Class 7

UP Board Class 7 Maths Model Paper are part of UP Board Class 7 Model Papers. Here we have given UP Board Class 7 Maths Model Paper.

Board	UP Board
Class	Class 7
Subject	Maths
Model Paper	Paper 1
Category	UP Board Model Papers

UP Board Class 7 Maths Model Paper गणित

सत्र परीक्षा प्रश्न-पत्र ।
कक्षा-7
विषय-गणित

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या सभी भिन्नै परिमेय संख्याएँ हैं?
हल:
हाँ, सभी भिन्ने परिमेय संख्याएँ हैं।

प्रश्न 2.
[latex]\frac { 4 } { 5 } + \left( \frac { – 2 } { 5 } \right)[/latex]को सरल कीजिए।
हल:
[latex]\frac { 4 }{ 5 } -\frac { 2 }{ 5 } =\frac { 4-2 }{ 5 } =\frac { 2 }{ 5 } [/latex]

प्रश्न 3.
[latex]\frac { -8 }{ 10 } [/latex]को सरलतम रूप में लिखिए।
हल:
[latex]\frac { -8 }{ 10 } =\frac { -8\div 2 }{ 10\div 2 } =\frac { -4 }{ 5 } [/latex]

प्रश्न 4.
4x × (-7x) का मान बताइए।
हल:
4x × (-7x)
= -4 × 7 × x × x = -28 [latex]{ x }^{ 2 }[/latex]

प्रश्न 5.
[latex]{ (x+5) }^{ 2 }[/latex] का मान बताइए।
हल:
[latex]{ (x+5) }^{ 2 }[/latex] = [latex]({ x) }^{ 2 }[/latex] +2 × x × 5 + [latex]{ (5 })^{ 2 }[/latex] = [latex]{ x }^{ 2 }[/latex] + 10x + 25

प्रश्न 6.
पावं चित्र में, ∠B समकोण है, भुजा CA की माप ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
किसी त्रिभुज की माध्यिकाएँ कैसी होती हैं?
हल:
त्रिभुज की माध्यिकाएँ संगामी होती हैं।

प्रश्न 8.
[latex]2 – \left( \frac { – 3 } { 4 } \right)[/latex] को सरल कीजिए।
हल:
[latex]2 – \left( \frac { – 3 } { 4 } \right) = 2 + \frac { 3 } { 4 } = \frac { 8 + 3 } { 4 } = \frac { 11 } { 4 } = 2 \frac { 3 } { 4 }[/latex]

प्रश्न 9.
(x + 4) (x – 4) का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हल:
[latex]( x + 4 ) ( x – 4 ) = x ^ { 2 } – 4 ^ { 2 } = x ^ { 2 } – 16[/latex]

प्रश्न 10.
पाइथागोरस प्रमेय क्या है?
हल:
किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल शेष दोनों भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योगफल के बराबर होता है।

प्रश्न 11.
[latex]\left( – \frac { 1 } { 8 } \right) \div \frac { 3 } { 4 }[/latex] को हल कीजिए।
हल:
[latex]- \frac { 1 } { 8 } \times \frac { 4 } { 3 } = – \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 3 } = – \frac { 1 } { 6 }[/latex]

प्रश्न 12.
5 × 2x का गुणनफल बताइए।
हल:
5 × 2x = 10x

प्रश्न 13.
[latex]\left( \frac { – 2 } { 3 } \right) \frac { – 5 } { 3 }[/latex] को हल कीजिए।
हल:
[latex]\left( \frac { – 2 } { 3 } \right) \frac { – 5 } { 3 } = \frac { – 2 } { 3 } \times \frac { – 5 } { 3 } = \frac { 10 } { 9 } = 1 \frac { 1 } { 9 }[/latex]

प्रश्न 14.
[latex]3 x ^ { 2 } y \times 7 x y ^ { 2 }[/latex] का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हल:
[latex]3 x ^ { 2 } y \times 7 x y ^ { 2 } = 21 x ^ { 3 } y ^ { 3 }[/latex]

प्रश्न 15.
न्यूनकोण त्रिभुज का परिकेन्द्र त्रिभुज के————में स्थित होता है। वाक्य पर्ण कीजिए।
हल:
न्यूनकोण त्रिभुज का परिकेन्द्र त्रिभुज के अन्तःक्षेत्र में स्थित होता है।

प्रश्न 16.
[latex]( x – 7 ) ^ { 2 }[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
[latex]( x – 7 ) ^ { 2 } = ( x ) ^ { 2 } – 2 \times x \times 7 + ( 7 ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } – 14 x + 49[/latex]

प्रश्न 17.
समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा को क्या कहते हैं?
हल:
समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा को कर्ण कहते हैं।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 18.
[latex]\left( \frac { – 5 } { 6 } \right) + \frac { 17 } { 10 } + \left( \frac { 7 } { – 12 } \right)[/latex] का मान ज्ञात कीजिए
हल:

प्रश्न 19.
दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल [latex]\left( \frac { – 5 } { 6 } \right)[/latex] है यदि इनमें से एक संख्या [latex]\left( \frac { – 7 } { 12 } \right)[/latex] है दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 20.
[latex]\left( 5 x ^ { 2 } – 6 x + 9 \right)[/latex] में [latex]( 2 x – 3 )[/latex] से गुणा कीजिए।
हल:

प्रश्न 21.
एक आयताकार मैदान की लम्बाई (2x + 1) मी तथा चौड़ाई (2x-1) मी है तो आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
आयताकार मैदान की लम्बाई = (2x + 1) मी
आयताकार मैदान की चौड़ाई = (2x- 1) मी
आयताकार मैदान का क्षेत्रफल = लं. ४ चौ.
= (2x + 1) (2x-1)
= [latex]( 2 x ) ^ { 2 } – ( 1 ) ^ { 2 }[/latex] मी²
= [latex]\left( 4 x ^ { 2 } – 1 \right)[/latex] मी²

प्रश्न 22.
एक समकोण त्रिभुज ABC खींचिए, जिसमें ∠c समकोण हो। AB का बिन्दू O ज्ञात कीजिए। केन्द्र O और त्रिज्या OA वाला एक वृत्त खींचिए। क्या यह C से होकर जाता है? AABC के सन्दर्भ
में, बिन्दु O को क्या कहते हैं?
हल:
हाँ, केन्द्र O और त्रिज्या OA वाला वृत्त C से होकर जाता है। Δ ABC के सन्दर्भ में, बिन्दु O को परिकेन्द्र कहते हैं।

प्रश्न 23.
[latex]\frac { 2 } { 5 } , \frac { 4 } { 7 } , \frac { 5 } { 9 } , \frac { 1 } { 6 }[/latex] को अवरोही क्रम में लिखिए।
हल:

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 24.
10 मीटर लम्बी सीढ़ी एक दीवार से 8 मीटर दूरी पर लगाई गई है। इस दीवार पर सीढी कितनी ऊँचाई तक पहुँचेगी?
हल:
मान लीजिए कि सीढी दीवार पर h मी ऊँचाई तक पहुँची।
पाइथागोरस प्रमेय से,

प्रश्न 25.
एक रेलगाड़ी की चाल [latex]\left( 2 x ^ { 2 } + x + 4 \right)[/latex] किमी प्रति घण्टा है। ज्ञात कीजिए :
हल:

प्रश्न 26.
5 सेमी का एक रेखाखण्ड MN खींचिए। रेखाखण्ड MN पर एक बिन्दु P लेकर, बिन्दु P से रेखाखण्ड MN पर एक लम्ब डालिए।
हल:
रचना – सर्वप्रथम MN एक रेखाखण्ड
खींचा, उस एक बिन्दु P लिया।

बिन्दु Pसे एक चाप लगाया जो रेखाखण्ड MN को Rs बिन्दुओं पर काटता है। Rसे RP से बड़ी त्रिज्या लेकर चाप लगाया।S से उसी त्रिज्या का दूसरा चाप लगाया। दोनों चाप बिन्दु पर काटते हैं। बिन्दु L तथा Pको दोनों ओर बढ़ाया। अत: LP रेखा MN पर लम्ब है।

प्रश्न 27.
एक त्रिभुज के अन्तः कोण क्रमशः 3x°, (2x + 20)° तथा (5x-40)° हैं। सिद्ध कीजिए कि यह एक समबाहु त्रिभुज है।
हुल:
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

प्रश्न 28.
[latex]\frac { 3 } { 7 } – \frac { 8 } { 7 }[/latex] को संख्या रेखा की सहायता से सरल करके परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हुल:

