Prasanna

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integrals (समाकलन) are part of UP Board Solutions for Class 12 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integrals (समाकलन).

Use online and handy Integration By Parts Calculator to get the exact answer after integrating your function

Board	UP Board
Textbook	NCERT
Class	Class 12
Subject	Maths
Chapter	Chapter 7
Chapter Name	Integrals
Exercise	Ex 7.1, Ex 7.2, Ex 7.3, Ex 7.4, Ex 7.5, Ex 7.6, Ex 7.7, Ex 7.8, Ex 7.9, Ex 7.10, Ex 7.11
Number of Questions Solved	228
Category	UP Board Solutions

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 Application of Derivatives

प्रश्नावली 7.1

निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज ( समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
sin 2x
हल-
∫sin 2x dx
हम जानते हैं कि, [latex ]\frac { d }{ dx }[/latex] cos2x = -2 sin 2x

प्रश्न 2.
cos 3x
हल-
∫cos 3x dx
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 3.
e^2x
हल-
∫e^2x dx
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 4.
(ax + b)²
हल-
∫(ax + b)² dx
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 5.
sin 2x – 4e^3x
हल-
∫(sin 2x -4e^3x) dx = ∫sin 2x dx – 4∫e^3x …(1)

निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
∫(4e^3x + 1) dx
हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.
∫(ax² + bx + c) dx
हल-
∫(ax² + bx + c) dx = a∫x²dx + b∫xdx + c∫1 dx

प्रश्न 9.
∫(2x² + e^x) dx
हल-
∫(2x² + e^x) dx = 2∫x² dx + ∫e^x dx

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.
∫(1-x)√x dx
हल-
∫(1-x)√x dx
=∫(√x-x√x)dx

प्रश्न 15.
∫√x(3x² + 2x + 3)dx
हल-
∫√x(3x² + 2x + 3)dx

प्रश्न 16.
∫(2x – 3cosx + e^x)dx
हल-
∫(2x – 3cosx + e^x)dx

प्रश्न 17.
∫(2x² – 3sinx + 5√x)dx
हल-
∫(2x² – 3sinx + 5√x)dx
= 2∫x² dx – 3 ∫ sinx dx + 5∫√x dx

प्रश्न 18.
∫secx (sec x + tan x) dx
हल-
∫sec x (sec x + tan x) dx
= ∫(sec² x + sec x tan x) dx
= ∫(sec² x dx
= ∫sec x tan x dx
tan x + sec x + C

प्रश्न 19.

हल-

प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21 एवं 22 में सही उत्तर का चयन कीजिए

प्रश्न 21

हल-

प्रश्न 22

हल-

प्रश्नावली 7.2

प्रश्न 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलने का समाकलन ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.
sin x sin (cos x)
हल-
मानी I = ∫ sin x sin (cos x) dx …(1)
माना cos x = t, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
– sin x dx = dt ⇒ sin x dx = – dt
∴(1) से, I = ∫sin (cos x) (sin x) dx = -∫sint dt
= cos t + C = cos (cos x) + C

प्रश्न 5.
sin (ax + b) cos (ax + b)
हल-
माना I = ∫sin (ax + b) cos (ax + b) dx
माना sin (ax + b) = t, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
a cos (ax + b) dx = dt

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.
(x³ – 1)^1/3 x⁵
हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14

हल-

प्रश्न 15

हल-

प्रश्न 16.
e^2x+3
हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-

प्रश्न 19.

हल-

प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.
tan²(2x – 3)
हल-

प्रश्न 22.
sec²(7 – 4x)
हल-
माना
I = ∫sec²(7 – 4x) …(1)
माना 7 – 4x = t, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 23.

हल-

प्रश्न 24.

हल-

प्रश्न 25.

हल-

प्रश्न 26.

हल-

प्रश्न 27.

हल-

प्रश्न 28.

हल-

प्रश्न 29.
cot x log sin x
हल-

प्रश्न 30.

हल-

प्रश्न 31.

हल-

प्रश्न 32.

हल-

प्रश्न 33.

हल-

प्रश्न 34.

हल-

प्रश्न 35.

हल-

प्रश्न 36.

हल-

प्रश्न 37.

हल-

प्रश्न 38.

हल-

प्रश्न 39.

हल-

प्रश्नावली 7.3

निर्देश- 1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक का समाकलन ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
sin² (2x + 5)
हल-
माना I = ∫sin ² (2x + 5) dx

प्रश्न 2.
sin 3x cos 4x dx
हल-

प्रश्न 3.
cos 2x cos 4x cos 6x dx
हल-
cos 2x cos 4x cos 6x dx

प्रश्न 4.
sin³ (2x + 1)
हल-
माना I = ∫sin³ (2x + 1) dx

प्रश्न 5.
sin³x cos³x
हल-

प्रश्न 6.
sinx sin2x sin3x
हल-
माना I = ∫sinx sin2x sin3x

प्रश्न 7.
sin 4x sin 8x
हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.
sin x⁴ dx
हल-

प्रश्न 11.
cos⁴ 2x
हल-

प्रश्न 12.

हल-
माना

= ∫(1-cosx)dx = ∫1 dx – ∫ cosx dx
= x – sinx +C

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.
tan³ 2x sec 2x
हल-

प्रश्न 16.
tan⁴ x
हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-

प्रश्न 19.

हल-

प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.
sin^-1 (cosx)
हल-

प्रश्न 22.

हल-

प्रश्न 23.

हल-

प्रश्न 24.

हल-

प्रश्नावली 7.4

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-

प्रश्न 19.

हल-

प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.

हल-

प्रश्न 22.

हल-

प्रश्न 23.

हल-

प्रश्न 24.

हल-

प्रश्न 25.

हल-

प्रश्नावली 7.5

प्रश्न 1 से 21 तक के प्रश्नों में परिमेय फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-

प्रश्न 19.

हल-

प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.

हल-

प्रश्न 22.

हल-

प्रश्न 23.

