Class 9

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 17 Heron’s Formula Ex 17.1 हीरोन का सूत्र

Ex 17.1 Heron’s Formula अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज की भुजाएं 7, 24 तथा 25 सेमी है। इसका क्षेत्रफल (सेमी2 में) ज्ञात कीजिए।
हलः
त्रिभुज की भुजाएं a = 7,
b = 24,
c = 25

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज के आधार और कर्ण क्रमश: 6 और 10 सेमी है। इसका क्षेत्रफल (सेमी2 में) ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 3.
एक AABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। जिसमें AB = BC = 4 सेमी और ∠B = 90°
हलः

प्रश्न 4.
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 2/3 सेमी है। (NCERT Exemplar)
हलः

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है तथा इसकी भुजाएं a : b : c = 3 : 4 : 5 के अनुपात में है तब a,b और c के मान (सेमी में) ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है a : b : c = 3 : 4 : 5 माना
∆ की भुजा a = 3x
∆ की भुजा b = 4x
∆ की भुजा c = 5x
∆ का परिमाप = 36
3x + 4x + 5x = 36
12x = 36

∆ की भुजा a = 3 × 3 = 9 सेमी
∆ की भुजा b = 4 × 3 = 12 सेमी
∆ की भुजा c = 5 × 3 = 15 सेमी

Ex 17.1 Heron’s Formula लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज की भुजायें x, x + 1, 2x – 1 और इसका क्षेत्रफल x[latex]\sqrt{10}[/latex] है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएं 11 मी, 60 मी तथा 61 मी हैं।
हल:

प्रश्न 8.
एक त्रिभुजाकार मैदान का अर्द्धपरिमाप 450 इकाई है और इसकी भुजाएं 3 : 5 : 4 के अनुपात में है। मैदान का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 9.
एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएं क्रमशः 5,7 और 8 मीटर है। ₹ 10 प्रति वर्ग मीटर की दर से इसे समतल करने में लगी लागत ज्ञात कीजिए।
([latex]\sqrt{3}[/latex] = 1.73)
हल:
∆ की भुजाएं
a = 5 मी,
b = 7 मी,
c = 8 मी

प्रश्न 10.
एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएं 51 मी, 37 मी और 20 मी है। मैदान में बनायी जा सकने वाली गुलाबों की क्यारियाँ की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि प्रत्येक गुलाब की क्यारी, एक 6 मी2 के स्थान में आती है।
हलः

Ex 17.1 Heron’s Formula दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएं 9 सेमी, 12 सेमी तथा 15 सेमी हैं।
हलः
एक ∆ की भुजाएं a = 9 सेमी,
b = 12 सेमी,
c = 15 सेमी

प्रश्न 12.
44 मीटर भुजा का एक वर्गाकार मैदान है। इसके केन्द्र में एक वर्गाकार, फूलों का बिस्तर बनाया गया है जिसके चारों ओर एक बजरी का रास्ता बनाया गया है। फूलों के बिस्तर व बजरी के रास्ते को समतल करने के लिए क्रमशः ₹2.75 तथा ₹ 1.50 वर्ग मीटर की दर से कुल ₹4904 लगते हैं। बजरी के रास्ते की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 13.
एक त्रिभुजाकार मैदान का परिमाप 540 मी है। और इसकी भुजाएँ 25 : 17 : 12 के अनुपात में हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज की भुजाएँ 35 सेमी, 54 सेमी और 61 सेमी लम्बी हैं इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा इसकी छोटी ऊँचाईयाँ भी ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है a = 35 सेमी,
b = 54 सेमी,
c = 61 सेमी

प्रश्न 15.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 8 सेमी और 11 सेमी हैं तथा परिमाप 32 सेमी है। (NCERT)
हलः

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 18 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder Ex 18.3 घन, घनाभ तथा लम्बवृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

Ex 18.3 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
r त्रिज्या तथा h ऊँचाई वाले लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन है- [UP 2005,06, 07]
(a) [latex]\frac{1}{3} \pi r^{2} h[/latex] घन इकाई
(b) [latex]\pi \boldsymbol{r}^{2} \boldsymbol{h}[/latex] घन इकाई
(c) [latex]\frac{4}{3} \pi r^{2} h[/latex] घन इकाई
(d) 2 πr घन इकाई
हलः
लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन = πr²h
⇒ विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 2.
h सेमी ऊँचाई तथा r सेमी आधार त्रिज्या वाले लम्बवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठ होगा- [UP 2005]
(a) 4πrh सेमी²
(b) 3πrh सेमी²
(c) 2πrh सेमी²
(d) πrh सेमी²
हलः
वक्रपृष्ठ = 2πrh सेमी²
⇒ विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 3.
समान आधार त्रिज्या वाले दो बेलनों की ऊँचाईयों में अनुपात 2:5 है। उनके वक्रपृष्ठों का अनुपात होगा- [UP 2006]
(a) 2 : 5
(b) 5 : 2
(c) 3 : 2
(d) 2 : 3
हलः

