Class 9

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.6 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.6 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Question)

निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
x² + 7x + 12
हल:
x² + 7x + 12 = x² + (3 + 4)x + 12 12 = 3 × 4
= x² + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)

प्रश्न 2.
x² – 14x + 48
हल:
x² – 14x + 48 = x² – (6 + 8)x + 48 (48 = 6 × 8)
= x² – 6x – 8x + 48 = x(x – 6) – 8(x – 6) = (x – 6)(x – 8)

प्रश्न 3.
x² – 7x – 18
हल:
x² – 7x – 18 = x² – (9 – 2)x – 18 = x² – 9x + 2x – 18 = x(x – 9) + 2(x – 9) = (x – 9)(x + 2)

प्रश्न 4.
x² – 25x + 84
हल:
x² – 25x + 84 = x² – (21 + 4)x + 84 (84 = 4 × 21)
= x² – 21x – 4x + 84= x(x -21)- 4(x – 21)= (x – 21)(x – 4)

प्रश्न 5.
2x² + 7x + 6
हल:
2x² + 7x + 6 = 2x² + (3 + 4)x + 6                         (2 × 6 = 12 ⇒ 12 = 3 × 4)
= 2x² + 3x + 4x + 6 = x(2x + 3) + 2(2x + 3) = (2x + 3)(x + 2)

प्रश्न 6.
2x² – 13x + 15
हलः
2x² – 13x + 15 = 2x² – (3 + 10)x + 15 (2 × 15 = 30 ⇒ 30 = 3 × 10)
= 2x² – 3x – 10x + 15 = x(2x – 3) – 5(2x – 3) = (2x – 3)(x – 5)

प्रश्न 7.
3x² – 14x + 8
हल:
3x² – 14x + 8 = 3x² – (2 + 12)x + 8 (3 × 8 = 24 ⇒ 24 = 12 × 2)
= 3x² – 2x – 12x + 8= x(3x – 2) – 4(3x – 2) = (3x – 2)(x – 4 )

प्रश्न 8.
3x² + 10x – 8
हलः
3x² + 10x – 8= 3x² + (12 – 2)x – 8 (3 × 8 = 24 ⇒ 24 = 2× 12)
= 3x² + 12x – 2x – 8 = 3x(x + 4) – 2(x + 4)= (x + 4)(3x – 2)

Ex 5.6 Polynomial and their Factors लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 9.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 8(x + 2)² + 2(x + 2) – 15
(ii) 12(x² + 7x)² – 8(x² + 7x)(2x – 1) – 15(2x – 1)²
(iii) (x² – 2x)² – 23(x² – 2x) + 120
(iv) (x + 2y)² + 5(x + 2y)(2x + y) + 6(2x + y)²
हलः
(i) 8(x + 2)² + 2(x + 2) – 15
माना x + 2 = y
= 8y² + 2y – 15
= 8y² +(12 – 10)y – 15 (8 × 15 = 120 ⇒ 120 = 12 × 10)
= 8y² + 12y – 10y – 15 = 4y(2y + 3) – 5(2y + 3)
= (2y + 3)(4y – 5)=[2(x + 2) + 3] [4(x + 2) – 5]
= [2x + 4 + 3][4x + 8 – 5) = (2x + 7) (4x + 3)

(ii) 12(x² + 7x)² – 8(x² + 7x)(2x – 1) – 15(2x – 1)²
हलः
x² + 7x = y तथा 2x – 1 = z
= 12y² – 8yz – 15z²
= 12y² – (18 – 10)yz – 15z² (12 × 15 = 180 ⇒ 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5)
= 12y² – 18ýz + 10yz – 15z²
= 6y (2y – 3z) + 5z(2y – 3z) = (2y – 3z)(6y + 5z)
= [2(x² + 7x) – 3(2x – 1)][6(x² + 7x) + 5(2x – 1)]
= [2x² + 14x – 6x + 3] [6x² + 42x + 10x – 5]
= [2x² + 8x + 3][6x² + 52x – 5]

(iii) (x² – 2x)² – 23(x² – 2x) + 120
हलः
x² – 2x = y
=y² – 23y + 120
= y² – (8 + 15)y + 120 (120 = 8 × 15)
= y² – 8y – 15y + 120 = y(y – 8) – 15(y – 8)
= (y – 15)(y – 8)
= (x² – 2x – 15)(x² – 2x – 8) (15 = 3 × 5 व 8 = 4 × 2)
= [x² – (5 – 3)x – 15][x² – (4 – 2)x – 8]
= [x² – 5x + 3x – 15][x² – 4x + 2x – 8]
=[x(x – 5) + 3(x – 5)][x(x – 4) + 2(x – 4)]
= [(x + 3)(x – 5)][(x – 4)(x + 2)]

(iv) (x + 2y)² + 5(x + 2y)(2x + y) + 6(2x + y)²
हलः
माना x + 2y = m तथा 2x + y = n
= m² + 5mn + 6n² = m² +(2 + 3)mn +6n²
= m² + 2mn + 3mn + 6n² = m(m + 2n) + 3n(m + 2n)
= (m + 2n)(m + 3n)
यहाँ [x + 2y + 2(2x + y)][x + 2y + 3(2x + y)]
=[x + 2y + 4x + 2y][x + 2y + 6x + 3y] = [5x + 4y][7x + 5y]

प्रश्न 10.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) [latex]\frac{1}{3} x^{2}[/latex] – 2x – 9
(ii) [latex]\frac{1}{4} x^{2}[/latex] + x – 3
(iii) 8x³ – 2x²y – 15xy²
(iv) 9x³y +41x²y² + 20xy³
हलः


(iii) 8x³ – 2x²y – 15xy² = x[8x² – 2xy -15y²]
= x[8x² – (12 – 10)xy -15y²] (∵ 8 × 15 = 120 ⇒ 120 = 12× 10)
= x[8x² – 12xy + 10xy – 15y²]
= x[4x(2x – 3y) + 5y(2x – 3y)] = x(2x – 3y)(4x + 5y)

(iv) 9x³y + 41x²y² + 20xy³ = xy[9x² + 41xy + 20y²]
= xy[9x² + (36 + 5)xy + 20y²] (9 × 20 = 180 ⇒ 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5)
= xy[9x² + 36xy + 5xy + 20y²]
= xy[9x(x + 4y) + 5y (x + 4y)] = xy(9x + 5y)(x + 4y)

प्रश्न 11.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x² +4x – 21
(ii) x² – 7x + 12
(iii) x² – 21x + 108
(iv) x² + 5x – 36
हल:
(i) x² + 4x – 21 = x² + (7 – 3)x – 21 (21 = 3 × 7)
= x² + 7x – 3x – 21 = x(x + 7) – 3(x + 7) = (x + 7)(x – 3)

(ii) x² – 7x + 12 = x² – (3 + 4)x + 12 (12 = 2 × 2 × 3)
= x² – 3x – 4x + 12 = x(x – 3) – 4(x – 3) = (x – 3)(x – 4)

(iii) x² – 21x + 108 = x² – (12 + 9)x + 108 (108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 12 × 9)
= x² – 12x – 9x + 108 = x(x – 12)- 9(x – 12) = (x – 12)(x – 9)

(iv) x² + 5x – 36 = x² + (9 – 4)x – 36 (36 = 2 × 2 × 3 × 3)
= x² + 9x – 4x – 36 = x(x + 9)- 4(x + 9) = (x + 9)(x – 4)

प्रश्न 12.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड इनके मध्य पद को विभक्त करके कीजिए
(i) x⁴ + 3x² – 28
(ii) x⁴ – 5x² + 4
हल:
(i) x⁴ + 3x² – 28 = x⁴ + (7 – 4)x² – 28 (∵ 28 = 2 × 2 × 7)
= x⁴ + 7x² – 4x² – 28 = x²(x² + 7) – 4(x² + 7)
= (x² + 7)(x² – 4) = (x² + 7)[(x)⁴ – (2)⁴] = (x² + 7)(x + 2)(x – 2)

(ii) x⁴ – 5x² + 4 = x⁴ – (1 + 4)x² + 4 (∵ 4 = 1 × 4)
= x⁴ – x² – 4x² + 4 = x²(x² – 1) – 4(x² – 1) = (x² – 1)(x² – 4)
= [(x)² – (1)²][(x²) – (2)²] = (x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2)

प्रश्न 13.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x² + [latex]4 \sqrt{2} x[/latex] + 6
(ii) x² + [latex]5 \sqrt{3} x[/latex] + 12
(iii) x² + [latex]5 \sqrt{5} x[/latex] + 30
(iv) x² + [latex]6 \sqrt{6} x[/latex] + 48
हलः

प्रश्न 14.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) [latex]\left(5 x-\frac{1}{x}\right)^{2}+5\left(5 x-\frac{1}{x}\right)+6[/latex]
(ii) (p + q)² – 20(p + q) – 125
(iii) (a² – a)² – 8(a² – a) + 12
(iv) (x² – 4x)(x² – 4x – 1) – 20
(v) (x² + x)² + 4(x² + x) – 12
(vi) (3x – 4)² – (3x – 4) – 42
हलः

