Class 9

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.4 चतुर्भज

Ex 13.4 Quadrilateral अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
किसी आयत के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हलः
आयत का प्रत्येक कोण 90° होता है।

प्रश्न 2.
वर्ग की चारों भुजाओं में निम्न में से कौन-सा सम्बन्ध है?
(a) असमान
(b) समान
(c) दो समान हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
वर्ग की चारों भुजाएँ समान होती हैं। अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
समबाहु त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बना त्रिभुज कौन-सा त्रिभुज होता है?
हलः
समबाहु ∆ की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर एक समबाहु त्रिभुज बनता है।

प्रश्न 4.
एक समान्तर चतुर्भुज में यदि विकर्ण बराबर तथा परस्पर लम्ब हों तो यह किस प्रकार का त्रिभुज होगा?
हलः
वह समान्तर चतुर्भुज में जिसमें विकर्ण समान लम्बाई के तथा एक दूसरे के लम्बवत् होते हैं, वह वर्ग होता है।

प्रश्न 5.
समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ होती हैं-
(a) समान्तर
(b) बराबर
(c) (a) व (b) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं समान तथा समान्तर होते हैं। अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 6.
निम्न में से किसमें विकर्ण परस्पर लम्बवत् होते हैं?
(a) आयत
(b) समचतुर्भुज
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
आयत में विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत होते हैं। अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 7.
∆ABC में, यदि AD माध्यिका व E, AD का मध्य बिन्दु है। BE को मिलाया तथा ऐसे बढ़ाया कि यह AC
को F पर प्रतिच्छेद करती है तब AF का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
[latex]A F=\frac{1}{6} A C[/latex]

प्रश्न 8.
समचतुर्भुज के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर बनने वाली आकृति है (NCERT Exemplar)
(a) समचतुर्भुज
(b) आयत
(c) वर्ग
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समचतुर्भुज के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर आयत बनता है। अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 9.
वर्ग की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर बनने वाला चतुर्भुज है-
(a) वर्ग
(b) आयत
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
वर्ग के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर बना चतुर्भुज वर्ग होता है। अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 10.
समान्तर चतुर्भुज में यदि एक कोण 90° है तो यह है एक-
(a) समचतुर्भुज
(b) आयत
(c) वर्ग
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
यदि समान्तर चतुर्भुज का एक कोण 90° है तो समान्तर चतुर्भुज एक आयत होगा। अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 11.
एक समचतुर्भुज का एक कोण यदि 90° है तो यह है एक-
(a) समलम्ब चतुर्भुज
(b) वर्ग
(c) आयत
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
यदि किसी समचतुर्भुज का एक कोण 90° है तो वह वर्ग होगा। अत: विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 12.
निम्न में से किसमें सभी चारों भुजाएँ बराबर होगी ?
(a) वर्ग
(b) समचतुर्भुज
(c) (a) व (b) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
वर्ग तथा समचतुर्भुज की चारों भुजाएं समान होती हैं। अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 13.4 Quadrilateral लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब हैं, तब यह एक समचतुर्भुज होता [NCERT]
हलः
ज्ञात हैः एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD बराबर हैं।

सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है
उपपत्ति: ∆ABC तथा ∆DCB में;
AB = CD (समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ)
BC (उभयनिष्ठ भुजा)
AC = BD (ज्ञात है)
अतः ∆ABC = ∆DCB
∴ ∠ABC = ∠DCB
समान्तर चतुर्भुज ABCD में तिर्यक रेखा BC के एक की ओर स्थित ∠ABC तथा ∠DCB का योगफल 180° होगा।
∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°
समान्तर चतुर्भुज का प्रत्येक कोण समकोण होता है।
∠ABC = 90° (∴ ∠ABC = ∠DCB)
∴ ABCD समचतुर्भुज है।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब समद्विभाजक हैं तो वह एक समचतुर्भुज होता [NCERT]
हलः
ज्ञात है: एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे पर लम्ब हैं।

सिद्ध करना है: ABCD एक समचतुर्भुज है।
उपपत्तिः माना विकर्ण AC तथा BD एक दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं। समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
समान्तर चतुर्भुज ABCD में, OA = OC
∆AOD तथा ∆COD में, OA =OC (अभी सिद्ध किया है)
∠AOD = ∠COD (प्रत्येक समकोण)
OD उभयनिष्ठ
अतः ∆AOD ≅ ∆COD
AD = CD
अतः ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसकी क्रमागत भुजाएँ AD,CD बराबर हैं।
अतः ABCD एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण बराबर तथा समकोण पर समद्विभाजित हैं तो वह एक वर्ग होता है। [NCERT]
हलः
ज्ञात है: एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC एवं BD बराबर हैं तथा एक दूसरे पर लम्ब हैं।
सिद्ध करना है: ABCD एक वर्ग है।
उपपत्ति: माना विकर्ण AC व BD एक दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं।
∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
समान्तर चतुर्भुज ABCD में |
OB = OD … (1)

∆AOB तथा ∆AOD में,
A0 उभयनिष्ठ
∠AOB = ∠AOD (प्रत्येक समकोण)
OB =OD [समी० (1) से]
अतः
∆AOB ≅ ∆AOD
AB = AD …(2)
परन्तु समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजायें होने के कारण
AB = CD तथा AD = BC …. (3)
समीकरण (2) तथा (3) से, AB = BC = CD = AD … (4)
अब ∆ABD तथा ∆BAC में, AB उभयनिष्ठ
AD = BC [समी० (4) से]
BD = AC (ज्ञात है)
∴ ∆ABD ≅ ∆BAC
∴ ∠DAB = ∠CBA
∴ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ सम्मुख भुजाएं AD एवं BC एक दूसरे के समान्तर हैं।
∴ AD तथा BC एक दूसरे के समान्तर हैं उन्हें तिर्यक रेखा AB क्रमशः A व B पर काटती हैं।
∴ तिर्यक रेखा AB के एक ही ओर स्थित अन्त:कोणों ∠DAB और ∠CBA का योग 180° होता है।
∠DAB + ∠CBA = 180° …(6)
समीकरण (5) व (6) से, ∠DAB + ∠CBA = 90° …(7)
∴ समीकरण (4) व (7) से प्रदर्शित होता है कि ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है। जिसकी सभी भुजाएं बराबर तथा प्रत्येक कोण समकोण है।
अत: ABCD एक वर्ग है।

प्रश्न 16.
त्रिभुज ABC की माध्यिका AD को X की ओर बढ़ाते हैं तो AD = DX तो सिद्ध कीजिए ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है।
हलः
ज्ञात है: ∆ABC में माध्यिका AD को बिन्दु X तक बढ़ाया गया है जिससे AD = DX
सिद्ध करना है: ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है।
रचना: BX तथा XC को मिलाया।
उपपत्तिः
AD = DX
BD = DC
∆ABD तथा ∆ADC में,

AD = DX (ज्ञात है)
BD = DC (ज्ञात है)
∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक समकोण)
अतः
∆ABD ≅ ∆ADC
AB = CX
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि BX = AC
इसलिए ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 17.
त्रिभुज ABC में E व F क्रमशः AB व AC के मध्य बिन्दु हैं। BC पर एक शीर्ष लम्ब AP है। जो EF को
बिन्दु Q पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए AQ = PQ
हल:

Ex 13.4 Quadrilateral दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 18.
ABCD एक समचतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC, ∠A व ∠C को तथा विकर्ण BD, ∠B व ∠D को समद्विभाजित करते हैं। [NCERT]
हलः

ज्ञात है: ABCD एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD हैं।
सिद्ध करना है: ∠BAC = ∠DAC तथा ∠ACB = ∠ACD
तथा ∠ABD = ∠DBC तथा ∠ADB = ∠BDC
उपपत्ति: ∆ABC तथा ∆ADC में,
AB = DC (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
BC = AD (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
AC उभयनिष्ठ
अतः ∆ABC ≅ ∆ADC
∴ ∠BAC = ∠CAD तथा ∠BCA = ∠ACD
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि ∠ABD = ∠DBC तथा ∠ADB = ∠BDC

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं। (NCERT)
हलः

ज्ञात है: A,B,C,D क्रमश: PQ, QR, RS तथा SP के मध्य बिन्दु हैं। AC तथा BD बिन्दु O पर अन्त:खण्ड खींचे गये हैं।
सिद्ध करना है: AO = CO तथा DO = OB
रचनाः AB, BC,CD तथा DA को मिलाया।
उपपत्तिः ∆PQR में, A, B PQ तथा QR के मध्य बिन्दु हैं।
AB||PR
∆PSR में, DC||PR समी० (1) व (2) से AB||DC तथा AB = DC
समान्तर चतुर्भुज ABCD में, AO = CO तथा DO = BO

प्रश्न 20.
ABCD एक समचतुर्भुज है तथा P, Q,R व S क्रमश: AB, BC, CD व DA के मध्य बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक आयत है।
हल:
∆ABC में P तथा Q, AB व BC के मध्य बिन्दु हैं। AC को मिलाया।

इसी प्रकार ∆ADC में R तथा S,CD तथा DA के मध्य बिन्दु हैं।

समी० (1) व (2) से PQ|| RS तथा PQ = SR
चतुर्भुज PQRS में, PQ तथा SR समान तथा समान्तर हैं।
∴ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ AB, BC समचतुर्भुज की भुजाएं हैं।

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि यदि चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान हो तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है। [NCERT]
हलः

