Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.3 त्रिभुज
प्रश्न 1.
यदि ∆ ABC ~ ∆ DEF तथा AB = 1.2 सेमी तथा DE = 1.4 सेमी है तो ∆ ABC और ∆ DEF के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है
∆ ABC ~ ∆ DEF
AB = 1.2 सेमी
DE = 1.4 सेमी
चूँकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का (UPBoardSolutions.com) अनुपात उनकी संगत B भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए, (∆ ABC) का क्षेत्रफल = (AB)2
(∆ DEF) का क्षेत्रफल = (DE)2
प्रश्न 2.
यदि ∆ ABC ~ ∆ DEF तथा ∆ ABC का क्षेत्रफल 9 सेमी2 है और ∆ DEF का क्षेत्रफल 16 सेमी2 है व BC = 2.1 सेमी है तो EF ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
∆ABC ~ ∆DEF
∆ ABC का क्षेत्रफल = 9 सेमी2
∆DEF का क्षेत्रफल = 16 सेमी2
BC = 2.1 सेमी
ज्ञात करना है EF का (UPBoardSolutions.com) मान
चूँकि ∆ABC ~ ∆DEF
प्रश्न 3.
यदि ∆ ABC ~ ∆DEF है, यदि (∆ ABC) का क्षेत्रफल = 36 सेमी2, (∆ DEF) का क्षेत्रफल = 64 सेमी2 तथा DE = 6.2 सेमी है तो AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, ∆ABC ~ ∆DEF
∆ABC का क्षेत्रफल = 36 सेमी2
∆ DEF का क्षेत्रफल = 64 सेमी2
DE = 6.2 सेमी
हमें AB की लम्बाई ज्ञात (UPBoardSolutions.com) करनी है।
चूँकि ∆ABC ~ ∆ DEF
प्रश्न 4.
यदि ∆ ABC ~ ∆DEF तथा (∆ ABC) का क्षेत्रफल = 16 सेमी2, (∆DEF) का क्षेत्रफल = 25 सेमी2 तथा BC = 2.3 सेमी है तो EF ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, ∆ ABC ~ ∆ DEF
∆ ABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी2
∆ DEF का क्षेत्रफल (UPBoardSolutions.com) = 25 सेमी2
BC = 2.3 सेमी
हमें EF का मान ज्ञात करना है।
चूँकि, ∆ABC ~ ∆ DEF
प्रश्न 5.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 81 सेमी2 तथा 49 सेमी2 हैं। उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात कीजिए तथा उनकी संगत माध्यिकाओं का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो समरूप त्रिभुज क्रमशः हैं ∆ ABC और ∆ DEF
दिया है, ∆ ABC ~ ∆ DEF
∆ ABC का क्षेत्रफल = 81 सेमी2
∆DEF का क्षेत्रफल = 49 (UPBoardSolutions.com) सेमी2
प्रश्न 6.
यदि ∆ ABC ~ ∆DEF तथा BC = 3 सेमी, EF = 4 सेमी और (∆ ABC) का क्षेत्रफल = 54 सेमी2 है तो ∆ DEF का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, ∆ ABC ~ ∆ DEF
BC = 3 सेमी
EF = 4 सेमी
∆ ABC का क्षेत्रफल = 54 सेमी2
हमें ∆ DEF का क्षेत्रफल (UPBoardSolutions.com) ज्ञात करना है।
चूँकि ∆ ABC ~ ∆ DEF
प्रश्न 7.
दो समद्विबाहु त्रिभुजों के शीर्ष कोण समान हैं तथा उनके क्षेत्रफलों का अनुपात 36 : 25 है। तब उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो समद्विबाहु त्रिभुज क्रमशः ∆ ABC और ∆ DEF हैं।
∆ ABC में AB = AC
∆DEF में DE = DF
और दिया है, ∠A = ∠D
प्रश्न 8.
∆ ABC में, D तथा E क्रमशः AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं। ∆ ADE और ∆ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
दिया है, D और E क्रमश: ∆ABC की. भुजा AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं।
अतः AD = DB
AE = EC
∵ AB = AD + DB
∴ AB = AD + AD (AD = DB)
AB = 2AD
[latex]\frac{A B}{A D}[/latex] = 2 …(1)
और AC = AE + EC
AC = AE + AE (AE = EC)
AC = 2AE
[latex]\frac{A C}{A E}[/latex] = 2 …(2)
समीकरण (1) और (2) द्वारा, (UPBoardSolutions.com)
∴ ∆ADE का क्षेत्रफल : ∆ABC का क्षेत्रफल = 1 : 4
प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 169 सेमी2 तथा 121 सेमी2 हैं। यदि बड़े त्रिभुज की बड़ी भुजा 26 सेमी हैं तो छोटे त्रिभुज की बड़ी भुजा ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो त्रिभुज ∆ ABC और ∆ DEF हैं।
दिया है ∆ABC ~ ∆ DEF
∆ABC का क्षेत्रफल = 121 सेमी2
∆ DEF का क्षेत्रफल = 169 सेमी2, DF = 26 सेमी
माना ∆ DEF की बड़ी भुजा = DF
और ∆ ABC की बड़ी भुआ = AC
अब चूंकि, ∆ DEF ~ ∆ ABC
प्रश्न 10.