(ii) (p + q)² – 20(p + q) – 125
माना P + q = x
= x² – 20x – 125 = x² – (25 – 5)x – 125
= x² – 25x + 5x – 125 = x(x – 25) + 5(x – 25)
= (x + 5)(x – 25)
∴ (p + q – 25)(p + q + 5)

(iii) (a² – a)² – 8(a² – a) + 12
माना a² – a = x
→ = x² – 8x + 12
= x² – (2 + 6)x + 12 = x² – 2x – 6x +12
= x(x – 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 6)
∴ (a² – a – 2)(a² – a – 6)
=[a² – (2 – 1)a – 2][a² – (3 – 2)a – 6]
=[a – 2a + a – 2][a² – 3a + 2a – 6]
= [a(a – 2) + 1(a – 2)][a(a – 3) + 2(a – 3)]
= (a – 2)(a + 1)(a – 3)(a + 2)

(iv) (x² – 4x)(x² – 4x -1) – 20
माना x² – 4x = y
⇒ = y (y – 1) – 20 = y² – y – 20
= y² – (5 – 4)y – 20
= y² – 5y + 4y – 20
= y(y – 5) + 4(y – 5) = (y – 5)(y + 4)
∴ (x² – 4x – 5)(x² – 4x + 4)
= [x² – (5 – 1)x – 5][x² – (2 + 2)x + 4]
= [x² – 5x + x – 5][x² – 2x – 2x + 4]
= [x(x – 5) + 16x – 5)][x(x – 2) – 2(x -2)]
= (x – 5) (x + 1) (x – 2) (x – 2) = (x – 5)(x + 1)(x – 2)²

(v) (x² + x)² + 46x² + x) – 12
माना x² + x = y
= y² + 4y – 12
= y² + (6 – 2)y – 12 = y² + 6y – 2y -12
= y(y + 6) – 2(y + 6) = (y + 6)(y – 2)
∴ (x² + x + 6) (x² + x – 2)
= (x² + x + 6)[x² + (2 – 1)x – 2] = (x² + x + 6)[x² + 2x – x – 2] = (x² + x + 6)[x(x + 2) – 1(x + 2)]
= (x² + x + 6)(x – 1)(x + 2)

(vi) (3x – 4)² – (3x – 4) – 42
माना 3x – 4 = y
→ = y² – y – 42 (∵ 42 = 2 × 3 × 7 = 6 × 7)
= y² – (7 – 6)y – 42 = y² – 7y + 6y – 42
= y(y – 7) + 6(y – 7) = (y – 7)(y + 6)
∴ (3x – 4 – 7)(3x – 4 + 6)
= (3x – 11)(3x + 2)

Ex 5.6 Polynomial and their Factors लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 15.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x⁴ – x² – 12
(ii) m⁸ – 11m⁴n⁴ – 80n⁸
हल:
(i) x⁴ – x² – 12
= x⁴ – (4 – 3)x² – 12
= x² – 4x² + 3x² – 12 = x²(x² – 4) + 3(x² – 4)
= (x² – 4)(x² + 3) = (x)² – (2)²(x² + 3)
= (x + 2)(x – 2)(x² + 3)

(ii) m⁸ – 11m⁴n⁴ – 80n⁸ (∵ 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5)
= m⁸ – (16 – 5)m⁴n⁴ – 80n⁸
= m⁸ – 16m⁴n⁴ + 5m⁴n⁸ – 80n⁸ = m⁴ (m⁴ – 16n⁴) + 5n⁴(m⁴ – 16n⁴)
= (m⁴ + 5n⁴)(m⁴ – 16n⁴) = (m⁴ + 5n⁴)(m² + 4n²)(m² – 4n²)
= (m⁴ + 5n⁴)(m² + 4n)(m + 2n)(m – 2n)

प्रश्न 16.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 2x² + 13x + 20
(ii) 6x² + 11x + 3
(iii) 9x² + 27x + 20
(iv) 2x² – 11x – 63
(v) 10x² – 9x – 7
(vi) 21x² + 5x – 6
हल:
(i) 2x² + 13x + 20 (∵ 2 × 20 = 2 × 2 × 2 × 5)
= 2x² + (5 + 8)x + 20 = 2x² + 5x + 8x + 20
= x(2x + 5) + 4(2x + 5) = (2x + 5)(x + 4)

(ii) 6x² + 11x +3 (∵ 6x 3 = 18 = 2 × 3 × 3)
= 6x² + (2 + 9)x + 3 = 6x² + 2x + 9x + 3
= 2x(3x + 1) + 3(3x + 1) = (3x + 1)(2x +3)

(iii) 9x² + 27x + 20 = 9x² + (12 + 15)x + 20 (∵ 9 × 20 = 3 × 3 × 2 × 2 × 5)
= 9x² + 12x + 15x + 20 = 3x(3x + 4) + 5(3x + 4)= (3x + 4)(3x + 5)

(iv) 2x² – 11x – 63 = 2x² – (18 – 7)x – 63 (∵ 2 × 63 = 2 × 3 × 3 × 7)
= 2x² – 18x + 7x – 63 = 2x(x – 9) + 7(x – 9) = (x – 9)(2x + 7)

(v) 10x² – 9x – 7 = 10x² – (14 – 5)x – 7 (∵ 10 × 7 = 2 × 5 × 7)
= 10x² – 14x + 5x -7 = 2x(5x – 7) + 1(5x – 7) = (5x – 7)(2x + 1)

(vi) 21x² + 5x – 6 = 21x² + (14 – 9)x – 6 (∵ 21 × 6 = 3 × 7 × 2 × 3)
= 21x² + 14x – 9x – 6 = 7x (3x + 2) – 3(3x + 2) = (3x + 2)(7x – 3)

प्रश्न 17.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) [latex]\frac{1}{2} x^{2}[/latex] + 4x + 6
(ii) 2x² – x + [latex]\frac{1}{8}[/latex]
हलः

प्रश्न 18.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 7(x + 2y)² – 25(x + 2y) + 12
(ii) 8(a + 1)² +2(a + 1)(b + 2) – 15(b + 2)²
(iii) 12(x² + 7x)² – 8(x² + 7x)(2x – 1) + (2x – 1)²
(iv) 2(y² + 2y)² – 5(y² + 2y) + 3
(v) 6(x² + 4x)² – 11(x² + 4x)- 10
हलः
(i) 7(x + 2y)² – 25(x + 2y) + 12
माना x + 2y = z
= 7z²– 25z + 12
= 7z² – (21 + 4)z + 12 (∵ 7 × 12 = 7 × 2 × 2 × 3)
=7z² – 21z – 4z + 12 = 7z(z – 3) – 4(z – 3)
= (z – 3)(7z – 4) =(x + 2y – 3)[7(x + 2y) – 4]
(x + 2y – 3)(7x + 14y – 4)

(ii) 8(a + 1)² + 2(a + 1)(b + 2) – 15(b + 2)²
माना (a + 1) = x तथा (b + 2) = y
= 8x² + 20y – 15y²
= 8x² +(12 – 10)xy – 15y² (∵ 15 × 8 = 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5)
= 8x² + 12xy – 10xy – 15y²
= 4x(2x + 3y) – 5y (2x + 3y) = (2x + 3y)(4x – 5y)
⇒ [2(a + 1) + 3(b + 2)][4(a + 1) – 5(b + 2)]
= [2a + 2+ 3b + 6][4a + 4 – 5b – 10]
= [2a + 3b + 8][4a – 5b – 6]

(iii) 12(x² + 7x)² – 8(x² + 7x)(2x – 1) + (2x – 1)²
माना x² + 7 x = m तथा 2x – 1 = n
12m² – 8mn +n²
= 12m² – (6 + 2)mn + n² (∵ 12 × 1 = 12 = 2 × 2 × 3)
= 12m² – 6mn – 2mn + n²
= 6m(2m – n) – n(2m – n)= (6m – n)(2m – n)
= [6(x² + 7x) – 2x + 1][2(x² + 7x) – 2x + 1]
= (6x² + 42x – 2x + 1)(2x² + 14x – 2x + 1)
= (6x² + 40x + 1)(2x² + 12x + 1)

(iv) 2(y² + 2y)² – 5(y² + 2y) + 3
माना y² + 2y = m
= 2m² – 5m + 3 = 2m² – (2 + 3)m + 3 (∵ 2 × 3 = 6)
= 2m² – 2m – 3m + 3 = 2m(m – 1) – 3(m – 1)
= [(2m – 3)(m – 1)] = [2(y² + 2y) – 3][y² + 2y – 1]
=[2y² + 4y – 3][y² + 2y – 1]