प्रश्न 4.
एक बेलन का आयतन 924 घन सेमी तथा वक्रपृष्ठ 264 वर्ग सेमी हो तो उसकी ऊँचाई होगी-
(a) 4 मीटर
(b) 5 मीटर
(c) 6 सेमी
(d) 7 मीटर
हलः
बेलन का आयतन = 924 समी³
πr²h = 924 ….(1)
बेलन का वक्रपृष्ठ = 264 सेमी²
2πrh = 264 ….(2)

प्रश्न 5.
दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 :3 है तथा उनकी ऊँचाईयों का अनुपात 5 : 3 है तब उनके आयतनों का अनुपात होगा (UP 2006,09, 14) (a) 27 : 20
(b) 20 : 27
(c) 9 : 4
(d) 4 : 9
हलः

प्रश्न 6.
एक बेलन का व्यास 14 सेमी तथा ऊँचाई 20 सेमी है तब बेलन का वक्रपृष्ठ होगा- [UP 2004, 09]
(a) 440 सेमी²
(b) 220 सेमी²
(c) 880 सेमी²
(d) 1760 सेमी²
हलः

Ex 18.3 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 7.
उस लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन तथा वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई 21 सेमी तथा आधार की त्रिज्या 5 सेमी है।
हलः
बेलन की त्रिज्या r = 5 सेमी, बेलन की ऊँचाई, h = 21 सेमी
बेलन का आयतन = πr²h

प्रश्न 8.
एक बेलन का आयतन 5544 सेमी है तथा इसकी ऊँचाई 16 सेमी है। इसकी त्रिज्या तथा वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 9.
एक बेलन का वक्रपृष्ठ 1210 सेमी है तथा इसका व्यास 20 सेमी है। इसकी ऊँचाई तथा आयतन ज्ञात कीजिए। [UP 2009]
हल:
बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 1210 सेमी²
आधार का व्यास = 20 सेमी

प्रश्न 10.
एक लम्बवृत्तीय बेलन के आधार की परिधि 22 सेमी है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 सेमी हो, तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7) [UP 2001]
हलः
लम्बवृत्तीय बेलन की परिधि = 22 सेमी
2πr = 22

प्रश्न 11.
एक लम्बवृत्तीय बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ 1540 वर्ग सेमी है। यदि बेलन की ऊँचाई इसके आधार की त्रिज्या की चार गुनी हो तब बेलन के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [UP 2001, 04]
हलः

Ex 18.3 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 12.
44 सेमी लम्बे तथा 20 सेमी चौड़े आयताकार कागज को इसकी लम्बाई के सापेक्ष मोड़कर एक बेलन बनाया गया है। इस प्रकार निर्मित बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। [UP 2008]
हलः
कागज को 44 सेमी लम्बाई के अनुदिश मोड़ने पर बने बेलन की परिधि = 20 सेमी

प्रश्न 13.
120 सेमी लम्बे रोलर का व्यास 84 सेमी है। एक मैदान को समतल करने के लिए यह पूरे 500 चक्कर काटता है। 45 पैसे प्रति वर्ग मीटर की दर से पूरे मैदान को समतल करने में लगी राशि ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 14.
1.5 सेमी व्यास तथा 0.2 सेमी मोटाई के कितने सिक्के गलाये जायें ताकि 10 सेमी ऊँचाई तथा 4.5 सेमी व्यास का एक लम्बवृत्तीय बेलन बनाया जा सके?
हलः

प्रश्न 15.
20 सेमी लम्बे लोहे के एक पाईप का बाह्य व्यास 25 सेमी है। यदि पाईप की मोटाई 1 सेमी हो तो पाईप – का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 18.3 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 16.
यदि एक बेलनाकार बर्तन के व्यास में 5% की कमी हो तो इसकी लम्बाई में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी। यदि इसके आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता? [UP 2009]
हलः
माना बेलन की प्रारम्भिक लम्बाई = h सेमी
बेलन का प्रारम्भिक व्यास = A सेमी
बेलन की प्रारम्भिक त्रिज्या = 4 सेमी

प्रश्न 17.
लोहे के एक ठोस आयताकार बक्से की विमाएं 4.4 सेमी, 2.6 मीटर, 1 मीटर हैं, को पिघलाकर एक खोखले बेलनाकार पाईप जिसकी आन्तरिक त्रिज्या 30 सेमी तथा मोटाई 5 सेमी है, के अन्दर रखा जाता है। पाईप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 18.3 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
यदि V आयतन वाले घन के विकर्ण की लम्बाई l है तो-
(a) 27V² = l⁶
(b) [latex]\sqrt{3}[/latex] V = l³
(c) 3V = l³
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 2.
एक आयताकार ठोस की लम्बाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई में अनुपात 3 : 2 : 1 है। यदि ठोस का आयतन 48 सेमी³ है तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल =
(a) 32 सेमी²
(b) 88 सेमी²
(c) 128 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
l = 3k,
b = 2k,
h = k
ठोस आयतन = lbh

