Class 9

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.2 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.2 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
बहुपद x⁶ + 5x² + 7 की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x⁶ + 5x² + 7 की घात 6 है क्योंकि बहुपद की सबसे बड़ी घात 6 है।

प्रश्न 2.
बहुपद 3x + 7 की घात क्या है?
हलः
बहुपद 3x + 7 की घात 1 है क्योंकि बहुपद की सबसे बड़ी घात 1 है।

प्रश्न 3.
2 घात का बहुपद बताइए?
हल:
x² + 2x + 1 की घात 2 है।

प्रश्न 4.
बहुपद x²(3x⁴ + 7x – 5) की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
x²(3x⁴ + 7x – 5) = 3x⁶ + 7x³ – 5x² की घात 6 है।

प्रश्न 5.
यदि f(x) की घात = 36 तथा g(x) की घात = 20 तब f(x)+g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद f(x) की घात = 36
बहुपद g(x) की घात = 20
f(x) + g(x) की घात 36 होगी क्योंकि यह घात दोनों में बड़ी घात है।

प्रश्न 6.
यदि f(x) की घात = m तथा g(x) की घात = n, m < n, तब f (x) + g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि बहुपद f(x) की घात m तथा बहुपद g(x) की घात n है। यदि m < n तब f(x) + g(x) की घात n होगी क्योंकि n, m से बड़ी घात है।

प्रश्न 7.
यदि f (x) की घात = m तथा g(x) की घात = n, m > n, तब f(x) + g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि बहुपद f(x) की घात m तथा बहुपद g(x) की घात n है तथा m > n, तब f(x) + g(x) की घात m होगी क्योंकि m, n से बड़ी घात है।

प्रश्न 8.
यदि f(x) = x⁷ – x + 2x² + 1 व g(x) = -x⁷ + x – 2 तब f(x) + g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x⁷ – x⁵ + 2x² + 1, g(x) = -x⁷ + x – 2
∴ f(x) + g(x) = –x⁵ + 2x² + x – 1
इसमें सबसे बड़ी घात 5 है।
∴ f(x) + g(x) की घात 5 होगी।

प्रश्न 9.
दिये गये प्रश्न 8 में f(x) – g(x) की घात क्या है? हलः प्रश्न 8 से F(x) – g(x) = 2x⁷ – x⁵ + 2x² – x + 3
इसमें सबसे बड़ी घात 7 है।
∴ f(x) – g(x) की घात 7 होगी।

Ex 5.2 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 10.
निम्न में से प्रत्येक बहुपद की घात ज्ञात कीजिए
(i) 0 (NCERT Exemplar)
(ii) 7
(iii) x
(iv) x + 7
(v) x² + 2x +7
(vi) 4x³ + [latex]\sqrt{5} x^{2}[/latex] – 2x + [latex]\frac{5}{7}[/latex]
(vii) (x + 5)(4x + 7)
(viii) 6x(x² + 7)
हलः
(i) 0 एक शून्य बहुपद है, इसकी कोई घात नहीं होती।
(ii) 7 एक अचर बहुपद है, इसकी घात शून्य है।
(iii) x में सबसे बड़ी घात 1 है। इसलिए इसकी घात एक है।
(iv) x + 7 में सबसे बड़ी घात 1 है। इसलिए इसकी घात एक है।
(v) x² + 2x + 7 में x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए इसकी घात दो है।
(vi) 4x³ + [latex]\sqrt{5} x^{2}[/latex] – 2x + [latex]\frac{5}{7}[/latex] में x की सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए इसकी घात तीन है।
(vii) (x + 5)(4x + 7) = 4x² + 27x + 35 में x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए इसकी घात दो है।
(viii) 6x(x² +7) = 6x² + 42x में x की सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए इसकी घात तीन है।

प्रश्न 11.
यदि f (x) = 2x² +3x +1 व g(x) = 0 तब f(x).g(x) ज्ञात कीजिए।
हलः
f(x) = 2x² + 3x +1, g(x) = 0
f(x) . g(x) = (2x² + 3x + 1) . 0 = 0

प्रश्न 12.
x² – 4 को x³ – 4 बनाने के लिए क्या जोडें?
हलः
माना x² – 4 में A जोड़ा जाए जिससे योगफल x³ – 4 हो जाए।
∴ x² – 4 + A = x³ – 4
∴ A = x³ – 4 – x² + 4
A = x² – 2

प्रश्न 13.
बहुपद x⁴ + 3x³ + 4x² – 3x – 6 से 3x³ + 4x² – x + 3 प्राप्त करने के लिए क्या घटायें।
हलः
माना x⁴ + 3x³ + 4x² – 3x – 6 में से A घटाया जाए, जिससे शेषफल 3x³ + 4x² – x + 3 प्राप्त हो जाए।
x⁴ + 3x³ + 4x² – 3x – 6 – A = 3x³ + 4x² – x +3
-A = 3x³ + 4x² – x + 3 – x⁴ – 3x³ – 4x² + 3x + 6
-A = -x⁴ + 2x + 9
∴ A = x⁴ – 2x – 9
∴ x⁴ – 2x – 9 घटाया जाएगा।

Ex 5.2 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 14.
बहुपद x⁴ – x² + x + 2 से x² + x + 4 प्राप्त करने के लिये क्या जोडें?
हलः
माना x⁴ – x² + x + 2 में A जोड़ा जाए जिससे x² + x + 4 प्राप्त हो जाए।
x⁴ – x² + x + 2 + A = x² + x +4
∴ A = x² + x + 4 – x⁴ + x² – x – 2 = -x⁴ + 2x² + 2

प्रश्न 15.
7x³ + x² – 3x + 4 प्राप्त करने के लिये बहुपद 8x³ – 3x² + 5x – 9 में क्या जोडें?
हलः
माना 8x³ – 3x² + 5x – 9 में A जोड़ा जाए जिससे 7x³ + x² – 3x + 4 प्राप्त हो जाए।
8x³ – 3x² + 5x – 9 + A.= 7x³ + x² – 3x +4
∴ A = 7x³ + x² – 3x + 4 – 8x³ + 3x² – 5x + 9
= -x³ + 4x² – 8x + 13

प्रश्न 16.
x³ – 7x² + 5 प्राप्त करने के लिये बहुपद x⁴ – x² + 2x + 3 में क्या जोडें?
हलः
माना x⁴ – x² + 2x + 3 में A जोड़ा जाए जिससे x³ – 7x² + 5 प्राप्त हो जाए।
x⁴ – x² + 2x + 3 + A = x – 7x² + 5
∴ A = x³ – 7x² + 5 – x⁴ + x² – 2x – 3
= -x⁴ + x³ – 6x² – 2x + 2

प्रश्न 17.
-x² + 3x³ – 2x + 4 प्राप्त करने के लिये बहुपद x² – 3x³ + 2x – 4 में से क्या घटायें?
हलः
माना x² – 3x³ + 2x – 4 में से A घटाया जाए जिससे –x² + 3x³ – 2x + 4 प्राप्त हो।
x² – 3x³ + 2x – 4 – A = -x² + 3x³ – 2x + 4
∴ x² – 3x³ + 2x – 4 + x² – 3x³ + 2x – 4 = A
-6x³ + 2x² + 4x – 8 = A

प्रश्न 18.
संख्या 2 प्राप्त करने के लिये बहपदं x³ – 3x² + 2x – 1 से क्या घटायें?
हलः
माना x³ – 3x² + 2x – 1 में से A घटाया जाए जिससे शेषफल 2 प्राप्त हो।
x³ – 3x² + 2x – 1 – A = 2
x³ – 3x² + 2x – 1 – 2 = A
x³ – 3x² + 2x – 3 = A

