Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 बहुपद

Ex 2.2 Polynomials अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि α, β, γ बहुपद 2x3 + x2 – 13x + 16 के मूल हैं, तब αβγ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि 2x3 + x2 – 13x + 16 के मूल α,β,γ हैं, तब
मूलों का गुणनफल (α · β · γ) = [latex]\frac{-d}{a}=\frac{-16}{2}[/latex] = – 8

प्रश्न 2.
यदि त्रिघात बहुपद ax3 + bx2 + cx + d के दो मूल 0 हैं तब तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि त्रिघात बहुपद ax3 + bx2 + cx + d के (UPBoardSolutions.com) दो मूल α व β, शून्य हैं तब तीसरा मूल
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 1

UP Board Solutions

प्रश्न 3.
यदि बहुपद 3x3 + 5x2 – 7x – 27 के दो मूलों का गुणनफल 3 है, तब तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद 3x3 + 5x2 – 7x – 27 के दो (UPBoardSolutions.com) मूलों का गुणनफल 3 है।
अतः α · β = 3 तथा तीसरा मूल γ = ?
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 2
अतः तीसरा मूल γ = 3

प्रश्न 4.
यदि बहुपद 2x3 – x2 – 5x – 2 के दो मूल -1 और 2 हैं तब इसका तीसरा मूल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
बहुपद 2x3 – x2 – 5x – 2
माना बहुपद के दो दिए गए मूल α = -1 तथा β = 2 हैं।
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 3
अतः बहुपद का तीसरा मूल γ = [latex]-\frac{1}{2}[/latex]

UP Board Solutions

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x3 – 4x2 – 7x + 10 के दो (UPBoardSolutions.com) मूल 1 और -2 हैं, तो इसका तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x3 – 4x2 – 7x + 10
बहुपद के दो मूल α = 1 तथा β = -2 हैं।
माना बहुपद का तीसरा मूल γ है।
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 4
अतः बहुपद का तीसरा मूल γ = 5

UP Board Solutions

प्रश्न 6.
यदि बहुपद x3 – 4x2 + x + 6 का एक मूल -1 है तो अन्य मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
मानां f (x) = x3 – 4x2 + x + 6
तथा बहुपद का एक मूल α = -1, β तथा γ हैं।
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 5
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 6
अतः बहुपद के अन्य मूल 3 व 2 हैं।

UP Board Solutions

प्रश्न 7.
यदि त्रिघात बहुपद x3 + ax2 + bx + c का (UPBoardSolutions.com) एक मूल -1 है तब अन्य दो मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हलः
त्रिघात बहुपद x3 + ax2 + bx + c में,
α = -1, β = ?, γ = ?
तब मूलों का गुणनफल (α · β · γ) = [latex]\frac{-d}{a}[/latex]
⇒ α · β · γ = [latex]\frac{-c}{1}[/latex]
∵ α = -1 तो -1 × β, γ = -c ⇒ βγ = c
अतः दो मूलों का गुणनफल, βγ = c

प्रश्न 8.
यदि त्रिघात बहुपद ax3 + bx2 + cx + d का एक मूल 0 है तब अन्य दो मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हलः
त्रिघात बहुपद ax3 + bx2 + cx +d में, α = 0
तब αβ + βγ + γα = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
0 × β + βγ × γ × 0 = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
0 + βγ + 0 = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
अतः दो मूलों का गुणनफल, βγ = [latex]\frac{c}{a}[/latex]

UP Board Solutions

प्रश्न 9.
यदि बहुपद f (x) = x3 – 3px2 + qx – r के (UPBoardSolutions.com) मूल समान्तर श्रेणी में हैं तब p,q और r के बीच में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f (x) = x3 – 3px2 + qx – 7
∵ मूल समान्तर श्रेणी में हैं।
अतः माना α = a – d, β = a, γ = a + d
∴ α + β + γ = [latex]\frac{-b}{a}[/latex]
⇒ a – d + a + a + d = [latex]\frac{3 p}{1}[/latex]
⇒ 3a = 3p
⇒ a = P
तथा α·β + β·γ + γ·α = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
(a – d) × a + a × (a + d) + (a + d) (a – d) = [latex]\frac{q}{1}[/latex]
a = p रखने पर,
(p – d) × p + px (p + d) + (p + d) (p – d) = q
p2 – pd + p2 + pd + p2 – d2 = q
3p2 – d2 = q
3p2 – q = d2
या d2 = 3p2 – q
अब α·β·γ = [latex]\frac{-d}{a}[/latex]
(a – d) × a × (a + d) = [latex]\frac{-(-r)}{1}[/latex]
a × (a2 – d2) = r
a = p तथा d2 = 3p2 – q रखने पर,
p × [p2 – (3p2 – q)] = r
p(p2 – 3p + q) = r
p(-2p2 + q) = r
-2p3 + pq = r
Pq – r = 2p3

