Class 9

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.4 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि (3x – 2), बहुपद p(x) = 3x³ + x² – 20x + 12 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
(3x – 2), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड होगा यदि p(2/3) = 0

अतः (3x – 2) बहुपद p(x) = 3x³ + x² – 20x + 12 का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि (x – 1), बहुपद x²⁰ – 1 तथा x²¹ – 1 का एक गुणनखण्ड है।
हल:
p(x) = x²⁰ – 1
∵ x – 1 = 0 = x = 1 रखने पर,
p(1) = 1²⁰ – 1 = 1 – 1 = 0
x = 1 रखने पर p(1) = 0
अतः (x – 1) बहुपद x²⁰ – 1 का एक गुणनखण्ड होगा।
इसी प्रकार, p(x) = x²¹ – 1
p(1) = 1²¹ – 1 = 0
अतः (x – 1), बहुपद x²¹ – 1 का भी एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 3.
यदि 4x⁴ – ax³ + 2x² + 4x + 3 का एक गुणनखण्ड (1 – 2x) है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
1 – 2x = 0 ⇒ x = [latex]\frac{1}{2}[/latex] रखने पर,

प्रश्न 4.
यदि R₁ तथा R₂ दो शेषफल हैं। जब क्रमश: x³ + 2x² – 5ax + 7 को (x + 1) तथा x³ + ax² – 12x + 6 को (x – 2) से विभाजित किया जाता है। यदि R₁ – R₂ = 20, तो सिद्ध कीजिए a = 2।
हलः
R₁ = p( – 1) = (-1)³ + 2(- 1)² – 5a (-1) + 7 = – 1 + 2 + 5a + 7 = (5a + 8)
R₂ = P(2) = 2³ + a(2)² – 12 × 2 + 6 = 8 + 4a – 24 + 6 = 4a – 10
तब दिया है, R₁ – R₂ = 20
⇒ (5a + 8) – (4a – 10) = 20
⇒ a + 8 + 10 = 20 ⇒ a = 2

प्रश्न 5.
यदि R₁ तथा R₂ दो शेषफल हैं जब क्रमशः f(x) = x³ + 2ax² – 5x – 7 को (x + 1) तथा g(x) = x³ + x² – 12x + 6a को (x – 2) से विभाजित किया जाता है। यदि 2R₁ + R₂ = 12 तो सिद्ध कीजिए a = 3।
हल:
R₁ = f(-1) = (-1)³ + 2a (-1)² – 5(-1) – 7 = – 1 + 2a + 5 – 7 = 2a – 3
R₂ = g (2) = (2)³ + 2² – 12 × 2 + 6a = 8 + 4 – 24 + 6a = 6a – 12
दिया है,
2R₁ + R₂ = 12 .
2(2a – 3) + 6a – 12 = 12
10a – 18 = 12
10a = 30 ⇒ a = [latex]\frac{30}{10}[/latex] = 3

प्रश्न 6.
यदि बहुपद ax³ + 3x² – 3 तथा 2x³ – 5x + a को (x – 4) से भाग देने पर क्रमशः R₁ तथा R₂ शेषफल प्राप्त होते हैं तब a का मान ज्ञात कीजिए, यदि
(i) R₁ = R₂
(iii) 2R₁ – R₂ =0
हलः
R₁ = P(4) = a (4)³ + 3(4)² – 3 = 64a + 48 – 3 = 64a + 45
R₂ = q(4) = 2(4)³ – 5(4) + a = 128 – 20 + a = a + 108
तब (i)
R₁ = R₂
⇒ 64a + 45 = a + 108
⇒ 63a = 63 ⇒ a = 1

(ii) 2R₁ – R₂ = 0
2(64a + 45) – (a + 108) = 0
128a + 90 – a – 108 = 0
127a – 18 = 0 ⇒ a = [latex]\frac{18}{127}[/latex]

प्रश्न 7.
यदि (x + α), x² + px + q तथा x² + mx + n, का गुणनखण्ड है तब सिद्ध कीजिए कि α = [latex]\frac{n-q}{m-p}[/latex]
हलः
यदि (x + α), x² + px + q का एक गुणनखण्ड है, तब x = – α रखने पर शेषफल शून्य प्राप्त होगा। अतः
(-α)² + p(-α) + q = 0
α² – αp + q = 0 ………………… (1)
इसी प्रकार यदि (x + α), x² + mx + n का एक गुणनखण्ड है, तब x = – α रखने पर शेषफल शून्य प्राप्त होता है, अतः
(α)² + m(α) + n = 0
α² – mα + n = 0 ……………………… (2)
समी० (1) व (2) से,

प्रश्न 8.
यदि (x + 2), व्यंजक ax² + bx + c तथा bx² + ax + c का महत्तम समापवर्तक (HCF) है तो सिद्ध कीजिए a = b तथा a + b + c = 0
हलः
यदि (x + 2) व्यंजक ax² + bx + c तथा bx² + ax + c का म०स० है, तब यह उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा।
अत: x = – 2 रखने पर,
a( – 2)² + b( – 2) + c = 0
या 4a – 2b + c = 0 …………………….. (1)
4b – 2a + c = 0 ……………….(2)
समी० (1) व (2) को जोड़ने पर,
2a + 2b + 2c = 0
⇒ a + b + c = 0
समी० (1) व (2) को घटाने पर, a = b

प्रश्न 9.
यदि (x – 1), व्यंजक x² – 1 तथा ax² – b(x + 1), का महत्तम समापवर्तक (HCF) है तो सिद्ध कीजिए a = 2b
हलः
यदि (x – 1), व्यंजक (x² – 1) और ax² – b(x + 1) का म०स० है, तो (x – 1) इसका उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा। अतः
a(1)² – b(1 + 1) = 0
a – 2b = 0
a = 2b

Ex 6.4 Remainder Theorem and Factor Theorem स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
x³ + 3x² + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
5 + 2x = 0 या 2x = – 5
∴ x = [latex]-\frac{5}{2}[/latex] को बहुपद में रखने पर

प्रश्न 2.
गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके 2y³ + y² – 2y – 1 के गुणनखण्ड कीजिए।
हलः
2y³ + y² – 2y – 1 में y = 1 रखने पर
शेषफल = 2(1)³ + (1)² – 2(1) – 1 = 2 + 1 – 2 – 1 = 0
अतः (y – 1) बहुपद 2y³ + y² – 2y – 1 का एक गुणनखण्ड है।

∴ 2y² + 3y + 1 = 2y² + (2 + 1)y + 1
= 2y² + 2y + y + 1
= 2y(y + 1) + 1(y + 1) = (2y + 1)(y + 1)
∴ गुणनखण्ड = (y – 1)(y + 1)(2y + 1)

प्रश्न 3.
x⁴ + x³ – 2x² + x + 1 को (x – 1) से भाग करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए। .
हलः
∵ x – 1 = 0 या x = 1 का मान बहुपद में रखने पर
शेषफल = (1)⁴ + (1)³ – 2(1)² + 1 + 1
= 1 + 1 – 2 + 1 + 1 = 2

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि (x + 2) बहुपद x³ + 3x² + 5x + 6 व 2x + 4 का गुणनखण्ड है।
हलः
∵ x + 2 = 0 ∴x = 0 – 2 = – 2 रखने पर
बहुपद x³ + 3x² + 5x + 6 का शेषफल
=(-2)³ + 3(-2)² + 5(-2) + 6 = – 8 + 12 – 10 + 6 = 0
बहुपद 2x + 4 का शेषफल = 2(-2) + 4 = – 4 + 4 = 0
∴ (x + 2), बहुपद x³ + 3x² + 5x + 6 व 2x + 4 का गुणनखण्ड है।

प्रश्न 5.
गुणनखण्ड प्रमेय से 6x² + 17x + 5 के गुणनखण्ड कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
गुणनखण्ड प्रमेय से y² – 5y + 6 के गुणनखण्ड कीजिए।
हलः
बहुपद y² – 5y + 6 में y = 2 रखने पर
(2)² – 5(2) + 6
4 – 10 + 6 = 0
अतः (y – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।