प्रश्न 19.
संख्या 1 प्राप्त करने के लिये बहुपद x³ – 2x² + 4x + 1 से क्या घटायें?
हलः
माना x³ – 2x² + 4x + 1 में से A घटाया जाए जिससे शेषफल 1 प्राप्त हो।
x³ – 2x² + 4x + 1 – A = 1
x³ – 2x² + 4x + 1 – 1 = A
x³ – 2x² + 4x = A

प्रश्न 20.
बहुपद x⁴ – 3x³ + 2x + 6 व x⁴ – 3x² + 6x + 2 के योग मे से x³ – 3x + 4 घटाइये।
हलः
योगफल = x⁴ – 3x³ + 2x + 6 + x⁴ – 3x² + 6x + 2 = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 8x + 8
अन्तर = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 8x + 8 – (x³ – 3x + 4)
= 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 8x + 8 – x³ + 3x – 4 = 2x⁴ – 4x³ – 3x² + 11x + 4

प्रश्न 21.
बहुपद x² – 3x³ + 2x + 5 व 2x⁴ – 3x³ + 9x +12 के योग में से 5x³ – 3x² + 8 घटाइये।
हलः
योगफल = x⁴ – 3x³ + 2x + 5 + 2x⁴ – 3x³ + 9x + 12 = 3x⁴ – 6x³ + 11x + 17
अन्तर = 3x⁴ – 6x + 11x + 17 – (5x³ – 3x² + 8) = 3x⁴ – 6x³ + 11x + 17 – 5x³ + 3x² – 8
= 3x⁴ – 11x³ + 3x² + 11x + 9

प्रश्न 22.
यदि p(x) = x³ – x² + 2 तथा g(x) = x +1 तब p(x) + g(x) तथा p(x) – g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) p(x) = x³ – x² + 2 तथा g(x) = x +1
p(x) + g(x) = x³ – x² + 2 + x + 1 = x³ – x² + x + 3
p(x) + g(x) की घात 3 है।।

(ii) p(x) – g(x) = x³ – x² + 2 – x – 1 = x³ – x² – x +1
p(x) – g(x) की घात 3 है।

प्रश्न 23.
निम्न बहुपद युग्मों का योग ज्ञात कीजिए।
(i) 3x² + 5x – 2 ; -3x² – 5x + 6
(ii) 3x² -7x + 5; 6x³; + 5x – 7
(iii) x² + x – 7; x³ + x² + 3x + 4
(iv) x³ – 5x² + x + 2; x³ – 3x² + 2x + 1
(v) x⁶ – 3x⁴; x⁴ + x³ + 2x² – 6
हलः
(i) योगफल = (3x² + 5x – 2) + (-3x² – 5x + 6) = 4
(ii) योगफल = (3x² – 7x + 5) + (6x³ + 5x – 7) = 6x³ + 3x² – 2x – 2
(iii) योगफल = (x² + x -7) + (x³ + x² + 3x + 4) = x³ + 2x² + 4x – 3
(iv) योगफल = (x³ – 5x² + x + 2) + (x³ – 3x² + 2x + 1) = 2x³ – 8x² + 3x + 3
(v) योगफल = (x⁶ – 3x⁴) + (x⁴ + x³ + 2x² – 6) = x⁶ – 2x⁴ + x³ + 2x² – 6

प्रश्न 24.
निम्न में पहले बहुपद में से दूसरा बहुपद घटाइये।
(i) x³ + x + 1; 1 – x – x²
(ii) 6x³ +5x² + 4x – 3; 4x³ – 2x² + 7x – 1
(iii) x³ + x² + x + 1; x³ – x² + x – 1
(iv) x⁴ – 3x³ + 2x + 6; x⁴ – 3x³ – 6x + 2
(v) 3x⁷ – 2x² + 3; x⁶ – 3x⁴ + x² + x
हल:
(i) अन्तर = (x³ + x + 1) – (1 – x – x²) = x³ + x + 1 – 1 + x + x² = x³ + x² + 2x
= x(x² + x + 2)

(ii) अन्तर = 6x³ + 5x² + 4x – 3 – (4x³ – 2x² + 7x – 1)
= 6x³ + 5x² + 4x – 3 – 4x³ + 2x² – 7x + 1 = 2x³ + 7x² – 3x – 2

(iii) अन्तर = (x³ + x² + x + 1) – (x³ – x² + x – 1) = x³ + x² + x + 1 – x³ + x² – x + 1
= 2x² +2

(iv) अन्तर = (x⁴ – 3x³ + 2x + 6) – (x⁴ – 3x³ – 6x + 2)
= x⁴ – 3x³ + 2x + 6 – x⁴ + 3x³ + 6x – 2 = 8x + 4

(v) अन्तर = (3x⁷ – 2x² + 3) – (x⁶ – 3x⁴ + x² + x)
= 3x⁷ – 2x² + 3 – x + 3x⁴ – x² – x = 3x⁷ – x⁶ + 3x⁴ – 3x² – x + 3

प्रश्न 25.
निम्न बहुपदों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(i) x² – 4x + 4; x – 2
(ii) x² + 3x + 2; x² + 3x +1
(iii) 3x³ + x² + x; x + 2
(iv) 3x + 2; x² + x + 1
हल:
(i) गुणनफल = (x² – 4x + 4)(x – 2) = x³ – 2x² – 4x² + 8x + 4x – 8 = x³ – 6x² + 12x – 8

(ii) गुणनफल = (x² + 3x + 2)(x² + 3x + 1)
= x⁴ + 3x³ + x² + 3x³ + 9x² + 3x + 2x² + 6x + 2
= x⁴ + 6x³ + 12x² + 9x + 2

(iii) गुणनफल = (3x³ + x² + x)(x + 2) = 3x⁴ + 6x³ + x³ + 2x² + x² + 2x
=3x⁴ + 7x³ + 3x² + 2x

(iv) गुणनफल = (3x + 2)(x² + x + 1) = 3x³ + 3x² + 3x + 2x² + 2x + 2
= 3x³ +5x² + 5x + 2

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 18 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder Ex 18.1 घन, घनाभ तथा लम्बवृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

Ex 18.1 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
एक छड़ की अधिकतम लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसे 10 मीx 8 मीx 6 मी विमा वाले एक कमरे में रखा जा सकता है।
हलः
छड़ की अधिकतम लम्बाई = घनाभ का विकर्ण

प्रश्न 2.
यदि एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा गहराई का योग 19 सेमी है तथा इसका विकर्ण 515 है तब इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 3.
यदि ऊँचाई h तथा त्रिज्या r वाले एक ठोस लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, इसके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का [latex]\frac{1}{3}[/latex] है तब h ज्ञात कीजिए।
हलः
लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h +r)

प्रश्न 4.
एक बेलन में, त्रिज्या दोगुनी है तथा ऊँचाई आधी है तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगाः
(a) समान
(b) आधा
(c) दोगुना
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
त्रिज्या दो गुनी तथा ऊँचाई आधी करने पर

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल समान रहेगा।

प्रश्न 5.
एक घनाभ 12 सेमी लम्बा, 9 सेमी चौड़ा तथा 8 सेमी ऊँचा है इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घनाभ की 1 = 12 सेमी,
b = 9 सेमी,
h = 8 सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(12 × 9 + 9 × 8 + 8 × 12)
= 2(108 + 72 + 96) = 2(276) = 552 सेमी²

