Class 9

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.1 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

Ex 6.1 Remainder Theorem and Factor Theorem अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
बहुपद 5x³ – 2x² – 7x + 1 को x से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब 5x³ – 2x² – 7x + 1 को x से विभाजित किया जाता है तो x = 0 रखने पर
शेषफल = 0 – 0 – 0 + 1 = 1

प्रश्न 2.
बहुपद p(x) को (x – a) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
जब P(x) को (x – a) से विभाजित किया जाता है तो x – a = 0
∴ x = a रखने पर
शेषफल = P(a)

प्रश्न 3.
बहुपद p(x) को (ax – b) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब P(x) को (ax – b) से विभाजित किया जाता है तो ax – b = 0 या x = [latex]\frac{b}{a}[/latex] रखने पर
शेषफल = [latex]\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}}\right)[/latex]

प्रश्न 4.
बहुपद x³ – 2x² + x + 1 को (x – 1) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ – 2x² + x + 1 को (x – 1) से विभाजित किया जाता है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)³ – 2(1)² + 1 + 1 = 1 – 2 + 1 + 1 = 1

प्रश्न 5.
बहुपद x³¹ + 31 को (x + 1) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब x³¹ + 31 को (x + 1) से विभाजित किया जाता है तो x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = -1
शेषफल = (-1)³¹ + 31 = -1 + 31 = 30

प्रश्न 6.
बहुपद 3x³ – 4x² + 7x – 5 को (x – 3) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब 3x³ – 4x³ + 7x – 5 को (x – 3) से विभाजित किया जाता है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = 3(3)³ – 4(3)² + 7(3) – 5 = 3. 27 – 36 + 21 – 5 = 81 – 36 + 21 – 5 = 102 – 41 = 61

प्रश्न 7.
बहुपद x³ + 5x² – 2 को (x – 1) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ + 5x² – 2 को (x – 1) से विभाजित किया जाता है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)³ + 5(1)² – 2 = 1 + 5 – 2 = 4

Ex 6.1 Remainder Theorem and Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 8.
शेषफल ज्ञात कीजिए यदि 3x³ – 4x² + 7x – 5 को (x + 3) से भाग दिया जाता है।
हलः
जब 3x³ – 4x² + 7x – 5 को (x + 3) से विभाजित किया जाता है तो
x + 3 = 0 या X = 0 – 3 = -3 रखने पर
शेषफल = 3(-3)³ – 4(-3)² + 7(-3) – 5 = 3(-27) – 4(9) – 21 – 5
= -81 – 36 – 21 – 5 = -143

प्रश्न 9.
x = 3 पर p(x) का मान ज्ञात कीजिए यदि p(x) = 3x² – 4x + [latex]\sqrt{17}[/latex]
हल:
P(x) = 3x² – 4x + [latex]\sqrt{17}[/latex], यदि x = 3
शेषफल = 3(3)² – 4 × 3 + [latex]\sqrt{17}[/latex] = 27 – 12 + [latex]\sqrt{17}[/latex] = 15 + [latex]\sqrt{17}[/latex]

प्रश्न 10.
शेषफल ज्ञात कीजिए यदि f (x) = 3x⁴ + 29x³ – 5a²x² + 5x को (x – a) से भाग दिया जाता है।
हल:
f(x) = 3x⁴ + 29x³ – 5a²x² + 5x को (x – a) से विभाजित किया जाता है तो
x – a = 0 या x = 0 + a = a
शेषफल = 3a⁴ + 29a³ – 5a². a² + 5a = 3a⁴ + 29a³ – 5a⁴ + 5a = -2a⁴ + 29a³ + 5a

प्रश्न 11.
शेषफल ज्ञात कीजिए यदि P(x) = x³ – 3x² + 4x + 50 को (x – 3) से भाग दिया जाता है।
हल:
P(x) = x³ – 3x² + 4x + 50 को (x -3) से भाग किया जाता है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = (3)³ – 3(3)² + 4 × 3 + 50 = 27 – 27 + 12 + 50 = 62

Ex 6.1 Remainder Theorem and Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 12.
शेषफल प्रमेय का प्रयोग करते हुए निम्न में शेषफल ज्ञात कीजिए जब f(x) को g(x) से भाग दिया जाता है।

हल:

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि 2x³ + 13x² + x – 70, (x – 2) से विभाजित है।
हल:
2x³ + 13x³ + x – 70 को (x – 2) से भाग करने पर x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = 2(2)³ + 13(2)² + 2 – 70 = 16 + 52 + 2 – 70 = 0
अत: 2x³ + 13x² + x – 70, (x – 2) से पूर्णतया विभाजित होगा।

प्रश्न 14.
यदि बहुपदों px³ + 4x² + 3x – 4 व x³ – 4x + p को (x – 3) से भाग करने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तो सिद्ध कीजिए कि p = -1 (NCERT Exemplar)
हलः
जब Px³ + 4x² + 3x – 4 को (x – 3) से भाग करने पर x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = P(3)³ + 4(3)² + 3(3) – 4 = 27P + 36 + 9 – 4 = 27P + 41
जब x³ – 4x + P को (x – 3) से भाग करने पर x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = 3³ – 4(3) + P = 27 – 12 + P = 15 + P
∴ 27P + 41 = 15 + P
27P – P = 15 – 41
26P = -26.
P = [latex]\frac{-26}{26}[/latex] = -1

प्रश्न 15.
यदि px³ + 9x² + 4x – 10 को (x + 3) से भाग देने पर -22 शेषफल प्राप्त होता है तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
जब Px³ + 9x³ + 4x – 10 को (x + 3) से भाग किया जाता है तो x + 3 = 0 या x = -3 रखने पर
शेषफल = P(-3)³ + 9(-3)² + 4(-3) – 10 = -22
-27P + 81 – 12 – 10 = -22
-27P = -22 – 81 + 22
– 27P = -81
P = [latex]\frac{-81}{-27}[/latex] = 3

प्रश्न 16.
यदि बहुपद f (x) = x⁴ – 2x³ + 3x² – ax + b को (x – 1) और (x + 1) से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 व 19 प्राप्त होते हैं, तो a व b के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f(x) = x⁴ – 2x³ + 3x² – ax + b को (x – 1) से भाग किया जाता है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)⁴ – 2(1)³ + 3(1)² – a(1) + b = 1 – 2 + 3 – a + b = 2 – a + b
प्रश्नानुसार, 2 – a + b = 5
-a + b = 5 – 2 = 3 ⇒ – a + b = 3 ………………(1)
प्रश्नानुसार, यदि f(x) को (x + 1) से भाग किया जाता है तो
x + 1 = 0 या x = -1 रखने पर
शेषफल = (-1)⁴ – 2(-1)³ + 3(-1)² – a(-1) + b
= 1 + 2 + 3 + a + b
= 6 + a + b
तथा 6 + a + b = 19
a + b = 19 – 6
a + b = 13 ………………(2)
(1) व (2) जोडने पर,
2b = 16
b = [latex]\frac{16}{2}[/latex] = 8
समी० (2) मे b का मान रखने पर, a + 8 = 13
a = 13 – 8 = 5
अतः a = 5 व b = 8

