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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.1 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

Ex 6.1 Remainder Theorem and Factor Theorem अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
बहुपद 5x³ – 2x² – 7x + 1 को x से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब 5x³ – 2x² – 7x + 1 को x से विभाजित किया जाता है तो x = 0 रखने पर
शेषफल = 0 – 0 – 0 + 1 = 1

प्रश्न 2.
बहुपद p(x) को (x – a) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
जब P(x) को (x – a) से विभाजित किया जाता है तो x – a = 0
∴ x = a रखने पर
शेषफल = P(a)

प्रश्न 3.
बहुपद p(x) को (ax – b) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब P(x) को (ax – b) से विभाजित किया जाता है तो ax – b = 0 या x = [latex]\frac{b}{a}[/latex] रखने पर
शेषफल = [latex]\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}}\right)[/latex]

प्रश्न 4.
बहुपद x³ – 2x² + x + 1 को (x – 1) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ – 2x² + x + 1 को (x – 1) से विभाजित किया जाता है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)³ – 2(1)² + 1 + 1 = 1 – 2 + 1 + 1 = 1

प्रश्न 5.
बहुपद x³¹ + 31 को (x + 1) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब x³¹ + 31 को (x + 1) से विभाजित किया जाता है तो x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = -1
शेषफल = (-1)³¹ + 31 = -1 + 31 = 30

प्रश्न 6.
बहुपद 3x³ – 4x² + 7x – 5 को (x – 3) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
जब 3x³ – 4x³ + 7x – 5 को (x – 3) से विभाजित किया जाता है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = 3(3)³ – 4(3)² + 7(3) – 5 = 3. 27 – 36 + 21 – 5 = 81 – 36 + 21 – 5 = 102 – 41 = 61

प्रश्न 7.
बहुपद x³ + 5x² – 2 को (x – 1) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ + 5x² – 2 को (x – 1) से विभाजित किया जाता है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)³ + 5(1)² – 2 = 1 + 5 – 2 = 4

Ex 6.1 Remainder Theorem and Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 8.
शेषफल ज्ञात कीजिए यदि 3x³ – 4x² + 7x – 5 को (x + 3) से भाग दिया जाता है।
हलः
जब 3x³ – 4x² + 7x – 5 को (x + 3) से विभाजित किया जाता है तो
x + 3 = 0 या X = 0 – 3 = -3 रखने पर
शेषफल = 3(-3)³ – 4(-3)² + 7(-3) – 5 = 3(-27) – 4(9) – 21 – 5
= -81 – 36 – 21 – 5 = -143

प्रश्न 9.
x = 3 पर p(x) का मान ज्ञात कीजिए यदि p(x) = 3x² – 4x + [latex]\sqrt{17}[/latex]
हल:
P(x) = 3x² – 4x + [latex]\sqrt{17}[/latex], यदि x = 3
शेषफल = 3(3)² – 4 × 3 + [latex]\sqrt{17}[/latex] = 27 – 12 + [latex]\sqrt{17}[/latex] = 15 + [latex]\sqrt{17}[/latex]

प्रश्न 10.
शेषफल ज्ञात कीजिए यदि f (x) = 3x⁴ + 29x³ – 5a²x² + 5x को (x – a) से भाग दिया जाता है।
हल:
f(x) = 3x⁴ + 29x³ – 5a²x² + 5x को (x – a) से विभाजित किया जाता है तो
x – a = 0 या x = 0 + a = a
शेषफल = 3a⁴ + 29a³ – 5a². a² + 5a = 3a⁴ + 29a³ – 5a⁴ + 5a = -2a⁴ + 29a³ + 5a

प्रश्न 11.
शेषफल ज्ञात कीजिए यदि P(x) = x³ – 3x² + 4x + 50 को (x – 3) से भाग दिया जाता है।
हल:
P(x) = x³ – 3x² + 4x + 50 को (x -3) से भाग किया जाता है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = (3)³ – 3(3)² + 4 × 3 + 50 = 27 – 27 + 12 + 50 = 62

Ex 6.1 Remainder Theorem and Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 12.
शेषफल प्रमेय का प्रयोग करते हुए निम्न में शेषफल ज्ञात कीजिए जब f(x) को g(x) से भाग दिया जाता है।

हल:

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि 2x³ + 13x² + x – 70, (x – 2) से विभाजित है।
हल:
2x³ + 13x³ + x – 70 को (x – 2) से भाग करने पर x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = 2(2)³ + 13(2)² + 2 – 70 = 16 + 52 + 2 – 70 = 0
अत: 2x³ + 13x² + x – 70, (x – 2) से पूर्णतया विभाजित होगा।

प्रश्न 14.
यदि बहुपदों px³ + 4x² + 3x – 4 व x³ – 4x + p को (x – 3) से भाग करने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तो सिद्ध कीजिए कि p = -1 (NCERT Exemplar)
हलः
जब Px³ + 4x² + 3x – 4 को (x – 3) से भाग करने पर x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = P(3)³ + 4(3)² + 3(3) – 4 = 27P + 36 + 9 – 4 = 27P + 41
जब x³ – 4x + P को (x – 3) से भाग करने पर x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = 3³ – 4(3) + P = 27 – 12 + P = 15 + P
∴ 27P + 41 = 15 + P
27P – P = 15 – 41
26P = -26.
P = [latex]\frac{-26}{26}[/latex] = -1

प्रश्न 15.
यदि px³ + 9x² + 4x – 10 को (x + 3) से भाग देने पर -22 शेषफल प्राप्त होता है तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
जब Px³ + 9x³ + 4x – 10 को (x + 3) से भाग किया जाता है तो x + 3 = 0 या x = -3 रखने पर
शेषफल = P(-3)³ + 9(-3)² + 4(-3) – 10 = -22
-27P + 81 – 12 – 10 = -22
-27P = -22 – 81 + 22
– 27P = -81
P = [latex]\frac{-81}{-27}[/latex] = 3

