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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions

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The prime factors of 50 are the prime numbers which divide 50 exactly, without remainder as defined by the Euclidean division.

प्रश्नावली 5.1 (NCERT Page 108)

प्र. 1. निम्नलिखित स्थितयों में से किन स्थितयों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलों मीटर के बाद टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया 15 रु है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया 8 रु है|
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु (UPBoardSolutions.com) निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की हवा का [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] भाग बाहर निकाल देता है|
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआं खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रु है और बाद में प्रत्येक खुदाई की लागत 50 रुo बढ़ती जाती है|
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रुo की राशि 8 % वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है|

प्र. 2. दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम (UPBoardSolutions.com) पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, (UPBoardSolutions.com) d = -3
(iv) a = -1, d = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex]
(v) a = -1.25, d = -0.25

The prime factorization of 38 is 2 × 19.

प्र. 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई (UPBoardSolutions.com) A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(i) 3, 1, -1, -3, ……
(ii) -5, -1, 3, 7, ……
(iii) [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex] , [latex]\frac { 5 }{ 3 }[/latex] , [latex]\frac { 9 }{ 3 }[/latex] , [latex]\frac { 13 }{ 3 }[/latex]
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9

प्र. 4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका (UPBoardSolutions.com) सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |

प्रश्नावली 5.2 (NCERT Page 116)

प्र. 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P (UPBoardSolutions.com) का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और n वाँ पद a_n है:

प्र. 2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) A.P: 10, 7, 4, …………………. का 30 वाँ पद है: (UPBoardSolutions.com)
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87

प्र. 3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए|

प्र. 4. A.P. : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है ?

प्र. 5. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से (UPBoardSolutions.com) प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?
(i) 7, 13, 19, …………….. , 205
(ii) 18, 15[latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] , 13, ………, -47

प्र. 6. क्या A.P., 11, 8, 5, 2 ……. का एक पद -150 है ? क्यों ?

प्र. 7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

प्र. 8. एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और (UPBoardSolutions.com) अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

प्र. 9. यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

प्र. 10. किसी A.P का 17 वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका (UPBoardSolutions.com) सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

प्र. 11. A.P. : 3, 15, 27, 39, ……… का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

प्र. 12. दो समांतर श्रेढि़यों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100 वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

इसलिए, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है |

प्र. 13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

प्र. 14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने (UPBoardSolutions.com) गुणज हैं?

प्र. 15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढि़यों 63, 65, 67, ………. और 3, 10, 17, ……… के n वें पद बराबर होंगे?

प्र. 16. वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद (UPBoardSolutions.com) 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

प्र. 17. A.P. : 3, 8, 13, …, 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

प्र. 18. किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 (UPBoardSolutions.com) है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

प्र. 19. सुब्बा राव ने 1995 में 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन 7000 हो गया?

प्र. 20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 की बचत की और (UPBoardSolutions.com) फिर अपनी साप्ताहिक बचत 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 5.3 (NCERT Page 124)

प्र. 1. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक
(ii) -37, -33, -29, . . ., 12 पदों तक (UPBoardSolutions.com)
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक
(iv) [latex]\frac { 1 }{ 15 }[/latex] , [latex]\frac { 1 }{ 12 }[/latex] , [latex]\frac { 1 }{ 10 }[/latex] , ……., 11

प्र. 2. नीचे दिए हुए योग्फालों को ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिये:
(i) 7 + 10[latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] + 14 + ….. + 10
(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + . . . + (-230)

प्र. 3. एक A.P. में,
(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और (UPBoardSolutions.com) S₁₂ ज्ञात कीजिए।
(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।

प्र. 4. 636 योग प्राप्त करने के (UPBoardSolutions.com) लिए, A.P. : 9, 17, 25 ……….. के कितने पद लेने चाहिए ?

प्र. 5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

प्र. 6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। (UPBoardSolutions.com) यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?

प्र. 7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22 वाँ पद 149 है।

प्र. 8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, (UPBoardSolutions.com) जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

प्र. 9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

प्र. 10. दर्शाइए कि a₁, a₂, . . ., a_n, . . . से एक A.P. बनती है, (UPBoardSolutions.com) यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

प्र. 11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n² है, तो इसका प्रथम (UPBoardSolutions.com) पद (अर्थात् S₁ ) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।

प्र. 12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य (UPBoardSolutions.com) हैं।

प्र. 13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

प्र. 14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए।

प्र. 15. निर्माण कार्य से सम्बन्धी किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधन इस प्रकार है: पहले दिन के लिए 200 रु, दूसरे दिन के लिए 250 रु, तीसरे दिन के लिए 300 रु इत्यादि, (UPBoardSolutions.com) अर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है ?