Ex 13.4 Quadrilateral इतिसिद्धम् बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक समचतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति है एक-
(a) आयत
(b) वर्ग
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
एक आयत।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
एक वर्ग की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति है, एक-
(a) आयत
(b) वर्ग
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
वर्ग। अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं तब आकृति है एक-
(a) आयत
(b) समान्तर चतुर्भुज
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समचतुर्भुज। अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.
निम्न में से कौन-सी आकृति के विकर्ण बराबर हैं?
(a) आयत
(b) समान्तर चतुर्भुज
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
आयत। अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 5.
यदि एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के दो आसन्न कोण ∠A = ∠B है, तब समान्तर चतुर्भुज है-
(a) आयत
(b) समलम्ब चतुर्भुज
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
आयत। अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
एक समचतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकति है, एक-
(a) वर्ग
(b) आयत
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समचतुर्भुज। अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
यदि एक समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ क्रमशः a और b हैं, तो असमान्तर भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा है-
(a) [latex]\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2}[/latex]
(b) [latex]\frac{\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}}{2}[/latex]
(c) [latex]\frac{2 a b}{a+b}[/latex]
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
असमान्तर भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा = [latex]\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2}[/latex]
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 8.
समान आधार व समान समान्तर भुजाओं पर दो समान्तर भुजाएं हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात-
(a) 1 : 2
(b) 2 : 1
(c) 1 : 1
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
1 : 1
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 9.
निम्न में से कौन-सा समान्तर चतुर्भुज के लिए सत्य है?
(a) विपरीत भुजाएँ बराबर हैं।
(b) विपरीत कोण बराबर हैं।
(c) विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
(d) सभी सत्य हैं।
हलः
सभी सत्य हैं। अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 10.
यदि एक चतुर्भुज के तीन कोणों की माप 56°,115° और 84° है तब चौथे कोण की माप है।
(a) 105°
(b) 100°
(c) 110°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∵ चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है। अतः
56+115+ 84+ X = 360°
x = 360° – 255
=105°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 11.
यदि एक चतुर्भुज के कोण A,B,C और D अनुपात 3:7:6:4 के क्रम में लिये गये हैं तब ABCD है एक- (NCERT Exemplar)
(a) समचतुर्भुज
(b) समलम्ब चतुर्भुज
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
3x +7x+6x +4x = 360°
20x = 360°
x = 180
∠A = 3 × 18 = 54°,
∠B = 7 × 18 = 126°,
∠C = 6 × 18 = 108°,
∠D = 4 × 18 = 72°
∠A + ∠B = 180° तथा
∠C + ∠D = 180°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 12.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°,90° और 75° है। चौथा कोण हैं (NCERT Exemplar)
(a) 60°
(b) 90°
(c) 120°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना चौथा कोण x° है। तब ।
75+ 90 + 75+ x = 360°
240 + x = 360°
x = 360°- 240°
x = 120°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 13.
एक समान्तर चतुर्भुज का परिमाप 32 सेमी है। यदि छोटी भुजा 6.5 सेमी है तब बड़ी भुजा की माप है
(a) 9.5 सेमी
(b) 9 सेमी
(c) 8.5 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना बड़ी भुजा x है, तब परिमाप
32 = 2x + 2 × 6.5
32 = 2x + 13
2x = 32 – 13 ⇒ 2x = 19

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 14.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में यदि ∠A = 80° और ∠B =
(a) 100°
(b) 120°
(c) 130°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 15.
यदि एक समचतुर्भुज ABCD है तब ∠A – ∠C =
(a) 60°
(b) 90°
(c) 0
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
किसी समचतुर्भुज में यदि ∠A तथा ∠C, समकोण हों, तो
∠A – ∠C = 0
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 16.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि ∠DAC = 34° और ∠AOB = 75° तब ∠DBC =
(a) 34°
(b) 75°
(c) 41°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∴ ∠DAC = 34°

प्रश्न 17.
एक समचतुर्भुज ABCD इस प्रकार कि ∠ACB = 40° तब ∠ADB = (NCERT Exemplar)
(a) 50°
(b) 60°
(c) 90°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

∴ ∠ACB = 40°
∴ ∠COB = 90°

अतः विकल्पं (a) सही है।

प्रश्न 18.
एक समान्तर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनी आकृति है एक-
(a) वर्ग
(b) समचतुर्भुज
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) आयत हलः आयत।
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 19.
संलग्न चित्र में, एक समचतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि ∠ACB = 50° तब ∠ADB =
(a) 50°
(b) 60°
(c) 40°
(d) इनमें से कोई नहीं

हलः

Ex 13.4 Quadrilateral स्वमल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली सरल रेखा, समान्तर भुजाओं के अन्य युग्म से समान्तर होती है।
हलः
∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ AB||DC तथा AD|| BC
(i) ∵ AB||DC व DA व CB तिर्यक रेखा हैं।

मध्य बिन्दुओं E, F को मिलाने वाली रेखा EF के अन्त:खण्ड EM = MF
तथा मध्य बिन्दुओं G,H को मिलाने वाली रेखा GH के अन्त:खण्ड GM = MH होंगे।
अत: AB||GH|| DC तथा AD|| FE||BC होंगे।

प्रश्न 2.
एक समचतुर्भुज PQRS है। विकर्ण PR और QS, O पर प्रतिच्छेद करते हैं। तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने सभी चार कोण सर्वांगसम हैं।
हलः
∵ समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तथा समचतुर्भुज की चारों भुजाएं समान होती हैं।
PQ = QR = RS = SP

∆POQ, ∆POS, ∆QOR तथा ∆SOR भुजा-भुजा-भुजा प्रतिबन्ध से सर्वांगसम होंगे।

प्रश्न 3.
एक चतुर्भुज के कोण 3:5:9 : 13 के अनुपात में हैं। चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए। [NCERT]
हलः
माना चतुर्भुज के कोण = 3x, 5x, 9x, 13x
∵ चतुर्भुज के चारों कोणों का योगफल = 360°
3x + 5x + 9x + 13x = 360°
30x = 360°

∴ चतुर्भुज के कोण = 36°, 60°, 108°, 156°

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं तथा एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। [NCERT]
हलः

प्रश्न 5.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि-
(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है। [NCERT]
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
हलः
AB||DC तथा AC तिर्यक रेखा काटती है।
∠1 = ∠3 (एकान्तर कोण )

AD||BC तथा AC तिर्यक रेखा काटती है।
∠2 = ∠4 (एकान्तर कोण)
∵ AC, ∠A का अर्द्धक है।
∴ ∠1 = ∠2
∴ ∠3 = ∠4
∴ सम्मुख कोण समान हैं तथा ABCD एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 6.
ABC एक समबाहु त्रिभुज है तथा L,M,N क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं तो दर्शाइये कि ∆LMN एक समबाहु त्रिभुज है।
हलः
माना समबाहु ∆ की भुजा AB = BC = CA = x सेमी
∵ किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर तथा उससे आधी होती है।

प्रश्न 7.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि AB||CD तथा AD = BC तो दर्शाइए कि
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D (NCERT)
(iii) ∆ABC ≅ ∆BAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD
हल:
AB को बढ़ाया और C से होकर DA के समान्तर एक रेखा खींची जो बढी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।
∵ AECD एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 8.
एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर एक चतुर्भुज बनता है। सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत होगा।
हलः

प्रश्न 9.
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु क्रमश: P, Q, R और है तथा जिसमें AC = BD है तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समचतुर्भुज है। (NCERT)
हल:

प्रश्न 10.
ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें भुजा AB की D से ऊँचाई, AB को समद्विभाजित करती है। तो समचतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 11.
एक समान्तर चतुर्भुज के एक अधिक कोण के शीर्ष से, समान्तर चतुर्भुज की दो ऊँचाइयों के बीच का कोण 60° है। एक समान्तर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 12.
एक चतुर्भुज ABCD है जिसमें P, Q,R और क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं AC एक विकर्ण है तो दर्शाइए कि-
(i) SR||AC और SR = [latex]\frac{1}{2}[/latex]AC
(ii) PQ = SR
(iii) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
हल:

प्रश्न 13.
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में, एक वर्ग बनाया गया है। वर्ग और त्रिभुज का एक कोण उभयनिष्ठ है। दर्शाइए कि उभयनिष्ठ कोण के शीर्ष के विपरीत, वर्ग का शीर्ष कर्ण को समद्विभाजित करता है। (NCERT Exemplar)
हल:

प्रश्न 14.
एक ∆ABC में, D,E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं। यदि भुजाओं AB, BC और CA की लम्बाइयाँ क्रमशः 7 सेमी, 8 सेमी, 9 सेमी हैं तो दर्शाइए कि ∆DEF का परिमाप 12 सेमी है।
हल:

प्रश्न 15.
माना एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार है कि AB = AC यदि D,E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं तो दर्शाइए कि रेखाखण्ड AD और EF एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करती है।
हलः

प्रश्न 16.
ABCD एक पतंग है जिसमें AB = AD और BC = CD तो सिद्ध कीजिए कि भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति एक आयत है।
हल:

प्रश्न 17.
एक ∆ABC में, A, B और C से, भुजाओं BC, CA और AB के समान्तर रेखा R खींचे जाने पर प्राप्त आकृति ∆PQR है। तो दर्शाइए कि BC = [latex]\frac{1}{2}[/latex]QR.
हल:

बिन्दु A से BC के समान्तर RQ, बिन्दु B से AC के समान्तर PQ तथा बिन्दु C से AB Aके समान्तर RP रेखायें खींची गयी है।
∴ ∆PQR बनता है।
अतः बिन्दु A, B, C क्रमश: APQR की भुजाओं RQ, QP तथा PR के मध्य बिन्दु होंगे।

प्रश्न 18.
एक समान्तर चतुर्भुज का परिमाप 22 सेमी है यदि बड़ी भुजा की माप 6.5 सेमी है दर्शाइए कि छोटी भुजा की माप 4.5 सेमी है।
हल:
समान्तर चतुर्भुज का परिमाप = 2(a + b)
जहाँ a व b क्रमशः समान्तर चतुर्भुज की भुजाएं है।

प्रश्न 19.
यदि एक समान्तर चतुर्भुज के कोण, इसके आसन्न कोण का [latex]\frac{4}{5}[/latex] तो समान्तर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 20.
संलग्न चित्र में, एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है जिसमें ∠A और ∠B के समद्विभाजक एक बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं, दर्शाइए कि ∠APB = 90°
हलः

