Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 13 Surface Area and Volumes Ex 13.1

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 13 Surface Area and Volumes Ex 13.1 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

प्रश्न 1.
तीन घनों, जिनकी भुजाएँ क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी हैं, से एक घन बनायें तथा नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी ज्ञात करें।
हलः
माना नये घन की भुजा = a सेमी
तथा दिये गये तीन घनों की भुजायें a1 = 3 सेमी, a2 = 4 सेमी तथा a3 = 5 सेमी हैं।
तब, नये घन का (UPBoardSolutions.com) आयतन = तीनों घनों का आयतन
a3 = a13 + a23 + a33
a3 = (3)3 + (4)3 + (5)3
a3 = 27 + 64 +125
a3 = 216
a3 = (6)3
a = 6 सेमी
नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2 = 6 × (6)2 = 6 × 36 = 216 सेमी2

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प्रश्न 2.
53 सेमी × 40 सेमी × 15 सेमी आकार का एक ठोस घनाभ पिघलाया जाता है तथा उससे बेलनाकार पाईप बनाये जाते हैं जिनका बाह्य एवं आन्तरिक व्यास क्रमशः 8 सेमी तथा 7 सेमी हैं। पाईप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
ठोस घनाभ की मापे, लम्बाई l = 53 सेमी, चौड़ाई b = 40 सेमी तथा ऊँचाई h = 15 सेमी
बेलनाकार पाईप का बाह्य तथा आन्तरिक व्यास क्रमशः 8 सेमी तथा 7 सेमी
तब R = [latex]\frac{8}{2}[/latex] = 4 = सेमी, r = [latex]\frac{7}{2}[/latex] = 3.5 सेमी
माना, पाईप की लम्बाई l सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार, बेलनाकार पाईप का (UPBoardSolutions.com) आयतन = ठोस घनाभ का आयतन
π(R2 – r2)l = l × b × h
[latex]\frac{22}{7}[/latex] (4)2 – (3.5)2] × l = 53 × 40 × 15
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प्रश्न 3.
5.5 सेमी × 10 सेमी × 14 सेमी के एक घनाभ को पिघलाकर 1.75 सेमी व्यास तथा 2 मिमी मोटाई के कितने सिक्के बनाये जाते हैं?
हलः
घनाभ का आयतन = 5.5 × 10 × 14 = 770 सेमी3
सिक्के का व्यास = 1.75 सेमी
सिक्के की त्रिज्या r = [latex]\frac{1.75}{2}[/latex] सेमी
सिक्के की मोटाई h = 2 मिमी = [latex]\frac{2}{10}[/latex] = 0.2 सेमी
तब, एक सिक्के का आयतन = πr2h
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प्रश्न 4.
11 डेकामी × 1 मी × 5 डेकामी  आकार की एक धातु की शीट से 5 सेमी व्यास की कितनी गोलियाँ बनायी जा सकती हैं?
हलः
धातु का आयतन = 11 डेकामी × 1 मीटर × 5 डेकामी
= 11 × 10 सेमी × 1 × 100 सेमी × 5 × 10 सेमी
= 110 × 100 × 50 = 550000 सेमी3
तथा गोली का व्यास = 5 (UPBoardSolutions.com) सेमी
तब गोली की त्रिज्या r = [latex]\frac{5}{2}[/latex] सेमी
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प्रश्न 5.
दो घनों जिनमें प्रत्येक की भुजा 10 सेमी है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक घनाभ बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
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दो घनों जिनमें प्रत्येक भुजा = 10 सेमी है।
तब, घनाभ की लम्बाई l = 10 +10 = 20 सेमी
चौड़ाई b = 10 सेमी तथा (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई h = 10 सेमी
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(20 × 10 + 10 × 10 + 10 × 20)
= 2(200 + 100 + 200) = 2 × 500 = 1000 सेमी2

प्रश्न 6.
2.2 डेकामी घन धातु से 0.25 सेमी व्यास का एक तार खींचा जाता है। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
तार का व्यास = 0.25 सेमी तब तार की त्रिज्या r = [latex]\frac{0.25}{2}[/latex] सेमी
माना, तार की लम्बाई = h सेमी
तब, प्रश्नानुसार, धातु का आयतन = 2.2 डेकामी घन
= 2.2 × 10 × 10 × 10 घन सेमी = 2200 घन सेमी
∵ धातु में से तार बनाया जाता है।
∴ तार का आयतन = घातु का आयतन
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प्रश्न 7.
तीन घनों, जिनमें प्रत्येक की भुजा 5 सेमी है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक घनाभ बनाया जाता है। इससे प्राप्त धनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
तीन घनों, जिनमें प्रत्येक की (UPBoardSolutions.com) भुजा = 5 सेमी
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तब, घनाभ की मांपें क्रमशः
लम्बाई l = 5 + 5 + 5 = 15 सेमी, चौड़ाई b = 5 सेमी तथा ऊँचाई h = 5 सेमी
अतः घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(15 × 5 + 5 × 5 + 5 × 15)
= 2(75 + 25 + 75)
= 2 × 175 = 350 सेमी2