अर्धवार्षिक परीक्षा प्रश्न-पत्र
कक्षा-7
विषय-गणित

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
[latex]2 ^ { 3 } \times 2 ^ { 2 }[/latex] को सरल कीजिए।
हल:
[latex]2 ^ { 3 } \times 2 ^ { 2 } = 2 ^ { 3 + 2 } = 2 ^ { 5 } = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32[/latex]

प्रश्न 2.
[latex]\frac { -4 }{ 9 } [/latex]  को किस संख्या से गुणा करें कि गुणनफल (-1) प्राप्त हो जाए?
हल:
माना संख्या = x
[latex]\therefore \quad \left( \frac { – 4 } { 9 } \right) \times x = ( – 1 ) \Rightarrow x = ( – 1 ) \times \frac { 9 } { – 4 } = \frac { 9 } { 4 } = 2 \frac { 1 } { 4 }[/latex]

प्रश्न 3.
[latex]\frac { – 5 } { 4 }[/latex] को दशमलव रूप में बदलिए।
हल:
[latex]\frac { – 5 } { 4 } = \frac { – 5 \times 25 } { 4 \times 25 } = \frac { – 125 } { 100 } = – 1.25[/latex]

प्रश्न 4.
0.0001 को 0.01 पर घात के रूप में लिखिए।
हल:
0.0001 = 0.01 x 0.01
= [latex]( 0.01 ) ^ { 2 }[/latex]

प्रश्न 5.
[latex]2.5 \times 10 ^ { 4 }[/latex] को साधारण संख्या के रूप में लिखिए।
हल:
[latex]2.5 \times 10 ^ { 4 } = 2.5 \times 10000 = 25000[/latex]

प्रश्न 6.
[latex]3 ^ { 4 } \times 3 ^ { 5 } \times 3 ^ { – 9 }[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हुल:
[latex]3 ^ { 4 } \times 3 ^ { 5 } \times 3 ^ { – 9 } = 3 ^ { 4 + 5 – 9 } = 3 ^ { 9 – 9 } = 3 ^ { \circ } = 1[/latex]

प्रश्न 7.
वर्ग के विकर्ण …………. पर समद्विभाजित करते हैं। वाक्य पूर्ण कीजिए।
हल:
वर्ग के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

प्रश्न 8.
संख्या 0.000045 रूप में लिखिए।
हल:
0.000045 = [latex]\frac { 4.5 } { 100000 } = \frac { 4.5 } { 10 ^ { 5 } } = 4.5 \times 10 ^ { – 5 }[/latex]

प्रश्न 9.
3125 का घातीय संकेतन क्या हैं?
हल:
3125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = [latex]5 ^ { 5 }[/latex]

प्रश्न 10.
42500000 को वैज्ञानिक संकेतन के रूप में लिखिए।
हल:
42500000 = [latex]4.25 \times 10 ^ { 7 }[/latex]

प्रश्न 11.
आयते के विकर्ण ………… होते हैं। वाक्य पूर्ण कीजिए।
हल:
आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

प्रश्न 12.
किसी वृत्त में यदि उसके किसी लघुचाप का अंशमाप 70° है, तो उसके दीर्घचाप को अंशमाप कितना होगा?
हल:
लघुचाप का अंशमाप = 70° दीर्घचाप का अंशमाप = 360° -70° = 290°

प्रश्न 13.
पाश्र्व चित्र में, 9 वृत्त का केन्द्र है। चाप A×B की अंशमाप बताइए।
हल:
∠APB = 35°
चाप A×B का अंशमाप =∠AOB = 2∠APB = 2 × 35° = 70°

प्रश्न 14.
[latex]( – 4 ) ^ { – 4 }[/latex] किस संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम है?
हल:
[latex]( – 4 ) ^ { – 4 }[/latex] का गुणात्मक प्रतिलोम = [latex]\frac { 1 } { ( – 4 ) ^ { – 4 } } = ( – 4 ) ^ { 4 } = ( 4 ) ^ { 4 }[/latex]

प्रश्न 15.
व्यंजक 3ab + 2ac + 3ad का गुणनखण्ड कीजिए।
हल:
3ab + 2ac + 3ad = a (3b + 2c + 3d)

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 16.
[latex]\left\{ ( 4 \times 5 ) ^ { – 2 } \div \left( \frac { 1 } { 10 } \right) ^ { 2 } \right\} + \frac { 3 } { 4 }[/latex]को सरल कीजिए।
हल:

प्रश्न 17.
[latex]a b ^ { 2 } – ( a – c ) b – c[/latex] का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
[latex]a b ^ { 2 } – ( a – c ) b – c[/latex]
= [latex]a b ^ { 2 } – a b + b c – c = a b ( b – 1 ) + c ( b – 1 ) = ( a b + c ) ( b – 1 )[/latex]

प्रश्न 18.
किसी चतुर्भुज के अन्तः कोण बराबर हैं। प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना चतुर्भुज का प्रत्येक कोण = x°
प्रश्नानुसार, [latex]x ^ { \circ } + x ^ { \circ } + x ^ { \circ } + x ^ { \circ } = 360 ^ { \circ }[/latex]
⇒ [latex]4 x ^ { \circ } = 360 ^ { \circ }[/latex]
⇒ [latex]x ^ { \circ } = \frac { 360 } { 4 } = 90 ^ { \circ }[/latex]
अतः प्रत्येक कोण का मान 90° है।

प्रश्न 19.
उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका आधार 7 सेमी तथा ऊँचाई 4.3 सेमी हो।
हुल:
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई = 7 ×4.3 वर्ग सेमी = 30.1 वर्ग सेमी

प्रश्न 20.
एक हॉल की लंबाई 11 मीटर, चौड़ाई 8 मीटर तथा ऊँचाई 5 मीटर है। हाल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
हॉल की लंबाई (l) = 11 मीटर, चौड़ाई (b) = 8 मीटर तथा ऊँचाई (1) = 5 मीटर
चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2(लंबाई + चौड़ाई) × ऊँचाई
= 2(11 + 8)×5 मी²
= 10 × 19 मी = 190 मी²

प्रश्न 21.
[latex]2 ^ { 38 } \times 5 ^ { 32 }[/latex] का मान ज्ञात कीजिए तथा बताइए इसमें कुल कितने अंक हैं।
हल:
[latex]2 ^ { 38 } \times 5 ^ { 32 } = 2 ^ { 6 } \times 2 ^ { 32 } \times 5 ^ { 32 } = 2 ^ { 6 } \times ( 2 \times 5 ) ^ { 32 }[/latex]
= [latex]64 \times 10 ^ { 32 } = 64 \times 10 ^ { 32 } \times \frac { 10 } { 10 }[/latex]
=[latex]6.4 \times 10 ^ { 33 }[/latex]
अतः कुल अंक 1 + 33 = 34

प्रश्न 22
एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान [latex]9.107 \times 10 ^ { – 28 }[/latex] ग्राम है इसे साधारण वशमलव भिन्न में बदलने पर दशमलव बिन्तु (.) तथा अंक 9 के बीच कितने शुन्य होंगे?
हल:
[latex]9.107 \times 10 ^ { – 28 } = .9107 \times 10 ^ { – 2341 } = 0.9107 \times 10 ^ { – 27 }[/latex]
अतः दशमलव बिन्दु तथा 9 के बीच 27 शून्य होंगे।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 23.
[latex]a ^ { 3 } – b ^ { 3 }[/latex] का गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 24.
[latex]\left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 2 } \times \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 10 } \div \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 8 }[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 25.
x (y-z) + y (z-४) + z (x-y) को सरल कीजिए।
हल:
x (y-2) + y (z-x) + z (x – y)
= xy – xz + yz -yx + zx-zy
= xy-xz + yz-xy+xz-yz
= xy xy ty2-yz-xz + xz
= 0

प्रश्न 26.
पावं चित्र में, o वृत्त का केन्द्र है। ∠OBC = 40°, तो ∠BAC का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 27.
[latex]3 x ^ { 2 } – b x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } – 3 y ^ { 2 }[/latex] का गुणनखंड कीजिए।
हल:

प्रश्न 28.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का शीर्ष कोण 40° है। त्रिभुज की भुजा AB और AC के मध्य बिन्दु क्रमशः M और N हैं। बिन्दुओं M और N को मिलाइए। इस प्रकार बने चतुर्भुज BMNC के अन्त:कोण BMN तथा कोण CNM का योग ज्ञात कीजिए। इनका अलग-अलग मान भी ज्ञात कीजिए।
हल:
समद्विबाहु त्रिभुज ABC में,

प्रश्न 29.
[latex]a b \left( c ^ { 2 } + d ^ { 2 } \right) – a ^ { 2 } c d – b ^ { 2 } c d[/latex] को सरल कीजिए।
हल:

