Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.1

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.1 बहुपद

Ex 2.1 Polynomials अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि बहुपद x² + x + 1 के मूल α और β हैं तब α + β का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि, (UPBoardSolutions.com)
मूलों का योग, α + β = [latex]\frac{-b}{a}=\frac{-1}{1}[/latex] = -1

प्रश्न 2.
यदि α, β बहुपद x² + x + 1 के मूल हैं तब [latex]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 3.
यदि α, β बहुपद 4x² + 3x + 7 के (UPBoardSolutions.com) मूल हैं तब αβ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि,
मूलों का गुणनफल, α · β = [latex]\frac{c}{a}=\frac{7}{4}[/latex]

प्रश्न 4.
यदि α, β बहुपद 4x² + 3x + 7 के मूल हैं तब (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि, मूलों का योग, α · β = [latex]\frac{-b}{a}=\frac{-3}{4}[/latex]
तथा मूलों का गुणनफल, α · β = [latex]\frac{c}{a}=\frac{7}{4}[/latex]

प्रश्न 5.
यदि α, β बहुपद x² + 6x + 2 के मूल हैं (UPBoardSolutions.com) तब [latex]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 6.
यदि α, β बहुपद f (x) = x² + x – 2 के मूल हैं तो [latex]\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
f(x) = x² + x – 2

प्रश्न 7.
यदि α, β द्विघात बहुपद f(x) = 6x² + x – 2 के मूल हैं (UPBoardSolutions.com) तो [latex]\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
f(x) = 6x² + x – 2

प्रश्न 8.
यदि द्विघात बहुपद f (x) = 4x² – 5x – 1 के मूल (UPBoardSolutions.com) α और β हैं, तो α²β + αβ² का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f(x) = 4x² – 5x – 1
तो α²β + αβ² = α·β (α + β)

प्रश्न 9.
यदि α, β बहुपद f(x) = x² – p(x + 1) – c के मूल हैं (UPBoardSolutions.com) तब (α + 1)(β + 1) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
ज्ञात करना है, (α + 1)(β + 1) = α · β + α + β + 1
= α · β + (α + β) + 1
= [latex]\frac{c}{a}+\left(\frac{-b}{a}\right)+1=\frac{-p-c}{1}+\left(\frac{p}{1}\right)+1[/latex]
= -p – c + p + 1 = 1 – c

प्रश्न 10.
यदि α, β बहुपद x² – p(x + 1) – c के मूल हैं तथा (α + 1)(β + 1) = 0, तब c का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(α + 1)(β + 1) = α · β + α + β + 1
= α · β + (α + β) + 1
= [latex]\frac{c}{a}+\left(\frac{-b}{a}\right)+1=\frac{-p-c}{1}+\left(\frac{p}{1}\right)+1[/latex]
= -p – c + p + 1 = 1 – c

दिया है, (α + 1)(β + 1) = 0
1 – c = 0
1 = c या c = 1

प्रश्न 11.
बहुपद x² + [latex]\frac{1}{6} x[/latex] – 2 के मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद, f(x) = x² + [latex]\frac{1}{6} x[/latex] – 2
अब f(x) = 0 तो, 0 = x² + [latex]\frac{1}{6} x[/latex] – 2
6x² + x – 12 = 0
6x² + 9x – 8x -12 = 0
3x(2x + 3) – 4 (2x + 3) = 0
(2x + 3)(3x – 4) = 0
2x + 3 = 0 तथा 3x – 4 = 0
2x = -3 3x = 4
x = [latex]-\frac{3}{2}[/latex] x = [latex]\frac{4}{3}[/latex]
अत: बहुपद के दो मूल [latex]-\frac{3}{2}[/latex] व [latex]\frac{4}{3}[/latex] हैं। .

प्रश्न 12.
यदि एक द्विघातीय बहुपद kx² + 3x + k का एक (UPBoardSolutions.com) मूल 2 हैं तब k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
माना
f(x) = kx² + 3x + k
⇒ kx² + 3x + k = 0, जहाँ f (x) = 0
∵ 2 समीकरण का एक मूल है।
∴ समीकरण में x = 2 रखने पर,
k(2)² + 3 × 2  +k = 0
4k + 6 + k = 0
5k + 6 = 0
5k = -6
k = [latex]-\frac{6}{5}[/latex]

प्रश्न 13.
एक द्विघातीय बहुपद x² + kx + k, k >0 के मूलों का चिह्न ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x² + kx + k, k > 0
∵ विविक्तकर, b² – 4ac > 0
∴ समीकरण के दोनों मूल धनात्मक होंगे।

Ex 2.1 Polynomials लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 14.
बहुपद f (x) = 2x² + 5x – 12 के मूल ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) तथा इसके मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
हलः
बहुपद f (x) = 2x² + 5x -12
= 2x² + 8x – 3x -12
= 2x(x + 4) – 3(x + 4) = (x + 4)(2x – 3)
अब f(x) = 0
तो (x + 4)(2x – 3) = 0
x + 4 = 0 तथा 2x – 3 = 0
x = -4 2x = 3 ⇒ x = [latex]\frac{3}{2}[/latex]