प्रश्न 6.
यदि एक घन के एक विकर्ण की लम्बाई 813 सेमी है तब इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 7.
तीन बराबर घन, एक आसन्नीय क्रम में रखे गये हैं तब घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से तीनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
तीन घनों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 6a² = 18a²
बने घनाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(b + bh + hl)
(l = 3a, b = a, h = a)
= 2[3a² + a² + 3a²] = 14a²
अनुपात = 14a² : 18a² = 7 : 9

Ex 18.1 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 8.
एक घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1300 सेमी है। यदि इसकी चौड़ाई 10 सेमी है तथा ऊँचाई 20 सेमी है तो इसकी लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
तीन घनों जिनमें प्रत्येक की भुजा 4 सेमी है की बाह्य सतहों को आपस में जोड़ दिया गया है तो प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हलः
तीन घनों को आपस में जोड़ने पर प्राप्त घनाभ की लम्बाई
l = 4 + 4 + 4 = 12 सेमी
b = 4 सेमी
h = 4 सेमी
अतः घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(12 × 4 + 4 × 4 + 4 × 12)
= 2(48 + 16 + 48) = 2 × 112 = 224 सेमी²

प्रश्न 10.
एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 372 सेमी है तथा इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 180 सेमी है। इसके आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 (आधार का क्षेत्रफल)
372 = 180 + 2 (आधार का क्षेत्रफल)
372 – 180 = 2 (आधार का क्षेत्रफल)
192 = 2 × आधार का क्षेत्रफल

प्रश्न 11.
8 सेमी भुजा वाले एक घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घन की भुजा = 8 सेमी
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (भुजा)² = 4 × (8)²
= 4 × 64 = 256 सेमी²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)² = 6 × (8)²
= 6 × 64 = 384 सेमी²

प्रश्न 12.
यदि एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 15 सेमी, 10 सेमी तथा 20 सेमी है तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [NCERT]
हलः
घनाभ की 1 = 15 सेमी,
b = 10 सेमी
h = 20 सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(15 × 10 + 10 × 20 – 20 × 15)
= 2(150 – 200 – 300)
= 2(650) = 1300 सेमी²

प्रश्न 13.
एक आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मी है तथा ऊँचाई 6 मी है। चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
हाँल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2(l + b) × h
= परिमाप × ऊँचाई = 250 × 6 = 1500 मी²

प्रश्न 14.
24 सेमी × 12 सेमी × 5 सेमी आकार के एक डिब्बे को बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
डिब्बे का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(24 × 12 + 12 × 5 + 5 × 24) = 2(288+ 60 + 120)
= 2(468) = 936 सेमी²

प्रश्न 15.
एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और गहराई का योग 19 सेमी है तथा इसके विकर्ण की लम्बाई 11 सेमी है। घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 16.
एक घनाभ की विमाएँ 1 : 2 :3 के अनुपात में हैं तथा इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 मी2 है। विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 17.
तीन घनों जिनमें प्रत्येक की भुजा 5 सेमी है की बाह्य सतहों को आपस में जोड़ दिया गया है। परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घनों को जोडने पर प्राप्त घनाभ की लम्बाई l = 5 + 5 + 5
= 15 सेमी, b = 5 सेमी, h = 5 सेमी
परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(15 × 5+ 5 × 5 – 5 × 15)
= 2(75 + 25 + 75) = 2 × 175 = 350 सेमी²

प्रश्न 18.
एक आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मी है। इसकी ऊँचाई 6 मी है। ₹ 6 प्रति मीटर की दर से इसकी चारों दीवारों पर पुताई कराने का खर्च ज्ञात कीजिए।
हॉल की चारो दीवारो का क्षेत्रफल = 2(l + b) × h
= परिमाप × ऊँचाई
= 250 × 6 = 1500 मी²
कुल खर्च = 1500 × 6 =₹9000

प्रश्न 19.
एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 40 मी2 है तथा इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 26 मी2 है। इसके आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल
40 = 26 + 2 × आधार का क्षेत्रफल
40 – 26 = 2 × आधार का क्षेत्रफल
14 = 2 × आधार का क्षेत्रफल

∴ आधार का क्षेत्रफल = 7 मी²

प्रश्न 20.
एक शीतगृह की लम्बाई, इसकी चौड़ाई की दोगुनी है। इसकी ऊँचाई 3 मी है। इसकी चारों दीवारों (दरवाजों सहित) का क्षेत्रफल 108 मी2 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
l = 2b … (1)
h = 3 …(2)
चारो दीवारो का क्षेत्रफल = 2(l + b) × h

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.1 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.1 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
निम्न में से कौन बहुपद नही है?
(a) x² + 3x + 5
(b) x² +6x
(c) [latex]\sqrt{x}[/latex] +5x
(d) x + 5
हलः
(c) [latex]\sqrt{x}+5 x=x^{\frac{1}{2}}+5 x[/latex] एक बहुपद नहीं है। क्योंकि x^1/2 में x की घात [latex]\frac{1}{2}[/latex] है जो ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न में से कौन बहुपद नही है?
(a) x⁵ + 3x + 5
(b) 7

(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

एक बहपद नहीं है।
क्योंकि x की प्रत्येक घात ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न में से कौन एकपदीय बहुपद है?
(a) x² + 5x
(b) 5x
(c) x + 5
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(b) 5x एकपदीय बहुपद है क्योंकि इसमें एक पद है।

प्रश्न 4.
निम्न में से कौन एकपदीय बहुपद है?
(a) x² + 4x +5
(b) x² + 5x
(c) 4x⁵
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(c) 4x⁵ एकपदी बहुपद है क्योंकि इसमें एक पद है।

प्रश्न 5.
निम्न में से कौन द्विपदीय बहुपद है?
(a) x² + 5
(b) x² + 5x
(c) x³ + x
(d) सभी सत्य है।
हलः
(d) x² + 5, x² + 5x तथा x² + x तीनों द्विपदी बहुपद है क्योंकि इनमें दो पद है।

प्रश्न 6.
निम्न में से कौन त्रिपद बहुपद है?
(a) x³ + 3x²
(b) x² + x + 5
(c) x³ + 7x
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(b) x² + x + 5 त्रिपदी बहुपद है क्योंकि इसमें तीन पद है।

प्रश्न 7.
बहुपद. 2x³ + 6 + x² – x + 6x का आरोही क्रम क्या है?
(a) 6 + 6x + x² + 2x³ – x⁵
(b) x² + 6 + 6x + 2x³ – x⁵
(c) (a) व (b) दोनों सत्य है
(d) इनमें से कोई नहीं .
हलः
(a) बहुपद 6 + 6x + x² + 2x³ – x⁵ आरोही क्रम में है। क्योंकि इसमें x को बढ़ती घात के क्रम में रखा गया है।

प्रश्न 8.
बहुपद x³ – x + x² – [latex]2 \sqrt{2}[/latex] का अवरोही क्रम क्या है? .
(a) x³ + x² – x – [latex]2 \sqrt{2}[/latex]
(b) [latex]-2 \sqrt{2}[/latex] – x + x² + x³
(c) (a) व (b) दोनों सत्य है।
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) बहुपद x³ + x² –x – [latex]2 \sqrt{2}[/latex] अवरोही क्रम में है क्योंकि इसमें x को घटती घात के क्रम में रखा गया है।

प्रश्न 9.
एक बहुपद जिसके प्रत्येक पद का गुणांक शून्य हो वह कहलाता है?
(a) अचर बहुपद
(b) शून्य बहुपद
(c) (a) व (b) दोनों सत्य है
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(b) शून्य बहुपद, क्योंकि इसके सभी पदों के गुणांक शून्य होते है।