प्रश्न 30.
समान्तर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं का अनुपात 1: 2 है। यदि इसका परिमाप 30 सेमी हो, तो प्रत्येक भुजा की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
माना समान्तर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाएँ x तथा 2x सेमी हैं। प्रश्नानुसार,
x + 2x + x + 2x = 30
6x = 30
[latex]x = \frac { 30 } { 6 } = 5[/latex] सेमी
2x = 2 x 5 = 10 सेमी
अतः समान्तर चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की माप = 5 सेमी, 10 सेमी
5 सेमी, 10 सैमी

वार्षिक परीक्षा प्रश्न-पत्र
कक्षा-7
विषय-गणित

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
x- 5 = 9 को हल कीजिए।
हल:
x-5 + 5 = 9 +5
x = 9 + 5 = 14

प्रश्न 2.
वह राशि ज्ञात कीजिए जिसका 35% = 280 है।
हल:
माना राशि x है।
x का 35% = 280
[latex]\Rightarrow \quad x \times \frac { 35 } { 100 } = 280[/latex]
[latex]\Rightarrow \quad x = \frac { 280 \times 100 } { 35 } = 800[/latex]

प्रश्न 3.
किसी कक्षा में 5 विद्यार्थियों ने गणित परीक्षा में क्रमशः 40, 50, 68, 70, 72 अंक प्राप्त किए। प्राप्तांकों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
समान्तर माध्य = [latex]\frac { 40 + 50 + 68 + 70 + 72 } { 5 } = \frac { 300 } { 5 } = 60[/latex] अंक

प्रश्न 4.
⇒ 3x-5 = 4 को हल कीजिए।
हल:
⇒ 3x-5 = 4
⇒ 3x = 4+5
⇒ 3x = 9
⇒ x = [latex]\frac { 9 } { 3 }[/latex] =3

प्रश्न 5.
150 रु का 4% वार्षिक ब्याज की दर से 1 वर्ष का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए।
हल:
<

प्रश्न 6.
घन के प्रत्येक कोर की लंबाई 4% सेमी है, तो उस घन का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है भुजा a = 4 सेमी
घन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = [latex]6 a ^ { 2 }[/latex]
= 6 ×4 × 4 = 96 वर्ग सेमी

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज का आधार 5 सेमी और संगत ऊँचाई 6 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलं:
त्रिभुज का आधार = 5 सेमी तथा ऊँचाई = 6 सेमी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = [latex]\frac { 1 } { 2 }[/latex] × आधार × ऊँचाई
= [latex]\frac { 1 } { 2 }[/latex] 5 × 6 वर्ग सेमी = 15 वर्ग सेमी

प्रश्न 8.
यदि एक कार 45 किमी प्रति घण्टा की चाल से जाती है तो 1 सेकंड में कितनी दर जाएगी?
हल:
कार द्वारा 1 सेकंड चली गई दूरी ।
[latex]= \frac { 45 \times 1000 } { 60 \times 60 } = \frac { 45 \times 10 } { 36 } = 12.5[/latex] मीटर

प्रश्न 9.
एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी लम्बाई तथा चौड़ाई क्रमशः 12 मी तथा 5 मी है।
हल:
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= 12 मी × 5 मी = 60 वर्ग मीटर

प्रश्न 10.
एक वर्ग की भुजा 7 सेमी है तो इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा = 4 × 7 सेमी = 28 सेमी

प्रश्न 11.
18 – 5x = 3x-6 को हल कीजिए।
हल:
18 – 5x = 3x – 6
⇒ – 5x-3x = – 6 – 18
[latex]- 8 x = – 24 \Rightarrow x = \frac { – 24 } { – 8 } = 3[/latex]

प्रश्न 12.
[latex]\frac { 1 } { 3 } x + 5 = 6[/latex] को हल कीजिए।
हल:
[latex]\frac { 1 } { 3 } x + 5 = 6[/latex]
[latex]\Rightarrow \quad \frac { 1 } { 3 } x = 6 – 5[/latex]
[latex]\Rightarrow \quad \frac { 1 } { 3 } x = 1 \Rightarrow x = 1 \times 3 = 3[/latex]

प्रश्न 13.
यदि किसी संख्या x में 5 से भाग देने पर भागफल 7 आता है, तो वह संख्या क्या होगी?
हल:
x + 5 = 7 ⇒ x = 7 × 5 = 35

प्रश्न 14.
18 सेमी भुजा वाले घन का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल:
घन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 6 × भुजा
= 6 × (18)
= [latex]6 \times ( 18 ) ^ { 2 } = 6 \times 324[/latex] सेमी²
= 1944 सेमी²

प्रश्न 15.
अर्द्धवृत्त में बने कोण का माप कितना होता है?
हल:
अर्द्धवृत्त में बने कोण का माप 90° (समकोण) होता है।

प्रश्न 16.
यदि एक विषम संख्या 2x + 1 है, तो दूसरी क्रमागत विषम संख्या क्या होगी?
हल:
दूसरी क्रमागत विषम संख्या = (2x + 1) + 2 = 2x + 3

प्रश्न 17.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 48 सेमी है। यदि उसकी ऊँचाई 8 सेमी हो, तो त्रिभुज को आधार बताइए।
हल:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 48 सेमी तथा त्रिभुज की ऊँचाई = 8 सेमी

प्रश्न-18.
एक वर्गाकार टाइल की एक भुजा 12 सेमी है उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वर्गाकार टाइल की एक भुजा = 12 सेमी
टाइल का क्षेत्रफल = 12 × 12 = 144 वर्ग सेमी

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 19.
उस घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए, जिसकी लम्बाई 10 सेमी, चौड़ाई 8 सेमीतथा ऊँचाई 5 सेमी है।
हल:
दिया है, l= 10 सेमी, b = 8 सेमी, h = 5 सेमी
अतः घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ = (lb + bh + hl)
=2 (10 × 8 + 8 × 5 + 10 × 5) सेमी² = 2 (80 + 40 + 50) सेमी²
= 2 × 170 सेमी² = 340 सेमी²

प्रश्न 20.
कक्षा 7 के 10 शिक्षार्थियों के भार (किग्रा में) क्रमशः 56, 42, 40, 38, 52, 48, 45, 45, 44 तथा 40 किग्रा हैं। उनके भार को समान्तर माघ्य ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 21.
रमेश के कृषि फार्म की लम्बाई 240 मीटर और चौड़ाई 110 मीटर है। कृषि फार्म को क्षेत्रफल हेक्टेयर में ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 22.
उस त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 45 सेमी है तथा आधार 15 सेमी है।
हल:

प्रश्न 23.
वो संख्याओं को योगफल 710 है। जब बड़ी संख्या की छोटी संख्या से भाग दिया | जाता है, तो भागफल 12 और शेषफल 8 आता है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना छोटी संख्या b है, तो बड़ी संख्या 710 – b होगी।
प्रश्नानुसार, 12b + 8 = 710 – b
13b = 710-8 = 702
[latex]\Rightarrow \quad b = \frac { 702 } { 13 }[/latex]
b = 54
बड़ी संख्या = 710 – 54 = 656

प्रश्न 24.
एक सिलाई मशीन का अंकित मूल्य 830 रुपये है। यदि दुकानदार ग्राहकों को 20% का बट्टा देता है, तो मशीन का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
सिलाई मशीन का अंकित मूल्य = ₹ 830
बट्टे की प्रतिशत दर = 20%
बट्टा = [latex]830 \times \frac { 20 } { 100 }[/latex] = ₹ 166
अतः सिलाई मशीन का विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य – बट्टा
= 830 – 166 = 664

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 25.
एक कमीज का अंकित मूल्य 50 रुपये था और वह 45 रुपये में उपलब्ध थी। उस पर किस प्रतिशत दर से बढ़ा दिया गया?
हल:
कमीज का अंकित मूल्य = 50 रुपये
विक्रय-मूल्य = 45 रुपये
बट्टा = अंकित मूल्य-विक्रय मूल्य
= 50 रुपये – 45 रुपये = 5 रुपये
बट्टा प्रतिशत = [latex]\frac { 5 } { 50 } \times 100 = 10 \%[/latex]
अतः बट्टे की दर 10%

प्रश्न 26.
एक रेलगाड़ी की लंबाई 270 मीटर है; एक खम्भे को 9 सेकंड में पार कर लेती है। उसकी चाल किमी प्रति घण्टा में ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 27.
3000 रुपये का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष बाद चक्रवृद्धि मिश्रधन तथा चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 28.
एक मीनार की ऊँचाई 100 मीटर है। धरातल पर स्थित किसी बिन्दु से उसके शिखर का उन्नयन कोण यदि 30° हो, तो धरातल बिन्दु से मीनार के पाद की दूरी ज्ञात कीजिए, जहाँ पर 10 मी = 1 सेमी।
हल:

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UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 13 मानसिक अभ्यास

These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 7 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 13 मानसिक अभ्यास.