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
V आयतन वाले घन की प्रत्येक भुजा को यदि दोगुना कर दिया जाये तो नये घन का आयतन =
(a) 2V
(b) 4 v
(c) 8V
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना घन की भुजा = a
घन का आयतन V = a³
यदि घन की भुजा को दोगुना कर दिया जाए तो घन की भुजा = 2a
अब घन का आयतन = (2a)³ = 8a³ = 8V
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.
यदि एक घन की सभी भुजाओं का योग 36 सेमी है, तब इसका आयतन (सेमी³ में) =
(a) 27
(b) 217
(c) 72
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

प्रश्न 5.
10 सेमी × 9 सेमी × 6 सेमी विमा वाले घनाभ के अन्दर रखे जा सकने वाले 3 सेमी भुजा वाले घनों की संख्या =
(a) 12
(b) 18
(c) 28
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
एक घनाभ का आयतन = 10 × 9 × 6 = 540 घन सेमी
एक घन का आयतन = (3)³ = 3 × 3 × 3 = 27 घन सेमी

प्रश्न 6.
लम्ब वृत्तीय बेलन का ऊर्ध्वाधर शंकु परिच्छेद होता है। एक-
(a) समचतुर्भुज
(b) वर्ग
(c) आयत
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
आयत।
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
लोहे की एक सीट से 2 मीटर व्यास तथा 40 मीटर लम्बाई का एक लम्ब वृत्तीय बेलन बनाना है। इसके लिए आवश्यक लोहे की सीट का आयतन = (मी² में)
(a) 40π
(b) 60π
(c) 80π
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 8.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई 6 गुनी बढ़ायी गयी है तथा इसका आधार का क्षेत्रफल 1/9 घटाया गया है तब पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने गुना बढ़ेगा?
(a) 2
(b) 1/2
(c) 1/3
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 9.
r त्रिज्या तथा h ऊँचाई का एक बेलन ऊपर व नीचे से बन्द है तब बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल =
(a) πr(r + h)
(b) 2πr (r + h)
(c) 2πr (2r +h)
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का पार्श्व पृष्ठ +2 × आधार का क्षेत्रफल

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 10.
एक तार की त्रिज्या घटकर 1 हो गयी है। यदि उसका आयतन समान रहता है तो उसकी लम्बाई होगी-
(a) 3 गुना
(b) 9 गुना
(c) 2 गुना
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

Ex 18.3 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder स्वमूल्यांकन परीक्षण(Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
मंजू अपने क्रिसमस वृक्ष को सजाना चाहती है। वह इस वृक्ष को लकड़ी के एक आयताकार बॉक्स पर रखना चाहती है। जिसे सान्ताक्लोज के चित्र के साथ एक रंगीन कागज से ढका जाना है। उसका यह जानना आवश्यक है कि उसे कितना कागज खरीदना चाहिए यदि उपरोक्त बॉक्स की लम्बाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई 80 सेमी, 40 सेमी, 20 सेमी है तो उसे 40 सेमी भुजा वाली कागज की कितनी वर्गाकार
शीटों की आवश्यकता है।
हलः
1 = 80 सेमी, b = 40 सेमी, h = 20 सेमी
घनाभ का पृष्ठ = 2(lb + bh + hl)
= 2(80 × 40 + 40 × 20 + 20 × 80)
= 2(3200 + 800 + 1600) = 2(5600) = 11200 सेमी²

प्रश्न 2.
हरी ने अपने घर के लिए, ढक्कन वाली एक घनाकार पानी की टंकी बनवानी है। जिसका प्रत्येक बाहरी किनारा 1.5 मीटर लम्बा है। वह इस टंकी के बाहरी पृष्ठ पर तलों को जोड़ते हुए 25 सेमी भुजा वाली वर्गाकार टाइल्स लगवाता है। यदि टाइलों की लागत ₹ 360 प्रति दर्जन है। तो उसे टाईल लगवाने में कितना खर्च करना पड़ेगा?
हलः
घनाकार टंकी का बाहरी पृष्ठ (चारो दीवारो + ढक्कन) = 5 × (150)² = 5 × 150 × 150 सेमी²
= 112500 सेमी²

प्रश्न 3.
प्रवीण अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक सन्दक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थायी स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहता है। जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक लें। (सामने वाला फल लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है।) यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर × 3 मीटर × 2.5 मीटर वाले इस ढाँचें को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी। (NCERT)
हलः
यहाँ, 1 = 4 मी०, b = 3 मी०, h = 2.5 मी०
अभीष्ट तिरपाल = [2(1 + b) × h + lb]
=[2(4+ 3) × 2.5 + 4 × 3] = (2 × 7 × 2.5 + 12)
= 35 + 12 = 47 मी²

