Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 11 Height and Distance Ex 11.3

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 11 Height and Distance Ex 11.3 ऊँचाई एवं दूरी

प्रश्न 1.
15 मीटर ऊँची एक इमारत के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। तथा इस इमारत के पाद से उस मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई तथा इमारत व मीनार के बीच की दूरी  ज्ञात कीजिए। [[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.732]
हलः
माना, मीनार की ऊँचाई BC = h मीटर
तथा इमारत व मीनार (UPBoardSolutions.com) के बीच की दूरी AB = x मीटर
तब, समकोण ∆ ABC में,
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x का मान समी० (1) में रखने पर,
h = [latex] \sqrt{{3}} [/latex] × 12.99
= 1.732 × 12.99 = 22.5
अतः मीनार की ऊचाई = 22.5 मीटर तथा इमारत व मीनार के बीच की दूरी = 12.99 मीटर

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प्रश्न 2.
पानी की सतह से 16 मीटर ऊपर एक जहाज की छत पर खड़े एक व्यक्ति का एक पहाड़ी के शीर्ष एवं पाद से उन्नयन कोण एवं अवनमन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। पहाड़ी की ऊँचाई व उसकी जहाज से दूरी ज्ञात कीजिए। [[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.732]
हलः
माना पहाड़ी की ऊँचाई BE = h मीटर
तथा पहाड़ी से जहाज (UPBoardSolutions.com) की दूरी AB = x मीटर
समकोण ∆ABC में,
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तथा x = 16[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 16 × 1.732 = 27.71
अतः पहाड़ी की ऊँचाई = 64 मीटर तथा पहाड़ी से मीनार की दूरी = 27.71 मीटर

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प्रश्न 3.
समुद्र तल से 100 मीटर ऊँचे प्रकाश ग्रह के शिखर से प्रकाश ग्रह की ओर जाते हुए जहाज का अवनमन कोण 30° से बढ़कर 60° हो जाता है। निरीक्षण काल में जहाज द्वारा तय की गयी दूरी ज्ञात कीजिए। [[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.732]
हल:
माना निरीक्षण काल में (UPBoardSolutions.com) जहाज द्वारा तय की गई दूरी
AD = x मीटर
तथा DB = y मीटर
समकोण ∆DBC में,
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अतः निरीक्षण काल में जहाज द्वारा तय की गई दूरी = 115.47 मीटर

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प्रश्न 4.
एक प्रकाश स्तम्भ के एक ओर दो जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 30° हैं। यदि दोनों जहाजों के बीच की दूरी 200 मीटर है तो प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना प्रकाश स्तम्भ (UPBoardSolutions.com) की ऊँचाई BC = h मीटर
तथा BD = x मीटर
समकोण ∆DBC में,
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अतः प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई = 273.2 मीटर

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प्रश्न 5.
एक मीनार के शीर्ष से सतह पर एक बिन्दु A से उन्नयन कोण 30° है। मीनार के पाद की ओर 20 मीटर चलने पर प्राप्त बिन्दु B से यह उन्नयन कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई तथा इसकी बिन्दु A से दूरी  ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, मीनार की ऊँचाई CD = h मीटर
तथा BC = x मीटर (UPBoardSolutions.com)
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अतः मीनार की ऊँचाई = 17.32 मीटर
तथा बिन्दु A से मीनार (UPBoardSolutions.com) की दूरी = x + 20 = 10 + 20 = 30 मीटर

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प्रश्न 6.
7 मीटर ऊँची एक इमारत के शीर्ष से, एक केबल टॉवर के शीर्ष पर उन्नयन कोण 60° है तथा टॉवर के पाद पर अवनमन कोण 30° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना टॉवर की ऊँचाई BC = h मीटर
तथा AB = x (UPBoardSolutions.com) मीटर
समकोण ∆ABD में,
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प्रश्न 7.
एक हवाई जहाज 210 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। किसी क्षण नदी के दोनों किनारों पर विपरीत दिशा में स्थित है दो बिन्दुओं से हवाई जहाज के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हैं। नदी की चौडाई ज्ञात कीजिए। [[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.73]
हलः
माना, नदी की चौड़ाई AD = x मीटर तथा BD = y मीटर
समकोण ∆DBC में, (UPBoardSolutions.com)
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समी० (1) से y का मान समी० (2) में रखने पर,
x – 70[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 210
x = 210 + 70[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
= 210 + 70 × 1.73
= 210 + 121.1 = 331.1 (UPBoardSolutions.com)
अतः नदी की चौड़ाई = 331.1 मीटर

