UP Board Class 8 Maths Model Paper गणित

UP Board Class 8 Maths Model Paper are part of UP Board Class 8 Model Papers. Here we have given UP Board Class 8 Maths Model Paper.

Board	UP Board
Class	Class 8
Subject	Maths
Model Paper	Paper 1
Category	UP Board Model Papers

UP Board Class 8 Maths Model Paper गणित

सत्र-परीक्षा प्रश्न-पत्र
कक्षा-8
विषय – गणित

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संख्या 1809025 के वर्गमूल में अंकों की संख्या बताइए।
हल:
1 80 90 25 बनी संख्याएँ चार हैं। अतः वर्गमूल में 4 अंकों की संख्या है।

प्रश्न 2.
32 में किस लघुत्तम पूर्व संख्या से गुणा करें कि गुणनफले घन हो जाए?
हल:
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
समान गुणनखंडों के 3-3 समूह (त्रिक) बनाने पर 2 x 2 बच जाता है।
अतः यदि 32 में 2 से गुणा कर दिया जाए तो गुणनफल पूर्ण घन हो जाएगा।

प्रश्न 3.
यदि a + b = 5 और ab = 6, तो a3 + b3 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab (a + b)
जहाँ, a + b = 5, ab = 6
∴ a³ + b³ = (5)³ − 3 × 6 × 5
= 125 − 90 = 35

प्रश्न 4.
8 तथा −8 के घनमूलों में कौन बड़ा है?
हल:

प्रश्न 5.
a² + 8a + 16 का गुणनखंड कीजिए।
हल:
a+ 8a + 16 = a² + 2 × a × 4+ 4²
=(a + 4)² = (a + 4) (a + 4)
∴ [a² +2ab + b² = (a + b)]
∴ a + 8a + 16 का गुणनखंड (a + 4) तथा (a + 4) है।

प्रश्न 6.
(x + y + z)² का मान होगा
हल:
(x + y + z)² = x + y + 2 + 2xy + 2yz + 2zx

प्रश्न 7.
8x²yz में 2xy से भाग दीजिए।
हल:
[latex s=2]\frac{8 x^{2} y z}{2 x y}=4 x z[/latex]

प्रश्न 8.
वर्ग की चारों भुजाएँ कैसी होती हैं?
हल:
वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।

प्रश्न 9.
(a − 5)² का मान बताइए।
हल:
(a − 5)² = (a)² − 2 × a × 5 + (5)²
= a2 − 10a + 25

प्रश्न 10.
चतुर्भुज के चारों कोणों का योग कितना होता है?
हल:
चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।

प्रश्न 11.
परिमेय संख्या [latex s=2]\frac{13}{17}[/latex] का वर्ग ज्ञात कीजिए।
हल:
[latex s=2]\left(\frac{13}{17}\right)^{2}=\frac{13 \times 13}{17 \times 17}=\frac{169}{289}[/latex]

प्रश्न 12.
[latex s=2]-\frac{5}{9}[/latex] का घन ज्ञात कीजिए।
हल:
[latex s=2]\left(\frac{-5}{9}\right)^{3}=\frac{-5}{9} \times \frac{-5}{9} \times \frac{-5}{9}=\frac{-5 \times-5 \times-5}{9 \times 9 \times 9}=\frac{-125}{729}[/latex]

प्रश्न 13.
(−343 × 512) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
= [latex](-343 \times 512)^{13}=(-7 \times-7 \times-7 \times 8 \times 8 \times 8)^{1 / 3}[/latex]
= [latex]\left(-7^{3} \times 8^{3}\right)^{1 / 3}[/latex]
= [latex]\{(-7 \times 8)\}^{3 / 3}[/latex]
= − 7 × 8 = −56

प्रश्न 14.
एक घनाकार बक्से का आयतन 1331 घन सेमी है, इसकी एक भुजा ज्ञात कीजिए।
हल:
घनाकार बक्से का आयतन = 1331 घन सेमी
घनाकार की एक भुजा =³[latex]\sqrt { 1331 } [/latex]
= 11 सेमी

प्रश्न 15.
5² + (−5)² को धनात्मक वर्गमूल लेते हुए सरल कीजिए।
हल:
5² + (−5)² = 25 + 25 = 50

लघु उत्तरीय प्रश्न .