प्रश्न 16.
यदि बहुपद f (x) = x⁴ – 2x³ + 3x² – ax + b को (x – 1) और (x + 1) से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 व 19 प्राप्त होते हैं, तो a व b के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f(x) = x⁴ – 2x³ + 3x² – ax + b को (x – 1) से भाग किया जाता है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)⁴ – 2(1)³ + 3(1)² – a(1) + b = 1 – 2 + 3 – a + b = 2 – a + b
प्रश्नानुसार, 2 – a + b = 5
-a + b = 5 – 2 = 3 ⇒ – a + b = 3 ………………(1)
प्रश्नानुसार, यदि f(x) को (x + 1) से भाग किया जाता है तो
x + 1 = 0 या x = -1 रखने पर
शेषफल = (-1)⁴ – 2(-1)³ + 3(-1)² – a(-1) + b
= 1 + 2 + 3 + a + b
= 6 + a + b
तथा 6 + a + b = 19
a + b = 19 – 6
a + b = 13 ………………(2)
(1) व (2) जोडने पर,
2b = 16
b = [latex]\frac{16}{2}[/latex] = 8
समी० (2) मे b का मान रखने पर, a + 8 = 13
a = 13 – 8 = 5
अतः a = 5 व b = 8

प्रश्न 17.
बहुपद x³ + px² + qx + 6 को जब (x – 3) से भाग दिया जाता है तो शेषफल 3 तथा जब (x – 2) से भाग दिया जाता है तो शेषफल शून्य प्राप्त होता है। p व 4 के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि x³ + px² + qx + 6 को (x – 3) से भाग किया जाता है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = (3)³ + p(3)² + q(3) + 6 = 3
27 + 9p + 3q + 6 = 3
9p + 3q + 33 = 3
9p + 3q = 3 – 33
9p + 3q = -30
3(3p + q) = -30
3p + q =[latex]\frac{-33}{3}[/latex] = -10 ……………(1)
यदि x³ + px² + qx + 6 को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = (2)³ + p(2)³ + q(2) + 6 = 0
8 + 4p + 2q + 6 = 0
4p + 2q = -14
2(2p + q) = -14
2p + q =[latex]\frac{-14}{2}[/latex] =-7 …………….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,

समीकरण (1) में p का मान रखने पर,
3 × -3 + q = -10
-9 + q = -10
q = -10 + 9 = -1
अतः p = -3,    q = -1

प्रश्न 18.
बहुपद kr⁴ + 3x³ + 6 को (x – 2) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल, दूसरे बहुपद 2x³ + 17x + k को (x – 2) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल का दोगुना है। k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद kr⁴ + 3x³ + 6 को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर शेषफल
= k(2)⁴ + 3(2)³ + 6
= 16k + 24 + 6 = 16k + 30
और जब 2x³ + 17x + k को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = 2(2)³ + 17(2) + k = 2 × 8 + 34 + k = 50 + k
प्रश्नानुसार,
16k + 30 = 2(50 + k)
16k + 30 = 100 + 2k
16k – 2k = 100 – 30
14k = 70
k = [latex]\frac{70}{14}[/latex] = 5

प्रश्न 19.
यदि बहुपदों 9x³ + 3x² – 13 तथा 2x³ – 5x + a को (x – 2) से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद 9x³ + 3x² – 13 को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर,
शेषफल = 9(2)³ + 3(2)² – 13 = 72 + 12 – 13 = 71
बहुपद 2x³ – 5x + a को (x – 2) से भाग किया जाता है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर,
शेषफल = 2(2)³ – 5(2) + a = 16 – 10 + a या 6 + a
प्रश्नानुसार, 6 + a = 71
a = 71 – 6 = 65

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 15 Circle Ex 15.2 वृत्त

Ex 15.2 Circle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
एक वृत्त की जीवा उसकी त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
दीर्घ वृत्त का कोण निम्न में से कौन-सा होता है?
(a) न्यूनकोण
(b) अधिककोण
(c) समकोण
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) दीर्घवृत्त खण्ड का कोण न्यूनकोण होता है।

प्रश्न 3.
दिये गये चित्र में, 0 केन्द्र वाले वृत्त के अन्दर एक समबाहु ∆ ABC है तब ∠BOC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

समबाहु ∆ABC में, ∠BAC = 60°
(∵ समबाहु ∆ का प्रत्येक कोण 60° होता है।)
वृत्त के केन्द्र पर बना कोण ∠BOC = 2 × वृत्त की परिधि पर बना कोण
∠BOC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120°

प्रश्न 4.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा रेखा OB, ∠AOC की अर्द्धक है। तब ∠ABC का मान ज्ञात कीजिए। (UP 2004)
हलः

प्रश्न 5.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा ∠ACB व ∠ADB समान वृत्तखण्ड के कोण हैं तब ∠ADB व ∠ACB में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हल:
∠ADB तथा ∠ACB एक ही वृत्तखण्ड AB द्वारा बने कोण हैं।
∴ ∠ADB = ∠ACB

प्रश्न 6.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। यदि ∠DAB = 70° तब ∠DCB का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योगफल 180° होता है।
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
70°+ ∠BCD = 180°
∠BCD = 180°- 70°= 110°

प्रश्न 7.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त के चाप BC द्वारा केन्द्र पर बना कोण
∠BOC = 2 × उसी चाप द्वारा वृत्त के बिन्दु A पर बना ∠BAC
∴ x = 2 × 62.5
=125°

Ex 15.2 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 8.
निम्न चित्रों में, x के मान ज्ञात कीजिए।

हलः
(i) एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण समान होते हैं।
∴ ∠QPR = ∠QSR = 30°
∆ PQR में, x = 180° – (30° + 110°) (∴ ∆ के तीनों कोणों का योग = 180°)
= 180°-140° = 40°
(ii) एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण समान होते हैं।
∴ ∠PRO = ∠PSQ = 40°
∆ OSQ में, x = 180° – (120°+ 40°)
=180° – 160°
= 20°
(iii) ∆ PQO में, PO = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴ ∠QPO = ∠PQO = 30°
∆OQR में, RO = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴ ∠QRO = ∠OQR = 45°
∴ ∠PQR = ∠PQO + ∠RQO
= 30°+ 45° = 75°
केन्द्र O पर बना ∠POR = x
= 2 × ∠PQR
= 2 × 75° =150
(iv) ∵ PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠PQR = 180°-140°= 40°
(∵ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग = 180°)
:: ∆PQR एक समकोण त्रिभुज है।
∴ ∠PRQ = 90° (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
∆PQR में,
x = 180°– (90°+ 40°)
= 180°-130° = 50°

Ex 15.2 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 9.
चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र है तब सिद्ध कीजिए कि ∠POR = 2(∠PRQ + ∠QPR)
हलः