हल-

प्रश्नावली 7.6

प्रश्न 1 से 22 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.
फलन x sin x का x के सापेक्ष समाकल ज्ञात कीजिए।
हल-
∫x sin x dx

= – x cos x + ∫cos x dx
= – x cos x + sin x + C

प्रश्न 2.
x sin 3x
हल-
माना I = ∫x.sin 3x dx

प्रश्न 3.
x² e^x
हल-
माना I = ∫x² e^x dx

प्रश्न 4.
फलन x log x का x के सापेक्ष समाकल ज्ञात कीजिए।
हल-
∫ x log x dx

प्रश्न 5.
x log 2x
हल-
माना I = ∫x log 2x dx
= ∫(log 2x).x dx

प्रश्न 6.
फलन x² log x का x के सापेक्ष समाकल ज्ञात कीजिए।
हल-
माना I = ∫x² log x dx

प्रश्न 7.
x sin^-1 x
हल-

प्रश्न 8.
x tan^-1x
हल-

प्रश्न 9.
x cos^-1 x
हल-

प्रश्न 10.
(sin^-1x)²
हल-
माना I = [(sin^-1 x)² dx ….(1)
sin^-1 x = θ ⇒ x = sinθ ⇒ dx = cos θ dθ
∴(1) से,

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.
x sec² x
हल-
माना I = ∫x sec² x dx

x को पहला फलन तथा sec²x को दूसरा फलन लेकन खण्डश: समाकलन करने पर,
= x tan x – ∫1. tan x dx
= x tan x + log|cos x| + C

प्रश्न 13.
tan^-1 x
हल-

प्रश्न 14.
x(log x)²
हल-
माना I = ∫x (log x)² dx
= ∫(log x)².x dx

प्रश्न 15.
(x² + 1) log x
हल-
माना I = ∫(x² + 1) log x dx
= ∫log x. (x² + 1) dx
(log x) को पहला फलन तथा (x² + 1) को दूसरा फलन लेकर खण्डश: समाकलन करने पर,

प्रश्न 16.
e^x (sinx + cosx)
हल-
e^x sinx = t
⇒ e^x (sinx + cosx)dx = dt
= ∫e^x(sinx + cosx)dx = ∫dt = t + c
= e^x sinx + c

प्रश्न 17

हैल-

प्रश्न 18.

हल-

प्रश्न 19.

हल-

प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.
e^2x sinx
हल-

प्रश्न 22.

हल-

प्रश्न 23

हल-

प्रश्न 24.

हल-

प्रश्नावली 7.7

प्रश्न 1 से 9 तक के फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्नावली 7.8

योगों की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्नावली 7.9

1 से 20 तक के प्रश्नों में निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-

प्रश्न 19.

हल-

प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.

हल-

प्रश्न 22.

हल-

प्रश्नावली 7.10

प्रश्न 1 से 8 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्नावली 7.11.

निश्चित समाकलनों में गुणधर्मों का उपयोग करते हुए 1 से 19 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान ज्ञात कीपिए—

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-

प्रश्न 19.

हल-

प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.

हल-

We hope the UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integrals (समाकलन) help you. If you have any query regarding UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integrals (समाकलन), drop a comment below and we will get back to you at the earliest.

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता) are part of UP Board Solutions for Class 12 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता)

Board	UP Board
Textbook	NCERT
Class	Class 12
Subject	Maths
Chapter	Chapter 5
Chapter Name	Continuity and Differentiability
Exercise	Ex 5.1, Ex 5.2, Ex 5.3, Ex 5.4, Ex 5.5, Ex 5.6, Ex 5.7, Ex 5.8
Number of Questions Solved	121
Category	UP Board Solutions

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability

प्रश्नावली 5.1

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x – 3, x = 0, x = – 3 तथा x = 5 पर संतत है।
हल-
यहाँ, f(x) = 5x – 3

(iii) उपरोक्त की भाँति स्वयं हल कीजिए।
नोट-चूँकि दिया गया फलन f(x) = 5x – 3 बहुपद है।
∴ यह ∀ x ∈ R के लिए संतत है।

प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
हल-
यहाँ, f(x) = 2x -1

अतः x = 3 पर f संतत है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए

हल-
(a) f(x) = x – 5
∵ (x – 5) एक बहुपद है।
अत: प्रत्येक बिन्दु x∈R पर f संतत है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xⁿ, x = n पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णाक है।
हल-
दिया है- f(x) = xⁿ एक बहुपदीय फलन है।
संतत है, यदि x ∈ R तथा x ∈ N
यहाँ x = n एक पूर्णांक है।
अत: f(x) = xⁿ संतत फलन है।

प्रश्न 5.

हल-
x = 0 तथा x = 2 पर फलन एक बहुपद है।
अतः x = 0 तथा x = 2 पर फलन सतत है।
x = 1 पर, f(x) = x, x<1 के लिए, f(x) = 5, x>1 के लिए

प्रश्न 6.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।

हल-

प्रश्न 7.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।

हल-

प्रश्न 8.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.
क्या

द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
हल-

स्वेच्छा से b के मान के लिए a का मान ज्ञात किया जा सकता हैं।

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए।

यदि x = 0 द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णाक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक निरूपित करता है, जो x के बराबर अथवी x से कम है।
हल-
x = c पूर्णांक पर, g(x) = x – [x]

अतः x = c पूर्णाक पर, f संतत नहीं है।

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
हल-
माना
f(x) = x² – sin x + 5

प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए
(a) f(x) = sin x + cos x
(b) f(x) = sin x – cos x
(c) f(x) = sin x.cos x
हल-

प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-
(a) माना f(x) = cos x

प्रश्न 23.
f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ

हल-

प्रश्न 24.
निम्न प्रकार से परिभाषित फलन की सातत्यता की जाँच x = 0 पर कीजिए

हल-

प्रश्न 25.

हल-

प्रश्न 26.

हल-

प्रश्न 27.

द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर।
हल-

प्रश्न 28.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन

द्वारा परिभाषित फलन x = π पर सतत् है।
हल-

प्रश्न 29.

