Safia

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.2 चतुर्भज

प्रश्न 1.
ABCD एक समचतुर्भुज है। EABF एक सरल रेखा इस प्रकार है कि EA = AB = BF तो सिद्ध कीजिए कि ED व FC को बढ़ाने पर ये समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हलः
समचतुर्भुज ABCD में,
∵ AB = BC = CD = DA
∴ EA = AB = BF (दिया है)
EA = AD = DC
ED = AC
∴ EP|| AC

∵ समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
तथा लम्बवत् होते हैं।
∴ ∠DOC = 90°
∴ ∆DOC तथा ∆PDC में,
DC उभयनिष्ठ
∠PDC = ∠OCD (एकान्तर कोण)
∠ODC = ∠PCD (एकान्तर कोण)
अतः ∆DOC ≅ ∆PDC
∴ ∠DOC = ∠DPC = 90°

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि समलम्ब चतर्भज के सम्मुख कोण सम्पुरक होते हैं।
हलः
ज्ञात हैः एक समलम्ब ABCD जिसमें AB||CD तथा AD = BC
सिद्ध करना हैः ∠B + ∠D = 180°

प्रश्न 3.
चित्र में, AD व BE त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ हैं तथा BE||DF तो सिद्ध कीजिए कि CF = [latex]\frac{1}{4}[/latex]AC
हलः
∵ BE||DF तथा BC का मध्य बिन्दु D है।
तिर्यक रेखा BC पर बने अन्त:खण्ड BD = DC
इसी प्रकार तिर्यक रेखा AC पर बने अन्त:खण्ड

EF = FC …(1)
AE = EC (∵ E, AC का मध्य बिन्दु है)
AE = EF + FC
AE = FC + FC [समी० (1) से ]
AE = 2FC

प्रश्न 4.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा P, भुजा DC का मध्य बिन्दु है। C से PA के समान्तर एक ऐसी रेखा खींचिए कि DA को बढ़ाने से यह बिन्दु Q पर तथा AB को बिन्दु R पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि DQ =2AD तथा CQ = 2CR
हल:
∵ AP||QC, तिर्यक रेखा DC द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड DP = PC ….(1)
इसी प्रकार तिर्यक रेखा AB द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड AR = RB ….(2)
∵ AB||CD
∴ तिर्यक रेखा द्वारा काटा गया अन्त:खण्ड

CR = RQ
या CQ = 2CR
इसी प्रकार DQ = 2AD

प्रश्न 5.
चित्र में, AB||CD||EF||GH व Ax = XY = YH । यदि AC = 1.5 सेमी तो AG का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
AX|| XY|| YH यदि AC = 1.5 सेमी
तिर्यक रेखा AH द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड
AX = XY = YH

∴ तिर्यक रेखा AG द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड
AC = CE = EG = 1.5 सेमी
AG = AC + CE + EG = 1.5 + 1.5 + 1.5 = 4.5 सेमी

प्रश्न 6.
चित्र में, ∆ABC की भुजा AC को E तक ऐसे बढ़ाते हैं कि CE = [latex]\frac{1}{2}[/latex]AC यदि D,BC का मध्य बिन्दु है तथा ED को बढ़ाने पर वह AB से F बिन्दु पर मिलती है। तथा CP व DQ, BA के समान्तर है सिद्ध कीजिए कि FD = [latex]\frac{1}{3}[/latex]FE
हलः

CE = [latex]\frac{1}{2}[/latex]AC …(1)
D, BC का मध्य बिन्दु है
∴ BD = DC
∆BDF तथा ∆DCP में, BD = DC (दिया है)
∠BDF = ∠CDP (शीर्षाभिमुख कोण)
∠FBD = ∠BCP (एकान्तर कोण)
अतः ∆BDF = ∆DCP
FD = DP …(2)
∴ AB||CP तथा तिर्यक रेखा FE के द्वारा बने अन्त:खण्ड FD = DP [समी० (2) से अभी सिद्ध किया है]
∴ तिर्यक रेखा AE के द्वारा बने अन्त:खण्ड
AQ = QC …(3)
समी० (1) व (3) से, [latex]C E=\frac{1}{2} \times 2 Q C[/latex]
CE = QC …(4)
इसी प्रकार DQ||CP की तिर्यक रेखा FE पर बने अन्त:खण्ड
DP = PE
∴ समी० (2) से,
FD = [latex]\frac{1}{3}[/latex] FE

प्रश्न 7.
चित्र में, ABC एक समकोण त्रिभुज है तथा ∠B = 90° दिया है AB = 9 सेमी, AC = 15 सेमी। D व E क्रमशः AB व AC के मध्य बिन्दु हैं तब BC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
(15)² = 9² + BC²
225 – 81 = BC²
144 = BC²
BC = [latex]\sqrt{144}[/latex] = 12 सेमी

प्रश्न 8.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। बिन्दु P, DC का मध्य बिन्दु है तथा Q, AC DF पर एक ऐसा बिन्दु है कि CQ = [latex]\frac{1}{4}[/latex]AC। यदि PQ को बढ़ाने पर वह BC से R बिन्दु पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए कि R,BC का मध्य बिन्दु है।
हलः

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड उसकी समान्तर भुजाओं के समान्तर तथा उनके अन्तर से आधा होता है।
हलः
ज्ञात हैः एक समलम्ब ABCD जिसकी भुजाएं AB तथा DC एक दुसरे के समान्तर हैं
तथा P एवं Q विकर्ण AC व BD के मध्य बिन्दु हैं। PQ को मिलाया।
सिद्ध करना है: PQ, AB या DC के समान्तर है।


रचनाः DP को मिलाया तथा आगे बढ़ाया जिससे वह AB से बिन्दु R पर मिलती है।
उपपत्तिः ∵ AB व DC एक दूसरे के समान्तर हैं जिन्हें तिर्यक रेखा AC, बिन्दु A व C पर काटती है। अब ∆APR तथा ∆DPC में
∠1 = ∠2 (एकान्तर अन्त:कोण)
AP = CP (∵ P, AC का मध्य बिन्दु है)
∠3 = ∠4 (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः ∆APR ≅ ∆DPC
AR = DC …(1)
PR = DP …(2)
समी० (2) से प्रदर्शित होता है कि P, DR का मध्य बिन्दु है। इस प्रकार ∆DRB में P तथा Q क्रमशः भुजा DR तथा DB के मध्य बिन्दु हैं।
∴ PQ, भुजा RB के समान्तर है।
या PQ.AB के समान्तर है।
∵ RB, AB का एक भाग है।
∴ PQ, AB तथा DC के समान्तर है।
∴ AB व DC एक दुसरे के समान्तर हैं।

प्रश्न 10.
BM व CN किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से जाने वाली रेखा पर लम्ब है यदि L,BC का मध्य बिन्दु है सिद्ध कीजिए कि LM = LN
हलः