वृहत् कोण
∠POR = 2 × ∠PQR (वृहत् चाप PR द्वारा बने कोण)
∴ 360° – लघु ∠POR = 2(180°- ∠PRQ – ∠QPR)
360°- ∠POR = 360°-2(∠PRQ + ∠QPR)
∴ ∠POR = 2(∠PRQ + ∠QPR)

प्रश्न 10.
चित्र में, PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है तथा O वृत्त का केन्द्र है। यदि ∠QOs = 160° है। तो ∠QRS व ∠QMS के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
चाप SQ द्वारा केन्द्र 0 पर बना कोण = 2 × चाप SQ द्वारा शेष परिधि पर बना कोण
160°= 2 × ∠SPQ

Ex 15.2 Circle दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है, PQT एक सरल रेखा है तथा ∠RQT = 65° तब x व y के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠PQR = 180°- y
∴ ∠PQT = 180°
∠PQR + ∠RQT – 180°
180° – y +65°= 180°
∴ y = 65°
∵ ∠PQR = 180°- 65° = 115°
∴ वृहत् ∠POR = 2 × ∠PQR
x = 2 × 115° = 230°

प्रश्न 12.
निम्न चित्र में, ABC एक समबाहु त्रिभुज है तब ∠BDC व ∠BEC के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
निम्न चित्र में, P, Q, R व L, M, N संरेखीय बिन्दुओं के दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि PL||RN
हलः
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
∠LPQ + ∠LMQ = 180° …(1)
∠QMN + ∠NRQ = 180° …(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
∠LPQ + ∠LMQ + ∠QMN + ∠NRQ = 180°+180°
∠LPQ + ∠LMQ + 180°- ∠LMQ + ∠NRQ = 360°
∠LPQ + ∠NRQ = 360°- 180°= 180°
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि
∠PLN + ∠MNR = 180°
∵ क्रमागत अन्तः कोणों का योगफल 180° है।
∴ PL || RN

Ex 15.2 Circle बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
तीन असंरेख बिन्दुओं से खींचे जा सकने वाले वृत्तों की संख्या है।
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
1
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
दो सर्वांगसम वृत्तों के केन्द्र O व O’ हैं। प्रथम वृत्त के चाप AB का अंश माप 50° तथा दूसरे वृत्त के चाप AB’ का अंशमाप 75° है तो AB : A’B’ =
(a) 1 : 2
(b) 2 : 4
(c) 2 : 3
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 3.
किसी वृत्त की दो जीवाएं AB तथा CD केन्द्र से 3.5 सेमी दूरी पर हैं, तब-
(a) AB = CD
(b) AB > CD
(c) AB < CD (d) इनमें से कोई नहीं हलः ∵ केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लम्बाई में समान होती हैं। अतः AB = CD अतः विकल्प (a) सही है। प्रश्न 4. एक ही वृत्त में बराबर चापों द्वारा केन्द्र पर बने कोण α व β हैं, तब- (a) a = B (b) 4 > B
(c) a <B
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
∵ एक ही वृत्त में बराबर चापों द्वारा केन्द्र पर बने कोण समान होते हैं।
अत: α = β
अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 5.
यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण 80° है तो सम्मुख कोण का मान है-
(a) 90°
(b) 100°
(c) 110°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
∵ चक्रीय चतुर्भुज में आमने-सामने के कोणों का योग 180° होता है।
अतः सम्मुख कोण = 180 – 80
= 100° होगा।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 6.
यदि किसी चतुर्भुज में दो सम्मुख कोणों की माप 70° व 110° हैं तो वह चतुर्भुज निम्न में से किस प्रकार का है?
(a) समान्तर चतुर्भुज
(b) समचतुर्भुज
(c) चक्रीय चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
चक्रीय चतुर्भुज। अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
बराबर वृत्तों में बराबर चापों के संगत जीवाओं की लम्बाई का अनुपात होगा।
(a) 1 : 2
(b) 1 : 1
(c) 2 : 1
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
1 : 1
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 8.
किसी वृत्त का व्यास AB है। AB के बाहर वृत्त पर बिन्दु C है तो ∠ACB =
(a) 100°
(b) 0°
(c) 60°
(d) 90°
हल:
∵ अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
अत: ∠ACB = 90°
अतः विकल्प (d) सही है।

Ex 15.2 Circle स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
एक वृत्त की, 5 सेमी तथा 11 सेमी लम्बाई की क्रमशः दो जीवाएँ परस्पर समान्तर हैं तथा इसके केन्द्र के विपरीत है यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

प्रश्न 2.
एक वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लम्बाईयाँ 6 सेमी तथा 8 सेमी हैं यदि छोटी जीवा केन्द्र से एक 4 सेमी की दूरी पर है, केन्द्र से अन्य जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः
∆APM में, AM² = AP² + PM²
= (3)² + (4)²
= 9 + 16 = 25
AM = [latex]\sqrt{25}[/latex] = 5
वृत्त की त्रिज्या AM = CM = 5 सेमी
अब ∆MCQ में, MC² = MQ² + CQ²
(5)² = MQ² + (4)²
25 – 16 = MQ
∴ MQ = 19 = 3 सेमी
∴ केन्द्र से दूसरी जीवा की दूरी = 3 सेमी

प्रश्न 3.
एक पार्क में बने 20 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ A,B और C खेल रही हैं। A एक गेंद को B के पास, B, C के पास C,A के पास फेंकती है। यदि A और B के बीच और B और C के बीच की प्रत्येक दूरी 24 मीटर है, तो A और C के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 4.
40 मीटर त्रिज्या का एक वृत्तीय पार्क, एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के A, B और C इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे है और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए हैं। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
एक वृत्त की जीवाएँ AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करती है सिद्ध कीजिए कि-
(i) AC और BD व्यास है। (NCERT)
(ii) ABCD एक आयत है।
हल:
∵ AC व BD एक दूसरे को समद्विभाजित करती है।
∴ AO × OC = BO × OD [परन्तु AO = OC तथा BO = OD]
OA² = BO²
या OA = BO
इसी प्रकार OA = OD
तथा OC = OD तथा OC = OD
अत: AC और BD वृत्त के व्यास होंगे।

प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में, AB वृत्त का व्यास है तथा CD एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। AC व BD को जब बढ़ाया जाता है, तो वे बिन्दु E पर मिलती है। सिद्ध कीजिए for ∠AEB = 60° (NCERT)
हलः