द्वारा परिभाषित फलने x = 5 पर।
हल-

प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि

द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
हल-

प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) = cos x² द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = cos x²

f(c) = cos c²
अत: f(x) = cos x² एक संतत फलन है। इति सिद्धम्

प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) =| cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = | cos x|
माना x = c ∈ R पर,

f(c) = | cos c|
अतः x = c ∈ R पर F एक संतत फलन है।। इति सिद्धम्

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin|x| एक संतत फलन है।
हल-
माना f(x) = sin | x|
x = c ∈ R पर,

f(c) = sin|c|
अतः x = c ∈ R पर f एक संतते फलन है।।

प्रश्न 34.
f(x) = |x|-|x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
हल-
ज्ञात है- f(x) = |x|-|x +1|
f(x) = – x -[-(x + 1)] जब x< – 1]
= -x + x + 1 = 1
f(x) = – x – (x + 1), [जब – 1≤ x < 0]
= – x – x – 1
= – 2x – 1
f(x) = x – (x + 1), जब x≥ 0
= x – x – 1 = -1

प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
sin(x²+5)
हल-
माना y = sin(x²+5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= cos (x² + 5) (2x + 0)
= 2x cos (x² + 5)

प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल-
माना y = cos (sin x)
माना sin x = t
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, [latex ]\frac { dt }{ dx }=cosx[/latex]
∴ y = cos t से,
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने

= – sin t cos x = -sin (sin x)cos x

प्रश्न 3.
sin (ax+b)
हल-
माना y = sin (ax + b)
ax+ b = t रखने पर, y = sin t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
sec (tan√x)
हल-
माना y = sec (tan (√x))
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
[latex s=2]\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) }[/latex]
हल-
माना [latex s=2]y=\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) }[/latex] …(1)

प्रश्न 6.
cos x³.sin² x⁵
हल-
माना y = cos x³.sin² x⁵
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
[latex s=2]2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) } [/latex]
हल-
माना [latex s=2]2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) } [/latex]

प्रश्न 8.
cos(√x)
हल-
माना y = cos(√x) ….(1)
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) =|x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल-
दिया है- f (x) = |x – 1| x∈R

R.H.D. ≠ L.H.D.
अत: x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णाक फलन f(x) = [x],0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल-
ज्ञात है, f(x) = [x]

प्रश्नावली 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में [latex ]\frac { dy }{ dx }[/latex] ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1
2x + 3y = sinx
हल-
ज्ञात है, 2x + 3y = sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2
2x + 3y = siny
हल-
दिया है- 2x + 3y = siny
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3
ax + by² = cosy
हल-
ज्ञात है- ax + by² = cosy
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4
xy + y² = tan x + y
हल-
दिया है xy + y² = tan x + y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5
x² + xy + y² = 100
हल-
दिया है x² + xy + y² = 100
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6
x³ + x²y + xy² + y³ = 81
हल-
दिया है x³ + x²y + xy² + y³ = 81
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7
sin² y + cos xy = k
हल-
दिया है sin² y + cos xy = k
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8
sin² x + cos² y = 1
हल-
दिया है sin² x + cos² y = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.

हल-
दिया है-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्नावली 5.4

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4
sin(tan^-1 e^x)
हल-
माना sin(tan^-1 e^x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5
log(cos e^x)
हल-
माना log(cos e^x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8
log(log x), x>1
हल-
माना log(log x), x>1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10
cos(log x + e^x)
हल-
माना cos(log x + e^x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्नावली 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
cos x.cos 2x.cos 3x
हल-
माना y = cos x. cos 2x. cos 3x …(1)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
logy = log (cos x. cos2x. cos 3x)
= log cos x + log cos 2 x + log cos 3x
[∵ log m.n = log m + log n]
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.
(log x)^{cos x}
हल-
माना y = (log x)^{cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log (log x)^{cos x} = cos x log (log x), [∵log mⁿ = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
x^x – 2^{sin x}
हल-
माना y = x^x – 2^{sin x}
पुनः माना u = x^x, v = 2^{sin x}
y = u – v
u = x^x
से दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर, log u = log x^x = x log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
(x + 3)² .(x + 4)³ .(x + 5)⁴
हल-
माना y = (x + 3)² .(x + 4)³ .(x + 5)⁴
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)² .(x + 4)³ (x + 5)⁴]
= log (x + 3)² + log (x + 4)³ + log (x + 5)⁴
[∵ log mn = log m + log n]
= 2 log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5)
[∵ log mⁿ = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.
(log x)^x + x^{log x}
हल-
माना y = (log x)^x + x^{log x}
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
(sin x)^x + sin^-1√x
हल-
माना y = (sin x)^x + sin^-1√x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
हल-
माना x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.

हल-


प्रश्न 11.
(x cos x)^x + (xsin x)^1/x
हल-
माना y = (x cos x)^x + (x sin x)^1/x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 12.
x^y + y^x = 1
हल-
दिया है, ∵ x^y + y^x = 1
माना u = x^y, v = y^x ∵ u + v = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
y^x = x^y
हल-
दिया है, y^x = x^y
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log y^x = log x^y
x log y = y log x
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 14.
(cos x)^y = (cos y)^x
हल-
दिया है, (cos x)^y = (cos y)^x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log (cos x)^y = log (cos y)^x या y log cos x = x log cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 15.
xy = e^(x-y)
हल-
दिया है, xy = e^(x-y)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
log (xy) = log e^(x-y)
या log x + log y = (x – y) log_e e [∵ log xy = log x + log y]
या log x + log y = x – y [∵ log_e e = 1]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log f (x) = log [(1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)]
या log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x²) + log (1 + x⁴) + log (1 + x⁸)

प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
हल-
(i) गुणनफल नियम के प्रयोग द्वारा ।
माना y = (x² – 5x + 8). (x³ + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 18.
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि ।

हल-
(i) माना y = u . v . w = u. (v. w)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्नावली 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में तथाy के लिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना [latex ]\frac { dy }{ dx }[/latex] ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
x = 2at², y = at⁴
हल-
दिया है, x = 2at² तथा y = at⁴
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
x = a cos θ, y = b cos θ
हल-
दिया है : x = a cos θ तथा y = b cos θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
x = sin t, y = cos 2t
हल-
दिया है, x = sin t तथा y = cos 2t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
[latex ]\frac { dx }{ dt }=cost[/latex]