प्रश्न 10.
एक बहुपद में जाँचिये, क्या एक बहुपद में चर की घात ऋणात्मक नहीं होती?
हलः
बहुपद में किसी चर की घात ऋणात्मक नहीं हो सकती है।

प्रश्न 11.
एक बहुपद जिसमें केवल वास्तविक संख्या का एक पद होता है, उस बहुपद का नाम बताइये।
हलः
अचर बहुपद, क्योंकि अचर बहुपद में वास्तविक संख्या का एक ही पद होता है।

Ex 5.1 Polynomial and their Factors लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 12.
निम्न व्यंजकों में से कौन बहुपद है?
(i) 2x² + 5x + 6
(ii) x² + 6x
(iii) [latex]\sqrt{2} x^{2}+\sqrt{3} x[/latex]
(iv) [latex]\mathbf{2} x+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}^{2}}[/latex]
(v) x² + [latex]\sqrt{2 x}[/latex] + 6
हलः
(i) 2x² + 5x + 6 एक बहुपद है।
(ii) x² + 6x एक बहुपद है।।
(iii) [latex]\sqrt{2} x^{2}+\sqrt{3} x[/latex] एक बहुपद है।
(iv) [latex]\mathbf{2} x+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}^{2}}[/latex]= 2x + x² एक बहुपद नहीं है क्योंकि x की सभी घात ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।
(v) x² + [latex]\sqrt{2 x}[/latex] + 6 = x² + [latex]\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}[/latex] + 6 एक बहुपद नहीं है क्योंकि x की सभी घात ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 13.
निम्न व्यंजको में से एकपदी, द्विपदी व त्रिपदी ज्ञात कीजिए।
(1) 6x² +5
(ii) 6x
(iii) x³ + 3x² + 1
(iv) x³ + 6x² + 5x
(v) x² + 1
हल:
(i) 6x² + 5 द्विपदी बहुपद है क्योंकि इसमें दो पद है।
(ii) 6x एकपदी बहुपद है क्योंकि इसमें एक पद है।
(iii) x³ + 3x² + 1 त्रिपदी बहुपद है क्योंकि इसमें तीन पद है।
(iv) x³ + 6x² + 5x त्रिपदी बहुपद है क्योंकि इसमें तीन पद है।
(v) x² +1 द्विपदी बहुपद है क्योंकि इसमें दो पद है।

प्रश्न 14.
निम्न बहुपदों को उनके मानक रूप में लिखिये।
(i) x⁶ – 3x⁴ + [latex]\sqrt{2} x[/latex] + 5x² – 2x⁵ + 4
(ii) x⁷ – 3x⁵ + [latex]\sqrt{2} x+\frac{4}{3} x^{2}[/latex] – 2x⁶ + 4
(iii) 2x³ + 3 + x² – 3x⁵ – x
(iv) 1 + x³ – 2x² – 7x⁵
हलः
(i) x को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
x⁶ – 3x⁴ + [latex]\sqrt{2} x[/latex] + 5x² – 2x⁵ + 4
x को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप .
4 + [latex]\sqrt{2} x[/latex] + 5x² – 3x⁴ – 2x⁵ + x⁶

(ii) x को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
x⁷ – 2x⁶ – 3x⁵ + [latex]\frac{4}{3} x^{2}+\sqrt{2} x[/latex] +4
x को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
4 + [latex]\sqrt{2} x+\frac{4}{3} x^{2}[/latex] – 3x⁵ – 2x⁶ + x⁷

(iii) x को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
-3x⁵ + 2x³ + x² – x + 3
x को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
3 – x + x² + 2x³ – 3x⁵

(iv) x को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
-7x⁵ + x³ – 2x² + 1
x को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
1 – 2x² + x³ – 7x⁵

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 4 Algebraic Identities Ex 4.5 बीजगणितीय सर्वसमिकाऐं

प्रश्न 1.
निम्न के मान ज्ञात कीजिए।
(a) (25)³ – (75)³ + (50)³
(b) (0.2)³ – (0.3)³ + (0.1)³ (NCERT Exemplar)
(c) (1.5)³ – (0.9)³ – (0.6)³
(d) (-12)³ + 7³ + 5³
हलः
(a) (25)³ – (75)³ + (50)³
= (25)³ – (25 + 50)³ + (50)³
= (25)³ – (25)³ – (50)³ – 3 × 25 × 50(25 + 50) + (50)³
=-3 × 25 × 50 × 75 = -281250

(b) (0.2)³ – (0.3)³ + (0.1)³
= (0.2)³ – (0.2 + 0.1) + (0.1) ³
= (0.2)3 s – (0.2)³ – (0.1)³ – 3 × 0.2 × 0.1 × (0.2 + 0.1) + (0.1)³
=-3 × 0.2 × 0.1 × (0.3) = -0.018

(c) (1.5)³ – (0.9)³ – (0.6)³
= (0.9 + 0.6)³ – (0.9)³ – (0.6)³
= (0.9)³ + (0.6)³ + 3 × 0.9 × 0.6 × (0.9 + 0.6) – (0.9)³ – (0.6)³
= 3 × 0.9 × 0.6 × 1.5 = 2.430

(d) (-12)³ + 7³ + 5³
⇒ 7³ + (-7 – 5)³ + 5³
⇒ 7³ + (-7)³ + (-5)³ + 3 × (-7)(-5)(-7 – 5) + 5³
= 3 × -7 × -5(-12)= 105 × (-12) = -1260

प्रश्न 2.
यदि x + y + z = 9 और x² + y² + z² = 35, तब x³ + y³ + z³ – 3xyz के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx) ……..(1)
∵ x + y + z = 9
वर्ग करने पर .
x² + y² + z² + 2(xy + y + zx) = 81
35 + 2(xy + yz + zx) = 81
2(xy + yz + zx) = 81 – 35 = 46
xy + yz + zx = [latex]\frac{46}{2}[/latex] = 23
समी० (1) से
x³ + y³ + z³ – 3xyz = 9(35 – 23) = 9 × 12 = 108

प्रश्न 3.
यदि x + y + z = 8 और xy + yz + z x = 26, तब x³ + y³ + x ³ – 3xyz के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ x + y + z = 8
वर्ग करने पर
(x + y + z) = (8)
x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 64
x² + y² + z² + 2(26) = 64
x² + y² + z² = 64 – 52 = 12
∵ x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (8)(12 – 26)
= (8)(-14) = – 112

प्रश्न 4.
निम्न के मान ज्ञात कीजिए।
(i) (3x – 4y + 5z)(9x² + 16y² + 25z² + 12xy – 15yz + 20yz)
(ii) (3x + 2y + 2z)(9x² + 4y² + 4z² -6xy – 4yz – 6xz)
(iii) (2x – y + 3z)(4x² + y² + 9z² + 2xy + 3yz -6xz) (NCERT Exemplar)
हलः
(i) (3x – 4y + 5z)(9x² + 16y² + 25z² + 12xy – 15xz + 20yz)
= (3x) + (-4y) + (5z)³ – 3[3x × – 4y × 5z]
=27x³ – 64y³ + 125z³ + 180xyz

(ii) (3x + 2y + 2z(9x² + 4y² + 4z² – 6xy -4yz – 6zx)
= (3x)³ + (2y) + (2z)³ – 3[3x × 2y × 2z]
=27x² + 8y² + 8z² – 36xyz

(iii) (2x – y + 3z)(4x² + y² – 9z² + 2xy + 3yz – 6xz)
= (2x)³ + (-y)³ + (3z)³ – 3[2x × -y × 3z]
= 8x³ – y³ + 27z³ + 18xyz

