Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.1

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.1 समान्तर श्रेणी

Ex 5.1 Arithmetic Progressions अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac{4}{5}[/latex], x तथा 2 हैं तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद [latex]\frac{4}{5}[/latex], x, 2 हैं
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प्रश्न 2.
x के किस मान के लिए 2x + 1, 13, 5x – 3, एक समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं?
हलः
दी गयी समान्तर श्रेणी 2x + 1, 13, 5x – 3
∵ श्रेणी समान्तर है अतः
13 – (2x + 1) = 5x – 3 – 13 (UPBoardSolutions.com)
⇒ 13 – 2x – 1 = 5x – 16
⇒ 12 – 2x = 5x – 16
⇒ 28 = 7x
⇒ x = 4

प्रश्न 3.
समान्तर श्रेणी [latex]\frac{1}{2 a}, \frac{1 – 2 a}{2 a}, \frac{1 – 4 a}{2 a}[/latex],… का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
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प्रश्न 4.
श्रेणी 10, 7, 4,… का 30 वा पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गयी श्रेणी 10, 7, 4, ……
यहाँ प्रथम पद a = 10 तथा सार्वान्तर d = 7 – 10 = – 3
हम जानते हैं कि an = a + (n – 1)d
a30 = 10 + (30 – 1) × – 3
a30 = 10 + 29 × – 3
a30 = 10 – 87
a30 = – 77

प्रश्न 5.
समान्तर श्रेणी 14, 9, 4, – 1, – 6,… का 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 14, 9, 4, – 1, – 6….
यहाँ a = 14,d = – 5
अतः a12 = a + (12 – 1)d
= a + 11d
= 14 + 11 × – 5
= 14 – 55
= – 41

प्रश्न 6.
श्रेणी 5, 11, 17, 23… का n (UPBoardSolutions.com) वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गयी श्रेणी 5, 11, 17, 23…
यहाँ a = 5, d = 6
अतः n वाँ पद an = a + (n – 1)d
⇒ an = 5 + (n – 1)6
⇒ an = 5 + 6n – 6
⇒ an = 6n – 1

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प्रश्न 7.
श्रेणी 6, [latex]7 \frac{3}{9}, 9 \frac{1}{2}, 11 \frac{1}{4}[/latex],… का 37 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
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अतः a37 = a + (37 – 1)d
= 6 + 36d
= 6 + 36 × [latex]\frac{4}{3}[/latex]
= 6 + 12 × 4
= 6 + 48
= 54

प्रश्न 8.
समान्तर श्रेणी 72, 63, 54,…. का कौन – सा पद शून्य है ?
हलः
माना समान्तर श्रेणी 72, 63, 54,….. का n वाँ पद शून्य है।
अतः an = a + (n – 1)d सूत्र से
दिया है an = 0, a = 72, d = – 9
0 = 72 + (n – 1) × – 9
⇒ 0 = 72 – 9n + 9
⇒ 9n = 81
⇒ n = 9
अतः श्रेणी का 9 वाँ पद (UPBoardSolutions.com) शून्य है।

प्रश्न 9.
समान्तर श्रेणी 100, 90, 80…. का कौन – सा पद शून्य है?
हलः
माना समान्तर श्रेणी 100, 90, 80…. का n वाँ पद शून्य है।
तब, a = 100, d = 90 – 100 = – 10
अतः an = a + (n – 1)d
0 = 100 + (n – 1) × – 10
⇒ 0 = 100 – 10n + 10
⇒ 10n = 110
⇒ n = [latex]\frac{110}{10}[/latex]
⇒ n = 11
अतः श्रेणी का 11 वाँ पद शून्य होगा।

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प्रश्न 10.
समान्तर श्रेणी 24, 21, 18…. का कौन – सा पद पहला ऋणात्मक पद है?
हलः
माना श्रेणी 24, 21, 18…. का n (UPBoardSolutions.com) वाँ पद ऋणात्मक है
यहाँ a = 24, d = – 3
∴ an = a + (n – 1)d <0
an = 24 + (n – 1)(- 3) < 0
⇒ 24 – 3n + 3 < 0
⇒ 27 < 3n ⇒ n > [latex]\frac{27}{3}[/latex] = 9
n > 9
अतः श्रेणी का 10वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