प्रश्न 21.
संलग्न चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, E, AB का मध्य बिन्दु है। और CE, ∠BCD को समद्विभाजित करता है। तो सिद्ध कीजिए कि
(i) AE = AD
(ii) DE, ∠ADC को समद्विभाजित करता है।
(iii) ∠DEC = 90°

हलः

प्रश्न 22.
यदि एक समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्ण, समान्तर चतुर्भुज के कोणों में से एक को समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि यह, इसके विपरीत कोण को भी समद्विभाजित करता है तथा दोनों विकर्ण
हलः
समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, उसे दो समान त्रिभुजों में बाँटता है
∆ADC तथा ∆ABC में,
AB = DC (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ)
AD = BC (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ)
AC उभयनिष्ठ अतः
∆ADC ≅ ∆ABC
∠BCA = ∠DCA

प्रश्न 23.
यदि ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD,O पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए किः
(i) (AB + BC + CD + DA) > (AC + BD)
(ii) (AB + BC + CD + DA) < 2(AC + BD)
हलः

प्रश्न 24.
संलग्न चित्र में, एक बिन्दु 0, एक समचतुर्भुज ABCD के भीतर इस प्रकार लिया गया है कि OB = OD तो दर्शाइए कि A,0 और C समान रेखा में हैं।
हलः

प्रश्न 25.
एक चतुर्भुज के विकर्ण लम्बवत् हैं तो दिखाइये कि चतुर्भुजीव आकृति में, इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति एक आयत है। (NCERT)
हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा घिरा क्षेत्र एक आयत है।
हलः
दिया है: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें कोणों A, B,C,D के समद्विभाजक क्रमशः बिन्दुओं P,Q, R व
S पर प्रतिच्छेद कर एक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं।
सिद्ध करना है: PQRS एक आयत हैं।
उपपत्तिः ∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है
इसलिए, AD|| BC
∵ AD||BC तथा तिर्यक रेखा AB उसे क्रमशः बिन्दु A व B पर प्रतिच्छेद करती है।

प्रश्न 27.
एक वर्ग की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति एक वर्ग होता है।
हलः

प्रश्न 28.
यदि एक तिर्यक, दो समान्तर रेखाओं को काटती है तो दर्शाइए कि अन्तः कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं।
हलः
दिया है। दो समान्तर भुजाएँ AB व CD तथा तिर्यक रेखा l जो AB को X तथा CD को Y पर काटती है। आन्तरिक कोणों के समद्विभाजक बिन्दु P व Q पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रश्न 29.
समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD को तीन बराबर भागों में बिन्दु P व Q से बाँटा जाता है, सिद्ध कीजिए कि CQ, AP के समान्तर है।
हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 30.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AD को E तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DE = DC तथा EC का बढ़ा भाग, AB के बढ़े भाग F में मिलता है तो सिद्ध कीजिए कि BF = BC
हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 31.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AD पर एक बिन्दु P पर इस प्रकार है कि AP = [latex]\frac{1}{3}[/latex]AD तथा BC पर एक बिन्दु Q इस प्रकार है कि CQ = [latex]\frac{1}{3}[/latex]BC तो सिद्ध कीजिए कि AQCP एक समान्तर चतुर्भुज है।
हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 32.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है। E तथा F क्रमश: AB तथा AD के मध्य बिन्दु हैं। कोई रेखा GH है जो AD, EF और BC को क्रमश: G,P और H पर प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध कीजिए कि GP = PH.
हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 33.
ABC एक त्रिभुज है तथा A, B और C से, BC, CA और AB के समान्तर रेखाएँ खींची गई हैं जो क्रमशः P,Q तथा R पर प्रतिच्छेद करती हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∆PQR का परिमाप, ∆ABC के परिमाप का दोगुना है।
हलः

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 10 Lines and Angle Ex 10.1 रेखाएँ एवं कोण

Ex 10.1 Lines and Angle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि दो पूरक कोणों के बीच का अनुपात 2 : 3 है। तब कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो पूरक (कोटिपूरक) कोण = 2x, 3x
∵ दो पूरक कोणों का योग 90° होता है।
∴ 2x + 3x = 90°
5x = 90
x = [latex]\frac{90}{5}[/latex] = 18
∴ दो पूरक कोण = 2 × 18 =36° तथा 3 × 18 = 54°

प्रश्न 2.
यदि दो सम्पूरक कोणों के बीच का अन्तर 40° है। तब कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो सम्पूरक कोण = x,
180 – x दो सम्पूरक कोणों का अन्तर = 40
x – (180 – x) = 40
x – 180 + x = 40
2x = 220
x = [latex]\frac{220}{2}[/latex] = 110
सम्पूरक कोण = 110°, 70°

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज का बाह्य कोण 110° है और इसके दो अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं। तब ये कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ∠ABC = ∠BAC = x

∵ A का बहिष्कोण, अपने सम्मुख अन्तः कोणो के योग के बराबर होता है
∴ ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
110 = x + x
110 = 2x
[latex]\frac{110}{2}[/latex] = x
∴ x = 55°

प्रश्न 4.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तब त्रिभुज का नाम बताइये?
हलः
माना
∆ के कोण = x, y, z
∵ x + y = z (दिया है) ………………… (i)
∵ ∆ के तीनों कोणो का योग = 180°
x + y + z = 180°
समीकरण (1) से,
z + z = 180°
2z = 180°
z = [latex]\frac{180}{2}[/latex] = 90
∴ यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2 : 3 : 4 है। तब त्रिभुज का नाम बताइए।
हलः
माना ∆ के तीन कोण = 2x, 3x, 4x
∆ के तीनो कोणो का योगफल = 180°
2x + 3x +4x = 180°
9x = 180°
x = [latex]\frac{180}{9}[/latex] = 20
∴ ∆ के कोण = 40°, 60°, 80°
∴ यह एक न्यूनकोण ∆ है।

प्रश्न 6.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण 110° है तब अन्य दो कोणों के समअर्द्धको के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में माना
∠A = x
∠C = y
∠B = 110°

∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + 110 + y = 180
⇒ x + y = 180 – 110 = 70
∵ [latex]\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{70}{2}[/latex] = 35
माना ∠A व ∠C के समअर्द्धको के बीच का कोण = z
तब [latex]\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+z[/latex] = 180°
समीकरण (1) से,
35 + z = 180°
z = 180 – 35 = 145°

Ex 10.1 Lines and Angle लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 7.
निम्नलिखित को परिभाषित कीजिए
(i) कोण
(ii) एक कोण का अभ्यन्तर
(iii) न्यूनकोण
(iv) अधिक कोण
(v) सम्पूरक कोण
(vi) पूरक कोण
हलः
(i) कोण- दो रेखाओं के परस्पर झुकाव से बनने वाली आकृति को कोण कहते है। जैसे AB व AC दो किरणें हैं। AB तथा AC के झुकाव से ∠BAC बनता है।

(ii) एक कोण का अभ्यन्तर (Interior of an Angle)- समतल का वह भाग जो किरण AB व AC के बीच स्थित है। ∠BAC का अभ्यन्तर कहलाता है।
(iii) न्यूनकोण- 90° से छोटे या कम कोण को न्यूनकोण कहते हैं।
(iv) अधिक कोण- 90° से बड़े कोण को अधिक कोण कहते हैं।
(v) सम्पूरक कोण- जिन दो कोणों का योग 180° होता है, सम्पूरक कोण कहलाते हैं जैसे 40° का सम्पूरक कोण 140° है।
(vi) पूरक कोण- जिन दो कोणों का योग 90° होता है, पूरक कोण कहलाते हैं जैसे 40° का पूरक कोण 50° होता है।

प्रश्न 8.
कौन-सा कोण स्वयं का कोटिपूरक होता है?
हलः
माना कोण = x
पूरक कोण = x
∴ x + x = 90
2x = 90 ⇒ x = [latex]\frac{90}{2}[/latex] = 45
∴ कोण = 45° स्वयं का कोटिपूरक होता है।

प्रश्न 9.
कौन-सा कोण स्वयं का सम्पूरक होता है?
हलः
माना कोण = x
सम्पूरक कोण = x
∴ x + x = 180°
2x = 180 ⇒ x = [latex]\frac{180}{2}[/latex] = 90°
∴ कोण = 90° स्वयं का सम्पूरक कोण होता है।

प्रश्न 10.
निम्नलिखित प्रत्येक के सम्पूरक कोण का मापन ज्ञात कीजिए।
(i) 54°
(ii) 1300
(iii) 1720
हलः
(i) 54° का सम्पूरक कोण = 180 – 54 = 126°
(ii) 130° का सम्पूरक कोण = 180 – 130 = 50°
(iii) 172° का सम्पूरक कोण = 180 – 172 = 8°

प्रश्न 11.
निम्नलिखित प्रत्येक कोण का पूरक कोण लिखिए।
(i) 77°
(ii) 65°10’20”
(iii) 485942″
हलः
(i) 77° का पूरक कोण = 90 – 77 = 13°
(ii) 65°10′ 20″ का पूरक कोण = 90 – (65°10′ 20″) = 24°49’40”
(iii) 48°59’42” का पूरक कोण = 90 – (48°59’42”) =41°0’18”

प्रश्न 12.
यदि एक कोण, उसके पूरक में, 10° का अन्तर है। कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना कोण = x
पूरक कोण = 90 – x
x – (90 – x) = 10
x – 90 + x = 10
2x = 100
x = 50°
∴ कोण = 50°

प्रश्न 13.
यदि कोण (2x – 10)° और (x – 5)° पूरक कोण है तब x ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ कोण (2x – 10) तथा (x – 5) पूरक कोण है।
∴ 2x – 10 + x – 5 = 90
3x = 90 + 15
3x = 105
x = [latex]\frac{105}{3}[/latex] = 35°