(v) 6(x² + 4x)² – 11(x² + 4x) – 10
माना x² + 4x = m
= 6m² – 11m – 10
= 6m² -(15 – 4)m – 10 (∵ 10 × 6 = 60 = 2 × 2 × 3 × 5)
= 6m² – 15m + 4m – 10 = 3m(2m – 5) + 2(2m – 5)
= (2m – 5)(3m + 2) = [2(x² + 4x) – 5][3(x² + 4x) + 2]
= [2x² + 8x – 5][3x² + 12x + 2]

प्रश्न 19.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए

हलः

प्रश्न 20.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए

हलः

प्रश्न 21.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए

हलः

प्रश्न 22.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 9a³b + 41a²b² + 20ab³
(ii) ax² + (4a² – 3b)x – 12ab
(iii) 25x² + 10xy – 8y²
(iv) 4x² + 20xy + 25y²
हलः
(i) 9a²b + 41a²b² + 20ab³ = ab[9a² + 41ab + 20b²] (∵ 9 × 20 = 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5)
= ab[9a² + (36 + 5)ab + 20b²] = ab[9a² + 36ab + 5ab + 20b²]
= ab[9a(a + 4b) + 5b(a + 4b)] = ab(9a + 5b)(a + 4b)]

(ii) ax² + (4a² – 3b)x – 12ab = ax² + 4a²x – 3bx – 12ab = ax(x + 4a) – 3b(x + 4a)
= (x + 4a)(ax – 3b)

(iii) 25x² + 10xy – 8y² = 25x² + (20 – 10)xy – 8y² (∵ 25 × 8 = 200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5)
= 25x² + 20xy – 10xy – 8y² = 5x(5x + 4y) – 2y(5x + 4y)
= (5x + 4y)(5x – 2y)

(iv) 4x² + 20xy + 25y² = 4x² + (10 + 10)xy + 25y² (∵ 4 × 25 = 100 = 10 × 10)
= 4x² + 10xy + 10xy + 25y² = 2x(2x + 5y) + 5y (2x + 5y)
= (2x + 5y)(2x + 5y)

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.2 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.2 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
बहुपद x⁶ + 5x² + 7 की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x⁶ + 5x² + 7 की घात 6 है क्योंकि बहुपद की सबसे बड़ी घात 6 है।

प्रश्न 2.
बहुपद 3x + 7 की घात क्या है?
हलः
बहुपद 3x + 7 की घात 1 है क्योंकि बहुपद की सबसे बड़ी घात 1 है।

प्रश्न 3.
2 घात का बहुपद बताइए?
हल:
x² + 2x + 1 की घात 2 है।

प्रश्न 4.
बहुपद x²(3x⁴ + 7x – 5) की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
x²(3x⁴ + 7x – 5) = 3x⁶ + 7x³ – 5x² की घात 6 है।

प्रश्न 5.
यदि f(x) की घात = 36 तथा g(x) की घात = 20 तब f(x)+g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद f(x) की घात = 36
बहुपद g(x) की घात = 20
f(x) + g(x) की घात 36 होगी क्योंकि यह घात दोनों में बड़ी घात है।

प्रश्न 6.
यदि f(x) की घात = m तथा g(x) की घात = n, m < n, तब f (x) + g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि बहुपद f(x) की घात m तथा बहुपद g(x) की घात n है। यदि m < n तब f(x) + g(x) की घात n होगी क्योंकि n, m से बड़ी घात है।

प्रश्न 7.
यदि f (x) की घात = m तथा g(x) की घात = n, m > n, तब f(x) + g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि बहुपद f(x) की घात m तथा बहुपद g(x) की घात n है तथा m > n, तब f(x) + g(x) की घात m होगी क्योंकि m, n से बड़ी घात है।

प्रश्न 8.
यदि f(x) = x⁷ – x + 2x² + 1 व g(x) = -x⁷ + x – 2 तब f(x) + g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x⁷ – x⁵ + 2x² + 1, g(x) = -x⁷ + x – 2
∴ f(x) + g(x) = –x⁵ + 2x² + x – 1
इसमें सबसे बड़ी घात 5 है।
∴ f(x) + g(x) की घात 5 होगी।

प्रश्न 9.
दिये गये प्रश्न 8 में f(x) – g(x) की घात क्या है? हलः प्रश्न 8 से F(x) – g(x) = 2x⁷ – x⁵ + 2x² – x + 3
इसमें सबसे बड़ी घात 7 है।
∴ f(x) – g(x) की घात 7 होगी।

Ex 5.2 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 10.
निम्न में से प्रत्येक बहुपद की घात ज्ञात कीजिए
(i) 0 (NCERT Exemplar)
(ii) 7
(iii) x
(iv) x + 7
(v) x² + 2x +7
(vi) 4x³ + [latex]\sqrt{5} x^{2}[/latex] – 2x + [latex]\frac{5}{7}[/latex]
(vii) (x + 5)(4x + 7)
(viii) 6x(x² + 7)
हलः
(i) 0 एक शून्य बहुपद है, इसकी कोई घात नहीं होती।
(ii) 7 एक अचर बहुपद है, इसकी घात शून्य है।
(iii) x में सबसे बड़ी घात 1 है। इसलिए इसकी घात एक है।
(iv) x + 7 में सबसे बड़ी घात 1 है। इसलिए इसकी घात एक है।
(v) x² + 2x + 7 में x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए इसकी घात दो है।
(vi) 4x³ + [latex]\sqrt{5} x^{2}[/latex] – 2x + [latex]\frac{5}{7}[/latex] में x की सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए इसकी घात तीन है।
(vii) (x + 5)(4x + 7) = 4x² + 27x + 35 में x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए इसकी घात दो है।
(viii) 6x(x² +7) = 6x² + 42x में x की सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए इसकी घात तीन है।

प्रश्न 11.
यदि f (x) = 2x² +3x +1 व g(x) = 0 तब f(x).g(x) ज्ञात कीजिए।
हलः
f(x) = 2x² + 3x +1, g(x) = 0
f(x) . g(x) = (2x² + 3x + 1) . 0 = 0

प्रश्न 12.
x² – 4 को x³ – 4 बनाने के लिए क्या जोडें?
हलः
माना x² – 4 में A जोड़ा जाए जिससे योगफल x³ – 4 हो जाए।
∴ x² – 4 + A = x³ – 4
∴ A = x³ – 4 – x² + 4
A = x² – 2

प्रश्न 13.
बहुपद x⁴ + 3x³ + 4x² – 3x – 6 से 3x³ + 4x² – x + 3 प्राप्त करने के लिए क्या घटायें।
हलः
माना x⁴ + 3x³ + 4x² – 3x – 6 में से A घटाया जाए, जिससे शेषफल 3x³ + 4x² – x + 3 प्राप्त हो जाए।
x⁴ + 3x³ + 4x² – 3x – 6 – A = 3x³ + 4x² – x +3
-A = 3x³ + 4x² – x + 3 – x⁴ – 3x³ – 4x² + 3x + 6
-A = -x⁴ + 2x + 9
∴ A = x⁴ – 2x – 9
∴ x⁴ – 2x – 9 घटाया जाएगा।

Ex 5.2 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 14.
बहुपद x⁴ – x² + x + 2 से x² + x + 4 प्राप्त करने के लिये क्या जोडें?
हलः
माना x⁴ – x² + x + 2 में A जोड़ा जाए जिससे x² + x + 4 प्राप्त हो जाए।
x⁴ – x² + x + 2 + A = x² + x +4
∴ A = x² + x + 4 – x⁴ + x² – x – 2 = -x⁴ + 2x² + 2

प्रश्न 15.
7x³ + x² – 3x + 4 प्राप्त करने के लिये बहुपद 8x³ – 3x² + 5x – 9 में क्या जोडें?
हलः
माना 8x³ – 3x² + 5x – 9 में A जोड़ा जाए जिससे 7x³ + x² – 3x + 4 प्राप्त हो जाए।
8x³ – 3x² + 5x – 9 + A.= 7x³ + x² – 3x +4
∴ A = 7x³ + x² – 3x + 4 – 8x³ + 3x² – 5x + 9
= -x³ + 4x² – 8x + 13

प्रश्न 16.
x³ – 7x² + 5 प्राप्त करने के लिये बहुपद x⁴ – x² + 2x + 3 में क्या जोडें?
हलः
माना x⁴ – x² + 2x + 3 में A जोड़ा जाए जिससे x³ – 7x² + 5 प्राप्त हो जाए।
x⁴ – x² + 2x + 3 + A = x – 7x² + 5
∴ A = x³ – 7x² + 5 – x⁴ + x² – 2x – 3
= -x⁴ + x³ – 6x² – 2x + 2

प्रश्न 17.
-x² + 3x³ – 2x + 4 प्राप्त करने के लिये बहुपद x² – 3x³ + 2x – 4 में से क्या घटायें?
हलः
माना x² – 3x³ + 2x – 4 में से A घटाया जाए जिससे –x² + 3x³ – 2x + 4 प्राप्त हो।
x² – 3x³ + 2x – 4 – A = -x² + 3x³ – 2x + 4
∴ x² – 3x³ + 2x – 4 + x² – 3x³ + 2x – 4 = A
-6x³ + 2x² + 4x – 8 = A