प्रश्न 16.
7744 का गुणनखंड विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 17.
6a⁶ − 21a ⁴− 12a को सरल कीजिए।
हल:
∴ 6a⁶ − 21a ⁴− 12a
= 3a² [2a⁴  − (8 − 1)a² − 4]
= 3a² [2a⁴  − 8a² + a² − 4]
= 3a² [2a² ( a² − 4) + 1( a² − 4)]
= 3a² [(a² − 4)(2a² + 1)]
= 3a² (a − 2)(a +2)(2a² + 1)

प्रश्न 18.
यदि x+y= 3 तथा xy=2 हो, तो x³+y³ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy (x + y) से, जहाँ x + y = 3 तथा xy= 2
x³ + y³ = 3³ − 3 × 2 × 3 = 27 − 18 = 9

प्रश्न 19.
[latex s=2]\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}[/latex] को सरल कीजिए।
हल:
[latex s=2]\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)}=x-y[/latex]

प्रश्न 20.
यदि किसी चतुर्भुज के दो कोण 60° तथा 120° के हैं तथा शेष दोनों कोण समान हैं, तो उनके मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना चतुर्भुज के दो समान कोण x° हैं।
∴ चतुर्भुज के चारों कोणों का योग = 360°
∴ x + x + 60° + 120° = 360°
⇒ 2x + 180° = 360°
⇒ 2x = 360° – 180° = 180°
⇒ x = [latex s=2]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] = 90° शेष दोनों कोण 90°, 90° के होंगे।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 21.
पावं चित्र में, ABC एक त्रिभुज है तथा BD भुजा AC के समान्तर है; ∠ACB = 30° तथा ∠ABD=28°, ∠ABC, ∠DBK तथा ∠BAC के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∠ACB = 30°
∴ DB || AC
∴  ∠DBK = ∠ACB = 30°

∠ABK = ∠ABD + ∠DBK
= 28° + 30 = 58°
∴ बहिष्कोण = अन्तः कोणों का योग
∠ABK = ∠BAC + ∠BCA
⇒ 58° = ∠BAC + 30°
⇒ ∠BAC = 58° − 30° = 28°
∴ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
∠BAC+ ∠ACB + ∠ABC = 180°
⇒ 28० + 30° +∠ ABC = 180°
⇒ 58° +∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 180° – 58°
⇒ ∠ABC = 122°

प्रश्न 22.
x⁵ − y⁵  में x − y से भाग दीजिए।
हल:

अतः भागफल = x⁴  + x³y + x²y² + xy³ + y⁴
⇒ शेषफल = 0

प्रश्न 23.
(x² + y² − z²)² −  (x² − y² + z²)² को सरल कीजिए।
हल:
(x² + y² − z²)² −  (x² − y² + z²)²
= [(x²)² + (y²)² + (−z²)² + 2 × x² × y² × 2 × y² × (−z²) + 2 × (−z²) × x²]
= [(x²)² + (−y²)² + (z²)² + 2 × x² × (−y²) × 2 × (−y²) × (−z²) + 2 × z² × x²]
= [x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2x²y² − 2y²z² − 2z²x²] − (x⁴ + y⁴ + z⁴ − 2x²y² − 2y²z² + 2z²x²)
= x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2x²y² − 2y²z² − 2z²x² − x^4 − y⁴ − z⁴ + 2x²y² + 2y²z² − 2z²x²
= 4x²y² − 4z²x²
= 4x²(y² − z²)
= 4x² (y+z) ( y− z)

