Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 11 Height and Distance Ex 11.2 ऊँचाई एवं दूरी
Ex 11.2 Height and Distance बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)
सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक ऊर्ध्वाधर खम्भे की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर है तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा-
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना सूर्य का उन्नयन (UPBoardSolutions.com) कोण = θ
दिया है, खम्भे की ऊँचाई AB = खम्भे की छाया BC
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 2.
50 मीटर ऊँची मीनार का पृथ्वी के किसी बिन्दु पर अवनमन कोण 30° है तब मीनार के आधार से उस बिन्दु की दूरी है-
(a) 25 मीटर
(b) 25[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
(c) 50[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
बिन्दु A पर बना अवनमन कोण = 30°
∠ PAC = ∠ACB = 30°
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 3.
एक खम्भे के शीर्ष के उन्नयन कोण A की स्पर्शज्या उसकी छाया की [latex]\frac{3}{4}[/latex] गुणा है। खम्भे की ऊँचाई तथा छाया की लम्बाई का अनुपात है-
(a) 3 : 4
(b) 4 : 3
(c) 2 : 3
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
प्रश्न 4.
एक झण्डा पताका के पाद से एक बिन्दु A, 50 मीटर की दूरी पर है यदि ∠ PAB = 60°, तो झण्डा पताका की ऊँचाई है-
(a) 25[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
(b) 25[latex] \sqrt{{2}} [/latex] मीटर
(c) 50[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
अतः विकल्प (c) सही है।
Ex 11.2 Height and Distance लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)
प्रश्न 5.
यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है तो सिद्ध कीजिए कि 15 मीटर ऊँचे खम्भे की छाया का अन्तर 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर होगा।
हलः
खम्भे की ऊँचाई PQ = 15 मीटर
माना QR = x मीटर
RS = y मीटर
∴ खम्भे की छाया की लम्बाई (UPBoardSolutions.com) में अन्तर y = 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर इति सिद्धम्
प्रश्न 6.
एक 5 मीटर ऊँचे बिजली के खम्भे के पाद से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° तथा खम्भे के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2003]
हलः
माना BQ = AM = x मीटर तथा PM = y मीटर
AB = MQ = 5 मीटर
प्रश्न 7.
दो बिन्दुओं A व B जो मीनार के आधार से क्रमश: 100 मीटर व 25 मीटर की दूरी पर है। एक ही क्षैतिज रेखा में हैं तथा कोटिपूरक हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ∠ PAQ = 0
कोटिपूरक कोण (UPBoardSolutions.com) ∠PBQ = 90° – θ
माना मीनार की ऊँचाई PQ = h मीटर
∴ मीनार की ऊँचाई h = 50 मीटर
प्रश्न 8.
क्षैतिज तल पर खडे एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शीर्ष का उसी तल पर स्थित बिन्दु O से उन्नयन कोण 15° है। मीनार की ओर 80 मीटर चलने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2006, 11]
हलः
माना AB मीनार की ऊँचाई १ मीटर है। (UPBoardSolutions.com) बिन्दु 0 से शीर्ष पर 15° का कोण बनता है।
OP = 80 मीटर
माना PB = x मीटर
प्रश्न 9.
क्षैतिज समतल के किसी बिन्दु से उसी समतल में स्थित एक टीले की चोटि का उन्नयन कोण θ है। उस बिन्दु से ϕ के कोण पर टीले की चोटी की ओर k दूरी तय करने के उपरान्त टीले का उन्नयन कोण α हो जाता है। सिद्ध कीजिए कि टीले की ऊँचाई [latex]\frac{k(\cos \phi-\sin \phi \cot \alpha)}{(\cot \theta-\cot \alpha)}[/latex] है।[UP 2007]
हलः
माना बिन्दु O से टीले की चोटी B का उन्नयन कोण θ है जबकि B के ठीक नीचे बिन्दु A है।
∠AOB = θ
∠AOC = ϕ
OC = k ?
बिन्दु C से AB तथा OA (UPBoardSolutions.com) पर क्रमशः लम्ब CD तथा CE डाले।
∠DCB = α
टीले की ऊँचाई AB = h
समकोण ∆OEC में,
प्रश्न 10.