Ex 4.5 Algebraic Identities विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सर्वसमिका का प्रयोग करके निम्न के मान ज्ञात कीजिए। [NCERT]
(1) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हलः
(i) 103 × 107 = (100 + 3) × (100 + 7)
= (100)² + (3 + 7) × 100 + 3 × 7
=10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96 = (100 – 5) × (100 – 4)
= (100)² (5 + 4) × 100 + 5 × 4
= 10000 – 900 + 20 = 9120

(iii) 104 × 96 = (100 + 4) × (100 – 4)
= (100)² – (4)²
= 10000 – 16 = 9984

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.
यदि [latex]x+\frac{1}{x}[/latex] = 11, सिद्ध कीजिए कि [latex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}[/latex] = 119
हल:

प्रश्न 4.
यदि [latex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}[/latex] = 66, सिद्ध कीजिए कि [latex]x-\frac{1}{x}[/latex] = ±8
हलः

प्रश्न 5.
यदि x = 4, y =3, z = 2 तब सिद्ध कीजिए कि 4x² + y² + 25z² + 4xy – 10yz – 20xz =1
हल:
L.H.S. = 4x² + y² + 25z² + 4xy -10yz – 20xz
= (-2x)² + (-y)² + (58)² + 2(-2x)(-y) + 2(-y) (5z) + 2(5z)(-2x)
= (-2x – y + 5z)²
= (-2 × 4 – 3 + 5 × 2)² = (-1)² = 1 = R.H.S.

प्रश्न 6.
यदि x + y = 12 व xy = 27, तब सिद्ध कीजिए कि x³ + y³ = 756
हलः
∵ x + y = 12
घन करने पर x³ + y³ + 3xy (x + y) = 1728
x³ + y³ + 3 × 27 (12) = 1728
x³ + y³ + 972 = 1728
x³ + y³ = 1728 – 972 = 756

प्रश्न 7.
यदि [latex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}[/latex] = 83, तब सिद्ध कीजिए कि [latex]x^{3}-\frac{1}{x^{3}}[/latex] = 756
हलः

प्रश्न 8.
यदि x + y + z =8 व xy + yz + zx=20, तब सिद्ध कीजिए कि x³ + y³ + z³ – 3xyz = 32
हल:
∵ x + y + x = 8 ……….(1)
वर्ग करने पर
x² + y² + z² + 2(xy + ys + ax) = 64
x² + y² + z² = 64-2(xy + yz + zx)
∵ x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + 2)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (8)[64 – 2(xy + yz + zx)-(xy + yz + zx)]
= 8[64 – 3(xy + yz + zx)]
= 8[64 – 3 × 20] = 8 × 4 = 32

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि 2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx = [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
हलः
L.H.S. = 2x² + 2y² + 2z² – 2xy -2yz – 2zx
= x² + x² + y² + y² + z² + z² – 2xy -2yz – 2zx
= (x² + y² – 2xy) + (y² + x² – 2yz) + (x² + x² – 2zx)
= (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = R.H.S.

प्रश्न 10.
[latex]\left(\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right)^{2}[/latex] का विस्तार कीजिए। [NCERT]
हलः

प्रश्न 11.
विस्तार कीजिए – (-2x + 5y – 3z)² [NCERT]
हलः
(-2x + 5y – 3z)² = (-2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-2x)(-3z)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12xz

प्रश्न 12.
[latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हलः

Ex 4.5 Algebraic Identities बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.

(a) 320
(b) 322
(c) 321
(d) 222
हलः

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 2.
यदि x – y = 5 व xy = 12, तब x² + y² =
(a) 49
(b) 25
(c) 144
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
x – y = 5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x – y)² = 5²
⇒ x² + y² – 2xy = 25
⇒ x² + y² – 2(12) = 25
⇒ x² + y² = 49
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.

(a) 100
(b) 127
(c) 10
(d) 12
हलः

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.

(a) 194
(b) 144
(c) 124
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 5.

(a) 15
(b) 105
(c) 25 .
(d) 5
हलः

अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 6.

(a) 17
(b) 4
(c) 17/4
(d) 19/4
हलः

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
यदि x + y + z =9, xy + yz + xz = 23, तब x³ + y³ + z³ – 3xyz =
(a) 100
(b) 81
(c) 108
(d) 123
हलः
x + y + z = 9
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x + y + z)² = 81
⇒ x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 81
⇒ x² + y² + z² = 81 – 2 × 23 = 35
∵ x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² –xy –yz – zx)
= 9 × (35 – 23)
= 9 × 12 = 108
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 8.
यदि [latex]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}[/latex] = 1, तब x³ + y³ =
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 0
हलः

अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 9.
यदि x – y = -8 व xy = -12, तब x³ – y³ =
(a) 224
(b) -224
(c) 234
(d) -234
हलः
x – y = -8
दोनों पक्षों का घन करने पर,
(x – y)³ = (-8)³
⇒ x³ – y³ – 3xy (x – y) = -512
⇒ x³ – y³ = -512 + 3xy (x – y)
⇒ x³ – y³ = -512 + 3(-12)(-8) = -512 + 288
⇒ x³ – y³ = -224
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 10.
यदि x + y + z = 9 व xy + yz + zx = 23, तब x² + y² + z² =
(a) 25
(b) 35
(c) 45
(d) 305
हलः
x + y + z =9
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x + y + z)² = 9²
⇒ x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 81
⇒ x² + y² + z² = 81 – 2(xy + yz + zx)
= 81 – 2 × 23 (∵ xy + yz + zx = 23)
= 81 – 46 = 35
अतः विकल्प (b) सही है।

Ex 4.5 Algebraic Identities स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
(2x – y + z)² का विस्तार कीजिए।
हलः
(2x – y + z)² = (2x)² + (-y)² + (z)² – 2. 2x . y + 2(-y) (z) + 2(2x)(z)
=4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4xz

प्रश्न 2.
(3a + 4b + 5c)² का विस्तार कीजिए।
हलः
(3a + 4b + 5c)² = 9a² + 16b² + 25c² + 24ab + 40 bc + 30ac

प्रश्न 3.
(4a – 2b – 3c)² का विस्तार कीजिए।
हलः
(4a – 2b – 3c)² = (4a)² + (-2b)² + (-3c)² – 16ab + 12bc – 24ac
= 16a² + 4b² + 9c² – 16ab + 12bc – 24ac

प्रश्न 4.
सर्वसमिका का प्रयोग करके (28)³ + (-15)³ + (-13)³ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(28)³ + (-15)³ + (-13)³ = (15 + 13)³ + (-15)³ + (-13)³
= (15)³ + (13)³ + 3 × 15 × 13(15 + 13) – (15)³ – (13)³
= 3 × 15 × 13(15 + 13) = 16380

प्रश्न 5.
(104)³ का मान सर्वसमिका का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए। .
हलः
(104)³ = (100 + 4)³
(100)³ + (4)³ + 3 × 100 × 4(100 + 4)
= 1000000 + 64 + 124800 = 1124864

प्रश्न 6.
यदि 3x – 7y = 10 व xy = -1, तब सिद्ध कीजिए कि 9x² + 49y² = 58
हलः
3x – 7y = 10
दोनों ओर का वर्ग करने पर
9x² + 49y² – 42xy = 100
9x² + 49y² – 42 × (-1) = 100
9x² + 49y² = 100 – 42 = 58