प्रश्न 24.
समांतर चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए, जहाँ AB = 3.6 सेमी, BC = 4.2 सेमी और AC = 6.5 सेमी और शेष भुजा नापकर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए।
हल:

रचना

• सर्वप्रथम रेखाखंड AB = 3.6 सेमी खींचा।
• फिर A से 6.5 सेमी की त्रिज्या का एक चाप खींचा तथा B से 4.2 सेमी की त्रिज्या को दूसरा चाप खींचा जो कि एक-दूसरे को बिंदु C पर काटते हैं।
• AC तथा BC को मिलाया।
• फिर C से 3.6 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचा तथा A से 4.2 सेमी त्रिज्या का दूसरा चाप खींचा जो कि एक-दूसरे को बिंदु D पर काटते हैं।
• AD तथा CD को मिलाया। अतः ABCD अभीष्ट समान्तर चतुर्भुज है। नापने पर, BD = 4.4 सेमी होगा।

प्रश्न 25.
62500 का गुणनखंड विधि तथा भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करके दोनों उत्तरों की तुलना कीजिए।
हल:

 

अर्द्धवार्षिक-परीक्षा प्रश्न-पत्र
कक्षा-8
विषय – गणित

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
शेयरधारी किसे कहते हैं?
हल:
शेयर खरीदने वाला व्यक्ति शेयरधारी कहलाता है।

प्रश्न 2.
6x = 5x + 9 को हल कीजिए।
हल:
⇒ 6x = 5x + 9
⇒ 6x − 5x= 9
⇒ x= 9

प्रश्न 3.
जिस मूल्य पर शेयर खुले बाजार में खरीदा या बेचा जाता है, उसे शेयर……..कहते हैं। वाक्य पूर्ण कीजिए।
हल:
जिस मूल्य पर शेयर खुले बाजार में खरीद या बेचा जाता है, उसे शेयर बाजार मूल्य कहते हैं।

प्रश्न 4.
लाभांश किसे कहते हैं?
हल:
जब कम्पनी को वर्ष के अन्त में लाभ होता है तो उस लाभ का कुछ हिस्सा कम्पनी शेयरधारियों को उनके द्वारा खरीदे गए शेयरों के अनुपात में बाँट देती है। इस लाभ को लाभांश कहते हैं।

प्रश्न 5.
5x − y = 9 में y के मान x पदों में लिखिए।
हल:
⇒ 5x − y = 9
⇒ y = 5x − 9

प्रश्न 6.
लाभांश शेयर के किस मूल्य पर दिया जाता है?
हल:
लाभांश शेयर के अंकित मूल्य पर दिया जाता है।

प्रश्न 7.
4 − x² को गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
हल:
2² − x² = (2 + x ) (2 − x)

प्रश्न 8.
8, 5, 9, 8, 8, 7, 8, 10, 8 को बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
पाँच बार आने वाली संख्या = 8
∴ बहुलक = 8

प्रश्न 9.
16x² − 25 का गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
हल:
16x² − 25
=(4x)² – 5²
=(4x+5)(4x-5)

प्रश्न 10.
[latex s=2]x=\frac{16}{x}[/latex] को हल कीजिए
हल:
[latex s=2]x=\frac{16}{x}[/latex]
⇒ x × x = 16
⇒ x²  = 16
⇒x = 2[latex s=2]\sqrt { 16 } [/latex] = ±4

प्रश्न 11.
वह संख्या ज्ञात कीजिए जो अपने व्युत्क्रम के बराबर है।
हल:
माना अभीष्ट संख्या = x
प्रश्नानुसार, [latex s=2]x=\frac{1}{x}[/latex]
x² = 1
x = √1
x = ±1

प्रश्न 12.
a² − 49 का गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
हल:
a² − 49=a² − 7 = (a+7) (a − 7)

