Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 8 Circles Ex 8.1

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 8 Circles Ex 8.1 वृत्त

Ex 8.1 Circles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
6 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के केन्द्र से 8 सेमी दूर स्थित एक बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
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∆OPQ में, (PQ)2 = (OQ)2 + (OP)2
(PQ)2 = (6)2 + (8)2
= 36 + 64
= 100
PQ = [latex] \sqrt{{100}} [/latex] (UPBoardSolutions.com) = 10 सेमी

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प्रश्न 2.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। जिसकी दो जीवाएँ AB व CD परस्पर बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि CE = 4 सेमी तथा ED = 2 सेमी है तब AE EB का मान ज्ञात कीजिए
हलः
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AE · EB = CE · ED
= 4 × 2 (UPBoardSolutions.com)
= 8 सेमी2

प्रश्न 3.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। जिसकी दो जीवाएँ AB व CD परस्पर बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि CE = 4 सेमी तथा ED = 6 सेमी है तब AE व EB आसन्न भुजाओं वाले आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
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AE · EB = CE · ED
= 4 × 6 (UPBoardSolutions.com)
= 24 सेमी2

प्रश्न 4.
चित्र में PT एक स्पर्शी है। यदि PT = 12 सेमी तथा PB = 8 सेमी तब जीवा AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
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AP · BP = PT2
AP·8 = (12)2
AP = [latex]\frac{144}{8}[/latex] (UPBoardSolutions.com) = 18 सेमी
जीवा AB = AP – BP
= 18 – 8
= 10 सेमी

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प्रश्न 5.
चित्र में, PAB वृत्त की एक छेदक रेखा है तथा PT वृत्त की स्पर्शी है। यदि PA = 5 सेमी, AB = 15 सेमी तब PT की लम्बाई क्या होगी?
हलः
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PA · PB = (PT)2
5·20 = (PT)2 (UPBoardSolutions.com) (∵ PB = PA + AB)
PT = [latex] \sqrt{{100}} [/latex] = 10 सेमी

Ex 8.1 Circles लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-1)

प्रश्न 6.
एक बिन्दु A, वृत्त के केन्द्र से 26 सेमी दूर है तथा A से वृत्त पर स्पर्शी की लम्बाई 24 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ वृत्त की त्रिज्या, स्पर्श बिन्दु P पर (UPBoardSolutions.com) स्पर्श रेखा के साथ 90° का कोण बनाती है।
∴ समकोण ∆OPA में,
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(OA)2 = (OP)2 + (PA)2
(26) = (OP)2 + (24)2
676 = (OP)2 + 576
676 – 576 = (OP)2
(OP)2 = 100
OP = [latex] \sqrt{{100}} [/latex] = 10 सेमी
∴ वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है।

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प्रश्न 7.
चित्र में PT, O केन्द्र वाले वृत्त की स्पर्शी है। यदि OP = 17 सेमी तथा OT = 8 सेमी तब स्पर्शी PT की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
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OP = 17 सेमी तथा OT = 8 सेमी
∵ वृत्त की त्रिज्या OT (UPBoardSolutions.com) स्पर्श रेखा TP के बिन्दु T पर लम्ब है।
∴ समकोण ∆OTP में,
(OP)2 = (OT)2 + (TP)2
(17)2 = (8)2 + (TP)2
289 = 64 + (TP)2
289 – 64 = (TP)2
225 = (TP)2
∴ TP = [latex] \sqrt{{1225}} [/latex] = 15 सेमी
∴ स्पर्श रेखा की लम्बाई = 15 सेमी

प्रश्न 8.
चित्र में O वृत्त का केन्द्र है तथा इसकी त्रिज्या 1.5 सेमी है। बिन्दु P, O से 3.9 सेमी दूरी पर है। बिन्दु P से वृत्त पर स्पर्शी PT है। PT की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
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∠OTP = 90° 1 (UPBoardSolutions.com) [वृत्त की त्रिज्या तथा स्पर्श रेखा के बीच का कोण ]
समकोण ∆OTP में,
(OP)2 = (OT )2 + (TP)2
(3.9)2 = (1.5)2 + (TP)2
15.21 = 2.25 + (TP)2
15.21 – 2.25 = (TP)2
12.96 = (TP)2
∴ TP = [latex] \sqrt{{12.96}} [/latex] = 3.6 सेमी

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प्रश्न 9.
चित्र में यदि AP = 8 सेमी, CP = 6 सेमी तथा PD = 4 सेमी है तब AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
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∵ AP · PB = CP · PD
8 × PB = 6 × 4
PB = [latex]\frac{6 \times 4}{8}[/latex] = 3 सेमी
∴ जीवा AB = AP + (UPBoardSolutions.com) PB = 8 + 3 = 11 सेमी

प्रश्न 10.
निम्न प्रत्येक चित्र में x के मान ज्ञात कीजिए-
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हलः
(i) AE·EB = CE · ED (∵ AE = x, EB = 2.5 सेमी, CE = 3 सेमी, ED = 5 सेमी)
x × 2.5 = 3 × 5
x = [latex]\frac{3 \times 5}{2.5}[/latex]= 6 सेमी