प्रश्न 17.
बहुपद x³ + px² + qx + 6 को जब (x – 3) से भाग दिया जाता है तो शेषफल 3 तथा जब (x – 2) से भाग दिया जाता है तो शेषफल शून्य प्राप्त होता है। p व 4 के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि x³ + px² + qx + 6 को (x – 3) से भाग किया जाता है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = (3)³ + p(3)² + q(3) + 6 = 3
27 + 9p + 3q + 6 = 3
9p + 3q + 33 = 3
9p + 3q = 3 – 33
9p + 3q = -30
3(3p + q) = -30
3p + q =[latex]\frac{-33}{3}[/latex] = -10 ……………(1)
यदि x³ + px² + qx + 6 को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = (2)³ + p(2)³ + q(2) + 6 = 0
8 + 4p + 2q + 6 = 0
4p + 2q = -14
2(2p + q) = -14
2p + q =[latex]\frac{-14}{2}[/latex] =-7 …………….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,

समीकरण (1) में p का मान रखने पर,
3 × -3 + q = -10
-9 + q = -10
q = -10 + 9 = -1
अतः p = -3,    q = -1

प्रश्न 18.
बहुपद kr⁴ + 3x³ + 6 को (x – 2) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल, दूसरे बहुपद 2x³ + 17x + k को (x – 2) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल का दोगुना है। k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद kr⁴ + 3x³ + 6 को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर शेषफल
= k(2)⁴ + 3(2)³ + 6
= 16k + 24 + 6 = 16k + 30
और जब 2x³ + 17x + k को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = 2(2)³ + 17(2) + k = 2 × 8 + 34 + k = 50 + k
प्रश्नानुसार,
16k + 30 = 2(50 + k)
16k + 30 = 100 + 2k
16k – 2k = 100 – 30
14k = 70
k = [latex]\frac{70}{14}[/latex] = 5

प्रश्न 19.
यदि बहुपदों 9x³ + 3x² – 13 तथा 2x³ – 5x + a को (x – 2) से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद 9x³ + 3x² – 13 को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर,
शेषफल = 9(2)³ + 3(2)² – 13 = 72 + 12 – 13 = 71
बहुपद 2x³ – 5x + a को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर,
शेषफल = 2(2)³ – 5(2) + a = 16 – 10 + a या 6 + a
प्रश्नानुसार, 6 + a = 71
a = 71 – 6 = 65

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.2 वास्तविक संख्याएँ

प्रश्न 1.
निम्न प्रत्येक सात दशमलव को पूर्णांकों के भागफल में व्यक्त कीजिए।
(i) 0.9
(ii) -0.67
(iii) -0.35
(iv) 1.075
हल:

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक आवर्ती दशमलव को पूर्णांकों के भागफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) [latex]0 . \overline{7}[/latex]
(ii) [latex]0 . \overline{57}[/latex]
(iii) [latex]0 . \overline{134}[/latex]
(iv) [latex]0 . \overline{2341}[/latex]
(v) [latex]5 . \overline{317}[/latex]
हलः

प्रश्न 3.
5 और 6 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ लिखिए।
हलः

प्रश्न 4.
0.5 और 0.6 के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ लिखिए।
हलः
0.5 व 0.6 के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ = 0.515115111……
= 0.535335333……
= 0.575775777……

प्रश्न 5.
[latex]\sqrt{2}[/latex] और [latex]\sqrt{7}[/latex] के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ लिखिए।
हल:
[latex]\sqrt{2}, \sqrt{7}[/latex] के बीच अपरिमेय संख्या = [latex]\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}[/latex]

प्रश्न 6.
[latex]\sqrt{2}[/latex] का दशमलव के दो स्थानों तक परिमेय सन्निकटन ज्ञात कीजिए।
हलः
[latex]\sqrt{2}[/latex] = 1.4142135 से 1.4142136

प्रश्न 7.
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ परिमेय है या अपरिमैय

हल:

प्रश्न 8.
कारण सहित बताइये कि किसी संख्या p के लिए, 3 + [latex]\sqrt{p}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
हलः
माना, x = 3 + [latex]\sqrt{p}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
x − 3 = [latex]\sqrt{p}[/latex]
वर्ग करने पर, x² + 9 – 6x = p ……………..(1)
x² भी परिमेय संख्या होगी परन्तु x अपरिमेय संख्या है।
समीकरण (1) से,
p एक अपरिमेय संख्या है समीकरण (1) से सिद्ध होता है कि अपरिमेय संख्या p के लिए ही 3 + [latex]\sqrt{p}[/latex] अपरिमेय होगा।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि ([latex]\sqrt{3}-\sqrt{2}[/latex]) अपरिमेय है।
हलः
माना, ([latex]\sqrt{3}-\sqrt{2}[/latex]) एक परिमेय संख्या है।

अतः हमारी परिकल्पना कि [latex]\sqrt{3}-\sqrt{2}[/latex] एक परिमेय संख्या है, गलत है
इसलिए [latex]\sqrt{3}-\sqrt{2}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि 7, एक परिमेय संख्या का घन नही हैं।
हलः
माना 7, एक परिमेय संख्या x का घन है।
7 = x³
0 = x³ -7
∴ x. एक परिमेय संख्या नही है
∴ हमारी परिकल्पना x एक परिमेय संख्या है,
गलत है .:. x परिमेय संख्या नहीं है
∴ 7, एक परिमेय संख्या का घन नहीं है।
वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.2 Real Numbers  अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

निम्न संख्याओं का दशमलव रूप में प्रसार कीजिए। (प्रश्न 1- 5) [NCERT]
प्रश्न 1.
[latex]\frac{7}{8}[/latex]
हलः

प्रश्न 2.
[latex]\frac{2157}{625}[/latex]
हलः

प्रश्न 3.
[latex]\frac{8}{3}[/latex]
हलः

प्रश्न 4.
[latex]\frac{15}{4}[/latex]
हलः

प्रश्न 5.
[latex]\frac{-22}{13}[/latex]
हलः

निम्न संख्याओं को [latex]\frac{m}{n}[/latex] के रूप में व्यक्त कीजिए। (प्रश्न 6-13)