प्रश्न 13.
प्रथम पाँच अभाज्य संख्याओं का माध्य क्या है?
हल:
प्रथम पाँच अभाज्य संख्याएं, 1, 3, 5, 7 तथा 9 है।
माध्य [latex s=2]\frac{1+3+5+7+9}{5}=\frac{25}{5}=5[/latex]

अत: माध्य 5 है।

प्रश्न 14.
वृत्तं के केन्द्र को जीवा के मध्य बिन्दु से मिलाने वाली रेखा, ……… पर लम्ब होती है। वाक्य पूर्ण कीजिए।
हल:
वृत्त के केन्द्र को जीवा के मध्य बिन्दु से मिलाने वाली रेखा, जीवा पर लम्ब होती है।

प्रश्न 15.
शेयर बट्टे पर कब होता है?
हल:
यदि शेयर का बाजार मूल्य उसके अंकित मूल्य से कम होता है तो हम कह सकते हैं कि शेयर बट्टे पर है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 16.
यदि मूलधन = 10000 रुपए, ब्याज की दर = 24% वार्षिक, समय = 2 माह तथा | ब्याज मासिक हो, तो चक्रवृद्धि मिश्रन की गणना कीजिए।
हल:

प्रश्न 17.
शीला ने बचत खाते में 5 जुलाई 2009 को 800 रुपए जमा करके खाता खोला। 8 जुलाई 2009 को उसने 200 रुपए जमा किए। 17 जुलाई को 400 रुपए निकाल लिए। वह राशि ज्ञात कीजिए, जिस पर उसे माह जुलाई 2009 के लिए ब्याज प्राप्त होगा।
हल:
शीला के बचत खाते की पास-बुक में प्रविष्टियाँ निम्न प्रकार होंगी

तिथि	विवरण  राशि (रुपयों में)	निकाली गई राशि(रुपयों में)	जमा की गई (रुपयों में)	शेष राशि
वर्ष 2009 जुलाई 5 जुलाई 8 जुलाई 17	नकद द्वारा नकद द्वारा स्वयं को देय	—— —— 400	800 200 ——	800 1000 200

10 जुलाई से 31 जुलाई के बीच न्यूनतम राशि जिस पर ब्याज देय होगा = 600 रुपए

प्रश्न 18.
एक कम्पनी 25 लाख रुपए की पूँजी एकत्रित करने के लिए शेयरों का विज्ञापन करती है। यदि एक शेयर का अंकित मूल्य 100 रुपए हो, तो कम्पनी द्वारा जारी किए गए शेयरों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
कंपनी की पूँजी = 2500000 रुपए
एक शेयर का अंकित मूल्य = 100 रुपए

प्रश्न 19.
पार्श्व चित्र में, ABCD एक चक्रिय चतुर्भुज है। यदि ∠A = 65° तथा ∠B = 70°, तो ∠C तथा ∠D का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि चक्रिय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं।

⇒ ∠A + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° − A.
परंतु   ∠A = 65° दिया है।
∠C = 180° − 65° = 115°
और  ∠B + ∠D = 180°
⇒ ∠D = 180° − B
= 180° − 70° = 110°

प्रश्न 20.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

पद	25	32	35	38	41	42
बारंबारता	2	1	6	4	3	2

हल:
उपर्युक्त बारम्बारता बंटन सारणी में 35 की बारंबारता सबसे अधिक है।
अतः बहुलक = 35 होगा।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 21.
रमेश ने 7500 रुपए की पूँजी लगाकर एक कम्पनी के शेयर 150 रुपए प्रति शेयर की दर से क्रय किया, जबकि प्रति शेयर का अंकित मूल्ये 100 रुपए था। कंपनी ने 25% की दर से वर्ष के अन्त में लाभांश दिया। रमेश द्वारा अर्जित लाभांश ज्ञात कीजिए।
हल:
रमेश द्वारा क्रय किए गए शेयर =[latex s=2]\frac { 7500 }{ 150 } [/latex]
1 शेयर का अंकित मूल्य = 100 रुपए
50 शेयरों का अंकित मूल्य = 50 x 100 रुपए = 5000 रुपए
रमेश द्वारा प्राप्त लाभांश =[latex s=2]\frac { 5000\times 25 }{ 100 } [/latex] रुपए