एक वृक्ष का ऊपरी भाग हवा से टूटकर भूमि से जा लगा है तथा भूमि से 45° माप का कोण बनाता है। वृक्ष की जड़ से उस बिन्दु की दूरी जहाँ वृक्ष का शीर्ष भूमि को छूता है, 6 मीटर हो तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2008]
हलः
माना वृक्ष PAQ का ऊपरी भाग AP, हवा (UPBoardSolutions.com) से बिन्दु A पर टूटकर AO स्थिति ग्रहण कर लेता है, अर्थात् वृक्ष का शिखर P, भूमि को बिन्दु O पर छूता है।
∴ OA = AP
OQ = 6 मीटर
∠QOA = 45°
माना AQ = x मीटर, OA = y मीटर
समकोण ∆OQA में,
∴ वृक्ष की ऊँचाई = PA + AQ = x + y
= 6 + 6[latex] \sqrt{{2}} [/latex] = 6 (1 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex])
= 6 (1 + 1.414) = 6 (2.414) = 14.48 मीटर
प्रश्न 11.
दो मीनारों के बीच की दूरी 140 मीटर है। दूसरी मीनार के शीर्ष से देखने पर प्रथम मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। यदि दूसरी मीनार की ऊँचाई 60 मीटर है, तो प्रथम मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। NCERT; UP 2010]
हलः
PM = QB = 140 मीटर
माना AM = x मीटर
MB = PQ = 60 मीटर
प्रश्न 12.
सूर्य के प्रकाश में 45 मीटर ऊँची मीनार की छाया 4573 मीटर है तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए। [UP 2004,01]
हलः
समकोण ∆ ABC में, (UPBoardSolutions.com)
प्रश्न 13.
60 मीटर ऊँचे पहाड़ की चोटि से एक मीनार के शीर्ष तथा आधार के अवनमन कोण 30° व 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2006]
हलः
माना मीनार की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई AB = h मीटर
तथा BQ = AM = x मीटर
समकोणं ∆PAM में,
tan30° = [latex]\frac{P M}{x}[/latex]
प्रश्न 14.
एक अपूर्ण मन्दिर के आधार से 30 मीटर क्षैतिज दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से मन्दिर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है तो ज्ञात कीजिए कि मन्दिर को कितना ऊँचा और बनाया जाये कि उसी बिन्दु पर मन्दिर के नये शिखर का उन्नयन कोण 60° हो जाये। ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.732) [UP 2009]
हलः
माना मन्दिर को h ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) तक ऊपर उठाया जाए।
∴ PR = h मीटर
माना PQ = x मीटर
समकोण ∆PQA में,
प्रश्न 15.
क्षैतिज तल पर स्थित एक बिन्दु से किसी ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की चोटी के उन्नयन कोण की माप θ है। स्तम्भ की ओर a दूरी बढ़ने पर उन्नयन कोण 45° तथा पुनः b दूरी बढ़ने पर वह (90° – θ) हो जाता है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2011]
हलः
माना स्तम्भ की ऊँचाई = h
SR = a, MS = b, QM = x (माना)
समकोण ∆ PQM में,
प्रश्न 16.
सड़क के एक ओर एक मीनार तथा दूसरी ओर एक मकान स्थित है। मीनार के शीर्ष से मकान के शीर्ष तथा आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हैं। यदि मकान की ऊँचाई 10 मीटर है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2005]
हलः
माना MQ = NR = x मीटर
मकान की ऊँचाई MN (UPBoardSolutions.com) = 10 मीटर
मीनार की ऊँचाई PR = h मीटर
MN = QR = 10 मीटर
∴ PQ = PR – QR
= (h -10) मीटर
प्रश्न 17.
किसी बिन्दु पर एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण की स्पर्शज्या [latex]\frac{5}{3}[/latex] है। मीनार की ओर 32 मीटर चलने पर शिखर के उन्नयन कोण की स्पर्श [latex]\frac{5}{2}[/latex] हो जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2011]
हलः
Ex 11.2 Height and Distance दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)
प्रश्न 18.
एक वायुयान, जो 1200 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। दो जलयान, जो एक ही दिशा में है, अपनी ओर आते हुए पाता है। जलयानों के अवनमन कोण क्रमश: 60° व 30° हैं। जलयानों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 19.