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि x² + y² + z² – xy – y – zx; x, y व z के सभी मानों के लिए सदैव धनात्मक होगा।
हल:
x² + y² + z² – xy – yz – zx = [latex]\frac{1}{2}[/latex] [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
∵ (x – y)²,(y – z)², (z – x)²
पूर्ण वर्ग है जो हमेशा धनात्मक होते हैं।
अतः इसका योग सदैव धनात्मक होगा।

प्रश्न 8.
यदि x² + y² + z² = 20 व x + y + z = 0, तब सिद्ध कीजिए xy + yz + zx = -10
हल:
x + y + z = 0
वर्ग करने पर, (x + y + z)² = 0
x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 0
20 + 2(xy + yz + zx) = 0
2(xy + yz + zx) = 0 – 20 = -20
xy + yz + zx = [latex]\frac{-20}{2}[/latex] = -10

प्रश्न 9.
यदि x + y + z = 6 व xy + yz + zx = 11, तब सिद्ध कीजिए x³ + y³ + z³ -3xyz = 18
हलः
∵ x + y + z = 6 ……………. (1)
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx) ……..(2)
समी० (1) का वर्ग करने पर
x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 36
x² + y² + z² + 2(11) = 36
x² + y² + z² = 36 – 22 = 14
समी० (2) में x² + y² + z² का मान रखने पर
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (6) (14 – 11) = (6) (3) = 18

प्रश्न 10.
x³ + y³ + z³ का मान ज्ञात कीजिए, यदि x + y + z = 11, x² + y² + z² = 45 व xyz = 40
हलः
x + y + z = 11 …………….(1)
समी० (1) का वर्ग करने पर
∵ (x + y + z)² = 121
x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 121
2(xy + yz + zx) = 121 – 45 = 76
∴ xy + yz + zx = [latex]\frac{76}{2}[/latex] = 38
x³ + y³+ z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
x³ + y³ + z³ – 3 × 40 = (11)(45 – 38) = (11)(7) = 77
x³ + y³ + z³ = 77 + 120 = 197

प्रश्न 11.
x³ + y³ + z³ का मान ज्ञात कीजिए, यदि x + y + z = 15, ‘xy + yz + zx = 71 व xys = 10
हलः
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
x³ + y³ + z³ – 3 × 10 = (15) [x² + y² z² – 71] ………… (1)
x + y + z = 15 …………………. (2)
समी० (2) का वर्ग करने पर
x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 225
x² + y² + z² + 2(71) = 225
x² + y² + z² = 225 – 142
x² + y² + z² = 83 का मान समी० (1) में रखने पर
समी० (1) से, x³ + y³ + z³ – 30 = 15[83 – 71]
x³ + y³ + z³ – 30 = 15 × 12 = 180
x³ + y³ + z³ = 180 + 30 = 210

प्रश्न 12.
x³ – 8y³ – 36xy – 216 का मान ज्ञात कीजिए, यदि x = 2y + 6
हल:
x = 2y + 6 का मान रखने पर,
(2y + 6)³ – 8y³ – 36(2y + 6)y – 216
= 8y³ + 216 + 36y (2y + 6) – 8y³ – 72y² – 216y – 216
= 72y² + 216y – 72y² – 216y = 0

प्रश्न 13.
x³ + y³ + z³ – 3xyz का मान ज्ञात कीजिए, यदि x + y + z = 14 व x² + y² + z² = 60
हलः
x + y + z = 14 ………………(1)
वर्ग करने पर,
x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 196
60 + 2(xy + yz + zx) = 196
2(xy + yz + zx) = 196 – 60 = 136
xy + yz + zx = [latex]\frac{136}{2}[/latex] = 68
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)[x² + y² + z² – xy – yz – zx]
= (14)[60 – 68] = 14 × (-8) = -112

प्रश्न 14.
यदि 4x² + y² = 40 व xy =6, तब सिद्ध कीजिए कि 2x + y = ± 8
हलः
4x² + y² = 40
⇒ (2x)² + (y)² + 2(2x)(y) = 40 + 2(2x)(y)
⇒ (2x + y)² = 40 + 4(6) = 40 + 24
⇒ (2x + y)² = 64 ⇒ (2x + y) = ± 8

प्रश्न 15.

हलः

प्रश्न 16.
यदि 2x + 3y = 8 व xy = 2, तब सिद्ध कीजिए कि 4x² + 9y² = 40
हलः
2x + 3y = 8
वर्ग करने पर, 4x² + 9y² + 2(2x)(3y) = 64
⇒ 4x² + 9y² = 64 – 12(xy) = 64 – 12 × 2 = 40

प्रश्न 17.

हलः

प्रश्न 18.

हलः

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि (x + y + z)² – (x – y – z)² = 4x ( y + z)
हलः
L.H.S. = (x + y + z)² – (x – y – z)²
= x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) – (x² +  y² + z² – 2xy + 2yz – 2zx)
= 4xy + 4xz = 4x(y + z) = R.H.S.

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि (4x + 2y)³ – (4x – 2y)³ = 16y³ + 192x²y
हलः
माना a = 4x + 2y, b = 4x – 2y
a³ – b³ = (a – b) (a² + b² + ab)
अब a² = (4x + 2y)² = 16x² + 4y² + 16xy
b² =(4x – 2y)² =16x² + 4y² – 16xy
ab =16x² – 4y²
तब बायाँ पक्ष =(4x + 2y)³ – (4x – 2y)³
= (4y)[16x² + 4y² + 16xy +16x² + 4y² – 16xy + 16x² – 4y²]
= 4y(48x² + 4y²) = 16y³ + 192x²y = दायाँ पक्ष

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि 7x³ + 8y³ -(4x + 3y)(16x² – 12xy + 9y³) = -57x³ – 19y³
हलः
L.H.S. = 7x³ +8y³ – (4x + 3y)(16x² – 12xy + 9y²)
= 7x³ + 8y³ – [(4x)³ +(3y)³]
= 7x³ + 8y³ – (64x³ + 27y³)
= 7x³ + 8y³ – 64x³ – 27y³
= – 57x³ – 19y³ = R.HS.

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 19 Surface Area and Volume of a Right Circular Cone and Sphere Ex 19.2 लम्बवृत्तीय शंकु एवं गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

Ex 19.2 Surface Area and Volume of a Right Circular Cone and Sphere बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक अर्द्धगोले की त्रिज्या 4 सेमी है, उसका वक्रपृष्ठ होगा- [UP 2006, 07]
(a) 647 वर्ग सेमी
(b) 487 वर्ग सेमी
(c) 327 वर्ग सेमी
हलः
अर्द्धगोला या गोलार्द्ध का वक्रपृष्ठ = 2πr² = 2 × T × (4)²
= 32π वर्ग सेमी

प्रश्न 2.
एक गोले का आयतन 38808 घन सेमी हो तो उसका वक्रपृष्ठ होगा-
(a) 1386 वर्ग सेमी
(b) 4158 वर्ग सेमी
(c) 5544 वर्ग सेमी
हलः

प्रश्न 3.
14 सेमी व्यास वाले अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ है-
(a) 588 π वर्ग सेमी
(b) 392 π वर्ग सेमी
(c) 147 π वर्ग सेमी
(d) 98 π वर्ग सेमी
हलः
अर्द्धगोले का व्यास = 14 सेमी
अर्द्धगोले की त्रिज्या = [latex]\frac{14}{2}[/latex] = 7 सेमी
अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr²
= 3π(7)²
= 3π × 49 = 147π वर्ग सेमी
⇒ विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.
10 सेमी त्रिज्या के गोले को पिघलाकर समान त्रिज्या की 8 ठोस गेंद बनायी गयी हैं। प्रत्येक गेंद का वक्रपृष्ठ है-
(a) 600 वर्ग सेमी
(b) 657 वर्ग सेमी
(c) 75 7 वर्ग सेमी
(d) 1007 वर्ग सेमी
हलः