अभ्यास 13

रिक्त स्थान की पूर्ति हेतु दिए गये (UPBoardSolutions.com) विकल्पों में से उसे चुनिए जो अनुक्रम को पूरा करें
प्रश्न 1.
ABE, BCF, CDG, [?], EFI
(क) CDH,
(ख) EFH
(ग) DEG
(घ) DEH ✓

प्रश्न 2.
2,6,12,20,30,42, [?]
(क) 50
(ख) 52
(ग) 54
(घ) 56 ✓

प्रश्न 3.
14,15,32,99, [?] (UPBoardSolutions.com)
(क) 300
(ख) 350
(ग) 400 ✓
(घ) 450

प्रश्न 4.
4,9,16,25, [?]
(क) 36
(ख) 45
(ग) 49
(घ) 50

प्रश्न 5.

प्रश्न 6.
प्रश्न आकृतियों में दिखाए अनुसार कागज को मोड़ने, (UPBoardSolutions.com) काटने तथा खोलने के बाद वह किस उत्तर आकृति जैसा दिखाई देगा?

हल : (घ)

प्रश्न 7.
दी गयी आकृति में त्रिभुजों की संख्या ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए।
हल : 12.

प्रश्न 8.
लुप्त संख्या (UPBoardSolutions.com) ज्ञात कीजिए।

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UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 11 वृत्त

These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 7 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 11 वृत्त.

अभ्यास 11 (a)

प्रश्न 1.
पाश्र्व चित्र में Oवृत्त का केन्द्र है। निम्नलिखित कथनों (UPBoardSolutions.com) में सत्य/असत्य कथनों को बताइएः

(i) रेखाखंड AB जीवा है। (✓)
(ii) QF त्रिज्या है। (✗)
(iii) OD त्रिज्या है। (✓)
(iv) PC जीवा है। (✗)

प्रश्न 2.
अर्धवृत्त में बने कोण की माप होती है।
(i) 30°
(ii) 60°
(iii) 180°
(iv) 90° (✓)

प्रश्न 3.
आकृति 11.5 के अनुसार अपनी अभ्यास पुस्तिका पर एक (UPBoardSolutions.com) आकृति खींचकर उसके दीर्घ वृत्तखंड को छायांकित कीजिए।

उत्तर :
चित्र में दीर्घ वृत्तखंड ADB है।

प्रश्न 4.
आकृति 11.6 में 0 वृत्त का केन्द्र है। आकृति में निर्मित किन्हीं दी त्रिज्यखंडों के नाम लिखिए।

उत्तर :
चित्र में निर्मित्त दो त्रिज्यखंड OAB तथा OBC है।

प्रश्न 5.
2.5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए जिसका केन्द्र 0 (UPBoardSolutions.com) है। इस वृत्त को दो अर्द्धवृत्तों में विभक्त कीजिए।

रचना – सर्वप्रथम 0 को केन्द्र मानकर 2.5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा। AP वृत्त का व्यास AB खींचा, जिससे वृत्त दो भागों में विभक्त होगा।

प्रश्न 6.
आकृति 11.7 में 0 वृत्त का केन्द्र है। ∠ACB कितने अंश का है? अपने उत्तर के पक्ष में कारण बताइए।

उत्तर :
चूँकि अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है,
अतः ∠ACB = 90°

अभ्यास 11 (b)

प्रश्न 1.
अर्द्धवृत्त का अंशमाप होता है। (UPBoardSolutions.com)
(i) 45°
(ii) 90°
(iii) 180°
(iv) 360°
उत्तर :
(iii) 180°

प्रश्न 2.
किसी वृत्त में यदि उसके किसी लघुचाप का (UPBoardSolutions.com) अंशमाप 70° है, तो उसके दीर्घचाप का अंशमाप कितना होगा?
हल :
लघुचाप का अंशमाप = 70°
दीर्घचाप का अंशमाप = 360° – 70° = 290°

प्रश्न 3.
किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण तथा उसके द्वारा वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण में क्या सम्बन्ध होता है?
उत्तर :
किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण उसके द्वारा वृत्त के (UPBoardSolutions.com) शेष भाग पर स्थित किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दो गुना होता है।

प्रश्न 4.
आकृति 11.17 में 0 वृत्त का केन्द्र है। चाप AXB को अंशमाप बताइए।

हल :
∠APB = 35°
चाप AXB का अंशमाप = ∠ AOB
= 2 ∠ APB
= 2 × 35° = 70°

प्रश्न 5.
आकृति 11.18 में लधुचाप BCD एवं दीर्घचाप BAD (UPBoardSolutions.com) के अन्तर्गत कोणों के नाम बताइए।

हल :
लघुचाप BCD के अन्तर्गत कोण = ∠ BCD
दीर्घचाप BAD के अन्तर्गत कोण = ∠ BAD

प्रश्न 6.
आकृति 11.19 में o वृत्त का केन्द्र है। A, C और B वृत (UPBoardSolutions.com) पर तीन बिन्दु है, तथा ∠AOB को प्रतिवर्ती कोण = 240° है तो ACB का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∠ACB = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠ AOB
∴ ∠ACB = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × 240 = 120°

अभ्यास 11 (c)

प्रश्न 1.
आकृति 11.25 में एक ही वृत्तखंड में बने कोणों (UPBoardSolutions.com) के नाम लिखिए।”
हल :

∠ ACB और ∠ AEB एक ही वृत्तखंड में बने दीर्घ कोण हैं तथा ∠ADB और ∠AFB एक ही वृत्तखंड में बने लघुकोण हैं।

प्रश्न 2.
आकृति 11.26 मे बने कोण PRQ=45°, तो ∠PSQ का मान बताइए।
हल :

चूँकि एक ही वृत्तखंड में बने (UPBoardSolutions.com) कोण बराबर होते हैं।
अतः ∠ PSQ = ∠ PRQ = 45°

प्रश्न 3.
आकृति 11.27 में यदि ∠ACB=x, तो ∠ADB एवं ∠AEB के मान बताइए।
हल :

चूंकि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं। अतः
∠ ADB = ∠ ACB = x°
∠AEB = ∠ ACB = x°

प्रश्न 4.
आकृति 11.28 में बने कोणों के सम्बन्ध में निम्नलिखित (UPBoardSolutions.com) कथनों में सत्य/असत्य कथनों को छाँटिएः
उत्तर :

(i) ∠BDC   = ∠BAC   – सत्य
(ii) ∠BDC  = ∠BCA  – असत्य
(iii) ∠ACB = ∠ADB  – सत्य
(iv) ∠BDA = ∠CDB  – असत्य
(v) ∠ACD   = ∠DBA  – सत्य

प्रश्न 5.
आकृति 11.29 में ∠ACB के बराबर निम्नलिखित (UPBoardSolutions.com) में से कौन-सा कोण है?
(i) ∠ABD
(ii) ∠ADB
(iii) ∠DBC
(iv) ∠BAD

उत्तर :
(ii) ∠ADB

दक्षता अभ्यास – 11

प्रश्न 1.
आकृति 11.32 में वृत्त को केन्द्र 0 है। रेखा BOD, ∠AOC की समद्विभाजक है, (UPBoardSolutions.com) तथा ∠COD=50°, तो ∠ABC की माप होगीः
(i) 50°
(ii) 25°
(iii) 100°
(iv) 120°

हल :
∠ AOC = 2 ∠ COD= 2 × 50° = 100°
∴ ∠ ABC = [latex]\frac { x }{ 12 }[/latex] ∠ AOC = [latex]\frac { x }{ 12 }[/latex] × 100° = 50° (i)

प्रश्न 2.
आकृति 11.33 में AB वृत्त की जीवा है बिन्दु C तथा D (UPBoardSolutions.com) वृत्त पर हैं। यदि ∠ADB = 45° तो ∠ACB की माप होगीः
(i) 90°
(ii) 135°
(iii) 45०
(iv) 223°

हल :
∠ ACB =∠ ADB = 45° (iii)

प्रश्न 3.
आकृति 11.34 में बिन्दु 0 वृत्त का केन्द्र है और ∠AOB = 60°, (UPBoardSolutions.com) तो ∠ADB की माप होगीः
(i) 120°
(ii) 150°
(iii) 140°
(iv) 30°

हल :
वृहत्त कोण AOB = 360° -∠ AOB = 360° – 60° = 300°
∴ ∠ ADB = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × बृहत AOB = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × 300° = 150° (ii)