∴ गुणनखण्ड = (y – 2)(y – 3)

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि (x + 2), बहुपद x³ + 3x² + 3x + 2 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
∵ x + 2 = 0 इसलिए x = – 2 का मान बहुपद में रखने पर
(-2)³ + 3(-2)² + 38 – 2) + 2
– 8 + 12 – 6 + 2 = 0
अतः (x + 2), बहुपद x³ + 3x² + 3x + 2 का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 8.
बहुपद 9x³ + 3x² – 13 व 2x³ – 5x + α को (x + 2) से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तब α का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद 9x³ + 3x² – 13 को (x + 2) से भाग देने पर
x + 2 = 0 या x = – 2 रखने पर
शेषफल = 9(-2)³ + 3(-2)² – 13
= 9(-8) + 3(4) – 13 = – 72 + 12 – 13 = – 73
बहुपद 2x³ – 5x + α को (x + 2) से भाग देने पर शेषफल
= 2(-2)³ – 5( – 2) + α = – 16 + 10 + α = – 6 + α
दोनों शेषफल समान होने की दिशा में
– 6 + α = – 73
α = – 73 + 6 = – 67

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि (x + 1) तथा (2x – 3) बहुपद 2x³ – 9x² + x + 12 के गुणनखण्ड है। (NCERT Exemplar)
हलः
(i) बहुपद 2x³ – 9x² + x + 12 में x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = – 1 रखने पर
शेषफल = 2(-1)³ – 9(-1)² + (-1) + 12
= 2(-1) – 9(1) – 1 + 12 = – 2 – 9 – 1 + 12 = 0
अतः (x + 1), बहुपद 2x³ – 9x² + x + 12 का गुणनखण्ड है।

(ii) 2x – 3 = 0 या x = [latex]\frac{3}{2}[/latex] का मान बहुपद 2x³ – 9x² + x + 12 में रखने पर

अतः (2x – 3) बहुपद 2x³ – 9x² + x + 12 का गुणनखण्ड है।

प्रश्न 10.
α के किस मान के लिए बहुपद 2x³ + 9x² + 11x + α + 3, 2x – 1 से पूर्णतया विभाजित है।
हल:
2x – 1 = 0 या x = [latex]\frac{1}{2}[/latex] का मान बहुपद में रखने पर, शेषफल = 0

प्रश्न 11.
4x⁴ – 2x³ – 6x² + x – 5 से क्या घटाया जाए कि वह 2x² + x – 1 से पूर्णतया विभाजित है।
हल:
2x² + x – 1 = 2x² + (2 – 1)x – 1
= 2x + 2x – x – 1
= 2x(x + 1) – 1(x + 1) = (x + 1)(2x – 1)
(x + 1) से पूर्णतया विभाजित होने पर x + 1 = 0 या x = – 1 रखने पर
शेषफल = 4(-1)⁴ – 2(-1)³ – 6(-1)² + (-1) – 5 .
= 4(1) – 2(-1) – 6(1) – 1 – 5 = 4 + 2 – 6 – 1 – 5 = – 6
इसी प्रकार 2x – 1 = 0 या x = [latex]\frac{1}{2}[/latex] रखने पर

∴ 2x² + x – 1 के दोनों गुणनखण्डों से विभाजित करने पर बहुपद 4x⁴ – 2x³ – 6x² + x – 5 के शेषफल = – 6

प्रश्न 12.
यदि x³ + ax² – bx + 10, x² – 3x + 2 से पूर्णतया विभाजित हो तो a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x² – 3x + 2 = x² – (2 + 1) x + 2 = x² – 2x – x + 2
= x (x – 2) – 1(x – 2)= (x – 2)(x – 1)
∵ x – 2 = 0 ∴ x = 2 का मान बहुपद x³ + ax² – bx + 10 में रखने पर
शेषफल = (2)³ + a(2)² – b(2) + 10
= 8 + 4a – 2b + 10 = 4a – 2b + 18 ………………….. (1)
∵ x – 1 = 0 ∴ x = 1 का मान बहुपद x³ + ax² – bx + 10 में रखने पर
शेषफल = (1)³ + a(1)² – b(1) + 10
= 1 + a – b + 10
= 11 + a – b ………………… (2)
दोनों शेषफल = 0 रखने पर
4a – 2b + 18 = 0
⇒ 4a – 2b = – 18 ………………(3)
11 + a – b = 0
a – b = – 11 ……………… (4)
समी (4) में 2 से गुणा करने पर, समीकरण (3) घटाने पर

समी (4) में a का मान रखने पर
2 – b = – 11
–b = – 11 – 2 = – 13 ⇒ b = 13

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि (x – 2),(x + 3) तथा (x – 4) बहुपद x³ – 3x² – 10x + 24 के गुणनखण्ड है।
हलः
∵ x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = (2)³ – 3(2)² – 10(2) + 24 = 8 – 12 – 20 + 24 = 0
∵ x + 3 = 0 या x = – 3 रखने पर
शेषफल = (-3)³ – 3(-3)² – 10(-3) + 24 = – 27 – 27 + 30 + 24 = 0
∵ x – 4 = 0 या x = 4 रखने पर
शेषफल = (4)³ – 3(4)² – 10(4) + 24 = 64 – 48 – 40 + 24 = 88 – 88 = 0
∵ शेषफल 0 है
∵ (x – 2), (x + 3), (x – 4) बहुपद x³ – 3x² – 10x + 24 के गुणनखण्ड है।

प्रश्न 14.
x³ – 3x² – 12x + 9 में क्या जोड़ें कि परिणामी x² + x – 6 से पूर्णतया विभाजित हो जाए।
हल:

शेषफल = – (2x + 15)
अर्थात् (2x + 15) जोड़ने पर परिणामी x² + x – 6 से पूर्णतया विभाजित हो जाता है।

प्रश्न 15.
3x³ + x² – 22x + 9 में क्या जोड़ें कि परिणामी 3x² + 7x – 6 से पूर्णतया विभाजित हो जाए।
हलः

शेषफल = – (2x + 3) अर्थात् 2x + 3 जोड़ने पर परिणामी 3x² + 7x – 6 से पूर्णतया विभाजित होगा।

प्रश्न 16.
x³ – 6x² – 15x + 80 में क्या घटायें कि परिणामी x² + x – 12 से पूर्णतया विभाजित हो जाए।
हल:

∴ शेषफल = 4x – 4
अतः (4x – 4) घटाने पर परिणामी पूर्णतया विभाजित होगा।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि (x – 2), बहुपद f (x) = 2x³ – 3x² – 17x + 30 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
∵ x – 2 = 0 ∴ x = 2 रखने पर।
f(2) = 2(2)³ – 3(2)² – 17(2) + 30
= 16 – 12 – 34 + 30 = 0
∴ (x – 2), बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 18.
गुणनखण्ड प्रमेय से x³ – 6x² + 11x – 6 के गुणनखण्ड कीजिए। (NCERT Exemplar)
हल:
x³ – 6x² + 11x – 6
x = 1 रखने पर, शेषफल = (1)³ – 6(1)² + 11(1) – 6 = 1 – 6 + 11 – 6 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।

x² – 5x + 6 = x 2 – (2 + 3)x + 6
= x² – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3)
गुणनखण्ड = (x – 1)(x – 2)(x – 3)

प्रश्न 19.
यदि (2x + 3) बहुपद 4x³ + 20x² + 33x + 18 का एक गुणनखण्ड है तो इसके शेष गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हलः
(2x + 3), बहुपद 4x³ + 20x² + 33x + 18 का एक गुणनखण्ड है

2x² + 7x + 6 = 2x² + (3 + 4)x + 6
= 2x² + 3x + 4x + 6 = x(2x + 3) + 2(2x + 3) = (2x + 3)(x + 2)
∴ गुणनखण्ड = (2x + 3)(2x + 3)(x + 2) = (2x + 3)² (x + 2)