प्रश्न 8.
सतह से 60 मीटर ऊपर एक घर की खिडकी का विपरीत दिशा में स्थित दसरे घर के शीर्ष व पाद से उन्नयन व अवनमन कोण क्रमशः 60° व 45° हैं। सिद्ध कीजिए कि विपरीत दिशा में स्थित घर की ऊँचाई 60(1 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex]) मीटर है।
हलः
माना, घर की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई AE = h मीटर तथा AB = x मीटर
समकोण ∆ ABC में,
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समी० (1) से x का मान समी० (2) में रखने पर,
60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = h – 60
60 + 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = h
h = 60 (1 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex])
अतः घर की ऊँचाई = 60 (1 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex]) मीटर इति सिद्धम्

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प्रश्न 9.
दो स्तम्भों के बीच क्षैतिज दूरी 15 मीटर है। एक स्तम्भ के शीर्ष से दूसरे स्तम्भ के शीर्ष पर अवनमन कोण 30° है। यदि दूसरे स्तम्भ की ऊँचाई 24 मीटर है तो पहले स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पहले स्तम्भ की ऊँचाई AD = h मीटर
समकोण ∆ ABC में,
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अतः पहले स्तम्भ की ऊँचाई 15.34 मीटर है।

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प्रश्न 10.
एक प्रकाश स्तम्भ के शीर्ष व पाद से 60 मीटर ऊँची एक इमारत के शीर्ष पर उन्नयन व अवनमन कोण क्रमशः 30° व 60° हैं। निम्न के मान ज्ञात कीजिए-
(i) इमारत व प्रकाश स्तम्भ  की ऊँचाईयों का अन्तर
(ii) इमारत व प्रकाश स्तम्भ के बीच की दूरी।
हलः
माना, प्रकाश स्तम्भ (UPBoardSolutions.com) की ऊँचाई AD = h मीटर
तथा AB = x मीटर
समकोण ∆ABC में,
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समी० (1) से x का मान समी० (2) में रखने पर,
[latex] \sqrt{{3}} [/latex] h = 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 20[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
[latex] \sqrt{{3}} [/latex] h = 40[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
h = 40
तथा x = 20[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
= 20 × 1.732 = 34.64
अतः (i) इमारत व प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाइयों का अन्तर = 60 – 40 = 20 मीटर
(ii) इमारत व प्रकाश स्तम्भ के बीच की दूरी = 34.64 मीटर

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प्रश्न 11.
एक चिमनी के शीर्ष से एक स्तम्भ के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° हो जाता है तथा चिमनी के पाद से, स्तम्भ के शीर्ष का अवनमन कोण 45° है। यदि स्तम्भ की ऊँचाई 40 मीटर है तो चिमनी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, चिमनी की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) AE = h मीटर तथा AB = x मीटर
समकोण ∆ABC में,
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समी० (1) से x का मान समी० (2) में रखने पर,
[latex] \sqrt{{3}} [/latex] × 40 = h – 40
1.73 × 40 = h – 40
69.28 + 40 = h
h = 109.28 मीटर
अतः चिमनी की ऊँचाई = 109.28 मीटर

प्रश्न 12.
200 मीटर ऊँची एक पहाड़ी के शीर्ष से एक स्तम्भ के शीर्ष एवं पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 60° हैं। स्तम्भ की ऊँचाई तथा उसकी पहाड़ी से दूरी ज्ञात कीजिए। ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.73)
हलः
माना स्तम्भ की ऊँचाई AD = h मीटर
तथा स्तम्भ की पहाड़ी से दूरी AB = x मीटर
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अतः स्तम्भ की ऊँचाई = 133.33 मीटर तथा स्तम्भ से पहाड़ी की दूरी = 115.33 मीटर

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प्रश्न 13.
एक टॉवर के दक्षिण में स्थित एक बिन्दु A पर टॉवर के शीर्ष से उन्नयन कोण α तथा पूर्व में स्थित बिन्दु B से उन्नयन कोण β है। यदि AB = d, तब सिद्ध कीजिए कि टॉवर की ऊँचाई [latex]\frac{d}{\sqrt{\cot ^{2} \alpha+\cot ^{2} \beta}}[/latex] है।
हलः
माना टॉवर की ऊँचाई OP = h है। जिसके दक्षिण में
बिन्दु A तथा पूर्व में बिन्दु (UPBoardSolutions.com) B हैं।
तथा ∠OAP = α व ∠OBP = β
दिया है, AB = d
अत: ∆OAP में,
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प्रश्न 14.
एक इमारत में सतह से 10 मीटर की ऊँचाई पर एक खिडकी है। सतह पर स्थित एक बिन्दु P पर खिड़की से अवनमन कोण 30° है। इमारत के शीर्ष से इस बिन्दु P का उन्नयन कोण 60° है। इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, इमारत की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) QS = h मीटर तथा PQ = x मीटर
समकोण ∆PQR में,
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समी० (1) से x का मान समी० (2) में रखने पर,
h = [latex] \sqrt{{3}} [/latex] × 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 30
अतः इमारत की ऊँचाई = 30 मीटर