ज्ञात है: BM तथा CN रेखा AN पर लम्ब खींचे गये हैं तथा L, BC का मध्य बिन्दु हैं।
सिद्ध करना है: LM = LN
उपपत्तिः ∆BML तथा ∆LNC में,
BL = LC (ज्ञात है)
∠BML = ∠CNL (प्रत्येक समकोण)
∠MLB = ∠CLN (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः ∆BML ≅ ∆LNC
∴ LM = LN

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 9 Introduction to Euclid’s Geometry Ex 9.1 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

Ex 9.1 Introduction to Euclid’s Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
एक बिन्दु की विमायें ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हलः 0

प्रश्न 2.
एक ठोस की विमायें ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हलः
3

प्रश्न 3.
एक सतह की विमायें ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हल:
2

प्रश्न 4.
तीन असंरेख बिन्दुओं से गुजरने वाले समतलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
1

प्रश्न 5.
सतह की सीमाओं के नाम लिखो। (NCERT Exemplar)
हलः
वक्र

प्रश्न 6.
ठोस की सीमाओं के नाम लिखो। (NCERT Exemplar)
हलः
पृष्ठ

प्रश्न 7.
यदि दो बराबर संख्याओं में एक बराबर संख्या जोड़ी जाती है तो परिणामी संख्याएँ बराबर होती हैं यह है
(a) अभिग्रहित
(b) परिभाषा
(c) उपपत्ति
(d) अभिधारणा
हलः
(a) अभिग्रहित

Ex 9.1 Introduction to Euclid’s Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 8.
(i) एक दिये गये बिन्दु से कितनी रेखाएं खींची जा सकती है?
(ii) एक रेखा के निरूपण हेतु कितने बिन्दुओं की आवश्यकता होगी?
(iii) क्या, रेखा की कोई लम्बाई होती है?
(iv) तीन संरेख बिन्दुओं से निर्धारित होने वाले रेखाखण्ड का नाम बताइये।
हलः
(i) अनन्त
(ii) दो
(iii) नहीं
(iv) यदि P, Q, R तीन सरैख बिन्दु है तो PQ, QR, PR रेखाखण्ड होंगे।

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में निम्न के नाम बताइये।
(i) 6 बिन्दु
(ii) 5 रेखाखण्ड
(iii) 4 किरणें
(iv) 4 रेखाएं
(v) 4 संरेख बिन्दु

हलः
(i) 6 बिन्दु = A, B,C, D, E, F
(ii) 5 रेखाखण्ड = [latex]\overline{\boldsymbol{E} \boldsymbol{F}}, \overline{\boldsymbol{G} \boldsymbol{H}}, \overline{\boldsymbol{E} \boldsymbol{G}}, \overline{\boldsymbol{F} \boldsymbol{H}}, \overline{\boldsymbol{M} \boldsymbol{N}}[/latex]
(iii) 4 किरणों = [latex]\overrightarrow{E P}, \overrightarrow{G R}, \overrightarrow{G B}, \overrightarrow{H D}[/latex]
(iv) 4 रेखाएं = [latex]\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}, \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{CD}}, \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{PQ}} \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{RS}}[/latex]
(v) 4 संरेख बिन्दु = M,E,G,B

प्रश्न 10.
निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?
(i) एक रेखाखण्ड की कोई लम्बाई नहीं होती।
(ii) एक रेखाखण्ड का एक ही सिरा होता है।
(iii) प्रत्येक किरण की लम्बाई निश्चित होती है।
(iv) किरण AB = किरण BA
(v) दो विभिन्न बिन्दु सदैव एक रेखा को निर्धारित करते हैं।
(vi) एक बिन्दु से एक ही रेखा गुजरती है।
(vii) तीन रेखाएं समवर्ती होती हैं यदि उनका एक ही उभयनिष्ठ बिन्दु है।
हलः
(i) असत्य
(ii) असत्य
(iii) असत्य
(iv) असत्य
(v) सत्य
(vi) असत्य
(vii) सत्य

प्रश्न 11.
प्रमेय एवं अभिग्रहित में क्या अन्तर है?
हलः
पहले से प्राप्त परिणामों के आधार पर कुछ अभिग्रहित जो कथन बनाते हैं उस प्रमेय कहते हैं।
तथा वे कल्पनाऐं जिन्हें बिना (UPBoardSolutions.com) सिद्ध किये सत्य कथन मान लिया गया तथा जिन्हें निरन्तर प्रयोग किया गया, अभिग्रहित कहलाते हैं।
जैसे- (i) बराबर के आधे भी बराबर होते हैं।
(ii) यदि a = b तब [latex]\frac{1}{2}[/latex]a = [latex]\frac{1}{2}[/latex] b एक अभिग्रहित है।

प्रश्न 12.
कब किरण XY, रेखाखण्ड XZ के समान्तर होगी?
हलः
जब X, Y, Z संरेख हों।

प्रश्न 13.
संलग्न चित्र से निम्न के उत्तर दीजिए।
(a) क्या A, B, C संरेख बिन्दु हैं?
(b) क्या A, B, D संरेख बिन्दु हैं?
(c) BD + DE = BE?
(d) AC ∩ BC = BC?

हलः
(a) हाँ
(b) नहीं
(c) हाँ
(d) हाँ

प्रश्न 14.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करें।
(a) एक रेखाखण्ड के ……….. सिरे होते हैं।
(b) समवर्ती रेखायें ……….., बिन्दु (ओं) से गुजरती हैं।
हलः
(a) दो
(b) एक

Ex 9.1 Introduction to Euclid’s Geometry बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
निम्न में किसकी उपपत्ति की आवश्यकता होती है। (NCERT Exemplar)
(a) प्रमेय
(b) अभिग्रहित
(c) अभिधारणा
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
प्रमेय
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
यूक्लिड ने अपनी पाठ्य पुस्तक ‘दी इलीमैन्ट’ को कितने भागों में बाँटा? (NCERT Exemplar)
(a) 12 अध्याय
(b) 13 अध्याय
(c) 11 अध्याय
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
13 अध्याय
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
यदि x = 23, y = 23 तब x = y, यह यूक्लिड का कौन-सा अभिग्रहित है?
(a) 6 वाँ
(b) 5 वाँ
(c) 4 वाँ
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
6वाँ
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 4.
पिरामिड का आधार (NCERT Exemplar)
(a) केवल आयत
(b) केवल त्रिभुज
(c) कोई बहुभुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
कोई बहुभुज।
अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 9.1 Introduction to Euclid’s Geometry स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
निम्न में से सही कथन के लिए सत्य तथा गलत के लिए असत्य लिखें। (NCERT Exemplar)
(i) वह कथन जिसे सिद्ध किया गया है, अभिग्रहित कहलाता है।
(ii) एक सतह की भुजाएँ, वक्र होती हैं।
(iii) दो प्रतिच्छेदी रेखाएं कभी समान्तर नहीं होती।
(iv) दो बराबर वस्तुओं को दोगुना करने पर प्राप्त संख्याएँ भी बराबर होती हैं।
(v) ठोस की सीमाएँ, वक्र होती हैं।
हलः
(i) असत्य
(ii) सत्य
(iii) सत्य
(iv) सत्य
(v) असत्य