प्रश्न 5.
दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 5 : 4 है, उनके सम्पूर्ण पृष्ठों का अनुपात है-
(a) 4 : 5
(b) 16 : 25
(c) 25 : 16
(d) 5 : 4
हलः

प्रश्न 6.
दो गोलों के आयतनों का अनुपात 1:27 है, उनकी त्रिज्याओं का अनुपात होगा-
(a) 1 : 3
(b) 1 : 9
(c) 3 : 1
(d) 9 : 1
हलः

Ex 19.2 Surface Area and Volume of a Right Circular Cone and Sphere अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 7.
4.2 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन व वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए। [UP 2004,07]
हल:

प्रश्न 8.
उस गोले का वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 4851 घन मीटर है।
हलः

प्रश्न 9.
एक गोले का वक्रपृष्ठ 346.5 वर्ग मीटर है। इसकी त्रिज्या तथा आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
वक्रपृष्ठ = 346.5
4πr² = 346.5

प्रश्न 10.
उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका वक्रपृष्ठ 647 वर्ग सेमी है। [UP 2003]
हलः
गोले का वक्रपृष्ठ = 64π सेमी²
4πr² = 64 π

प्रश्न 11.
π के पदों में उस गोले का वक्रपृष्ठ व आयतन ज्ञात कीजिए। जिसका व्यास 3 सेमी है।
हलः
गोले का व्यास = 3 सेमी
गोले की त्रिज्या = [latex]\frac{3}{2}[/latex]

Ex 19.2 Surface Area and Volume of a Right Circular Cone and Sphere लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 12.
3.5 सेमी त्रिज्या के अर्द्धगोले का आयतन तथा सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए। [UP 2002]
हलः
अर्द्धगोले की त्रिज्या r = 3.5 सेमी

प्रश्न 13.
एक गोले के आयतन व वक्रपृष्ठ के आंकिक मान बराबर हैं। इनकी त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए। [UP 2003]
हल:
गोले का आयतन = गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ

r = 3 सेमी

प्रश्न 14.
7 सेमी भुजा वाले घन से एक महत्तम गोला काटा गया है। गोले का आयतन ज्ञात कीजिए। (दिया है: π = 3.14)
हल:

प्रश्न 15.
10.5 सेमी त्रिज्या के धातु के एक गोले को पिघलाकर छोटे शंकु बनाये गये हैं। जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या 3.5 सेमी तथा ऊँचाई 3 सेमी है। शंकुओं की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 19.2 Surface Area and Volume of a Right Circular Cone and Sphere दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 16.
एक गोलीय कोश का बाह्य व्यास 10 सेमी तथा अन्तः व्यास 9 सेमी है। इसके अन्दर भरी धातु का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 17.
समान वृत्तीय आधार तथा समान ऊँचाई का एक शंकु, एक अर्द्धगोला तथा एक बेलन बनाया गया है। इनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए। [UP 2001]
हल:
h =r …… (1)
शंकु का आयतन : अर्द्धगोले का आयतन : बेलन का आयतन

प्रश्न 18.
एक पात्र अर्द्धगोल कटोरे के रूप का है। जिसके ऊपर एक खोखला बेलन बना हुआ है। गोले का व्यास 14 सेमी तथा पात्र की कुल ऊँचाई 13 सेमी है। पात्र की धारिता ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 19.
लोहे की एक ठोस गेंद की त्रिज्या 9 सेमी है। इसे पिघलाकर तीन छोटी ठोस गेंदे बनायी गयी है। यदि उनमें से दो की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी है, तो तीसरी गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [UP 2016]
हलः
लोहे की ठोस गेंद का आयतन = पहली + दूसरी + तीसरी गेंद का आयतन माना तीसरी गेंद की त्रिज्या = r सेमी

प्रश्न 20.
24 सेमी व्यास और 6 सेमी ऊँचे एक लम्बवृत्तीय शंकु को पिघलाकर बनाए गए ठोस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [UP 2016]
हलः

प्रश्न 21.
12 सेमी त्रिज्या के एक बेलनाकार टब में 20 सेमी ऊँचाई तक पानी भरा है। लोहे की एक गोलीय गेंद टब में डाली जाती है। और इस प्रकार पानी का स्तर 6.75 सेमी ऊपर उठ जाता है। गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [UP 2015,16]
हलः
गोलीय गेंद का आयतन = बेलनाकार टब में ऊपर उठे पानी का आयतन

प्रश्न 22.
एक ठोस धातु के बेलन के दोनों सिरे अर्द्धगोलाकार है। इसकी सम्पूर्ण ऊँचाई 19 सेमी हैं तथा बेलन का व्यास 7 सेमी है। इस ठोस का भार ज्ञात कीजिए यदि 1 सेमी³ धातु का भार 4.5 ग्राम है।[latex]\left(\pi=\frac{22}{7}\right)[/latex]
हलः

Ex 19.2 Surface Area and Volume of a Right Circular Cone and Sphere बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
किसी लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई में 5 : 12 का अनुपात है। यदि शंकु का आयतन 314 घन मीटर हो तो आधार की त्रिज्या होगी-
(a) 1 मीटर
(b) 2 मीटर
(c) 4 मीटर
(d) 5 मीटर
हलः

प्रश्न 2.
एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में 352 वर्ग मीटर कपड़ा लगा है, यदि तम्बू के आधार की त्रिज्या 3.5 मीटर हो तो उसकी तिर्यक ऊँचाई होगी-
(a) 32 मीटर
(b) 22 मीटर
(c) 35 मीटर
(d) 52 मीटर
हलः

प्रश्न 3.
यदि एक शंकु का वक्रपृष्ठ 1884 वर्ग मीटर तथा उसके आधार का व्यास 12 मीटर है तो शंकु की ऊँचाई होगी-
(a) 8 मीटर
(b) 18 मीटर
(c) 128 मीटर
(d) 110 मीटर
हलः

प्रश्न 4.
एक लम्बवृत्तीय शंकु की आधार त्रिज्या 14 सेमी तथा उसकी ऊँचाई 10.5 सेमी है तो शंकु का वक्रपृष्ठ होगा-
(a) 77 सेमी²
(b) 770 सेमी²
(c) 70 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
r = 14 सेमी, h = 10.5 सेमी

प्रश्न 5.
एक लम्बवृत्तीय शंकु के आधार का परिमाप 66 सेमी है। यदि शंकु की ऊँचाई 8 सेमी हो तो शंकु का आयतन होगा-
(a) 124 सेमी³
(b) 924 सेमी³
(c) 92.4 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 6.
एक शंकु की ऊँचाई और आधार का व्यास क्रमशः 12 सेमी व 18 सेमी हैं तो इसकी तिर्यक ऊँचाई होगी-
(a) 15 सेमी
(b) 12 सेमी
(c) 8 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 7.
एक शंकु का आयतन 100 1 सेमी है। यदि उसके आधार की त्रिज्या 5 सेमी हो तो इसका वक्रपृष्ठ होगा-
(a) 65 7 सेमी²
(b) 6.5 0 सेमी²
(c) 65 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 8.
यदि किसी गोले का वक्रपृष्ठ 3247 सेमी है तो इसकी त्रिज्या होगी-
(a) 8 सेमी
(b) 9 सेमी
(c) 10 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
गोले का वक्रपृष्ठ = 4πr² = 324π