प्रश्न 8.
2 सेमी व्यास के ठोस बेलन की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिससे 16 सेमी लम्बाई, बाह्य व्यास 20 सेमी तथा मोटाई 2.5 मिमी से एक खोखला बेलन बनाया जा सके।
हलः
माना, ठोस बेलन की लम्बाई । सेमी है।
ठोस बेलन का व्यास = 2 सेमी
ठोस बेलन की त्रिज्या r = [latex]\frac{2}{2}[/latex] = 1 सेमी
खोखले बेलन की लम्बाई H = 16 सेमी
खोखले बेलन का बाह्य व्यास (UPBoardSolutions.com) = 20 सेमी
खोखले बेलन की बाह्य त्रिज्या r1 = [latex]\frac{20}{2}[/latex] = 10 सेमी
तथा मोटाई = 2.5 मिमी = [latex]\frac{2.5}{10}[/latex] सेमी = 0.25 सेमी
खोखले बेलन की भीतरी त्रिज्या r2 = 10 – 0.25 = 9.75 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, ठोस बेलन का आयतन = खोखले बेलन का आयतन
πr2h = π(r12 – r22)H
(1)2 × h = [(10)2 – (9.75)2] × 16
1 × h = [100 – 95.0625] × 16 = 4.9375 × 16
h = 79 सेमी

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प्रश्न 9.
9 सेमी आन्तरिक त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोलीय कटोरा एक द्रव से भरा है। इस दव को 3 सेमी व्यास और 4 सेमी ऊँचाई वाले छोटे-छोटे बेलनाकार बोतलों में भरना है। कटोरा खाली करने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी?
हलः
अर्द्धगोलीय कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या R = 9 सेमी
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प्रश्न 10.
25 वृत्तीय प्लेटों, जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या 10.5 सेमी तथा मोटाई 1.6 सेमी है, को एक के ऊपर एक ठोस वृत्तीय बेलन के रूप में रखा गया है। प्राप्त बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्तीय प्लेट की त्रिज्या r = 10.5 सेमी तथा मोटाई h = 1.6 सेमी
माना, ठोस बेलन की त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) R = 10.5 सेमी तथा ऊँचाई H = 1.6 × 25, H = 40 सेमी
बेलन का वक्रपृष्ठ = 2πRH = 2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10.5 × 40 = 2640 सेमी2
तथा बेलन का आयतन = πr2h = [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10.5 × 40 = 13860 सेमी3

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प्रश्न 11.
एक धातुई गोले का व्यास 6 सेमी है। इसे पिघलाकर, एक व्यास 0.2 सेमी अनुप्रस्थ काट का तार बनाया जाता है। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
धातुई गोले का व्यास = 6 सेमी, तथा तार का व्यास = 0.2 सेमी
धातुई गोले की त्रिज्या R = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3 सेमी, तथा तार की त्रिज्या r = [latex]\frac{0.2}{2}[/latex] = 0.1 सेमी
माना, तार की लम्बाई = h सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार, तार का आयतन = धातुई गोले का आयतन
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प्रश्न 12.
यदि खोखले गोले का आन्तरिक एवं बाह्य व्यास क्रमशः 6 सेमी तथा 10 सेमी है। यदि इसे पिघलाकर 14 सेमी व्यास के एक ठोस बेलन के रूप में बनाया जाता है। तो बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
खोखले गोले की आन्तरिक त्रिज्या r = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3 सेमी
खोखले गोले की बाह्य त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) R = [latex]\frac{10}{2}[/latex] = 5 सेमी
ठोस बेलन की त्रिज्या r1 = [latex]\frac{14}{2}[/latex] = 7 सेमी
माना, बेलन की ऊँचाई = h सेमी
तब, प्रश्नानुसार, ठोस बेलन का आयतन = खोखले गोले का आयतन
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प्रश्न 13.
एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई 8.4 सेमी तथा इसके आधार की त्रिज्या 2.1 सेमी है। इसे पिघलाकर, एक गोला बनाया जाता है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, गोले की त्रिज्या = r सेमी तथा शंकु की त्रिज्या R = 2.1 सेमी
और शंकु की ऊँचाई H = 8.4
सेमी तब, प्रश्नानुसार, गोले का आयतन = शंकु का आयतन
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प्रश्न 14.
80 मी लम्बे तथा 50 मीटर चौड़े एक आयताकार टैंक में 500 व्यक्तियों को डुबाया जाता है। यदि प्रत्येक व्यक्ति द्वारा पानी के स्तर में 0.04 मीटर3 की वृद्धि की जाती है तो टैंक के पानी के स्तर में कुल बढ़ोतरी ज्ञात कीजिए।
हलः
आयताकार टैंक की लम्बाई l = 80 मीटर, चौड़ाई b = 50 मीटर
माना, पानी के स्तर में बढ़ोत्तरी = h मीटर
तब, प्रश्नानुसार, आयताकार टैंक (UPBoardSolutions.com) में ऊपर उठे पानी का आयतन = 500 × 0.04 मीटर3
l × b × h = 20 मी3
80 × 50 × h = 20
h = [latex]\frac{20}{80 \times 50}=\frac{1}{4 \times 50}=\frac{1}{200}[/latex] = 0.005 मीटर
h = 0.005 × 100 = 0.500 = 0.5 सेमी