प्रश्न 14.
यदि एक कोण का सम्पूरक, उसके पूरक के तीन गुने के बराबर है। तो कोण का मापन ज्ञात कीजिए।
हलः
माना कोण = x
पूरक कोण = 90 – x
सम्पूरक कोण = 180 – x
प्रश्नानुसार, 180 – x = 3(90 – x)
180 – x = 270 – 3x
2x = 90
x = [latex]\frac{90}{2}[/latex] = 45
कोण = 45°

प्रश्न 15.
दो सम्पूरक कोण 3 : 7 के अनुपात में हैं, कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना
पहला कोण = 3x
दूसरा कोण = 7x
प्रश्नानुसार, 3x + 7x = 180°
10x = 180°
x = [latex]\frac{180}{10}[/latex] = 18
∴ पहला कोण = 3 × 18 = 54°
दूसरा कोण = 7 × 18 = 126°

Ex 10.1 Lines and Angle लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 16.
दी गयी आकृति में, OA और OB विपरीत किरणें हैं। x का मान ज्ञात कीजिए तथा ∠AOC तथा ∠BOD भी ज्ञात कीजिए।
हलः

∠AOB = 180°
∠AOC + ∠COD + ∠BOD = 180°
x + 20 + x + x + 10 = 180
3x + 30 = 180
3x = 180 – 30
3x = 150
x = [latex]\frac{150}{3}[/latex] = 50°
∴ ∠AOC = 50 + 20 = 70°
∠BOD = 50 + 10 = 60°

प्रश्न 17.
चित्र में, AB और AC विपरीत किरणें हैं। यदि (a – 3b) = 20° तो कोण a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ हम जानते हैं कि किरण CAB में a + b = 180° है।

समीकरण (1) में b का मान रखने पर a – 3 × 40 = 20
a = 20+ 120
a = 140°

प्रश्न 18.
दी गई आकृति में, दो सरल रेखाएं AB और CD एक बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠BOD = x° और ∠AOD = (4x – 5)° तो x का मान ज्ञात कीजिए तथा निम्न को ज्ञात कीजिए।

(i) ∠BOD
(ii) ∠AOD
(iii) ∠AOC
(iv) ∠BOG
हलः
∠ BOD + ∠AOD = 180
x + 4x – 5 = 180°
5x = 180+ 5
5x = 185
x = [latex]\frac{185}{5}[/latex] = 37°
(i) ∠BOD = 37°
(ii) ∠AOD = 4x – 5 = 4 × 37 – 5 = 148 – 5 = 143°
(iii) ∠AOC = ∠BOD = 37° (शीर्षाभिमुख कोण)
(iv) ∠BOC = ∠AOD = 143° (शीर्षाभिमुख कोण)

प्रश्न 19.
दी गयी आकृति में, AOC एक रेखा है। x का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
AOC एक सरल रेखा है।
70 + 2x = 180°
2x = 180 – 70 = 110
x = [latex]\frac{110}{2}[/latex] = 55°

प्रश्न 20.
दी गयी आकृति में, BAC एक रेखा है। x का मान ज्ञात कीजिए तथा ∠CAE व ∠BAD ज्ञात कीजिए।

हलः
∴ बिन्दु A पर बने तीनों कोणों का योग = 180°
∴ 3x – 5 + 55 + x + 20 = 180°
4x + 70 = 180
4x = 180 – 70 = 110
x = [latex]\frac{110}{4}[/latex] = 27°30′
∴ ∠CAE = (3x 27°30′ – 5)
= 82°30′ – 5°= 77°30′
∴ ∠BAD = 27°30′ + 20 = 4730′

प्रश्न 21.
दी गयी आकृति में, POS एक रेखा है। x का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ POS एक सरल रेखा है।
∠POQ + ∠QOR + ∠ROS = 180°
60 + 4x + 40 = 180
4x = 180 – 100 = 80
x = [latex]\frac{80}{4}[/latex] = 20°

प्रश्न 22.
निम्न दी गयी आकृति में, तीन समरेखीय रेखायें एक बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। रुपीय कोण दर्शाये ( चित्र में) गये हैं। a, b, c और d के मान ज्ञात कीजिए।

हलः
∵ ∠b = 70° (शीर्षाभिमुख कोण)
∠c = 80° (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ PQ एक सरल रेखा है।
∠a + ∠b + ∠c = 180°
∠a + 70 + 80 = 180°
∠a = 180° – 150° = 30°
∠d = ∠a = 30° (शीर्षाभिमुख कोण)

प्रश्न 23.
सभी में आसन्न कोणों के कितने युग्म है? दी गयी आकृति में इन्हें क्या नाम दे सकते हैं?

हलः
10 युग्म है, जो निम्न प्रकार है।
∠AOB तथा ∠BOC
∠AOB तथा ∠BOD
∠AOB तथा ∠BOE
∠AOC तथा ∠COD
∠AOC तथा ∠COE
∠AOD तथा ∠DOE
∠BOC तथा ∠COD
∠BOC तथा ∠COE
∠BOD तथा ∠DOE
∠COD तथा ∠DOE

प्रश्न 24.
चित्र में, यदि ∠AOC + ∠BOD = 284° तो सभी चार कोण ज्ञात कीजिए।

हलः
यदि ∠AOC + ∠BOD = 284°
माना ∠AOD = ∠BOC = x
∠AOC + ∠BOD + ∠AOD + ∠BOC = 360
284 + ∠AOD + ∠BOC = 360
∠AOD + ∠BOC = 360 – 284 = 76
∴ x + x = 76
2x = 76 ⇒ x = [latex]\frac{76}{2}[/latex] = 38°
∴ ∠AOC = 180° – 38 = 142°
∠BOD = 142° (शीर्षाभिमुख कोण)

प्रश्न 25.
चित्र में, ∠ACB एक रेखा इस प्रकार है कि ∠DCA = 5x और ∠DCB = 4x, x का मान ज्ञात कीजिए तथा ∠DCB और ∠DCA ज्ञात कीजिए।

हल:
∠ACB एक सरल कोण है।
∴ ∠ACD + ∠ BCD = 180
⇒ 5x + 4x = 180
⇒ 9x = 180
⇒ x = [latex]\frac{180}{9}[/latex] = 20
∴ ∠ BCD = 4x = 4 × 20 = 80°
तथा ∠ACD = 5x = 5 × 20 = 100°

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 त्रिभुजों की सर्वांगसमता

प्रश्न 1.
चित्र में, AB = AC तथा BC को बढ़ाने पर कोई बिन्दु D है तो सिद्ध कीजिए कि (NCERT Exemplar)
हलः
∵ AB = AC …(1)
∆ACD में ∠ACD अधिक कोण है
तथा ∠ADC न्यूनकोण है।

∴ अधिक कोण की सम्मुख भुजा बड़ी तथा न्यूनकोण की सम्मुख भुजा छोटी होती है।
∴ AD > AC
AD > AB (समीकरण (1) से)

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC में यदि ∠A = 45° और ∠B = 70° तब त्रिभुज की छोटी और बड़ी भुजा ज्ञात कीजिए।
हलः
∠C = 180 – (∠A + ∠B)
= 180 – (45 + 70)

= 180 – 115 = 65°
सबसे बड़ा कोण = 70°
सबसे छोटा कोण = 45°
∴ सबसे बडा कोण की सम्मुख भुजा AC सबसे बड़ी तथा सबसे छोटे कोण की सम्मुख भुजा BC सबसे छोटी है।

प्रश्न 3.
क्या हम 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी लम्बाई की भुजा वाला त्रिभुज खींच सकते हैं?
हल:
∵ 3+ 4 = 7 > 5, 4 + 5 > 3 तथा 3 + 5 > 4
∵ त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा है।
∴ ∆ की रचना सम्भव है।

प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में, AB = AC तो सिद्ध कीजिए कि AF > AE
हलः ::
AB = AC
∠B = ∠C … (1)

∠AFE = ∠CFD (शीर्षाभिमुख कोण) … (2)
∆ABD में, ∠AEF = ∠B + ∠EDB … (3)
बहिष्कोण समीकरण (2) व (3) से सिद्ध होता है।
∠AEF > ∠AFE
∴ AF > AE

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC में AB > AC, ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक P पर मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि BP > CP
हल:

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज का परिमाप, उसकी ऊँचाइयों के योग से बड़ा होता है।
हलः
एक ∆ABC में AM, BN तथा PC ∆ की ऊचाईयाँ है।
∆ABM में, ∠AMB समकोण है
∴ AB > AM … (1)

∆BNC में, ∠BNC समकोण है
BC > BN … (2)
∆APC में, ∠APC समकोण है
AC > PC … (3)
समीकरण (1) + (2) + (3) करने पर
AB + BC + AC > AM + BN + PC
∴ ∆ का परिमाप > ∆ की ऊँचाईयाँ

प्रश्न 7.
दिये गये चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा XY व्यास है। तो सिद्ध कीजिए कि XY > XZ
हल:
∵ XY व्यास है तथा XZ वृत्त की एक जीवा है
∵ वृत्त का व्यास, वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है।
∵ XY > XZ

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण 60° से बड़ा होता है।
हल:
∆ABC में, AB = BC = AC
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
परन्तु यदि इनमें से एक भुजा बड़ी है तो दोनों भुजायें छोटी होगी तो सबसे बड़ी भुजा का सम्मुख कोण 60° से बड़ा होता है।

Ex 12.4 Congruence of Triangles विविध प्रश्नावली

Ex 12.4 Congruence of Triangles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
∆ABC तथा ∆PQR में, AB = PR तथा ∠A = ∠P तब SAS कथन द्वारा प्रतिबंध ज्ञात कीजिए कि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होंगे। (NCERT Exemplar)
हल:
∆ABC ≅ ∆PQR होगे यदि AC = PQ

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में, यह दिया है कि ∆ABD = ∆BAC अभिगृहित ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
हलः
सर्वांगसमता की RHS कसौटी द्वारा।