प्रश्न 18.
संख्या 2 प्राप्त करने के लिये बहपदं x³ – 3x² + 2x – 1 से क्या घटायें?
हलः
माना x³ – 3x² + 2x – 1 में से A घटाया जाए जिससे शेषफल 2 प्राप्त हो।
x³ – 3x² + 2x – 1 – A = 2
x³ – 3x² + 2x – 1 – 2 = A
x³ – 3x² + 2x – 3 = A

प्रश्न 19.
संख्या 1 प्राप्त करने के लिये बहुपद x³ – 2x² + 4x + 1 से क्या घटायें?
हलः
माना x³ – 2x² + 4x + 1 में से A घटाया जाए जिससे शेषफल 1 प्राप्त हो।
x³ – 2x² + 4x + 1 – A = 1
x³ – 2x² + 4x + 1 – 1 = A
x³ – 2x² + 4x = A

प्रश्न 20.
बहुपद x⁴ – 3x³ + 2x + 6 व x⁴ – 3x² + 6x + 2 के योग मे से x³ – 3x + 4 घटाइये।
हलः
योगफल = x⁴ – 3x³ + 2x + 6 + x⁴ – 3x² + 6x + 2 = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 8x + 8
अन्तर = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 8x + 8 – (x³ – 3x + 4)
= 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 8x + 8 – x³ + 3x – 4 = 2x⁴ – 4x³ – 3x² + 11x + 4

प्रश्न 21.
बहुपद x² – 3x³ + 2x + 5 व 2x⁴ – 3x³ + 9x +12 के योग में से 5x³ – 3x² + 8 घटाइये।
हलः
योगफल = x⁴ – 3x³ + 2x + 5 + 2x⁴ – 3x³ + 9x + 12 = 3x⁴ – 6x³ + 11x + 17
अन्तर = 3x⁴ – 6x + 11x + 17 – (5x³ – 3x² + 8) = 3x⁴ – 6x³ + 11x + 17 – 5x³ + 3x² – 8
= 3x⁴ – 11x³ + 3x² + 11x + 9

प्रश्न 22.
यदि p(x) = x³ – x² + 2 तथा g(x) = x +1 तब p(x) + g(x) तथा p(x) – g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) p(x) = x³ – x² + 2 तथा g(x) = x +1
p(x) + g(x) = x³ – x² + 2 + x + 1 = x³ – x² + x + 3
p(x) + g(x) की घात 3 है।।

(ii) p(x) – g(x) = x³ – x² + 2 – x – 1 = x³ – x² – x +1
p(x) – g(x) की घात 3 है।

प्रश्न 23.
निम्न बहुपद युग्मों का योग ज्ञात कीजिए।
(i) 3x² + 5x – 2 ; -3x² – 5x + 6
(ii) 3x² -7x + 5; 6x³; + 5x – 7
(iii) x² + x – 7; x³ + x² + 3x + 4
(iv) x³ – 5x² + x + 2; x³ – 3x² + 2x + 1
(v) x⁶ – 3x⁴; x⁴ + x³ + 2x² – 6
हलः
(i) योगफल = (3x² + 5x – 2) + (-3x² – 5x + 6) = 4
(ii) योगफल = (3x² – 7x + 5) + (6x³ + 5x – 7) = 6x³ + 3x² – 2x – 2
(iii) योगफल = (x² + x -7) + (x³ + x² + 3x + 4) = x³ + 2x² + 4x – 3
(iv) योगफल = (x³ – 5x² + x + 2) + (x³ – 3x² + 2x + 1) = 2x³ – 8x² + 3x + 3
(v) योगफल = (x⁶ – 3x⁴) + (x⁴ + x³ + 2x² – 6) = x⁶ – 2x⁴ + x³ + 2x² – 6

प्रश्न 24.
निम्न में पहले बहुपद में से दूसरा बहुपद घटाइये।
(i) x³ + x + 1; 1 – x – x²
(ii) 6x³ +5x² + 4x – 3; 4x³ – 2x² + 7x – 1
(iii) x³ + x² + x + 1; x³ – x² + x – 1
(iv) x⁴ – 3x³ + 2x + 6; x⁴ – 3x³ – 6x + 2
(v) 3x⁷ – 2x² + 3; x⁶ – 3x⁴ + x² + x
हल:
(i) अन्तर = (x³ + x + 1) – (1 – x – x²) = x³ + x + 1 – 1 + x + x² = x³ + x² + 2x
= x(x² + x + 2)

(ii) अन्तर = 6x³ + 5x² + 4x – 3 – (4x³ – 2x² + 7x – 1)
= 6x³ + 5x² + 4x – 3 – 4x³ + 2x² – 7x + 1 = 2x³ + 7x² – 3x – 2

(iii) अन्तर = (x³ + x² + x + 1) – (x³ – x² + x – 1) = x³ + x² + x + 1 – x³ + x² – x + 1
= 2x² +2

(iv) अन्तर = (x⁴ – 3x³ + 2x + 6) – (x⁴ – 3x³ – 6x + 2)
= x⁴ – 3x³ + 2x + 6 – x⁴ + 3x³ + 6x – 2 = 8x + 4

(v) अन्तर = (3x⁷ – 2x² + 3) – (x⁶ – 3x⁴ + x² + x)
= 3x⁷ – 2x² + 3 – x + 3x⁴ – x² – x = 3x⁷ – x⁶ + 3x⁴ – 3x² – x + 3

प्रश्न 25.
निम्न बहुपदों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(i) x² – 4x + 4; x – 2
(ii) x² + 3x + 2; x² + 3x +1
(iii) 3x³ + x² + x; x + 2
(iv) 3x + 2; x² + x + 1
हल:
(i) गुणनफल = (x² – 4x + 4)(x – 2) = x³ – 2x² – 4x² + 8x + 4x – 8 = x³ – 6x² + 12x – 8

(ii) गुणनफल = (x² + 3x + 2)(x² + 3x + 1)
= x⁴ + 3x³ + x² + 3x³ + 9x² + 3x + 2x² + 6x + 2
= x⁴ + 6x³ + 12x² + 9x + 2

(iii) गुणनफल = (3x³ + x² + x)(x + 2) = 3x⁴ + 6x³ + x³ + 2x² + x² + 2x
=3x⁴ + 7x³ + 3x² + 2x

(iv) गुणनफल = (3x + 2)(x² + x + 1) = 3x³ + 3x² + 3x + 2x² + 2x + 2
= 3x³ +5x² + 5x + 2

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 18 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder Ex 18.1 घन, घनाभ तथा लम्बवृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

Ex 18.1 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
एक छड़ की अधिकतम लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसे 10 मीx 8 मीx 6 मी विमा वाले एक कमरे में रखा जा सकता है।
हलः
छड़ की अधिकतम लम्बाई = घनाभ का विकर्ण

प्रश्न 2.
यदि एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा गहराई का योग 19 सेमी है तथा इसका विकर्ण 515 है तब इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 3.
यदि ऊँचाई h तथा त्रिज्या r वाले एक ठोस लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, इसके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का [latex]\frac{1}{3}[/latex] है तब h ज्ञात कीजिए।
हलः
लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h +r)

प्रश्न 4.
एक बेलन में, त्रिज्या दोगुनी है तथा ऊँचाई आधी है तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगाः
(a) समान
(b) आधा
(c) दोगुना
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
त्रिज्या दो गुनी तथा ऊँचाई आधी करने पर

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल समान रहेगा।

प्रश्न 5.
एक घनाभ 12 सेमी लम्बा, 9 सेमी चौड़ा तथा 8 सेमी ऊँचा है इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घनाभ की 1 = 12 सेमी,
b = 9 सेमी,
h = 8 सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(12 × 9 + 9 × 8 + 8 × 12)
= 2(108 + 72 + 96) = 2(276) = 552 सेमी²

प्रश्न 6.
यदि एक घन के एक विकर्ण की लम्बाई 813 सेमी है तब इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 7.
तीन बराबर घन, एक आसन्नीय क्रम में रखे गये हैं तब घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से तीनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
तीन घनों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 6a² = 18a²
बने घनाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(b + bh + hl)
(l = 3a, b = a, h = a)
= 2[3a² + a² + 3a²] = 14a²
अनुपात = 14a² : 18a² = 7 : 9

Ex 18.1 Surface Area and Volume of a Cube, Cuboid and Right Circular Cylinder लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 8.
एक घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1300 सेमी है। यदि इसकी चौड़ाई 10 सेमी है तथा ऊँचाई 20 सेमी है तो इसकी लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
तीन घनों जिनमें प्रत्येक की भुजा 4 सेमी है की बाह्य सतहों को आपस में जोड़ दिया गया है तो प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हलः
तीन घनों को आपस में जोड़ने पर प्राप्त घनाभ की लम्बाई
l = 4 + 4 + 4 = 12 सेमी
b = 4 सेमी
h = 4 सेमी
अतः घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(12 × 4 + 4 × 4 + 4 × 12)
= 2(48 + 16 + 48) = 2 × 112 = 224 सेमी²