प्रश्न 4.
x = 4t, [latex ]y=\frac { 4 }{ t }[/latex]
हल-
दिया है, x = 4t तथा [latex ]y=\frac { 4 }{ t }[/latex]
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
हल-
दिया है, x = cosθ – cos 2θ तथा y = sin θ – sin 2θ
x = cos θ – cos 2θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cosθ)
हल-

प्रश्न 7

हल-

प्रश्न 8

हल-

प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
हल-
दिया है, x = a sec θ तथा y = b tan θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a(sin θ – θcos θ)
हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्नावली 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल-
माना y = x² + 3x + 2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, [latex s=2]\frac { dy }{ dx }=2x+3[/latex]
दोनों पक्षों का पुन: x में सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
x²⁰
हल-
माना y = x²⁰
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
x cos x
हल-
माना y = x cos x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
log x
हल-
माना y = log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

दोनों पक्षों को पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x³ log x
हल-
माना y = x³ log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 2x + 3x + 6x log x
= 5x + 6x log x
= x (5 + 6 log x)

प्रश्न 6.
e^x sin 5x
हल-
माना y = e^x sin 5x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
e^6x cos 3x
हल-
माना y = e^6x cos 3x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
tan^-1x
हल-
माना y = tan^-1x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
log (log x)
हल-
माना y = log (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
sin (log x)
हल-
माना y = sin (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
यदि y = 5 cos x – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि

हल-
दिया है, y = 5 cos x – 3 sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 12.
यदि y = cos^-1 x है तो [latex s=2]\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } [/latex] को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, y = cos^-1 x
⇒ x = cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15

हल-

प्रश्न 16

हल-

प्रश्न 17

हल-

प्रश्नावली 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x∈[-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल-

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x) = [x] के लिए x∈[-2,2]
(ii) f(x) = x² – 1 के लिए x∈[1,2]
हल-
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) = [x], x∈[-2, 2]
f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = (x² – 1), x∈[1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0,
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
चूँकि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f :[-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f ‘ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5).
हल-
दिया है, f:[-5, 5]→ R
f संतत है तथा अवकलनीय है लेकिन f” (x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है
(i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
f ‘(c) = 0 c ∈(a, b)
f ‘(c) ≠ 0
⇒ f(a) ≠ f(b)
f(- 5) ≠ f(5) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और  b = 4 है।
हल-
दिया है, (x) = x² – 4x – 3,[1,4] अन्तराल के लिए f एक बहुपदीय व्यंजक है। यह 1,4 में संतत तथा (1, 4) में अवकलनीय दोनों है।

प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f ‘(c) = 0 के लिए c∈(1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3] में f संतत है और (1, 3) में अवकलनीय है क्योकि यह बहुपदीय है।

प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल-
(i) f(x) = [x],
x∈[5,9]
दिये हुए अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii)
f(x) =[x], x ∈[-2, 2 ]
दिये हुए अन्तराल [-2, 2] में f बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = x² – 1, x ∈[1, 2]
यह एक बहुपदीय फलन है। यह अन्तराल [1,2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।

We hope the UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता) help you. If you have any query regarding UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता), drop a comment below and we will get back to you at the earliest.

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 Determinants (सारणिक) are part of UP Board Solutions for Class 12 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 Determinants (सारणिक)

Board	UP Board
Textbook	NCERT
Class	Class 12
Subject	Maths
Chapter	Chapter 4
Chapter Name	Determinants
Exercise	Ex 4.1, Ex 4.2, Ex 4.3, Ex 4.4, Ex 4.5, Ex 4.6
Number of Questions Solved	68
Category	UP Board Solutions

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 Determinants

प्रश्नावली 4.1

प्रश्न 1.
मान ज्ञात कीजिए ।

हल-

प्रश्न 2.
मान ज्ञात कीजिए

हल-
(i)

(ii)

= (x² – x + 1)(x + 1) – (x + 1) (x – 1)
= (x + 1)[x² – x + 1 – x + 1]
= (x + 1)(x² – 2x + 2)
= x³ – 2x² + 2x + x² – 2x + 2
= x³ – x² + 2

प्रश्न 3.
यदि [latex s=2]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}[/latex] तो दिखाइए कि |2A| = 4|A|
हल-
|A|= 1 x 2 – 4 x 2 = -6

प्रश्न 4.
यदि [latex s=2]A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] [/latex] हो तो दिखाइए कि |3A| = 27|A|
हल-
|A| = 1.(1 x 4 – 0 x 2) – 0 + 0 = 4

∴ बायाँ पक्ष = |3A| = 3 (3 x 12 – 0 x 6) – 0 + 0
= 108
= 27 x 4
= 27|A] = दायाँ पक्ष

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणिकों के मान ज्ञात कीजिए

हल-
(i) द्वितीय पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर,

प्रश्न 6.
यदि [latex s=2]A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{matrix} \right] [/latex], तो |A| ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर,

= [1 x (-9) – 4 x (-3)] – (1) [2x(-9) – 5x(-3)] + (-2)[2×4 – 5×1]
= 3 + 3 – 6
= 0

प्रश्न 7.
x के मान ज्ञात कीजिए।

हल-

प्रश्न 8.
यदि

हो तो x बराबर है
(A) 6
(B) ±6
(C) -6
(D) 0
हल-
दिया है,

दोनों ओर सारणिक का विस्तार करने पर,
x × x – 2 × 18 = 6 × 6 – 2 × 18
x² – 36 = 36 – 36
x² – 36 = 0
⇒ x² = 36
x = ±6
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्नावली 4.2

बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न 1 से 5 को सिद्ध कीजिए

प्रश्न 1.

हल-
बायाँ पक्ष = ∆

∵ यहाँ दो स्तम्भ (C1 = C3) बराबर है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.

हल-
माना बायाँ पक्ष = ∆

∵ यहाँ पहले स्तम्भ C1 के सभी अवयव शून्य हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.

हल-
माना बायाँ पक्ष =

∵ यहाँ तीसरे स्तम्भ C3 के सभी अवयव शून्य हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 4.

हल-

∵ यहाँ प्रथम स्तम्भ तथा तृतीय स्तम्भ (C1 = C3) बराबर हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.