प्रश्न 2.
निम्न कथन को पढ़ें
एक वर्ग ऐसा बहुभुज है जो चार बराबर रेखाखण्डों से बना है तथा सभी कोण समकोण होते हैं। वह पद बताइये जो इस परिभाषा के लिए आवश्यक है।
हलः
यूक्लिड की अभिधारणा।

प्रश्न 3.
दो अभिधारणायें लें
(i) दो भिन्न-2 बिन्दुओं A व B के बीच, एक तीसरे बिन्दु C का अस्तित्व है। जो A व B के बीच है।
(ii) तीन विभिन्न बिन्दुओं का अस्तित्व है जो एक रेखा पर नहीं है।
क्या इन अभिकल्पनाओं में कोई अपरिभाषित पद है? क्या ये यूक्लिड अभिग्रहित का अनुसरण करते हैं?
हलः
ये यूक्लिड के अभिग्रहित का अनुसरण करते हैं।

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में यदि ∠ABC = ∠ACB, ∠3 = ∠4, तब सिद्ध कीजिए कि ∠1 = ∠2. (NCERT Exemplar) .
हलः
∠ABC = ∠ACB
∠4 + ∠1 = ∠3 + ∠2
∵ ∠3 – ∠4 (दिया है)
∴ ∠1 = ∠2

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि किसी दिये रेखाखण्ड पर एक समबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है।
हलः
यदि BC एक रेखाखण्ड दिया है। बिन्दु B तथा C पर रेखाखण्ड BC के बराबर दो रेखाखण्ड AB तथा AC काटें, जिससे ∠ABC तथा ∠ACB 60° के कोण बनते हैं। इस प्रकार AB तथा AC को मिलाया। अत: ∆ABC एक समबाहु ∆ बनेगा।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक रेखाखण्ड का एक और केवल एक मध्य बिन्दु होता है।
हलः
यूक्लिड के अभिग्रहित से एक ही वस्तु के आधे परस्पर बराबर होते हैं। अतः प्रत्येक रेखाखण्ड का एक और केवल एक मध्य बिन्दु होता है।

प्रश्न 7.
क्या यूक्लिड की पांचवी अभिधारणा समान्तर रेखाओं का अस्तित्व स्वीकार करती है।
हलः
इसके अनुसार यदि दो रेखायें एक ही रेखा के समान्तर हैं तो वे एक दूसरे के भी समान्तर होंगे।

प्रश्न 8.
किसी रेखा के समान्तर, दो समान्तर रेखाएं परस्पर समान्तर होती हैं।
हलः
माना m तथा n के समान्तर नही हैं तब m और n एक बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती है –
इस प्रकार l के बाहर एक बिन्दु P से, दो रेखायें m और n, l के समान्तर है। यह (समान्तर जो समान्तर अभिग्रहित का विलोम है, हमारी कल्पना गलत है।
m ∥ n

प्रश्न 9.
दो विभिन्न रेखाओं का एक से अधिक उभयनिष्ठ बिन्दु नहीं हो सकता। सिद्ध कीजिए।
हलः
यदि l और m दो भिन्न रेखायें है माना l ∩ m में दो बिन्दु P व Q है तब ! के बिन्दु P और Q हैं।
तथा m के बिन्दु P और Q हैं। किन्तु यहाँ दो (UPBoardSolutions.com) भिन्न बिन्दुओं से केवल और केवल एक l रेखा गुजरती है इसलिए l = m अतः यह मानना कि और m दो भिन्न रेखायें है, गलत है अत: दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं हो सकता।

प्रश्न 10.
दिये गये चित्र में AD = [latex]\frac{1}{2}[/latex] AB तथा BE = [latex]\frac{1}{2}[/latex] BC, यदि AB = BC सिद्ध कीजिए कि AD = CE
हलः
∵ AB = BC .
∴ [latex]\frac{1}{2}[/latex] AB = [latex]\frac{1}{2}[/latex] BC
∴ AD = CE

प्रश्न 11.
माना किसी रेखा पर तीन बिन्दु P, Q व R हैं यदि P व R के बीच बिन्दु Q है तब सिद्ध C कीजिए कि PR – QR = PQ
हलः
यदि एक सरल रेखा पर तीन बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि Q, P तथा R के बीच में स्थित है, तब
सिद्ध करना है : PR – QR = PQ
उपपत्ति : सदिश विश्लेषण से,

परिमाण लेने पर, PR – QR = PQ

प्रश्न 12.
संलग्न चित्र में AC = XD व C, AB का तथा D, XY के मध्य बिन्दु हैं। यूक्लिड अभिग्रहित का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि AB = XY

हलः
∵ C, AB का मध्य बिन्दु है, तब
AC = BC = [latex]\frac{A B}{2}[/latex] ………………(1)
यदि D, XY का मध्य बिन्दु है, तब
XD = DY = [latex]\frac{X Y}{2}[/latex]
दिया है : AC = XD
[latex]\frac{A B}{2}=\frac{X Y}{2}[/latex] [समी० (1) व (2) से]
⇒ AB = XY यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
नीचे दिये गये चित्र से सिद्ध कीजिए कि AB = CD, यदि AC = BD

हलः
यदि
AC = BD
AD = AB + BD …………….. (1)
AD = AC + CD …………….(2)
समी० (1) व (2) से,
AB + BD = AC + CD [∵AC = BD]
AB = CD

प्रश्न 14.
यदि कोई बिन्दु 0, बिन्दुओं P व R के मध्य स्थित है तथा PO = OR तब सिद्ध कीजिए कि
PO = (1/2)PR
हलः

∵ बिन्दु 0, बिन्दुओं P व R के मध्य स्थित है, तब
PO = OR
= PR – PO
⇒ PO + PO = PR
⇒ 2PO = PR
⇒ PO = [latex]\frac{1}{2}[/latex] PR

प्रश्न 15.
यदि कोई बिन्दु E बिन्दुओं D व F के बीच इस प्रकार स्थित है कि DE = EF, सिद्ध कीजिए कि
DE = [latex]\frac{1}{2}[/latex] DF
हलः

दिया है,
DE = EF
= DF – DE
⇒ DE + DE = DF
⇒ 2DE = DF
⇒ DE = [latex]\frac{1}{2}[/latex] DF

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 13 Surface Area and Volumes Ex 13.1 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