प्रश्न 6.
[latex]0 . \overline{3}[/latex]
हलः

प्रश्न 7.
[latex]0 . \overline{1}[/latex]
हलः

प्रश्न 8.
[latex]0 . \overline{585}[/latex]
हलः

प्रश्न 9.
[latex]23 . \overline{43}[/latex]
हलः
माना x = 23.434343…. ………..(1)
100 से गुणा करने पर, 100x = 2343.434343… ………..(2)
समीकरण (2)- समीकरण (1) करने पर
99x = 2320
x = [latex]\frac{2320}{99}[/latex]

प्रश्न 10.
[latex]0 . \overline{23}[/latex]
हलः

प्रश्न 11.
[latex]4 . \overline{32}[/latex]
हलः

प्रश्न 12.
7.010
हलः

प्रश्न 13.
[latex]0 . \overline{621}[/latex]
हलः

प्रश्न 14.
0.1 और 0.12 के बीच दो अपरिमेय संख्याओं को ज्ञात करें।
हलः
0.1 और 0.12 के बीच दो अपरिमेय संख्याएँ =.1010010001…
तथा .1101001000100001…

प्रश्न 15.
[latex]\frac{1}{3}[/latex] और [latex]\frac{1}{2}[/latex] के बीच तीन परिमेय संख्याओं को ज्ञात करें।
हलः

प्रश्न 16.
[latex]\frac{1}{5}[/latex] और [latex]\frac{1}{4}[/latex] के बीच तीन परिमेय संख्याओं को ज्ञात करें। (NCERT Exemplar)
हलः

प्रश्न 17.
[latex]3 \frac{1}{8}[/latex] का दशमलव रूप में प्रसार करें।
हलः
[latex]3 \frac{1}{8}=\frac{25}{8}[/latex] = 3.125

प्रश्न 18.
[latex]0.2 \overline{45}[/latex] को एक साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त करें।
हलः
माना x = 0.2454545…

प्रश्न 19.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या एक अपरिमेय संख्या है?
(a) [latex]\sqrt{\frac{25}{49}}[/latex]
(b) [latex]\sqrt{5}[/latex]
(c) [latex]\sqrt{36}[/latex]
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
विकल्प (b), [latex]\sqrt{5}[/latex]

प्रश्न 20.
निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है?

हलः
विकल्प (c) π अपरिमेय है और [latex]\frac{22}{7}[/latex] परिमेय है।

प्रश्न 21.
निम्न में से कौन-सा एक कथन सत्य नहीं है?
(a) एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी (असांत) और अनावर्ती है।
(b) दो अपरिमेय संख्याओं का योग, एक परिमेय या एक अपरिमेय संख्या होना चाहिए।
(c) एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है।
(d) सभी सत्य है।
हल:
विकल्प (d) सभी सत्य है।

प्रश्न 22.
निम्नलिखित में परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
(a) π
(b) 0
(c) [latex]\sqrt{2}[/latex]
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
0, विकल्प (b)

Ex 1.2 Real Numbers  लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 23.
[latex]\sqrt{3}[/latex] और [latex]\sqrt{11}[/latex] के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 24.
संख्या [latex]\sqrt{5}[/latex] का दशमलव प्रसार ज्ञात कीजिए।
हलः
[latex]\sqrt{5}[/latex] = 2.23606797749…
अनवसानी (असांत) और अनावर्ती

प्रश्न 25.
दो वास्तविक संख्याओं के बीच कितनी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं?
हलः
अनन्त

प्रश्न 26.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
(a) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या है।
(b) एक वास्तविक संख्या या तो परिमेय होती है या अपरिमेय।
हलः
(a) सत्य
(b) सत्य

प्रश्न 27.
दो अपरिमेय संख्याओं की गुणा की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
हलः
दो अपरिमेय संख्याओं की गुणा परिमेय भी हो सकती है तथा अपरिमेय भी हो सकती है।

प्रश्न 28.
[latex]\sqrt{2}[/latex] और [latex]\sqrt{3}[/latex] के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 29.
संख्या (3 -[latex]\sqrt{7}[/latex] )(3 + [latex]\sqrt{7}[/latex] ) का प्रकार ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 30
[latex]\frac{36}{100}[/latex] का दशमलव रूप ज्ञात कीजिए। [NCERT]
हलः
[latex]\frac{36}{100}[/latex] = 0.36

प्रश्न 31.
सिद्ध कीजिए कि एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण या तो सांत होता है या आवर्ती।
हलः
परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण करने पर दशमलव के बाद अंकों की संख्या सीमित है
जैसे- [latex]\frac{3}{4}[/latex] = 0.75 या [latex]\frac{5}{8}[/latex] = 0.625
परन्तु यदि अंको की संख्या सीमित नहीं है और अंको के एक समूह की क्रमानुसार पुनरावृत्ति हो तो उसे आवर्ती दशमलव कहते हैं। जैसे-

प्रश्न 32.
सिद्ध कीजिए कि एक अपरिमेय संख्या का दशमलव निरूपण न तो सांत होता है और न ही आवर्ती।
हलः
अपरिमेय संख्या, जिसे [latex]\frac{p}{q}[/latex] (जहाँ p व q पूर्णांक तथा q ≠ 0) है, के रूप में व्यक्त नही किया जा सकता है।
परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण सांत तथा आवर्ती होता है। इसके विपरीत अपरिमेय संख्या का दशमलव निरूपण न तो सांत और ना ही आवर्ती होते हैं। जैसे- [latex]\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11}[/latex] आदि अपरिमेय संख्याएँ जो परिमेय नहीं है, दशमलव के रूप में प्रदर्शित करने पर वे न तो सांत होती हैं और न ही आवर्ती।

प्रश्न 33.
सिद्ध कीजिए कि एक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिन्दु, एक एकल वास्तविक संख्या निरूपित करता है।
हलः
सभी परिमेय संख्याएँ तथा अपरिमेय संख्याएँ साथ ली गई हैं जो वास्तविक संख्याओं से ली गई है सभी परिमेय एवं अपरिमेय संख्या, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। सभी परिमेय व अपरिमेय संख्या, संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याएं निरूपित है इसलिए इसे संख्या रेखा के स्थान पर वास्तविक संख्या रेखा कहते हैं।