हल-
माना


R2 और R3 में से -1 उभयनिष्ठ लेने पर इति सिद्धम्

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके प्रश्न 6 से 14 तक को सिद्ध कीजिए

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-
(i)

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.
यदि A एक 3×3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो |kA| का मान होगा
(A) k[A]
(B) k² |A|
(C) k³ |A|
(D) 3k|A |
हल –
| kA| को |A| के पद में व्यक्त करने पर

प्रश्न 16.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
(A) सारणिक एक वर्ग आव्यूह है।
(B) सारणिक एक आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
(C) सारणिक एक वर्ग आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल-
हम जानते हैं कि प्रत्येक n क्रम के वर्ग आव्यूह A = [a_ij] जहाँ a_ij = A का (ij) वा अवयव है, को किसी व्यंजक या संख्या के साथ संबद्ध किया जा सकता है जिसे सारणिक कहते हैं।
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्नावली 4.3

प्रश्न 1.
दिए गए शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(i) (1, 0), (6, 0), 4, 3)
(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8)
(iii) (-2, -3), (3, 2), (-1, – 8)
हल-
शीर्ष बिन्दुओं (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) से होकर जाने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दु A(a, b + c), B (b, c + a) और c(c, a + b) संरेख हैं।
हल-
ज्ञात है, त्रिभुज के शीर्ष A (a, b + c), B(b, c + a) और C (c, a + b)

प्रश्न 3.
प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है। जहाँ शीर्ष बिन्दु निम्नलिखित हैं।
(i) (k, 0), 4, 0), (0, 2)
(ii) (-2, 0), (0, 4), (0, k)
हल-

प्रश्न 4.
(i) सारणिकों का प्रयोग करके (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(ii) सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली रेखा को समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
(i) माना कोई बिन्दु (x, y) है।
इसलिए त्रिभुज के शीर्ष (x, y), (1, 2), (3,6) होंगे।

(ii) माना बिन्दुओं A(3, 1) और B(9, 3) को मिलाने वाली रेखा पर बिन्दु P(x, y) है। तब बिन्दु A, P और B संरेख हैं।
∴ क्षेत्रफल (∆APB) = 0

प्रश्न 5.
यदि शीर्ष (2,-6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो तो k का मान है|
(a) 12
(b) -2
(c) -12,-2
(d) 12,-2
हल-
दिया है, त्रिभुज के शीर्ष (2, -6), (5, 4) तथा (k, 4)

धनात्मक चिह्न लेने पर, 7 = 5 – k ⇒ k = 5 – 7 = – 2
ऋणात्मक चिह्न लेने पर, -7 = 5 – k ⇒ – 12 = – k ⇒ k = 12
अतः k = 12, -2
अत: विकल्प (d) सही है।

प्रश्नावली 4.4

निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड लिखिए।

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड ज्ञात कीजिए

हल-
(i) उपसारणिक M₁₁ = 3, M₁₂ = 0, M₂₁ = -4, M₂₂ = 2
तथा सहखण्ड A₁₁ = 3, A₁₂ = 0, A₂₁ = -(-4) = 4, A₂₂ = 2
(ii) उपसारणिक M₁₁ =d, M₁₂ = b, M₂₁ = c, M₂₂ = a
तथा सहखण्ड A₁₁ = d, A₁₂ = -b, A₂₁ = -c A₂₂ = a

प्रश्न 2.
निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड ज्ञात कीजिए

हल-

प्रश्न 3.
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके

का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दूसरी पंक्ति के सहखण्ड इस प्रकार होंगे

प्रश्न 4
तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके

का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
तीसरे स्तम्भ के सहखण्ड इस प्रकार होंगे

∆ = a₁₃ A₁₃ + a₂₃ A₂₃ + a₃₃ A₃₃
= yz(z – y) + zx(x – z) + xy (y – x)
= yz² – y²z + zx² – z²x + xy² – x²y
= zx² – x²y + xy² – z²x + yz² – y²z
= x²(z – y) + x(y – z)(y + z) + yz(z – y)
= (z – y)[x² – x(y + z) + yz]
= (z – y)[x² – xy – xz + yz]
= (z – y)[x(x – y) – z(x – y)]
= (z – y)(x – y)(x – z)
= (x – y)(y – z)(z – x)

प्रश्न 5
यदि

और a_ij का सहखण्ड A_ij हो तो Δ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है–
(a) a₁₁ A₃₁ + a₁₂ A₃₂ + a₁₃ A₃₃
(b) a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₂₁ + a₁₃ A₃₁
(c) a₂₁ A₁₁ + a₂₂ A₁₂ + a₂₃ A₁₃
(d) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
हल-
∆ = किसी पंक्ति अथवा स्तम्भ के अवयवों तथा उनके संगत महखण्डों के गुणन का योग
C₁ स्तम्भ के अवयव (a₁₁, a₂₁, a₃₁)
इनके सहखण्ड A₁₁, A₂₁, A₃₁
⇒ ∆ = a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
अत: विकल्प (d) सही है।

प्रश्नावली 4.5

प्रश्न 1 और 2 में प्रत्येक आव्यूह का सहखण्डज (adjoint) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3 और 4 में सत्यापित कीजिए कि A (adj A) = (adj A). A = |A|.I है।

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5 से 11 में दिए गए प्रत्येक आव्यूहों के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो ) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.
यदि [latex s=2]A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}[/latex] है तो दर्शाइए कि A² – 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 14.
आव्यू [latex s=2]A=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}[/latex] के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A² + aA + bI = 0 है।
हल-
प्रश्नानुसार,
A² + aA + bI = 0

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.
यदि A, 3×3 कोटि का आव्यूह है तो |adj A| का मान है|
(a) |A|
(b) |A|²
(c) |A|³
(d) 3|A|
हल-
चूँकि हम जानते हैं कि |adj A| = |A|^n-1 यहाँ n = 3
∴ |adj A| = |A|²
अत: विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 18.
यदि A कोटि 2 को व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो det (A^-1) बराबर है
(a) det (A)
(b) [latex s=2]\frac { 1 }{ det(A) }[/latex]
(c) 1
(d) 0
हल-