प्रश्न 7.
एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर है। सिद्ध कीजिए कि किसी एक भुजा जिसे पीछे की ओर बढ़ाया गया है पर इसके प्रतिच्छेद बिन्दु से 6 लम्ब विपरीत भुजा को समद्विभाजित करता है। (NCERT)
हलः

प्रश्न 8.
यदि एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ, वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध कीजिए कि इन जीवाओं
का प्रतिच्छेद बिन्दु, वृत्त के केन्द्र से समान कोण बनाता है।
हलः
माना वृत्त का केन्द्र O है। बिन्दु O से जीवा AB तथा CD पर क्रमशः लम्ब OM तथा ON
खींचे।
अब ∆OMP तथा ∆OPN में,

प्रश्न 9.
यदि एक त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर, वृत्त खींचे गए हैं, तो सिद्ध कीजिए इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है। (NCERT)
हलः

प्रश्न 10.
केन्द्र O के एक वृत्त में, जीवाएँ AB और CD परिधि के अन्दर E पर प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध कीजिए कि ∠AOC + ∠BOD = 2 ∠AEC
हलः

प्रश्न 11.
यदि O, एक AABC का परिकेन्द्र है तथा OD ⊥ BC तो सिद्ध कीजिए कि ∠BOD = ∠A
हलः

प्रश्न 12.
एक वृत्त के दो व्यास परस्पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि उनके अंत बिन्दुओं को जोड़ने से बना चतुर्भुज, एक वर्ग होता है।
हल:

प्रश्न 13.
केन्द्र O के एक वृत्त का व्यास AB है तथा त्रिज्या OD, AB के लम्बवत् है यदि चाप DB पर कोई बिन्दु C है तो दर्शाइये कि ∠BAD = ∠ACD = 45°
हलः

प्रश्न 14.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं AB और AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E इस प्रकार है कि B,C,E और D एकवृत्तीय चतुर्भुज है। यदि 0,CD और BE का प्रतिच्छेद बिन्दु है तो सिद्ध कीजिए कि AO, रेखाखण्ड DE का समद्विभाजक है।
हलः

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समलम्ब की असमान्तर भुजाएँ बराबर होती हैं। (UP 2006)
हल:

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त में जो जीवा केन्द्र के निकट होती है। दूर वाली से अधिक बड़ी होती है। (UP 2005)
हलः
यदि वृत्त जिसका केन्द्र O है। O से जीवा AB तथा CD पर डाले गए लम्ब क्रमश: OM तथा ON हैं।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण के मध्य बिन्दु के सामने वाले शीर्ष से खींचा गया रेखाखण्ड कर्ण का आधा होता है। (UP 2006, 08, 09)
हल:

प्रश्न 18.
यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक-युग्म बराबर हो, तो सिद्ध कीजिए कि उनके विकर्ण भी बराबर होंगे। (UP 2012)
हल:
∵ AB = CD
अतः वृत्त की दो जीवाएँ बराबर होंगी यदि केन्द्र से उनकी दूरी बराबर हों, तब
OM = ON
∆AMO तथा ∆DNO में, AM = DN
OM = ON
∠AMO = ∠DNO
∆AMO ≅ ∆DNO
अतः OA = OD
इसी प्रकार OB = OC
अतः विकर्ण AC = BD

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.7 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

प्रश्न 1.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x³ – 8y³
(ii) a³ – 0.216
(iii) 16a⁴ + 54a
(iv) a⁶ – 7a³ – 8
हलः
(i) x³ – 8y³ = (x)³ – (2y)³ = (x – 2y)(x² + 4y² + 2xy)

(ii) a³ – 0.216 = (a)³ – (0.6)³ = (a – 0.6)(a² – 0.36 + 0.6 a)

(iii) 16a⁴ + 54a = 2a(8a³ + 27) = 2a[(2a)³ + (3)³] = 2a[(2a + 3)(4a² + 9 – 6a)]

(iv) a⁶ – 7a³ – 8 = a – (8 – 1)a³ – 8 = a⁶ – 8a³ + a³ – 8 = a (a³ – 8) – 1(a³ – 8)
= (a³ – 8)(a³ + 1) = [(a)³ – (2)³][(a)³ + (1)³]
= (a – 2)(a² + 4 + 2a)(a + 1)(a + 1 – a)

प्रश्न 2.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x³ + 64
(ii) 1 – 125y³
(iii) [latex]\frac{p^{3}}{343}[/latex] + 8q³
(iv) 7m⁴n – 7mn⁴
(v) x⁷y⁷ – xy
हलः
(i) x³ + 64 = (x)³ + (4)³ = (x + 4)(x² + 16 – 4x)

(ii) 1-125y 3 = (1)³ – (5y)³ = (1 – 5y)(1 + 25y² + 5y)

(iii) [latex]\frac{p^{3}}{343}+8 q^{3}=\left(\frac{p}{7}\right)^{3}+(2 q)^{3}=\left(\frac{p}{7}+2 q\right)\left(\frac{p^{2}}{49}+4 q^{2}-\frac{2}{7} p q\right)[/latex]

(iv) 7m⁴n – 7mn⁴ = 7mn(m³ – n³) = 7mn[(m)³– (n)³] = 7mn[(m – n)(m² + n² + mn)]

(v) x⁷y⁷ – xy = xy(x⁶y⁶ – 1) = xy[(x²y²)³ – (1)³].
= y[(x²y² – 1)(x⁴y⁴ + 1 + x²y²]
= xy [(xy)² – (1)²) (x⁴y⁴ – 1 + 2x²y² xy²)]
= xy (xy + 1)(xy – 1)[(x²y² + 1)² – (xy)²]
= xy(xy + 1)(xy – 1)(x²y² + 1 + xy)(x²y² + 1 – xy)

प्रश्न 3.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) (a + 2b)³ – (a – 2b)³
(ii) a³ + b³ + c(a² – ab + b²)
(iii) x⁶ – 7x³ – 8
(iv) x³ – 3x² + 3x + 7
हल:
(i) (a + 2b)³ – (a – 2b)³ = (a + 2b – a + 2b) [(a + 2b)² + (a – 2b)² + (a + 2b) (a – 2b)]
= (4b)[a² + 4b² + 4ab + a² + 4b² – 4ab + a² – 4b²]
= (4b)[3a² + 4b²]

(ii) a³ + b³ + c(a² – ab + b²) = (a + b)(a + b² – ab) + c(a² – ab + b)
= (a² + b² – ab)[a + b + c]