प्रश्न 15.
जमीन.पर एक बिन्दु A से एक जेट फाइटर का उन्नयन कोण 60° है। 10 सेकण्ड की उड़ान के बाद यह उन्नयन कोण 30° हो जाता है। यदि जैट 648 किमी/घण्टा की चाल से उड़ रहा है तो अचर ऊँचाई ज्ञात कीजिए। जिस पर जैट उड़ रहा हैं।
हल:
माना, जैट की अचर ऊँचाई BC = DE = h मीटर
तथा AB = x मीटर
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अतः जैट की अचर ऊँचाई = 1558.8 मीटर

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प्रश्न 16.
बादलों से एक झील पर स्थित बिन्दु पर उन्नयन कोण α है तथा इसकी झील में परछाई का अवनमन कोण β है। सिद्ध कीजिए कि बादलों से निरीक्षण बिन्दु के बीच की दूरी [latex]\frac{2 h \sec \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}[/latex] हैं।
हलः
समकोण ∆PQR में, (UPBoardSolutions.com)
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प्रश्न 17.
एक प्रकाश स्तम्भ के शीर्ष से उसके विपरीत दिशाओं में दो जहाजों के अवनमन कोण α व β हैं। यदि प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई h मीटर है तथा जहाजों को मिलाने वाली रेखा प्रकाश स्तम्भ के तल से होकर जाती है। तो सिद्ध कीजिए कि दोनों जहाजों के बीच की दरी [latex]\frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta}[/latex] है।
हलः
माना, दोनों जहाजों के बीच (UPBoardSolutions.com) की दूरी AD = x मीटर
तथा AB = y मीटर
समकोण ∆ABC में,
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प्रश्न 18.
समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे प्रकाश स्तम्भ के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 45° हैं। यदि प्रकाश स्तम्भ के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, दोनों जहाजों की बीच (UPBoardSolutions.com) की दूरी AB = x मीटर
तथा BC = y मीटर
समकोण ∆BCD में,
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[latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{60}{x+y}[/latex]
x+ y = 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] …(2)
समी० (1) से y का मान समी० (2) में रखने पर,
x + 60 = 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
x = 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 60 = 60 ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 1)
अतः दोनों जहाजों के बीच की दूरी = 60 ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] -1) मीटर

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प्रश्न 19.
एक हवाई जहाज कुछ ऊँचाई से अपने बायें व दायें एक नदी में दो जहाजों से अवनमन कोण 30° व 45° पाता है। यदि दोनों जहाजों के बीच की दूरी 100 मीटर हो तो हवाई जहाज किस ऊँचाई पर उड रहा है?
हलः
माना, हवाई जहाज की ऊँचाई BD = h मीटर
तथा BC = x मीटर
समकोण ∆DBC में,
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अतः हवाई जहाज की ऊँचाई = 36.6 मीटर

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प्रश्न 20.
एक पहाडी के शीर्ष से मीनार के पाद पर उन्नयन कोण 60° है तथा मीनार के शीर्ष से, पहाडी के पाद पर उन्नयन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है तो पहाडी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, पहाड़ी की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) AE = h मीटर तथा AB = x मीटर
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अतः पहाड़ी की ऊँचाई 150 मीटर है।

प्रश्न 21.
एक नदी के किनारे खड़ा एक व्यक्ति देखता है कि दूसरे किनारे पर ठीक उसके सामने खड़े एक वृक्ष का उन्नयन कोण 60° है। जब वह व्यक्ति किनारे से 40 मीटर दूर जाता है तो वृक्ष का उन्नयन कोण 30° हो जाता है। वृक्ष की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना वृक्ष की ऊँचाई CD = h मीटर
तथा नदी की चौड़ाई BC = x मीटर
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x का मान समी० (1) में रखने पर,
h = 20[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 20 × 1.732
h = 34.64 मीटर
अतः वृक्ष की ऊँचाई = 34.64 मीटर तथा नदी की चौड़ाई = 20 मीटर

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प्रश्न 22.
क्षैतिज तल पर स्थित एक लम्बवत् मीनार के शीर्ष पर एक ध्वज दण्ड लगा है। मीनार के पाद से 9 मीटर दूर स्थित बिन्दु से ध्वज दण्ड़ के शीर्ष एवं पाद पर उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। मीनार व ध्वज दण्ड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, मीनार की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) BC = h मीटर
तथा ध्वज दण्ड की ऊँचाई CD = x मीटर
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अतः मीनार की ऊँचाई = 3[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर तथा ध्वजदण्ड की ऊँचाई = 6[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर

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प्रश्न 23.
एक सीधे क्षैतिज सड़क के लम्बवत् एक हवाई जहाज से सतह पर स्थित दो क्रमागत मील के पत्थरों (जो जहाज के विपरीत दिशा में है) से अवनमन कोण क्रमशः α व β हैं। सिद्ध कीजिए कि सड़क से ऊपर हवाई जहाज की ऊँचाई [latex]\frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \beta}[/latex] मील होगी।
हलः
माना, हवाई जहाज की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) BC = h मील
तथा AB = x मील
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