Ex 1.2 Real Numbers स्वमल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
क्या शून्य (0) एक परिमेय संख्या है? क्या इसे [latex]\frac{p}{q}[/latex], p, q ∈ Z, q ≠ 0 के रूप में व्यक्त किया जा सकता
हलः
हाँ 0 को [latex]\frac{p}{q}[/latex] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
0 = [latex]\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{1}}=\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{2}}=\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}[/latex]

प्रश्न 2.
निम्न में सही (T) व गलत (F) छाटियें।
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या, पूर्ण संख्या होती है।
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है
हलः
(i) T
(ii) F
(iii) F

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक संख्याओं का वर्गमूल अपरिमेय संख्या नही होती।
हलः
(i) यदि n कोई पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है तो [latex]\sqrt{n}[/latex] परिमेय संख्या नहीं होती है।
∴ [latex]\sqrt{n} \neq \frac{p}{q}[/latex] जहाँ p व q पूर्णांक है तथा q ≠ 0
जैसे- [latex]\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}[/latex] आदि

(ii) यदि n कोई पूर्ण वर्ग संख्या है तो [latex]\sqrt{n}[/latex] एक परिमेय संख्या होती है।
[latex]\sqrt{n}=\frac{p}{q}[/latex] जहाँ p व q पूर्णांक है तथा q ≠ 0
जैसे- [latex]\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}, \sqrt{25}[/latex] आदि

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि 3.142678 एक परिमेय संख्या है। .
हलः
∵ 3.142678 = [latex]\frac{3142678}{1000000}=\frac{1571339}{500000}[/latex]
जिसे [latex]\frac{p}{q}[/latex] लिखा जा सकता है यह एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 5.
हम जानते हैं कि प्रत्येक परिमेय संख्या [latex]\frac{p}{q}[/latex] (p, q ∈ Z, q ≠ 0) के रूप की होती है। जहाँ p व 4 में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं होता तथा इसका दशमलव प्रसार सांत होता है। किस गुण को संतुष्ट करेगा?
हलः
q एक अभाज्य गुणनखण्ड होगा।

प्रश्न 6.
यदि n एक अभाज्य संख्या है तो सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{n}[/latex], परिमेय संख्या नहीं है।
हलः
माना n एक अभाज्य संख्या है। माना [latex]\sqrt{n}[/latex] एक परिमेय संख्या है।

⇒ ∴ n, p² का एक गुणनखण्ड है।
⇒ n, p का एक गुणनखण्ड है।
माना p = nm (किसी भी प्राकृतिक संख्या m के लिए)
⇒ p² = n²m²
⇒ nq² = n²m²
⇒ q² = nm²
⇒ n, q² का एक गुणनखण्ड है
⇒ n,q का एक गुणनखण्ड है
परन्तु n, p का भी एक गुणनखण्ड है तथा q का गुणनखण्ड है
∴ n, p व q दोनों का गुणनखण्ड है यह परिकल्पना कि p व q का कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड गलत है। अत: हमारी परिकल्पना कि [latex]\sqrt{n}[/latex] एक परिमेय संख्या है, गलत है।
अतः [latex]\sqrt{n}[/latex] एक परिमेय संख्या नहीं है।

प्रश्न 7.
यदि a > b > 0 तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{a b}[/latex] सदैव a व b के बीच स्थित है।
हल:
∵ यदि a और b दो भिन्न धनात्मक परिमेय संख्याएं इस प्रकार हैं कि ab किसी परिमेय संख्या का एक पूर्ण वर्ग नहीं है। तब [latex]\sqrt{a b}[/latex] एक a व b के बीच स्थित अपरिमेय संख्या है।
∴ a < [latex]\sqrt{a b}[/latex] < b

प्रश्न 8.
माना m a n दो धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि m ≥ 1, n ≥ 1 तथा m पूर्ण n वाँ घात नहीं है अर्थात् कोई ऐसा पूर्णांक p नहीं है जिसके लिए pⁿ = m, सिद्ध कीजिए कि ऐसी कोई परिमेय संख्या a नहीं हैं जिसके लिए aⁿ = m.
हलः
pⁿ = m ………………… (1)
aⁿ = m ………………… (2)
(1) व (2) की तुलना से,
pⁿ = aⁿ
दोनों पक्षों की तुलना से, p= परन्तु यह सम्भव नहीं है ।
∴ ऐसी कोई परिमेय संख्या a नहीं है
जिसके लिए aⁿ = m

प्रश्न 9.
(i) सम अभाज्य संख्या लिखिये।
(ii) 5 व 6 के बीच कितनी वास्तविक संख्याएँ हैं?
(iii) वास्तविक संख्याओं के लिए धनात्मक तत्समक ज्ञात कीजिए।
(iv) परिमेय संख्याओं के लिए गुणन तत्समक ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) 2
(ii) अनन्त
(iii) 0
(iv) 1

प्रश्न 10.
[latex]\frac{1}{9}[/latex] का दशमलव प्रसार लिखकर [latex]\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}[/latex], के मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि एक अशून्य परिमेय संख्या तथा अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय संख्या होती है।
हलः
माना x एक परिमेय संख्या है तथा y एक अपरिमेय संख्या है।
तब हमें दिखाना है कि (x + y) एक अपरिमेय संख्या है।
माना x + y परिमेय संख्या है।
∵ दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी परिमेय ही होता है।
∴ (x + y) – x भी एक परिमेय संख्या है।
∴ y एक परिमेय संख्या है परन्तु y एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारी परिकल्पना हैं कि x + y एक परिमेय संख्या है, गलत है
अत: x + y एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि एक अशून्य परिमेय संख्या तथा अपरिमेय संख्या का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या होती है।
हलः
माना x एक अशून्य परिमेय संख्या तथा y एक अपरिमेय संख्या है
तो हमें दर्शाना है कि xy एक अपरिमेय संख्या है।
माना y एक परिमेय संख्या है।
∵ दो अशून्य परिमेय संख्याओं का भागफल भी परिमेय ही होता है
∴ xy परिमेय तथा x परिमेय संख्या है।
∴ भागफल ⇒ [latex]\left(\frac{x y}{x}\right)[/latex] भी एक परिमेय संख्या है।
⇒ y एक परिमेय संख्या है।
परन्तु y एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए हमारी अभिधारणा (परिकल्पना) कि xy एक परिमेय संख्या है, गलत है
∴ xy एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 13.
0.232332333233332… व 0.2525525552555552… के बीच दो परिमेय संख्याऐं ज्ञात कीजिए।
हलः
माना a = 0.232332333233332……..
b = 0.2525525552555552…….
a तथा b दोनों अपरिमेय संख्या है।
a व b में दशमलव के बाद का पहला स्थान एक ही (2) है परन्तु दूसरा स्थान a में 3 व b में 5 है।
∴ c = 0.25 तथा d = 0.2525 ऐसी परिमेय संख्या होगी।
जिससे a < c < d < b

