Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 6.2

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 6.2 निर्देशांक ज्यामिति

Ex 6.2 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
किसी बिन्दु का भुज किस चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है?
हलः
यदि किसी बिन्दु का भुज ऋणात्मक है (UPBoardSolutions.com) तो वह II तथा III चतुर्थांश में होगा।

प्रश्न 2.
वह बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं किस चतुर्थाश में होगा?
हलः
यदि किसी बिन्दु के दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं तो वह प्रथम चतुर्थांश में होगा।

प्रश्न 3.
तीसरे चतुर्थाश में भुज व कोटि के चिह्न क्या होंगे?
हलः
तृतीय चतुर्थांश में भुज तथा कोटि के निर्देशांक = (-,-)

प्रश्न 4.
किस चतुर्थांश में भुज व कोटि अलग-अलग चिह्न के होते हैं?
हल:
वह बिन्दु जिसके भुज व कोटि विपरीत चिह्नों के हैं। वह द्वितीय व चतुर्थ चतुर्थांश होगा।

प्रश्न 5.
बिन्दुओं 0(0, 0), A(5, 0), B(5, 3), C(0, 3) को निरूपित कर तथा OA, AB, BC व CO, को मिलाने पर क्या आकृति प्राप्त होगी?
हल:
0(0, 0), A(5, 0), B(5, 3),C(0, 3) में OA, (UPBoardSolutions.com) AB, BC तथा CO को मिलाने पर आयत बनता है।

अतः उपरोक्त आलेख से स्पष्ट है कि OA, AB, BC व CO को मिलाने पर आयत प्राप्त होता है।

प्रश्न 6.
यदि किसी बिन्दु का x-निर्देशांक शून्य है तो वह किस चतुर्थाश में स्थित होगा?
हलः
यदि किसी बिन्दु का x निर्देशांक 0 है तो यह बिन्दु हमेशा y-अक्ष पर होगा।

प्रश्न 7.
एक बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं किस चतुर्थांश में होगा?
हलः
एक बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक (UPBoardSolutions.com) ऋणात्मक हैं वह तृतीय चतुर्थांश में होगा।

प्रश्न 8.
अक्ष पर सभी बिन्दुओं के भुज का मान क्या है?
हल:
x-अक्ष पर स्थित सभी बिन्दुओं के भुज कोई भी संख्या हो सकती है।

प्रश्न 9.
y-अक्ष पर उसकी विपरीत दिशा में 4 इकाई पर स्थित बिन्दु के निर्देशांक क्या हैं?
हलः
y-अक्ष पर स्थित वह बिन्दु जो y-अक्ष की ऋण (UPBoardSolutions.com) दिशा में 4 इकाई का अन्त:खण्ड काटती है, (0, -4) होगा।

प्रश्न 10.
बिन्दु P(3, 4) की मूल बिन्दु से दूरी क्या है?
हलः
बिन्दु P(3, 4) तथा मूल बिन्दु O(0, 0) के बीच की दूरी


बिन्दु P(3, 4) की मूल बिन्दु से दूरी 5 इकाई होगी।

प्रश्न 11.
बिन्दु (5, -3) व (8, 1) के बीच की दूरी क्या है?
हलः

(5, -3) तथा (8,1) के बीच की दूरी (UPBoardSolutions.com) d = [latex]\sqrt{(8-5)^{2}+(1+3)^{2}}[/latex]

Ex 6.2 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 12.
निम्न बिन्दुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
(i) (-5, 2) व (7, -3)
(ii) (2, 0) व (-1, 4)
हल:
(i) (-5, 2) तथा (7, -3) के बीच की दूरी = [latex]\sqrt{(7+5)^{2}+(-3-2)^{2}}[/latex]
= [latex]\sqrt{(12)^{2}+(-5)^{2}}[/latex]
= [latex]\sqrt{144+25}=\sqrt{169}[/latex] = 13 इकाई

(ii) (2,0) तथा (-1,4) के बीच की दूरी (UPBoardSolutions.com) = [latex]\sqrt{(-1-2)^{2}+(4-0)^{2}}[/latex]
= [latex]\sqrt{(-3)^{2}+(4)^{2}}[/latex]
= [latex]\sqrt{9+16}=\sqrt{25}[/latex] = 5 इकाई

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (4, 3), (6, 4), (5, 6) व (3, 5) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
हलः
माना A = (4, 3), B = (6, 4), C = (5, 6), D = (3, 5)