प्रश्न 1.
तीन घनों, जिनकी भुजाएँ क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी हैं, से एक घन बनायें तथा नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी ज्ञात करें।
हलः
माना नये घन की भुजा = a सेमी
तथा दिये गये तीन घनों की भुजायें a₁ = 3 सेमी, a₂ = 4 सेमी तथा a₃ = 5 सेमी हैं।
तब, नये घन का (UPBoardSolutions.com) आयतन = तीनों घनों का आयतन
a³ = a₁³ + a₂³ + a₃³
a³ = (3)³ + (4)³ + (5)³
a³ = 27 + 64 +125
a³ = 216
a³ = (6)³
a = 6 सेमी
नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × (6)² = 6 × 36 = 216 सेमी²

प्रश्न 2.
53 सेमी × 40 सेमी × 15 सेमी आकार का एक ठोस घनाभ पिघलाया जाता है तथा उससे बेलनाकार पाईप बनाये जाते हैं जिनका बाह्य एवं आन्तरिक व्यास क्रमशः 8 सेमी तथा 7 सेमी हैं। पाईप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
ठोस घनाभ की मापे, लम्बाई l = 53 सेमी, चौड़ाई b = 40 सेमी तथा ऊँचाई h = 15 सेमी
बेलनाकार पाईप का बाह्य तथा आन्तरिक व्यास क्रमशः 8 सेमी तथा 7 सेमी
तब R = [latex]\frac{8}{2}[/latex] = 4 = सेमी, r = [latex]\frac{7}{2}[/latex] = 3.5 सेमी
माना, पाईप की लम्बाई l सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार, बेलनाकार पाईप का (UPBoardSolutions.com) आयतन = ठोस घनाभ का आयतन
π(R² – r²)l = l × b × h
[latex]\frac{22}{7}[/latex] (4)² – (3.5)²] × l = 53 × 40 × 15

प्रश्न 3.
5.5 सेमी × 10 सेमी × 14 सेमी के एक घनाभ को पिघलाकर 1.75 सेमी व्यास तथा 2 मिमी मोटाई के कितने सिक्के बनाये जाते हैं?
हलः
घनाभ का आयतन = 5.5 × 10 × 14 = 770 सेमी³
सिक्के का व्यास = 1.75 सेमी
सिक्के की त्रिज्या r = [latex]\frac{1.75}{2}[/latex] सेमी
सिक्के की मोटाई h = 2 मिमी = [latex]\frac{2}{10}[/latex] = 0.2 सेमी
तब, एक सिक्के का आयतन = πr²h

प्रश्न 4.
11 डेकामी × 1 मी × 5 डेकामी  आकार की एक धातु की शीट से 5 सेमी व्यास की कितनी गोलियाँ बनायी जा सकती हैं?
हलः
धातु का आयतन = 11 डेकामी × 1 मीटर × 5 डेकामी
= 11 × 10 सेमी × 1 × 100 सेमी × 5 × 10 सेमी
= 110 × 100 × 50 = 550000 सेमी³
तथा गोली का व्यास = 5 (UPBoardSolutions.com) सेमी
तब गोली की त्रिज्या r = [latex]\frac{5}{2}[/latex] सेमी

प्रश्न 5.
दो घनों जिनमें प्रत्येक की भुजा 10 सेमी है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक घनाभ बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

दो घनों जिनमें प्रत्येक भुजा = 10 सेमी है।
तब, घनाभ की लम्बाई l = 10 +10 = 20 सेमी
चौड़ाई b = 10 सेमी तथा (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई h = 10 सेमी
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(20 × 10 + 10 × 10 + 10 × 20)
= 2(200 + 100 + 200) = 2 × 500 = 1000 सेमी²

प्रश्न 6.
2.2 डेकामी घन धातु से 0.25 सेमी व्यास का एक तार खींचा जाता है। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
तार का व्यास = 0.25 सेमी तब तार की त्रिज्या r = [latex]\frac{0.25}{2}[/latex] सेमी
माना, तार की लम्बाई = h सेमी
तब, प्रश्नानुसार, धातु का आयतन = 2.2 डेकामी घन
= 2.2 × 10 × 10 × 10 घन सेमी = 2200 घन सेमी
∵ धातु में से तार बनाया जाता है।
∴ तार का आयतन = घातु का आयतन

प्रश्न 7.
तीन घनों, जिनमें प्रत्येक की भुजा 5 सेमी है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक घनाभ बनाया जाता है। इससे प्राप्त धनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
तीन घनों, जिनमें प्रत्येक की (UPBoardSolutions.com) भुजा = 5 सेमी

तब, घनाभ की मांपें क्रमशः
लम्बाई l = 5 + 5 + 5 = 15 सेमी, चौड़ाई b = 5 सेमी तथा ऊँचाई h = 5 सेमी
अतः घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(15 × 5 + 5 × 5 + 5 × 15)
= 2(75 + 25 + 75)
= 2 × 175 = 350 सेमी²

प्रश्न 8.
2 सेमी व्यास के ठोस बेलन की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिससे 16 सेमी लम्बाई, बाह्य व्यास 20 सेमी तथा मोटाई 2.5 मिमी से एक खोखला बेलन बनाया जा सके।
हलः
माना, ठोस बेलन की लम्बाई । सेमी है।
ठोस बेलन का व्यास = 2 सेमी
ठोस बेलन की त्रिज्या r = [latex]\frac{2}{2}[/latex] = 1 सेमी
खोखले बेलन की लम्बाई H = 16 सेमी
खोखले बेलन का बाह्य व्यास (UPBoardSolutions.com) = 20 सेमी
खोखले बेलन की बाह्य त्रिज्या r₁ = [latex]\frac{20}{2}[/latex] = 10 सेमी
तथा मोटाई = 2.5 मिमी = [latex]\frac{2.5}{10}[/latex] सेमी = 0.25 सेमी
खोखले बेलन की भीतरी त्रिज्या r₂ = 10 – 0.25 = 9.75 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, ठोस बेलन का आयतन = खोखले बेलन का आयतन
πr²h = π(r₁² – r₂²)H
(1)² × h = [(10)² – (9.75)²] × 16
1 × h = [100 – 95.0625] × 16 = 4.9375 × 16
h = 79 सेमी

प्रश्न 9.
9 सेमी आन्तरिक त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोलीय कटोरा एक द्रव से भरा है। इस दव को 3 सेमी व्यास और 4 सेमी ऊँचाई वाले छोटे-छोटे बेलनाकार बोतलों में भरना है। कटोरा खाली करने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी?
हलः
अर्द्धगोलीय कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या R = 9 सेमी

प्रश्न 10.
25 वृत्तीय प्लेटों, जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या 10.5 सेमी तथा मोटाई 1.6 सेमी है, को एक के ऊपर एक ठोस वृत्तीय बेलन के रूप में रखा गया है। प्राप्त बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्तीय प्लेट की त्रिज्या r = 10.5 सेमी तथा मोटाई h = 1.6 सेमी
माना, ठोस बेलन की त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) R = 10.5 सेमी तथा ऊँचाई H = 1.6 × 25, H = 40 सेमी
बेलन का वक्रपृष्ठ = 2πRH = 2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10.5 × 40 = 2640 सेमी²
तथा बेलन का आयतन = πr²h = [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10.5 × 40 = 13860 सेमी³