प्रश्न 14.
[latex]0 . \overline{1}[/latex] व 0.1101 के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
[latex]0 . \overline{1}[/latex] = 0.111111…..
तथा 0.1101 के बीच एक अपरिमेय संख्या = 0.111101001000100001…

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{3}+\sqrt{5}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
हलः
माना [latex]\sqrt{3}+\sqrt{5}[/latex] एक परिमेय संख्या है।

∴ हमारी परिकल्पना कि [latex]\sqrt{3}+\sqrt{5}[/latex] एक परिमेय संख्या है, गलत है अतः [latex]\sqrt{3}+\sqrt{5}[/latex] एक अपरिमेय संख्या ही होगी।

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.2 चतुर्भज

प्रश्न 1.
ABCD एक समचतुर्भुज है। EABF एक सरल रेखा इस प्रकार है कि EA = AB = BF तो सिद्ध कीजिए कि ED व FC को बढ़ाने पर ये समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हलः
समचतुर्भुज ABCD में,
∵ AB = BC = CD = DA
∴ EA = AB = BF (दिया है)
EA = AD = DC
ED = AC
∴ EP|| AC

∵ समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
तथा लम्बवत् होते हैं।
∴ ∠DOC = 90°
∴ ∆DOC तथा ∆PDC में,
DC उभयनिष्ठ
∠PDC = ∠OCD (एकान्तर कोण)
∠ODC = ∠PCD (एकान्तर कोण)
अतः ∆DOC ≅ ∆PDC
∴ ∠DOC = ∠DPC = 90°

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि समलम्ब चतर्भज के सम्मुख कोण सम्पुरक होते हैं।
हलः
ज्ञात हैः एक समलम्ब ABCD जिसमें AB||CD तथा AD = BC
सिद्ध करना हैः ∠B + ∠D = 180°

प्रश्न 3.
चित्र में, AD व BE त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ हैं तथा BE||DF तो सिद्ध कीजिए कि CF = [latex]\frac{1}{4}[/latex]AC
हलः
∵ BE||DF तथा BC का मध्य बिन्दु D है।
तिर्यक रेखा BC पर बने अन्त:खण्ड BD = DC
इसी प्रकार तिर्यक रेखा AC पर बने अन्त:खण्ड

EF = FC …(1)
AE = EC (∵ E, AC का मध्य बिन्दु है)
AE = EF + FC
AE = FC + FC [समी० (1) से ]
AE = 2FC

प्रश्न 4.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा P, भुजा DC का मध्य बिन्दु है। C से PA के समान्तर एक ऐसी रेखा खींचिए कि DA को बढ़ाने से यह बिन्दु Q पर तथा AB को बिन्दु R पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि DQ =2AD तथा CQ = 2CR
हल:
∵ AP||QC, तिर्यक रेखा DC द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड DP = PC ….(1)
इसी प्रकार तिर्यक रेखा AB द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड AR = RB ….(2)
∵ AB||CD
∴ तिर्यक रेखा द्वारा काटा गया अन्त:खण्ड

CR = RQ
या CQ = 2CR
इसी प्रकार DQ = 2AD

प्रश्न 5.
चित्र में, AB||CD||EF||GH व Ax = XY = YH । यदि AC = 1.5 सेमी तो AG का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
AX|| XY|| YH यदि AC = 1.5 सेमी
तिर्यक रेखा AH द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड
AX = XY = YH

∴ तिर्यक रेखा AG द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड
AC = CE = EG = 1.5 सेमी
AG = AC + CE + EG = 1.5 + 1.5 + 1.5 = 4.5 सेमी

प्रश्न 6.
चित्र में, ∆ABC की भुजा AC को E तक ऐसे बढ़ाते हैं कि CE = [latex]\frac{1}{2}[/latex]AC यदि D,BC का मध्य बिन्दु है तथा ED को बढ़ाने पर वह AB से F बिन्दु पर मिलती है। तथा CP व DQ, BA के समान्तर है सिद्ध कीजिए कि FD = [latex]\frac{1}{3}[/latex]FE
हलः

CE = [latex]\frac{1}{2}[/latex]AC …(1)
D, BC का मध्य बिन्दु है
∴ BD = DC
∆BDF तथा ∆DCP में, BD = DC (दिया है)
∠BDF = ∠CDP (शीर्षाभिमुख कोण)
∠FBD = ∠BCP (एकान्तर कोण)
अतः ∆BDF = ∆DCP
FD = DP …(2)
∴ AB||CP तथा तिर्यक रेखा FE के द्वारा बने अन्त:खण्ड FD = DP [समी० (2) से अभी सिद्ध किया है]
∴ तिर्यक रेखा AE के द्वारा बने अन्त:खण्ड
AQ = QC …(3)
समी० (1) व (3) से, [latex]C E=\frac{1}{2} \times 2 Q C[/latex]
CE = QC …(4)
इसी प्रकार DQ||CP की तिर्यक रेखा FE पर बने अन्त:खण्ड
DP = PE
∴ समी० (2) से,
FD = [latex]\frac{1}{3}[/latex] FE

प्रश्न 7.
चित्र में, ABC एक समकोण त्रिभुज है तथा ∠B = 90° दिया है AB = 9 सेमी, AC = 15 सेमी। D व E क्रमशः AB व AC के मध्य बिन्दु हैं तब BC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
(15)² = 9² + BC²
225 – 81 = BC²
144 = BC²
BC = [latex]\sqrt{144}[/latex] = 12 सेमी

प्रश्न 8.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। बिन्दु P, DC का मध्य बिन्दु है तथा Q, AC DF पर एक ऐसा बिन्दु है कि CQ = [latex]\frac{1}{4}[/latex]AC। यदि PQ को बढ़ाने पर वह BC से R बिन्दु पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए कि R,BC का मध्य बिन्दु है।
हलः

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड उसकी समान्तर भुजाओं के समान्तर तथा उनके अन्तर से आधा होता है।
हलः
ज्ञात हैः एक समलम्ब ABCD जिसकी भुजाएं AB तथा DC एक दुसरे के समान्तर हैं
तथा P एवं Q विकर्ण AC व BD के मध्य बिन्दु हैं। PQ को मिलाया।
सिद्ध करना है: PQ, AB या DC के समान्तर है।