प्र. 16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद (UPBoardSolutions.com) पुरस्कार देने के लिए 700 रु की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

प्र. 17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोंचा । यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा । उदाहरणार्थ, (UPBoardSolutions.com) कक्षा I का एक अनुभाग एक पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा ही कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा । प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं । इस विद्यालय के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?

प्र. 18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm …. वाले उत्तरोत्तर अर्धवृतों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है| (UPBoardSolutions.com) तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ? (π = [latex]\frac { 22 }{ 7 }[/latex])

प्र. 19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति )। ये 200 लठ्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा (UPBoardSolutions.com) सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

प्र. 20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (UPBoardSolutions.com) (देखिए आकृति)।

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, (UPBoardSolutions.com) जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

प्रश्नावली 5.4 (NCERT Page 127)

प्र. 1. A.P : 121, 117, 113,…., का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?
[संकेत : a_n < 0 के लिए n ज्ञात कीजिए|]

प्र. 2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है| इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए|

प्र. 3. एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दुरी पर हैं| (देखिए आकृति 5.7)| डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है | यदि ऊपरी और (UPBoardSolutions.com) निचले डंडे के बीच की दुरी 2[latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी ? [संकेत : डंडों की संख्या = [latex]\frac { 250 }{ 25 }[/latex] ÷ 1 हैं|]

प्र. 4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है| दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के (UPBoardSolutions.com) बराबर है| x का मान ज्ञात कीजिए|
[संकेत : S_x-1 = S₄₉ – S_x है| ]

प्र. 5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढीयाँ बनी हुई हैं| इन सीढीयों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है वह ठोस कंक्रीट ( concrete) की बनी है प्रत्येक सीढ़ी में [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] m की चौड़ाई है और [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] m का फैलाव (चौड़ाई) है| (देखिए आकृति 5.8 )| इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए| (UPBoardSolutions.com) [संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] x [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] x 50 m³ है|]

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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations

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The Completing the square calculator is very easy to use since we do not need to memorize any formula for using it.

प्रश्नावली 4.1 (NCERT Page 82)

प्र. 1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)2 = 2 (x – 3)
(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = ( x – 1) (UPBoardSolutions.com) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) 2 (x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
(viii) x3 – 4×2 – x + 1 = (x – 2)3

प्र. 2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है| क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है| हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है|
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है| हमें (UPBoardSolutions.com) पूर्णाकों को ज्ञात करना है|
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है|
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है| यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती| हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|

(UPBoardSolutions.com)

प्रश्नावली 4.2 (NCERT Page 85)

प्र. 1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात (UPBoardSolutions.com) समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 – 3x – 10 = 0
(ii) 2×2 ​+ x – 6 = 0
(iii) √2×2 + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2×2 – x + 1/8 = 0
(v) 100×2 – 20x + 1 = 0

प्र. 2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए| (UPBoardSolutions.com)
(i) x2 ​- 45x + 324 = 0
(ii) x2 ​- 55x + 750 = 0

प्र. 3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो|

प्र. 4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके (UPBoardSolutions.com) वर्गों का योग 365 हो| 

प्र. 5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7cm कम है| यदि (UPBoardSolutions.com) कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

प्र. 6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है| एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी| यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत (UPBoardSolutions.com) 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए|

प्रश्नावली 4.3 (NCERT Page 97)

प्र. 1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व (UPBoardSolutions.com) हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए|
(i) 2×2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2×2 + x – 4 = 0
(iii) 4×2 +4 √3x + 3 = 0
(iv) 2×2 + x + 4 = 0

प्र. 2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, (UPBoardSolutions.com) द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए|
(i) 2×2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2×2 + x – 4 = 0
(iii) 4×2 +4 √3x + 3 = 0
(iv) 2×2 + x + 4 = 0

प्र. 3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

प्र 4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षो में) का व्युत्क्रम और अब से (UPBoardSolutions.com) 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex] है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

प्र 5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है| यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए|

प्र 6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से (UPBoardSolutions.com) 60 मीटर अधिक लंबा है| यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

प्र 7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है| छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है| दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए|

प्र 8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है| यदि यह चाल (UPBoardSolutions.com) 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती| रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए|

प्र० 9. दो पानी के नल एक-साथ हौज को भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।

प्र० 10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, (UPBoardSolutions.com) सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए|

प्र० 11 दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2 है| यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

प्रश्नावली 4.4 (NCERT Page 100)

प्र० 1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए| यदि मूलों का (UPBoardSolutions.com) अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2×2 – 3x + 5 = 0
(ii) 3×2 ​ – 4√3x + 4 = 0
(iii) 2×2 + 6x + 3 = 0

प्र० 2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों|
(i) 2×2 + kx + 3 = 0
(ii) kx (x – 2 ) + 6 = 0