Ex 5.1 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 11.
समान्तर श्रेणी 5, 9, 13, 17, … का कौन – सा पद 81 है?
हलः
माना इस समान्तर श्रेणी का n वाँ पद 81 है।
अतः दी गई श्रेणी 5, 9, 13, 17, …
यहाँ a = 5, d = 4, an = 81
अतः सूत्र से,
an = a + (n – 1)d
⇒ 81 = 5 + (n – 1)4
⇒ 81 = 5 + 4n – 4
⇒ 81 = 4n + 1
⇒ 81 – 1 = 4n
⇒ 80 = 4n
⇒ n = 20 वाँ पद

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प्रश्न 12.
समान्तर श्रेणी – 11, – 8, – 5,….49 का (UPBoardSolutions.com) अन्त से चौथा पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गयी समान्तर श्रेणी – 11, – 8 – 5, ….49
अत : a= – 11
d= – 8 – (- 11) = 3
अतः अन्तिम पद l = 49
हम जानते हैं कि
अन्त से चौथा पद = l – (4 – 1)d
= 49 – 3 × 3
= 49 – 9 = 40

प्रश्न 13.
समान्तर श्रेणी 3, 8, 13,….253 का अन्त से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
दी गयी श्रेणी 3, 8, 13,….253
यहाँ प्रथम पद, a = 3, सार्वान्तर d = 8 – 3 = 5 तथा अन्तिम पद l = 253
अतः अन्त से 12वाँ पद = l – (12 – 1)d
= 253 – 11 × 5
= 253 – 55 = 198

प्रश्न 14.
समान्तर श्रेणी 213, 205, 197, …,37 का मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 213, 205, 197, …,37
अतः यहाँ a = 213, d = – 8
अतः श्रेणी में पदों की संख्या an = a + (n – 1)d
⇒ 37 = 213 + (n – 1) x – 8
⇒ 37 = 213 – 8n + 8
⇒ 8n = 221 – 37
⇒ 8n = 184
⇒ n = [latex]\frac{184}{8}[/latex] ⇒ n = 23
चूँकि पदों की संख्या n = 23 विषम है।
अतः मध्य पद = [latex]\frac{n+1}{2}=\frac{23+1}{2}=\frac{24}{2}[/latex] = 2
अतः a12 = a + 11d
= 213 + 11 × – 8
= 213 – 88 = 125

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प्रश्न 15.
(i) यदि एक समान्तर श्रेणी का n (UPBoardSolutions.com) वाँ पद (2n – 1) है तो इसका 7 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
(ii) निम्न श्रेणी में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
4, 7, 10,…, 148
(iii) अनुक्रम – 7, – 2, 3, 8…. का कौन – सा पद 88 है?
(iv) अनुक्रम 4, 9, 14,19,…. का कौन – सा पद 104 है?
(v) सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम 4, 9,14,19…. का 20 वाँ पद 99 है?
हल:
(i) दिया है an = 2n – 1
अतः a7 = 2 x 7 – 1
⇒ a7 = 14 – 1
⇒ a7 = 13

(ii) श्रेणी, 4,7 , 10, ….,148
माना श्रेणी में पदों की संख्या n है।
अतः an = a + (n – 1)d
⇒ 148 = 4 + (n – 1)3
⇒ 148 = 4 + 3n – 3
⇒ 148 =3n + 1
⇒ 3n = 147
⇒ n = 49

(iii) माना श्रेणी का n वाँ पद 88 है। तब,
an = a + (n – 1)d
⇒ 88 = – 7 + (n – 1) x 5 [∵ a = -7 तथा d = 5]
⇒ 88 = – 7 + 5n – 5
⇒ 5n – 12 = 88
⇒ 5n = 88 + 12
⇒ 5n = 100
⇒ n = [latex]\frac{100}{5}[/latex]
⇒ n= 20