प्रश्नावली 4.6

निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 6 तक दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।

प्रश्न 1
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
हल-

प्रश्न 2
2x – y = 5
x + y = 4
हल-

प्रश्न 3
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
हल-

प्रश्न 4.
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4
हल-

प्रश्न 5
3x – y – 2z = 2
2y – z = – 1
3x – 5y = 3
हल-

प्रश्न 6
5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x – 2y + 6z = – 1
हल-

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 14 तक प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।

प्रश्न 7.
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
हल-
दिया हुआ समीकरण निकाय
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5

प्रश्न 8.
2x – y = – 2
3x + 4y = 3
हल-
दिया हुआ समीकरण निकाय
2x – y = – 2
3x + 4y = 3
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है अत: x = A^-1B

प्रश्न 9.
4x – 3y = 3
3x – 5y = 7
हल-

प्रश्न 10.
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
हल-

प्रश्न 11.
2x + y + z = 1
x – 2y – z = [latex]\frac { 3 }{ 2 }[/latex]
3y – 5z = 9
हल-

प्रश्न 12.
x – y + 2 = 4
2x + y – 3z = 0
x + y + z = 2
हल-
दिया हुआ समीकरण निकाय
x – y + 2 = 4
2x + y – 3z = 0
x+ y + z = 2
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है अतः x = A^-1B

प्रश्न 13.
2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + z = – 4
3x – y – 2z = 3
हल-

प्रश्न 14.
x – y + 2z = 7
3x + 4y – 5z = – 5
2x – y + 3z = 12
हल-

प्रश्न 15.
यदि [latex s=2]A=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix} \right] [/latex] है तो A^-1 ज्ञात कीजिए।
A^-1 का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए
2x – 3y + 5z = 11
3x + 2y – 4z = -5
x + y – 2z = -3
हल-

प्रश्न 16.
4 किग्रा प्याज, 3 किग्रा गेहूँ और 2 किग्रा चावल मूल्य Rs 60 है 2 किग्रा प्याज, 4 किग्रा गेहूँ और 6 किग्रा चावल का मूल्य Rs 90 है। 6 किग्रा प्याज, 2 किग्रा गेहूँ और 3 किग्रा चावल का मूल्य Rs 70 है। आव्यूह द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात कीजिए।
हल-
माना प्याज का मूल्य Rs प्रतिकिग्रा = x
गेहूं का मूल्य Rs प्रतिकिग्रा = y
चावल को मूल्य Rs प्रतिकिग्रा = z
तब दिये गये प्रतिबन्धों के अनुसार,
4x + 3y + 2z = 60;
2x + 4y + 6z = 90;
6x + 2y + 3z = 70
इस समीकरण निकाय को AX = B के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है।

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UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 Matrices (आव्यूह) are part of UP Board Solutions for Class 12 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 Matrices (आव्यूह)

Board	UP Board
Textbook	NCERT
Class	Class 12
Subject	Maths
Chapter	Chapter 3
Chapter Name	Matrices
Exercise	Ex 3.1, Ex 3.2, Ex 3.3, Ex 3.4
Number of Questions Solved	62
Category	UP Board Solutions

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 Matrices

प्रश्नावली 3.1

प्रश्न 1.
आव्यूह [latex ]A=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 35 \\ \sqrt { 3 } \end{matrix}\begin{matrix} \quad 5 \\ \quad -2 \\ \quad 1 \end{matrix}\quad \begin{matrix} 19 \\ 5/2 \\ -5 \end{matrix}\quad \begin{matrix} -7 \\ 12 \\ 17 \end{matrix} \right] [/latex] के लिए ज्ञात कीजिए
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃
हल-
(i) चूँकि आव्यूह में 3 पंक्ति तथा 4 स्तम्भ हैं।
∴ आव्यूह की कोटि = 3×4
(ii) आव्यूह में अवयवों की संख्या = पंक्तियों की संख्या ४ स्तम्भों की संख्या
= 3 x 4 = 12
(iii) अवयव a₁₃ = 19, a₂₁ = 35, a₃₃ = – 5, a₂₄ = 12, a₂₃ = [latex s=2]\frac { 5 }{ 2 }[/latex]

प्रश्न 2.
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं ? यदि इसमें 13 अवयव हों, तो कोटियाँ क्या होंगी?
हल-
24 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी।
1 x 24, 2 x 12, 3 x 8, 4 x 6, 6 x 4, 8 x 3, 12 x 2, 24 x 1
13 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी
1 x 13, 13 x 1

प्रश्न 3.
यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?
हल-
18 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी
1 x 18, 2 x 9, 3 x 6, 6 x 3, 9 x 2, 18 x 1
5 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी 1 x 5, 5 x 1

प्रश्न 4.
एक 2 x 2 आव्यूह A = [a_ij] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से दिए गए हैं।

हल-
एक 2×2 क्रम का आव्यूह होगा |

प्रश्न 5
एक 3×4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं

हल-
3×4 क्रम का आव्यूह होगा

प्रश्न 6
निम्नलिखित समीकरणों से x,y तथा z के मान ज्ञात कीजिए

हल-
प्रत्येक खण्ड में दिये गए दोनों आव्यूह समान हैं।
(i) दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
x = 1, y = 4, z = 3
(ii) दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
x + y = 6 …(1)
5 + z = 5 ⇒ z = 0 …(2)
xy = 8 …(3)
समी० (1) व (3) को हल करने पर, x = 4, y = 2 या x = 2, y = 4
∴ x = 4, y = 2, 3 = 0, या x = 2, y = 4, z = 0
(iii) दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
x + y + 2 = 9 …(1)
x + 2 = 5 …(2)
y + 2 = 7 …(3)
समी० (2) और समी० (3) को जोड़ने पर, (x + y + z) + z = 12
9 + z = 12 ⇒ z = 3
समी० (2) से, x + 3 = 5 ⇒ x = 2
तथा समी० (3) से, y + 3 = 7 = y =4
अतः x = 2, y = 4, z = 3

प्रश्न 7.
यदि

a,b,c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
हल-
आव्यूह युग्म समान हैं।
संगत अवयवों की तुलना करने पर,
2d + b = 4 …(1)
a – 2b = -3 …(2)
5c – d = 11 …(3)
4c + 3d = 24 …(4)
समी० (1) को 2 से गुणा करके (2) में जोड़ने पर,
5a = 5 ⇒ a = 1
a का मान समी० (1) में रखने पर,
2 x 1 + b = 4 ⇒ b = 4 – 2 = 2
समी० (3) को 3 से गुणा करके (4) में जोड़ने पर,
19c = 57 ⇒ c = 3
c का मान समी० (3) में रखने पर,
5 x 3 – d = 11 ⇒ d = 15 – 11 = 4
∴ a = 1, b = 2, c = 3, d = 4

प्रश्न 8.
A = [a_ij]_mxn एक वर्ग आव्यूह है यदि
(a) m < n
(b) m > n
(c) m = n
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
∵ वर्ग आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या के बराबर होती है।
∴ m = n
अत: विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 9.
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं ?

