Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 13 Surface Area and Volumes Ex 13.2

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 13 Surface Area and Volumes Ex 13.2 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

प्रश्न 1.
एक कमरा बेलन के आकार का है। इस पर एक अर्द्धगोलाकार गुम्बद बना है। जिसमें 17.7 सेमी³ हवा है। भवन का आन्तरिक व्यास, गुम्बद की फर्श से ऊँचाई के बराबर है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः

माना, बेलनाकार कमरे की त्रिज्या = r सेमी
गुम्बद की फर्श से ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) = भवन का व्यास
= 2r सेमी
बेलनाकार कमरे की ऊँचाई h = r सेमी
तथा अर्द्धगोलाकार गुम्बद की त्रिज्या= r सेमी
तब, प्रश्नानुसार,
भवन में हवा का आयतन= 17.7 सेमी³
πr²h + [latex]\frac{2}{3}[/latex] πr³ = 17.7

अतः गुम्बद की फर्श से ऊँचाई = 2r = 2 × 1.5 = 3 सेमी

प्रश्न 2.
3.3 मीटर ऊँचाई का एक टैंट एक लम्ब वृत्तीय बेलन के रूप का है। इसका व्यास 12 मीटर तथा ऊँचाई 2.2 मीटर है। इस पर समान व्यास की एक लम्बवृत्तीय शंकु अध्यारोपित है। टैंट में लगे कैनवास का खर्च ज्ञात करें यदि कैनवास की दर ₹ 500 प्रति वर्ग मीटर है।
हलः

बेलन तथा शंकु का व्यास = 12 मीटर
तब, बेलन तथा शंकु की त्रिज्या r = [latex]\frac{12}{2}[/latex] = 6 मीटर
बेलन की ऊँचाई h₁ = 2.2 (UPBoardSolutions.com) मीटर
तथा शंकु की ऊँचाई h₂ = 3.3 – 2.2 = 1.1 मीटर

प्रश्न 3.
77 डेमी ऊँचाई का एक टैंट लम्बवृत्तीय बेलन के आकार का है। जिसका व्यास 36 मीटर और ऊँचाई 44 डेमी है। इस पर एक लम्बवृत्तीय शंकु अध्यारोपित है। ₹ 3.50 प्रति मीटर की दर से टैन्ट में प्रयुक्त कैनवास का खर्च ज्ञात कीजिए।
हलः

टैंट की ऊँचाई = 77 डेमी = [latex]\frac{77}{10}[/latex] = 7.7 मीटर
बेलन तथा शंकु का व्यास = 36 मीटर
बेलन तथा शंकु की त्रिज्या r = [latex]\frac{36}{2}[/latex] = 18 मीटर
बेलन की ऊँचाई H = 44 डेमी (UPBoardSolutions.com) = [latex]\frac{44}{10}[/latex] = 4.4 मीटर
शंकु की ऊँचाई h = 7.7 – 4.4 = 3.3 मीटर

प्रश्न 4.
एक भवन का आन्तरिक भाग एक बेलन के आकार का है। जिसका व्यास 4.3 मीटर और ऊँचाई 3.8 मीटर है। इस पर एक शंकु अध्यारोपित है। जिसका शीर्षकोण एक समकोण है। भवन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
बेलन तथा शंकु का व्यास = 4.3 मीटर तथा बेलन की ऊँचाई H = 3.8 मीटर
बेलन तथा शंकु की त्रिज्या r = [latex]\frac{4.3}{2}[/latex] = 2.15 मीटर
माना, शंकु की ऊँचाई h मीटर है।



अतः भवन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 71.83 मी² तथा आयतन = 65.55 मी³

प्रश्न 5.
9 सेमी भुजा के घन को काटकर बने सबसे बड़े लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
घन की भुजा = 9 सेमी
शंकु का व्यास = शंकु की ऊँचाई = घन की भुजा = 9 सेमी
∴ r = [latex]\frac{9}{2}[/latex] (UPBoardSolutions.com) = 4.5 सेमी तथा h = 9 सेमी
तब, शंकु का आयतन = [latex]\frac{1}{3}[/latex]πr²h
[latex]\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}[/latex] × 4.5 × 9
= 190.93 सेमी³

प्रश्न 6.
21 सेमी भुजा वाले ठोस घन से एक सबसे बडा शंकु बनाया गया है। शेष बचे ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
घन की भुजा a = 21 सेमी
तब, शंकु का व्यास = शंकु की ऊँचाई = घन की भुजा = 21 सेमी
∴ r = [latex]\frac{21}{2}[/latex] = 10.5 सेमी, h = 21 सेमी
घन का आयतन = a³ = (21)³ = 9261 सेमी³
शंकु का आयतन = [latex]\frac{3}{3}[/latex]πr²h = [latex]\frac{21}{2}[/latex] × 10.5 × 10.5 × 21
= 22 × 10.5 × 10.5 = 2425.5 सेमी
शेष बचे ठोस का आयतन = घन का आयतन – शंकु का आयतन
= 9261 – 2425.5 = 6835.5 सेमी³

प्रश्न 7.
7 मी भुजा वाले ठोस लकड़ी के घन से महत्तम सम्भव गोला बनाया गया है। शेष बची लकडी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
घन की भुजा a = 7 सेमी
तब, घन का आयतन = (a)³ = (7)³ = 343 सेमी³
∵ घन में से एक गोला (UPBoardSolutions.com) बनाया जाता है।
∴ गोले का व्यास = घन की भुजा = 7 सेमी

प्रश्न 8.
एक लौह-स्तम्भ जिसके बेलनाकार भाग की ऊँचाई 110 सेमी और आधार का व्यास 12 सेमी है जिसके ऊपर एक 9 सेमी ऊँचा एक शंकु अध्यारोपित है। यदि 1 सेमी³ लौह का द्रव्यमान 8 ग्राम है, तो लौह स्तम्भ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हलः
आधार का व्यास = 12 सेमी

प्रश्न 9.
कागज के बने एक शंकु की ऊँचाई 3 h तथा ऊर्ध्वाधर कोण 2α है। इसके अन्दर 2h व h ऊँचाई तथा क्रमशः ऊर्ध्वाधर कोण 4α व 6α के दो शंकु रखे हैं। शंकुओं के आयतन का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, शंकु की त्रिज्या BO = r इकाई
शंकु ABC के लिए, (UPBoardSolutions.com)
∆AOB में, tanα = [latex]\frac{B O}{A O}[/latex]

प्रश्न 10.
शंकु के आधार का एक ठोस, अर्द्ध गोले पर अध्यारोपित है। इनमें प्रत्येक की त्रिज्या 3.5 सेमी तथा ठोस की कुल ऊँचाई 9.5 सेमी है। ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
अर्द्धगोले तथा शंकु की त्रिज्या r = 3.5 सेमी
ठोस की कुल ऊँचाई = 9.5 सेमी
शंकु की ऊँचाई h = 9.5 – 3.5 = 6 सेमी
ठोस का आयतन (UPBoardSolutions.com) = अर्द्धगोले का आयतन + शंकु का आयतन

प्रश्न 11.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्द्धगोला खोदकर निकालते हुए एक खिलौना बनाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 सेमी तथा आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी है तो खिलौने में लगी लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
आधार की त्रिज्या r = 3.5 सेमी
बेलन की ऊँचाई h = 10 सेमी
खिलौने में लगी लकड़ी का आयतन (UPBoardSolutions.com) = बेलन का आयतन – दोनों अर्द्धगोलों का आयतन

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