∵ भुजा AB = BC = CD = DA तथा विकर्ण AC = विकर्ण BD
∴ ये शीर्ष एक वर्ग के शीर्ष हैं।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (14, 10), (11, 13) व (2, – 2) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हलः
माना A = (14, 10), B = (11, 13),C = (2, -2)
AB² = (11 – 14)² + (13 – 10)² = (-3)² + (3)² = 9 + 9 = 18
BC² = (2 – 11)² + (-2 – 13)² = (-9)² + (UPBoardSolutions.com) (-15) = 81 + 225 = 306
AC² = (2 – 14)² + (-2 – 10) = (-12)² + (-12)² = 144 + 144 = 288
∵ BC² = AB² + AC² (पाइथागोरस प्रमेय से)
306 = 18 + 288 = 306
∴ ये शीर्ष एक समकोण ∆ के शीर्ष हैं।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, 1), ([latex] \sqrt{{3}} [/latex], -[latex] \sqrt{{3}} [/latex]) व (-1, -1) समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हलः
बिन्दु A(1, 1), B([latex] \sqrt{{3}} [/latex], -[latex] \sqrt{{3}} [/latex]) तथा C(-1, -1)

∵ AB = BC = CA
∴ यह ∆ एक समबाहु त्रिभुज है। अतः बिन्दु (1, 1), ([latex] \sqrt{{3}} [/latex], -[latex] \sqrt{{3}} [/latex]) व (-1, -1) समबाहु ∆ के शीर्ष हैं।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (2, -2), (8, 4), (5, 7) व (-1, 1) एक आयत के शीर्ष हैं।
हलः
माना बिन्दु A = (2, -2), B = (8, 4), C = (5, 7), D = (-1, 1)

भुजा AB = भुजा CD तथा भुजा BC = भुजा DA, विकर्ण AC = विकर्ण BD
∴ A, B, C, D एक आयत के शीर्ष हैं।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (8, 4), (5, 7) व (-1, 1) (UPBoardSolutions.com) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हलः
माना बिन्दु A = (8, 4), B = (5, 7), C = (-1, 1)
AB² = (5 – 8) + (7 – 4) = (-3)² + (3)² = 9 +9 = 18
BC² = (-1 – 5)² + (1 – 7)² = (-6)² + (-6) = 36 + 36 = 72
∵ CA² = AB² + BC² = 90 = 18 + 72
∴ ये शीर्ष एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

Ex 6.2 Coordinate Geometry दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 18.
एक समकोण त्रिभुज PQR के शीर्ष P(8, 0), Q(0, 0) व R(0, -6) हैं। सिद्ध कीजिए कि इसके कर्ण की लम्बाई 10 इकाई है।
हल:
∆PQR में बिन्दु P = (8, 0), Q = (0, 0), R = (0, -6)
कर्ण [latex]\sqrt{(0-8)^{2}+(-6-0)^{2}}=\sqrt{(-8)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10[/latex] इकाई

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (-5, 6), (3, 0) व (9, 8) एक (UPBoardSolutions.com) समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
हलः
माना बिन्दु A = (-5, 6), B = (3, 0), C = (9, 8)

∵ AB = BC तथा CA² = AB² + BC²
(10[latex] \sqrt{{2}} [/latex])² = (10)² + (10)²
200 = 100 + 100 = 200
∴ ये शीर्ष एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (-2, 9), (10, -7) व (12, -5) से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र (4, 1) होगा।
हलः
माना बिन्दु 0(4,1) वृत्त का केन्द्र होगा यदि A(-2, 9),B(10, -7) तथा C(12, -5) वृत्त के केन्द्र से समान दूरी पर होंगे।

∴ त्रिज्या OA = OB = OC

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (2a, 4a), (2a, 6a) व (UPBoardSolutions.com) (2a + a[latex] \sqrt{{3}} [/latex], 5a) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हलः
माना बिन्दु A = (2a, 4a), B = (2a, 6a),C = (2a + a[latex] \sqrt{{2}} [/latex], 5a)

∵ AB = BC = CA
∴ ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P(2, 2) बिन्दु A(1, 2), (UPBoardSolutions.com) B(2, 1) व C(2, 3) से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र है।
हलः
बिन्दु P(2, 2) वृत्त का केन्द्र होगा यदि

∵ PA = PB = PC
∴ P वृत्त का केन्द्र है।

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