प्रश्न 15.
12 सेमी आधार त्रिज्या तथा 24 सेमी ऊँचाई के धातु के एक शंकु को पिघलाकर 6 सेमी व्यास की कितनी ठोस वृत्तीय गेंद बनायी जा सकती हैं?
हलः
शंकु के आधार की त्रिज्या R = 12 सेमी तथा ऊँचाई H = 24 सेमी
ठोस वृत्तीय गेंद की त्रिज्या r = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3 सेमी
तब, शंकु का आयतन = [latex]\frac{1}{3}[/latex]πR2H
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प्रश्न 16.
21 सेमी व्यास के एक धातु के गोले को पिघलाकर 3.5 सेमी व्यास का तथा 3 सेमी ऊँचाई के छोटे कितने शंकु बनाये जा सकते हैं?
हलः
धातु के गोले का व्यास = 21 सेमी
धातु के गोले की त्रिज्या R = [latex]\frac{21}{2}[/latex] सेमी
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प्रश्न 17.
एक गोल कैरम बाल जिसका व्यास 28 सेमी है, को पिघलाकर 35 सेमी आधार के व्यास वाला लम्ब वृत्तीय शंकु बनाया गया है। शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
गोल कैरम बाल का व्यास = 28 सेमी
गोल कैरम बाल की त्रिज्या r1 = [latex]\frac{28}{2}[/latex] = 14 सेमी
तथा लम्बवृत्तीय शंकु का व्यास (UPBoardSolutions.com) = 35 सेमी व ऊँचाई h = ?
लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या r2 = [latex]\frac{35}{2}[/latex] = 17.5 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, शंकु का आयतन = गोल कैरम बॉल का आयतन
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प्रश्न 18.
1 सेमी आन्तरिक त्रिज्या वाले वत्ताकार पाईप से 80 सेमी/सेकण्ड की दर से एक खाली बेलनाकार टैंक जिसके आधार की त्रिज्या 40 सेमी है, में पानी भर रहा है। आधे घण्टे में टैंक में पानी का स्तर कितना ऊँचा उठेगा?
हल:
वृत्ताकार पाईप की आन्तरिक त्रिज्या r = 1 सेमी
तथा वृत्ताकार पाईप से पानी निकलने की रफ्तार = 80 सेमी/सेकण्ड
अर्थात् 1 सेकण्ड में पानी की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) h = 80 सेमी
तथा बेलनाकार टैंक के आधार की त्रिज्या R = 40 सेमी
माना, बेलनाकार टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई H सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार,
बेलनाकार टेंक में ऊपर उठे पानी का आयतन = [latex]\frac{1}{2}[/latex] घण्टे (1800 सेकण्ड) में वृत्ताकार पाईप द्वारा भरे पानी का आयतन
πR2H = πr2h × 1800
π × 40 × 40 × H = π × 1 × 1 × 80 × 1800
H =[latex]\frac{80 \times 1800}{40 \times 40}[/latex]
= 5 × 18 = 90 सेमी

प्रश्न 19.
एक खाली अर्द्धगोलीय बर्तन के आन्तरिक व बाह्य व्यास क्रमशः 21 सेमी तथा 25.2 सेमी हैं। 1 सेमी2 सतह को पेंट करने में 10 पैसे लगते हैं। पूरे बर्तन को पेंट करने में कुल लागत ज्ञात कीजिए।
हलः
अर्द्धगोलीय बर्तन के आन्तरिक व बाह्य व्यास क्रमशः 21 सेमी तथा 25.2 सेमी है।
तब, बर्तन की बाह्य त्रिज्या R = [latex]\frac{25.2}{2}[/latex] = 12.6 सेमी
और बर्तन की आन्तरिक त्रिज्या r = [latex]\frac{21}{2}[/latex] = 10.5 सेमी
अर्द्धगोलीय बर्तन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πR2 + πr2
3 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 12.6 × 12.6 + [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10.5 × 10.5
= 1496.88 + 346.5
= 1843.38 सेमी
∵ 1 सेमी2 सतह को पेंट कराने की लागत = 10 पैसे
∴ 1843.38 सेमी2 सतह को पेंट कराने की कुल लागत = 1843.38 × 10
= 18433.80 पैसे
= ₹[latex]\frac{18433.80}{100}[/latex] = ₹184.34
= ₹184.34