(iii) x⁶ – 7x³ – 8 = x⁶ – (8 – 1)x³ – 8 (∵ 8 = 1 × 8)
= x⁶ – 8x³ + x³ – 8 = x³ (x³ – 8) +1(x³ – 8) = (x³ – 8)(x³ + 1)
=[(x)³ – (2)³][(x)³ + (1)³] = (x – 2)(x² + 4 + 2x)(x + 1)(x² + 1 – x)

(iv) x³ – 3x² + 3x + 7
माना f(x) = x³ – 3x² + 3x + 7
x + 1 = 0
x = -1 रखने पर,
= (-1)³ – 3(-1)² + 3 × (-1) +7
= -1 – 3 – 3 + 7 = -7 + 7 = 0
∵ (x + 1), f(x) का एक गुणनखण्ड है।
अतः

अत: x³ – 3x² + 3x + 7 के गुणनखण्ड (x + 1)(x² – 4x + 7) है।

प्रश्न 4.
निम्न व्यंजकों को सरल करके उनके मान ज्ञात कीजिए

हलः

Ex 5.7 Polynomial and their Factors स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

निम्न के गुणनखण्ड कीजिए।
प्रश्न 1.
[latex]27 p^{3}-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p[/latex] (NCERT)
हलः
[latex](3 p)^{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{3}+3(3 p)\left(-\frac{1}{6}\right)\left(3 p-\frac{1}{6}\right)=\left(3 p-\frac{1}{6}\right)^{3}[/latex]

प्रश्न 2.
49a² + 70ab + 25b²
हलः
(7a)² + 2 × 7a × 5b + (5b)²
सूत्र [x² + 2xy + y² = (x + y)] से
= (7a + 5b)²

प्रश्न 3.
4x² + y² + z² – 4xy -2yz + 4xz
हलः
(2x)² + (-y)² + (z)² + 2. (2x)(-y) + 2(-y) (z) + 2. (2x)(z)
= (2x – y + z)² = (2x – y + z)(2x – y + z)

प्रश्न 4.
64m³ – 343n³
हलः
64m³ – 343n³ = (4m)³ – (7n)³ = (4m – 7n)(16m² + 49n² + 28mn)

प्रश्न 5.
27 – 125a³ – 135a + 225a²    (NCERT)
हलः
27 – 125a³ – 135a + 225a²
= (3)³ – (5a) – 45a(3 – 5a) = (3 – 5a)(9 + 25a² + 15a) – 45a(3 – 5a)
= (3 – 5a)(9 + 25a² + 15a – 45a) = (3 – 5a)(9 + 25a² – 30a)
= (3 – 5a)[(3)² + (5a)² – 2 × 3 × 5a]
= (3 – 5a) (3 – 5a)² = (3 – 5a)³

प्रश्न 6.
8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²      (NCERT)
हल:
8a³3 – b³ – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – (b)³ – 6ab (2a – b) = (2a – b)(4a² + b² + 2ab) – 6ab(2a – b)
= (2a – b) [4a² + b² + 2ab – 6ab] = (2a – b)[4a² + b² – 4ab]
= (2a – b)[(2a)² + (b²) – 2 × 2a × b]
= (2a – b)(2a – b)² = (2a – b)³

प्रश्न 7.
64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
हलः
(4a)³ – (3b)³ – 36ab(4a – 3b)
= (4a – 3b)(16a² + 9b² + 12ab) – 36ab(4a – 3b)
= (4a – 3b)(16a² + 9b² + 12ab – 36ab) = (4a – 3b)(16a² + 9b² – 24ab)
= (4a – 3b)[(4a)² + (3b)² – 2 × 4a × 3b]
= (4a – 3b)[4a – 3b]² = (4a – 3b)³

प्रश्न 8.
8a³ + b³ + 12a²b + 6ab² (NCERT)
हलः
(2a) + (b)³ + 6ab(2a + b)
= (2a + b)(4a² + b² – 2ab) + 6ab(2a + b)
= (2a + b)[4a² + b² – 2ab + 6ab]
= (2a + b)[4a² + b² + 4ab]
= (2a + b)[(2a)² + (b)² + 2 × 2a × b]
= (2a + b)(2a + b)² = (2a + b)³

प्रश्न 9.
[latex]27 p^{3}-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p[/latex]
हलः
[latex](3 p)^{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{3}+3(3 p)\left(-\frac{1}{6}\right)\left(3 p-\frac{1}{6}\right)=\left(3 p-\frac{1}{6}\right)^{3}[/latex]

प्रश्न 10.
27x³ + y³ + z³ – 9xyz
हलः
(3x)³ + (y)³ + (z)³ – 3(3x)(y)(z)
= (3x + y + z)[(3x)2 + y² + z² – 3xy – yz – 3xz]
= (3x + y + z)[9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz]

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि a² + b² + 2(ab + bc + ca) = (a + b)(a + b + 2c)
हलः
L.H.S. = a² + b² + 2(ab + bc + ca) = a² + b² + 2ab + 2bc + 2ca
= (a + b)² + 2c(a + b) = (a + b)[a + b + 2c] = R.H.S.

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि 8a³ – b³ – 4ax + 2bx = (2a – b)(4a² + 2ab + b² – 2x)
हलः
L.H.S. = 8a³ – b³ – 4ax + 2bx
= (2a)³ – (b)³ – 2x(2a – b) = (2a – b)(4a² + b² + 2ab) – 2x(2a – b)
= (2a – b)(4a² + b² + 2ab – 2x) = R.H.S.

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{64}{125} x^{3}-8-\frac{96}{25} x^{2}+\frac{48}{5} x=\left(\frac{4 x}{5}-2\right)^{3}[/latex]
हलः

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि a³x³ – 3a²bx² + 3ab²x – b³ = (ax – b)³ हलः
L.H.S. = ax³ – b³ – 3a²bx² + 3ab²x
= (ax)³ – (b)³ – 3abx(ax – b) = (ax – b)(a²x² + b² + abx) – 3abx(ax – b)
= (ax – b)(a²x² + b² + abx – 3abx) = (ax – b)(a²x² + b² – 2abx)
= (ax – b)(ax – b)² = (ax – 1)³ = R. H.S.

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि a³ + b³ + 1 + 3ab = (a – b + 1)(a³ + b³ + ab – a + b + 1)
हलः
L.H.S. = (a)³ + (-b)³ + (1)³ – 3(a)(-b)(1)
= (a – b + 1)(a² + b² +1+ ab + b-a)
[∵ x³ + y² + z³ – 3xy² = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)]
∴ a³ – b³ + 1 + 3ab = (a – b + 1)(a² + b² + ab + a + b + 1) = R.H.S.