रचनाः DP को मिलाया तथा आगे बढ़ाया जिससे वह AB से बिन्दु R पर मिलती है।
उपपत्तिः ∵ AB व DC एक दूसरे के समान्तर हैं जिन्हें तिर्यक रेखा AC, बिन्दु A व C पर काटती है। अब ∆APR तथा ∆DPC में
∠1 = ∠2 (एकान्तर अन्त:कोण)
AP = CP (∵ P, AC का मध्य बिन्दु है)
∠3 = ∠4 (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः ∆APR ≅ ∆DPC
AR = DC …(1)
PR = DP …(2)
समी० (2) से प्रदर्शित होता है कि P, DR का मध्य बिन्दु है। इस प्रकार ∆DRB में P तथा Q क्रमशः भुजा DR तथा DB के मध्य बिन्दु हैं।
∴ PQ, भुजा RB के समान्तर है।
या PQ.AB के समान्तर है।
∵ RB, AB का एक भाग है।
∴ PQ, AB तथा DC के समान्तर है।
∴ AB व DC एक दुसरे के समान्तर हैं।

प्रश्न 10.
BM व CN किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से जाने वाली रेखा पर लम्ब है यदि L,BC का मध्य बिन्दु है सिद्ध कीजिए कि LM = LN
हलः

ज्ञात है: BM तथा CN रेखा AN पर लम्ब खींचे गये हैं तथा L, BC का मध्य बिन्दु हैं।
सिद्ध करना है: LM = LN
उपपत्तिः ∆BML तथा ∆LNC में,
BL = LC (ज्ञात है)
∠BML = ∠CNL (प्रत्येक समकोण)
∠MLB = ∠CLN (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः ∆BML ≅ ∆LNC
∴ LM = LN

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 9 Introduction to Euclid’s Geometry Ex 9.1 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

Ex 9.1 Introduction to Euclid’s Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
एक बिन्दु की विमायें ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हलः 0

प्रश्न 2.
एक ठोस की विमायें ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हलः
3

प्रश्न 3.
एक सतह की विमायें ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हल:
2

प्रश्न 4.
तीन असंरेख बिन्दुओं से गुजरने वाले समतलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
1

प्रश्न 5.
सतह की सीमाओं के नाम लिखो। (NCERT Exemplar)
हलः
वक्र

प्रश्न 6.
ठोस की सीमाओं के नाम लिखो। (NCERT Exemplar)
हलः
पृष्ठ

प्रश्न 7.
यदि दो बराबर संख्याओं में एक बराबर संख्या जोड़ी जाती है तो परिणामी संख्याएँ बराबर होती हैं यह है
(a) अभिग्रहित
(b) परिभाषा
(c) उपपत्ति
(d) अभिधारणा
हलः
(a) अभिग्रहित

Ex 9.1 Introduction to Euclid’s Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 8.
(i) एक दिये गये बिन्दु से कितनी रेखाएं खींची जा सकती है?
(ii) एक रेखा के निरूपण हेतु कितने बिन्दुओं की आवश्यकता होगी?
(iii) क्या, रेखा की कोई लम्बाई होती है?
(iv) तीन संरेख बिन्दुओं से निर्धारित होने वाले रेखाखण्ड का नाम बताइये।
हलः
(i) अनन्त
(ii) दो
(iii) नहीं
(iv) यदि P, Q, R तीन सरैख बिन्दु है तो PQ, QR, PR रेखाखण्ड होंगे।

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में निम्न के नाम बताइये।
(i) 6 बिन्दु
(ii) 5 रेखाखण्ड
(iii) 4 किरणें
(iv) 4 रेखाएं
(v) 4 संरेख बिन्दु

हलः
(i) 6 बिन्दु = A, B,C, D, E, F
(ii) 5 रेखाखण्ड = [latex]\overline{\boldsymbol{E} \boldsymbol{F}}, \overline{\boldsymbol{G} \boldsymbol{H}}, \overline{\boldsymbol{E} \boldsymbol{G}}, \overline{\boldsymbol{F} \boldsymbol{H}}, \overline{\boldsymbol{M} \boldsymbol{N}}[/latex]
(iii) 4 किरणों = [latex]\overrightarrow{E P}, \overrightarrow{G R}, \overrightarrow{G B}, \overrightarrow{H D}[/latex]
(iv) 4 रेखाएं = [latex]\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}, \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{CD}}, \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{PQ}} \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{RS}}[/latex]
(v) 4 संरेख बिन्दु = M,E,G,B

प्रश्न 10.
निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?
(i) एक रेखाखण्ड की कोई लम्बाई नहीं होती।
(ii) एक रेखाखण्ड का एक ही सिरा होता है।
(iii) प्रत्येक किरण की लम्बाई निश्चित होती है।
(iv) किरण AB = किरण BA
(v) दो विभिन्न बिन्दु सदैव एक रेखा को निर्धारित करते हैं।
(vi) एक बिन्दु से एक ही रेखा गुजरती है।
(vii) तीन रेखाएं समवर्ती होती हैं यदि उनका एक ही उभयनिष्ठ बिन्दु है।
हलः
(i) असत्य
(ii) असत्य
(iii) असत्य
(iv) असत्य
(v) सत्य
(vi) असत्य
(vii) सत्य

प्रश्न 11.
प्रमेय एवं अभिग्रहित में क्या अन्तर है?
हलः
पहले से प्राप्त परिणामों के आधार पर कुछ अभिग्रहित जो कथन बनाते हैं उस प्रमेय कहते हैं।
तथा वे कल्पनाऐं जिन्हें बिना (UPBoardSolutions.com) सिद्ध किये सत्य कथन मान लिया गया तथा जिन्हें निरन्तर प्रयोग किया गया, अभिग्रहित कहलाते हैं।
जैसे- (i) बराबर के आधे भी बराबर होते हैं।
(ii) यदि a = b तब [latex]\frac{1}{2}[/latex]a = [latex]\frac{1}{2}[/latex] b एक अभिग्रहित है।

प्रश्न 12.
कब किरण XY, रेखाखण्ड XZ के समान्तर होगी?
हलः
जब X, Y, Z संरेख हों।

प्रश्न 13.
संलग्न चित्र से निम्न के उत्तर दीजिए।
(a) क्या A, B, C संरेख बिन्दु हैं?
(b) क्या A, B, D संरेख बिन्दु हैं?
(c) BD + DE = BE?
(d) AC ∩ BC = BC?