प्रश्न 20.
f(x) = x⁴ – 4x³ + 3x² – ax – bको (x – 1) से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 6 आता है तब सिद्ध कीजिए कि a + b = – 6
हल:
f(x), (x – 1) से विभाजित होता है।
∴ x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
f(1) = (1)⁴ – 4(1)³ + 3(1)² – a(1) – b
6 = 1 – 4 + 3 – a – b
1 – 4 + 3 – a – b = 6
4 – 4 – a – b = 6 ⇒ – a – b = 6
a + b = – 6

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.3 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके निम्न बहुपदों के गुणनफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
x³ +13x² + 32x + 20; यदि (x + 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
हलः
x³ + 13x² + 32x + 20 का (x + 2) एक गुणनखण्ड है।

गुणनखण्ड = (x + 2)[x² +11x + 10]
= (x + 2)[x² + (10 + 1)x + 10]
= (x + 2)[x² + 10x + x + 10]
= (x + 2)[x(x + 10) + 1(x + 10)]
= (x + 2)(x + 10)(x + 1)

प्रश्न 2.
x³ – 6x² + 3x + 10; यदि (x – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
हल:
x³ – 6x² + 3x + 10 का एक गुणनखण्ड (x – 2) है।

गुणनखण्ड = (x – 2)[x² – 4x – 5]
= (x – 2)[x² – (5 – 1)x – 5]
= (x – 2)[x² – 5x + x – 5]
= (x – 2)[x(x – 5) + 1(x – 5)]
= (x – 2)(x – 5)(x + 1)

प्रश्न 3.
x³ + 13x² + 31x – 45; यदि (x + 9) इसका एक गुणनखण्ड है।
हलः
x³ + 13x² + 31x – 45 का एक गुणनखण्ड (x + 9) है।

गुणनखण्ड = (x + 9)[x² + 4x – 5]
= (x + 9)[x² + (5 – 1)x -5]
= (x + 9)[x² + 5x – x -5]
= (x + 9)[x(x + 5) – 1(x + 5)]
= (x + 9)(x + 5)(x – 1)

प्रश्न 4.
9x³ – 27x² – 100x + 300; यदि (3x + 10) इसका एक गुणनखण्ड है।
हल:
9x³ – 27x² – 100x + 300 का एक गुणनखण्ड (3x + 10) है।

गुणनखण्ड = (3x + 10)[3x² – 19x + 30]
= (3x + 10)[3x² – (10 + 9)x + 30]
= (3x + 10)[3x² – 10x – 9x + 30]
= (3x + 10)[x(3x – 10) – 3(3x – 10)]
= (3x + 10)(3x – 10)(x – 3)

प्रश्न 5.
x⁴ – 7x³ + 9x² + 7x – 10; यदि (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
हल:
x⁴ – 7x³ + 9x² – 10 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है।

x³ – 6x² + 3x + 10 में x = -1 रखने पर
शेषफल = (-1)³ – 6(-1)² + 3(-1) + 10
= -1 – 6 – 3 + 10 = 0
∴ (x + 1) भी इसका एक गुणनखण्ड होगा।

गुणनखण्ड = (x -1)(x + 1)[x² – 7x + 10]
= (x – 1)(x + 1)[x² – (5 + 2)x + 10]
= (x – 1)(x + 1)[x² – 5x – 2x + 10]
= (x – 1)(x + 1)[x(x – 5) – 2(x – 5)]
= (x – 1)(x + 1)(x – 5)(x – 2)

प्रश्न 6.
x³ + 6x² + 11x + 6
हल:
x³ + 6x² + 11x + 6
अतः इनमें से ऋणात्मक मान रखे जायेंगे।
x = -1 रखने पर = (-1)³ + 6(-1)² + 11(-1) + 6 = -1 + 6 – 11 + 6 = 0
अतः (x + 1) इसका एक गुणनखण्ड है।

गुणनखण्ड = (x + 1)[x² + 5x + 6]
= (x + 1)[x² + (2 + 3)x + 6]
= (x + 1)[x² + 2x + 3x + 6]
= (x + 1)[x(x + 2) + 3(x + 2)]
= (x + 1)(x + 2)(x + 3)

प्रश्न 7.
x³ + 7x² + 7x – 15
हल:
x³ + 7x² + 7x – 15                 (∵ 15 = 1 × 3 × 5)
x = 1 रखने पर = (1)³ + 7(1)² + 7(1) – 15 = 1 + 7 + 7 – 15 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।

∴ गुणनखण्ड = (x – 1)[x² + 8x +15]
= (x – 1)[x² + (3 + 5)x + 15]
= (x – 1)[x² + 3x + 5x + 15]
= (x – 1)[x(x + 3) + 5(x + 3)]
= (x – 1)(x + 3)(x + 5)

प्रश्न 8.
a³ + b³ + c³ – 3abc
हल:
a³ + b³ + c³ – 3abc में a = -(b + c) रखने पर
=[-(b + c)]³ + b³ + c³ + 3(b + c)bc = -[b³ + c³ + 3bc(b + c)] + b³ + c³ + 3b²c + 3bc³ = 0
अतः (a + b + c) इसका एक गुणनखण्ड है।

∴ a³ + b³ + c³ – 3abc के गुणनखण्ड = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)

प्रश्न 9.
x⁴ + x³ – 7x² – x + 6
हलः
x⁴ + x³ – 7x² – x + 6 (∵ 6 = 1 × 2 × 3)
x = 1 रखने पर = (1)⁴ + (1)³ – 7(1)² – 1 + 6 = 1 + 1 – 7 – 1 + 6 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है। .
x = -1 रखने पर = (-1)⁴ + (-1)³ – 7(-1)² – (-1) + 6 = 1 – 1 – 7 + 1 + 6 = 8 – 8 = 0
अतः (x + 1) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
∴ (x + 1)(x – 1) = (x² – 1) बहुपद का गुणनखण्ड होगा।

∴ गुणनखण्ड = (x + 1)(x – 1)[x² + x – 6]
= (x + 1)(x – 1)[x² + (3 – 2)x – 6] = (x + 1)(x – 1)[x² + 3x – 2x – 6]
= (x + 1)(x – 1)[x(x + 3) – 2(x + 3)]
= (x + 1)(x – 1)(x + 3)(x – 2)

प्रश्न 10.
2y³ – 5y² – 19y + 42
हलः
2y³ – 5y² – 19y + 42 (∵ 42 = 2 × 3 × 7)
y = 2 रखने पर = 2(2)³ – 5(2)² – 19(2) + 42 = 16 – 20 – 38 + 42 = 58 – 58 = 0
अतः (y – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।

∴ गुणनखण्ड = (y – 2)[2y² – y – 21]
= (y – 2)[2y² – (7 – 6)y – 21] = (y – 2)[2y² – 7y + 6y – 21]
= (y – 2)[y (2y – 7) + 3(2y – 7)]
= (y – 2)(y + 3)(2y – 7)

प्रश्न 11.
x⁴ – 5x³ – 7x² + 41x – 30
हल:
x⁴ – 5x³ – 7x² + 41x – 30 (∵ 30 = 1 × 2 × 3 × 5)
x = 1 रखने पर = (1)⁴ – 5(1)³ – 7(1)² + 41(1) – 30 = 1 – 5 – 7 + 4 1 – 30 = 42 – 42 = 0
अतः (x -1) इसका एक गुणनखण्ड है।
x = 2 रखने पर = (2)⁴ – 5(2)³ – 7(2)² + 41(2) – 30 = 16 – 40 – 28 + 82 – 30 = 98 – 98 = 0
अतः (x – 2) भी इसका एक गुणनखण्ड है।।
(x – 1)(x – 2) = x² – 2x – x + 2 = x² – 3x + 2 इसके गुणनखण्ड है।

∴ गुणनखण्ड = (x – 1)(x – 2)[x² – 2x – 15]
= (x – 1)(x – 2)[x² – (5 – 3)x – 15] = (x -1)(x – 2)[x² – 5x + 3x – 15]
= (x – 1)(x – 2)[x(x – 5) + 3(x – 5)] = (x – 1)(x – 2)(x – 5)(x + 3)