(iv) दी गयी श्रेणी (UPBoardSolutions.com) 4, 9, 14, 19,….
माना श्रेणी का n वाँ पद 104 है। अतः
an = a + (n – 1)d
⇒ 104 = 4 + (n – 1)5 [∵ a = 4 तथा d = 5]
⇒ 104= 4 + 5n – 5
⇒ 104 = 5n – 1
⇒ 5n = 105
⇒ n= 21

(v) दी गयी श्रेणी 4, 9, 14, 19, ….
अतः a20 = a + 19d
⇒ a20 = 4 + 19 x 5
⇒ a20 = 4 + 95
⇒ a20 = 99

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प्रश्न 16.
यदि एक समान्तर श्रेणी के पहले p पदों (UPBoardSolutions.com) का योग ap2 + bp है। तब इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के p पदों का योग = ap2 + bp
तब Sp = ap2 + bp
Sp-1 = a(p – 1)2 + b(p – 1)
Sp-1 = a(p2 + 1 – 2p) + bp – b
Sp-1 = ap2 – 2ap + a + bp – b
समान्तर श्रेणी का p वाँ पद = Tp
∴ Tp = Sp – Sp-1
Tp = (ap2 + bp) – (ap2 – 2ap + a + bp – b)
Tp = 2ap – a + b
Tp = a(2p – 1) + b
p= 1, 2, 3,… रखने पर,
T1 = a(2 × 1 – 1) + b = a(2 – 1) + b = a + b
T2 = a(2 × 2 – 1) + b = a(4 – 1) + b = 3a + b
T3 = a(2 × 3 – 1) + b = a(6 – 1) + b = 5a + b
अतः समान्तर श्रेणी a + b, 3a + b, 5a + b,…
तब सार्वअन्तर d = (3a + b) – (a + b)
= 3a + b – a – b – 2a
अतः समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर = 2a

प्रश्न 17.
एक समान्तर श्रेणी का पहला पद 6 है (UPBoardSolutions.com) तथा सार्वअन्तर – 3 है तब इसका 16 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि an = a + (n – 1)d
अतः a16 = a + (16 – 1)d
a16 = 6 + 15 × – 3 (यहाँ a = 6, d = – 3,)
a16 = 6 – 45
= – 39

प्रश्न 18.
एक समान्तर श्रेणी का चौथा पद 14 है तथा 12 वाँ पद 70 है तब इसका पहला पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है : a4 = 14 तथा a12 = 70
अतः 14 = a + 3d …(1)
70 = a + 11d …(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर
– 8d = – 56
⇒ d = 7
d का मान समीकरण (1) में रखने पर
14 = a + 3 × 7
14 = a + 21
a = – 7

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प्रश्न 19.
एक समान्तर श्रेणी का पहला पद p है तथा सार्वअन्तर q है। इसका 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, पहला पद = p
सार्वअन्तर d = q
अतः a10 = a + 9d
⇒ a10 = p + 9q

Ex 5.1 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 20.
एक समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए जिसका 3 (UPBoardSolutions.com) वाँ पद 16 है तथा 7 वाँ पद उसके 5 वें पद से 12 अधिक (NCERT)
हलः
दिया है,
a3 = 16
⇒ a + 2d = 16 ….(1)
a7 – a5 = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
6d – 4d = 12
2d = 12
⇒ d = 6
d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 2 × 6 = 16
⇒ a = 16 – 12
⇒ a = 4
अतः श्रेणी 4, 10, 16, 22,…

प्रश्न 21.
एक समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए जिसमें a25 – a12 = – 52
हलः
दिया है, a25 – a12 = – 52
⇒ a + 24d – a – 11d = –52
⇒ 24d – 11d = -52
⇒ 13d = -52
⇒ d = – 4