दिये गये चित्र में, PB तथा QA, रेखाखण्ड AB के लम्बवत् है। यदि PO = 5 सेमी,QO = 7 सेमी तथा ∆ POB का क्षेत्रफल = 150 सेमी2 है। तो ∆QOA का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
∠OBP = 90°
∠OAQ = 90°
OQ = 7 सेमी
OP = 5 सेमी
∆ POB का क्षेत्रफल = 150 सेमी2
हमें ∆QOA का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
∆ POB और ∆QOA में, (UPBoardSolutions.com)
∆ POB = ∆QOA (शीर्षाभिमुख कोण)
∆OBP = ∆QAO = (90°)
∴ ∆POB ~ ∆QOA (AA-समरूपता)
प्रश्न 11.
दो समरूप त्रिभुजों ABC तथा PQR के क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 है यदि BC = 4.5 सेमी है तो QR की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 12.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 100 सेमी2 तथा 49 सेमी2 हैं। यदि बड़े त्रिभुज की ऊँचाई 5 सेमी है तो दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो त्रिभुज ∆ ABC और ∆ DEF हैं।
दिया है, ∆ DEF का (UPBoardSolutions.com) क्षेत्रफल = 100 सेमी2
∆ABC का क्षेत्रफल = 49 सेमी2
∆ DEF की ऊँचाई = 5 सेमी
और ∆DEF ~ ∆ ABC
हमें ∆ ABC की ऊँचाई ज्ञात करनी है।
चूँकि ∆DEF ~ ∆ ABC
प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग ABCD की एक भुजा BC को आधार लेकर बने एक त्रिभुज BCE का क्षेत्रफल, विकर्ण AC को आधार लेकर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
हलः
दिया है, ABCD एक वर्ग है तथा समबाहु त्रिभुज BCE तथा ACF क्रमशः भुजा BC तथा विकर्ण AC पर बने हैं।
हमें सिद्ध करना है कि ∆ BCE का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × ∆ ACF का क्षेत्रफल
चूँकि त्रिभुज BCE तथा ∆ ACF समबाहु हैं इसलिए उनके कोण भी बराबर होंगें। (प्रत्येक = 60°)
प्रश्न 14.
एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा पर समबाहु त्रिभुज खींचा गया है। तो सिद्ध कीजिए कि कर्ण पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल, अन्य दो भुजाओं पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हलः
माना ∆ ABC एक समकोण त्रिभुज है
∆ ADB, ∆ BEC, (UPBoardSolutions.com) ∆ AFC समबाहु त्रिभुज है।
AFC और ∆ BEC में सभी कोण बराबर होंगे।
प्रश्न 15.
एक त्रिभुज ABC है। PQ एक सीधी रेखा है। AB, P में मिल रही है। तथा AC, Q में, यदि AP = 1 सेमी, PB = 3 सेमी, AQ = 1.5 सेमी, QC = 4.5 सेमी है। तो सिद्ध कीजिए कि ∆APQ का क्षेत्रफल, ∆ ABC के क्षेत्रफल का [latex]\frac{1}{16}[/latex] है।
हलः
प्रश्न 16.
दो समरूप त्रिभुजों की संगत ऊँचाईयाँ क्रमश: 6 सेमी तथा 9 सेमी हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, दो त्रिभुज ∆ ABC और ∆ DEF हैं
∆ ABC की ऊँचाई = AL = 6 सेमी
∆DEF की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई = AM = 9 सेमी
दिया है, ∆ ABC ~ ∆DEF
⇒ ∆ABC का क्षेत्रफल : ∆DEF का क्षेत्रफल = 4 : 9
प्रश्न 17.
∆ ABC में, भुजा AB, P द्वारा विभाजित है तथा AP : PB = 1 : 2, AC पर एक बिन्दु 0 है तथा PQ||BC है। ∆ ABC के क्षेत्रफल तथा समलम्ब चतुर्भुज BPQC के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, AP : PB = 1 : 2
PQ || BC
∆ ABC और ∆APQ में,
∠ABC = ∠APQ (संगत कोण)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∴ ∆ABC ~ ∆APQ
⇒ ∆ABC का क्षेत्रफल : समलम्ब चतुर्भुज PBCQ का क्षेत्रफल = 9 : 8
प्रश्न 18.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमश: 100 सेमी2 तथा 64 सेमी2 हैं। यदि छोटे त्रिभुज की माध्यिका 5.6 सेमी है। तो दूसरे की संगत माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो त्रिभुज हैं ABC तथा DEF
दिया है, ∆ ABC ~ ∆ DEF
∆ ABC का क्षेत्रफल = 64 सेमी2
∆DEF का क्षेत्रफल = 100 सेमी2
∆ ABC की (UPBoardSolutions.com) माध्यिका = 5.6 सेमी
हमें ∆ DEF की माध्यिका ज्ञात करनी है।
प्रश्न 19.
∆ ABC, A पर समकोण है तथा AD ⊥ BC है। यदि BC = 13 सेमी और AC = 5 सेमी है तो ∆ ABC तथा ∆ ADC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है (UPBoardSolutions.com) ∠ BAC = 90°
AD ⊥ BC
BC = 13 सेमी, AC = 5 सेमी
⇒ ∆ ABC का क्षेत्रफल : ∆ ADC का क्षेत्रफल = 169 : 25