प्रश्न 11.
एक धातुई गोले का व्यास 6 सेमी है। इसे पिघलाकर, एक व्यास 0.2 सेमी अनुप्रस्थ काट का तार बनाया जाता है। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
धातुई गोले का व्यास = 6 सेमी, तथा तार का व्यास = 0.2 सेमी
धातुई गोले की त्रिज्या R = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3 सेमी, तथा तार की त्रिज्या r = [latex]\frac{0.2}{2}[/latex] = 0.1 सेमी
माना, तार की लम्बाई = h सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार, तार का आयतन = धातुई गोले का आयतन

प्रश्न 12.
यदि खोखले गोले का आन्तरिक एवं बाह्य व्यास क्रमशः 6 सेमी तथा 10 सेमी है। यदि इसे पिघलाकर 14 सेमी व्यास के एक ठोस बेलन के रूप में बनाया जाता है। तो बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
खोखले गोले की आन्तरिक त्रिज्या r = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3 सेमी
खोखले गोले की बाह्य त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) R = [latex]\frac{10}{2}[/latex] = 5 सेमी
ठोस बेलन की त्रिज्या r₁ = [latex]\frac{14}{2}[/latex] = 7 सेमी
माना, बेलन की ऊँचाई = h सेमी
तब, प्रश्नानुसार, ठोस बेलन का आयतन = खोखले गोले का आयतन

प्रश्न 13.
एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई 8.4 सेमी तथा इसके आधार की त्रिज्या 2.1 सेमी है। इसे पिघलाकर, एक गोला बनाया जाता है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, गोले की त्रिज्या = r सेमी तथा शंकु की त्रिज्या R = 2.1 सेमी
और शंकु की ऊँचाई H = 8.4
सेमी तब, प्रश्नानुसार, गोले का आयतन = शंकु का आयतन

प्रश्न 14.
80 मी लम्बे तथा 50 मीटर चौड़े एक आयताकार टैंक में 500 व्यक्तियों को डुबाया जाता है। यदि प्रत्येक व्यक्ति द्वारा पानी के स्तर में 0.04 मीटर³ की वृद्धि की जाती है तो टैंक के पानी के स्तर में कुल बढ़ोतरी ज्ञात कीजिए।
हलः
आयताकार टैंक की लम्बाई l = 80 मीटर, चौड़ाई b = 50 मीटर
माना, पानी के स्तर में बढ़ोत्तरी = h मीटर
तब, प्रश्नानुसार, आयताकार टैंक (UPBoardSolutions.com) में ऊपर उठे पानी का आयतन = 500 × 0.04 मीटर³
l × b × h = 20 मी³
80 × 50 × h = 20
h = [latex]\frac{20}{80 \times 50}=\frac{1}{4 \times 50}=\frac{1}{200}[/latex] = 0.005 मीटर
h = 0.005 × 100 = 0.500 = 0.5 सेमी

प्रश्न 15.
12 सेमी आधार त्रिज्या तथा 24 सेमी ऊँचाई के धातु के एक शंकु को पिघलाकर 6 सेमी व्यास की कितनी ठोस वृत्तीय गेंद बनायी जा सकती हैं?
हलः
शंकु के आधार की त्रिज्या R = 12 सेमी तथा ऊँचाई H = 24 सेमी
ठोस वृत्तीय गेंद की त्रिज्या r = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3 सेमी
तब, शंकु का आयतन = [latex]\frac{1}{3}[/latex]πR²H

प्रश्न 16.
21 सेमी व्यास के एक धातु के गोले को पिघलाकर 3.5 सेमी व्यास का तथा 3 सेमी ऊँचाई के छोटे कितने शंकु बनाये जा सकते हैं?
हलः
धातु के गोले का व्यास = 21 सेमी
धातु के गोले की त्रिज्या R = [latex]\frac{21}{2}[/latex] सेमी

प्रश्न 17.
एक गोल कैरम बाल जिसका व्यास 28 सेमी है, को पिघलाकर 35 सेमी आधार के व्यास वाला लम्ब वृत्तीय शंकु बनाया गया है। शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
गोल कैरम बाल का व्यास = 28 सेमी
गोल कैरम बाल की त्रिज्या r₁ = [latex]\frac{28}{2}[/latex] = 14 सेमी
तथा लम्बवृत्तीय शंकु का व्यास (UPBoardSolutions.com) = 35 सेमी व ऊँचाई h = ?
लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या r₂ = [latex]\frac{35}{2}[/latex] = 17.5 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, शंकु का आयतन = गोल कैरम बॉल का आयतन

प्रश्न 18.
1 सेमी आन्तरिक त्रिज्या वाले वत्ताकार पाईप से 80 सेमी/सेकण्ड की दर से एक खाली बेलनाकार टैंक जिसके आधार की त्रिज्या 40 सेमी है, में पानी भर रहा है। आधे घण्टे में टैंक में पानी का स्तर कितना ऊँचा उठेगा?
हल:
वृत्ताकार पाईप की आन्तरिक त्रिज्या r = 1 सेमी
तथा वृत्ताकार पाईप से पानी निकलने की रफ्तार = 80 सेमी/सेकण्ड
अर्थात् 1 सेकण्ड में पानी की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) h = 80 सेमी
तथा बेलनाकार टैंक के आधार की त्रिज्या R = 40 सेमी
माना, बेलनाकार टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई H सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार,
बेलनाकार टेंक में ऊपर उठे पानी का आयतन = [latex]\frac{1}{2}[/latex] घण्टे (1800 सेकण्ड) में वृत्ताकार पाईप द्वारा भरे पानी का आयतन
πR²H = πr²h × 1800
π × 40 × 40 × H = π × 1 × 1 × 80 × 1800
H =[latex]\frac{80 \times 1800}{40 \times 40}[/latex]
= 5 × 18 = 90 सेमी

प्रश्न 19.
एक खाली अर्द्धगोलीय बर्तन के आन्तरिक व बाह्य व्यास क्रमशः 21 सेमी तथा 25.2 सेमी हैं। 1 सेमी² सतह को पेंट करने में 10 पैसे लगते हैं। पूरे बर्तन को पेंट करने में कुल लागत ज्ञात कीजिए।
हलः
अर्द्धगोलीय बर्तन के आन्तरिक व बाह्य व्यास क्रमशः 21 सेमी तथा 25.2 सेमी है।
तब, बर्तन की बाह्य त्रिज्या R = [latex]\frac{25.2}{2}[/latex] = 12.6 सेमी
और बर्तन की आन्तरिक त्रिज्या r = [latex]\frac{21}{2}[/latex] = 10.5 सेमी
अर्द्धगोलीय बर्तन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πR² + πr²
3 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 12.6 × 12.6 + [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10.5 × 10.5
= 1496.88 + 346.5
= 1843.38 सेमी
∵ 1 सेमी² सतह को पेंट कराने की लागत = 10 पैसे
∴ 1843.38 सेमी² सतह को पेंट कराने की कुल लागत = 1843.38 × 10
= 18433.80 पैसे
= ₹[latex]\frac{18433.80}{100}[/latex] = ₹184.34
= ₹184.34