प्रश्न 12.
a⁴ + 2a³ – 2a² + 2a – 3
हलः
a⁴ + 2a³ – 2a² + 2a – 3 (∵ 3 = 1 × 3)
a = 1 रखने पर = (1)⁴ + 2(1)³ – 2(1)² + 2(1) – 3 = 1 + 2 – 2 + 2 – 3 = 5 – 5 = 0
अतः (a – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
a = -3 रखने पर = (-3)⁴ + 2(-3)³ – 2(-3)² + 2(-3) – 3 = 81 – 54 – 18 – 6 – 3 = 81 – 81 = 0
अतः (a + 3) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
इसलिए (a – 1)(a + 3) = a² + 3a – a – 3 = a² + 2a – 3 इसका गुणनखण्ड है।

∴ गुणनखण्ड = (a – 1)(a + 3)(a² + 1)

प्रश्न 13.
4x⁴ – 12x³ – x² + 27x – 18
हलः
4x⁴ – 12x³ – x² + 27x – 18 (∵ 18 = 1 × 2 × 3 × 3)
x = 1 रखने पर = 4(1)⁴ – 12(1)³ – (1)² + 27(1) – 18 = 4 – 12 – 1 + 27 – 18 = 31 – 31 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
इसी प्रकार x = 2 रखने पर = 4(2)⁴ – 12(2)³ – (2)² + 27(2) – 18
= 4 × 16 – 12 × 8 – 4 + 27 × 2 – 18
= 64 – 96 – 4 + 54 – 18 = 118 – 118 = 0
अतः (x – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
(x – 1)(x – 2) = x² – 2x – x + 2 = x² – 3x + 2 इसका गुणनखण्ड है।

∴ गुणनखण्ड = (x – 1)(x – 2)(4x² – 9) = (x – 1)(x – 2)(2x + 3)(2x – 3)

प्रश्न 14.
x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24
हल:
x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24 (∵ 24 = 1 × 2 × 2 × 2 × 3)
x = -1 रखने पर = (-1)⁴ + 10(-1)³ + 35(-1)² + 50(-1) + 24
= 1 – 10 + 35 – 50 + 24 = 60 – 60 = 0
अतः (x + 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
x = -2 रखने पर = (-2)⁴ + 10(-2)³ + 35(-2)² + 50(-2) + 24
= 16 – 80 + 140 – 100 + 24 = 180 – 180 = 0
अतः (x + 2) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
∴ (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 इसका गुणनखण्ड है।

गुणनखण्ड = (x + 1)(x + 2)[x² + 7x + 12]
= (x + 1)(x + 2)[x² + (3 + 4)x + 12] = (x + 1)(x + 2)[x² + 3x + 4x + 12]
= (x + 1)(x + 2)[x(x + 3)+ 4(x + 3)] = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

प्रश्न 15.
3a⁴ + 28a³ + 87a² + 98a + 24
हलः
3a⁴ + 28a³ + 87a² + 98a + 24      (∵ 24 = 1 × 2 × 3 × 4)
a = -2 रखने पर = 3(-2)⁴ + 28(-2)³ + 87(-2)² + 98(-2) + 24
= 48 – 224 + 348 – 196 + 24 = 420 – 420 = 0
अतः (a + 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
a = -3 रखने पर = 3(-3)⁴ + 28(-3)³ + 87(-3)² + 98(-3) + 24
= 243 – 756 + 783 – 294 + 24 = 1050 – 1050 = 0
अतः (a + 3) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
(a + 2)(a + 3) = a² + 5a + 6 इसका गुणनखण्ड है।

∴ गुणनखण्ड = (a + 2)(a + 3)[3a² + 13a + 4] = (a + 2)(a + 3)[3a² + (12 + 1)a + 4]
= (a + 2)(a + 3)[3a² + 12a + a + 4] = (a + 2)(a + 3)[3a(a + 4) + 1(a + 4)]
= (a + 2)(a + 3)(3a + 1)(a + 4)

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.1 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

Ex 6.1 Remainder Theorem and Factor Theorem अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
बहुपद 5x³ – 2x² – 7x + 1 को x से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब 5x³ – 2x² – 7x + 1 को x से विभाजित किया जाता है तो x = 0 रखने पर
शेषफल = 0 – 0 – 0 + 1 = 1

प्रश्न 2.
बहुपद p(x) को (x – a) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
जब P(x) को (x – a) से विभाजित किया जाता है तो x – a = 0
∴ x = a रखने पर
शेषफल = P(a)

प्रश्न 3.
बहुपद p(x) को (ax – b) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब P(x) को (ax – b) से विभाजित किया जाता है तो ax – b = 0 या x = [latex]\frac{b}{a}[/latex] रखने पर
शेषफल = [latex]\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}}\right)[/latex]

प्रश्न 4.
बहुपद x³ – 2x² + x + 1 को (x – 1) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ – 2x² + x + 1 को (x – 1) से विभाजित किया जाता है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)³ – 2(1)² + 1 + 1 = 1 – 2 + 1 + 1 = 1

प्रश्न 5.
बहुपद x³¹ + 31 को (x + 1) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब x³¹ + 31 को (x + 1) से विभाजित किया जाता है तो x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = -1
शेषफल = (-1)³¹ + 31 = -1 + 31 = 30

प्रश्न 6.
बहुपद 3x³ – 4x² + 7x – 5 को (x – 3) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब 3x³ – 4x³ + 7x – 5 को (x – 3) से विभाजित किया जाता है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = 3(3)³ – 4(3)² + 7(3) – 5 = 3. 27 – 36 + 21 – 5 = 81 – 36 + 21 – 5 = 102 – 41 = 61

प्रश्न 7.
बहुपद x³ + 5x² – 2 को (x – 1) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ + 5x² – 2 को (x – 1) से विभाजित किया जाता है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)³ + 5(1)² – 2 = 1 + 5 – 2 = 4

Ex 6.1 Remainder Theorem and Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 8.
शेषफल ज्ञात कीजिए यदि 3x³ – 4x² + 7x – 5 को (x + 3) से भाग दिया जाता है।
हलः
जब 3x³ – 4x² + 7x – 5 को (x + 3) से विभाजित किया जाता है तो
x + 3 = 0 या X = 0 – 3 = -3 रखने पर
शेषफल = 3(-3)³ – 4(-3)² + 7(-3) – 5 = 3(-27) – 4(9) – 21 – 5
= -81 – 36 – 21 – 5 = -143

प्रश्न 9.
x = 3 पर p(x) का मान ज्ञात कीजिए यदि p(x) = 3x² – 4x + [latex]\sqrt{17}[/latex]
हल:
P(x) = 3x² – 4x + [latex]\sqrt{17}[/latex], यदि x = 3
शेषफल = 3(3)² – 4 × 3 + [latex]\sqrt{17}[/latex] = 27 – 12 + [latex]\sqrt{17}[/latex] = 15 + [latex]\sqrt{17}[/latex]

प्रश्न 10.
शेषफल ज्ञात कीजिए यदि f (x) = 3x⁴ + 29x³ – 5a²x² + 5x को (x – a) से भाग दिया जाता है।
हल:
f(x) = 3x⁴ + 29x³ – 5a²x² + 5x को (x – a) से विभाजित किया जाता है तो
x – a = 0 या x = 0 + a = a
शेषफल = 3a⁴ + 29a³ – 5a². a² + 5a = 3a⁴ + 29a³ – 5a⁴ + 5a = -2a⁴ + 29a³ + 5a

प्रश्न 11.
शेषफल ज्ञात कीजिए यदि P(x) = x³ – 3x² + 4x + 50 को (x – 3) से भाग दिया जाता है।
हल:
P(x) = x³ – 3x² + 4x + 50 को (x -3) से भाग किया जाता है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = (3)³ – 3(3)² + 4 × 3 + 50 = 27 – 27 + 12 + 50 = 62