प्रश्न 10.
एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 372 सेमी है तथा इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 180 सेमी है। इसके आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 (आधार का क्षेत्रफल)
372 = 180 + 2 (आधार का क्षेत्रफल)
372 – 180 = 2 (आधार का क्षेत्रफल)
192 = 2 × आधार का क्षेत्रफल

प्रश्न 11.
8 सेमी भुजा वाले एक घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घन की भुजा = 8 सेमी
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (भुजा)² = 4 × (8)²
= 4 × 64 = 256 सेमी²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)² = 6 × (8)²
= 6 × 64 = 384 सेमी²

प्रश्न 12.
यदि एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 15 सेमी, 10 सेमी तथा 20 सेमी है तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [NCERT]
हलः
घनाभ की 1 = 15 सेमी,
b = 10 सेमी
h = 20 सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(15 × 10 + 10 × 20 – 20 × 15)
= 2(150 – 200 – 300)
= 2(650) = 1300 सेमी²

प्रश्न 13.
एक आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मी है तथा ऊँचाई 6 मी है। चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
हाँल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2(l + b) × h
= परिमाप × ऊँचाई = 250 × 6 = 1500 मी²

प्रश्न 14.
24 सेमी × 12 सेमी × 5 सेमी आकार के एक डिब्बे को बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
डिब्बे का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(24 × 12 + 12 × 5 + 5 × 24) = 2(288+ 60 + 120)
= 2(468) = 936 सेमी²

प्रश्न 15.
एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और गहराई का योग 19 सेमी है तथा इसके विकर्ण की लम्बाई 11 सेमी है। घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 16.
एक घनाभ की विमाएँ 1 : 2 :3 के अनुपात में हैं तथा इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 मी2 है। विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 17.
तीन घनों जिनमें प्रत्येक की भुजा 5 सेमी है की बाह्य सतहों को आपस में जोड़ दिया गया है। परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घनों को जोडने पर प्राप्त घनाभ की लम्बाई l = 5 + 5 + 5
= 15 सेमी, b = 5 सेमी, h = 5 सेमी
परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(15 × 5+ 5 × 5 – 5 × 15)
= 2(75 + 25 + 75) = 2 × 175 = 350 सेमी²

प्रश्न 18.
एक आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मी है। इसकी ऊँचाई 6 मी है। ₹ 6 प्रति मीटर की दर से इसकी चारों दीवारों पर पुताई कराने का खर्च ज्ञात कीजिए।
हॉल की चारो दीवारो का क्षेत्रफल = 2(l + b) × h
= परिमाप × ऊँचाई
= 250 × 6 = 1500 मी²
कुल खर्च = 1500 × 6 =₹9000

प्रश्न 19.
एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 40 मी2 है तथा इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 26 मी2 है। इसके आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल
40 = 26 + 2 × आधार का क्षेत्रफल
40 – 26 = 2 × आधार का क्षेत्रफल
14 = 2 × आधार का क्षेत्रफल

∴ आधार का क्षेत्रफल = 7 मी²

प्रश्न 20.
एक शीतगृह की लम्बाई, इसकी चौड़ाई की दोगुनी है। इसकी ऊँचाई 3 मी है। इसकी चारों दीवारों (दरवाजों सहित) का क्षेत्रफल 108 मी2 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
l = 2b … (1)
h = 3 …(2)
चारो दीवारो का क्षेत्रफल = 2(l + b) × h

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.1 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.1 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
निम्न में से कौन बहुपद नही है?
(a) x² + 3x + 5
(b) x² +6x
(c) [latex]\sqrt{x}[/latex] +5x
(d) x + 5
हलः
(c) [latex]\sqrt{x}+5 x=x^{\frac{1}{2}}+5 x[/latex] एक बहुपद नहीं है। क्योंकि x^1/2 में x की घात [latex]\frac{1}{2}[/latex] है जो ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न में से कौन बहुपद नही है?
(a) x⁵ + 3x + 5
(b) 7

(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

एक बहपद नहीं है।
क्योंकि x की प्रत्येक घात ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न में से कौन एकपदीय बहुपद है?
(a) x² + 5x
(b) 5x
(c) x + 5
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(b) 5x एकपदीय बहुपद है क्योंकि इसमें एक पद है।

प्रश्न 4.
निम्न में से कौन एकपदीय बहुपद है?
(a) x² + 4x +5
(b) x² + 5x
(c) 4x⁵
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(c) 4x⁵ एकपदी बहुपद है क्योंकि इसमें एक पद है।

प्रश्न 5.
निम्न में से कौन द्विपदीय बहुपद है?
(a) x² + 5
(b) x² + 5x
(c) x³ + x
(d) सभी सत्य है।
हलः
(d) x² + 5, x² + 5x तथा x² + x तीनों द्विपदी बहुपद है क्योंकि इनमें दो पद है।

प्रश्न 6.
निम्न में से कौन त्रिपद बहुपद है?
(a) x³ + 3x²
(b) x² + x + 5
(c) x³ + 7x
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(b) x² + x + 5 त्रिपदी बहुपद है क्योंकि इसमें तीन पद है।

प्रश्न 7.
बहुपद. 2x³ + 6 + x² – x + 6x का आरोही क्रम क्या है?
(a) 6 + 6x + x² + 2x³ – x⁵
(b) x² + 6 + 6x + 2x³ – x⁵
(c) (a) व (b) दोनों सत्य है
(d) इनमें से कोई नहीं .
हलः
(a) बहुपद 6 + 6x + x² + 2x³ – x⁵ आरोही क्रम में है। क्योंकि इसमें x को बढ़ती घात के क्रम में रखा गया है।

प्रश्न 8.
बहुपद x³ – x + x² – [latex]2 \sqrt{2}[/latex] का अवरोही क्रम क्या है? .
(a) x³ + x² – x – [latex]2 \sqrt{2}[/latex]
(b) [latex]-2 \sqrt{2}[/latex] – x + x² + x³
(c) (a) व (b) दोनों सत्य है।
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) बहुपद x³ + x² –x – [latex]2 \sqrt{2}[/latex] अवरोही क्रम में है क्योंकि इसमें x को घटती घात के क्रम में रखा गया है।

प्रश्न 9.
एक बहुपद जिसके प्रत्येक पद का गुणांक शून्य हो वह कहलाता है?
(a) अचर बहुपद
(b) शून्य बहुपद
(c) (a) व (b) दोनों सत्य है
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(b) शून्य बहुपद, क्योंकि इसके सभी पदों के गुणांक शून्य होते है।

प्रश्न 10.
एक बहुपद में जाँचिये, क्या एक बहुपद में चर की घात ऋणात्मक नहीं होती?
हलः
बहुपद में किसी चर की घात ऋणात्मक नहीं हो सकती है।

प्रश्न 11.
एक बहुपद जिसमें केवल वास्तविक संख्या का एक पद होता है, उस बहुपद का नाम बताइये।
हलः
अचर बहुपद, क्योंकि अचर बहुपद में वास्तविक संख्या का एक ही पद होता है।

Ex 5.1 Polynomial and their Factors लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 12.
निम्न व्यंजकों में से कौन बहुपद है?
(i) 2x² + 5x + 6
(ii) x² + 6x
(iii) [latex]\sqrt{2} x^{2}+\sqrt{3} x[/latex]
(iv) [latex]\mathbf{2} x+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}^{2}}[/latex]
(v) x² + [latex]\sqrt{2 x}[/latex] + 6
हलः
(i) 2x² + 5x + 6 एक बहुपद है।
(ii) x² + 6x एक बहुपद है।।
(iii) [latex]\sqrt{2} x^{2}+\sqrt{3} x[/latex] एक बहुपद है।
(iv) [latex]\mathbf{2} x+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}^{2}}[/latex]= 2x + x² एक बहुपद नहीं है क्योंकि x की सभी घात ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।
(v) x² + [latex]\sqrt{2 x}[/latex] + 6 = x² + [latex]\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}[/latex] + 6 एक बहुपद नहीं है क्योंकि x की सभी घात ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 13.
निम्न व्यंजको में से एकपदी, द्विपदी व त्रिपदी ज्ञात कीजिए।
(1) 6x² +5
(ii) 6x
(iii) x³ + 3x² + 1
(iv) x³ + 6x² + 5x
(v) x² + 1
हल:
(i) 6x² + 5 द्विपदी बहुपद है क्योंकि इसमें दो पद है।
(ii) 6x एकपदी बहुपद है क्योंकि इसमें एक पद है।
(iii) x³ + 3x² + 1 त्रिपदी बहुपद है क्योंकि इसमें तीन पद है।
(iv) x³ + 6x² + 5x त्रिपदी बहुपद है क्योंकि इसमें तीन पद है।
(v) x² +1 द्विपदी बहुपद है क्योंकि इसमें दो पद है।