प्रश्न 4.
एक लकड़ी के बुक शेल्फ की बाहरी विमाएं निम्न हैं : ऊँचाई 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौडाई = 85 सेमी। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है। इसके बाहरी फलकों पर पॉलिश करायी जाती है और आन्तरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पॉलिश कराने की दर 20 पैसे प्रति सेमी2 है। और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति सेमी है, तो बुक शेल्फ पर पेंट व पॉलिश कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 5.
एक खुले मैदान में 10 मीटर लम्बी एक दीवार का निर्माण किया जाना था। दीवार की ऊचाई 4 मीटर है और उसकी मोटाई 24 सेमी है। यदि इस दीवार को 24 सेमी × 12 सेमी × 8 सेमी विमाओं वाली ईंटों से बनाया जाता है तो इसके लिए कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी।
हलः

प्रश्न 6.
एक बच्चा भव ब्लॉकों से खेल रहा है। जो एक घन के आकार के हैं। उसने इनसे आकृति में दर्शाये अनुसार 3 सेमी एक ढाँचा बना लिया है। प्रत्येक घन का किनारा 3 सेमी है। बच्चे द्वारा बनाये गये ढाँचे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 7.
संसद भवन के 20 बेलनाकार खम्बों की सफाई करनी है। यदि प्रत्येक खम्बे का व्यास 0.50 मी तथा ऊँचाई 4 मी है तो ₹ 2.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से उन्हें साफ करने में कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 8.
एक मन्दिर के दो खम्बे बेलनाकार रूप के है। यदि प्रत्येक खम्बे के आधार की त्रिज्या 20 सेमी तथा ऊँचाई 10 मीटर है तो इस तरह के 14 खम्बे बनाने में कुल कितने कंक्रीट मिश्रण की आवश्यकता होगी।
हल:

प्रश्न 9.
एक मेले में, एक स्टाल कीपर के पास 15 सेमी आधार त्रिज्या वाले बेलनाकार बर्तनों में 32 सेमी ऊँचाई तक सन्तरे का जूस भरा है। उन्हें 3 सेमी त्रिज्या वाले बेलनाकार बर्तन में 8 सेमी ऊँचाई तक भरकर प्रत्येक को ₹ 3 में बेचा जाता है। पूरे जूस को बेचकर वह कितने रुपये प्राप्त करेगा।
हलः

प्रश्न 10.
एक कमरे की विमाएं 12.5 मी × 9 मी × 7 मी है। उसमें दो दरवाजें तथा 4 खिड़की है। प्रत्येक दरवाजे की माप 2.5 मी × 1.2 मी तथा खिड़की की माप 1.5 मी × 1 मी है। सिद्ध कीजिए कि ₹ 3.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से दीवारों को रंगने में कुल ₹ 1011.50 खर्च होगें।
हलः
कमरे की चारो दीवारो का क्षेत्रफल = 2(l + b) × h = 2(12.5 + 9) × 7
= 2 × 21.5 × 7 = 301 मी²
दो दरवाजों का क्षेत्रफल = 2 × 2.5 × 1.2 = 6 मी²
4 खिडकी का क्षेत्रफल = 4 × 1.5 × 1 = 6 मी²
दरवाजों तथा खिडकी को छोडकर दीवारों का शेष क्षेत्रफल = 301 – 6 – 6 = 289 मी²
दीवारों को रंगने में कुल खर्च = 289 × 3.50 = ₹ 1011.50

प्रश्न 11.
एक हॉल की लम्बाई एवं चौड़ाई का अनुपात 4 : 3 है तथा इसकी ऊँचाई 5.5 मीटर है। इसकी दीवारों को ₹ 6.60 प्रति वर्ग मीटर की दर से सजाने में कुल ₹ 5082 का खर्च आता है। सिद्ध कीजिए कि हॉल की लम्बाई व चौड़ाई क्रमशः 40 मीटर व 30 मीटर होगी।
हलः
माना
हॉल की लम्बाई = 4x मी
हॉल की चौडाई = 3x मी
हॉल की ऊचाई = 5.5 मी

प्रश्न 12.
9 सेमी भुजा वाला एक घन पानी से भरे एक आयताकार बर्तन में पूर्णतया डूब जाता है। यदि आधार की विमाएं 15 सेमी व 12 सेमी है। तो सिद्ध कीजिए कि पानी के स्तर में हुई बढ़ोत्तरी 4.05 सेमी होगी।
हलः
पानी में डुबाये गये घन का आयतन = ऊपर उठे पानी का आयतन
(9)³ = 15 × 12 × h
729 = 15 × 12 × h

∴ पानी के स्तर में हुई बढोतरी = 4.05 सेमी

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.4 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.4 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Question)