Ex 6.1 Remainder Theorem and Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 12.
शेषफल प्रमेय का प्रयोग करते हुए निम्न में शेषफल ज्ञात कीजिए जब f(x) को g(x) से भाग दिया जाता है।

हल:

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि 2x³ + 13x² + x – 70, (x – 2) से विभाजित है।
हल:
2x³ + 13x³ + x – 70 को (x – 2) से भाग करने पर x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = 2(2)³ + 13(2)² + 2 – 70 = 16 + 52 + 2 – 70 = 0
अत: 2x³ + 13x² + x – 70, (x – 2) से पूर्णतया विभाजित होगा।

प्रश्न 14.
यदि बहुपदों px³ + 4x² + 3x – 4 व x³ – 4x + p को (x – 3) से भाग करने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तो सिद्ध कीजिए कि p = -1 (NCERT Exemplar)
हलः
जब Px³ + 4x² + 3x – 4 को (x – 3) से भाग करने पर x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = P(3)³ + 4(3)² + 3(3) – 4 = 27P + 36 + 9 – 4 = 27P + 41
जब x³ – 4x + P को (x – 3) से भाग करने पर x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = 3³ – 4(3) + P = 27 – 12 + P = 15 + P
∴ 27P + 41 = 15 + P
27P – P = 15 – 41
26P = -26.
P = [latex]\frac{-26}{26}[/latex] = -1

प्रश्न 15.
यदि px³ + 9x² + 4x – 10 को (x + 3) से भाग देने पर -22 शेषफल प्राप्त होता है तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
जब Px³ + 9x³ + 4x – 10 को (x + 3) से भाग किया जाता है तो x + 3 = 0 या x = -3 रखने पर
शेषफल = P(-3)³ + 9(-3)² + 4(-3) – 10 = -22
-27P + 81 – 12 – 10 = -22
-27P = -22 – 81 + 22
– 27P = -81
P = [latex]\frac{-81}{-27}[/latex] = 3

प्रश्न 16.
यदि बहुपद f (x) = x⁴ – 2x³ + 3x² – ax + b को (x – 1) और (x + 1) से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 व 19 प्राप्त होते हैं, तो a व b के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f(x) = x⁴ – 2x³ + 3x² – ax + b को (x – 1) से भाग किया जाता है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)⁴ – 2(1)³ + 3(1)² – a(1) + b = 1 – 2 + 3 – a + b = 2 – a + b
प्रश्नानुसार, 2 – a + b = 5
-a + b = 5 – 2 = 3 ⇒ – a + b = 3 ………………(1)
प्रश्नानुसार, यदि f(x) को (x + 1) से भाग किया जाता है तो
x + 1 = 0 या x = -1 रखने पर
शेषफल = (-1)⁴ – 2(-1)³ + 3(-1)² – a(-1) + b
= 1 + 2 + 3 + a + b
= 6 + a + b
तथा 6 + a + b = 19
a + b = 19 – 6
a + b = 13 ………………(2)
(1) व (2) जोडने पर,
2b = 16
b = [latex]\frac{16}{2}[/latex] = 8
समी० (2) मे b का मान रखने पर, a + 8 = 13
a = 13 – 8 = 5
अतः a = 5 व b = 8

प्रश्न 17.
बहुपद x³ + px² + qx + 6 को जब (x – 3) से भाग दिया जाता है तो शेषफल 3 तथा जब (x – 2) से भाग दिया जाता है तो शेषफल शून्य प्राप्त होता है। p व 4 के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि x³ + px² + qx + 6 को (x – 3) से भाग किया जाता है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = (3)³ + p(3)² + q(3) + 6 = 3
27 + 9p + 3q + 6 = 3
9p + 3q + 33 = 3
9p + 3q = 3 – 33
9p + 3q = -30
3(3p + q) = -30
3p + q =[latex]\frac{-33}{3}[/latex] = -10 ……………(1)
यदि x³ + px² + qx + 6 को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = (2)³ + p(2)³ + q(2) + 6 = 0
8 + 4p + 2q + 6 = 0
4p + 2q = -14
2(2p + q) = -14
2p + q =[latex]\frac{-14}{2}[/latex] =-7 …………….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,

समीकरण (1) में p का मान रखने पर,
3 × -3 + q = -10
-9 + q = -10
q = -10 + 9 = -1
अतः p = -3,    q = -1

प्रश्न 18.
बहुपद kr⁴ + 3x³ + 6 को (x – 2) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल, दूसरे बहुपद 2x³ + 17x + k को (x – 2) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल का दोगुना है। k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद kr⁴ + 3x³ + 6 को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर शेषफल
= k(2)⁴ + 3(2)³ + 6
= 16k + 24 + 6 = 16k + 30
और जब 2x³ + 17x + k को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = 2(2)³ + 17(2) + k = 2 × 8 + 34 + k = 50 + k
प्रश्नानुसार,
16k + 30 = 2(50 + k)
16k + 30 = 100 + 2k
16k – 2k = 100 – 30
14k = 70
k = [latex]\frac{70}{14}[/latex] = 5

प्रश्न 19.
यदि बहुपदों 9x³ + 3x² – 13 तथा 2x³ – 5x + a को (x – 2) से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद 9x³ + 3x² – 13 को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर,
शेषफल = 9(2)³ + 3(2)² – 13 = 72 + 12 – 13 = 71
बहुपद 2x³ – 5x + a को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर,
शेषफल = 2(2)³ – 5(2) + a = 16 – 10 + a या 6 + a
प्रश्नानुसार, 6 + a = 71
a = 71 – 6 = 65

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 15 Circle Ex 15.2 वृत्त

Ex 15.2 Circle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
एक वृत्त की जीवा उसकी त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
दीर्घ वृत्त का कोण निम्न में से कौन-सा होता है?
(a) न्यूनकोण
(b) अधिककोण
(c) समकोण
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) दीर्घवृत्त खण्ड का कोण न्यूनकोण होता है।

प्रश्न 3.
दिये गये चित्र में, 0 केन्द्र वाले वृत्त के अन्दर एक समबाहु ∆ ABC है तब ∠BOC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

समबाहु ∆ABC में, ∠BAC = 60°
(∵ समबाहु ∆ का प्रत्येक कोण 60° होता है।)
वृत्त के केन्द्र पर बना कोण ∠BOC = 2 × वृत्त की परिधि पर बना कोण
∠BOC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120°

प्रश्न 4.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा रेखा OB, ∠AOC की अर्द्धक है। तब ∠ABC का मान ज्ञात कीजिए। (UP 2004)
हलः

प्रश्न 5.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा ∠ACB व ∠ADB समान वृत्तखण्ड के कोण हैं तब ∠ADB व ∠ACB में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हल:
∠ADB तथा ∠ACB एक ही वृत्तखण्ड AB द्वारा बने कोण हैं।
∴ ∠ADB = ∠ACB

प्रश्न 6.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। यदि ∠DAB = 70° तब ∠DCB का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योगफल 180° होता है।
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
70°+ ∠BCD = 180°
∠BCD = 180°- 70°= 110°

प्रश्न 7.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त के चाप BC द्वारा केन्द्र पर बना कोण
∠BOC = 2 × उसी चाप द्वारा वृत्त के बिन्दु A पर बना ∠BAC
∴ x = 2 × 62.5
=125°

Ex 15.2 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 8.
निम्न चित्रों में, x के मान ज्ञात कीजिए।