हलः
(a) हाँ
(b) नहीं
(c) हाँ
(d) हाँ

प्रश्न 14.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करें।
(a) एक रेखाखण्ड के ……….. सिरे होते हैं।
(b) समवर्ती रेखायें ……….., बिन्दु (ओं) से गुजरती हैं।
हलः
(a) दो
(b) एक

Ex 9.1 Introduction to Euclid’s Geometry बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
निम्न में किसकी उपपत्ति की आवश्यकता होती है। (NCERT Exemplar)
(a) प्रमेय
(b) अभिग्रहित
(c) अभिधारणा
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
प्रमेय
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
यूक्लिड ने अपनी पाठ्य पुस्तक ‘दी इलीमैन्ट’ को कितने भागों में बाँटा? (NCERT Exemplar)
(a) 12 अध्याय
(b) 13 अध्याय
(c) 11 अध्याय
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
13 अध्याय
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
यदि x = 23, y = 23 तब x = y, यह यूक्लिड का कौन-सा अभिग्रहित है?
(a) 6 वाँ
(b) 5 वाँ
(c) 4 वाँ
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
6वाँ
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 4.
पिरामिड का आधार (NCERT Exemplar)
(a) केवल आयत
(b) केवल त्रिभुज
(c) कोई बहुभुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
कोई बहुभुज।
अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 9.1 Introduction to Euclid’s Geometry स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
निम्न में से सही कथन के लिए सत्य तथा गलत के लिए असत्य लिखें। (NCERT Exemplar)
(i) वह कथन जिसे सिद्ध किया गया है, अभिग्रहित कहलाता है।
(ii) एक सतह की भुजाएँ, वक्र होती हैं।
(iii) दो प्रतिच्छेदी रेखाएं कभी समान्तर नहीं होती।
(iv) दो बराबर वस्तुओं को दोगुना करने पर प्राप्त संख्याएँ भी बराबर होती हैं।
(v) ठोस की सीमाएँ, वक्र होती हैं।
हलः
(i) असत्य
(ii) सत्य
(iii) सत्य
(iv) सत्य
(v) असत्य

प्रश्न 2.
निम्न कथन को पढ़ें
एक वर्ग ऐसा बहुभुज है जो चार बराबर रेखाखण्डों से बना है तथा सभी कोण समकोण होते हैं। वह पद बताइये जो इस परिभाषा के लिए आवश्यक है।
हलः
यूक्लिड की अभिधारणा।

प्रश्न 3.
दो अभिधारणायें लें
(i) दो भिन्न-2 बिन्दुओं A व B के बीच, एक तीसरे बिन्दु C का अस्तित्व है। जो A व B के बीच है।
(ii) तीन विभिन्न बिन्दुओं का अस्तित्व है जो एक रेखा पर नहीं है।
क्या इन अभिकल्पनाओं में कोई अपरिभाषित पद है? क्या ये यूक्लिड अभिग्रहित का अनुसरण करते हैं?
हलः
ये यूक्लिड के अभिग्रहित का अनुसरण करते हैं।

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में यदि ∠ABC = ∠ACB, ∠3 = ∠4, तब सिद्ध कीजिए कि ∠1 = ∠2. (NCERT Exemplar) .
हलः
∠ABC = ∠ACB
∠4 + ∠1 = ∠3 + ∠2
∵ ∠3 – ∠4 (दिया है)
∴ ∠1 = ∠2

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि किसी दिये रेखाखण्ड पर एक समबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है।
हलः
यदि BC एक रेखाखण्ड दिया है। बिन्दु B तथा C पर रेखाखण्ड BC के बराबर दो रेखाखण्ड AB तथा AC काटें, जिससे ∠ABC तथा ∠ACB 60° के कोण बनते हैं। इस प्रकार AB तथा AC को मिलाया। अत: ∆ABC एक समबाहु ∆ बनेगा।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक रेखाखण्ड का एक और केवल एक मध्य बिन्दु होता है।
हलः
यूक्लिड के अभिग्रहित से एक ही वस्तु के आधे परस्पर बराबर होते हैं। अतः प्रत्येक रेखाखण्ड का एक और केवल एक मध्य बिन्दु होता है।

प्रश्न 7.
क्या यूक्लिड की पांचवी अभिधारणा समान्तर रेखाओं का अस्तित्व स्वीकार करती है।
हलः
इसके अनुसार यदि दो रेखायें एक ही रेखा के समान्तर हैं तो वे एक दूसरे के भी समान्तर होंगे।

प्रश्न 8.
किसी रेखा के समान्तर, दो समान्तर रेखाएं परस्पर समान्तर होती हैं।
हलः
माना m तथा n के समान्तर नही हैं तब m और n एक बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती है –
इस प्रकार l के बाहर एक बिन्दु P से, दो रेखायें m और n, l के समान्तर है। यह (समान्तर जो समान्तर अभिग्रहित का विलोम है, हमारी कल्पना गलत है।
m ∥ n

प्रश्न 9.
दो विभिन्न रेखाओं का एक से अधिक उभयनिष्ठ बिन्दु नहीं हो सकता। सिद्ध कीजिए।
हलः
यदि l और m दो भिन्न रेखायें है माना l ∩ m में दो बिन्दु P व Q है तब ! के बिन्दु P और Q हैं।
तथा m के बिन्दु P और Q हैं। किन्तु यहाँ दो (UPBoardSolutions.com) भिन्न बिन्दुओं से केवल और केवल एक l रेखा गुजरती है इसलिए l = m अतः यह मानना कि और m दो भिन्न रेखायें है, गलत है अत: दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं हो सकता।

प्रश्न 10.
दिये गये चित्र में AD = [latex]\frac{1}{2}[/latex] AB तथा BE = [latex]\frac{1}{2}[/latex] BC, यदि AB = BC सिद्ध कीजिए कि AD = CE
हलः
∵ AB = BC .
∴ [latex]\frac{1}{2}[/latex] AB = [latex]\frac{1}{2}[/latex] BC
∴ AD = CE

प्रश्न 11.
माना किसी रेखा पर तीन बिन्दु P, Q व R हैं यदि P व R के बीच बिन्दु Q है तब सिद्ध C कीजिए कि PR – QR = PQ
हलः
यदि एक सरल रेखा पर तीन बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि Q, P तथा R के बीच में स्थित है, तब
सिद्ध करना है : PR – QR = PQ
उपपत्ति : सदिश विश्लेषण से,

परिमाण लेने पर, PR – QR = PQ

प्रश्न 12.
संलग्न चित्र में AC = XD व C, AB का तथा D, XY के मध्य बिन्दु हैं। यूक्लिड अभिग्रहित का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि AB = XY