प्र० 3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए|

प्र० 4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था|

प्र० 5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400m2 के एक पार्क को बनाना संभव है ? (UPBoardSolutions.com) यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए|
हल : माना पार्क का लंबाई = x m
परिमाप = 80 m

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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 Triangles

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प्रश्नावली 6.1 (NCERT Page 135)

प्र. 1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त …….. होते है| (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग…… होते हैं| (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी …….. त्रिभुज समरूप होते है | (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो (UPBoardSolutions.com) बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण ……..हो तथा
(ii) उनकी संगत ……भुजाएँ हों| (बराबर, समानुपाती|
हलः
(i) सभी वृत्त समरूप होते हैं।
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुजे समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा
(ii) उनकी संगत समानुपाती भुजाएँ हों।

प्र० 2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिएः
(i) समरूप आकृतियाँ
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हलः
(i) (a) दो वृत्त परस्पर समरूप होते हैं।
(b) दो वर्ग परस्पर समरूप होते हैं।
(ii) (a) एक वृत्त और एक त्रिभुज समरूप नहीं होते हैं।
(b) एक समद्विबाहु त्रिभुज और एक विषमबाहु। त्रिभुज समरूप आकृतियाँ नहीं होती हैं।

प्र० 3. बताइए कि निम्न चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं:

हलः संगत भुजाएँ समानुपाती हैं, परन्तु इनके (UPBoardSolutions.com) संगत कोण समान नहीं हैं। ये आकृतियाँ समरूप नहीं हैं।

प्रश्नावली 6.2 (NCERT Page 142)

प्र० 1. आकृति (i) और (ii) में, DE || BC और (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए :

प्र० 2. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर (UPBoardSolutions.com) क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं| निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है|
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3cm, PF = 3.6 और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm

प्र० 3. आकृति में यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए (UPBoardSolutions.com) कि [latex]\frac { AM }{ AB }[/latex] = [latex]\frac { AN }{ AD }[/latex] है।

प्र० 4. आकृति में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac { BF }{ FE }[/latex] = [latex]\frac { BE }{ EC }[/latex] है।

प्र० 5. आकृति में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए (UPBoardSolutions.com) कि EF || QR है।

प्र० 6. आकृति में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B (UPBoardSolutions.com) और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

प्र० 7. थेल्स प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। ( याद कीजिए कि आप इसे कक्षा (UPBoardSolutions.com) IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
हलः हमें ज्ञात है कि एक ΔABC में भुजा AB का मध्य बिन्दु D तथा AC पर E इस प्रकार है कि

प्र० 8. थेल्स प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक (UPBoardSolutions.com) त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।

प्र० 9. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण (UPBoardSolutions.com) परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि [latex]\frac { AO }{ BO }[/latex] = [latex]\frac { CO }{ DO }[/latex] हैं।

प्र० 10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार (UPBoardSolutions.com) प्रतिच्छेद करते हैं कि [latex]\frac { AO }{ BO }[/latex] = [latex]\frac { CO }{ DO }[/latex] है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

प्रश्नावली 6.3 (NCERT Page 153)

प्र० 1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन – कौन (UPBoardSolutions.com) से युग्म समरूप हैं | उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए|

प्र० 2. आकृति में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125° और (UPBoardSolutions.com) ∠CDO = 70° है| ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए|

प्र० 3. समलंब ABCD, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर (UPBoardSolutions.com) O पर प्रतिच्छेद करते हैं| दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि [latex]\frac { OA }{ OC }[/latex] = [latex]\frac { OB }{ OD }[/latex] है|

प्र० 4. आकृति में, [latex]\frac { QR }{ QS }[/latex] = [latex]\frac { QT }{ PR }[/latex] तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ΔPQS ~ ΔTQR है।

प्र० 5. ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T (UPBoardSolutions.com) इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है| दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS है|

प्र० 6. आकृति में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है|

प्र० 7. आकृति में, ΔABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :
(i) ΔAEP ~ ΔCDP
(ii) ΔABD ~ ΔCBE
(iii) ΔAEP ~ ΔADB
(iv) ΔPDC ~ ΔBEC

प्र० 8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित (UPBoardSolutions.com) E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है| दर्शाइए कि ΔABE ~ ΔCFB है |

प्र० 9. आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B (UPBoardSolutions.com) और M समकोण हैं| सिद्ध कीजिए कि :
(i) ΔABC ~ ΔAMP
(ii) [latex]\frac { CA }{ PA }[/latex] = [latex]\frac { BC }{ MP }[/latex]