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, यदि AB = DC, ∆ABD ≅ ∆CDB तब ∠ABD = ∠CDB को सिद्ध करने के लिए प्रयोग किए जाने वाले सर्वांगसमता नियम को ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABD ≅ ∆CDB होंगे सर्वांगसमता SAS कसौटी से।

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में, यह दिया है कि ∆OAP ≅ ∆OBP अभिगृहित ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा त्रिभुज सर्वांगसम है।
हल:

∆OAP तथा ∆OBP में,
OA = OB (दिया है)
∠AOP = ∠BOP (दिया है)
OP (उभयनिष्ठ)
सर्वांगसमता की SAS कसौटी से ∆OAP ≅ ∆OBP

प्रश्न 5.
∆PQR में, यदि ∠R > ∠Q तब निम्नलिखित में से कौन-सा एक सत्य है? (NCERT Exemplar)
(a) PR > PQ
(b) QR > PR
(c) PQ > PR
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

∆PQR में, ∠R > ∠Q तो PQ > PR
विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 6.
यदि एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाईयाँ 5 सेमी तथा 1.5 सेमी हैं। तब त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई निम्न में से कौन-सी नहीं हो सकती है? (NCERT Exemplar)
(a) 3.4 सेमी
(b) 3.6 सेमी
(c) 3.8 सेमी
(d) 4.1 सेमी
हलः
∵ ∆ की रचना करने के लिए दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
∴ विकल्प (a) में 3.4 सेमी लेने पर त्रिभुज की रचना सम्भव नहीं है इसलिए ∆ की तीसरी भुजा 3.4 सेमी नहीं हो सकती।

प्रश्न 7.
∆AOC में तथा ∆XYZ में ∠A = ∠X, AO = XZ, AC = XY, तब सर्वांगसमता नियम ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा ∆AOC ≅ ∆XZY
हल:
SAS कसौटी द्वारा।

प्रश्न 8.
संलग्न चित्र में, AD = BC तथा ∠BAD = ∠ABC तब ∠ACB ज्ञात D कीजिए।
हलः


SAS कसौटी से ∆ACB ≅ ∆ADB
∴ ∠ACB = ∠ADB

प्रश्न 9.
यदि दो समकोण त्रिभुज ABC और DEF क्रमश: B और E पर समकोण है जो RHS द्वारा सर्वांगसम है तब निम्न में से कौन-सा एक सत्य है?
(a) AC = DF
(b) AB = DE
(c) (a) और (b) दोनों सत्य हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
विकल्प (c) सत्य है।

प्रश्न 10.
एक समकोण त्रिभुज में, एक न्यूनकोण अन्य का दोगुना है तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) कर्ण = छोटी भुजा का दोगुना
(b) कर्ण = [latex]\frac{3}{4}[/latex] × छोटी भुजा
(c) एक न्यूनकोण 40° है
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
कर्ण = छोटी भुजा का दो गुना। अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 11.
∆ABC में, यदि AD माध्यिका है तब निम्न में से कौन-सा एक सत्य है?
(a) AB + AC > 2AD
(b) AB + AC < 2 AD
(c) AB + AC = 2 AD
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 12.
संलग्न चित्र में, ∠ABD : ∠ACD का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:

∆ABC में, AB = AC
∴ ∠B = ∠C … (1)
∆BCD में, DB = DC
∠DBC = ∠DCB … (2)
समीकरण (1) – (2) करने पर,
∠B – ∠DBC = ∠C – ∠DCB
∠ABD = ∠DCA
∴ ABD : ACD = 1 : 1

प्रश्न 13.
निम्न में से कौन-सी त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए एक कसौटी नहीं है? (NCERT Exemplar)
(a) SAS
(b) SSS
(c) ASA
(d) SSA
हल:
विकल्प (d) SSA

प्रश्न 14.
∆ABC में ∠B = 35°, ∠C = 65° तथा AD, ∠BAC का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) BD > AD > CD
(b) AD > BD > CD
(c) AD > CD > BD
(d) इनमें से कोई नहीं

हलः
विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 15.
यदि एक त्रिभुज के दो शीर्षलम्बों की ऊँचाईयाँ, विपरीत भुजाओं के बराबर है तब त्रिभुज का नाम बताइये।
हलः
समद्विबाहु त्रिभुज।

प्रश्न 16.
यदि ∆PQR ≅ ∆EFD तब ∠E ज्ञात कीजिए।
हलः
∠E = ∠P

प्रश्न 17.
यदि ∆PQR ≅ ∆EFD तब ED ज्ञात कीजिए।
हलः
ED = PR

प्रश्न 18.
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, यदि शीर्ष कोण, आधार कोणों के योग से दोगुना है तब त्रिभुज के शीर्ष कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 19.
∆ABC में यदि AB = AC तथा BC को D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि ∠ACD = 100° तब ∠A ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 20.
यदि ∆ABC ≅ ∆ACB तब कौन-सी भुजाओं के लिए ∆ABC समद्विबाहु है।
हलः
AB = BC

Ex 12.4 Congruence of Triangles लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-1)

प्रश्न 21.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसमें AB = AC,BE और CF इसकी दो माध्यिकाएँ हैं तो सिद्ध कीजिए कि BE = CF
हलः

प्रश्न 22.
एक वर्ग ABCD की एक भुजा CD पर, एक समद्विबाहु त्रिभुज CDE है तो दिखाइये कि ∆ADE ≅ ∆BCE
हल:

प्रश्न 23.
एक रेखाखंड AB है तथा रेखा । इसकी लाम्बिक समद्विभाजक है यदि एक बिंदु P, l पर स्थित है तो दिखाइये कि P, A तथा B से समदूरस्थ है। (NCERT)
हल:

प्रश्न 24.
एक चतुर्भुज ABCD में, AC = AD तथा AB, ∠A को समद्विभाजित करता है तो दिखाइये कि ∆ABC ≅ ∆ABD
हल:

प्रश्न 25.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का ऊर्ध्वाधर कोण 100° है तो दिखाइये कि इसका आधार कोण 40° है।
हलः

∵ ∆ABC में
AB = BC
∠BAC = ∠ACB = 40°

प्रश्न 26.
संलग्न चित्र में, एक वर्ग ABCD है तथा P, AD का मध्य बिंदु है, BP और CP मिलाये गये हैं। तो सिद्ध कीजिए कि ∠PCB = ∠PBC
हल:

प्रश्न 27.
संलग्न चित्र में, बिंदु P और Q, BC पर इस प्रकार है कि BQ = CP तथा AP = AQ तो दिखाइये कि AB = AC
हलः

प्रश्न 28.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की बराबर भुजाओं के विपरीत कोण भी बराबर होते हैं।
हलः

Ex 12.4 Congruence of Triangles लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 29.
एक चतुर्भुज ABCD में, यदि विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है तथा AB = AD तब दिखाइये कि ∠CBA = ∠CDA
हल:

प्रश्न 30.
संलग्न चित्र में, ∆ABC में, ∠B = 30°, ∠C=65° तथा ∠A का समद्विभाजक BC पर X में मिलता है। दिखाइये कि CX < AX < BX
हलः

प्रश्न 31.
संलग्न चित्र में, O, AB तथा CD का मध्य बिंदु है। तो सिद्ध कीजिए कि AC = BD
हल:

प्रश्न 32.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की बराबर कोणों की विपरीत भुजाएँ भी बराबर होती हैं।
हल:
रचना- बिन्दु A से आधार BC पर लम्ब AM डाला। समकोण ∆AMB तथा समकोण ∆AMC में

प्रश्न 33.
एक न्यूनकोण त्रिभुज ABC है। B से AC पर लम्ब, C से AB पर लम्ब के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि AB = AC
हलः

प्रश्न 34.
सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज (समबाहु त्रिभुज से अलग) सबसे बड़ी भुजा के विपरीत कोण 60° से बड़ा होता है। (NCERT Exemplar)
हलः
समबाहु ∆ से अलग दो स्थिति होगी
(i) अधिक कोण त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा के विपरीत कोण 60° से बड़ा होता है।

(ii) न्यूनकोण त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा के विपरीत कोण 60° से अधिक ही होगा।

Ex 12.4 Congruence of Triangles दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 35.
सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ बराबर होती हैं।
हल:

प्रश्न 36.
संलग्न चित्र में, AB = AC, CH = CB तथा HK || BC यदि ∠CAX = 137°तब ∠CHR ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 37.
दिखाइये कि एक चतुर्भुज ABCD में AB + BC + CD + DA > AC + BD
हल:

प्रश्न 38.
संलग्न चित्र में, एक समबाहु त्रिभुज ABC है। PQ||AC तथा AC को R तक इस प्रकार बढ़ाया है कि CR = BP तो दिखाइये कि QR, PC को समद्विभाजित करता है।
हल:

प्रश्न 39.
सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से माध्यिका, उर्ध्वाधर कोण को समद्विभाजित करती है।
हल:

प्रश्न 40.
संलग्न चित्र में, यदि x = y तथा AB = CB तब सिद्ध कीजिए कि AE = CD
हल:

Ex 12.4 Congruence of Triangles बहु विकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार है कि AB = AC तथा AD आधार BC की माध्यिका है तब ∠BAD =
(a) 50°
(b) 55°
(c) 65°
(d) 75°
हलः

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में, AB > AC निम्न में से कौन-सा एक सत्य है?
(a) AB > AD
(b) AB < AD
(c) AB = AD
(d) इनमें से कोई नहीं हलः
∵ AB > AC … (1)

⇒ ∠3 > ∠2 [∵ बड़ी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है]
परन्तु ∠4 > ∠2
क्योंकि ∠4, ∆ABD का बहिष्कोण है तथा यह किसी भी अन्तकोण से बड़ा होता है।
तब ∠5 > ∠2 से
⇒ AB > AD
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, BE L CA तथा CF | BA इस प्रकार हैं कि BE = CF तो निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) ∆ABE ≅ ∆AFC
(b) ∆ABE ≅ ∆ACF
(c) (a) व (b) दोनों सत्य हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

∆ABE तथा ∆ACF में, BE = CF (दिया है)
∠AEB = ∠AFC (प्रत्येक 90°)
∠BAE = ∠CAF (उभयनिष्ठ)
अतः ∆ABE ≅ ∆ACF
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में, AE = DB, CB = EF तथा ∠ABC = ∠FED तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?