हलः
∵ C, AB का मध्य बिन्दु है, तब
AC = BC = [latex]\frac{A B}{2}[/latex] ………………(1)
यदि D, XY का मध्य बिन्दु है, तब
XD = DY = [latex]\frac{X Y}{2}[/latex]
दिया है : AC = XD
[latex]\frac{A B}{2}=\frac{X Y}{2}[/latex] [समी० (1) व (2) से]
⇒ AB = XY यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
नीचे दिये गये चित्र से सिद्ध कीजिए कि AB = CD, यदि AC = BD

हलः
यदि
AC = BD
AD = AB + BD …………….. (1)
AD = AC + CD …………….(2)
समी० (1) व (2) से,
AB + BD = AC + CD [∵AC = BD]
AB = CD

प्रश्न 14.
यदि कोई बिन्दु 0, बिन्दुओं P व R के मध्य स्थित है तथा PO = OR तब सिद्ध कीजिए कि
PO = (1/2)PR
हलः

∵ बिन्दु 0, बिन्दुओं P व R के मध्य स्थित है, तब
PO = OR
= PR – PO
⇒ PO + PO = PR
⇒ 2PO = PR
⇒ PO = [latex]\frac{1}{2}[/latex] PR

प्रश्न 15.
यदि कोई बिन्दु E बिन्दुओं D व F के बीच इस प्रकार स्थित है कि DE = EF, सिद्ध कीजिए कि
DE = [latex]\frac{1}{2}[/latex] DF
हलः

दिया है,
DE = EF
= DF – DE
⇒ DE + DE = DF
⇒ 2DE = DF
⇒ DE = [latex]\frac{1}{2}[/latex] DF

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.1 चतुर्भज

प्रश्न 1.
एक समान्तर चतुर्भुज का एक कोण उसके संलग्न (Adjacent) कोण का है। तब समान्तर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 110°,68° व 82° हैं। चौथा कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ चतुर्भुज के चारों कोणों का योगफल = 360°
माना चतुर्भुज का चौथा कोण = x
110° + 68°+ 82°+ x = 360°
260°+ x = 360°
x = 360° – 260° =100°

प्रश्न 3.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में सिद्ध कीजिए कि उसके दो क्रमागत कोणों का योग 180° होता है।
हलः
ज्ञात है— ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें ∠1 = ∠3 तथा ∠2 = ∠4
सिद्ध करना है- ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 = 180°

उपपत्ति-समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
∠1 = ∠3
∠2 = ∠4
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠4
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
(∠1 + ∠2) + (∠3+ ∠4) = 360°
2(∠1 + ∠2) = 360°

प्रश्न 4.
एक समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण (3x – 2)° व (50 – x)° हैं। इसके प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 5.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। x व y के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
∠A = ∠D
12x + 7y = 28°+60°
12x + 7y = 88° …(1)

∠B = ∠C
180°- 12x – 28°= 180° – 7y – 60°
152°- 12x = 120°-7y
-12x + 7y = 120°- 152°
-12x + 7y = -32°
समी० (1), (2) को हल करने पर y = 4, x = 5

प्रश्न 6.
चित्र में, ABCD एक आयत है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ आयत के विकर्ण समान होते हैं तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

AO = OC तथा
OB = OD
∆OBC में,
OB = OC तथा
∠OBC = ∠OCB = 580
x = 58°

प्रश्न 7.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा ∠DAP = 20°, ∠BAP = 40° तथा ∠ABP = 80° हैं, तो ∠APD व ∠BPC के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जहाँ ∠DAP = 20°
∠BAP = 40° तथा ∠ABP = 80°
समान्तर चतुर्भुज ABCD में AB||CD तथा PA व PB तिर्यक रेखायें काटती हैं।
∠PAB = ∠APD = 40° (एकान्तर कोण)
∠BPC = ∠PBA = 80° (एकान्तर कोण)

प्रश्न 8.
चित्र में, ABCD एक वर्ग है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 9.
चित्र में, PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है तथा PO व OQ क्रमश: ∠P व ∠Q पर के समद्विभाजक हैं। PQ के समान्तर रेखा LOM खीचें। तब सिद्ध कीजिए कि
(i) PL = QM (NCERT Exemplar)
(ii) LO = OM

हलः

प्रश्न 10.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
∠BCD = ∠DAB = 50°
∆BCD में,
∠B + ∠C + ∠D = 180°
80° + 50° + x = 180°
x = 180° – (80°+ 50°)
= 180° – 130° = 50°

प्रश्न 11.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा E भुजा BC का मधा बिन्दु है। DE व AB को बढ़ाने पर ये बिन्दु F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि AF = 2AB
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा E, BC का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 12.
यदि समान्तर चतुर्भुज का एक कोण, सबसे छोटे कोण के दोगुने से 24° कम है तो इसके सभी कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 13.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB||DC तथा भुजा AD व BC के मध्य बिन्दु क्रमशः E व F हैं। यदि AB = 8 सेमी व DC = 6 सेमी हैं तब EF की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 14.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जहाँ ∠DAB = 70° व ∠DBC = 50° । ∠CDB व ∠ADB के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∠A = ∠C = 70° (सम्मुख कोण)

∆BDC में, ∠BDC + ∠DCB + ∠DBC = 180°
∴ ∠BDC + 70°+ 50° = 180°
∠BDC = 180°– (50° + 70°) = 60°
∠ADB = ∠DBC (एकान्तर कोण)
= 50°

प्रश्न 15.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जहाँ ∠A = 45°तब ∠B, ∠C व ∠D के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है व ∠A = 45°
∠C = ∠A = 45° (सम्मुख कोण)
∠A + ∠B = 180°

(समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योगफल 180° होता है।)
45°+ ∠B = 180°
∠B = 180°- 45° = 135°
∠D = ∠B = 135° (सम्मुख कोण)

प्रश्न 16.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर ……………………. समद्विभाजित करते हैं।
(ii) वर्ग के विकर्ण ………………………. व परस्पर लम्बवत् होते हैं।
(iii) यदि किसी समान्तर चतुर्भुज की क्रमागत भुजाएँ बराबर हैं तब यह अवश्य एक ………. है।
(iv) एक समान्तर चतुर्भुज के क्रमागत कोण ……………….. होते हैं।
(v) एक ………………….. समान्तर चतुर्भुज होता है यदि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर हो।
हलः
(i) 90° के कोण पर
(ii) बराबर
(iii) सम चतुर्भुज
(iv) सम्पूरक कोण
(v) चतुर्भुज

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