प्रश्न 22.
निम्नलिखित सारणी में 24 शिक्षार्थियों की आयु (वर्षों में) दी हुई है। माध्यिका ज्ञात कीजिए:

आयु (वर्षों में)	12	13	14	15	16
बारंबारता	4	5	4	6	5

हल:

आयु (वर्षों में)	बारंबारता	संचयी बारंबारता
12 13 14 15 16	4 5 4 6 5	4 9 13 19 24
योग	n = 24

प्रश्न 23.
निम्न समीकरण [latex s=2]\frac{x-b-c}{a}+\frac{x-c-a}{b}+\frac{x-a-c}{c}=3[/latex] को हल करके पर x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना a + b + c= 0
तब  a = − b − c, b=− c − a, c =− a −b
[latex s=2]\frac{x-b-c}{a}+\frac{x-c-a}{b}+\frac{x-a-c}{c}=3[/latex]
[latex s=2]\frac{x+a}{a}+\frac{x+b}{b}+\frac{x+c}{c}=3[/latex]
[latex] \frac{b c x+a b c+c a x+a b c+a b x+a b c}{a b c}=3[/latex]
⇒ bcx + cax + abx + 3 abc = 3 abc
⇒ bcx + cax + abx = 0
⇒x (bc+ ca+ ab) = 0
⇒a + b+c = 0
∴ तथा x= 0
∴ x= a + b + c

प्रश्न 24.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन सारणी में 60 शिक्षार्थियों के प्राप्तांक दिए गए हैं।

प्राप्तांक	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
शिक्षार्थियों की संख्या	2	4	5	8	12	15	9	5

आँकड़ों को आयत चित्र द्वारा प्रदर्शित कीजिए।
हल:

प्रश्न 25.
एक चतुर्भुज PQRS की रचना कीजिए, जिसमें ∠Q= 45°, ∠R= 135°, QR = 5 सेमी, PQ=9 सेमी और RS = 7 सेमी।
हल:

रचना
(i) सर्वप्रथम रेखाखंड QR=5 सेमी खींचा।
(ii) फिर QR के बिन्दु Q तथा R से
क्रमशः
45° तथा 135° के कोण बनाएँ।
(iii) बिन्दु R पर 7 सेमी की त्रिज्या का
चाप
खींचा जो ∠R को S पर काटता है।
(iv) बिन्दु Q पर 9 सेमी की त्रिज्या का
चाप
खींचा जो ∠Q को P पर काटा है।
(v) PS को मिलाया।
अतः PQRS अभीष्ट चतुर्भुज है।

 

वार्षिक-परीक्षा प्रश्न-पत्र
कक्षा-8
विषय – गणित

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
समुच्चय V= [a, e, i, o, u] का वर्णन कीजिए।
हल:
समुच्चय V अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों का समुच्चय है।

प्रश्न 2.
बिंदु ( 2, 4) की स्थिति किस चतुर्थाश में होगी?
हल:
बिंदु (2,4) की स्थिति प्रथम चतुर्थाश में होगी।

प्रश्न 3.
परिसर किसे कहते हैं?
हल:
आँकड़ों में सबसे बड़ी व सबसे छोटी संख्या का अन्तर, आँकड़ों का परिसर कहलाता है।

प्रश्न 4.
एक समांगी पासे के 48 बार फेंकने पर प्रत्येक फलक के ऊपर आने की संभावनाओं को समान मान लेने पर ज्ञात कीजिए कि अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से प्रत्येक कितनी बार ऊपर आएगा?
हल:
अंकों की संख्या = 6 .
पासा फेंका गया = 48 बारे ‘
प्रत्येक अंक में दिए पासों की संख्या = 48 ÷ 6 = 8 बार