हलः हमें दिया गया है:
समकोण ΔABC जो कि B पर समकोण है।
तथा ΔAMP जिसमें M पर समकोण है।
∠B = ∠M = 90° ……(1)
(i) ΔABC और ΔAMP में,
∠ABC = ∠AMP [(1) से]
और ∠BAC = ∠MAP [उभयनिष्ठ]
समरूपता (UPBoardSolutions.com) की AA कसौटी से,
ΔABC ~ ΔAMP
(ii) ΔABC ~ ΔAMP [ऊपर सिद्ध किया गया है]
इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
[latex]\frac { CA }{ PA }[/latex] = [latex]\frac { BC }{ MP }[/latex]

प्र० 10. CD और GH क्रमश: ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: ΔABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं| यदि ΔABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि :
(i) [latex]\frac { CD }{ GH }[/latex] = [latex]\frac { AC }{ FG }[/latex]
(ii) ΔDCB ~ ΔHGE
(iii) ΔDCA ~ ΔHGF

प्र० 11. आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु (UPBoardSolutions.com) त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है| यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है|

हलः हमें प्राप्त है।
एक समद्विबाहु ΔABC जिसमें AB = AC
अब, ΔABD और ΔECF में,
चूंकि AB = AC [ज्ञात है]
और समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।
∠ACB = ∠ABC
∠ECF = ∠ABD …(1)
पुनः AD ⊥ BC और EF ⊥ AC
∠ADB = ∠EFC = 90° …(2)
(1) और (2) से ΔABD ~ ΔECF [AA समरूपता से]

प्र० 12. एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका (UPBoardSolutions.com) AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति)| दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है|

प्र० 13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है| दर्शाइए कि CA² = CB.CD है|
हलः ज्ञात है: ΔABC जिसकी भुजा BC पर एक बिन्दु D
इस प्रकार है कि ∠ADC = ∠BAC

अब, ΔABC और ΔADC में,
∠BAC = ∠ADC [ज्ञात है]
और ∠BCA = ∠DCA [उभयनिष्ठ]
AA समरूपता कसौटी द्वारा,
ΔBAC ~ ΔADC
इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
[latex]\frac { CA }{ CD }[/latex] = [latex]\frac { CB }{ CA }[/latex]
CA x CA = CB x CD
CA² = CB x CD

प्र० 14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा (UPBoardSolutions.com) माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं| दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है|

प्र० 15. लंबाई 6m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m है, (UPBoardSolutions.com) जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है| मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

प्र० 16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि ΔABC ~ ΔPQR है। सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac { AB }{ PQ }[/latex] = [latex]\frac { AD }{ PM }[/latex] है|

प्रश्नावली 6.4 (NCERT Page 158)

प्र० 1. मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः (UPBoardSolutions.com) 64 cm2 और 121 cm² हैं| यदि EF = 15.4 cm² हो, तो BC ज्ञात कीजिए |
हलः हमें प्राप्त है।
ar(ΔABC) = 64 cm²

प्र० 2. एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O (UPBoardSolutions.com) पर प्रतिच्छेद करते हैं| यदि AB = 2 CD हो तो ΔAOB और ΔCOD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|
हलः हमें प्राप्त है: समलंब ABCD में, AB | DC
विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
ΔAOB और ΔCOD में,
∠AOB = ∠COD [शीर्षभिमुख कोण]
∠OAB = ∠OCD [एकान्तर कोण]

प्र० 3. आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं| यदि (UPBoardSolutions.com) AD, BC कोप O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए की

प्र० 4.यदि दो समरूप तत्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वान्गसम (UPBoardSolutions.com) होते हैं|

प्र० 5. एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E और F हैं| त्रिभुज DEF और त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|
हलः हमें प्राप्त है: ΔABC में भुजाओं AB, AC और BC
के मध्य बिन्दु क्रमशः D, E और F हैं।
D, F और F को मिलाने पर ΔDEF बनता है
अब, D भुजा AB का मध्य बिंदु है।

प्र० 6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है|
हलः हमें प्राप्त है: ΔABC और ΔDEF इस प्रकार है कि ΔABC ~ ΔDEF
तथा AM और DN क्रमशः भुजाओं BC और EF’ के संगत माध्यिकाएँ हैं।
चूंकि ΔABC ~ ΔDEF
इनके क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होगी।

प्र० 7. सिद्ध कीजिए कि दो एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है |
हलः हमें प्राप्त है कि वर्ग ABCD में विकर्ण AC है।
भुजा BC पर समबाहु ΔBQC और विकर्ण AC पर समबाहु ΔAPC बनाई गई है।
सभी समबाहु त्रिभुजें समरूप होती हैं।

प्र० 8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कोई भुजद BC (UPBoardSolutions.com) का मध्य-बिन्दु है| त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
(A) 2 : 1
(B) 1 : 2
(C) 4 : 1
(D) 1 : 4
हलः हमें प्राप्त है।
समबाहु ΔABC में, भुजा BC का मध्यबिंदु D है। DE को इस प्रकार खींचा गया है कि ΔBDE भी एक समबाहु त्रिभुज है।