प्रश्न 14.
निम्न बहुपदों को उनके मानक रूप में लिखिये।
(i) x⁶ – 3x⁴ + [latex]\sqrt{2} x[/latex] + 5x² – 2x⁵ + 4
(ii) x⁷ – 3x⁵ + [latex]\sqrt{2} x+\frac{4}{3} x^{2}[/latex] – 2x⁶ + 4
(iii) 2x³ + 3 + x² – 3x⁵ – x
(iv) 1 + x³ – 2x² – 7x⁵
हलः
(i) x को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
x⁶ – 3x⁴ + [latex]\sqrt{2} x[/latex] + 5x² – 2x⁵ + 4
x को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप .
4 + [latex]\sqrt{2} x[/latex] + 5x² – 3x⁴ – 2x⁵ + x⁶

(ii) x को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
x⁷ – 2x⁶ – 3x⁵ + [latex]\frac{4}{3} x^{2}+\sqrt{2} x[/latex] +4
x को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
4 + [latex]\sqrt{2} x+\frac{4}{3} x^{2}[/latex] – 3x⁵ – 2x⁶ + x⁷

(iii) x को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
-3x⁵ + 2x³ + x² – x + 3
x को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
3 – x + x² + 2x³ – 3x⁵

(iv) x को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
-7x⁵ + x³ – 2x² + 1
x को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
1 – 2x² + x³ – 7x⁵

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 16 Constructions Ex 16.1 रचनाऐं

प्रश्न 1.
एक ∆ ABC बनायें, जिसका आधार BC = 4 सेमी, ∠B = 60° तथा AB – AC = 1 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 4 सेमी की रेखा खींची तथा बिन्दु B पर एक कोण 60° का बनाया।
चरण 2 : इस 60° के कोण वाली रेखा पर 1 सेमी पर चाप D लगाया।
चरण 3 : बिन्दु D को C से मिलाकर DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो रेखा को A पर काटता है। A को C से मिलाया।

∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज PQR बनाये, जिसमें आधार QR = 4 सेमी, ∠R = 30° तथा PR – PQ = 1.1 सेमी है।
हलः

रचनाः
चरण 1: QR, 4 सेमी की रेखा खींची तथा ∠R, 30° का कोण बनाती हुई रेखा खींची।
चरण 2 : बिन्दु R से एक चाप लगाया जो 30° वाली रेखा को पीछे बढ़ाने पर बिन्दु D पर काटता है। QD को मिलाया। चरण 3 : QD का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो रेखा को P पर काटता है, PQ को मिलाया। ∆ PQR ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
एक ∆ ABC बनायें, जिसमें आधार BC = 4.5 सेमी, ∠B = 60° तथा AB + AC = 7 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 4.5 सेमी की एक रेखा खींची। उसके ∠B पर 60° का कोण बनाया।
चरण 2: 60° के कोण वाली रेखा से 7 सेमी की रेखा BD काटी तथा DC को मिलाया।
चरण 3 : भुजा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BD को बिन्दु A पर काटता है, AC को मिलाया।

इस प्रकार ∆ ABC ही अभीष्ट A है।

प्रश्न 4.
एक ∆ ABC बनाये, जिसमें ∠B = 45%, ∠C = 60° तथा शीर्ष A से आधार BC पर लम्ब 4.5 सेमी का
है।
हलः
रचनाः
चरण 1: AD, 4.5 सेमी की एक रेखा खींची। उसके बिन्दु A पर 30° का कोण ऊपर तथा 45° का कोण
नीचे की ओर बनाया।
चरण 2 : बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा खींची जो उपर बिन्दु C तथा नीचे बिन्दु B पर काटती है।
अत: ∆ ABC ही अभीष्ट ∆ है।

प्रश्न 5.
एक ∆ ABC बनाइए यदि इसका परिमाप 11 सेमी तथा आधार कोण 75° तथा 30° के है।
हलः
रचनाः
चरण 1: PQ, 11 सेमी की एक रेखा खींची। उसके बिन्दु P तथा Q पर क्रमशः 75° व 30° के कोण बनाये।
चरण 2 : ∠P व ∠Q के समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 3 : AP तथा AQ के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो आधार PQ को क्रमशः B व C पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 4: A को B तथा A को C से मिलाया।

∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 6.
एक ∆ ABC बनाये जिसका परिमाप 14 सेमी है तथा भुजाएं 2 : 3 : 4 के अनुपात में है।
हलः
रचना: ∆ ABC में परिमाप = 14 सेमी
माना AB = 2x,
BC = 3x,
AC = 4x
2x + 3x + 4x = 14
9x = 14

चरण 1: BC, 4.7 सेमी की एक रेखा खींची।
चरण 2: उसके बिन्दु B व C को केन्द्र मानकर क्रमशः 3.1 सेमी व 6.2 सेमी लम्बाई के चाप लगाये जो परस्पर A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 3 : A को B से तथा A को C से मिलाया।
अत: ∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए यदि इसकी ऊँचाई 5 सेमी है।
हलः
रचना :
चरण 1: PQ, एक रेखा खींची। उसके किसी बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई एक रेखा DE खींची।
चरण 2 : रेखा DE से DA, 5 सेमी की रेखा काटी।
चरण 3 : रेखा DE के बिन्दु A पर दोनों ओर 30° के कोण बनाये जो आधार PQ को क्रमश: B व C पर
काटते हैं।

अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 8.
एक समकोण A बनाये जब एक भुजा 3.5 सेमी तथा कर्ण व अन्य दो भुजाओं का योग 5.5 सेमी है। (NCERT Exemplar)
हलः
रचना :
चरण 1: BC, 3.5 सेमी की एक रेखा खींची। उसके किसी बिन्दु B पर 90° का कोण बनाती हुई 5.5 सेमी
की एक रेखा BD खींची।
चरण 2: बिन्दु D को C से मिलाया। तथा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा, जो BD को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद
करता है।
चरण 3 : A को C से मिलाया।

अत: ∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज ABC बनायें जिसमें BC = 4 सेमी, ∠B = 75° तथा माध्यिका 3.2 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 4 सेमी की एक रेखा खींची। उसके किसी बिन्दु B पर 75° का कोण बनाती हुई एक रेखा खींची।
चरण 2 : बिन्दु BC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BC को बिन्दु M पर काटता है।
चरण 3: बिन्दु M को केन्द्र मानकर 75° के कोण वाली रेखा पर एक चाप । काटा जो उसे A पर काटता है। A को C से मिलाया।

अत: ∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज हैं।

प्रश्न 10.
एक ∆ABC बनाये जिसमें आधार BC = 5.4 सेमी, A शीर्षलम्ब 2.6 सेमी है तथा AB को समद्विभाग करने वाली माध्यिका 3.5 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 5.4सेमी की एक रेखा खींची। उसके बिन्दु B पर नीचे की ओर 30° का कोण बनाया तथा उस रेखा पर 90° का कोण बनाती हुई एक रेखा खींची।
चरण 2: BC रेखा का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो उसे M पर काटता है तथा 90° वाली रेखा को O पर काटता है।
चरण 3: बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर BO दूरी परकार में लेकर एक वृत्तखण्ड खींचा। बिन्दु M को केन्द्र मानकर माध्यिका 3.5 सेमी से दो चाप लगाये जो वृत्तखण्ड को A व A’ पर काटते हैं।
चरण 4: A को B से तथा A को C से मिलाया। A’ को B तथा C से मिलया। अत: ∆ ABC तथा A’BC दो अभीष्ट त्रिभुज है। इस प्रकार ABC तथा A’BC दो त्रिभुज सम्भव है।

प्रश्न 11.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें आधार AB = 3.8 सेमी, AD = DC = 3.2 सेमी, BD = 4.1 सेमी तथा BC = 2.2 सेमी है। अब चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का एक त्रिभुज DAE बनायें।
हलः
रचनाः
चरण 1: AB, 3.8 सेमी की रेखा खींची। A का केन्द्र मानकर 3.2 सेमी से एक चाप तथा बिन्दु B को केन्द्र मानकर 4.1 सेमी से एक चाप लगाया जो परस्पर D पर काटता है।
चरण 2: बिन्दु D से 3.2 सेमी का एक चाप तथा 2.2 सेमी का एक चाप लगाया जो परस्पर C पर काटते हैं।
चरण 3 : BD, DC तथा BC को मिलाया। इस प्रकार ABCD एक चतुर्भुज है।
चरण 4: AB को आगे बढ़ाया तथा बिन्दु C से DB||CE खींची, फिर D को E से मिलाया।
अत: ∆DAE ही अभीष्ट त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल, चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर है।

प्रश्न 12.
एक चतुर्भुज PQRS बनायें जिसमें PQ = 3.5 सेमी, QR = 6.2 सेमी, ∠P = 60°, ∠Q=105° तथा
∠S = 75° है। इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का एक त्रिभुज बनायें।
हलः