प्रश्न 15.
यदि बहुपद f (x) = ax² – 6x + 4 के मूलों का गुणनफल 4 है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f(x) = ax² – 6x + 4
प्रश्नानुसार, मूलों का गुणनफल = 4

प्रश्न 16.
द्विघात बहुपद f (x) = 6x² – 3 के मूल ज्ञात कीजिए तथा (UPBoardSolutions.com) मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
हलः
बहुपद f (x) = 6x² – 3
f(x) = 0 रखने पर,

प्रश्न 17.
निम्न प्रत्येक बहुपदों के मूल ज्ञात कीजिए तथा इनके (UPBoardSolutions.com) मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
(i) f₁(x) = x² – 2x – 8 (NCERT)
(ii) f₂(x) = 4x² – 4x + 1 (NCERT)
(iii) f₃(x) = x² – 15 (NCERT)
हल:
(i) बहुपद f₁ (x) = x² – 2x – 8
= x² – 4x + 2x – 8
= x(x – 4) + 2(x – 4)
= (x – 4)(x + 2)
यदि f (x) = 0 हो तो,
(x – 4)(x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 तथा x + 2 = 0
x = 4 x = -2
∴ f(x) के मूल 4 तथा -2 हैं।

(ii) बहुपद f₂(x) = 4x² – 4x + 1
= 4x² – 2x – 2x + 1
= 2x(2x – 1) -1(2x – 1)
= (2x – 1)(2x – 1)
यदि f (x) = 0 हो तो,
(2x – 1)(2x – 1) = 0
⇒ 2x – 1 = 0 तथा 2x – 1 = 0
x = [latex]\frac{1}{2}[/latex] x = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 18.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल (UPBoardSolutions.com) बहुपद f (x) = ar² + bx + c, a ≠ 0, c ≠ 0 के मूलों के व्युत्क्रम हैं।
हलः
बहुपद f (x) = ax² + bx + c
माना बहुपद के दो मूल α व β हैं।

Ex 2.1 Polynomials दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 19.
एक द्विधात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं-
(i) 1, 1 (NCERT)
(ii) [latex]\frac{1}{4}[/latex], -1 (NCERT)
(iii) 4, 1 (NCERT)
हल:
(i) दिया है, α + β = 1 तथा α · β = 1
अतः द्विघात बहुपद = x² – (α + β)x + α ·β = x² – x + 1

(ii) दिया है, α + β = [latex]\frac{1}{4}[/latex] तथा α ·β = -1
अतः द्विघात बहुपद = x² – (α + β) x + α ·β
= x² –  [latex]\frac{1}{4}[/latex]x -1

(iii) दिया है, α + β = 4 तथा α · β = 1
अतः द्विघात बहुपद = x² – (α + β)x + α · β
= x² – 4x + 1

प्रश्न 20.
द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूलों का योग 8 (UPBoardSolutions.com) तथा गुणनफल 12 है। यहाँ बहुपद के मूलों को ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, मूलों का योग (α + β) = 8
तथा मूलों का गुणनफल (α · β) = 12
अतः द्विघात बहुपद f(x) = x² – (α + β)x + α·β
⇒ f(x) = x² – 8x + 12
अब f(x) = 0 रखने पर,
तब, x² – 8x + 12 = 0
x² – 6x – 2x + 12 = 0
x(x – 6) -2(x – 6) = 0
(x – 6)(x – 2) = 0
x – 6 = 0 तथा x – 2 = 0
x = 6 x = 2
x = 6 व 2

प्रश्न 21.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का योग -5 तथा गुणनफल 6 है। यहाँ बहुपद के मूलों को ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, मूलों का योग (α + β) = -5
तथा मूलों का गुणनफल (α·β) = 6
अतः द्विघात बहुपद f(x) = x² – (α + β) x + α·β
= x² – (-5)x + 6
= x² + 5x + 6
यदि f(x) = 0 हो तब, x² + 5x + 6 = 0
x² + 3x + 2x + 6 = 0
x(x + 3) + 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x + 2) = 0
⇒ x + 3 = 0 तथा x + 2 = 0
x = -3 x = -2
अतः मूल -3, -2 हैं।

प्रश्न 22.
एक द्विघातीय बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल 5 और -3 हैं।
हलः
मूलों का योगफल α + β = (5) + (-3) = 5 -3 = 2
तथा मूलों का गुणनफल α·β = 5 × -3 = -15
∴ अभीष्ट बहुपद है,
x² – (α + β)x + αβ = x² – 2x – 15

प्रश्न 23.
एक द्विघातीय बहुपद के मूलों का योगफल तथा मूलों (UPBoardSolutions.com) का गुणनफल क्रमशः 3 और -10 हैं तब द्विघातीय बहुपद ज्ञात कीजिए।
हलः
मूलों का योगफल (α + β) = 3
मूलों का गुणनफल (α – β) = -10
∴ अभीष्ट बहुपद है,
x² – (α + β)x + α·β = x² – 3x – 10

प्रश्न 24.
यदि α, β एक बहुपद के मूल हैं तथा α + β = 6 और αβ = 4 है तो बहुपद लिखिए।
हलः
यदि α + β = 6 और α·β = 4
तो अभीष्ट बहुपद है,
x² – (α + β)x + α·β = x² – 6x + 4

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