प्रश्न 1.
8x + 12y के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हलः
8x + 12y = 2 × 2 × 2 × x + 2 × 2 × 3 × y = 4(2x + 3y)

प्रश्न 2.
x³ + x² के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हलः
x³ + x² = x × x × x + x × x = x × x(x + 1) = x²(x + 1)

प्रश्न 3.
x² + x + y + xy के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
x² + x + y + xy = [x² + x] + [y + xy] = x(x + 1) + y(x + 1) = (x + 1)(x + y)

प्रश्न 4.
x² – x + y – xy के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
x² – x + y – xy = x(x – 1) – y(x – 1) = (x – 1)(x – y)

Ex 5.4 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए

प्रश्न 5.
ax + cx – ay – cy
हलः
ax + cx – ay – cy = x(a + c) – y(a + c) = (a + c)(x – y)

प्रश्न 6.
mx – 2my – nx + 2ny
हल:
mx – 2my – nx + 2ny = mx – nx – 2my + 2ny = x(m – n) – 2y(m – n) = (m – n)(x – 2y)

प्रश्न 7.
ab + cd + ad + bc
हलः
ab + cd + ad + bc = ab + ad + cd + bc = a(b + d) + c(b + d)= (b + d)(a + c)

प्रश्न 8.
ax – bx + by + cy – cx – ay
हलः
ax – bx + by + cy – cx – ay = ax – bx – cx – ay + by + cy
= x(a – b – c) – y(a – b – c) = (a – b – c)(x – y)

प्रश्न 9.
mx + ny – nx – my
हलः
mx – ny – nx + my = mx – nx – my + ny = x(m – n) – y(m – n) = (m – n)(x – y)

प्रश्न 10.
ax + cy – ac – xy
हलः
ax + cy – ac – xy = ax – ac – xy + y = a(x – c) – y(x – c) = (x – c)(a – y)

प्रश्न 11.
9a³b²c – 27a²b³c² – 36a²b²c³
हलः
9a³b²c – 27a²b³c² – 36a²b²c³ = 9a²b²c(a – 3bc – 4c²)

प्रश्न 12.
8a²b(a – b)² – 4a²(a – b)³
हलः
8a²b(a – b)² – 4a² (a – b)³ = 4a²(a – b)²[2b – (a – b)]
= 4a² (a – b)²[2b – a + b] = 4a²(a – b)²[3b – a]

प्रश्न 13.
(p + q + r)² + x[p + q + r) – y(p + q + r)
हलः :
(p + q + r)² + x(p + q + r) – y(p + q + r) = (p + q + r)[p + q + r + x – y]

प्रश्न 14.
(p + q)³ + (p + q)² + (p + q)
हलः
(p + q)³ + (p + q)² + (p + q) = (p + q)[(p + q)² + (p + q) + 1]

Ex 5.4 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड कीजिए।
प्रश्न 15.
7(x + y)³ +14(x + y)² +28(x + y)
हलः
7(x + y)³ + 14(x + y)² + 28(x + y) = 7(x + y)[(x + y)² + 2(x + y) + 4]
= 7(x + y)[x² + y² + 2xy + 2x + 2y + 4]

प्रश्न 16.
a³bc + ab³c – abc³
हलः
a³bc + ab³c – abc³ = abc(a² + b² – c²)

प्रश्न 17.
(x² + 3x)² – 5(x² + 3x) – y(x² + 3x) + 5y
हलः
(x² + 3x)² – 5(x² + 3x) – y(x² + 3x) + 5y = (x² + 3x)[x² + 3x – 5] – y[x² + 3x – 5]
= [x² + 3x – 5][x² + 3x – y]

प्रश्न 18.
ab(x² + y²)+ xy(a² + b²)
हलः
ab(x² + y²) + xy(a² + b²)= abx² + aby² + xya² + xyb² = abx² + xya² + aby² + xyb²
= ax(bx + ay ) + by (ay + bx) = (ax + by)(bx + ay)

प्रश्न 19.
x⁵ + x⁴ – 2x² – 2x
हलः
x⁵ + x⁴ – 2x² – 2x = x{x⁴ + x³ – 2x – 2] = x[x³(x + 1) – 2(x + 1)]= x[(x³ – 2)(x + 1)]

प्रश्न 20.
ab(c² + 1) + c(a² + b²)
हलः
ab(c² + 1) + c(a² + b²) = abc² + ab + ca² + cb² = abc² + ca² + ab + cb²
= ac(bc + a) + b(a + bc) = (bc + a)(ac + b)

प्रश्न 21.
x² + [latex]\frac{1}{x^{2}}[/latex] + 2 – 3x – [latex]\frac{3}{x}[/latex]
हलः
[latex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2-3 x-\frac{3}{x}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-3\left(x+\frac{1}{x}\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left[x+\frac{1}{x}-3\right][/latex]