प्रश्न 5.
प्रथम छह प्राकृतिक विषम संख्याओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
हल:
N= {1, 3, 5, 7, 9, 11}

प्रश्न 6.
किसी वृत्त में केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को _______ करता है। वाक्य पूर्ण कीजिए।
हल:
किसी वृत में केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 7.
क्या व्यास वृत्त की छेदक रेखा है?
हल:
नहीं

प्रश्न 8.
एक बेलन के आधार की त्रिज्या : सेमी तथा ऊँचाई h सेमी है। इस बेलन का आयतन =_______तथा वक्रपृष्ठ___ होगा। वाक्य पूर्ण कीजिए।
हल:
एक बेलन के आधार की त्रिज्या 7 सेमी तथा ऊँचाई h सेमी है। इस बेलन का आयतन = πr²h तथा वक्रपृष्ठ = 2πrh होगा।

प्रश्न 9.
समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई x सेमी है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
समबाहु त्रिभुज की भुजा = x सेमी
समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3x सेमी

प्रश्न 10.
समुच्चय A= {2, 4, 6} की सदस्य संख्या बताइए।
हल:
n(A) = 3.

प्रश्न 11.
उन महीनों के नामों का समुच्चय बनाइए, जिनमें 31 दिन होते हैं।
हल:
D = {जनवरी, मार्च, मई, जुलाई, अगस्त, अक्टूबर, दिसम्बर)

प्रश्न 12.
लम्ब वृत्तीय शंकु किसे कहते हैं?
हल:
समकोण त्रिभुज को यदि समकोण बनाने वाली उसकी एक भुजा के परितः घुमाया जाए, तो इसके द्वारा निर्मित ठोस को लम्बवृत्तीय शंकु कहते हैं।

प्रश्न 13.
2x + 4y= 6 में x के मान y के पदों में लिखिए।
हल:
2x + 4y= 6
⇒ 2 (x + 2y) = 6
⇒ x + 2y = 3
⇒ x = 3 − 2y

प्रश्न 14.
[latex s=2]\frac{x}{5}-\frac{5}{x}=0[/latex] को हल कीजिए।
हल:
[latex s=2]\frac{x}{5}-\frac{5}{x}=0[/latex]
[latex s=2]\frac{x}{5}=\frac{5}{x}[/latex]
x²=[latex s=2]\sqrt { 25 } [/latex]
x = ±5
अत: x= + 5 तथा x=-5

प्रश्न 15.
अर्द्धवृत्त में बना कोण किस प्रकार का होता है?
हल:
अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 16.
एक समलम्ब की समान्तर भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी हैं। इनके बीच की दूरी 3 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, b, = 3 सेमी, b, = 4 सेमी तथा h = 3 सेमी ।
अत: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल =[latex s=2]\frac{1}{2}[/latex] x (समान्तर भुजाओं का योग) x ऊँचाई
=[latex s=2]\frac{1}{2}[/latex] x (b1 + b2) x h
=[latex s=2]\frac{1}{2}[/latex]x (3 +4) x 3
=[latex s=2]\frac{1}{2}[/latex] x7 x 3 =[latex s=2]\frac{21}{2}[/latex] वर्ग सेमी
= 10.5 वर्ग सेमी.