100 मीटर चौडी सड़क के दोनों ओर एक समान ऊँचाई के दो खम्भे हैं। सड़क पर स्थित किसी बिन्दु से खम्भों के शीर्षों के उन्नयन कोण 60° व 30° हैं। उस बिन्दु की स्थिति तथा खम्भों की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दोनों खम्भों की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई = h मीटर
QT = x मीटर
∴ TS = (100 – x) मीटर
समी० (2) में समी० (1) से h का मान रखने पर
100 – x = 13([latex] \sqrt{{3}} [/latex]x)
100 – x = 3x
100 = 3x + x ⇒ 100 = 4x
x = [latex]\frac{100}{4}[/latex] ⇒ x = 25 मीटर
∴ बिन्दु T, पहले खम्भे से 25 मीटर तथा दूसरे खम्भे से (100 – 25) = 75 मीटर दूर स्थित होगा। समीकरण (1) में x का मान रखने पर
h = [latex] \sqrt{{3}} [/latex]x = 13 x 25 = 2513 मीटर
∴ खम्भों की ऊँचाई = 25[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
प्रश्न 20.
एक 60 मीटर ऊँचे भवन से एक मीनार के शीर्ष एवं आधार के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
भवन MN की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) = 60 मीटर
माना मीनार PQ की ऊँचाई = h मीटर
∠MPT = 30°, ∠ MQN = 60°
समकोण ∆MTP में,
प्रश्न 21.
क्षैतिज पर एक बिन्दु जो मीनार के पाद से 40 मीटर दूर स्थित है, उस पर मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार के ऊपर रखे टैंक का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई तथा टैंक की गहराई ज्ञात कीजिए। [NCERT]
हलः
माना मीनार की ऊँचाई PQ = h मीटर
तथा टैंक की ऊँचाई TP = x मीटर
समकोण ∆ PQM में,
प्रश्न 22.
15 मीटर ऊँचे भवन के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है तथा भवन के पाद से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। तब मीनार की ऊँचाई तथा भवन से मीनार की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः
भवन की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) AB = 15 मीटर
मीनार की ऊँचाई PQ = h मीटर
माना AM = BQ = x मीटर
∵ AB = MQ = 15 मीटर
PM = PQ – MQ = h – 15 मीटर
समकोण ∆ AMP में,
प्रश्न 23.
एक ऊर्ध्वाधर मीनार के ऊपरी सिरे पर 5 मीटर लम्बा एक झण्डे का डण्डा लगा है। मीनार के पाद के क्षैतिज तल के एक बिन्दु से झण्डे के निचले तथा ऊपरी सिरों के उन्नयन कोण 30° व 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना मीनार BP की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) = h मीटर, QP = x मीटर
तथा AB = 5 मीटर
प्रश्न 24.
एक लड़का जमीन पर खडे होकर पतंग उड़ा रहा है। जिसकी डोरी 100 मीटर लम्बी तथा उन्नयन कोण 30° है। दूसरा लड़का 10 मीटर ऊँचे एक मकान की छत पर खड़ा होकर पतंग उड़ा रहा है। जिसका उन्नयन कोण 45° है। दोनों लड़के पतंगों के विपरीत ओर खड़े हैं। पहली पतंग से लड़ाने के लिए दूसरी पतंग की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
दोनों लड़के क्रमशः (UPBoardSolutions.com) B व P पर स्थित हैं।
समकोण ∆ ABC में,
प्रश्न 25.
एक प्रकाश गृह के शीर्ष से दो जलयानों के अवनमन कोण 45° व 30° पूर्व की ओर हैं। यदि जलयानों के बीच की दूरी 200 मीटर है तो प्रकाश गृह की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना प्रकाश गृह की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई PQ = h मीटर
QA = x मीटर
∴ प्रकाश गृह की ऊँचाई h = 273.2 मीटर
प्रश्न 26.
एक जलयान की छत पर जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊपर है, एक व्यक्ति का किसी पहाड़ी के शीर्ष से उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के तल का अवनमन कोण 30° देखता है। पहाड़ी की जलयान से दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पहाड़ी की ऊँचाई = h मीटर व AB = MQ = 10 मीटर
पुनः . माना BQ = AM = x मीटर
समकोण ∆ PAM में, (UPBoardSolutions.com)
समीकरण (1) में x का मान रखने पर
[latex] \sqrt{{3}} [/latex] × 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = h – 10
30 = h – 10 (UPBoardSolutions.com)
30 + 10 = h
h = 40 मीटर
∴ पहाड़ी की जलयान से दूरी = 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex]मीटर
तथा पहाड़ी की ऊँचाई = 40 मीटर