प्रश्न 4.
आकृति 11.35 में बिन्दू 0 वृत्त का एक केन्द्र है। इस पर तीन बिन्दु A, B तथा C हैं। (UPBoardSolutions.com) यदि ∠ACB = 40° तो ∠AOB की माप होगीः
(i) 20°
(ii) 40°
(iii) 60°
(iv) 80°

हल :
∠AOB = 2 ∠ ACB = 2 × 40° = 80° (iv)

प्रश्न 5.
आकृति 11.36 में बिन्दु 0 वृत्त का एक केन्द्र है। वृत्त की दो समान जीवाए AC और BC खींची गई हैं। (UPBoardSolutions.com) ∠ABC का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

चूँकि अर्द्धवृत्त का कोण समकोण होता है ∠ACB = 90°
प्रश्नानुसार, AC = BC4∠ CAB = ∠ABC
∠CAB + ∠ABC + ∠ ACB = 180°
∠ABC + ∠ABC + 90° = 180°
∠ ABC = 180° – 90° = 90°
∠ABC = [latex]\frac { { 90 }^{ \circ } }{ 2 } [/latex] = 45०

प्रश्न 6.
निम्नांकित वृत्तों में प्रत्येक का केन्द्र 0 है। प्रत्येक में x का (UPBoardSolutions.com) मान ज्ञात कीजिए।

हलः
(i) x° = ∠AOB = 2 ∠ACB = 2 × 40° = 80°
(ii) x° = ∠ACB = 1/2 ∠AOB = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × 105° = 52.5°
(iii) x° = ∠ACB = 1/2 ∠AOB = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × 70° = 35°

प्रश्न 7.
वृत्त की एक जीवा की लम्बाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। (UPBoardSolutions.com) इस जीवा द्वारा लघु वृत्तखंड पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि वृत्त की जीवा AB वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। अत: ∆OAB समबाहु त्रिभुज होगा तथा तीनों कोण बराबर होंगे।

∠OAB +∠OBA+∠AOB = 180°
∠AOB +∠AOB +∠AOB = 180°
3∠AOB = 180°
∠AOB = [latex]\frac { { 180 }^{ \circ } }{ 3 } [/latex] = 60°
बृहत्त कोण AOB = 360° – ∠ AOB = 360° – 60° = 300° (UPBoardSolutions.com)
∠ACB = 3 बृहत्त ∠AOB = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × 300° = 150°
अतः लघु वृत्तखंड पर अन्तरित कोण = 150°

प्रश्न 8.
3.0 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त की:एक जीवा । खींचकर वृत्त को दो वृतखंडों में विभक्त कीजिए।
हल :

सर्वप्रथम सेमी त्रिज्या लेकर परकार की सहायता से एक (UPBoardSolutions.com) वृत्त खींचा। किसी भी लम्बाई की एक जीवा AB खींची। अत: वृत्त, दीर्घ वृत्तखंड AYB तथा लघु वृत्तखंडे AXB में विभाजित हो गया।

प्रश्न 9.
अर्द्धवृत्त किसे कहते हैं? चित्र बनाकर स्पष्ट कीजिए।
उत्तर :

वृत्त के आधे भाग को अर्द्धवृत्त कहते हैं।

प्रश्न 10.
आकृति 11.38 में बिन्दु 0 वृत्त का केन्द्र हैं। AOB (UPBoardSolutions.com) वृत्त का व्यास है और ∠COB=40°। ज्ञात कीजिए:

(i) दीर्घचाप BC का अंशमाप
(ii) दीर्घचाप AC को अंशमाप
(iii) लघुचाप AC का अंशमाप
(iv) अर्द्धवृत्त ACB का अंशमाप।

हल :

(i) दीर्घचाप BC का अंशमाप = 360° – 40° = 320°
(ii) दीर्घचाप AC का अंशमाप = 360° – 140° = 220°
(iii) लघुचाप AC का अंशमाप = 360°-220° = 140°
(iv) अर्धवृत्त ACB का अंशमाप = 180°

प्रश्न 11.
आकृति 11.39 में 0 वृत्त का केन्द्र है। इसके अन्तर्गत एक (UPBoardSolutions.com) AABC बना है यदि ∠ACB= 30° तो ∠A और ∠B ज्ञात कीजिए।

हल :
चूँकि अर्द्धवृत्त का (UPBoardSolutions.com) कोण समकोण होता है।
अतः ∠A = 90°
∠ACB + ∠ BAC + ∠ABC = 180°
30° + 90° + ∠ABC = 180°
120° + ∠ABC = 180°
∠ABC = 180° – 120° = 60°

प्रश्न 12.
वृत्त की एक जीवा की लम्बाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। (UPBoardSolutions.com) इस जीवा द्वारा दीर्घ वृत्तखंड पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल :

चूंकि वृत्त की जीवा AB वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। (UPBoardSolutions.com) अत: ∆OAB समबाहु त्रिभुज होगा तथा तीनों कोण बराबर होंगे।
∠AOB = 60°
अतः दीर्घ वृतखंड पर अन्तरित कोण = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] x 60° = 30°

प्रश्न 13.
आकृति 11.40 में 0 वृत्त का केन्द्र है। ∠AEB= 130° और ∠EBC=20°, तो ∠BDA का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∠ AEB +∠ BEC = 180°
130° +∠ BEC = 180°
∠ BEC = 180° – 130° = 50°
∆ BEC में, 2 ECB +∠ BEC +∠ EBC = 180°
∠ ECB + 50° +20° = 180° (UPBoardSolutions.com)
∠ACB =∠ ECB = 180° – 70° = 110°
∠ BDA =∠ ACB = 110°

प्रश्न 14.
आकृति 11.41 में 0 वृत्त को केन्द्र है। (UPBoardSolutions.com) ∠ABC=40° और ∠CAB= 80°, तो ∠ADB का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
∆ABC में,
∠ ABC + ∠CAB +∠ ACB = 180°
40° + 80° + 2 ACB = 180°
120° + 2 ACB = 180°
∠ ACB = 180° – 120° = 60°

प्रश्न 15.
आकृति 11.42 में 0 वृत्त का केन्द्र है तथा AABC एक समबाहु त्रिभुज है ∠BOC का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

चूँकि A ABC एक समबाहु त्रिभुज है। (UPBoardSolutions.com) अतः त्रिभुज के तीनों कोण बराबर होंगे।
∴ ∠ BAC = [latex]\frac { { 180 }^{ \circ } }{ 3 } [/latex] = 60°
∠ BOC = 2 ∠ BAC = 2 × 60° = 120°

प्रश्न 16.
आकृति 11.43 में 0 वृत्त का केन्द्र है और ∠BOD=130°, ∠BCD का माप ज्ञात कीजिए।
हल :

अधिक कोण ∠ BOD = 130°
वृहत कोण ∠ BOD = 360° – 130° = 230°
∠ BCD = 1/2 ∠ BOD (UPBoardSolutions.com)
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × 230° = 115°

प्रश्न 17.
आकृति 11.44 में 0 वृत्त का केन्द्र है। (UPBoardSolutions.com) ∠OBC=40°, तो ∠BAC का माप ज्ञात कीजिए।
हल :

A OBC में ∠OCB = ∠OBC= 40°
∠ OBC +∠OCB +∠ BOC = 180°
40° + 40° +∠ BOC = 180°
80° +∠ BOC = 180° (UPBoardSolutions.com)
∠ BOC = 180° – 80° = 100°
∠ BAC = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] ∠ BOC
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × 100° = 50°

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UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 10 चतुर्भुज

These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 7 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 10 चतुर्भुज.