प्रश्न 17.
दो सिक्के एक साथ 40 बार उछाले गए। यदि HH, HT, TH क्रमशः 9, 8, 12 बार आए हों, तो ज्ञात कीजिए कि TT कितनी बार आया होगा।
हल:
सिक्के उछाले गए = 40 बार, तीन परिणामों (HH, HT, TH) के लिए उछाले गए सिक्के
(9 + 8 + 12) = 29 बार .
TT के लिए उछालमए सिक्के = 40 − 29 = 11 बार

प्रश्न 18.
पाश्र्व चित्र में, o वृत्त का केन्द्र है और वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है। AB वृत्त की जीवा है।
यदि AD = 12 सेमी, तो लम्बे OD की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

ΔODA में, ∠D = 90°, OA= 13 सेमी, DA= 12 सेमी। पाइथागोरस प्रमेय से,
OD2 = OA² − DA²
= 13² − 12² = 169 − 144 = 25
∴ OD = [latex s=2]\sqrt { 25 } [/latex] = 5 सेमी

प्रश्न 19.
यदि एक रोलर का व्यास 70 सेमी तथा लम्बाई 2 मीटर है, तो बताइए कि 50 चक्कर में रोलर कितने वर्ग मीटर चलेगा?
हल:
रोलर का व्यास = 70 सेमी व लम्बाई = 2 मीटर
रोलर की त्रिज्या = 35 सेमी = 0.35 मीटर
रोलर का व्रकपृष्ठ = 2πrh = 2 x [latex s=2]\frac{22}{7}[/latex] x 0.35 x 2 = 4.4 वर्ग मीटर .
रोलर द्वारा 1 चक्कर में चला क्षेत्रफल = 4.4 वर्ग मीटर
अतः रोलर द्वारा 50 चक्कर में चला क्षेत्रफल = 50 x 4.4 = 220 वर्ग मीटर

प्रश्न 20.
चित्र में, 28 सेमी भुजा का एक वर्ग है इसमें भुजाओं को स्पर्श करता हुआ वृत्त बना है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वर्ग की भुजा

= वृत्त का व्यास = 28 सेमी |
वृत्त की त्रिज्या =[latex s=2]\frac{28}{2}[/latex]= 14 सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल= πr2 = [latex s=2]\frac { 22 }{ 7 } [/latex] x 14 x 14 वर्ग सेमी
= 22 × 2 × 14 वर्ग सेमी
= 616 वर्ग सेमी

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 21.
पाँच वर्ष पहले पिता की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी थी और 10 वर्ष । बाद पिता की आयु उसके पुत्र की आयु की दो गुनी हो जाएगी। बताइए कि पिता * की वर्तमान आयु कितनी है?
हल:
माना पिता की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा
पुत्र की वर्तमान आयु = yवर्ष
पाँच वर्ष पहले पिता की आयु = x − 5
पाँच वर्ष पहले पुत्र की आयु = y − 5
प्रश्नानुसार,
(x − 5) = 3 (y − 5)
x − 5 = 3y − 15
x − 3y = −15 +5
x − 3y = −10
(x+10) = 2(y + 10)
x + 10 = 2y + 20
x − 2y = 20 − 10
x − 2y = 10
समीकरण
(i) में से समीकरण
(ii) को घटाने पर,