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.3 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.3 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Question

प्रश्न 1.
जब एक बहुपद x² + 4x + 5 कों (x + 3) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x² + 4x + 5 को (x + 3) से भाग करने पर शेषफल प्राप्त करने के लिए x + 3 = 0 या
x = 0 – 3 = -3 बहुपद में रखते है।
∴ शेषफल = (-3)² + 4(-3) + 5 = 9 – 12 + 5 = 2

प्रश्न 2.
जब एक बहुपद x² + 6x + 9 को (x + 3) से भाग दिया जाता है. तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x² + 6x + 9 को (x + 3) से भाग करने पर
x + 3 = 0 या x = -3 रखने पर
∴ शेषफल = (-3)² + 6(-3) + 9 = 9 – 18 + 9 = 0

प्रश्न 3.
जब एक बहुपद x³ – 7x + 6 को (x – 1) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x³ – 7x + 6 को (x – 1) से भाग करने पर
x – 1 = 0 या x = 1
शेषफल = (1)³ – 7(1) + 6 = 1 – 7 + 6 = 0

प्रश्न 4.
जब बहुपद (x³ + 1) को (x + 1) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
(x³ + 1) को (x + 1) से भाग करने पर
x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = -1 बहुपद में रखने पर शेषफल = (-1)³ + 1 = -1 + 1 = 0

प्रश्न 5.
जब बहुपद x³ + 3x + 3 को (x + 2) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि बहुपद x² + 3x + 3 को (x + 2) से भाग किया जाए तो x + 2 = 0 या x = 0 – 2 = -2 रखने पर
शेषफल = (-2)² + 3(-2) + 3 = 4 – 6 + 3 = 1

प्रश्न 6.
जब बहुपद x⁶ + x⁴ – x² +1 को x – 2 से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि बहुपद x⁶ + x⁴ – x² + 1 को (x – 2) से भाग किया जाए तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = (2)⁶ + (2)⁴ – (2)² + 1 = 64 + 16 – 4 + 1 = 77

प्रश्न 7.
यदि x¹⁵ – 199 को (x – 1) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि x¹⁵ – 199, (x – 1) से विभाजित है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)¹⁵ – 199 = 1 – 199 = -198

प्रश्न 8.
बहुपद x³ – 3x² + 4x – 12 का एक गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ – 3x² + 4x – 2 में x = 1 रखने पर शेषफल 0 नहीं है।
x = 2 रखने पर शेषफल 0 नहीं है।
x = 3 रखने पर शेषफल = (3)³ – 3(3)² + 4(3) – 12 = 27 – 27 + 12 – 12 = 0
इसलिए (x -3) इसका एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 9.
यदि p(-3) = 0 तब बहुपद p(x) का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि p(-3) = 0 तब p(x) का एक गुणनखण्ड (x + 3) होगा।

प्रश्न 10.
बहुपद 2x³ + 4x + 6 का एक गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
2x³ + 4x + 6 का एक गुणनखण्ड (x + 1) होगा।
यदि x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = -1 रखने पर
शेषफल = 2(-1)² + 4(-1) + 6 = -2 – 4 + 6 = 0

प्रश्न 11.
(x – 3) निम्न में से किस बहुपद का गुणनखण्ड होगा?
(a) 2x² – x – 15
(b) x² + 9
(c) 3x² + 5x + 7
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) (x – 3), 2x² – x – 15 का एक गुणनखण्ड है। क्योंकि x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = 2(3)² – 3 – 15 = 18 – 3 – 15 = 0

प्रश्न 12.
(x + 1) निम्न में से किसका गुणनखण्ड नहीं है।
(a) x² – 4x – 3
(b) x² + 4x + 3
(c) x² – 1
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) (x + 1), x² – 4x – 3 का एक गुणनखण्ड नहीं है।
∵ x+1 = 0 या X = 0-1 = -1 रखने पर
शेषफल = (-1)² – 4(-1) – 3 = 1 + 4 – 3 = 2 ≠ 0

प्रश्न 13.
यदि (2x + 1) बहुपद 4x² – kx + k का एक गुणनखण्ड है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ (2x + 1), 4x² – kx + k का गुणनखण्ड है।
∴ 2x + 1 = 0 या 2x = -1 या x = [latex]-\frac{1}{2}[/latex] रखने पर
शेषफल = 0

प्रश्न 14.
यदि (x – 1) बहुपद x³ + kx² + 142x – 120 का एक गुणनखण्ड है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ (x – 1) बहुपद x³ + kx² + 142x – 120 का एक गुणनखण्ड है।
∴ x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर,
शेषफल = 0
(1)³ + k(1)² + 142 × 1 – 120 = 0
1 + k + 142 – 120 = 0
k + 23 = 0 ⇒ k = -23