प्रश्न 20.
एक खोखले 14 सेमी लम्बे लम्ब वृत्तीय बेलन के आन्तरिक एवं बाह्य वक्र पृष्ठों का अन्तर 88 सेमी है। यदि बेलन को बनाने में लगी धातु का आयतन 176 सेमी³ है तो बेलन के आन्तरिक व बाह्य व्यास ज्ञात कीजिए। (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex])
हल:
माना, खोखले बेलन की बाह्य त्रिज्या r₁ तथा आन्तरिक त्रिज्या r₂ सेमी है।
तथा खोखले बेलन की लम्बाई (UPBoardSolutions.com) h = 14 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, बेलन के आन्तरिक व बाह्य वक्रपृष्ठों का अन्तर = 88 सेमी

प्रश्न 21.
40 सेमी आधार त्रिज्या के बेलनाकार टैंक, एक बेलनाकार पाईप से 2.52 किमी/घण्टा की दर से पानी भर रहा है। आधे घण्टे में टैंक में पानी का स्तर 3.15 मीटर बहता है तो पाईप का आन्तरिक व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, पाईप की आन्तरिक त्रिज्या = r सेमी तथा पाईप से निकले पानी की ऊँचाई h = 2.52 किमी
h = 2.52 × 1000 × 100 सेमी
h = 252000 सेमी
तथा बेलनाकार टैंक के आधार की त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) R = 40 सेमी तथा टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई H = 3.15 मीटर
= 3.15 × 100 = 315 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, [latex]\frac{1}{2}[/latex] घण्टे में पाईप द्वारा भरे पानी का आयतन = बेलनाकार टैंक में पानी का आयतन

अतः पाईप का आन्तरिक व्यास = 2r = 2 × 2 = 4 सेमी

प्रश्न 22.
एक 5 मीटर चौड़े कपड़े से 14 मीटर व्यास तथा 24 मीटर ऊँचाई का एक शंक्वाकार तम्बु बनाया गया है। यदि इसमें लगे कपडे का मूल्य ₹ 25 प्रति मीटर है तो कुल लागत ज्ञात कीजिए।
हलः
शंक्वाकार तम्बु का व्यास = 14 मीटर तथा ऊँचाई h = 24 मीटर
तब, शंक्वाकार तम्बु की त्रिज्या r = [latex]\frac{14}{2}[/latex] = 7 मीटर

तम्बु में लगे कपड़े की कुल लागत = 110 × 25 = ₹ 2750

प्रश्न 23.
पानी से भरे एक बेलनाकार टैंक को 225 लीटर प्रति मिनट की दर से खाली किया जाता है। यदि इसके आधार का व्यास 3 मीटर तथा ऊँचाई 3.5 मीटर है तो कितने समय बाद आधा टैंक खाली हो जायेगा?
हलः
बेलनाकार टैंक का व्यास = 3 मीटर तथा ऊँचाई h = 3.5 मीटर
बेलनाकार टैंक की त्रिज्या r = [latex]\frac{3}{2}[/latex] × 100 = 150 सेमी, h = 3.5 × 100 = 350 सेमी
बेलनाकार टैंक में पूरे भरे पानी का आयतन = πr²h
[latex]\frac{22}{7}[/latex] × 150 × 150 × 350 = 24750000 सेमी³
तब आधे बेलनाकार टैंक का आयतन = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 24750000 = 12375000 सेमी³
1 मिनट में खाली टैंक का आयतन = 225 लीटर = 225 × 1000 = 225000 सेमी³
अतः आधे टैंक को खाली करने में लगा समय = [latex]\frac{12375000}{225000}[/latex] = 55 मीटर

प्रश्न 24.
1.4 सेमी व्यास के 150 मारबल के गोले, 7 सेमी व्यास के बेलनाकार बर्तन, जिसमें कुछ पानी है, में डुबोये जाते हैं। बर्तन में पानी का बढ़ा स्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
मारबल के गोले का व्यास = 1.4 सेमी
मारबल के गोले की त्रिज्या r = [latex]\frac{1.4}{2}[/latex] = 0.7 सेमी
तथा बेलनाकार बर्तन का (UPBoardSolutions.com) व्यास = 7 सेमी
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या R = [latex]\frac{7}{2}[/latex] = 3.5 सेमी
माना, बेलनाकार बर्तन में पानी का बढ़ा स्तर = h सेमी
तब, प्रश्नानुसार, बेलनाकार बर्तन में बढ़े पानी का आयतन = 150 मारबल के गोलो का आयतन

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.1 चतुर्भज

प्रश्न 1.
एक समान्तर चतुर्भुज का एक कोण उसके संलग्न (Adjacent) कोण का है। तब समान्तर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 110°,68° व 82° हैं। चौथा कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ चतुर्भुज के चारों कोणों का योगफल = 360°
माना चतुर्भुज का चौथा कोण = x
110° + 68°+ 82°+ x = 360°
260°+ x = 360°
x = 360° – 260° =100°

प्रश्न 3.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में सिद्ध कीजिए कि उसके दो क्रमागत कोणों का योग 180° होता है।
हलः
ज्ञात है— ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें ∠1 = ∠3 तथा ∠2 = ∠4
सिद्ध करना है- ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 = 180°

उपपत्ति-समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
∠1 = ∠3
∠2 = ∠4
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠4
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
(∠1 + ∠2) + (∠3+ ∠4) = 360°
2(∠1 + ∠2) = 360°

प्रश्न 4.
एक समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण (3x – 2)° व (50 – x)° हैं। इसके प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 5.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। x व y के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
∠A = ∠D
12x + 7y = 28°+60°
12x + 7y = 88° …(1)

∠B = ∠C
180°- 12x – 28°= 180° – 7y – 60°
152°- 12x = 120°-7y
-12x + 7y = 120°- 152°
-12x + 7y = -32°
समी० (1), (2) को हल करने पर y = 4, x = 5

प्रश्न 6.
चित्र में, ABCD एक आयत है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ आयत के विकर्ण समान होते हैं तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

AO = OC तथा
OB = OD
∆OBC में,
OB = OC तथा
∠OBC = ∠OCB = 580
x = 58°

प्रश्न 7.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा ∠DAP = 20°, ∠BAP = 40° तथा ∠ABP = 80° हैं, तो ∠APD व ∠BPC के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जहाँ ∠DAP = 20°
∠BAP = 40° तथा ∠ABP = 80°
समान्तर चतुर्भुज ABCD में AB||CD तथा PA व PB तिर्यक रेखायें काटती हैं।
∠PAB = ∠APD = 40° (एकान्तर कोण)
∠BPC = ∠PBA = 80° (एकान्तर कोण)