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प्रश्न 20.
एक खोखले 14 सेमी लम्बे लम्ब वृत्तीय बेलन के आन्तरिक एवं बाह्य वक्र पृष्ठों का अन्तर 88 सेमी है। यदि बेलन को बनाने में लगी धातु का आयतन 176 सेमी3 है तो बेलन के आन्तरिक व बाह्य व्यास ज्ञात कीजिए। (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex])
हल:
माना, खोखले बेलन की बाह्य त्रिज्या r1 तथा आन्तरिक त्रिज्या r2 सेमी है।
तथा खोखले बेलन की लम्बाई (UPBoardSolutions.com) h = 14 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, बेलन के आन्तरिक व बाह्य वक्रपृष्ठों का अन्तर = 88 सेमी
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प्रश्न 21.
40 सेमी आधार त्रिज्या के बेलनाकार टैंक, एक बेलनाकार पाईप से 2.52 किमी/घण्टा की दर से पानी भर रहा है। आधे घण्टे में टैंक में पानी का स्तर 3.15 मीटर बहता है तो पाईप का आन्तरिक व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, पाईप की आन्तरिक त्रिज्या = r सेमी तथा पाईप से निकले पानी की ऊँचाई h = 2.52 किमी
h = 2.52 × 1000 × 100 सेमी
h = 252000 सेमी
तथा बेलनाकार टैंक के आधार की त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) R = 40 सेमी तथा टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई H = 3.15 मीटर
= 3.15 × 100 = 315 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, [latex]\frac{1}{2}[/latex] घण्टे में पाईप द्वारा भरे पानी का आयतन = बेलनाकार टैंक में पानी का आयतन
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अतः पाईप का आन्तरिक व्यास = 2r = 2 × 2 = 4 सेमी

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प्रश्न 22.
एक 5 मीटर चौड़े कपड़े से 14 मीटर व्यास तथा 24 मीटर ऊँचाई का एक शंक्वाकार तम्बु बनाया गया है। यदि इसमें लगे कपडे का मूल्य ₹ 25 प्रति मीटर है तो कुल लागत ज्ञात कीजिए।
हलः
शंक्वाकार तम्बु का व्यास = 14 मीटर तथा ऊँचाई h = 24 मीटर
तब, शंक्वाकार तम्बु की त्रिज्या r = [latex]\frac{14}{2}[/latex] = 7 मीटर
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तम्बु में लगे कपड़े की कुल लागत = 110 × 25 = ₹ 2750

प्रश्न 23.
पानी से भरे एक बेलनाकार टैंक को 225 लीटर प्रति मिनट की दर से खाली किया जाता है। यदि इसके आधार का व्यास 3 मीटर तथा ऊँचाई 3.5 मीटर है तो कितने समय बाद आधा टैंक खाली हो जायेगा?
हलः
बेलनाकार टैंक का व्यास = 3 मीटर तथा ऊँचाई h = 3.5 मीटर
बेलनाकार टैंक की त्रिज्या r = [latex]\frac{3}{2}[/latex] × 100 = 150 सेमी, h = 3.5 × 100 = 350 सेमी
बेलनाकार टैंक में पूरे भरे पानी का आयतन = πr2h
[latex]\frac{22}{7}[/latex] × 150 × 150 × 350 = 24750000 सेमी3
तब आधे बेलनाकार टैंक का आयतन = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 24750000 = 12375000 सेमी3
1 मिनट में खाली टैंक का आयतन = 225 लीटर = 225 × 1000 = 225000 सेमी3
अतः आधे टैंक को खाली करने में लगा समय = [latex]\frac{12375000}{225000}[/latex] = 55 मीटर

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प्रश्न 24.
1.4 सेमी व्यास के 150 मारबल के गोले, 7 सेमी व्यास के बेलनाकार बर्तन, जिसमें कुछ पानी है, में डुबोये जाते हैं। बर्तन में पानी का बढ़ा स्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
मारबल के गोले का व्यास = 1.4 सेमी
मारबल के गोले की त्रिज्या r = [latex]\frac{1.4}{2}[/latex] = 0.7 सेमी
तथा बेलनाकार बर्तन का (UPBoardSolutions.com) व्यास = 7 सेमी
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या R = [latex]\frac{7}{2}[/latex] = 3.5 सेमी
माना, बेलनाकार बर्तन में पानी का बढ़ा स्तर = h सेमी
तब, प्रश्नानुसार, बेलनाकार बर्तन में बढ़े पानी का आयतन = 150 मारबल के गोलो का आयतन
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