हलः
(i) एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण समान होते हैं।
∴ ∠QPR = ∠QSR = 30°
∆ PQR में, x = 180° – (30° + 110°) (∴ ∆ के तीनों कोणों का योग = 180°)
= 180°-140° = 40°
(ii) एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण समान होते हैं।
∴ ∠PRO = ∠PSQ = 40°
∆ OSQ में, x = 180° – (120°+ 40°)
=180° – 160°
= 20°
(iii) ∆ PQO में, PO = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴ ∠QPO = ∠PQO = 30°
∆OQR में, RO = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴ ∠QRO = ∠OQR = 45°
∴ ∠PQR = ∠PQO + ∠RQO
= 30°+ 45° = 75°
केन्द्र O पर बना ∠POR = x
= 2 × ∠PQR
= 2 × 75° =150
(iv) ∵ PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠PQR = 180°-140°= 40°
(∵ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग = 180°)
:: ∆PQR एक समकोण त्रिभुज है।
∴ ∠PRQ = 90° (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
∆PQR में,
x = 180°– (90°+ 40°)
= 180°-130° = 50°

Ex 15.2 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 9.
चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र है तब सिद्ध कीजिए कि ∠POR = 2(∠PRQ + ∠QPR)
हलः

वृहत् कोण
∠POR = 2 × ∠PQR (वृहत् चाप PR द्वारा बने कोण)
∴ 360° – लघु ∠POR = 2(180°- ∠PRQ – ∠QPR)
360°- ∠POR = 360°-2(∠PRQ + ∠QPR)
∴ ∠POR = 2(∠PRQ + ∠QPR)

प्रश्न 10.
चित्र में, PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है तथा O वृत्त का केन्द्र है। यदि ∠QOs = 160° है। तो ∠QRS व ∠QMS के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
चाप SQ द्वारा केन्द्र 0 पर बना कोण = 2 × चाप SQ द्वारा शेष परिधि पर बना कोण
160°= 2 × ∠SPQ

Ex 15.2 Circle दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है, PQT एक सरल रेखा है तथा ∠RQT = 65° तब x व y के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠PQR = 180°- y
∴ ∠PQT = 180°
∠PQR + ∠RQT – 180°
180° – y +65°= 180°
∴ y = 65°
∵ ∠PQR = 180°- 65° = 115°
∴ वृहत् ∠POR = 2 × ∠PQR
x = 2 × 115° = 230°

प्रश्न 12.
निम्न चित्र में, ABC एक समबाहु त्रिभुज है तब ∠BDC व ∠BEC के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
निम्न चित्र में, P, Q, R व L, M, N संरेखीय बिन्दुओं के दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि PL||RN
हलः
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
∠LPQ + ∠LMQ = 180° …(1)
∠QMN + ∠NRQ = 180° …(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
∠LPQ + ∠LMQ + ∠QMN + ∠NRQ = 180°+180°
∠LPQ + ∠LMQ + 180°- ∠LMQ + ∠NRQ = 360°
∠LPQ + ∠NRQ = 360°- 180°= 180°
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि
∠PLN + ∠MNR = 180°
∵ क्रमागत अन्तः कोणों का योगफल 180° है।
∴ PL || RN

Ex 15.2 Circle बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
तीन असंरेख बिन्दुओं से खींचे जा सकने वाले वृत्तों की संख्या है।
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
1
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
दो सर्वांगसम वृत्तों के केन्द्र O व O’ हैं। प्रथम वृत्त के चाप AB का अंश माप 50° तथा दूसरे वृत्त के चाप AB’ का अंशमाप 75° है तो AB : A’B’ =
(a) 1 : 2
(b) 2 : 4
(c) 2 : 3
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 3.
किसी वृत्त की दो जीवाएं AB तथा CD केन्द्र से 3.5 सेमी दूरी पर हैं, तब-
(a) AB = CD
(b) AB > CD
(c) AB < CD (d) इनमें से कोई नहीं हलः ∵ केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लम्बाई में समान होती हैं। अतः AB = CD अतः विकल्प (a) सही है। प्रश्न 4. एक ही वृत्त में बराबर चापों द्वारा केन्द्र पर बने कोण α व β हैं, तब- (a) a = B (b) 4 > B
(c) a <B
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
∵ एक ही वृत्त में बराबर चापों द्वारा केन्द्र पर बने कोण समान होते हैं।
अत: α = β
अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 5.
यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण 80° है तो सम्मुख कोण का मान है-
(a) 90°
(b) 100°
(c) 110°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
∵ चक्रीय चतुर्भुज में आमने-सामने के कोणों का योग 180° होता है।
अतः सम्मुख कोण = 180 – 80
= 100° होगा।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 6.
यदि किसी चतुर्भुज में दो सम्मुख कोणों की माप 70° व 110° हैं तो वह चतुर्भुज निम्न में से किस प्रकार का है?
(a) समान्तर चतुर्भुज
(b) समचतुर्भुज
(c) चक्रीय चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
चक्रीय चतुर्भुज। अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
बराबर वृत्तों में बराबर चापों के संगत जीवाओं की लम्बाई का अनुपात होगा।
(a) 1 : 2
(b) 1 : 1
(c) 2 : 1
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
1 : 1
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 8.
किसी वृत्त का व्यास AB है। AB के बाहर वृत्त पर बिन्दु C है तो ∠ACB =
(a) 100°
(b) 0°
(c) 60°
(d) 90°
हल:
∵ अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
अत: ∠ACB = 90°
अतः विकल्प (d) सही है।

Ex 15.2 Circle स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
एक वृत्त की, 5 सेमी तथा 11 सेमी लम्बाई की क्रमशः दो जीवाएँ परस्पर समान्तर हैं तथा इसके केन्द्र के विपरीत है यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

प्रश्न 2.
एक वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लम्बाईयाँ 6 सेमी तथा 8 सेमी हैं यदि छोटी जीवा केन्द्र से एक 4 सेमी की दूरी पर है, केन्द्र से अन्य जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः
∆APM में, AM² = AP² + PM²
= (3)² + (4)²
= 9 + 16 = 25
AM = [latex]\sqrt{25}[/latex] = 5
वृत्त की त्रिज्या AM = CM = 5 सेमी
अब ∆MCQ में, MC² = MQ² + CQ²
(5)² = MQ² + (4)²
25 – 16 = MQ
∴ MQ = 19 = 3 सेमी
∴ केन्द्र से दूसरी जीवा की दूरी = 3 सेमी

प्रश्न 3.
एक पार्क में बने 20 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ A,B और C खेल रही हैं। A एक गेंद को B के पास, B, C के पास C,A के पास फेंकती है। यदि A और B के बीच और B और C के बीच की प्रत्येक दूरी 24 मीटर है, तो A और C के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 4.
40 मीटर त्रिज्या का एक वृत्तीय पार्क, एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के A, B और C इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे है और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए हैं। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
एक वृत्त की जीवाएँ AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करती है सिद्ध कीजिए कि-
(i) AC और BD व्यास है। (NCERT)
(ii) ABCD एक आयत है।
हल:
∵ AC व BD एक दूसरे को समद्विभाजित करती है।
∴ AO × OC = BO × OD [परन्तु AO = OC तथा BO = OD]
OA² = BO²
या OA = BO
इसी प्रकार OA = OD
तथा OC = OD तथा OC = OD
अत: AC और BD वृत्त के व्यास होंगे।

प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में, AB वृत्त का व्यास है तथा CD एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। AC व BD को जब बढ़ाया जाता है, तो वे बिन्दु E पर मिलती है। सिद्ध कीजिए for ∠AEB = 60° (NCERT)
हलः

प्रश्न 7.
एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर है। सिद्ध कीजिए कि किसी एक भुजा जिसे पीछे की ओर बढ़ाया गया है पर इसके प्रतिच्छेद बिन्दु से 6 लम्ब विपरीत भुजा को समद्विभाजित करता है। (NCERT)
हलः

प्रश्न 8.
यदि एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ, वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध कीजिए कि इन जीवाओं
का प्रतिच्छेद बिन्दु, वृत्त के केन्द्र से समान कोण बनाता है।
हलः
माना वृत्त का केन्द्र O है। बिन्दु O से जीवा AB तथा CD पर क्रमशः लम्ब OM तथा ON
खींचे।
अब ∆OMP तथा ∆OPN में,

प्रश्न 9.
यदि एक त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर, वृत्त खींचे गए हैं, तो सिद्ध कीजिए इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है। (NCERT)
हलः