प्रश्न 8.
चित्र में, ABCD एक वर्ग है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 9.
चित्र में, PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है तथा PO व OQ क्रमश: ∠P व ∠Q पर के समद्विभाजक हैं। PQ के समान्तर रेखा LOM खीचें। तब सिद्ध कीजिए कि
(i) PL = QM (NCERT Exemplar)
(ii) LO = OM

हलः

प्रश्न 10.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
∠BCD = ∠DAB = 50°
∆BCD में,
∠B + ∠C + ∠D = 180°
80° + 50° + x = 180°
x = 180° – (80°+ 50°)
= 180° – 130° = 50°

प्रश्न 11.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा E भुजा BC का मधा बिन्दु है। DE व AB को बढ़ाने पर ये बिन्दु F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि AF = 2AB
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा E, BC का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 12.
यदि समान्तर चतुर्भुज का एक कोण, सबसे छोटे कोण के दोगुने से 24° कम है तो इसके सभी कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 13.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB||DC तथा भुजा AD व BC के मध्य बिन्दु क्रमशः E व F हैं। यदि AB = 8 सेमी व DC = 6 सेमी हैं तब EF की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 14.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जहाँ ∠DAB = 70° व ∠DBC = 50° । ∠CDB व ∠ADB के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∠A = ∠C = 70° (सम्मुख कोण)

∆BDC में, ∠BDC + ∠DCB + ∠DBC = 180°
∴ ∠BDC + 70°+ 50° = 180°
∠BDC = 180°– (50° + 70°) = 60°
∠ADB = ∠DBC (एकान्तर कोण)
= 50°

प्रश्न 15.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जहाँ ∠A = 45°तब ∠B, ∠C व ∠D के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है व ∠A = 45°
∠C = ∠A = 45° (सम्मुख कोण)
∠A + ∠B = 180°

(समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योगफल 180° होता है।)
45°+ ∠B = 180°
∠B = 180°- 45° = 135°
∠D = ∠B = 135° (सम्मुख कोण)

प्रश्न 16.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर ……………………. समद्विभाजित करते हैं।
(ii) वर्ग के विकर्ण ………………………. व परस्पर लम्बवत् होते हैं।
(iii) यदि किसी समान्तर चतुर्भुज की क्रमागत भुजाएँ बराबर हैं तब यह अवश्य एक ………. है।
(iv) एक समान्तर चतुर्भुज के क्रमागत कोण ……………….. होते हैं।
(v) एक ………………….. समान्तर चतुर्भुज होता है यदि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर हो।
हलः
(i) 90° के कोण पर
(ii) बराबर
(iii) सम चतुर्भुज
(iv) सम्पूरक कोण
(v) चतुर्भुज

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 8 Coordinate Geometry Ex 8.1 निर्देशांक ज्यामिति

Ex 8.1 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
किसी बिन्दु का भुज किस चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है?
हलः
II तथा III चतुर्थांश में।

प्रश्न 2.
दो निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेद बिन्दु का नाम बताओ। (NCERT Exemplar)
हलः
दो निर्देशांक अक्षों का प्रतिच्छेद बिन्दु मूल बिन्दु कहलाता है।

प्रश्न 3.
बिन्दु (0, -9) किस अक्ष पर स्थित है?
हलः
∵ X-अक्ष निर्देशांक 0 है। इसलिए बिन्दु (0, -9) Y-अक्ष पर स्थित है।

प्रश्न 4.
बिन्दु (0, -6) की मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात करो।
हलः
बिन्दु (0, -6) में x-अक्ष निर्देशांक 0 है तथा y-अक्ष निर्देशांक -6 है इसलिए बिन्दु (0, -6) की मूल बिन्दु से दूरी 6 मात्रक है।

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु A(2, 0), B(-6, 0) तथा C(3, a – 3) x-अक्ष पर स्थित है तो a का मान ज्ञात करो।
हलः
∵ बिन्दु C, x-अक्ष पर स्थित है।
∴ बिन्दु C का y-अक्ष निर्देशांक = 0
a – 3 = 0 ⇒ a = 3

Ex 8.1 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 6.
वह चतुर्थांश ज्ञात कीजिए जिसमें निम्न बिन्दु स्थित हैं
(i) (-1,-4)
(ii) (4, 1)
(iii) (3, -2)
(iv) (-3, 1)
(v) (7, 2)
(vi) (-3, -2)
(vii) (-6, 4)
(viii) (2, -2)
हल:
(i) (-1, -4) स्थित होगा – तृतीय चतुर्थांश
(ii) (4, 1) स्थित होगा – प्रथम चतुर्थांश
(iii) (3, -2) स्थित होगा। – चतुर्थ चतुर्थांश
(iv) (-3, 1) स्थित होगा – द्वितीय चतुर्थांश
(v) (7, 2) स्थित होगा। – प्रथम चतुर्थांश
(vi) (-3, -2) स्थित होगा – तृतीय चतुर्थांश
(vii) (-6, 4) स्थित होगा – द्वितीय चतुर्थांश
(viii) (2, -2) स्थित होगा – चतुर्थ चतुर्थांश

Ex 8.1 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 11.
निम्न अंकित बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

हलः
बिन्दु P = (4, -6)
बिन्दु G = (3, 2)
बिन्दु N = (-1, -1)
बिन्दु Q = (-1, 3)
बिन्दु H = (-3, 1)
बिन्दु S = (5, 6)
बिन्दु I = (3, -2)

Ex 8.1 Coordinate Geometry बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
किसी बिन्दु A(4, 3) की y-अक्ष से लम्बवत् दूरी
(a) 4 इकाई
(b) 3 इकाई
(c) 2 इकाई
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
बिन्दु A (4, 3) की y-अक्ष से लम्बवत् दूरी = 4 इकाई

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
वह बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हों, वह किस चतुर्थांश में स्थित होगा (NCERT Exemplar)
(a) IV
(b) III
(c) II
(d) I
हल:
जिस बिन्दु के दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हों, वह बिन्दु तीसरे चतुर्थांश में होगा।.