चतुर्भुज का ∠R = 360° – (60° + 105° + 75°)
= 360° – 240° = 120°
रचनाः
चरण 1: PQ, 3.5 सेमी की रेखा खींची। बिन्दु P पर 60° तथा Q पर 105° का कोण बनाती हुई QR, 6.2 सेमी खींची।
चरण 2: QR के बिन्दु R पर 120° का कोण बनाती हुई रेखा खींची जो S पर काटती है। PQRS ही अभीष्ट चतुर्भुज है।
चरण 3 : PQ को आगे तक बढ़ाया तथा R से RT || SQ खींची। S को T से मिलाया।
इस प्रकार ∆ SPT ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 13.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 5.2 सेमी, BC = 6.4 सेमी, CD = 7.2 सेमी, ∠B = ∠C = 90° है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 6.4 सेमी की रेखा खींची।
चरण 2: उसके बिन्दु B व C पर 90° के कोण बनाती हुई रेखायें क्रमश: AB = 5.2 तथा CD = 7.2 सेमी खींची ।
चरण 3: A को D से मिलाया
इस प्रकार ABCD एक अभीष्ट चतुर्भुज होगा।

प्रश्न 14.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 5.4 सेमी, BC = 6 सेमी, AD = 4 सेमी, विकर्ण BD = 8.6
सेमी तथा विकर्ण AC = 10 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC = 6 सेमी खींची, उसके बिन्दु B पर 5.4 सेमी का चाप लगाया तथा बिन्दु C पर 10 सेमी का चाप लगाया जो एक दूसरे को A पर काटते है। A को B तथा C से मिलाया।
चरण 2: बिन्दु A को केन्द्र मानकर 4 सेमी की दूरी से एक चाप तथा B को केन्द्र मानकर 8.6 सेमी की दूरी पर एक चाप लगाया जो । परस्पर D पर काटते हैं।

चरण 3 : A को D से तथा C को D से मिलाया।
अत: ABCD एक अभीष्ट चर्तुभुज है।

प्रश्न 15.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 3.5 सेमी, BC = 2.5 सेमी, CD =4 सेमी, ∠B =60° तथा
∠C = 135°। इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का एक त्रिभुज बनायें।
हलः
रचनाः
चरण 1: AB = 3.5 सेमी की रेखा खींची। उसके बिन्दु B पर 60° का कोण बनाती हुई रेखा 2.5 सेमी की
खींची।
चरण 2: बिन्दु C पर 135° का कोण बनाती हुई एक रेखा CD 4 सेमी की खींची। A को D से मिलाया।
चरण 3: BD को मिलाया तथा AB को आगे बिन्दु E तक बढ़ाया तथा बिन्दु C से BD के समान्तर CE रेखा
खींची। बिन्दु D को E से मिलाया।
अत: ∆DAE ही ऐसा अभीष्ट त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल दिये गये चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

प्रश्न 16.
एक आयत ABCD इस प्रकार खींचे कि AB = 6 सेमी तथा BC = 3.5 सेमी, तब दिये गये आयत के क्षेत्रफल में बराबर, आधार AB पर एक त्रिभुज बनायें।
हलः
रचनाः
चरण 1: AB = 6 सेमी की रेखा खींची। बिन्दु A पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा AD = 3.5 सेमी खींची।
चरण 2: बिन्दु B से 3.5 सेमी की रेखा से एक चाप तथा बिन्दु D को केन्द्र मानकर 6 सेमी दूरी से एक चाप
लगाया जो परस्पर C पर काटते है। D को C से तथा B को C से मिलाया।
चरण 3 : AC के समान्तर बिन्दु B पर BE रेखा खींची। बिन्दु A को बिन्दु E से मिलाया।

अत: ∆ ABE ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 17.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 6 सेमी, BC =5 सेमी, AC = 8 सेमी, ∠DAC = 30° तथा D,
AC से 2 सेमी की दूरी पर है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 5 सेमी की रेखा खींची। B पर 6 सेमी से तथा C पर 8 सेमी से चाप लगाये।
चरण 2: बिन्दु A पर 30° का कोण बनाती हुई रेखा खींची तथा AC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो AC
को बिन्दु M पर काटता है।
चरण 3: बिन्दु M से 2 सेमी लम्बाई से एक चाप घुमाया जो 30° वाली रेखा को बिन्दु D पर काटती है।
अब D को C से मिलाया।
अतः चतुर्भुज ABCD ही अभीष्ट चतुर्भुज है।

Ex 16.1 Constructions बहु विकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक परकार एवं एक पैमाने की सहायता से, किस एक कोण का बनाना संभव है-
(a) 37.5°
(b) 35°
(c) 40°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
37.5°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज को बनाना संभव है जब इसके दो कोण है-
(a) 90° और 100°
(b) 60° और 45°
(c) 90° और 110°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में 60° व 45° ऐसे दो कोण हैं, जिनका योग 180° से कम है। अत: इस स्थिति में एक त्रिभुज
बनाना सम्भव है।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज को बनाना संभव नहीं है जब इसके दो कोण है-
(a) 105° और 90°
(b) 90° और 45°
(c) 45° और 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में में 1050 और 90° ऐसे दो कोण हैं, जिनका योग 180° से अधिक है। अतः इस स्थिति में
एक त्रिभुज को बनाना सम्भव नहीं है।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 4.
∆ABC को बनाना, जब BC = 6 सेमी, ∠B = 45° संभव नहीं है जब AB और AC का अन्तर निम्न में से किसके बराबर है। (NCERT Exemplar)
(a) 5.9 सेमी
(b) 6.9 सेमी
(c) 5.0 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
6.9 सेमी। क्योंकि A की दो भुजाओं का अन्तर, किसी एक भुजा से अधिक नहीं होना चाहिए।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 5.
एक परकार एवं एक पैमाने की सहायता से, इस एक कोण का बनाना संभव नहीं है (NCERT Exemplar)
(a) 40°
(b) 37.5°
(c) 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
40°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
एक ∆ABC को बनायें जब BC = 3 सेमी, ∠C=60° संभव है जब AB और AC का अन्तर बराबर (NCERT Exemplar)
(a) 3.2 सेमी
(b) 2.8 सेमी
(c) 3.1 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
2.8 सेमी
∵ कोई ∆ सम्भव होगा यदि ∆ की दो भुजाओं की लम्बाइयों का अन्तर सदैव तीसरी भुजा से कम हो।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 7.
एक ∆ABC को बनायें जब AB = 6.5 सेमी, ∠B = 45° संभव नहीं है जब BC + CA =
(a) 6 सेमी
(b) 8 सेमी
(c) 8.5 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
6 सेमी
∵ ∆ABC सम्भव नहीं होगा, यदि दो भुजाओं का योगफल, तीसरी भुजा से कम है।
अतः विकल्प (a) सही है।

Ex 16.1 Constructions  स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित मापन के कोण बनाइये:
(i) 30°
(ii) 15°
(iii) [latex]22 \frac{1}{2} \circ[/latex] (NCERT)
हलः
रचनाः
(i) AB एक रेखा खींची। बिन्दु A पर एक चाप लगाया। उसी दूरी से उस चाप को काटा। यह 60° का
कोण बनता है। इस कोण का अर्द्धक खींचा। अत: ∠MAB, 30° का कोण बनता है।
(ii) 30° के कोण का समद्विभाजक खींचने पर 15° का कोण बनता है।
(iii) 45° के कोण का समद्विभाजक ही [latex]22 \frac{1}{2} \circ[/latex] का कोण बनाता है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित कोणों को बनाये तथा उनकी मापकर जाँच भी कीजिए। (NCERT)
(i) 75°
(ii) 105°
(iii) 135°
हलः
रचनाः
(i) AB रेखा खींची। उस पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा खींची। 90° के कोण तथा 60° के बीच बनने वाला कोण समद्विभाजक खींचा, जो 75° का कोण है।
(ii) 90° व 120° के बीच का कोण का समद्विभाजक कोण ही 105° का कोण होगा।
(iii) 120° व 150° के बीच का कोण का समद्विभाजक कोण ही 135° का कोण होगा।

प्रश्न 3.
दी गयी भुजा का एक समबाहु त्रिभुज बनायें तथा रचना के औचित्य की जाँच कीजिए। (NCERT)
हलः
रचनाः
चरण 1. BC, 4 सेमी खींची। उसके बिन्दु B तथा C से 4 सेमी की दूरी लेकर चाप लगाये।
चरण 2. ये चाप परस्पर A पर काटते है। A को B तथा C से मिलाया। अत: ∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक समचतुर्भुज बनाये जिसकी भुजा की लम्बाई 3.4 सेमी है तथा इसका एक कोण 45° का है।
हलः
रचना
चरण 1. सर्वप्रथम BC = 3.4 cm खींची, उसेक बिन्दु B तथा C पर 45° का कोण बनाती हुई रेखायें BA
तथा CD खींची।
चरण 2. A को D से मिलाया। अत: ABCD ही अभीष्ट समचतुर्भुज है।