अभ्यास 10 (a)

प्रश्न 1.
आकृति चतुर्भुज ABCD में,

(a) कितनी (UPBoardSolutions.com) भुजाएँ हैं?
उत्तर :
चार
(b) कितने अन्त: कोण हैं?
उत्तर :
चार
(c) सम्मुख कोणों के कितने युग्म हैं?
उत्तर :
दो
(d) संलग्न भुजाओं के कितने जोड़े हैं?
उत्तर :
चार जोड़े
(e) कितने विकर्ण होंगे?
उत्तर :
दो
(f) क्या AB, BC, CD और DA में से कोई विकर्ण है?
उत्तर :
नहीं
(g) कितने शीर्ष हैं?
उत्तर :
चार

प्रश्न 2.
उपर्युक्त आकृति के आधार (UPBoardSolutions.com) पर अपनी अभ्यास-पुस्तिका में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)
उत्तर :

(a) Q अन्तः क्षेत्र में स्थित है।
(b) R बाह्य क्षेत्र में स्थित है।
(c) T भुजा DC पर स्थित है।

प्रश्न 3.
किसी चतुर्भुज ABCD से सम्बन्धित निम्नांकित कथनों में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करेक )
उत्तर :

(a) दो सम्मुख शीर्षों को मिलाने से विकर्ण बनता है।
(b) शीर्ष A और शीर्ष C (UPBoardSolutions.com) को मिलाने से विकर्ण बनता है।
(c) शीर्ष D और शीर्ष B को मिलाने से विकर्ण बनता है।
(d) चतुर्भुज का एक विकर्ण इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।

प्रश्न 4.
अपनी अभ्यास-पुस्तिका में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ( पूर्ति करके)
उत्तर :

(a) सम चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।
(b) आयत के चारों कोण (UPBoardSolutions.com) समकोण होते हैं।
(c) वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर और चारों कोण समकोण होते हैं।
(d) समलम्ब चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर होता है।

अभ्यास 10 (b)

प्रश्न 1.
किसी चतुर्भुज का एक कोण 60° तथा शेष तीन अन्तः कोण बराबर हैं। शेष (UPBoardSolutions.com) प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
अत : माना शेष प्रत्येक अन्तः कोण की माप = x°
प्रश्नानुसार, 60° + x° +x° +x° = 360°
⇒ 60° + 3x° = 360°
⇒ 3x° = 360° – 60° 3x° = 300°
⇒ x० = [latex]\frac { 300 }{ 3 }[/latex] = 100°
⇒ शेष प्रत्येक कोण का मान = 100°, 100°, 100°

प्रश्न 2.
किसी चतुर्भुज के दो कोण 60° (UPBoardSolutions.com) और 120° के हैं। शेष दो कोण समान हैं। शेष प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना चतुर्भुज के शेष प्रत्येक कोण की माप = x°
प्रश्नानुसार, 60° + 120° + x° +x° = 360°
⇒ 180° + 2x = 360°
⇒ 2x° = 360° – 180° 2x° = 180°
⇒ x° = [latex]\frac { { 180 }^{ \circ } }{ 2 } [/latex] = 90°
अतः शेष प्रत्येक कोण का मान = 90°, 90°

प्रश्न 3. किसी चतुर्भुज के अन्तः कोण बराबर हैं। (UPBoardSolutions.com) प्रत्येक कोण को मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना चतुर्भुज का प्रत्येक कोण = x°
प्रश्नानुसार, x° + x° + x° + x° = 360°
⇒ 4x° = 360°
⇒ x° = [latex]\frac { { 360 }^{ \circ } }{ 4 } [/latex] = 90°
अतः चतुर्भुज के प्रत्येक कोण का मान = 90°, 90°, 90°, 90°

प्रश्न 4.
यदि किसी चतुर्भुज के दो अन्तः कोण सम्पूरक हैं, तो (UPBoardSolutions.com) शेष दो कोणों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
चतुर्भुज के दो अन्तः कोणों का योग = 180°
माना चतुर्भुज के शेष दो अन्तः कोणों का योग = x°
प्रश्नानुसार, x° + 180° = 360°
⇒ x° = 360° – 180°
⇒ x° = 180°
अत: शेष दो कोणों का योग = 180°

प्रश्न 5.
एक 45° के ∠BAC की रचना कीजिए। (UPBoardSolutions.com) इसके अंतः क्षेत्र में बिन्दु P से रेखी खंड BA और AC पर लम्ब PN और PM खींचिए। ∠NPM का मान । ज्ञात कीजिए।
हल :

∠ BAC + ∠ PNA + ∠ NPM + ∠ PMA= 360°
⇒ 45° + 90° +∠ NPM + 90° = 360°
⇒ ∠ NPM = 360° – 225°
⇒ ∠ NPM = 135°

प्रश्न 6.
यदि चतुर्भुज के अन्तः कोणों का अनुपात 3:4:5:6 हो, (UPBoardSolutions.com) तो प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना चतुर्भुज के अन्तः कोण = 3x°, 4x°, 5x°, 6x
प्रश्नानुसार, 3x° +4x° + 5x° + 6x° = 360°
⇒ 18x° = 360°
⇒ x° = [latex]\frac { { 360 }^{ \circ } }{ 18 } [/latex] = 20°
अतः चतुर्भुज के अन्तः कोण 3x° = 3×20° = 60°
⇒ 4x° = 4 x 20° = 80°
⇒ 5x = 5 x 20 = 100°
⇒ 6x° = 6x 20° = 120°

प्रश्न 7.
यदि चतुर्भुज के तीन बाह्य कोण क्रमशः 80°, 100° और (UPBoardSolutions.com) 120° हों, तो चौथे अन्तः कोण का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चतुर्भुज के तीन अन्तः कोण = 80°, 100° व 120°
माना चतुर्भुज का चौथा अन्तः कोण = x°
प्रश्नानुसार, 80° + 100° + 120° + x° = 360°
⇒ 300° + x° = 360°
⇒ x° = 360° -300°
⇒ x° = 60°
अतः चौथे अन्तः कोण का मान = 60° है।

प्रश्न 8.
यदि चतुर्भुज के अन्तः कोण A, B, C और D इस प्रकार हों कि इनके (UPBoardSolutions.com) अनुपात ∠ A : ∠ B = 1 : 2, ∠B: C = 2 : 3, 4C : ∠D = 3:4, तो प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∠ A: ∠ B = 1 : 2, 2 B : ∠C = 2: 3, ∠C: ∠ D = 3:4
∠ A: ∠ B : ∠C: ∠ D = 1:2: 3:4
आनुपातिक योग = 1 + 2 + 3 +4 = 10
∵ चतुर्भुज के चारों अन्तः कोणों का योग 360° होता है।
∴ ∠ A = [latex]\frac { 1\times { 360 }^{ 0 } }{ 10 }[/latex] = 36०
∴ ∠ B = [latex]\frac { 2\times { 360 }^{ 0 } }{ 10 }[/latex] = 72०
∴ ∠ C = [latex]\frac { 3\times { 360 }^{ 0 } }{ 10 }[/latex] = 108०
∴ ∠D = [latex]\frac { 4\times { 360 }^{ 0 } }{ 10 }[/latex] = 144°

प्रश्न 9.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का शीर्ष कोण 40° है। त्रिभुज की भुजा (UPBoardSolutions.com) AB और AC के मध्य बिन्दु क्रमशः M और N हैं। बिन्दुओं M और N को मिलाइए। इस प्रकार बने चतुर्भुज BMNC के अन्तः कोण BMN तथा कोण CNM का योग ज्ञात कीजिए। इनका अलग-अलग मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
समद्विबाहु त्रिभुज ABC में,
∠ B = ∠ C
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°
40° +∠ C + ∠ C = 180°
2∠ C 180° – 40° = 140°
∠ C = [latex]\frac { 140^{ 0 } }{ 2 }[/latex] = 70°
∠ AMN= ∠ B = 70°
∠ ANM= ∠ C = 70°
∠ BMN = 180° – 70° = 110°
∠ CNM = 180° – 70° = 110°
∠ BMN +∠ CNM = 110° + 110° = 220°

अभ्यास 10 (c)

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज का एक अन्तः कोण 30° है। (UPBoardSolutions.com) शेष कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
माना शेष दोनों सम्मुख कोण = x°
समान्तर चतुर्भुज का एक अन्त: कोण = 30°
इसका सम्मुख कोण = 30°
हम जानते हैं कि x° +x° + 30° + 30° = 360°
⇒ 2x° + 60° = 360°
⇒ 2x° = 360° – 60°= 300°
⇒ x° = [latex]\frac { 300 }{ 2 }[/latex] = 150°
अतः शेष कोण = 30°, 150°, 150°

प्रश्न 2.
समान्तर चतुर्भुज की किसी भुजा पर बने कोणों में 40° (UPBoardSolutions.com) का अन्तर है। प्रत्येक कोण का माने ज्ञात कीजिए।
हल :
माना समान्तर चतुर्भुज की भुजा पर बना एक कोण = x°
अतः समान्तर चतुर्भुज की भुजा पर बना दूसरा कोण = 40° + x°
⇒ x° + x° + (40° + x°) + (40° + x°) = 360°
⇒ 4x° + 80° = 360°
⇒ 4x° = 360° – 80° = 280°
⇒ x° = [latex]\frac { 280^{ 0 } }{ 4 }[/latex] = 70°
अतः समान्तर चतुर्भुज की भुजा पर बना दूसरा कोण = 40° + 70° = 110°
अतः प्रत्येक कोण = 70°, 110°, 70°, 110°