प्रश्न 10.
केन्द्र O के एक वृत्त में, जीवाएँ AB और CD परिधि के अन्दर E पर प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध कीजिए कि ∠AOC + ∠BOD = 2 ∠AEC
हलः

प्रश्न 11.
यदि O, एक AABC का परिकेन्द्र है तथा OD ⊥ BC तो सिद्ध कीजिए कि ∠BOD = ∠A
हलः

प्रश्न 12.
एक वृत्त के दो व्यास परस्पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि उनके अंत बिन्दुओं को जोड़ने से बना चतुर्भुज, एक वर्ग होता है।
हल:

प्रश्न 13.
केन्द्र O के एक वृत्त का व्यास AB है तथा त्रिज्या OD, AB के लम्बवत् है यदि चाप DB पर कोई बिन्दु C है तो दर्शाइये कि ∠BAD = ∠ACD = 45°
हलः

प्रश्न 14.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं AB और AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E इस प्रकार है कि B,C,E और D एकवृत्तीय चतुर्भुज है। यदि 0,CD और BE का प्रतिच्छेद बिन्दु है तो सिद्ध कीजिए कि AO, रेखाखण्ड DE का समद्विभाजक है।
हलः

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समलम्ब की असमान्तर भुजाएँ बराबर होती हैं। (UP 2006)
हल:

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त में जो जीवा केन्द्र के निकट होती है। दूर वाली से अधिक बड़ी होती है। (UP 2005)
हलः
यदि वृत्त जिसका केन्द्र O है। O से जीवा AB तथा CD पर डाले गए लम्ब क्रमश: OM तथा ON हैं।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण के मध्य बिन्दु के सामने वाले शीर्ष से खींचा गया रेखाखण्ड कर्ण का आधा होता है। (UP 2006, 08, 09)
हल:

प्रश्न 18.
यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक-युग्म बराबर हो, तो सिद्ध कीजिए कि उनके विकर्ण भी बराबर होंगे। (UP 2012)
हल:
∵ AB = CD
अतः वृत्त की दो जीवाएँ बराबर होंगी यदि केन्द्र से उनकी दूरी बराबर हों, तब
OM = ON
∆AMO तथा ∆DNO में, AM = DN
OM = ON
∠AMO = ∠DNO
∆AMO ≅ ∆DNO
अतः OA = OD
इसी प्रकार OB = OC
अतः विकर्ण AC = BD

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.7 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

प्रश्न 1.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x³ – 8y³
(ii) a³ – 0.216
(iii) 16a⁴ + 54a
(iv) a⁶ – 7a³ – 8
हलः
(i) x³ – 8y³ = (x)³ – (2y)³ = (x – 2y)(x² + 4y² + 2xy)

(ii) a³ – 0.216 = (a)³ – (0.6)³ = (a – 0.6)(a² – 0.36 + 0.6 a)

(iii) 16a⁴ + 54a = 2a(8a³ + 27) = 2a[(2a)³ + (3)³] = 2a[(2a + 3)(4a² + 9 – 6a)]

(iv) a⁶ – 7a³ – 8 = a – (8 – 1)a³ – 8 = a⁶ – 8a³ + a³ – 8 = a (a³ – 8) – 1(a³ – 8)
= (a³ – 8)(a³ + 1) = [(a)³ – (2)³][(a)³ + (1)³]
= (a – 2)(a² + 4 + 2a)(a + 1)(a + 1 – a)

प्रश्न 2.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x³ + 64
(ii) 1 – 125y³
(iii) [latex]\frac{p^{3}}{343}[/latex] + 8q³
(iv) 7m⁴n – 7mn⁴
(v) x⁷y⁷ – xy
हलः
(i) x³ + 64 = (x)³ + (4)³ = (x + 4)(x² + 16 – 4x)

(ii) 1-125y 3 = (1)³ – (5y)³ = (1 – 5y)(1 + 25y² + 5y)

(iii) [latex]\frac{p^{3}}{343}+8 q^{3}=\left(\frac{p}{7}\right)^{3}+(2 q)^{3}=\left(\frac{p}{7}+2 q\right)\left(\frac{p^{2}}{49}+4 q^{2}-\frac{2}{7} p q\right)[/latex]

(iv) 7m⁴n – 7mn⁴ = 7mn(m³ – n³) = 7mn[(m)³– (n)³] = 7mn[(m – n)(m² + n² + mn)]

(v) x⁷y⁷ – xy = xy(x⁶y⁶ – 1) = xy[(x²y²)³ – (1)³].
= y[(x²y² – 1)(x⁴y⁴ + 1 + x²y²]
= xy [(xy)² – (1)²) (x⁴y⁴ – 1 + 2x²y² xy²)]
= xy (xy + 1)(xy – 1)[(x²y² + 1)² – (xy)²]
= xy(xy + 1)(xy – 1)(x²y² + 1 + xy)(x²y² + 1 – xy)

प्रश्न 3.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) (a + 2b)³ – (a – 2b)³
(ii) a³ + b³ + c(a² – ab + b²)
(iii) x⁶ – 7x³ – 8
(iv) x³ – 3x² + 3x + 7
हल:
(i) (a + 2b)³ – (a – 2b)³ = (a + 2b – a + 2b) [(a + 2b)² + (a – 2b)² + (a + 2b) (a – 2b)]
= (4b)[a² + 4b² + 4ab + a² + 4b² – 4ab + a² – 4b²]
= (4b)[3a² + 4b²]

(ii) a³ + b³ + c(a² – ab + b²) = (a + b)(a + b² – ab) + c(a² – ab + b)
= (a² + b² – ab)[a + b + c]

(iii) x⁶ – 7x³ – 8 = x⁶ – (8 – 1)x³ – 8 (∵ 8 = 1 × 8)
= x⁶ – 8x³ + x³ – 8 = x³ (x³ – 8) +1(x³ – 8) = (x³ – 8)(x³ + 1)
=[(x)³ – (2)³][(x)³ + (1)³] = (x – 2)(x² + 4 + 2x)(x + 1)(x² + 1 – x)

(iv) x³ – 3x² + 3x + 7
माना f(x) = x³ – 3x² + 3x + 7
x + 1 = 0
x = -1 रखने पर,
= (-1)³ – 3(-1)² + 3 × (-1) +7
= -1 – 3 – 3 + 7 = -7 + 7 = 0
∵ (x + 1), f(x) का एक गुणनखण्ड है।
अतः

अत: x³ – 3x² + 3x + 7 के गुणनखण्ड (x + 1)(x² – 4x + 7) है।

प्रश्न 4.
निम्न व्यंजकों को सरल करके उनके मान ज्ञात कीजिए

हलः

Ex 5.7 Polynomial and their Factors स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

निम्न के गुणनखण्ड कीजिए।
प्रश्न 1.
[latex]27 p^{3}-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p[/latex] (NCERT)
हलः
[latex](3 p)^{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{3}+3(3 p)\left(-\frac{1}{6}\right)\left(3 p-\frac{1}{6}\right)=\left(3 p-\frac{1}{6}\right)^{3}[/latex]

प्रश्न 2.
49a² + 70ab + 25b²
हलः
(7a)² + 2 × 7a × 5b + (5b)²
सूत्र [x² + 2xy + y² = (x + y)] से
= (7a + 5b)²

प्रश्न 3.
4x² + y² + z² – 4xy -2yz + 4xz
हलः
(2x)² + (-y)² + (z)² + 2. (2x)(-y) + 2(-y) (z) + 2. (2x)(z)
= (2x – y + z)² = (2x – y + z)(2x – y + z)

प्रश्न 4.
64m³ – 343n³
हलः
64m³ – 343n³ = (4m)³ – (7n)³ = (4m – 7n)(16m² + 49n² + 28mn)