(a) ∆ABC ≅ ∆DEF
(b) ∆ABC ≅ ∆EFD
(c) (a) व (b) दोनों सत्य हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः :

Ex 12.4 Congruence of Triangles स्विमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
रेखा l कोण A की समद्विभाजक है तथा । पर कोई बिंदु B है। BP और BQ बिन्दु B से ∠A की भुजाओं पर लम्ब हैं तो दिखाइये कि-
(i) ∆APB ≅ ∆AQB
(ii) BP = BQ
हल:

प्रश्न 2.
C पर समकोण, एक समकोण ∆ABC में M, कर्ण AB का मध्य बिंदु है। C को M से मिलाया गया है तथा एक बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM बिंदु D को बिंदु B से मिलाया गया है तो दिखाइये कि
(i) ∆AMC = ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ∆DBC ≅ ∆ACB
(iv) CM = [latex]\frac{1}{2}[/latex]FAB

हलः

प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु ∆ABC में AB = AC, ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं A को O से मिलाया तो दिखाइये कि-
(i) OB = OC
(ii) AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।
हल:

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC है जिसमें ऊँचाईयाँ BE और CF भुजाओं AC और AB के बराबर हैं तो दिखाइये कि-
(i) ∆ABE ≅ ∆ACF
(ii) AB = AC, अर्थात् ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल:

प्रश्न 5.
समान आधार BC पर दो समद्विबाहु त्रिभुज ABC तथा DBC हैं तथा BC की समान भुजा पर शीर्ष A और D हैं यदि AD को बढ़ाने पर, BC को P पर प्रतिच्छेद करती है।
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD
(ii) ∆ABP ≅ ∆ACP
(iii) AP, ∠A व ∠D को समद्विभाजित करते हैं।
(iv) AP, BC का लम्बअर्द्धक है।

हलः

प्रश्न 6.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, AD ⊥ BC खींच तो दिखाइये कि ∠B = ∠C
हल:

प्रश्न 7.
संलग्न चित्र में, ∠B < ∠A, ∠C <∠D तो दिखाइये कि AD > BC
हल:

प्रश्न 8.
यदि एक उभयनिष्ठ आधार के दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं। तो सिद्ध कीजिए कि इनके शीर्षों को मिलाने वाली रेखा इन दोनों को समकोण पर समद्विभाजित करती है।
हलः

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, AD, ∆ABC की माध्यिका है यदि AD पर दो लम्ब BL और CM खींचे गये हैं तथा AD को बढ़ाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि BL = CM
हलः

∆BLD तथा ∆DMC में
∠BLP = ∠DMC (प्रत्येक 90°)
∠BDL = ∠MDC (शीर्षाभिमुख कोण)
BD = DC [ ∵ D, BC का मध्य बिन्दु है]
अतः ∆BLD ≅ ∆DMC
BL = CM

प्रश्न 10.
संलग्न चित्र में, एक त्रिभुज ABC है, जो B पर समकोण है। यदि भुजा BC पर एक वर्ग BCDE है तथा AC पर एक वर्ग ACFG है तो दिखाइये कि AD = BF
हलः

प्रश्न 11.
संलग्न चित्र में, OA = OB तथा OP = OQ तो सिद्ध कीजिए किः
(i) PX = Qx
(ii) AX = BX
हल:

प्रश्न 12.
यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार को दोनों ओर को बढ़ाया गया है तो सिद्ध कीजिए की इस प्रकार बने बहिष्कोण परस्पर बराबर हैं।
हल:

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए किं ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज होगा यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है।
(i) शीर्षलम्ब AD, ∠BAC को समद्विभाजित करता है।
(ii) ∠BAC का समद्विभाजक आधार BC पर लम्ब है।
हल:

प्रश्न 14.
बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाओं l व m से समान दूरी पर स्थित एक बिन्दु P है। सिद्ध कीजिए कि AP उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करते हैं।
हलः

प्रश्न 15.
दो रेखायें AB व CD बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि BC, AD के बराबर तथा समान्तर हैं। सिद्ध कीजिए कि AB व CD रेखाएँ, बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हलः
दिया है- BC = AD तथा BC || AD
सिद्ध करना है- AB तथा CD रेखाएँ, बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
उपपत्ति- ∆AOD तथा ∆BOC में,
AD = BC
∠OAD = ∠OBD (एकान्तर कोण)
∠ADO = ∠OCB (एकान्तर कोण)
∆AOD ≅ ∆BOC
अत: ∠AOD = ∠BOC
अत: AB तथा CD रेखाएँ, बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.1 त्रिभुजों की सर्वांगसमता

प्रश्न 1.
दिये गये चित्र में, AD = CB, AB = CD तथा EF, BD को G पर समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि G, EF का मध्य बिन्दु है।
हल:

∵ AB = CB = CD … (1)
∆DEG तथा ∆GFB में
DG = GB (दिया है)
∠FGB = ∠DGE (शीर्षाभिमुख कोण)
DE = FB (दिया है)
अतः ∆DEG ≅ ∆GFB
∴ EG = GF

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ सर्वांगसम होती हैं।
हलः

प्रश्न 3.
एक चतुर्भुज ABCD है। जिसमें AB = CD तथा चतुर्भुज का एक अन्तः बिन्दु O इस प्रकार है कि OA = OD तथा OB = OC तो सिद्ध कीजिए कि BC || AD.
हलः

परन्तु ये एकान्तर कोण हैं
∴ AB || DC
अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
∴ BC|| AD

प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में, AD = BC तथा AC = BD तो सिद्ध कीजिए कि ∠ADC = ∠BCD
हल:

प्रश्न 5.
दिये गये चित्र में, एक समांतर चतुर्भुज ABCD तथा ∆BXC और ∆AYD इस प्रकार है कि BX = DY तथा CX = AY तो सिद्ध कीजिए कि-
(i) BX || DY
(ii) XY और BD एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
हल:


परन्तु ये एकान्तर कोण है।
(i) ∴ BX || YD
(ii) XO = OY तथा BO = OD
∴ XY, BD एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

प्रश्न 6.
एक चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं तो सिद्ध कीजिए कि इसके कोण, विकर्ण द्वारा समद्विभाजित होते हैं। हलः

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2 त्रिभुज एवं उसके गुण

Ex 11.2 Triangles and Its Angles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में, ∠BAC = 30°, ∠ABC = 50° तथा ∠CDE = 40°, तो ∠AED ज्ञात कीजिए।
हलः
बहिष्कोण
∠ACD = ∠ABC + ∠CAB
= 50 + 30 = 80°
बहिष्कोण ∠AED = ∠ACD + ∠ EDC
= 80 + 40 = 120°

(∵ A का बहिष्कोण, अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।)

प्रश्न 2.
∆ABC में, भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है। यदि ∠ABC = 40° और ∠ACD = 120° तो ∠A ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC का बहिष्कोण ∠ACD है।

∠ACD = ∠ABC + ∠ BAC
120 = 40 + ∠ BAC
120 – 40 = ∠ BAC
80° = ∠BAC

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, BO तथा CO क्रमशः ∠B और ∠C के समद्विभाजक है यदि ∠A = 50° तब ∠BOC ज्ञात कीजिए।
हलः

माना ∠ABC = x ∴ ∠OBC =[latex]\frac{x}{2}[/latex]
तथा ∠ACB = y तथा ∠OCB = [latex]\frac{y}{2}[/latex]
∆ABC में, 50 + x + y = 180
x + y = 180 – 50 = 130°
∆OBC में, BOC = [latex]180-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)=180-\left(\frac{130}{2}\right)[/latex]
= 180 – 65 = 115°

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC को बायीं ओर को D तक बढ़ाया गया है तथा दाँयी ओर को E तक बढ़या गया है तथा यहाँ ∠ABD = 125° और ∠ACE = 130° तब ∠A ज्ञात कीजिए।
हल:

∆ABC में,
∠ABC = 180 – 125 = 55°
∠ACB = 180 – 130 = 50°
∆ABC में, ∠ABC + ∠ACB + ∠ BAC = 180°
55 + 50 + ∠BAC = 180°
105 + ∠ BAC = 180°
∠BAC = 180 – 105 = 75°

प्रश्न 5.
∆ABC में, BD⊥AC, ∠CAE = 30° और ∠CBD = 40° तब ∠AEB ज्ञात कीजिए।
हलः

∠BCD = 180° – (40+ 90)
= 180 – 130
= 50°
तथा ∠AEB = ∠EAC + ∠ACE
∠AEB = 30 + 50
= 80°

Ex 11.2 Triangles and Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 6.
∆ABC में, यदि 3∠A = 4∠B = 6∠C तो ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में,
∠A = [latex]\frac{4}{3} \angle B[/latex]
∠C = [latex]\frac{4}{6} \angle B=\frac{2}{3} \angle B[/latex]
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°

प्रश्न 7.
∆PQR में, यदि ∠P – ∠Q = 42° और ∠Q – ∠R = 21° तब ∠P, ∠Q और ∠R ज्ञात कीजिए।
हलः
∠P = 42° + ∠Q तथा ∠R = ∠Q – 21°
∆PQR में, ∵ ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
42°+ ∠Q + ∠Q + ∠Q – 21° = 180°
3∠Q + 21° = 180°
3∠Q = 180° – 21° = 159°
∠Q = [latex]\frac{159}{3}[/latex] = 53°
∠P = 42 + 53 = 95°
∴ ∠R = 53 – 21 = 32°