प्रश्न 3.
समान्तर चतुर्भुज की किसी भुजा पर बने कोणों में (UPBoardSolutions.com) 1 और 3 का अनुपात हो। तो प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना समान्तर चतुर्भुज का पहला कोण = x°
प्रश्नानुसार, समान्तर चतुर्भुज का दूसरा कोण = 3x°
समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं। ∴ x° + 3x° +x° + 3x°= 360°
⇒ 8x° = 360°
⇒ x° = [latex]\frac { 360^{ 0 } }{ 8 }[/latex] = 45°
समान्तर चतुर्भुज का दूसरा कोण = 3 x 45° = 135°
अतः प्रत्येक कोण का मान = 45, 135०, 45, 135०

प्रश्न 4.
समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 4 सेमी और 6 सेमी हैं। (UPBoardSolutions.com) चतुर्भुज की अन्य दो भुजाओं की माप बताइए।
हल : समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 4 सेमी और 6 सेमी हैं। चूँकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।  अतः चतुर्भुज की अन्य दो भुजाएँ भी 4 सेमी और 6 सेमी होंगी।

प्रश्न 5.
समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 8 सेमी और 6 सेमी हैं। (UPBoardSolutions.com) चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :
समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 8 सेमी और 6 सेमी हैं। चूँकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।  अत: चतुर्भुज की अन्य दो भुजाएँ भी 8 सेमी और 6 सेमी की होंगी।
अतः चतुर्भुज का परिमाप = 8 + 6 + 8 +6 = 28 सेमी

प्रश्न 6.
समान्तर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं का अनुपात 1:2 है। (UPBoardSolutions.com) यदि इसका परिमाप 30 सेमी हो, तो प्रत्येक भुजा की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना समान्तर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाएँ = x, 2x सेमी
प्रश्नानुसार, x + 2x + x + 2x = 30
⇒6 x = 30
⇒ x = [latex]\frac { 30 }{ 6 }[/latex] = 5
⇒ 2x = 2×5 = 10
अतः समान्तर चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की माप = 5 सेमी, 10 सेमी 5 सेमी, 10 सेमी

प्रश्न 7.
आकृति 10.24 PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। (UPBoardSolutions.com) रेखाखण्ड OP,OQ,OR और OS को माप कर सत्यापित कीजिए कि OP = OR तथा OQ = OS
हल :
आकृति 10.24 PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। PR और SQ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण है।

OP = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] PR
तथा 05 = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] QS (UPBoardSolutions.com)
क्योंकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः OP = OR
तथा OS = OQ

प्रश्न 8.
आकृति 10.25 में समलम्ब PQRS में कोण P और S के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

चतुर्भुज PQRS में,
∠ P + ∠Q = 180°
∠ P+ 40° = 180°
∠ P = 180° – 40° = 140°
∠ S +∠R = 180°
∠ S + 60° = 180°
∠ S = 180° – 60° = 120°

अभ्यास 10 (d)

प्रश्न 1.
आकृति 10.30 में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। (UPBoardSolutions.com) वे प्रतिबंध बताइए जब कि यह

(i) समचतुर्भुज होगा,
(ii) आयत होगा,
(iii) वर्ग होगा।

हल :

(i) ABCD समचतुर्भुज होगा, यदि संलग्न भुजाएँ समान हों। आकृति 10.30
(ii) ABCD आयत होगा, यदि प्रत्येक कोण 90° हो।
(iii) ABCD वर्ग होगा, यदि प्रत्येक 90° तथा संलग्न भुजाएँ बराबर हों।

प्रश्न 2.
समान्तर चतुर्भुज ABCD में निम्नांकित प्रत्येक कथन के (UPBoardSolutions.com) सत्य होने पर आकृति को किस नाम से पुकारेंगे?

(i) AB = BC
(ii) ∠ ABC = 90°
(iii) ∠ ABC = 90′ और AB = BC

हल :

(i) यदि AB = BC, तो आकृति समचतुर्भुज होगी।
(ii) यदि ∠ ABC = 90°, तो आकृति आयत होगी।
(iii) यदि – ABC = 90° और AB = BC, तो आकृति वर्ग होगी।

प्रश्न 3.
वर्ग में (पूर्ति करके)
उत्तर :

• भुजाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
• विकर्ण बराबर होते हैं।
• प्रत्येक कोण समकोण होता है।
• विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत् होती हैं।

प्रश्न 4.
यदि किसी वर्ग के विकर्ण का वर्ग 50 वर्ग सेमी है, (UPBoardSolutions.com) तो इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हुल :

वर्ग के विकर्ण का वर्ग BD² = 50 वर्ग सेमी
⇒ AB² + AD² = BD²
⇒ a² + a² = 50
⇒ 2a² = 50
⇒ a² = [latex]\frac { 50 }{ 2 }[/latex]
⇒ a² = 25
⇒ a = 5 सेमी
वर्ग का परिमाप = 4 × 5 = 20 सेमी

प्रश्न5.
आप की पुस्तक के एक पन्नेका एक विकर्ण दूसरे विकर्ण से छोटा है। (UPBoardSolutions.com) क्या यह पुस्तक आयताकार है?
हल :
यदि पुस्तक के एक पन्ने का एक विकर्ण दूसरे विकर्ण से छोटा है तो यह पुस्तक आयताकार नहीं होगी। (UPBoardSolutions.com)

प्रश्न 6.
एक आयत बनाइए जिसकी संलग्न भुजाएँ क्रमशः (UPBoardSolutions.com) 6 सेमी और 8 सेमी हैं। इनके विकणे को मापिए और पाइथागोरस प्रमेय से माप का सत्यापन कीजिए।
हल :

मापने पर, विकर्ण BC = 10 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से, (UPBoardSolutions.com)
BC² = AB² + AC² = 6² + 8²
BC = [latex]\sqrt { 6^{ 2 }+8^{ 2 } }[/latex] = [latex]\sqrt { 36 + 64 }[/latex] = [latex]\sqrt { 100 }[/latex] = 10 सेमी

प्रश्न 7.
एक आयत बनाइए जिसकी संलग्न भुजाएँ क्रमशः 5 सेमी और 12 सेमी हैं। इनके विकर्णो को मापिए और पाइथागोरस प्रमेय से इसका सत्यापन कीजिए।
हल :

नापने पर,
विकर्ण AC = 13 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से, (UPBoardSolutions.com)
AC² = 12² + 5²
AC = [latex]\sqrt { 144 + 25 }[/latex] = [latex]\sqrt { 169 }[/latex]
= 13 सेमी

प्रश्न 8.
समचतुर्भुज का एक विकर्ण यदि इसकी (UPBoardSolutions.com) एक भुजा के बराबर हो, तो इनके सभी अन्तः कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

यदि समचतुर्भुज का एक विकर्ण इसकी एक भुजा के बराबर है, (UPBoardSolutions.com) तो वह दूसरी भुजा के भी बराबर होगा।
∆ABD में,
AB = BD = DA
⇒ ∠ DAB = ∠ABD = ∠ADB
∵ ∠ DAB +∠ABD +∠ADB = 180°
⇒ ∠ DAB +2 DAB +∠ DAB = 180°
⇒ 3∠ DAB = 180°
⇒ ∠ DAB = [latex]\frac { 180^{ 0 } }{ 3 }[/latex]
⇒ ∠ DAB = 60°
⇒ ∠ ABD = 60°
⇒ ∠ ADB = 60°
इसी प्रकार ∠ BCD = 60°
∠ABC = 2 ∠ABD = 2 × 60° = 120°
∠ADC = 2 ∠ ADB = 2 × 60° = 120°

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UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 9 व्यंजकों का गुणनखण्ड

These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 7 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 9 व्यंजकों का गुणनखण्ड.