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 9.
एक तार का व्यास 5% कम कर दिया जाये तो उसकी लम्बाई कितने प्रतिशत बढ़ा दी जाये कि आयतन न बदले?
(a) 12%
(b) 10.8%
(c) 11%
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 10.
एक बेलन की ऊँचाई तथा आधार की त्रिज्या दोनों 10% बढ़ा दी जाये तो बेलन के आयतन में वृद्धि होगी-
(a) 33%
(b) 30%
(c) 33.1%
(d) 100%
हलः
माना बेलन की ऊँचाई तथा आधार की त्रिज्या h व r हैं। तब बेलन का आयतन V₁ = πr²h…(1)
बेलन की ऊँचाई तथा त्रिज्या को 10% बढ़ाने पर, माना ऊँचाई h₁ तथा त्रिज्या r₁ है।

Ex 19.2 Surface Area and Volume of a Right Circular Cone and Sphere स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
5.25 सेमी त्रिज्या तथा तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी वाले शंकु का वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हलः
r = 5.25 सेमी
1 = 10 सेमी

प्रश्न 2.
एक शंकु के आकार की क्रानकाब के चौड़े भाग की त्रिज्या 2.1 सेमी तथा लम्बाई 20 सेमी है। यदि 1 सेमी² क्षेत्रफल में औसतन 4 दाने आते हैं तो पूरी कॉब में कुल कितने दानें आयेगे?
हलः

प्रश्न 3.
माना के पास 551 वर्ग मीटर कपड़ा है। इससे इसे 7 मीटर आधार त्रिज्या का एक टैन्ट बनाना है। सिलने व कटिंग में कुल 1 वर्ग मीटर कपड़ा यदि खराब होता है तो इससे बने टैन्ट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 4.
एक गोलीय बर्तन, 0.25 सेमी मोटाई वाले स्टील से बना है। बर्तन की आन्तरिक त्रिज्या 5 सेमी है। तो बर्तन का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
बाहरी त्रिज्या R = 5 + 0.25 = 5.25 सेमी
आन्तरिक त्रिज्या r = 5 सेमी
बर्तन का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR²

प्रश्न 5.
एक भवन का डोम अर्द्धगोलाकार है। इसकी त्रिज्या 63 डेकामी है। ₹ 2 प्रति वर्ग मीटर की दर से इसे रंगने में कुल लागत ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 6.
r त्रिज्या व पृष्ठीय क्षेत्रफल S वाले घातु के 27 ठोस गोलों को पिघलाकर एक दूसरा गोला बनाया जाता है। जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। निम्न के मान ज्ञात कीजिए-
(i) नये गोले की त्रिज्या r’
(ii) s व S’ का अनुपात।
हल:
27 गोलो का आयतन = 1 नये गोले का आयतन

प्रश्न 7.
दवाई का एक कैप्सूल 3.5 मिमी व्यास के गोले के आकार का है। इसको भरने के लिए कितनी दवाई की आवश्यकता होगी?
हल:

प्रश्न 8.
चन्द्रमा का व्यास लगभग पृथ्वी के व्यास का 1 है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का कितना गुना है?
हलः

प्रश्न 9.
एक शंकु, अर्द्धवृत्त तथा बेलन समान आधार व समान ऊँचाई के हैं। सिद्ध कीजिए कि उनके आयतनों में 1 : 2 : 3 का अनुपात है।
हल:
शंकु का आयतन : अर्द्धवृत्त का आयतन : बेलन का आयतन

प्रश्न 10.
एक बेलन व एक शंकु के आधार की त्रिज्याएँ तथा ऊँचाई समान हैं। यदि उनके वक्रपृष्ठों का अनुपात 8 : 5 है तो सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक की त्रिज्या एवं ऊँचाई में 3 : 4 का अनुपात है।
हलः

प्रश्न 11.
10 सेमी ऊँचे तथा 6 सेमी आधार त्रिज्या के एक लम्बवृत्तीय बेलन से समान आधार एवं ऊँचाई का एक शंकु काटा जाता है। शेष बचे ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 12.
28 सेमी व्यास की धातु की अर्द्धवृत्ताकार सीट को मोड़कर एक खुला शंक्वाकार कप बनाया गया है। कप की धारिता व गहराई ज्ञात कीजिए।
हलः
जब अर्द्धवृत्ताकार शीट को माड़कर एक खुला शंक्वाकार कप बनाया जाता है।

प्रश्न 13.
14 सेमी भुजा वाले घन में समायोजित होने वाले महत्तम लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 14.
एक खिलौना लम्बवृत्तीय बेलन के आकार का है जिसके एक ओर एक अर्द्धवृत्त तथा दूसरी ओर एक शंकु है। बेलनाकार भाग की ऊँचाई एवं त्रिज्या क्रमश: 13 व 5 सेमी है। अर्द्धवृत्ताकार व शंक्वाकार भाग की त्रिज्या, बेलनाकार भाग की त्रिज्या के बराबर है। यदि शंक्वाकार भाग की ऊँचाई 12 सेमी है तो खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 15.
एक अंर्द्धवृत्त पर एक शंकु अध्यारोपित है। इस रूप का लकड़ी का एक खिलौना है। शंकु के आधार का व्यास 6 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी है। ₹ 5 प्रति 1000 वर्ग सेमी की दर से रंग करने की कुल लागत ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 16.
एक अर्द्धवृत्त के ऊपर समान त्रिज्या व ऊँचाई का एक बेलन रखा है। यदि इसकी कुल लम्बाई 7 सेमी हो तो उसका वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 17.
एक बेलनाकार बर्तन जिसकी त्रिज्या 6 सेमी तथा ऊँचाई 15 सेमी है, आइसक्रीम से भरा है। परी आइसक्रीम को बराबर अर्द्धवृत्ताकार शीर्ष वाले शंकुओं में भरकर 10 बच्चों में बाँटना है। यदि शंक्वाकार भाग की ऊँचाई आधार की त्रिज्या से 4 गुनी है तो आइसक्रीम शंकु की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 18.
एक ठोस लकड़ी का खिलौना ‘अर्द्धवृत्त पर लम्बवृत्तीय शंकु के आकार का है। यदि अर्द्धवृत्त की त्रिज्या 4.2 सेमी तथा खिलौने की कुल ऊँचाई 10.2 सेमी है तो लकड़ी के खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = 4.2 सेमी लकडी के खिलौने का कुल आयतन = शंक्वाकार भाग का आयतन + अर्द्धवृत्ताकार भाग का आयतन

प्रश्न 19.
2 सेमी आन्तरिक तथा 4 सेमी बाहय त्रिज्या वाले खाली गोले को पिघलाकर 4 सेमी आधार त्रिज्या का एक शंकु बनाया गया है। शंकु की ऊँचाई एवं तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 20.
10.5 सेमी त्रिज्या की धातु का एक गोला पिघलाकर 3.5 सेमी त्रिज्या तथा 3 सेमी ऊँचाई के छोटे शंकु बनाये गये हैं। इस प्रकार बने शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 21.
एक गोले व शंकु की त्रिज्याएँ आधार एवं ऊँचाई के बराबर है। यदि उनके वक्रपृष्ठ 3 : 5 के अनुपात में है तब सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक की त्रिज्या व ऊँचाई में अनुपात 3 : 4 होगा।
हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 22.
दो शंकुओं के आधार का व्यास बराबर है तथा उनकी तिर्यक ऊँचाईयों में 4 : 3 का अनुपात है। सिद्ध कीजिए कि उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 4 : 3 है।
हलः

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