प्रश्न 5.
एक ∆ABC बनायें जिसमें BC =5 सेमी, LB = 60° तथा AB+ AC = 7.5 सेमी है।
हलः
रचना
चरण 1. BC = 5 सेमी खींची, उसेक बिन्दु B पर 60° का कोण बनाती हुई
एक 7.5 सेमी की BD रेखा खींची।
चरण 2. D को C से मिलाया। तथा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा। जो BD को A पर काटता है।
चरण 3. A को C से मिलाया। अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 6.
एक समबाहु A बनायें यदि इसकी ऊँचाई 6 सेमी है तथा रचना के औचित्य की जाँच कीजिए।
हलः
रचना
चरण 1. एक रेखा खींची, उसके किसी बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा DE खींची।
चरण 2. DE से 6 सेमी का AD रेखाखण्ड काटा।
चरण 3. बिन्दु A पर ऊपर व नीचे 30° का कोण बनाती हुई रेखायें खींची जो रेखा को B तथा C पर काटती है। अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
एक ∆ABC बनायें जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° तथा AB + AC = 13 सेमी। (NCERT)
हलः
रचना
चरण 1. BC = 7 सेमी रेखा खींची, उसके बिन्दु B पर 75° का कोण बनाती हुई BE रेखा 13 सेमी की खींची।
चरण 2. E को C से मिलाया तथा EC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BE को बिन्दु A पर काटता है।
चरण 3. बिन्दु A को बिन्दु C से मिलाया। अत: AABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाएं 3.6 सेमी, 3 सेमी और 4.8 सेमी हैं।
सबसे छोटे कोण को समद्विभाजित करें तथा प्रत्येक भाग की माप भी ज्ञात कीजिए।
हलः
रचना
चरण 1. BC = 4.8 सेमी रेखा खींची।
चरण 2. उसके बिन्दु B पर 3 सेमी तथा बिन्दु C पर 3.6 सेमी दूरी लेकर चाप लगाये जो परस्पर A पर काटते है।
चरण 3. बिन्दु A को B तथा A को बिन्दु C से मिलाया।
∠ACB सबसे छोटा कोण है।
∠ACM तथा ∠BCM नापकर देखेंगे।
अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 9.
4 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड AB खींचिये। A और B से क्रमशः AB के लम्बवत् एक रेखा खींचिये। क्या ये रेखायें समान्तर है?
हलः रचना
चरण 1. AB = 4 सेमी खींची।
चरण 2. AB के बिन्दु A तथा B पर 90° के कोण बनाये।
चरण 3. एक निश्चित लम्बाई लेकर क्रमश: A व B को केन्द्र मानकर दो चाप लगाये।
चरण 4. दोनों चापों के शीर्षों को मिलाती हुई रेखा CD खींची।
AB||CD होगी।

प्रश्न 10.
एक चाँदे की सहायता से, 110° का एक कोण खींचियें और इसे समद्विभाजित कीजिए।
हल:
चरण 1. आधार BC खींचा।
चरण 2. बिन्दु B पर चाँदे की सहायता से 110° का कोण ∠ABC बनाया।
चरण 3. ∠ABC का समद्विभाजक BM खींचा BM ही अभीष्ट समद्विभाजक है।

प्रश्न 11.
एक ∆ABC बनायें जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी है।
हलः
रचना :
चरण 1. BC = 7 सेमी खींची। उसके बिन्दु B पर 75° का कोण बनाती हुई रेखा BD = 13 सेमी खींची।
चरण 2. बिन्दु D को C से मिलाया तथा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा, जो BD को बिन्दु A पर काटता है।
चरण 3. बिन्दु A को C से मिलाया। अत: AABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 12.
एक ∆ABC बनायें जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° तथा AB – AC = 3.5 सेमी है। (NCERT)
हलः
रचना :
चरण 1. BC = 8 सेमी खींची। उसके बिन्दु B पर 45° का कोण बनाती हुई BD = 3.5 सेमी खींची।
चरण 2. D को C से मिलाया तथा उसका लम्ब समद्विभाजक खींचा, जो BD को आगे बढ़ाने पर बिन्दु A पर
काटता है।
चरण 3. बिन्दु A को C से मिलाया। अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 13.
एक ∆PQR बनायें जिसमें QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° तथा PR – PQ = 2 सेमी है। (NCERT)
हलः
रचना :
चरण 1. QR = 6 सेमी खींची तथा बिन्दु Q पर 60° का कोण बनाती हुई XY’ रेखा खींची।
चरण 2. बिन्दु Q को केन्द्र मानकर QY’ = 2 सेमी काटी।
चरण 3. Y’ का R से मिलाया तथा : ‘R का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो YY’ को बिन्दु P पर काटता है।
चरण 4. बिन्दु P को R से मिलाया।
अतः ∆PQR ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 14.
एक ∆XYZ बनायें जिसमें ∠Y = 30, ∠z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 सेमी है। (NCERT)
हलः
रचना :
चरण 1. PQ रेखा 11 सेमी की खींची।
चरण 2. बिन्दु P पर 30° व Q पर 90° के कोण बनाकर उसके समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु X पर
प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 3. PX व QX के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो PQ को क्रमश: Y तथा Z पर काटते हैं।
X को Y तथा Z से मिलाया।
अत: ∆XYZ ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 15.
एक समकोण त्रिभुज बनायें जिसका आधार 12 सेमी है तथा इसके कर्ण और अन्य भुजाओं का योग 18 सेमी है। (NCERT)
हलः
अर्थात् समकोण ∆ABC में,
BC = 12 सेमी, AB + AC = 18 सेमी
रचना :
चरण 1. BC = 12 सेमी खींची। बिन्दु B पर 90° का कोण बनाते हुए BD = 18 सेमी खींची। D को C से मिलाया।
चरण 2. DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BD को A पर । प्रतिच्छेद करता है।

चरण 3. A को C से मिलाया।
∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 16.
14.5 सेमी परिमाप का एक समबाहु त्रिभुज बनायें।
हलः
रचना :
चरण 1. PQ = 14.5 खींची। बिन्दु P तथा Q पर 60° के कोण बनाये तथा उसके समद्विभाजक खींचे जो
परस्पर बिन्दु A पर काटते हैं।
चरण 2. PA तथा QA के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर PQ को क्रमश: B व C पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 3. A को B तथा C से मिलाया। अत: AABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 17.
एक आयत ABCD इस प्रकार खींचिये कि AB = 6 सेमी और BC = 3.5 सेमी, तब दिये गये आयत के क्षेत्रफल के बराबर, क्षेत्रफल का तथा आधार AB का एक त्रिभुज बनायें।
हलः
रचना :
चरण 1. AB = 6 सेमी खींची। उसके बिन्दु A व B पर 90° के कोण बनाती हुई रेखाये AD व BC 3.5सेमी
की खींची।
चरण 2. DC = 6 सेमी एक चाप बिन्दु D से लगाया, DC को मिलाया। इस प्रकार ABCD एक आयत है।
चरण 3. बिन्दु A को C से मिलाया, बिन्दु B से BE || AC खींची जो बढ़ी हुई DC को आगे बिन्दु E पर
मिलाती है।
चरण 4. बिन्दु A को E से मिलाया।

अत: ∆ABE अभीष्ट त्रिभुज है जिसका आधार AB = 6 सेमी।

प्रश्न 18.
दी गयी किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर [latex]22 \frac{1}{2}[/latex] का कोण बनाइये।
हलः
रचना :
चरण 1. आधार AB खींचा तथा उस पर 60° व 120° के कोण चाप लगाये।
चरण 2. 60° व 120° का समद्विभाजक कोण 90° का बनाया।
चरण 3. 90° का कोण समद्विभाजक कोण 45° है।
चरण 4. 45° के कोण का समद्विभाजक कोण [latex]22 \frac{1}{2}=[/latex] है।

प्रश्न 19.
परकार एवं पैमाने की सहायता से, 4 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए।
हलः
रचना :
चरण 1. BC = 4 सेमी खींची।
चरण 2. बिन्दु B व C को केन्द्र मानकर 4 सेमी दूरी लेकर दो चाप लगाये जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद
करते हैं।
चरण 3. बिन्दु A को B तथा C से मिलाया।

अतः ∆ABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 20.
परकार एवं पैमाने की सहायता से, एक 75° का कोण खींचिए और समद्विभाग कीजिए। रचना के चरण
भी लिखिए।
हलः
सर्वप्रथम BC, 5 सेमी एक सरल रेखा खींची। बिन्दु B पर 90° का कोण बनाती हुई BE रेखा खीची। अब 60° व 90° के बीच के चाप का अर्द्धक करते हुए BD रेखा खींची जो 75° के कोण की रेखा है। अब ∠DBC का अर्द्धक करती हुए एक रेखा BM खींची। यही BM रेखा 75° के कोण का समद्विभाजक होगा।

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions