Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 6.4

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 6.4 निर्देशांक ज्यामिति

Ex 6.4 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (0, 4), (0, – 4) व (6, 0) हैं।
हलः

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(0 + 0 + 24) – (0 – 24 + 0)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][24 + 24] (UPBoardSolutions.com) = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 48 = 24 वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (4, 6), (3, 4) व (6, 2) हैं।
हलः

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(16 + 6 + 36) – (18 + 24 + 8)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][158 – 50] = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 8 = 4 वर्ग इकाई

प्रश्न 3.
यदि बिन्दु A(x, y), B(3, 2) व C(1, 3) सरेख हैं तब x व y में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हलः

बिन्दु A(x, y), B(3, 2), C(1, 3) संरेख होंगे
∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(2x + 9 + y) – (3y + 2 + 3x)]
0 = [latex]\frac{1}{2}[/latex][-x – 2y + 7]
0 × 2 = –x – 2y + 7
x + 2y = 7

प्रश्न 4.
यदि बिन्दु (a, 0), (1, – 1) व (11, 4) सरेख हैं तब a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(-a + 4 + 0) – (0 – 11 + 4a)]
0 = [latex]\frac{1}{2}[/latex] (UPBoardSolutions.com) [-a + 4 + 11 – 4a]
0 × 2 = – 5a + 15
0 = – 5a + 15 ⇒ 5a = 15
a = [latex]\frac{15}{5}[/latex] = 3.

प्रश्न 5.
तीन बिन्दु संरेख होंगे यदि वे किस पर स्थित होंगे?
हलः
तीन बिन्दु संरेख कहलाते हैं यदि वे एक सरल रेखा में स्थित होंगे।

Ex 6.4 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (x, y),( – 5, 7) व (-4, 5) संरेख हैं तो सिद्ध कीजिए कि 2x + y + 3 = 0
हलः

यदि बिन्दु (x, y), (-5, 7),(-4, 5) संरेख हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
[latex]\frac{1}{2}[/latex] (UPBoardSolutions.com) [(7x – 25 – 4y) – (-5y – 28 + 5x)] = 0
7x – 25 – 4y + 5y + 28 – 5x = 0
2x + y + 3 = 0

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, 2), (3, 3) व (-1, 1) संरेख हैं।
हल:

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(3 + 3 – 2) – (6 – 3 + 1)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][4 – 4] = 0 वर्ग इकाई
∵ ∆ का क्षेत्रफल 0 है, ∴ तीनों बिन्दु संरेख होंगे।

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (3, [latex]-\frac{7}{2}[/latex]), ([latex]\frac{7}{2}[/latex] – 1) व [latex]\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)[/latex] हैं। सिद्ध कीजिए कि उसका क्षेत्रफल [latex]\frac{15}{8}[/latex] वर्ग इकाई है।
हल:

Ex 6.4 Coordinate Geometry दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a, b + c), (b, c + a) व (c, a + b) संरेख हैं।
हल:

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(ac + a + ba + b² + cb + c²) – (b² + bc + c² + ca + a² + ab)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][0] (UPBoardSolutions.com) = 0 वर्ग इकाई
∴ ये बिन्दु संरेख हैं।

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु (x, y),(2, 3) व (-3, 4) संरेख हैं तो सिद्ध कीजिए कि x + 5y = 17
हल:

∵ ये बिन्दु सरेख हैं।
∴ ∆ का क्षेत्रफल = 0
[latex]\frac{1}{2}[/latex][(3x – 8 – 3y) – (2y – 9 + 4x)] = 0
3x + 8 – 3y – 2y + 9 – 4x = 0
-x – 5y = – 17
( – ) से गुणा करने पर,
x + 5y = 17

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल [latex]\frac{41}{2}[/latex] वर्ग इकाई है जिसके शीर्ष (1, 1), (3, 4), (5, -2) व (4, -7) हैं।
हलः
माना ABCD एक चतुर्भुज है जिसके शीर्षों के निर्देशांक
A = (1, 1), B = (3, 4), C = (5, -2) व D = (4, -7) हैं।


चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(4 – 6 – 35 + 4) – (3 + 20 – 8 – 7)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] (UPBoardSolutions.com) [(8 – 4) – (23 – 15)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][-33 – 8] = [latex]-\frac{41}{2}[/latex]
(-) चिहन छोड़ने पर = 41 वर्ग इकाई

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष (3, 0), (0, 6) व (6, 9) हैं। एक रेखा DE, AB व AC को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करती है। तब सिद्ध कीजिए कि ∆ABC = 9∆ADE
हल:
बिन्दु D, AB को 1 : 2 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है।

∆ADE का क्षेत्रफल = [latex]\frac{5}{2}[/latex] वर्ग इकाई
∴ ∆ABC = 9∆ADE

प्रश्न 13.
एक बिन्दु इस प्रकार गति करता है कि उसकी बिन्दु (ae, 0) व (-ae, 0) से दूरी सदैव 2a रहती है। सिद्ध कीजिए कि उस बिन्दु का बिन्दुपथ [latex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}[/latex] = 1 होगा। जहाँ b² = a²(1 – e²)
हलः
माना बिन्दु के निर्देशांक = (h, k)
(h, k) की (ae, 0) से दूरी + (-ae,0) से दूरी = 2a

प्रश्न 14.
एक बिन्दु इस प्रकार गति करता है कि उसकी बिन्दु (-g, -f) से दूरी सदैव a इकाई है। सिद्ध कीजिए कि उस बिन्दु का बिन्दुपथ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है, जहाँ c = g² + f² – a²
हलः
माना बिन्दु के निर्देशांक = (h, k)
बिन्दु (h, k) की (-g, – f) से दूरी = a (UPBoardSolutions.com)
[latex]\sqrt{(h+g)^{2}+(k+f)^{2}}=a[/latex]
वर्ग करने पर, (h + g)² + (k + f)² = a²
h² + g² + 2hg + k² + f² + 2kf = a²
h² + k² + 2gh + 2kf + g² + f² – a = 0
बिन्दुपथ के लिए
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
जहाँ c = g² + f² – a²

प्रश्न 15.
यदि तीन बिन्दु (a, 0), (0, b) व (x, y) संरेख हैं तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}[/latex] = 1
हलः

तीन बिन्दु (a, 0), (0, b), (x, y) संरेख हैं यदि ∆ का क्षेत्रफल = 0
[latex]\frac{1}{2}[/latex][(ab + 0 + 0) – (0 + bx + ay)] = 0
ab – bx – ay = 0
ab = bx + ay
1 = [latex]\frac{b x}{a b}+\frac{a y}{a b}[/latex]
∴ [latex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}[/latex] = 1

प्रश्न 16.
यदि (-1, 3) व (4, -2) को मिलाने वाली रेखा बिन्दु (a, b) से होकर जाती है तो सिद्ध कीजिए कि a + b = 2
हलः
तीन बिन्दु (-1, 3),(4, -2) (UPBoardSolutions.com) तथा (a, b) से होकर एक रेखा जाती है।
∴ इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

[latex]\frac{1}{2}[/latex][(2 + 4b – 3a) – (12 – 2a – b)] = 0
3a + 4b + 2 – 12 + 2a + b = 0
5a + 5b = 10
5(a + b) = 10
a + b = [latex]\frac{10}{2}[/latex] = 5

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