प्रश्न 5.
27 – 125a³ – 135a + 225a²    (NCERT)
हलः
27 – 125a³ – 135a + 225a²
= (3)³ – (5a) – 45a(3 – 5a) = (3 – 5a)(9 + 25a² + 15a) – 45a(3 – 5a)
= (3 – 5a)(9 + 25a² + 15a – 45a) = (3 – 5a)(9 + 25a² – 30a)
= (3 – 5a)[(3)² + (5a)² – 2 × 3 × 5a]
= (3 – 5a) (3 – 5a)² = (3 – 5a)³

प्रश्न 6.
8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²      (NCERT)
हल:
8a³3 – b³ – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – (b)³ – 6ab (2a – b) = (2a – b)(4a² + b² + 2ab) – 6ab(2a – b)
= (2a – b) [4a² + b² + 2ab – 6ab] = (2a – b)[4a² + b² – 4ab]
= (2a – b)[(2a)² + (b²) – 2 × 2a × b]
= (2a – b)(2a – b)² = (2a – b)³

प्रश्न 7.
64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
हलः
(4a)³ – (3b)³ – 36ab(4a – 3b)
= (4a – 3b)(16a² + 9b² + 12ab) – 36ab(4a – 3b)
= (4a – 3b)(16a² + 9b² + 12ab – 36ab) = (4a – 3b)(16a² + 9b² – 24ab)
= (4a – 3b)[(4a)² + (3b)² – 2 × 4a × 3b]
= (4a – 3b)[4a – 3b]² = (4a – 3b)³

प्रश्न 8.
8a³ + b³ + 12a²b + 6ab² (NCERT)
हलः
(2a) + (b)³ + 6ab(2a + b)
= (2a + b)(4a² + b² – 2ab) + 6ab(2a + b)
= (2a + b)[4a² + b² – 2ab + 6ab]
= (2a + b)[4a² + b² + 4ab]
= (2a + b)[(2a)² + (b)² + 2 × 2a × b]
= (2a + b)(2a + b)² = (2a + b)³

प्रश्न 9.
[latex]27 p^{3}-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p[/latex]
हलः
[latex](3 p)^{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{3}+3(3 p)\left(-\frac{1}{6}\right)\left(3 p-\frac{1}{6}\right)=\left(3 p-\frac{1}{6}\right)^{3}[/latex]

प्रश्न 10.
27x³ + y³ + z³ – 9xyz
हलः
(3x)³ + (y)³ + (z)³ – 3(3x)(y)(z)
= (3x + y + z)[(3x)2 + y² + z² – 3xy – yz – 3xz]
= (3x + y + z)[9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz]

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि a² + b² + 2(ab + bc + ca) = (a + b)(a + b + 2c)
हलः
L.H.S. = a² + b² + 2(ab + bc + ca) = a² + b² + 2ab + 2bc + 2ca
= (a + b)² + 2c(a + b) = (a + b)[a + b + 2c] = R.H.S.

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि 8a³ – b³ – 4ax + 2bx = (2a – b)(4a² + 2ab + b² – 2x)
हलः
L.H.S. = 8a³ – b³ – 4ax + 2bx
= (2a)³ – (b)³ – 2x(2a – b) = (2a – b)(4a² + b² + 2ab) – 2x(2a – b)
= (2a – b)(4a² + b² + 2ab – 2x) = R.H.S.

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{64}{125} x^{3}-8-\frac{96}{25} x^{2}+\frac{48}{5} x=\left(\frac{4 x}{5}-2\right)^{3}[/latex]
हलः

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि a³x³ – 3a²bx² + 3ab²x – b³ = (ax – b)³ हलः
L.H.S. = ax³ – b³ – 3a²bx² + 3ab²x
= (ax)³ – (b)³ – 3abx(ax – b) = (ax – b)(a²x² + b² + abx) – 3abx(ax – b)
= (ax – b)(a²x² + b² + abx – 3abx) = (ax – b)(a²x² + b² – 2abx)
= (ax – b)(ax – b)² = (ax – 1)³ = R. H.S.

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि a³ + b³ + 1 + 3ab = (a – b + 1)(a³ + b³ + ab – a + b + 1)
हलः
L.H.S. = (a)³ + (-b)³ + (1)³ – 3(a)(-b)(1)
= (a – b + 1)(a² + b² +1+ ab + b-a)
[∵ x³ + y² + z³ – 3xy² = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)]
∴ a³ – b³ + 1 + 3ab = (a – b + 1)(a² + b² + ab + a + b + 1) = R.H.S.

प्रश्न 16.
यदि p = 2 – a, तब सिद्ध कीजिए कि a³ + 6ap + p³ – 8 = 0
हलः
L.H.S. =a³ + 6ap + p – 8
= a³ – 8 + 6ap + p³ = (a – 2)(a² + 4 + 2a) + p(6a + p²)
p = 2 – a रखने पर
= (a − 2)(a² + 4 + 2a) +(2 – a)(6a + 4 + a² – 4a)
= (a − 2)(a² + 4 + 2a) – (a − 2)(a² + 2a + 4)
= (a – 2)[a² + 4 + 2a – a² – 2a – 4] = 0 = R. H.S.

प्रश्न 17.
यदि x = 2y+6, तब सिद्ध कीजिए कि x³ – 8y³ – 36xy – 216 =0 (NCERT Exemplar) .
हल:
L.H.S. = x³ – 8y³ – 36xy – 216
= (x)³ – (2y)³ – 36xy – 216 = (x – 2y)(x² +4y² + 2xy) – 36xy – 216
x = 2y + 6 रखने पर
= [2y + 6 – 2y][(2y + 6)² + 4y² + 2(2y + 6)y] – 36(2y + 6)y – 216
= 6[4y² + 36 + 24y + 4y² + 4y² + 12y] – 72y² – 216y – 216 = 0 = R.H.S.

प्रश्न 18.
यदि x + y = -4, तब सिद्ध कीजिए कि x + y³ – 12xy + 64 = 0 (NCERT Exemplar)
हल:
x³ + y³ – 12xy + 64
= (x + y) (x² + y² – xy) – 12xy + 64= (-4)(x² + y² – xy) – 12xy + 64
= -4x² – 4y² + 4xy – 12xy + 64 = -4x² – 4y² – 8xy + 64
= -4x² – 4(-4 – x)² – 8x(-4 – x) + 64 [y = -4 – x रखने पर]
= -4x² – 4(16 + x² + 8x) + 32x + 8x² + 64 = 0 = R.H.S.

प्रश्न 19.
यदि a² + b² + c² = 250 और ab+ bc + ca = 3, तब सिद्ध कीजिए कि a + b+ c = ±16
हलः
सूत्र (a + b + c) = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) .
(a + b + c)2 = 250 + 2 × 3 = 250 + 6 = 256
(a + b + c) = [latex]\sqrt{256}[/latex] = ± 16

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि

हलः
माना a = 0.013 तथा b = 0.007

= a + b = 0.013 + 0.007 = 0.020

प्रश्न 21.
यदि a + b ≠ 0 तब सिद्ध कीजिए कि समीकरण a(x – a) = 2ab – b(x – b) का हल x = a + b होता है|
हलः
∵ a(x – a) = 2ab – b(x – b)
⇒ ax – a² – 2ab + bx – b² = 0
x(a + b) = a² + b² + 2ab
x(a + b) – (a + b)² = 0
(a + b){x – (a + b)} = 0
a + b ≠ 0 अत: x – (a + b) = 0
x = (a + b)

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए कि 2(a² + b²) = (a + b)² तब a = b
हलः
∵ 2(a + b²) = (a + b)²
⇒ 2(a² + b²) = a² + b² + 2ab
⇒ 2a² + 2b² = a² + b² + 2ab
⇒ a² + b² – 2ab = 0
⇒ (a – b)² = 0 ⇒ a = b

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि 1 – x² + 2xy – y² = (1 + x – y)(1 – x + y)
हलः
L.H.S. = 1 – x² + 2xy – y²
= 1 – (x² – 2xy + y²) = 1² – (x – y)²
= (1 + x – y)(1 – x + y) = R.H.S.

प्रश्न 24.

हलः

प्रश्न 25.

हलः

प्रश्न 26.

हलः

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