प्रश्न 8.
∆ABC में, ∠A + ∠B = 125° और ∠A + ∠C = 113° तब ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, ∠A + ∠B = 125° ………..(1)
∠A + ∠C = 113° ………… (2)
समीकरण (1) से, ∠A = 125° – ∠B ……………… (3)
समीकरण (2) से, ∠C = 113° – ∠A ………………….. (4)
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180
125 – ∠B + ∠B + 113 – ∠A = 180
238 – ∠A = 180
238 – 180 = ∠A ⇒ ∠A = 58°
समीकरण (3) में ∠A का मान रखने पर
58 = 125 – ∠B
∠B = 125 – 58 = 67°
समीकरण (2) में ∠A का मान रखने पर
58 + ∠C = 113
∠C = 113 – 58 = 55°

प्रश्न 9.
∆ABC में, यदि ∠A + ∠B = 108° और ∠B + ∠C = 130° तो ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ ∠A + ∠B = 108°
∴ ∠A = 108° -∠B …………..(1)
तथा
∠B + ∠C = 130°
∠C = 130° – ∠B
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180
108 – ∠B + ∠B + 130 – ∠B = 180
238 – ∠B = 180
238 – 180 = ∠B ⇒ ∠B = 58°
∠C = 130 – 58 = 72°
∠A = 108 – 58 = 50°

प्रश्न 10.
निम्न चित्र में x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ACD = 120°
∠ACB = 180 – 120 = 60°
बहिष्कोण ∠BAE = ∠ABC + ∠ACB
110 = x + 60
110 – 60 = x
50° = x

Ex 11.2 Triangles and Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 11.
निम्न प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए।

हलः
चित्र (i) में,
∠ACB = 180 – 110 = 70°
∆ABC में, ∠EBA बहिष्कोण है।
∠EBA = ∠BAC + ∠ACB
120 = x + 70
120 – 70 = x
∴ x = 50°
चित्र (ii) में, AD = DC (दिया है)
∴ ∠DAC = ∠DCA = a (माना)
∆ADC में, x + ∠DAC + ∠DCA = 180
x + a + a = 180
x + 2a = 180 ……………. (1)
∆ABC में, 45 + 35 + 50 + a + a = 180
130 + 2a = 180
2a = 180 – 130 = 50°
a = [latex]\frac{50}{2}[/latex] = 25°
समीकरण (1) में a का मान रखने पर
x + 2 × 25 = 180
x + 50 = 180 ⇒ x = 180 – 50 = 130°

प्रश्न 12.
चित्र में, एक समबाहु ∆EAB, एक वर्ग ABCD के ऊपर अध्यारोपित है। x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समबाहु ∆EAB में, ∠ABE = 60° तथा ∠ABC = 90° [वर्ग ABCD के कोण]
∠EBC = 60 + 90 = 150°

∆EBC में, EB = BA = BC
∠CEB + y = 180 – 150 = 30°
प्रत्येक ∠CEB = y = [latex]\frac{30}{2}[/latex] = 15°
∵ ∆EAB एक समबाहु A है।
∴ ∠AEB = 60°
∴ x + ∠CEB = 60°
x + 15 = 60° ⇒ x = 60 – 15 = 45°

प्रश्न 13.
चित्र में, AB, ∠DAC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है और AB = DB, x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ AB, ∠ DAC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करती है।

माना ∠ DAB = a
∠BAC = 3a
∴ a + 3a + 108 = 180 ⇒ 4a = 180 – 108 = 72°
a = [latex]\frac{72}{4}[/latex] = 18°
∴ ∠DAB = 18°
∴ ∠ADB = 18°
∠BAC = 3 × 18 = 54°
∴ ∠DAC = 18 + 54 = 72°
∆ADC में, ∠DAC + ∠ADC + x = 180°
72 + 18 + x = 180°
90 + x = 180° ⇒ x = 180 – 90 = 90°

प्रश्न 14.
चित्र में, CD⊥AB, ∠ABE = 130° तथा ∠BAC = 70°, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हलः
∠BDC, ∆ADC का बहिष्कोण है।

∠BDC = ∠DAC + ∠ACD
90 = 70 + y
90 – 70 = y
∴ y = 20°
∴ ∠ABE, ∆ABC का बहिष्कोण है।
∠ABE = ∠BAC + ∠BCA
130 = 70 + x + y
130 = 70 + x + 20
130 – 70 – 20 = x
40° = x

प्रश्न 15.
यदि ∠ABD = 125° तथा ∠ACE = 130° तब ∠ BAC ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ABC = 180 – 125 = 55° [रैखिक युग्म कोण]
∠ACE, ∆ABC का बहिष्कोण है।
∴ ∠ACE = ∠ABC + ∠BAC
130 = 55 + ∠BAC
130 – 55 = ∠BAC
75° = ∠BAC

Ex 11.2 Triangles and Its Angles दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 16.
∆ABC में, भुजाओं AB और AC को क्रमश: D तथा E तक बढ़ाया गया है। ∠DBC और ∠ECB के समद्विभाजक एक बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠BOC = 90° – [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠A
हल:

प्रश्न 17.
एक ∆ABC की भुजा BC को दोनों ओर को बढ़ाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि दोनों बाह्य कोणों का योग ∠A से 180° बड़ा होगा।
हलः
सिद्ध करना है: ∠ABD + ∠ACE = ∠A + 180°
∆ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।

उपपत्तिः
∠ABD = ∠A + ∠ACB
∠ABD = ∠A + 180 – ∠ACE
∠ABD + ∠ACE = ∠A + 180°

प्रश्न 18.
यदि एक त्रिभुज के आधार कोण के समद्विभाजक द्वारा 135° का एक कोण बना है। तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समकोण है।
हलः

माना ∆ABC में,
∠B = 2x तथा ∠C = 2y
∴ ∠DBC = [latex]\frac{2 x}{2}[/latex] = x
∠DCB = [latex]\frac{2 y}{2}[/latex] = y
∆BDC में,
x + y + 135 = 180
x + y = 180 – 135 = 45°
∆ABC में, ∠ABC + ∠ BCA + ∠BAC = 180
2x + 2y + ∠BAC = 180
2(x + y) + ∠BAC = 180
समीकरण (1) से
2 × 45 + ∠BAC = 180
∠BAC = 180 – 90 = 90°
∴ ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 19.
एक त्रिभुज ABC है। B पर बाह्य कोण का समद्विभाजक तथा ∠C का समद्विभाजक परस्पर D पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠D = [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠A
हलः

प्रश्न 20.
एक ∆ABC में, AD, ∠A का समद्विभाजक है तथा ∠C > ∠B तो सिद्ध कीजिए कि ∠ADB > ∠ADC
हलः

∵ ∠C > ∠B
AB > AC [बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।]
∆ABD तथा ∆ADC में,
∠ADB > ∠ADC

Ex 11.2 Triangles and Its Angles बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक ∆ABC में, ∠B = ∠C तथा किरण AX, बहिष्कोण DAC को समद्विभाजित करती है। यदि ∠DAX = 70° तब ∠ACB =
(a) 60°
(b) 70°
(c) 45°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

∠B = ∠C
तथा AX, बहिष्कोण DAC को समद्विभाजित करती है, तब
∠DAX = 70°
∠XAC = 70°
∵ AX||BC तथा AC तिर्यक रेखा इन्हें काटती हैं।
तब ∠XAC = ∠ACB = 70°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 2.
यदि एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण के समद्विभाजक O पर मिलते हैं तब दोनों समद्विभाजकों के बीच कोण O है
(a) 90°
(b) 45°
(c) 145°
(d) 135°
हलः

∠ABC = 90°
माना∠BAC = 2x, ∠BCA = 2y
OA, OC क्रमशः ∠BAC तथा ∠BCA के समद्विभाजक हैं।
तब ∠BAO = ∠OAC = x
∠BCO = ∠OCA = y
∆AOC में, x + y + ∠AOC = 180°
∠AOC = 180° – (x + y) …………… (1)
∆ABC में, 2x + 2y + 90° = 180°
x + y = 45
समी० (1) व समी० (2) से,
∠AOC = 180° – 45° = 135°
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 3.
∆ABC में, यदि ∠A = 100°, AD, ∠A को समद्विभाजित करता है तथा AD⊥BC तब ∠B =
(a) 40°
(b) 50°
(c) 60°
(d) 90°
हलः

∵ AD, ∠A को समद्विभाजित करता है, अतः ।
∠BAD = ∠CAD = 50°
∆ABD में,
∠ABD + 50 + 90 = 180
∠ABD = 180 – 140 = 40°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 4.
एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष पर एक बहिष्कोण 95° है तथा इसका एक बना हुआ अभिमुख कोण है
(a) 180°
(b) [latex]47 \frac{1}{2}^{\circ}[/latex]
(c) 90°
(d) 270°
हल:

2x = 95°
x = [latex]\frac{95}{2}=47 \frac{1}{2}^{\circ}[/latex]
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 5.
एक ∆ABC में, ∠A = 50° तथा BC को एक बिंदु D तक बढ़ाया गया है। यदि ∠ABC और ∠ACD के समद्विभाजक E पर मिलते हैं तब ∠E =
(a) 35°
(b) 45°
(c) 25°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

माना ∠ABC = 2x तथा ∠ACD = 2y
तब BE, ∠ABC का समद्विभाजक है, अतः
∠ABE = ∠EBC = x
तथा CE, ∠ACD का समद्विभाजक है, अतः
∠ACE = ∠ECD = y
∠ACD, ∆ABC का बहिष्कोण है। अत:
∠ACD = ∠CAB + ∠ABC
2y = 50° + 2x ⇒ y – x = 25° …………..(1)
∆BCE में, ∠EBC + ∠ECB + ∠BEC = 180°
x + (180° – y) + ∠BEC = 180°
∠BEC = 180° – 180° + y – x = (y – x) = 25°
अतः ∠E = 25°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 6.
∆ABC के B तथा C पर बहिष्कोणों के समद्विभाजक O पर मिलते हैं यदि ∠A = x° तब ∠BOC =