UP Board Solutions

प्रश्न 10.
p का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बहुपद x3 + 4x2 – px + 8, (x – 2) से पूरी तरह विभाजित है।
हलः
यदि बहुपद x3 + 4x2 – px + 8, (x – 2) से (UPBoardSolutions.com) पूरी तरह विभाजित है तो शेषफल शून्य होगा।
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 7
चूँकि शेषफल = 0
-2p + 32 = 0
-2p = -32
2p = 32
p = [latex]\frac{32}{2}[/latex]
p = 16

Ex 2.2 Polynomials लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल -2, -3 और -1 हैं।
हलः
माना α = –2, β = -3 और γ = -1
तब α + β + γ = (-2) + (-3) + (-1) = -2 – 3 – 1 = -6
αβ + βγ + γα = (-2)(-3) + (-3)(-1) + (-1)(-2) = 6 + 3 + 2 = 11
तथा αβγ = (-2)(-3)(-1) = -6
अतः अभीष्ट बहुपद = x3 – (α + β + γ)x2 + (αβ + βγ + γα)x – α·β·γ
= x3 – (-6)x2 + 11x – (-6)
= x3 + 6x2 + 11x + 6

UP Board Solutions

प्रश्न 12.
एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके (UPBoardSolutions.com) मूल 3, [latex]\frac{1}{2}[/latex] और -1 हैं।
हलः
माना α = 3, β = 7 और γ = -1
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 8

प्रश्न 13.
एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का (UPBoardSolutions.com) योगफल, दो-दो करके मूलों के गुणनफल का योगफल और इसके मूलों का गुणनफल क्रमशः 3,-1 और -3 है। (NCERT)
हलः
माना त्रिघात बहुपद के मूल क्रमशः α, β तथा γ हैं।
प्रश्नानुसार, मूलों का योगफल (α + β + γ) = 3
तथा αβ + βγ + γα = -1
और α·β·γ = -3
तब. त्रिघात बहुपद = x3 – (α + β + γ)x2 + (αβ + βγ + γα)x -α·β·γ
= x3 – 3x2 + (-1)x – (-3)
= x3 – 3x2 – x + 3

UP Board Solutions

प्रश्न 14.
यदि α, β, γ बहुपद f (x) = ax3 + bx2 + cx + d के मूल हैं तब [latex]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 9

प्रश्न 15.
यदि α, β, γ बहुपद f (x) = x3 – ax2 + bx – c के मूल हैं तब [latex]\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha}[/latex] का मान ज्ञातकीजिए।
हलः
यदि f (x) = x3 – ax2 + bx – c
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 10

UP Board Solutions

प्रश्न 16.
5x3 – 13x2 + 21x – 14 को 3 – 2x + x2 द्वारा विभाजित (UPBoardSolutions.com) करो और विभाजन एल्गोरिथम का सत्यापन करो।
हलः
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 11
भागफल = 5x – 3, शेषफल = -5
सत्यापन : विभाजन एल्गोरिथम से,
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
= (x2 – 2x + 3) × (5x – 3) + (-5)
= 5x3 – 10x2 + 15x – 3x2 + 6x – 9 – 5
= 5x3 – 13x2 + 21x – 14

प्रश्न 17.
विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि
3x2 + 5, 6x5 + 15x4 + 16x3 + 4x2 + 10x – 35 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
माना f (x) = 6x5 + 15x4 +16x3 + 4x2 + 10x – 35 तथा g(x) = 3x2 + 5
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 12
∵ शेषफल शून्य है।
∴ g(x), f (x) का एक गुणनखण्ड है।

UP Board Solutions

प्रश्न 18.
यदि बहुपद f (x) = x3 – 3x2 + x + 1 के मूल a – b, a, a + b हैं तो a और b के मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
बहुपद x3 – 3x2 + x + 1
∵ बहुपद के मूल a – b, a, a + b हैं।
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 13

प्रश्न 19.
यदि x = 1 बहुपद f (x) = x3 – 2x2 + 4x + k का एक मूल है तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद f(x) = x3 – 2x2 + 4x + k
यदि x = 1 बहुपद का एक मूल है तथा f(x) = 0
0 = (1)3 – 2(1)2 + 4 × 1 + k
0 = 1 – 2 + 4 + k
0 = 3 + k
-3 = k या k = -3