प्रश्न 16.
यदि p = 2 – a, तब सिद्ध कीजिए कि a³ + 6ap + p³ – 8 = 0
हलः
L.H.S. =a³ + 6ap + p – 8
= a³ – 8 + 6ap + p³ = (a – 2)(a² + 4 + 2a) + p(6a + p²)
p = 2 – a रखने पर
= (a − 2)(a² + 4 + 2a) +(2 – a)(6a + 4 + a² – 4a)
= (a − 2)(a² + 4 + 2a) – (a − 2)(a² + 2a + 4)
= (a – 2)[a² + 4 + 2a – a² – 2a – 4] = 0 = R. H.S.

प्रश्न 17.
यदि x = 2y+6, तब सिद्ध कीजिए कि x³ – 8y³ – 36xy – 216 =0 (NCERT Exemplar) .
हल:
L.H.S. = x³ – 8y³ – 36xy – 216
= (x)³ – (2y)³ – 36xy – 216 = (x – 2y)(x² +4y² + 2xy) – 36xy – 216
x = 2y + 6 रखने पर
= [2y + 6 – 2y][(2y + 6)² + 4y² + 2(2y + 6)y] – 36(2y + 6)y – 216
= 6[4y² + 36 + 24y + 4y² + 4y² + 12y] – 72y² – 216y – 216 = 0 = R.H.S.

प्रश्न 18.
यदि x + y = -4, तब सिद्ध कीजिए कि x + y³ – 12xy + 64 = 0 (NCERT Exemplar)
हल:
x³ + y³ – 12xy + 64
= (x + y) (x² + y² – xy) – 12xy + 64= (-4)(x² + y² – xy) – 12xy + 64
= -4x² – 4y² + 4xy – 12xy + 64 = -4x² – 4y² – 8xy + 64
= -4x² – 4(-4 – x)² – 8x(-4 – x) + 64 [y = -4 – x रखने पर]
= -4x² – 4(16 + x² + 8x) + 32x + 8x² + 64 = 0 = R.H.S.

प्रश्न 19.
यदि a² + b² + c² = 250 और ab+ bc + ca = 3, तब सिद्ध कीजिए कि a + b+ c = ±16
हलः
सूत्र (a + b + c) = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) .
(a + b + c)2 = 250 + 2 × 3 = 250 + 6 = 256
(a + b + c) = [latex]\sqrt{256}[/latex] = ± 16

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि

हलः
माना a = 0.013 तथा b = 0.007

= a + b = 0.013 + 0.007 = 0.020

प्रश्न 21.
यदि a + b ≠ 0 तब सिद्ध कीजिए कि समीकरण a(x – a) = 2ab – b(x – b) का हल x = a + b होता है|
हलः
∵ a(x – a) = 2ab – b(x – b)
⇒ ax – a² – 2ab + bx – b² = 0
x(a + b) = a² + b² + 2ab
x(a + b) – (a + b)² = 0
(a + b){x – (a + b)} = 0
a + b ≠ 0 अत: x – (a + b) = 0
x = (a + b)

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए कि 2(a² + b²) = (a + b)² तब a = b
हलः
∵ 2(a + b²) = (a + b)²
⇒ 2(a² + b²) = a² + b² + 2ab
⇒ 2a² + 2b² = a² + b² + 2ab
⇒ a² + b² – 2ab = 0
⇒ (a – b)² = 0 ⇒ a = b

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि 1 – x² + 2xy – y² = (1 + x – y)(1 – x + y)
हलः
L.H.S. = 1 – x² + 2xy – y²
= 1 – (x² – 2xy + y²) = 1² – (x – y)²
= (1 + x – y)(1 – x + y) = R.H.S.

प्रश्न 24.

हलः

प्रश्न 25.

हलः

प्रश्न 26.

हलः

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 11 Height and Distance Ex 11.1 ऊँचाई एवं दूरी

Ex 11.1 Height and Distance बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
जिस समय सूर्य का उन्नयन कोण 45° था तो एक मीनार की परछाई, उस मीनार की लम्बाई से-
(a) बराबर है।
(b) अधिक है।
(c) कम है।
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∵ मीनार की ऊँचाई = AB, (UPBoardSolutions.com) मीनार की छाया = BC
∆ABC में,

∴ मीनार की ऊँचाई = मीनार की छाया अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
किसी स्तम्भ की ऊँचाई उसकी छाया से [latex] \sqrt{{3}} [/latex] गुणा है। सूर्य के उन्नयन कोण का मान होगा-
(a) 45°
(b) 60°
(c) 30°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
खम्भे की ऊँचाई AB = [latex] \sqrt{{3}} [/latex] × खम्भे की छाया
AB = [latex] \sqrt{{3}} [/latex] × (UPBoardSolutions.com) BC
∆ABC में,

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
एक मीनार के आधार से 20 मीटर दूर भूमि पर स्थित एक बिन्दु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। तब मीनार की ऊँचाई-
(a) 20[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
(b) 20 मीटर
(c) [latex]\frac{20}{3 \sqrt{3}}[/latex] मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 4.
यदि सूर्य का उन्नयन कोण 45° है। तब h मीटर के स्तम्भ की परछाई होगी-
(a) [latex]\frac{h}{2}[/latex] मीटर
(b) [latex]\frac{h}{3}[/latex] मीटर
(c) h मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
मीनार की ऊँचाई, (UPBoardSolutions.com) AB = h मी

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 5.
एक पेड़ सतह पर ऊर्ध्वाधर खडा है। पेड से 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर दूर सतह पर किसी बिन्दु से पेड़ की ऊपरी चोटी का उन्नयन कोण 60° है। तब पेड़ की ऊँचाई होगी-
(a) 30 मीटर
(b) 60 मीटर
(c) 10 मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना पेड की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) = h मीटर
∆ABC में,

प्रश्न 6.
किसी समय एक स्तम्भ की परछाई उसकी लम्बाई के बराबर है तब सूर्य का उन्नयन कोण होगा-
(a) [latex]\frac{\pi}{4}[/latex]
(b) [latex]\frac{\pi}{3}[/latex]
(c) [latex]\frac{\pi}{6}[/latex]
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना सूर्य का उन्नयन कोण = θ
∵ दिया है, AB = AC …(1)
∆ABC में,