चूंकि सभी समबाहु त्रिभुजें समरूप होती हैं।
ΔABC ~ ΔBDE
इनके क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के (UPBoardSolutions.com) वर्गों के अनुपात के समान होता है।

प्र० 9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं| इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81
हलः हमें दो समरूप त्रिभुजें इस प्रकार प्राप्त हैं कि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात 4:9 है।
चूंकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के समान होता है।

प्रश्नावली 6.5 (NCERT Page 164)

प्र० 1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से (UPBoardSolutions.com) कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

प्र० 2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा (UPBoardSolutions.com) QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM² = QM . MR है|

प्र० 3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है| जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है| दर्शाइए कि
(i) AB² = BC . BD
(ii) AC² = BC . DC
(iii) AD² = BD . CD

प्र० 4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C (UPBoardSolutions.com) समकोण है| सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है|

प्र० 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है| यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है|

प्र० 6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक (UPBoardSolutions.com) शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

प्र० 7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

(UPBoardSolutions.com)

प्र० 9. 10 मी. लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मी. (UPBoardSolutions.com) की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुंचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

प्र० 10. 18 मी. ऊंचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक बूंटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधार से बँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाई 24 मी. है।
हलः माना AB एक तार तथा BC एक खंभा है।
माना बिन्दु A एक बँटे को प्रकट करता है।
AB = 24 मी. और BC = 18 मी.
अब, समकोण ΔABC में पाईथागोरस प्रमेय द्वारा।

प्र० 11. एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 कि.मी./घं. की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 कि.मी./घं. की चाल से उड़ता है। 1[latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] घंटे (UPBoardSolutions.com) के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?

प्र० 12. दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 मी. और (UPBoardSolutions.com) 11 मी. हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके तलों के बीच की दूरी 12 मी. है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः माना दो खंभे AB और CD है।
खंभों के तलों के बीच की दूरी AC = 12 मी.

प्र० 13. किसी त्रिभुज (UPBoardSolutions.com) ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है| सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है|

प्र० 14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है| सिद्ध कीजिए कि : 2AB² = 2AC² + BC² है|

प्र० 15. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D (UPBoardSolutions.com) इस प्रकार स्थित है कि BD = [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex] BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7AB² हैं।

प्र० 16. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है|
हलः हमें प्राप्त है कि समबाहु ΔABC में, AD ⊥ BC
हम जानते हैं कि समबाहु A में शीर्षलम्ब संगत भुजा (UPBoardSolutions.com) को समद्विभाजित करता है।
D, भुजा BC का मध्यबिन्दु है।
BD = DC [प्रत्येक = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] BC]

प्र० 17. सही उत्तर चुनकर उनका औचित्य दीजिए:
ΔABC में, AB = 63 सेमी., AC = 12 सेमी. अ
BC = 6 सेमी. है। कोण B हैः
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°
हलः हमें प्राप्त है:
AB = 6√3 सेमी.
AC = 12 सेमी.
BC = 6 सेमी.
AB² = (6√3)² = 36 x 3 = 108
AC² = 12² = 144
BC² = 6² = 36
चूंकि, 144 = 108 + 36
अर्थात् AC² = AB² + BC²
ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें
∠B = 90° है।
अतः उत्तर (C) अर्थात् 90° सही है।

प्रश्नावली 6.6 (NCERT Page 166)

प्र० 1. आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है| सिद्ध कीजिए कि (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac { QS }{ SR }[/latex] = [latex]\frac { PQ }{ PR }[/latex] है|

प्र० 2. आकृति में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है तथा DM ⊥ BC और DN ⊥ AB है| सिद्ध कीजिए कि
(i) DM² = DN.MC
(ii) DN² = DM.AN

प्र० 3. आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ∠ABC > 90° (UPBoardSolutions.com) हा तथा AD ⊥ CB है| सिद्ध कीजिए की AC² = AB² + BC² + 2BC.BD है|

प्र० 4. आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ∠ABC < 90° है तथा AD ⊥ BC है| सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² – 2 BC.BD है|

प्र० 5. आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा (UPBoardSolutions.com) AM ⊥ BC है| सिद्ध कीजिए की

प्र० 6. सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकार्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है|

प्र० 7. आकृति में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु प पर प्रतिच्छेद करती हैं| सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔAPC ~ ΔDPB
(ii) AP.PB = CP.DP

प्र० 8. आकृति में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं| सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔPAC ~ ΔPDB
(ii) PA.PB = PC.PD

प्र० 9. आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार (UPBoardSolutions.com) स्थित है कि [latex]\frac { BD }{ CD }[/latex] = [latex]\frac { AB }{ AC }[/latex] है| सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है |

प्र० 10. नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है| उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दुरी (UPBoardSolutions.com) 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दुरी 2.4m है | यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति 6.64)? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दुरी कितनी होगी?