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प्रश्न 22.
n के किस मान के लिए, समान्तर श्रेणी (UPBoardSolutions.com) 63, 65, 67, … तथा 3, 10, 17,… के n वें पद बराबर हैं?
हलः
दी गई श्रेणी 63, 65, 67….
अतः an = a + (n – 1)d
an = 63 + (n – 1)2
an = 63 + 2n – 2
an = 61 + 2n …(1)
पुनः श्रेणी 3, 10, 17, ….
अतः an = 3 + (n – 1)7
⇒ an = 3 + 7n – 7
⇒ an = 7n – 4 …(2)
दिया है! दोनों श्रेणीयों में n वें पद बराबर है।
अतः 61 + 2n = 7n – 4
⇒ 5n = 65
⇒ n = 13

प्रश्न 23.
समान्तर श्रेणी 8, 14, 20, 26,… का कौन – सा पद 41 वें पद से 72 अधिक होगा?
हलः
दी गयी श्रेणी, 8, 14, 20, 26,…
माना इस श्रेणी का nवाँ पद 41वें पद से 72 अधिक है। अतः
an – a41 = 72
⇒ [a + (n – 1)d] – [a + 40d] = 72
⇒ a + nd – d – a – 40d = 72
⇒ nd – 41d = 72
⇒ n × 6 – 41 × 6 = 72
⇒ 6n = 72 + 246
⇒ 6n = 318 ⇒ n = [latex]\frac{318}{6}[/latex]
⇒ n = 53

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प्रश्न 24.
समान्तर श्रेणी 3, 15, 27, 39,… का (UPBoardSolutions.com) कौन – सा पद इसके 21 वें पद से 120 अधिक है?
हलः
दी गयी श्रेणी, 3, 15, 27, 39,…
माना इस श्रेणी का nवाँ पद 21वें पद से 120 अधिक है। अतः
an – a21 = 120
⇒ [a + (n – 1)d] – [a + 20d] = 120
⇒ a + nd – d – a – 20d = 120
⇒ nd – 21d = 120
⇒ (n – 21)d = 120
⇒ (n – 21) × 12 = 120 (∵ d = 12)
⇒ n – 21 = 10
⇒ n = 10 + 21
⇒ n= 31

प्रश्न 25.
एक समान्तर श्रेणी का 9 वाँ पद, दूसरे पद का 6 गुना है। यदि इसका 5 वाँ पद 22 है। तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है। दिया है :
a9 = 6 × a2
⇒ a + 8d = 6(a + b)
⇒ a + 8d = 6a + 6d
⇒ 5a = 2d
⇒ a = [latex]\frac{2 d}{5}[/latex]
तथा a5 = 22 …(1)
a + 4d = 22
समी० (1) से a का मान रखने पर,
[latex]\frac{2 d}{5}[/latex] + 4d = 22
⇒ 2d + 20d = 22 × 5
⇒ 22d = 22 × 5
⇒ d = 5
अतः a = [latex]\frac{2 \times 5}{5}[/latex] = 2
अतः समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, 17,…

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प्रश्न 26.
एक समान्तर श्रेणी का 24 वाँ पद, 10 वें पद का 2 गुना (UPBoardSolutions.com) है। तो सिद्ध कीजिए कि इसका 72 वाँ पद, 15 वें पद का चार गुना है।
हलः
दिया है : a24 = 2 × a10
⇒ a + 23d = 2 × (a + 9d)
⇒ a + 23d = 2a + 18d
⇒ a = 5d ….(1)
अतः a72 = a + 71d
a72 = 5d + 71d [समीकरण (1) से a = 5d रखने पर]
⇒ a72 = 76d
= 4 × 19d …(2)
पुनः a15 = a + 14d
⇒ a15 = 5d + 14d
⇒ a15 = 19d …(3)
⇒ समीकरण (2) तथा (3) से
a72 = 4 × a15 यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 27.
एक समान्तर श्रेणी के 5 वें तथा 9 वें पदों का योग 30 है। यदि इसका (UPBoardSolutions.com) 25 वाँ पद, इसके 8 वें पद का तीन गुना है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
∵ a5 + a9 = 30
⇒ a + 4d + a + 8d = 30
⇒ 2a + 12d = 30
⇒ a + 6d = 15 …(1)
दिया है., a25 = 3 × a8
⇒ a + 24d = 3 × (a + 7d)
⇒ a + 24d = 3a + 21d
⇒ a = [latex]\frac{3 d}{2}[/latex] …(2)
समीकरण (2) से a का मान समीकरण (1) में रखने पर
[latex]\frac{3 d}{2}[/latex] + 6d = 15
⇒ 3d + 12d = 15 × 2
⇒ 15d = 15 × 2
⇒ 15d = 30
⇒ d = 2
तथा a = 3
अतः श्रेणी 3, 5, 7, 9….