प्रश्न 15.
यदि [latex]x+\frac{1}{2}[/latex] बहुपद px² – 4px +3 का एक गुणनखण्ड है, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि [latex]x+\frac{1}{2}[/latex], px² – 4px + 3 का एक गणुखण्ड है।
∴ [latex]x+\frac{1}{2}[/latex] = 0 या x = [latex]-\frac{1}{2}[/latex] -रखने पर शेषफल

Ex 5.3 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 16.
निम्न प्रत्येक में, बहुपद f(x) को g(x) से भाग दीजिए तथा भागफल व शेषफल के मान ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = 5x² + 3x + 1; , g(x) = 2x
(ii) f(x) = x³ – 14x² + 37x – 60; g(x) = x – 2
(iii) f(x) = x³ – 3x² + 4x + 2; g(x) = x – 1
(iv) f(x) = x³ + 3x² – 12x + 4; g(x) = x – 2
(v) f(x) = 2x² – 3x + 5; g(x) = x – a
हलः
(i) f(x) = 5x² + 3x + 1 तथा g(x) = 2x

(ii) f(x) = x³ – 14x² + 37x – 60 तथा g(x) = x – 2

भागफल = x² – 12x + 13 तथा शेषफल = -34

(iii) f(x) = x³ – 3x² + 4x + 2 तथा g(x) = x – 1

भागफल = x² – 2x + 2
शेषफल = 4

(iv) f(x) = x³ + 3x² – 12x + 4 तथा g(x) = x – 2

भागफल = x² + 5x – 2
शेषफल = 0

(v) f(x) = 2x² – 3x + 5 तथा g(x) = x – a

भागफल = 2x + 2a – 3 तथा शेषफल = 2a² – 3a + 5

Ex 5.3 Polynomial and their Factors  दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि x² – 4x + 3 बहुपद x³ – 3x² – x + 3 का एक गुणनखण्ड है।
हलः

∵ x³ – 3x² – x + 3, x² – 4x + 3 से पूर्णतया विभाजित है।
∴ x² – 4x + 3 इसका एक गुणनखण्ड है।।

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि x² – x + 2 बहुपद x³ – 3x² + 4x – 4 का एक गुणनखण्ड है।
हलः

∵ x³ – 3x² + 4x – 4, x² – x + 2 से पूर्णतया विभाजित है।
∴ x² – x + 2 इसका एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि x – 3 बहुपद x³ – 2x² + 3x – 18 का एक गुणनखण्ड है।
हलः

∵ x³ – 2x² + 3x – 18, x – 3 से पूर्णतया विभाजित है।
∴ x – 3 इसका एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 20.
निम्न प्रत्येक में f(x) को g(x) से भाग कीजिए तथा भागफल व शेषफल के मान ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = x + 5x³ + 3x² + 5x + 3; g(x) = x² + 4x + 2
(ii) f(x) = 6x⁵ + 4x⁴ – 3x³ + x + 1; g(x) = 3x² – x + 1
(iii) f(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² + 2x + 2; g(x) = x + 1
हल:
(i) f(x) = x⁵ + 5x³ + 3x² + 5x + 3 तथा g(x) = x² + 4x + 2

भागफल = x³ – 4x² + 19x – 65
शेषफल = 227x + 133

(ii) f(x) = 6x⁵ + 4x⁴ – 3x³ + x + 1 तथा g(x) = 3x² – x + 1

भागफल = 2x³ + 2x² – x – 1
शेषफल = x + 2

(iii) f(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² + 2x + 2 तथा g(x) = x³ + 1

भागफल = x² + x + 1 तथा शेषफल = x + 1

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 18 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder Ex 18.2 घन, घनाभ तथा लम्बवृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

Ex 18.2 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
एक घन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 96 सेमी है। (NCERT Exemplar)
हलः
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 96
6 × a² = 96
a² = [latex]\frac{96}{6}[/latex] = 16 (∴ a = 4 सेमी)
घन का आयतन = a³ = (4)³ = 64 सेमी³

प्रश्न 2.
एक कमरे के फर्श का क्षेत्रफल 15 मी² है। यदि ऊँचाई 4 मी है तब कमरे में जा सकने वाली हवा का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
कमरे में जा सकने वाली हवा का आयतन = l × b × h
= 15 × 4 = 60 मी³
= 60,000 डेसी मी³

प्रश्न 3.
एक घनाभ का आयतन 12 सेमी है। एक घनाभ का आयतन (सेमी³ में) ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा, इस घनाभ की दोगुनी है।
हलः
घनाभ का आयतन V₁ = 12 सेमी³
घनाभ की प्रत्येक विमा 2 गुनी होने पर बने घनाभ का आयतन V₂ = 2 × 2 × 2 × V₁
= 8V₁ = 8 × 12 = 96 सेमी³

प्रश्न 4.
यदि दो घनों के आयतन 8 : 1 के अनुपात में है तब इनके कोरों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 5.
एक घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 256 मी² है घन का आयतन ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हलः