Hope given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 are helpful to complete your homework.

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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry

These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 10 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry.

प्रश्नावली 7.1 (NCERT Page 177)

प्र. 1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)

प्र. 2. बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की (UPBoardSolutions.com) दूरी ज्ञात कीजिए। एक शहर B एक अन्य शहर A से 36 किमी. पूर्व (east) और 15 किमी. उत्तर (north) की ओर है। शहर B की शहरे A से बिना वास्तविक मापन के दूरी ज्ञात कीजिए।

प्र. 3. निर्धारित कीजिए की क्या बिन्दु (1, 5), (2, 3) और (UPBoardSolutions.com) (-2, -11) सरेंखी हैं|

प्र. 4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) (UPBoardSolutions.com) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं |

प्र. 5. किसी कक्षा में. चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति 7.8 में दर्शाया गया है | चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने तक के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम (UPBoardSolutions.com) नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है ?’ चमेली इससे सहमत नहीं है ?’ दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है|

प्र. 6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चर्तुभुज का प्रकार (UPBoardSolutions.com) (यदि कोई है तो) बताइए तथाअपने उतर के लिए करण भी दीजिए :
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

प्र. 7. x – अक्ष मान पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (UPBoardSolutions.com) (-2, 9) से समदूरस्थ हैं|
हल : माना A (2, -5), B (-2, 9), तथा x-अक्ष पर बिंदु P (x, 0), हैं|

प्र. 8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P (2, -3) और (UPBoardSolutions.com) Q (10, y ) के बीच की दुरी 10 मात्रक है|

प्र. 9. यदि Q (0, 1) बिन्दुओं P (5, -3) और R (x, 6) से समदूरस्थ है, (UPBoardSolutions.com) तो x के मान ज्ञात कीजिए| दुरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए|

प्र. 10. x और y में एक ऐसा संबध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (UPBoardSolutions.com) (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो|

प्रश्नावली 7.2 (NCERT Page 183)

प्र. 1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1, 7) और (UPBoardSolutions.com) (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है |

प्र. 2. बिन्दुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

प्र. 3. आपके स्कूल में खेल -कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चुने से परस्पर 1m की दुरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं | AD के अनुदिश परस्पर 1m की दुरी पर 100 गमले रखे हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है| निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है |प्रीत आठवीं (UPBoardSolutions.com) पंक्ति में AD के [latex]\frac { 1 }{ 5 }[/latex] भाग के बराबर की दूरी दौडती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड देती है दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी ( बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

प्र. 4. बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिन्दु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है|

प्र. 5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A (1, -5) और B (-4, 5) (UPBoardSolutions.com) को मिलाने वाला रेखाखंड x- अक्ष से विभाजित होता है| इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए|

प्र. 6. यदि बिन्दु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में (UPBoardSolutions.com) लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए |

प्र. 7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है (UPBoardSolutions.com) जिसका केंद्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं|

प्र. 8. यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक (UPBoardSolutions.com) ज्ञात कीजिए ताकि AP = [latex]\frac { 3 }{ 7 }[/latex] AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो|

प्र. 9.बिन्दुओं A (-2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार (UPBoardSolutions.com) बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

प्र. 10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (UPBoardSolutions.com) (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं

प्रश्नावली 7.3 (NCERT Page 188)

प्र. 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4) (UPBoardSolutions.com)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)

प्र. 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘4’ का मान ज्ञात कीजिए, (UPBoardSolutions.com) ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों|
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)

प्र. 3. शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के (UPBoardSolutions.com) मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ। अनुपात ज्ञात कीजिए।

प्र. 4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (UPBoardSolutions.com) (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।

प्र. 5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A (4, -6), (UPBoardSolutions.com) B (3, -2) और C (5, 2) हैं।

प्रश्नावली 7.4 (NCERT Page 188)

प्र. 1. बिन्दुओं A (2, -2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को (UPBoardSolutions.com) रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए|
हलः माना दिए गये बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB को रेखा 2x + y – 4 = 0 बिन्दु C पर है k : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।

प्र. 2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिउंदु (UPBoardSolutions.com) (x, y), (1, 2) और (7, 0) सरेंखी हैं|

प्र. 3.बिन्दुओं (6, -6), (3, 7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए|

प्र. 4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं) वर्ग (UPBoardSolutions.com) के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए|

हलः माना वर्ग ABCD में A (-1, 2) और C (3, 2) सम्मुख शीर्ष हैं।
माना अज्ञात शीर्ष B के निर्देशांक (3, 3) (UPBoardSolutions.com) हैं। चूंकि एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं।

प्र. 5. कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विधार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है | गुलमोहर की पौध को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है | इस भूखंड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है | विधार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे (UPBoardSolutions.com) के बीज बोने हैं |
(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
(ii) यदि मूलबिंदु C हो, त्रिभुज ΔPQR के निर्देशांक क्या होंगे| साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए| आप क्या देखते हैं ?