(ii) PA · PB = PC · PD
7 × 16 = 6 × (6 + x) (UPBoardSolutions.com) [∵ PB = 9 + 7 = 16 व PD = (6 + x)]
112 = 6(6 + x)
[latex]\frac{112}{6}[/latex] = (6 + x) या 18.67 = 6 + x
या x = 18.67 – 6 = 12.67 सेमी

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प्रश्न 11.
चित्र में किसी वृत्त के बिन्दु T पर स्पर्शी PT है तथा PAB वृत्त की एक छेदक रेखा है। यदि PA = 9 सेमी तथा AB = 7 सेमी तब PT की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
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∵ PA = 9 सेमी
PB = PA + AB
= 9 + 7 = 16 सेमी
PA · PB = (PT)2
9 × 16 = (PT)2
144 = (PT)2
∴ PT = [latex] \sqrt{{144}} [/latex] = 12 सेमी

Ex 8.1 Circles लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 12.
चित्र में PA व PB स्पर्शी इस प्रकार हैं कि PA = 9 सेमी तथा ∠ APB = 60° है तब जीवा AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ किसी बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखायें
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 8 Circles Ex 8.1 12
PA = PB = 9 सेमी
∴ ∠ PAB = ∠ PBA
∵ ∠PAB + ∠ PBA + ∠APB = 180°
2∠PBA + LAPB = 180°
2∠PBA + 60° = 180°
2∠PBA = (UPBoardSolutions.com) 120°
⇒ ∠PBA = 60°
∴ ∠PAB = 60°
∴ ∆ PAB एक समबाहु A है।
PA = PB = AB = 9 सेमी

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प्रश्न 13.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। बिन्दु से वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्शी PQ इस प्रकार है कि PQ = 4 सेमी तथा ∠PQO = 45°। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
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∵ वृत्त की त्रिज्या, स्पर्श रेखा के बिन्दु P पर लम्बवत् होगी।
∴ ∠OPQ = 90°
∠PQO = 45°
∆OPQ में, ∠POQ = 180° – (90° +45°)
= 180° -135°
= 45°
∴ समद्विबाहु ∆OPQ में,
PQ = PO = 4 सेमी
∴ वृत्त की त्रिज्या OP = 4 सेमी

प्रश्न 14.
O केन्द्र वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाखण्ड BC व BD इस प्रकार हैं कि ∠CBD = 120° है। सिद्ध कीजिए कि OB = 2BC
हलः
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चतुर्भुज BCOD में,
∠BCO = ∠BDO = 90° (वृत्त की त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण)
∠CBD + ∠COD = 180°
120° + ∠COD (UPBoardSolutions.com) = 180°
∠COD = 180° – 120° = 60°
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प्रश्न 15.
∆ ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें BC = 6 सेमी तथा AB = 8 सेमी है। ∆ ABC के अन्तर्गत एक 0 केन्द्र तथा x त्रिज्या का वृत्त है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
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BMON एक वर्ग होगा, क्योंकि
∠ABC = 90°
∠BNO = ∠BMO = 90° [त्रिज्या तथा स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण]
शेष ∠MBN = ∠MON = 90° (UPBoardSolutions.com) [चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है व ∠ABC = 90° (दिया है)]
∴ BMON एक वर्ग है।
माना MB = BN = a
AN = AT = b
CM – CT = c
समकोण त्रिभुज में,
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∴ वर्ग BMON की भुजा a = x = 2 सेमी

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प्रश्न 16.
एक चतुर्भुज ABCD के अन्दर एक वृत्त इस प्रकार है कि BC = 38 सेमी, BQ = 27 सेमी, DC = 25 सेमी तथा AD, DC पर लम्ब है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः
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∠PDS = 90°
∠OPD = ∠OSD = 90° [स्पर्श रेखा तथा त्रिज्या के बीच का कोण]
∠ PDS + ∠OPD + ∠OSD + ∠POS = 360°
∠POS = 360° – (UPBoardSolutions.com) (90° +90° + 90°)
= 360°- 270° = 90°
∴ POSD एक वर्ग है।
माना DS = DP = x
SC = CR = y
BQ = BR = 27 [ एक ही बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ]
∴ y = BC – BR
= 38 – 27
= 11
DC = x + y = 25
y का मान रखने पर x +11 = 25
x = 25 – 11
= 14 सेमी
अतः DS = DP = OP = OS एक वर्ग की भुजाएँ हैं।
∴ वृत्त की त्रिज्या = 14 सेमी

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प्रश्न 17.
एक वृत्त, त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC व CA को क्रमशः बिन्दु P,Q व R पर अन्तः स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि AP + BQ + CR = PB +QC + RA = [latex]\frac{1}{2}[/latex] (∆ ABC का परिमाप)
हलः
दिया है: ∆ ABC में, अन्तः वृत्त का केन्द्र O है। जो त्रिभुज की भुजाओं AB, BC तथा CA को क्रमशः P, Q तथा R पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है: AP + BQ + CR = PB + QC + RA = [latex]\frac{1}{2}[/latex] (∆ ABC का परिमाप)
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उपपत्तिः ∵ किसी (UPBoardSolutions.com) बिन्दु से वृत्त पर खींची दोनों स्पर्शियाँ बराबर होती हैं।
∴ AP = AR …(1)
BQ = BP …(2)
CR = CQ …(3)
समीकरण (1), (2) व (3) को जोड़ने पर
AP + BQ + CR = AR + PB + QC
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][AB + BC + CA)
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