UP Board Solutions

प्रश्न 20.
विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके यह जाँच कीजिए (UPBoardSolutions.com) कि क्या प्रथम बहुपद, दूसरे बहुपद का एक गुणनखण्ड है?
(i) g(x) = x2 – 3, f (x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 – 9x – 12 (NCERT)
(ii) g(x) = 2x2 – x + 3, f(x) = 6x5 – x4 + 4x3 – 5x2 – x – 15
हल:
(i) g(x) = x2 – 3, f(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 – 9x – 12
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 14
∵ शेषफल शून्य है।
∴ g(x), f(x) का एक गुणनखण्ड है।

(ii) g(x) = 2x2 – x + 3, f(x) = 6x5 – x4 + 4x3 – 5x2 – x -15
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 15
∵ शेषफल शून्य है।
∴ g(x), f(x) का एक गुणनखण्ड है।

UP Board Solutions

Ex 2.2 Polynomials दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 21.
सत्यापित कीजिए कि 3, -1 और [latex]\frac{-1}{3}[/latex] घात (UPBoardSolutions.com) बहुपद f (x) = 3x3 – 5x2 – 11x – 3 के मूल हैं और तब इसके मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए। (NCERT)
हलः
बहुपद f (x) = 3x3 – 5x2 – 11x – 3
3, बहुपद f(x) का एक मूल है यदि f (3) = 0
अब f(3) = 3 × (33 – 5(3)2 – 11(3) – 3
= 81 – 45 – 33- 3
= 81 – 81 = 0
इसी प्रकार,
f(-1) = 3(-1)3 – 5(-1)2 – 11(-1) – 3
= -3 – 5 + 11 – 3
= -11 + 11 = 0
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 16
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 17

प्रश्न 22.
बहुपद f (x) = x3 + 3px2 + 3qr + r के मूलों के समान्तर श्रेणी में होने के प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f (x) = x3 + 3px2 + 3qx + r
∵ मूल समान्तर श्रेणी में हैं।
अतः माना α = a – d, β = a, γ = a + d
∴ α + β + γ = [latex]\frac{-b}{a}[/latex]
a – d + a + a + d = [latex]\frac{-3 p}{1}[/latex]
⇒ 3a = -3p
⇒ a = -p
तथा α·β + β·γ + γ·α = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
(a – d) × a + a × (a + d) + (a + d)·(a – d) = [latex]\frac{3 q}{1}[/latex]
a2 – ad + a2 + ad + a2 – d2 = 3q
3a2 – d2 = 3q
a = -p रखने पर,
3(-p)2 – d2 = 3q
-3p2 – d2 = 3q
d2 = 3p2 – 3q
अब α·β·γ = [latex]\frac{-d}{a}[/latex]
(a – d) × a × (a + d) = [latex]\frac{-r}{1}[/latex]
a × (a2 – d2) = -r
a = -p तथा d2 = 3p2 – 3q रखने पर,
(-p) x [p2 – (3p2 – 3q)] = -r
-p(p2 – 3p2 + 3q) = -r
p(-2p2 + 3q) = r
-2p3 + 3pq = r
-2p3 + 3pq – r = 0
2p3 – 3pq + r = 0

UP Board Solutions

प्रश्न 23.
यदि बहुपद f (x) = ax3 + 3bx2 + 3cr + d के मूल (UPBoardSolutions.com) समान्तर श्रेणी में है तब सिद्ध कीजिए 2b3 – 3abc + a2d = 0
हलः
यदि f (x) = ax3 + 3bx2 + 3cx + d
∵ मूल समान्तर श्रेणी में हैं।
अतः माना बहुपद के मूल α = A – D, β = A तथा γ = A + D
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 18
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 19 a
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 19

UP Board Solutions

प्रश्न 24.
निम्न में विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, f(x) को g(x) (UPBoardSolutions.com) द्वारा विभाजित करने पर, भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = x3 – 3x + 5x – 3; g(x) = x2 – 2 (NCERT)
(ii) f(x) = x4 – 3x + 4x + 5; g(x) = x2 – x + 1 (NCERT)
(iii) f(x) = x4 – 5x + 6; g(x) = 2 – x2 (NCERT)
हल:
(i) f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3; g(x) = x2 – 2
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 20
भागफल = (x – 3) तथा शेषफल = (7x – 9)

(ii) f(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5; 8(x) = x2 – x + 1
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 21
अतः भागफल = x2 + x – 3 तथा शेषफल = 8