हलः (i) A को मूल बिन्दु (origin) और AD तथा AB के निर्देशांक अक्ष लेने पर हमें प्राप्त होता है कि
P के निर्देशांक (4, 6), Q के निर्देशांक (3, 2), R के निर्देशांक (6, 5) ΔPQR के शीर्ष हैं।
(ii) बिन्दु C के मूल बिन्दु और CB तथा CD को निर्देशांक-अक्ष लेने पर ΔPQR के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
P (12, 2), Q (13, 6) और R (10, 3)
अब, क्षे. (ΔPQR) [जबकि P(4, 6), Q(3, 2) और R(6, 5) हैं]
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [4 (2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2)]
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [-12 – 3 + 24] (UPBoardSolutions.com) = [latex]\frac { 9 }{ 2 }[/latex] वर्ग इकाई
क्षे. (ΔPQR)
[जब P(12, 2), २(13, 6) और R(10, 3) हैं]
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [12 (6 – 3) + 13 (3 – 2) + 10 (2 – 6]
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [36 + 13 – 40] = [latex]\frac { 9 }{ 2 }[/latex] वर्ग इकाई
इस प्रकार, दोनों अवस्थाओं में ΔPQR का क्षेत्रफल एक ही है।

प्र. 6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं | भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की [latex]\frac { AD }{ AB }[/latex] = [latex]\frac { AE }{ AC }[/latex] = [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] है| त्रिभुज ΔADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना त्रिभुज ΔABC के क्षेत्रफल से (UPBoardSolutions.com) कीजिए|

प्र. 7. मान लीजिए A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं |
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है | बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2 : 1 हो|
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के (UPBoardSolutions.com) निर्देशांक ज्ञात कीजिए की BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो|
(iv) आप क्या देखते हैं ?
[नोट : वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है|]
(v) यदि A (x1, y1 ), B (x2, y2 ) और C (x3, y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, (UPBoardSolutions.com) तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

प्र. 8. बिन्दुओं A (-1, -1), B (-1, 4), C (5, 4) और D (5, -1) से एक आयात ABCD बनता है| PQR और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं| क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक (UPBoardSolutions.com) समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए|

Hope given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 are helpful to complete your homework.

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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables

These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 10 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables.

प्रश्नावली 3.1 (NCERT Page 49)

प्र. 1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था | अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए|
हल :
माना आफ़ताब की वर्त्तमान आयु = x वर्ष
और उसकी पुत्री की वर्त्तमान आयु = y वर्ष
7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = x – 7 वर्ष
और उसकी पुत्री की आयु (UPBoardSolutions.com) = y – 7 वर्ष
स्थित – I
x – 7 = 7(y – 7)
x – 7 = 7y – 49
x – 7y = 7 – 49
x – 7y = – 42 ……… (1)
3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = x + 3 वर्ष
और उसकी पुत्री की आयु = y + 3 वर्ष
स्थित – II
x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x – 3y = 9 – 3
x – 3y = 6 ……. (2)
बीजगणितीय रूप में :
x – 7y = – 42 ……… (1)
x – 3y = 6 ……. (2)

प्र. 2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रू में 3 बल्ले तथा 6 (UPBoardSolutions.com) गेंदे खरीदी बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदे 1300 रू में खरीदीं इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए
हल : माना एक बल्ले का मूल्य = x रुपये
और एक गेंद का मूल्य = y रुपये
अत: बीजगणितीय निरूपण
3x + 6y = 3900 ………. (1) और
x + 2y = 1300 ………. (2)
समी० (1) से
3x + 6y = 3900
3(x + 2y) = 3990
या x + 2y = 1300
x = 1300 – 2y
इसी प्रकार समी० (2) से
x + 2y = 1300
x = 1300 – 2y

प्र. 3. 2kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रू था | एक (UPBoardSolutions.com) महीने बाद 4 kg सेब और दो kg अंगूर का मूल्य 300 रू हो जाता है |इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए
हल : माना एक किलों सेब का मूल्य = x रुपया
और एक किलो अंगूर का मूल्य = y रुपया
अत: बीजगणितीय निरूपण :
2x + y = 160 ……… (1)
4x + 2y = 300 …….. (2)
ग्राफीय निरूपण :
समी० (1) से
2x + y = 160
y = 160 – 2x
अब समी० (2) से (UPBoardSolutions.com)
4x + 2y = 300
या 2x + y = 150
y = 150 – 2x

प्रश्नावली 3.2 (NCERT Page 55)