हल-
यदि आव्यूह युग्म समान है तब

प्रश्न 10. 3×3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
हल-
बहुविकल्पीय प्रश्नावली के प्रश्न 2 का हल देखें।

प्रश्नावली 3.2

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि

तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए
(i) A + B
(ii) A – B
(iii) 3A – C
(iv) AB
(v) BA
हल-

प्रश्न 2

हल-

प्रश्न 3.
निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए,

हल

प्रश्न 4.
यदि

तो (A + B) तथा (B – C) परिकलित कीजिए। साथ ही सत्यापित कीजिए कि A + (B – C) = (A + B) – C
हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.
सरल कीजिए

हल-

प्रश्न 7.

प्रश्न 8.
X ज्ञात कीजिए यदि [latex s=2]Y=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}[/latex] तथा [latex s=2]2X+Y=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}[/latex]
हल-
[latex s=2]2X+Y=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}[/latex] में Y का मान रखने पर,

प्रश्न 9.
(i) x तथा y ज्ञात कीजिए यदि [latex s=2]2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}[/latex]
(ii) x, y, z का मान ज्ञात कीजिए यदि [latex s=2]\begin{bmatrix} 3 & x \\ 4 & y \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 1.5 & 1 \\ z & 1 \end{bmatrix}[/latex]
हल-
(i) प्रश्नानुसार,

दोनों ओर संगत अवयवों की तुलना करने पर,
x = 2, y = 2, 2z = 4 ⇒ z = 2

प्रश्न 10.
दिये गये समीकरण को x,y,z तथा t के लिए हल कीजिए यदि

हल-
दिया गया समीकरण


∴ x = 3, y = 6, z = 9,t = 6

प्रश्न 11.
यदि [latex s=2]x\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right] +y\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix} \right] [/latex] है, तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 12.
यदि

x,y,z तथा w के मानों को ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.
देशइए कि

हल-

प्रश्न 15.
यदि [latex ]A=\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix} \right] [/latex] है तो A² – 5A + 6I का मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 16. यदि [latex ]A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix} \right] [/latex] है तो सिद्ध कीजिए कि A³ – 6A² + 7A + 2I = 0
हल-

प्रश्न 17.
यदि

एवं A² = kA – 2I हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रश्नानुसार, A² = kA – 2I

संगत अवयवों की तुलना करने पर,
3k – 2 = 1 या 3k = 3 ⇒ k = 1

प्रश्न 18.
यदि [latex ]A=\begin{bmatrix} 0 & \quad -tan\alpha /2 \\ tan\alpha /2 & \quad 0 \end{bmatrix}[/latex] तथा I कोटि का एक तत्समक आव्यूह है, तो सिद्ध कीजिए कि [latex ]I+A=(I-A)\begin{bmatrix} cos\alpha & \quad -sin\alpha \\ sin\alpha & \quad cos\alpha \end{bmatrix}[/latex]
हल-

प्रश्न 19.
किसी व्यापार संघ के पास Rs 30000 का कोष है, जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर 5% वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7% वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि Rs 30000 के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटें जिससे व्यापार संघ को प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज
(a) Rs 1800 हो।
(b) Rs 2000 हो।।
हल-
(a) माना 30000 के दो भाग क्रमश: Rs x तथा Rs (30000 – x) हैं।
आव्यूह A = [x (30000 – x)] से दर्शाते हैं।

प्रश्न 20.
किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विज्ञान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs 80, Rs 60 तथा Rs 40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी?
हल-
विद्यालय में पुस्तकों की संख्या
रसायन विज्ञान – 10 दर्जन = 120 पुस्तकें
भौतिक विज्ञान – 8 दर्जन = 96 पुस्तकें
अर्थशास्त्र – 10 दर्जन = 120 पुस्तकें
इसे आव्यूह A = [120 96 120] से प्रदर्शित करते हैं।
रसायन विज्ञान, भौतिक विज्ञान और अर्थशास्त्र की प्रत्येक पुस्तक का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs 80, Rs 60 तथा Rs 40 है।

प्रश्न 21.
PY + WY के परिभाषित होने के लिए n,k तथा p पर क्या प्रतिबन्ध होगा?
(a) k = 3, 2 = n
(b) k स्वेच्छ है, p = 2
(c) p स्वेच्छ है, k = 3
(d) k = 2, p = 3
हल-
दिया है, आव्यूह : X, Y, Z, W तथा P की कोटियाँ क्रमश: 2 × n,3 × k, 2 × p, n × 3, p × k हैं।
∴ P की कोटि = p × k तथा Y की कोटि = 3 × k
∴ PY संभव है यदि k = 3
PY की कोटि = p × k = p × 3
W और Y की कोटियाँ क्रमशः n × 3 और 3 × k = 3 × 3
∴ WY की कोटि = n × 3
PY व WY का योग तभी सम्भव है जब यह दोनों एक ही कोटि के हों
∴ p × 3 = n × 3 ⇒ p = n
∴ PY + WY परिभाषित हैं यदि p = n और k = 3
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 22.
यदि n = p, तो आव्यूह 7x – 5z की कोटि है
(a) p × 2
(b) 2 × n
(c) n × 3
(d) p × n
हल-
आव्यूह X तथा Z की कोटियाँ क्रमशः 2 × n और 2 × p हैं।
आव्यूह 7X – 5Z परिभाषित होगा यदि X तथा Z एक ही कोटि के हों, क्योंकि p = n दोनों की कोटि 2 × n है।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्नावली 3.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आव्यूहों में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए

हल-
पंक्तियों को स्तम्भों में तथा स्तम्भों को पंक्तियों में बदलने पर प्राप्त आव्यूह परिवर्त आव्यूह होंगे।

प्रश्न 2.