(iii) f(x) = x4 – 5x + 6; g(x) = 2 – x2
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 22
अतः भागफल = -x2 – 2 तथा शेषफल = -5x + 10

UP Board Solutions

प्रश्न 25.
यदि बहुपद x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35 के दो पद (UPBoardSolutions.com) [latex]2 \pm \sqrt{3}[/latex] हैं, तो अन्य मूल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
बहुपद x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35
माना बहुपद के मूल α = 2 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex], β = 2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex], γ तथा δ हैं।
तब α + β + γ + δ = [latex]\frac{-b}{a}[/latex]
2 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex] + 2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] + y + δ = [latex]\frac{-(-6)}{1}[/latex]
4 + γ + δ = 6
γ + δ = 6 – 4
γ + δ = 2 …(1)
α · β · γ· δ = [latex]\frac{l}{a}[/latex]
(2 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex])(2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex]).γδ = [latex]\frac{-35}{1}[/latex]
(4 – 3)γδ = -35
γδ = -35 …(2)
समी० (2) से 8 का मान समी० (1) में रखने पर,
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 23

प्रश्न 26.
f(x) = 4x4 + 2x3 – 2x2 + x – 1 में क्या जोड़ें कि प्राप्त बहुपद g(x) = x2 + 2x – 3 से विभाजित हो जाये?
हल:
f(x) = 4x4 + 2x3 – 2x2 + x -1 तथा g(x) = x2 + 2x – 3
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 24
अत: बहुपद में, -(-61x + 65) अर्थात् 61x – 65 जोड़ना पड़ेगा।

UP Board Solutions

प्रश्न 27.
बहुपद f (x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 12x + 21 में क्या (UPBoardSolutions.com) घटायें कि प्राप्त बहुपद x2 – 4x + 3 से पूरी तरह विभाजित हो जाये।
हलः
बहुपद f(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 12x + 21
g(x) = x2 – 4x + 3
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 25
अतः बहुपद में से (2x – 3) घटाना होगा।

प्रश्न 28.
x4 + 4x3 – 2x2 -20x – 15 के अन्य सभी मूल ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए यदि इसके दो मूल [latex] \sqrt{{5}} [/latex] और -[latex] \sqrt{{5}} [/latex]
हलः
माना बहुपद f (x) = x4 + 4x3 – 2x2 – 20x – 15
प्रश्नानुसार, [latex] \sqrt{{5}} [/latex] और -[latex] \sqrt{{5}} [/latex], f(x) के मूल हैं।
= (x – [latex] \sqrt{{5}} [/latex]) और (x + [latex] \sqrt{{5}} [/latex]), f (x) के गुणनखण्ड हैं।
= (x – [latex] \sqrt{{5}} [/latex])· (x + [latex] \sqrt{{5}} [/latex]), f(x) का एक गुणनखण्ड है।
= (x2 – 5), f(x) का एक गुणनखण्ड है।
अत: f (x) को x2 – 5 से विभाजित करने पर,
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 26
⇒ f(x) = (x2 – 5)(x2 + 4x + 3)
अतः f(x) = 0
तब x2 – 5 = 0 तथा x2 +4x +3 = 0
x2 = 5 तथा x2 + 3x + x + 3 = 0
x = ±[latex] \sqrt{{5}} [/latex]         x(x + 3) + 1(x + 3) = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
x + 3 = 0 या x + 1 = 0
x = -3 या x = -1
अतः बहुपद f(x) के अन्य मूल -3 और -1 हैं।

प्रश्न 29.
बहुपद f (x) = x4 + 2x3 – 2x2 + x – 1 में क्या जोड़ें कि प्राप्त बहुपद x2 + 2x – 3 से पूरी तरह विभाजित हो जाये।
हलः
f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 + x – 1
तथा g(x) = x2 + 2x – 3
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 27
अतः बहुपद में, (-x + 2) अर्थात् (x – 2) जोड़ना पड़ेगा।

UP Board Solutions

प्रश्न 30.
बहुपद 3x3 + 10x2 – 14x + 9 में से क्या वास्तविक (UPBoardSolutions.com) संख्या घटायें कि यह (3x – 2) से पूरी तरह विभाजित हो जाये?
हलः
माना f(x) = 3x3 + 10x2 – 14x + 9
तथा g(x) = (3x – 2)
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 28
∵ f(x) को g(x) से भाग देने पर 5 शेषफल आता है।
∴ बहुपद f (x) में से वास्तविक संख्या 5 घटाने पर f(x), g(x) से पूरी तरह विभाजित हो जाता है।

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Leave a Comment