + a(1)2 – b(1) + 10
= 1 + a – b + 10
= 11 + a – b ………………… (2)
दोनों शेषफल = 0 रखने पर
4a – 2b + 18 = 0
⇒ 4a – 2b = – 18 ………………(3)
11 + a – b = 0
a – b = – 11 ……………… (4)
समी (4) में 2 से गुणा करने पर, समीकरण (3) घटाने पर
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समी (4) में a का मान रखने पर
2 – b = – 11
–b = – 11 – 2 = – 13 ⇒ b = 13

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि (x – 2),(x + 3) तथा (x – 4) बहुपद x3 – 3x2 – 10x + 24 के गुणनखण्ड है।
हलः
∵ x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = (2)3 – 3(2)2 – 10(2) + 24 = 8 – 12 – 20 + 24 = 0
∵ x + 3 = 0 या x = – 3 रखने पर
शेषफल = (-3)3 – 3(-3)2 – 10(-3) + 24 = – 27 – 27 + 30 + 24 = 0
∵ x – 4 = 0 या x = 4 रखने पर
शेषफल = (4)3 – 3(4)2 – 10(4) + 24 = 64 – 48 – 40 + 24 = 88 – 88 = 0
∵ शेषफल 0 है
∵ (x – 2), (x + 3), (x – 4) बहुपद x3 – 3x2 – 10x + 24 के गुणनखण्ड है।

प्रश्न 14.
x3 – 3x2 – 12x + 9 में क्या जोड़ें कि परिणामी x2 + x – 6 से पूर्णतया विभाजित हो जाए।
हल:
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शेषफल = – (2x + 15)
अर्थात् (2x + 15) जोड़ने पर परिणामी x2 + x – 6 से पूर्णतया विभाजित हो जाता है।

प्रश्न 15.
3x3 + x2 – 22x + 9 में क्या जोड़ें कि परिणामी 3x2 + 7x – 6 से पूर्णतया विभाजित हो जाए।
हलः
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शेषफल = – (2x + 3) अर्थात् 2x + 3 जोड़ने पर परिणामी 3x2 + 7x – 6 से पूर्णतया विभाजित होगा।

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प्रश्न 16.
x3 – 6x2 – 15x + 80 में क्या घटायें कि परिणामी x2 + x – 12 से पूर्णतया विभाजित हो जाए।
हल:
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∴ शेषफल = 4x – 4
अतः (4x – 4) घटाने पर परिणामी पूर्णतया विभाजित होगा।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि (x – 2), बहुपद f (x) = 2x3 – 3x2 – 17x + 30 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
∵ x – 2 = 0 ∴ x = 2 रखने पर।
f(2) = 2(2)3 – 3(2)2 – 17(2) + 30
= 16 – 12 – 34 + 30 = 0
∴ (x – 2), बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 18.
गुणनखण्ड प्रमेय से x3 – 6x2 + 11x – 6 के गुणनखण्ड कीजिए। (NCERT Exemplar)
हल:
x3 – 6x2 + 11x – 6
x = 1 रखने पर, शेषफल = (1)3 – 6(1)2 + 11(1) – 6 = 1 – 6 + 11 – 6 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
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x2 – 5x + 6 = x 2 – (2 + 3)x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3)
गुणनखण्ड = (x – 1)(x – 2)(x – 3)

प्रश्न 19.
यदि (2x + 3) बहुपद 4x3 + 20x2 + 33x + 18 का एक गुणनखण्ड है तो इसके शेष गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हलः
(2x + 3), बहुपद 4x3 + 20x2 + 33x + 18 का एक गुणनखण्ड है
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2x2 + 7x + 6 = 2x2 + (3 + 4)x + 6
= 2x2 + 3x + 4x + 6 = x(2x + 3) + 2(2x + 3) = (2x + 3)(x + 2)
∴ गुणनखण्ड = (2x + 3)(2x + 3)(x + 2) = (2x + 3)2 (x + 2)

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प्रश्न 20.
f(x) = x4 – 4x3 + 3x2 – ax – bको (x – 1) से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 6 आता है तब सिद्ध कीजिए कि a + b = – 6
हल:
f(x), (x – 1) से विभाजित होता है।
∴ x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
f(1) = (1)4 – 4(1)3 + 3(1)2 – a(1) – b
6 = 1 – 4 + 3 – a – b
1 – 4 + 3 – a – b = 6
4 – 4 – a – b = 6 ⇒ – a – b = 6
a + b = – 6

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