(i) (A + B)’ = A’ + B’
(ii) (A – B)’ = A’ – B’
हल-

प्रश्न 3.
यदि

(i) (A + B)’ = A’ + B’
(ii) (A – B)’ = A’ – B’
हल-

प्रश्न 4.
यदि

हैं, तो (A + 2B)’ ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 5.
A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)’ = B’A’, जहाँ

हल-

प्रश्न 6.

हल-
(i)

प्रश्न 7.
(i) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह [latex ]A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{matrix} \right] [/latex] एक सममित आव्यूह है।
(ii) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह [latex ]A=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix} \right] [/latex] एक विषम सममित आव्यूह है।
हल-

आव्यूह A विषम सममित है।

प्रश्न 8.
आव्यूह, [latex ]A=\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}[/latex] के लिए सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + A’) एक सममित आव्यूह है।
(ii) (A – A’) एक विषम सममित आव्यूह है।
हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए

हल-



प्रश्न संख्या 11 तथा 12 में सही उत्तर चुनिए

प्रश्न 11.यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB – BA एक
(A) विषम सममित आव्यूह है
(B) सममित आव्यूह है।
(C) शून्य आव्यूह है।
(D) तत्समक आव्यूह है।
हल-
चूँकि A और B समान कोटि की सममित आव्यूह है।

प्रश्न 12.
यदि [latex ]A=\begin{bmatrix} cos\alpha & \quad -sin\alpha \\ sin\alpha & \quad cos\alpha \end{bmatrix}[/latex] तथा A + A’ = I, तो α का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 3.4

प्रश्न संख्या 1 से 17 तक के आव्यूहों के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारम्भिक रूपान्तरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
[latex ]A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}[/latex]
हल-
दिया गया आव्यूह [latex ]A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}[/latex]
आव्यूह A को A = IA के रूप में लिखने पर,

प्रश्न 2.
[latex ]A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}[/latex]
हल :
प्रश्न 1 की भाँति स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 3.
[latex ]A=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}[/latex]
हल-
दिया गया आव्यूह [latex ]A=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}[/latex]
आव्यूह A को A = IA के रूप में लिखने पर, |

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.
हल-

प्रश्न 12.
[latex ]A=\begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}[/latex]
हल-

चूंकि पहली पंक्ति में दोनों अवयव शून्य हैं।
∴ A का व्युत्क्रम A^-1 का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 13

हल-

प्रश्न 14

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17

हल-

प्रश्न 18.
आव्यूह A तथा B एक-दूसरे के व्युत्क्रम होंगे केवल यदि
(A) AB = BA
(B) AB = BA = 0
(C) AB = 0, BA = I
(D) AB = BA = I
हल-
AB = BA = 1, केवल इस स्थिति में ही आव्यूह A और आव्यूह B एक-दूसरे के व्युत्क्रम होंगे। अत: विकल्प (D) सही है।

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UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन) are part of UP Board Solutions for Class 12 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन)

Board	UP Board
Textbook	NCERT
Class	Class 12
Subject	Maths
Chapter	Chapter 2
Chapter Name	Inverse Trigonometric Functions
Exercise	Ex 1.1, Ex 1.2
Number of Questions Solved	35
Category	UP Board Solutions

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions

प्रश्नावली 2.1

प्रश्न 1.
[latex s=2]{ sin }^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) [/latex] का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 2.
[latex s=2]{ cos }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) [/latex] का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
हल-
cos^-1 की मुख्य मान शाखा परिसर [0, π] है।

प्रश्न 3.
cosec^-1 (2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 4.
tan^-1 (-√3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 5.
[latex s=2]{ cos }^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) [/latex] का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
हल-
cos^-1 की मुख्य मान शाखा परिसर [0, π] है।

प्रश्न 6.
tan^-1(-1) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 7.
[latex s=2]{ sec }^{ -1 }\left( \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \right) [/latex] का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 8.
cot^-1(√3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
हल-
cot^-1 का मुख्य मान शाखा परिसर (0, π) है।

प्रश्न 9.
[latex s=2]cos^{ -1 }\left( \frac { -1 }{ \sqrt { 2 } } \right) [/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
cos^-1 का मुख्य मान शाखा परिसर [0, π] है।

प्रश्न 10.
cosec^-1 (-√2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 11.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 12.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 13.
यदि sin^-1 x = y, तो

हल-

प्रश्न 14.
tan^-1√3 – sec^-1(-2) का मान बराबर है

हल-

प्रश्नावली 2.2

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए–

प्रश्न 1.

हल-
माना sin^-1x = θ ∴ sin θ = x
पुनः sin 3θ = 3 sin³ θ – 4 sin० θ
⇒ sin 3θ = 3x – 4x³
⇒ 3θ = sin^-1(3x – 4x³)
∴ 3sin^-1x = sin^-1(3x – 4x³) इति सिद्धम्

प्रश्न 2.

हल-
माना cos^-1 x = θ ∴ cosθ = x
∴ cos 3θ = 4cos³θ – 3 cos θ
⇒ cos 3θ = 4x³ – 3x
⇒ 3θ = cos^-1(4x³ – 3x)
∴ 3cos^-1x = cos^-1(4x³ – 3x) इति सिद्धम्

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

निम्नलिखित फलनों को सरलतम रूप में लिखिए

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.
cot (tan^-1 a + cot^-1 a)
हल-
माना y = cot (tan^-1 a + cot^-1 a)

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-


प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-

प्रश्न 19.

हल-

प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.
tan^-1√3 – cot^-1(-√3) का मान है
(A) π
(B) [latex]-\frac { \pi }{ 2 } [/latex]
(C) 0
(D) 2√3
हल-

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