y का मान समीकरण
(i) में रखने पर,
⇒ x − 3 × 20 = −10
⇒ x − 60 = −10
⇒ x = 60 − 10

अतः
पिता की आयु = 50 वर्ष
तथा पुत्र की आयु = 20 वर्ष

प्रश्न 22.
एक नाव जिसकी शान्त जल में चाल 15 किमी/घण्टा है, धारा की दिशा में 30 किमी । जाने पर फिर उसी स्थान पर पुनः वापस आने में कुल समय 4 घण्टे 30 मिनट लगता है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना धारा की चाल = x किमी/घण्टा
नाव की शान्त जल में चाल = 15 किमी/घण्टा
धारा के प्रतिकूल दिशा में नाव की चाल = (15-x) किमी/घण्टा
धारा के बहावं की दिशा में नाव की चाल = (15+x) किमी/घण्टा
धारी के प्रतिकूल दिशा में 30 किमी दूरी तय करने में लगा समय =[latex s=2]\frac { 30 }{ 15-x } [/latex] घण्टे
धारा के बहाव की दिशा में 30 किमी दूरी तय करने में लगा समय = [latex s=2]\frac{30}{15+x}[/latex] घण्टे
कुल दूरी तय करने में लगा कुल समय =[latex s=2]\left(\frac{30}{15-x}+\frac{30}{15+x}\right)[/latex] घण्टे
परंतु कुल समय = 4 घण्टे 30 मिनट
⇒ 4 [latex s=2]\frac{30}{60}[/latex] = 4 [latex]\frac{1}{2}[/latex]
⇒ [latex s=2]\frac{9}{2}[/latex] घण्टे
⇒ [latex s=2]\frac{30}{15-x}+\frac{30}{15+x}=\frac{9}{2}[/latex]
⇒ [latex s=2]30\left(\frac{15+x+15-x}{(15-x)(15+x)}\right)=\frac{9}{2}[/latex]
⇒ [latex s=2]\frac{30 \times 30}{225-x^{2}}=\frac{9}{2}[/latex]
⇒ 2 × 30 × 30 = 9x (225 − x²)
⇒ 1800 = 9 x (225 − x²)
⇒ 200 = 225 − x²
⇒ 200 − 225 = –x²
⇒ −25 = −x² = ±√25 = ±5
⇒ x=5 (चाल ऋणात्मक नहीं होती है)
अतः धारा की चाल = 5 किमी/घण्टा

प्रश्न 23.
एक पाँसे को 1000 बार फेंकने पर प्राप्त परिणामों 12,3A,5, 6 बारम्बारताएँ निम्नांकित । सारणी में दी हुई हैं। 1, 2, 3, 4, 5, 6 में प्रत्येक के आने का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

परिणाम	1	2	3	4	5	6
बारम्बारता	180	150	160	140	180	190

हल:
बारम्बारता 1 का प्रतिशत = [latexs=2]\frac{180}{1000} \times 100[/latex] =18%
बारम्बारता 2 का प्रतिशत = [latex s=2]\frac{150}{1000} \times 100[/latex] = 15%
बारम्बारता 3 का प्रतिशत = [latex s=2]\frac{160}{1000} \times 100[/latex] = 16%
बारम्बारता 4 का प्रतिशत = [latex s=2]\frac{140}{1000} \times 100[/latex] = 14%
बारम्बारता 5 का प्रतिशत = [latex s=2]\frac{180}{1000} \times 100[/latex] = 18%
बारम्बारता 6 का प्रतिशत = [latex s=2]\frac{190}{1000} \times 100[/latex] = 19%

प्रश्न 24.
एक 11 सेमी व्यास वाले बेलनाकार बरतन में कुछ पानी भरा है। यदि 5.5 सेमी भुजा का एक घनाकार ठोस को पूरी तरह पानी में डुबा दिया जाए, तो बर्तन में पानी की | सतह कितनी ऊपर उठ जाएगी?
हल:
घनाकार ठोस की भुजा = 5.5 सेमी
घनाकार ठोस का आयतन = (5.5) घन सेमी
बर्तन की त्रिज्या =[latex s=2]\frac{11}{2}[/latex] = 5.5 सेमी
यदि पानी का तल h सेमी ऊपर उठ जाता है तो बढ़े हुए
पानी का आयतन = π(5.5)2xh घन सेमी
प्रश्नानुसार,
पानी का आयतन = घनाकार ठोस का आयतन
h=[latex s=2]\frac{5.5}{\pi}[/latex] = [latex]5.5 \times \frac{7}{22}[/latex] = 1.75 सेमी
अतः पानी की सतह 1.75 सेमी ऊपर उठ जाएगी।

प्रश्न 25.
पार्श्व चित्र में, वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को वृत्त के बाहर बिंदु P पर काटती हैं। यदि ∠P=30° और ∠A=35° हो, तो ∠CBP ज्ञात कीजिए।
हल:

∠C =∠A= 35°
∠P =30°
∠CBP = 180° − (2C+ ZP)
= 180° − (35° + 30) = 180° − 65° = 115°

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