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
बिन्दु A(7, 5) की y-अक्ष से लम्बवत् दूरी (इकाई में)- .
(a) 35 इकाई
(b) 12 इकाई
(c) 7 इकाई
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
x = 7
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.
द्वितीय चतुर्थांश में किसी बिन्दु के भुज एवं कोटि के चिह्न हैं (NCERT Exemplar)
(a) (+, +)
(b) (+, -)
(c) (-, +)
(d) (-, -)
हलः
द्वितीय चतुर्थांश में किसी बिन्दु के भुज एवं कोटि के चिह्न (-, +) होगा।
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 5.
किसी बिन्दु की कोटि धनात्मक किस चतुर्थांश में होती है?
(a) I, II
(b) II, III
(c) III, IV
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
किसी बिन्दु की कोटि धानात्मक प्रथम तथा द्वितीय चतुर्थांश में होगी।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
x-अक्ष पर सभी बिन्दुओं के भुज का मान (NCERT Exemplar)
(a) 0
(b) धनात्मक वास्तविक संख्या
(c) कोई वास्तविक संख्या
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
कोई वास्तविक संख्या।
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
वह बिन्दु, जिसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हो, किस चतुर्थांश में स्थित होगा?
(a) I
(b) II
(c) III
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
प्रथम चतुर्थांश।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 8.
यदि x ≠ y, तब (x, y) + (y, x), परन्तु यदि x = y तब
(a) (x, y) ≠ (y, x)
(b) (x, y) = (y, x)
(c) (x, y) = (-x, y)
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(x, y) = (y, x)
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 9.
यदि A = A(-2, 3), B = B(-3, 5 ) तब (A का भुज) – (B का भुज) = (NCERT Exemplar)
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) -3
हलः
A का भुज – B का भुज = -2 + 3 = 1
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 10.
यदि 0(0, 0), A(4, 0) तथा B (0, 6) तब ∆OAB का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में)
(a) 8
(b) 10
(c) 12
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∆OAB का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × OA × OB
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 4 × 6 = 12 वर्ग इकाई

अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 8.1 Coordinate Geometry स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
निम्न बिन्दुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करें।
(i) (3, 5)
(ii) (-3, 4)
(iii) (-3, -4)
हलः

प्रश्न 2.
बिन्दु A(2, 0), B(5, 0) तथा C(5, 3) को ग्राफ पर अंकित करें तथा एक बिन्द D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसके लिए ABCD एक वर्ग है।
हल:
ABCD एक वर्ग होगा यदि AB = BC = CD = DA
ग्राफ से स्पष्ट है कि AB = BC = CD = DA = 3 इकाई
∴ बिन्दु D के निर्देशांक = (2, 3)

प्रश्न 3.
x-अक्ष पर मूल बिन्दु के दायीं ओर, y-अक्ष से 5 इकाई दूरी पर एक बिन्दु है। यदि यह y-अक्ष पर मूल बिन्दु से नीचे x-अक्ष से 5 इकाई दूरी पर है तो उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करो।
हलः
बिन्दु M के निर्देशांक = (5, 0)
बिन्दु N के निर्देशांक = (0, -5)

प्रश्न 4.
वे क्रमित युग्म ज्ञात कीजिए जिसके लिए x + 3y = 6 तथा उनका अभिलम्ब ज्ञात कीजिए। इस तरह के कितने क्रमित युग्म प्राप्त किये जा सकते हैं तथा कितनों का आलेखन किया जा सकता है?
हलः
x + 3y = 6
x = 6 – 3y …………..(1)

x	6	3	0
y	0	1	2

इस प्रकार (6, 0) (3, 1) तथा (0, 2) क्रमित युग्म प्राप्त हो सकते हैं।
इस प्रकार अनन्त क्रमित युग्मों का आलेखन किया जा सकता है।

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में, ABCD एक आयत है जिसकी लम्बाई 6 सेमी तथा चौड़ाई 3 सेमी है। 0, रेखा AB का मध्य बिन्दु है। A, B, C व D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु A = (-3, 0)
बिन्दु B = (3, 0)
बिन्दु C = (3, 3)
बिन्दु D = (-3, 3)

प्रश्न 6.
बिन्दु P = (2, -6) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए तथा x व y-अक्ष पर इस बिन्दु से लम्ब क्रमशः PM व PN डालें तो M तथा N के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हलः
बिन्दु P = (2, -6) से x-अक्ष पर PM तथा y-अक्ष पर PN लम्ब
डालें। बिन्दु M के निर्देशांक = (2, 0)
M बिन्दु N के निर्देशांक = (0, -6)

प्रश्न 7.
तृतीय चतुर्थांश में स्थित उस आयत के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। जिसकी लम्बाई x-अक्ष पर p इकाई तथा y-अक्ष पर चौड़ाई q इकाई है।
हलः
II चतुर्थांश में आयत OPQR स्थित है।
बिन्दु O के निर्देशांक = (0, 0)
बिन्दु P के निर्देशांक = (0, -q)
बिन्दु Q के निर्देशांक = (-p, -4)
बिन्दु R के निर्देशांक = (-p, 0)

प्रश्न 8.
बिन्दुओं B(-5, 3), E(-3, -2), S(4, -2) तथा T(1, 3) को ग्राफ पेपर पर आलेखन करें तथा इनको क्रम से मिलायें, यह भी बताइये कि ये बिन्दु किस चतुर्थांश में स्थित हैं?
हलः
बिन्दु B, II चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु E, III चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु S, IV चतुर्थांश में स्थित है।’
बिन्दु T, I चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 9.
बिन्दु M के निर्देशांक (-2, 9) है इसको (1 + x, y²) तथा y > 0 से भी निरूपित करते हैं। निम्न बिन्दु किस चतुर्थांश में स्थित है, यह ज्ञात कीजिए। P(y, x), Q(s, x), R(x², y – 1), S(2x, -3y)
हलः
∵ बिन्दु M के निर्देशांक = (-2, 9)
बिन्दु M के निर्देशांक = (1 + x, y²)
x निर्देशांक की तुलना से, 1 + x = -2
x = -2 – 1 = -3
Y निर्देशांक की तुलना से, y² = 9
y = [latex]\sqrt{9}=[/latex] = +3 [∵ y > 0]
∴ बिन्दु P के निर्देशांक = (y, x) = (3, – 3) जो IV चतुर्थांश में है।
बिन्दु Q के निर्देशांक = (z, x) = (2, – 3) जो IV चतुर्थांश में है।
बिन्दु R के निर्देशांक = (x², y – 1) = (9, 2) जो I चतुर्थांश में है।
बिन्दु S के निर्देशांक = (2x, -3y) = (-6, -9) जो III चतुर्थांश में है।

प्रश्न 10.
संलग्न चित्र में, PQR एक समबाहु त्रिभुज है जिसके बिन्दु व R के निर्देशांक क्रमशः (0, 6) व (0, -6) हैं। शीर्ष P के निर्देशांक ज्ञात करो।
हलः
बिन्दु Q = (0, 6), बिन्दु R = (0, -6)
∴ OQ = 6 मात्रक, OR = 6 मात्रक
∴ QR = 6 + 6 = 12 मात्रक
∴ PR = PQ = 12 मात्रक
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई OP = QR × [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] = 12 × [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] = [latex]6 \sqrt{3}[/latex]
∴ बिन्दु P = ([latex]6 \sqrt{3}[/latex], 0)

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