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प्रश्न 28.
101 तथा 999 के बीच की प्राकृतिक संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जोकि 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं।
हलः
∵ 101 तथा 999 के बीच प्राकृतिक संख्यायें जोकि 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं।
∴ 110, 120, 130, …, 990
तब a= 110 तथा d = 120 – 110 = 10 तथा अन्तिम पद l = 990
l = a + (n – 1)d
990 = 110 + (n – 1) × 10
990 – 110 = (n – 1) × 10
880 = (n – 1) × 10
⇒ [latex]\frac{880}{10}[/latex] = n – 1
88 = n – 1
88 + 1 = n या n = 89
अत: 101 तथा 999 के बीच प्राकृतिक संख्याओं (UPBoardSolutions.com) की संख्या जो 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं = 89

Ex 5.1 Arithmetic Progressions दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 29.
(i) सिद्ध कीजिए कि an = 4n + 5 के द्वारा स्पष्ट अनुक्रम < an > एक समान्तर अनुक्रम है तथा समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर भी ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि एक अनुक्रम का n वाँ पद, an = n2 – n + 1 है तो इसके प्रथम पाँच पद ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) दिया है an = 4n + 5
अतः a1 = 4 × 1 + 5 = 9
a2 = 4 × 2 + 5 = 13
a3 = 4 × 3 + 5 = 17
अतः श्रेणी a1, a2,a3,…. या 9,13,17,…
एक समान्तर अनुक्रम है।
अतः सार्वअन्तर, d = a2 – 44
⇒ d = 13 – 9
⇒ d = 4

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(ii) दिया है, an = n2 – n + 1
n = 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
a1 = 12 – 1 + 1 = 1
a2 = 22 – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3
a3 = 32 – 3 + 1 = 9 – 3 + 1 = 7
a4 = 42 – 4 + 1= 16 – 4 + 1 = 13
a5 = 52 – 5 + 1 = 25 – 5 + 1 = 21
अतः प्रथम पाँच पद 1, 3, 7, 13, 21

प्रश्न 30.
यदि एक समान्तर श्रेणी का 9 वाँ पद – 6 है तथा (UPBoardSolutions.com) सार्वअन्तर [latex]\frac{5}{4}[/latex] है तो इसका 25 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, a9 = – 6 तथा d = [latex]\frac{5}{4}[/latex]
⇒ a + 8d = – 6
⇒ a + 8 × [latex]\frac{5}{4}[/latex] = – 6
⇒ a + 10 = – 6
⇒ a = – 16
अतः a25 = a + 24d
= – 16 + 24 × [latex]\frac{5}{4}[/latex]
= – 16 + 6 × 5 = – 16 + 30
⇒ a25 = 14

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प्रश्न 31.
सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए जोकि 9 के द्वारा विभाजित है।
हलः
हम जानते हैं कि 108 तथा 999 क्रमशः सबसे छोटी (UPBoardSolutions.com) तथा बड़ी संख्याएँ हैं जोकि 9 से विभाजित हैं अतः श्रेणी 108, 117, 124,…999 होगी।
अत: a = 108, d = 9 तथा l = 999
an = 108 + (n – 1) × 9
⇒ 999 = 108 + 9n – 9
⇒ 999 – 108 = 9n – 9
⇒ 9n – 9 =891
⇒ 9n = 891 + 9
⇒ 9n = 900
⇒ n = [latex]\frac{900}{9}[/latex]
⇒ n = 100
अतः पदों की संख्या = 100

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