अभ्यास 9 (a)

प्रश्न 1.
दिये गये पदों के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड लिखिए4
(i) 7xy, 35 x²y²
हलः
7xy के गुणनखण्ड = 7 × x × y
35 x²y² के गुणनखण्ड (UPBoardSolutions.com) = 5 × 7 × x × x × y × y
उभय निष्ठ गुणनखण्ड = 7 × x × y
= 7xy

(ii) 4m², 6m², 8m3
हलः
4m² के गुणनखण्ड = 2 × 2 × m × mx
6m² के गुणनखण्ड = 2 × 3 × m × m
8m³ के गुणनखण्ड = 2 × 2 × 2 × m × m ×m
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 2 × m × m = 2m²

(iii) 3a, 21 ab
हलः
3a के गुणनखण्ड = 3 × a
21 a के गुणनखण्ड = 3 × 7 × a × b
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 3 × a = 3a

प्रश्न 2.
व्यंजक 7pq + 8qr + 3qs का एक (UPBoardSolutions.com) उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगाः
(i) q
(ii)r
(iii) p+q+r
(iv) 3s
हलः
7pq के गुणनखण्ड =7 × q × 1
8qr के गुणनखण्ड =2 × 2 × 2 × q × r
3qs के गुणनखण्ड = 3 × q × s
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = q

प्रश्न 3.
व्यंजक b (6a – b) + 2c (6a + b) के पदों का उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा
(i) b
(ii) 2c
(iii) (ba – b)
(iv) a – b
हलः
b (6a – b) के गुणनखण्ड = b × (6a – b)
2c (6a – b) के गुणनखण्ड =2 × cx (6a – b)
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = (6a – b)

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के गुणनखण्ड (UPBoardSolutions.com) कीजिए
(i) 5x² – 25xy
हल :
5x² – 25xy
= 5x (x – 5y)

(ii) 9a² – 6ax
हल :
9a² – 6ax
= 3a (3a – 2x)

(iii) 36ab – 60 a°be
हल :
36 a²b – 60 a²bc
= 12ab(3a – 5ac)

(iv) 6P+ 8P²-4P³
हल :6P + 8P² – 4P³
= 2P (3 + 4P – 2P²)

(v) 3a²be + 6ab²c + 9abc²
हलः
3a²bc + 6ab²c + 9abc²
= 3abc (a + 2b = 3c)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित के (UPBoardSolutions.com) गुणनखण्ड कीजिए
(i) x(x – 2) +3 (x – 2)
हल :
x(x – 2) + 3 (x – 2)
= (x – 2) (x + 3)

(ii) 7(a – a) + 7(4 – a)
हल :
7(a – a) + 7 (4 – a)
= (a – 4) – 7(a – 4) = 0

(iii) 2y (y + 5)-3(y + 5)
हल :
2y(y + 5) – 3(y + 5)
= (y + 5) (2y – 3)

(iv) (d-7) +7 (d – 7)
हल :(d – 7)²  + 7(d – 7)
= (d – y)² + 7(d – 7)
= (d-y) + (d – 7 + 7)
= (d – 7) × d
=d(d – 7)

(v) a(a – 5) + 9 (5 – a) (UPBoardSolutions.com)
हल :
a(a – 5) + 9 (5 – a)
= a(a – b) + 9(5 – a)
= (a – 5) (a – 9)

(vi) (z-2) -3 (z-2)
हल :
(z – 2)² – 3(z – 2)
= (z – 2) (z – 2 – 3)
= (z – 2) (z – 5)

(vii) 17 (a +3) +17 (3 – a)
हल :
17 (a + 3) + 17 (3 – a)
= 17 (a + 3) – 17 (a – 3)
= 17 (a + 3 – a + 3)
= 17 × 6 = 102

अभ्यास 9 (b)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए, (UPBoardSolutions.com) जबकि व्यंजकों के प्रत्येक पद में एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हैं
(i) x(y-z) +4 (y-z)
हल :
x(y – z) + 4 (y – z)
= (y – z) (x + 4)

(ii) 2(5 + b)-7 (5+ b)
हल :
2(5 + b) -7 (5 + b)
= (5 + b) (2 – y)
=-5(5 + b)

(iii) y(a² + x) – a² = x)
हल :
y(a² + x) – a² = x)
= (a² + x) (y- 1)

(iv) a(a + 3) -5 (3 + a)
हल :
a(a + 3) -5 (3 + a),
= (a + 3) (9 – 5)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित के (UPBoardSolutions.com) गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
(i) x³ + 2x² = 5x + 10
हल :
x³ + 2x² + 5x + 10
= x²(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2) (x² + 5)

(ii) 3ax – 6xy + 8by – 4ab
हल :
3ax – 6xy + 8by – 4ab
= 3ax – 6xy -4ab + 8by
= 3x (a – 2y) – 4b (a – 2y)
= (a – 2y) (3x – 4b)

(iii) ax + cx’ + ay-bx + cy (UPBoardSolutions.com)
हल :
ax² + cx² + ay² – by² – bx² +cy²
= ax² – bx² + cx² + ay² – by² + cy²
= x² (a – b + c) + y² (a – b + c)
= (a – b + c) (x² + y²)

(iv) ab² – (a-c) b-c
हल :
ab² – (a – c) b – c
= ab² – ab + bc – c
= ab (b – 1) + c(b – 1)
= (b – 1) (ab + 1)

(v) p²q – pr² – pq + r²
हल :
p²q – pq² – pq + r²
=pq (p – 1) – r²(p – 1)
= (p – 1) (pq – r²)

प्रश्न 3.
व्यंजनक 50xy +10yx + 30xy + 6y’ का (UPBoardSolutions.com) गुणनखण्ड कीजिए। यदि x = 1,y = 2 हो तो दिये गये व्यंजक के गुणनखण्ड का मान ज्ञात करें।
हल :
50x²y + 10y²x + 30xy + 6y²
= 10y²x + 50x²y + 6y² + 30xy
= 10xy (y + 5x) + 6y (y + 5x)
= (y + 5x) (10xy +6y)
यदि x = 1, तथा y = 2 रखने पर
= (x +5 × 1) (10 × 1 × 2 + 6 × 2)
= (2 + 5) (20 + 12)
=7 × 32 = 224

प्रश्न 4.
उस समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करें, जिसका क्षेत्रफल (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac { { b }^{ 2 }+ab }{ 2 }[/latex] है।
हल :
समकोण ∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × आधार × ऊँचाई
[latex]\frac { { b }^{ 2 }+ab }{ 2 }[/latex] = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] × आधार × ऊँचाई
ab² + b² = आधार × ऊँचाई
∆ की भुजा = b तथा (a + b)

दक्षता अभ्यास 9

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए :
(i) 4a – 12
हल :
4a – 12
= 4 (a-3)

(ii) ac – be + c + cb
हल :
ac – bc + c + cb
= (a – b + c + b)
= c (a + c)

(iii) 36P +45 P
हल :
36P + 45P³
(4 + 5P²)

(iv) y² – 8ay
हल :
y² – 8ay = 9P
= y(y – 8a)

(v) 7a +7b
हल :
7a + 7b
= 7(a + b)

(vi) 3a³x – 45a²x – 18a (UPBoardSolutions.com)
हल :
3a³x – 45a²x – 18a
= 3a(a – 15ax – 6)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को गुणनखंड की सहायता से सरल कीजिए

प्रश्न 3.
निमनलिखिते व्यंजनों के (UPBoardSolutions.com) गुणनखंड कीजिए
(i) xy (z² + a²)- x²za – y²za
हल :
= xy (z² + a²) – x²za – y²za
= xyz² + xya² – x²za – y²za
= xyz² – x²za +xya² – y²za
= xy(yz – xa) + ya(xa – yz)
(yz – xa) (xy – ya)

(ii). p³ + p + q – 1 – p² – pq
हल :
p³ + p + q – 1 – p² – pq
= p³ – pq + p – p² + q – 1
= p(p² – q + 1) – 1(p² – q + 1)
= (p² – q + 1) (p – 1)

(iii). 2ab² – aby + 2cby – cy² 
हल :
2ab² – aby + 2cby – cy²
= 2ab² – aby + 2cby – cy²
= ab(2b – y) + cy (2b – y)
= (2b – y) (ab + cy)

(vi) x² +y³ + xy (y + 1)
हल :
x² + y³ + xy(y + 1)
= x² + y³ + xy + xy
= x² + xy + xy² + y³
= x(x +y) + y²(x +y)
= (x + y) (x + y²)

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के मान गुणनखंड (UPBoardSolutions.com) की सहायता से ज्ञात कीजिए
(i) 23 x 72 +77 x 72
हल :
23 × 72 + 77 × 72
= 72(23 + 77)
= 72 × 100 = 7200

(ii) 56 × 25 – 25 × 39 – 25 × 17
हल :
56 × 25 – 25 × 39 – 25 × 17
25(56 – 39 – 17)
= 25 × (56 – 56)
= 25 × 0 = 0

(iii) 27 × 47 + 55 × 8 + 27 × 53 + 45 × 8 (UPBoardSolutions.com)
हल :
27 × 47 + 55 × 8 + 27 × 53 + 45 × 8
= 27 × 47 + 27 × 53 + 55 × 8 + 45 × 8
= 27 × (47 + 53) + 8(55 + 45)
= 27 × 100 + 8 × 100
= 2700 + 800 = 3500

प्रश्न 5.
रिक्त स्थान (UPBoardSolutions.com) भरिए
(i) ut + (at²) = (u + at) (t)
(ii) a³ – a²b² – ab + b³ = (a – b) (a² – b)
(iii) 3x² + 6x²y + 9xy² = (3x) (x + 2xy + 3y²)

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