प्रश्न 6.
एक घन का आयतन 512 सेमी है, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (सेमी’ में) ज्ञात कीजिए।
हलः
घन का आयतन = 512
a = 512
a³ = (8)³
∴ a = 8 सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × (8) = 6 × 64 = 384 सेमी ²

प्रश्न 7.
10 सेमी भुजा वाले एक घनाकार बर्तन में पूर्णतया आने वाली छड़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
घनाकार बर्तन में पूर्णतया आने वाली छडी की लम्बाई
= घन का विकर्ण = 10[latex]\sqrt{3}[/latex] सेमी

प्रश्न 8.
दो घनों के आयतन 1 : 27 के अनुपात में है इनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 9.
1.5 मीटर गहरी तथा 30 मीटर चौड़ी एक नहर में 3 किमी/घण्टा की दर से पानी बह रहा है। समुद्र में प्रति मिनट आने वाले पानी का आयतन (मी में) ज्ञात कीजिए।
हलः
पानी का आयतन = l × b × h

प्रश्न 10.
एक झरने में 5 सेमी वर्षा होती है। 2 हेक्टेयर क्षेत्र में पड़ने वाले मानी का कुल आयतन (मी में ) ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 18.2 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
6 सेमी भुजा के दो घनों को फलक-दर-फलक मिलाया जाता है। इस प्रकार बने घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
दो घनों को मिलाने पर बने घनाभ की लम्बाई l = 12 सेमी
b = 6 सेमी
h = 6 सेमी
घनाभ का आयतन = l × b × h = 12 × 6 × 6 = 432 सेमी

प्रश्न 12.
एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 294 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 294

प्रश्न 13.
एक सिनेमा हॉल की विमाएं 100 मी × 50 मी × 18 मी है। यदि एक व्यक्ति को 150 मी हवा की आवश्यकता है तो सिनेमा हॉल में कुल कितने व्यक्ति बैठ सकते हैं।
हल:

प्रश्न 14.
एक गोदाम की विमाएँ 30 मी × 25 मी × 8 मी है। 2 मी × 1.25 मी × 0.4 मी विमा वाली कितनी लकड़ी की पेटी इसमें रखी जा सकती है ?
हल:

प्रश्न 15.
एक आयताकार ठोस घनाभ जिसका आयतन v है के तीन लगातार फलकों के क्षेत्रफल A,B व C हैं। सिद्ध कीजिए कि V² = ABC
हल:

प्रश्न 16.
25 मी × 9.8 मी के आकार के एक कमरे में 100 व्यक्ति सो सकते हैं। यदि एक व्यक्ति को 12.25 मी³ हवा की आवश्यकता होती है तो कमरे की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
100 व्यक्तियों को सोने के लिए आवश्यक हवा = 100 × 12.25 = 1225 मी³

प्रश्न 17.
एक घन का आयतन 1000 सेमी है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घन का आयतन = 1000 सेमी³
a³ = 1000 = (10)³
a = 10 सेमी कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × a² = 6 × (10)²
= 6 × 100 = 600 सेमी²

प्रश्न 18.
18 मी × 12 मी × 9 मी के आकार के घनाभ से 3 मी भुजा वाले कितने घन काटे जा सकते हैं?
हलः

Ex 18.2 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 19.
आयताकार रूप के खेती के एक प्लाट की विमाएँ 240 मी × 180 मी है। इसके चारों ओर 10 मीटर चौड़ा एक गड्ढा खोदा गया है। तथा इसमें से निकली मिट्टी को समान रूप से प्लाट में फैलाया जाता है। जिससे उसकी सतह का स्तर 25 सेमी बढ़ जाता है। गड्ढ़े की गहराई ज्ञात कीजिए।
हल:
मिट्टी के पड़ने से प्लाट की मिट्टी का आयतन = 240 × 180 × 0.25 मी³

प्रश्न 20.
एक आयताकार टैंक की आधार पर विमायें 225 मी × 162 मी है। 60 सेमी × 45 सेमी की विमा के एक पाईप से टैंक के अन्दर किस दर से पानी डाला जाये जिससे 5 घण्टे में इसमें पानी का स्तर 20 सेमी बढ़ जाये।
हलः
माना आयताकार टैंक में पानी की ऊँचाई = 20 सेमी = 0.2 मीटर
माना आयताकार टैंक में पानी का आयतन = 225 × 162 × 0.2 मी³

प्रश्न 21.
8 मीटर लम्बा, 6 मीटर चौड़ा तथा 3 मीटर गहरा, एक घनाभकार गड्ढ़ा खुदवाने में ₹30 प्रति मी की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
(NCERT)
हलः
घनाभकार गड्ढे का आयतन = l × b × h
= 8 × 6 × 3 = 144 मी
घनाभकार गड्ढा खुदवाने में कुल खर्च =144 × 30 = ₹ 4320

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