हलः

माना ∠CBD = 2y तथा ∠BCE = 2x
∵ BO तथा CO क्रमश: कोण ∠CBD तथा ∠BCE के समद्विभाजक हैं, तब
∠DBO = ∠OBC = y°
∠BCO = ∠COE = x°
∆ABC के ∠B तथा ∠C बहिष्कोण हैं, तब
∠DBC = x + ∠BCA ⇒ 2y = x + 180° – 2z
⇒ 2y + 2z = x + 180°
y + z = [latex]\frac{x}{2}[/latex] + 90°
∆BOC में, ∠BOC = 180° – (y + z)
= [latex]180^{\circ}-\left(\frac{x}{2}+90^{\circ}\right)=\left(90^{\circ}-\frac{x}{2}\right) [/latex]
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
यदि एक त्रिभुज के कोण 3 : 4 : 5 के अनुपात में है तब छोटा कोण है
(a) 45°
(b) 30°
(c) 60°
(d) 35°
हलः
कोणों में अनुपात = 3 : 4 : 5 तब कोण = 3x, 4x, 5x
3x + 4x + 5x = 180° ⇒ 12x = 180°
x = [latex]\frac{180^{\circ}}{12}[/latex] = 15
सबसे छोटा कोण = 3x = 3 × 15 = 45°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 8.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण 110° का है, तब अन्य दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच कोण हो सकता है
(a) 135°
(b) 160°
(c) 145°
(d) 90°
हलः

माना ∠BAC = 2.x, ∠BCA = 2y
∵ OA तथा OC, ∠BAC तथा /BCA के समद्विभाजक हैं, तब
∆ABC में, 2x + 2y + 110° = 180°
2x + 2y = 180° – 110°
2x + 2y = 70
⇒ x + y = 35
∆AOC में, ∠AOC + x + y = 180°
∠AOC = 180° – (x + y) = 180° – 35 = 145°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, OA तथा OB, ∠A और ∠B के समद्विभाजक है यदि ∠C = 30° तब ∠AOB =
(a) 45°
(b) 90°
(c) 180°
(d) 105°
हलः

माना ∠CAB = 2x, ∠CBA = 2y
∆ABC में, 2x + 2y + 30° = 180°
2x + 2y = 150° = x + y = 75° …………. (1)
∆OAB में, x + y + ∠AOB = 180°
∠AOB = 180° – (x + y)= 180° – 75° = 105°
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 10.
चित्र में एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसमें ∠A = ∠B तथा PQ||AB यदि ∠C = 70° तब ∠APQ =
(a) 45°
(b) 900
(c) 125°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

∠A = ∠B
∆ABC में, ∠A + ∠B + 70° = 180°
∠A + ∠A = 180° – 70°
2∠A = 110° ⇒ ∠A = 55°
∵ PQ|| AB ∴ ∠CPQ = ∠PAB = 55° (संगत कोण)
∠APQ = 180° – 55° = 125° अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 11.2 Triangles and Its Angles  स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो के योग के बराबर है तब सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
हलः
माना ∆ के तीन कोण = ∠A, ∠B, ∠C
∠A = ∠B+ ∠C …………….(1)
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180
∠A + ∠A = 180
2∠A = 180
∠A = [latex]\frac{180}{2}[/latex] = 90°
∴ ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में यदि AB||DE, ∠ BAC = 35° तथा ∠CDE = 53° तब दिखाइये कि ∠DCE = 92°
हलः

AB||DE
∠BAE = ∠AED = 35° (एकान्तर कोण)
∆CDE में, ∠DCE = 180 – (53 + 35)
= 180 – 88 = 92°

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC दोनों ओर को बढ़ायी गयी है तो दिखाइये कि बने हुए बहिष्कोणों का योग, दो समकोण द्वारा ∠A से बड़ा है।
हलः

बहिष्कोण ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC ……………(1)
बहिष्कोण ∠ABE = ∠BAC + ∠ACB …………. (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
∠ACD + ∠ABE = ∠BAC + ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB
= ∠BAC + (∠ABC + ∠BAC + ∠ACB)
= ∠BAC + 180°

प्रश्न 4.
∆ABC में, BD⊥AC तथा CE⊥AB, यदि BD तथा CE, O पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠BOC = 180° – ∠A
हलः

∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB) ……………. (1)
∆BDC में, ∠DBC + ∠BCD = 90 …………… (2)
∆BEC में, ∠EBC + ∠ECB = 90 ……………… (3)
∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180 ………………. (4)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर
∠DBC + ∠ECB = 180 – ∠BCD – ∠EBC
= 180 – (180 -∠A) = ∠A ……………. (5)
समी० (1) में समी० (5) का मान रखने पर
∠BOC = 180° – ∠A

प्रश्न 5.
यदि एक त्रिभुज के दो कोणों का योग, तीसरे कोण के बराबर है तब तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ∆ के तीन कोण = x, y, z
∵ x + y = z ………….(1)
x + y + z = 180
z + z = 180
2z = 180
∴ z = [latex]\frac{180}{2}[/latex] = 90°
तीसरा कोण = 90°

प्रश्न 6.
यदि एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण, अन्य दो कोणों के योग से छोटा है तो दिखाइए कि यह न्यूनकोण त्रिभुज है।
हल:

∵ ∠A < ∠B + ∠C ………….(1)
∠B < ∠A + ∠C ………… (2)
∠C < ∠A + ∠B …………(3)
समीकरण (1) में दोनों और ∠A जोड़ने पर
2∠A < ∠A + ∠B + ∠C
2∠A < 180
∠A < [latex]\frac{180}{2}[/latex] < 90°
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं ∠B < 90°
∠C < 90° ∴ यह एक न्यूनकोण ∆ होगा।

प्रश्न 7.
एक ∆ABC की भुजा BC को नीचे दिये गये चित्र में दिखाये अनुसार एक बिन्दु D तक बढ़ाया गया है। ∠A का समद्विभाजक BC से L पर मिलता है। तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABC + ∠ACD = 2∠ ALC ∠ACD = ∠CA∠ + ∠A∠C …(1) ∠ACD = ∠CAB + ∠A∠C
हल:

प्रश्न 8.
संलग्न चित्र में, चतुर्भुज PQRS के दो आसन्न कोण P और s के समद्विभाजक PA और SA हैं। तो सिद्ध कीजिए कि 2∠PAS = ∠Q +∠R
हल:

सिद्ध करना है। 2∠PAS = ∠Q + ∠R
∆PAS में, ∠ PAS = 180 – (∠1 + ∠2)
2 से गुणा करने पर,
2∠PAS = 360 – 2(∠1 + ∠2)
= 360 – (2∠1 + 2∠2)
= 360 – (∠P + ∠S)
= ∠Q + ∠R

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, DE||QR और AP और BP क्रमश: ∠EAB तथा ∠RBA के समद्विभाजक है। तो दिखाइए कि ∠APB = 90°
हलः

∵ DE ||QR
तथा AB एक तिर्यक रेखा है। समान्तर रेखाओं के एक ही ओर के अन्तः कोणों के युग्मों का योग 180°  होता है।
∴ ∠EAB + ∠ABR = 180
2∠1 + 2∠2 = 180
2(∠1 + ∠2) = 180
∠1 + ∠2 = 90
अब ∆PAB में, ∠APB + ∠1 + ∠2 = 180
∠APB + 90 = 180
∠APB = 180 – 90 = 90°

प्रश्न 10.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग से बड़ा है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज अधिक कोण वाला है।
हलः

∠A > ∠B + ∠C
दोनों पक्षों में ∠A जोड़ने पर,
∠A + ∠A > ∠A + ∠B +∠C
⇒ 2∠A > 180°
⇒ ∠A > [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] ⇒ ∠A > 90°
अतः ∠A , एक अधिककोण है।

प्रश्न 11.
यदि एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण, अन्य दो कोणों के योग से कम है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज न्यूनकोण वाला है।
हलः

∵ ∠A < ∠B + ∠C …………(1)
∠B < ∠A + ∠C …………… (2)
∠C < ∠A + ∠B …………….(3)
समी० (1) में दोनों पक्षों में ∠A जोड़ने पर,
∠A + ∠A < ∠A + ∠B + ∠C
2∠A < 180°
∠A < [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] ⇒ ∠A < 90°
अतः ∠A , एक न्यूनकोण है।

प्रश्न 12.
यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ क्रम में बढ़ायी गयी है तो सिद्ध कीजिए कि बने हुए बहिष्कोणों का योग, चार सम कोणों के बराबर है।
हलः

वृहत ∠A = ∠B + ∠C ………… (1)
वृहत ∠B = ∠A + ∠C …………… (2)
वृहत ∠C = ∠A + ∠B …………..(3)
समी० (1), (2) व (3) को जोड़ने पर,
वृहत [∠A + ∠B + ∠C ] = ∠B + ∠C + ∠A + ∠C + ∠A + ∠B
= 2[∠A + ∠B + ∠C] = 2 × 180° = 360°
= 4 × 90° = 4 समकोण

प्रश्न 13.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समकोण है।
हलः
∴ ∠A = ∠B + ∠C
दोनों पक्षों में ∠A जोड़ने पर,
∠A + ∠A = ∠A+ ∠B + ∠C
2∠A = 180°
∠A = [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] = 90°
अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 14.
∆ABC में, ∠B = 90° तथा BD⊥AC तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABD = ∠ACB
हल:

∵ BD⊥AC
∴ ∠BDA = ∠BDC = 90°
∆ABD में,
∠ABD + ∠A + ∠ADB = 180°
∠ABD + ∠A + 90°= 180°
∠ABD = 90°- ∠A ………….(1)
परन्तु
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠B + ∠C = 180° – ∠A
∠C = 180° – ∠A – ∠B
= 180° – ∠A – 90°
= 90° – ∠A ………….(2)
समी० (1) व (2) से,
∠ABD = ∠C = ∠ACB

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