अतः विकल्प (a) सही है।

Ex 11.1 Height and Distance लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 7.
किसी स्तम्भ की छाया उसकी ऊँचाई से [latex] \sqrt{{3}} [/latex] गुनी है। सूर्य के उन्नयन कोण का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
माना खम्भे की ऊँचाई AB = h मीटर
∴ खम्भे की छाया BC = [latex] \sqrt{{3}} [/latex] × h = [latex] \sqrt{{3}} [/latex]h
मीटर माना खम्भे का उन्नयन कोण = θ

प्रश्न 8.
एक बिजली के खम्भे से 10 मीटर दूर स्थित बिन्दु से बल्ब का उन्नयन कोण 60° है। बल्ब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना खम्भे पर लगे बल्ब की ऊँचाई AB = h
∆ABC में,

प्रश्न 9.
एक 30 मीटर ऊँचे स्तम्भ से जहाज का अवनमन कोण 30° है। जहाज से स्तम्भ की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना स्तम्भ की ऊँचाई = 30 मीटर
स्तम्भ के शीर्ष से जहाज का (UPBoardSolutions.com) अवनमन कोण = उन्नयन कोण = 30°

प्रश्न 10.
एक बिजली का खम्भा 10 मीटर ऊँचा है। खम्भे को सीधा लम्बवत् रखने के लिए एक तार का सिरा, खम्भे की चोटी से बँधा है तथा दूसरा सिरा भूमि पर स्थिर किया गया है। यदि तार खम्भे के आधार बिन्दु से होकर जाने वाले क्षैतिज के साथ 45° का कोण बनाये तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
खम्भे की ऊँचाई. AB = 10 मी
∠ACB = 45°

Ex 11.1 Height and Distance दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
एक निरीक्षक AC रेखा के सापेक्ष चलता है जहाँ AC ⊥ AB, AC = 200 मीटर, ∠ ACB = 45%, तब नदी के विपरीत कोनों पर स्थित बिन्दु A व B के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ AC ⊥ AB, (UPBoardSolutions.com)
∠ACB = 45°

प्रश्न 12.
किसी वृक्ष जिसकी ऊँचाई 15 मीटर है, का ऊपरी भाग जो आँधी से टूटकर पृथ्वी पर जा लगा है, पृथ्वी से 60° का कोण बनाता है। पृथ्वी से कितनी ऊँचाई पर वृक्ष टूटा है?
हल:
पेड की ऊँचाई, BP = 15 मी
∴ BD = 15, यदि पेड बिन्दु (UPBoardSolutions.com) C से टूटकर जमीन पर बिन्दु A पर लग जाता है।
∵ DC = CA = 15 – x
माना BC = x मीटर

∴ इसलिए पेड पृथ्वी से 6.96 मीटर ऊँचाई से टूटेगा।

प्रश्न 13.
एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार पर इस प्रकार रखी जाती है कि यह दीवार की चोटी तक पहुँचती है। सीढ़ी का पाद दीवार से 1.5 मीटर दूर है और सीढ़ी जमीन से 60° के कोण पर झुकी है। दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना दीवार की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई = h मीटर

∴ दीवार की ऊँचाई = 2.598 मीटर

प्रश्न 14.
एक स्तम्भ से 20 मीटर दूरी पर स्थित बिन्दु का स्तम्भ के शीर्ष बिन्दु से उन्नयन कोण 30° है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना मीनार की ऊँचाई AB = h मीटर, BC = 20 मीटर
∆ABC में,

प्रश्न 15.
एक गुब्बारा 215 मीटर लम्बे तार से बँधा है तथा क्षैतिज से 60° का कोण बनाता है। गुब्बारे की जमीन से ऊँचाई ज्ञात कीजिए यदि यह माने कि डोरी में कोई ढील नहीं है। (NCERT)
हलः
माना जमीन से गुब्बारा h मीटर की ऊंचाई पर उड रहा है।
∴ AB = h मीटर, AC = 215 मीटर
∆ABC में,

प्रश्न 16.
1.5 मीटर लम्बा एक निरीक्षक 30 मीटर ऊँची मीनार से 28 मीटर दूर खड़ा है, उसकी आँख से मीनार के शीर्ष बिन्दु का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना प्रेक्षक की आँख D पर 30 मीटर ऊँची एक मीनार का शीर्ष θ कोण बनाती है।
प्रेक्षक से मीनार की दूरी (UPBoardSolutions.com) CB = 28 मीटर

∴ AB = 30 मीटर,
DC = 1.5 मीटर
∴ AM = AB – DC
= 30 – 1.5
= 28.5 मीटर
∆ADM में,
tanθ = [latex]\frac{A M}{D M}=\frac{28.5}{28}[/latex] ≅ 1 (लगभग) (∵ CB = DM)
∴ θ = 45°

प्रश्न 17.
एक पहाड़ की चोटी से टॉवर के पाद का उन्नयन कोण 60° है तथा टॉवर के शीर्ष से पहाड़ की पाद पर उन्नयन कोण 30° है। यदि टॉवर की ऊँचाई 50 मीटर है तो पहाड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना पहाड़ व टॉवर के बीच (UPBoardSolutions.com) की दूरी + x मीटर

प्रश्न 18.
दो खम्भों के बीच की क्षैतिज दूरी 140 मीटर है। पहले खम्भे के शीर्ष से दूसरे खम्भे के शीर्ष पर अवनमन कोण 30° है। यदि दूसरे खम्भे की ऊँचाई 60 मीटर है तो पहले खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
∵ NQ = MT = 140 मीटर
दूसरी मीनार की ऊँचाई
TQ = MN = 60 मीटर

प्रश्न 19.
50 मीटर ऊँचे एक स्तम्भ से एक खम्भे के शीर्ष व पाद पर अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हैं। यदि खम्भा एवं स्तम्भ एक ही तल पर स्थित हैं। तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना खम्भे की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) PQ = h मीटर

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 15 Circle Ex 15.1 वृत्त

Ex 15.1 Circle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
चित्र में O, वृत्त का केन्द्र, जीवा AB = 10 सेमी तथा व्यास AC = 26 सेमी है। जीवा AB की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए। [UP 2001, 03]
हल:

प्रश्न 2.
एक वृत्त की जीवा की लम्बाई 16 सेमी तथा वृत्त के केन्द्र से इसकी दूरी 6 सेमी है। तब वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 3.
वृत्त की एक जीवा की लम्बाई 8 सेमी तथा वृत्त के केन्द्र से इसकी दूरी 3 सेमी है। तब वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [UP 2003]
हलः

प्रश्न 4.
वृत्त के लघु वृत्तखण्ड का कोण ज्ञात कीजिए। [UP 2000]
हलः
अधिक कोण

प्रश्न 5.
एक वृत्त का केन्द्र 0 तथा त्रिज्या OP = 10 सेमी है। जीवा PQ पर लम्ब OR की लम्बाई 6 सेमी है। तब PQ का मान ज्ञात कीजिए। [UP 2000]
हलः
समकोण ∆OPR में, (OP)² = (OR)² + (PR)²
(10)² = (6)² + (PR)²
100 = 36 + (PR)²
100 – 36 = (PR)²
∴ PR = [latex]\sqrt{64}[/latex] = 8 सेमी
∴ जीवा PQ = 2 × PR = 2 × 8 = 16 सेमी

प्रश्न 6.
चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र है तथा OA = 5 सेमी।0 से AB पर लम्ब OC की लम्बाई 4 सेमी है तब जीवा AB का मान ज्ञात कीजिए। (UP 2009, 10, 11)
हलः
समकोण ∆OAC में,
(OA)² = (AC)² + (OC)²
(5)² = (AC)² + (4)²
25 = (AC)² +16
25 -16 = (AC)²
या (AC)² = 9
∴ AC = [latex]\sqrt{9}[/latex] = 3 सेमी
∴ जीवा AB = 2 × AC = 2 × 3 = 6 सेमी

प्रश्न 7.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा एक जीवा AB = 24 सेमी है। जीवा की वृत्त के केन्द्र O से दूरी 5 सेमी है। तब वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए। (UP 2009)
हलः
समकोण ∆OAP में,
(OA)² = (OP)² + (AP)²
(OA)² = (5)² + (12)² (∵ AP = AB /2)
(OA)² = 25 +144 = 169
OA = [latex]\sqrt{169}[/latex] = 13 सेमी
∴ वृत्त का व्यास = 2 × त्रिज्या
= 2 – 13 = 26 सेमी

प्रश्न 8.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा एक जीवा AB = 30 सेमी है तथा इसका व्यास AD = 34 सेमी है। जीवा AB की केन्द्र O से दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 15.1 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 9.
एक 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 8 सेमी की एक जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए। [UP 2005]
हल:
वृत्त की त्रिज्या OP = 5 सेमी
∵ वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 10.
एक 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 3 सेमी की दूरी पर जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (UP 2006)
हलः
समकोण ∆OAM में,
(OA)² = (OM)² + (AM )²
(5)² = (3)² + (AM)²
25 = 9 + (AM)²
25 – 9 = (AM)²
16 = (AM)²
∴ AM = [latex]\sqrt{16}[/latex] = 4 सेमी
∴ जीवा AB = 2 × AM = 2 × 4 = 8 सेमी

प्रश्न 11.
एक वृत्त की एक चाप दी गयी है। प्रदर्शित कीजिए कि वृत्त को पूरा कैसे किया जायेगा?
हलः
एक वृत्त का चाप AXB दिया है। वृत्त का केन्द्र ज्ञात करने के लिए AB को मिलाया। जीवा AB का लम्बार्द्धक खींचा, जो चाप को M बिन्दु पर काटता है। बिन्दु A अथवा B से कोई न्यूनकोण बनाती AY रेखा नीचे की ओर खींची। रेखा AY पर 90° का कोण बनाते हुए AX रेखा खींची जो AB के लम्बार्द्धक को बिन्दु O पर काटती है। अब बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर OA त्रिज्या परकार में लेकर एक वृत्त खींचा जो दिये गये । चाप को ही पूर्ण करता है।

प्रश्न 12.
दिये गये वृत्त का केन्द्र ज्ञात करने की विधि बताइये।
हलः
(1) वृत्त पर तीन बिन्दु A, B,C लिए।
(2) AB तथा BC को मिलाया।
(3) AB तथा BC के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो एक-दूसरे को बिन्दु O पर
काटते हैं।
(4) बिन्दु O वृत्त का अभीष्ट केन्द्र है।

Ex 15.1 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 13.
चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र, त्रिज्या 5 सेमी तथा OP ⊥ AB, OQ ⊥ CD व AB||CD, AB = 6 सेमी, CD = 8 सेमी है। PQ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 14.
यदि वृत्त का व्यास उसकी प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है तब सिद्ध कीजिए कि उसकी जीवाऐं समान्तर हैं।
हलः
प्रथम स्थिति : यदि वृत्त की दो जीवाऐं वृत्त के एक ही ओर हैं।
∵ वृत्त के केन्द्र तथा जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
∠OMA = ∠OMB = 90° (प्रत्येक 90°)
∠ONC = ∠OND = 90° (प्रत्येक 90°)
∠OMA = ∠ONC = 90° (संगत कोण)
तथा
∠OMB = ∠OND = 90° (संगत कोण)
परन्तु ये संगत कोण तभी बराबर होंगे जबकि AB ||CD
द्वितीय स्थिति : यदि वृत्त की दोनों जीवाऐं वृत्त के केन्द्र के विपरीत ओर हैं।
∵ वृत्त के केन्द्र तथा जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
∠OMA = ∠OMB = 90° (प्रत्येक 90°)
∠ONC = ∠OND = 90° (प्रत्येक 90°)
∠OMA = ∠OND = 90° तथा
∠OMB = ∠ONC = 90°
परन्तु ये कोण एकान्तर कोण हैं। ये कोण एकान्तर तभी हो सकते हैं जबकि
AB||CD
∵ वृत्त की जीवायें AB तथा CD समान्तर होंगी।

प्रश्न 15.
दो समान वृत्त परस्पर P व Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। P से एक रेखा, वृत्तों पर बिन्दु A व B से मिलती है। सिद्ध कीजिए कि QA = QB
हलः

चाप PQ दोनों वृत्तों में उभयनिष्ठ हैं।
∴ ∠QAP = ∠QBP
PQ उभयनिष्ठ जीवा
तथा
∠APQ = ∠QPB
(वृत्तों के शेष कोणों द्वारा बने कोण)
अतः ∆APQ ≅ ∆BPQ
∴ QA = QB

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