प्र. 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए
(i) कक्षा x के 10 विधार्थियों ने एक गणित की पहेली (UPBoardSolutions.com) प्रतियोगिता में भाग लिया यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लडको और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए
हल :
माना लड़कियों की संख्या = x
तथा लड़कों की संख्या = y
प्रश्नानुसार,
लड़के और लडकियाँ की कुल संख्या 10 है|
इसलिए, x + y = 10 …….. (1)
लड़कों से लड़कियाँ 4 अधिक हैं |
इसलिए, x – y = -4 …….. (2)
समी० (1) के लिए (UPBoardSolutions.com) तालिका
x + y = 10
⇒ y = 10 – x
समी० (2) के लिए तालिका
x – y = -4
⇒ y = x + 4

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं (UPBoardSolutions.com) कि बिंदु (3, 5) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |
इसलिए, पेन्सिल का मूल्य = 3 और कलम का मूल्य = 5 है|

प्र 2. अनुपातों [latex]\frac { { { a }_{ 1 } } }{ { a }_{ 2 } }[/latex], [latex]\frac { { { b }_{ 1 } } }{ { b }_{ 2 } }[/latex] और [latex]\frac { { { c }_{ 1 } } }{ { c }_{ 2 } }[/latex] की तुलना कर ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
(i) 5x – 4y +8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x +3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0

प्र० 3. अनुपातों [latex]\frac { { { a }_{ 1 } } }{ { a }_{ 2 } }[/latex], [latex]\frac { { { b }_{ 1 } } }{ { b }_{ 2 } }[/latex] और [latex]\frac { { { c }_{ 1 } } }{ { c }_{ 2 } }[/latex] की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगतः
(i) 3x + 2y = 5;
2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8;
4x – 6y = 9
(iii) [latex]\frac { 3 }{ 2 }[/latex] x – [latex]\frac { 5 }{ 3 }[/latex] y = 7;
9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11
-10x + 6y = -22
(v) [latex]\frac { 4 }{ 3 }[/latex] x + 2y = 8; (UPBoardSolutions.com)
2x + 3y = 12

प्र० 4. निम्न रैखिक समीकरणों के (UPBoardSolutions.com) युग्मों में से कौन से युग्म संगत /असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0

प्र० 5. एक आयताकार बाग़ जिसकी लंम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, (UPBoardSolutions.com) का अर्धपरिमाप 36m है| बाग़ की विमाएँ ज्ञात कीजिए|
हल : माना आयताकार बाग की लंबाई = x m
और चौड़ाई = y m है|
अर्धपरिमाप = 36 m

प्र० 6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है दी चरों में एक (UPBoardSolutions.com) ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिछेद करती रेखाएँ हों
(ii) समांतर रेखाएँ हों|
(iii) संपाती रेखाएँ हों
हल : 2x + 3y – 8 = 0 …… (i) (दिया है)
हमें एक और ऐसी ही रैखिक समीकरण खींचना है जिससे प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाए हो
रेखाए प्रतिच्छेद करती हो इसके लिए

प्र० 7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का (UPBoardSolutions.com) ग्राफ खींचिए x- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए

प्रश्नावली 3.3 (NCERT Page 59)

प्र० 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

प्र० 2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें (UPBoardSolutions.com) ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो |
हल :
2x + 3y = 11 ……. (i)
2x – 4y = – 24 ….. (ii)
समीकरण (i) से
2x + 3y = 11

प्र 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के (UPBoardSolutions.com) अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 किमी. दूरी के लिए भाड़ा 105 है तथा 15 किमी. के लिए भाड़ा 155 है। नियत भाड़ा तथा
प्रति किमी. भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी. यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह [latex]\frac { 9 }{ 11 }[/latex] हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह [latex]\frac { 5 }{ 6 }[/latex] हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

प्रश्नावली 3.4 (NCERT Page 63)

प्र 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल (UPBoardSolutions.com) कीजिए कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) [latex]\frac { x }{ 2 }[/latex] + [latex]\frac { 2y }{ 3 }[/latex] = -1 और x – [latex]\frac { y }{ 3 }[/latex] = 3

प्र 2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 (UPBoardSolutions.com) में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] हो जाती है। यह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से रे 50 तथा 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 और 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच (UPBoardSolutions.com) दिनों तक रखने के 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) माना भिन्न का अंश = x और भिन्न का हर =y

प्रश्नावली 3.5 (NCERT Page 69)

प्र 1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक (UPBoardSolutions.com) अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है | अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज – गुणन विधि से ज्ञात कीजिए
(i) x – 3y = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0

प्र 2. (i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b) x + ( a + b) y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक (UPBoardSolutions.com) समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?
3x + y = 1
(2k – 1) x + (k – 1) y = 2k + 1

(UPBoardSolutions.com)

प्र 3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज – गुणन विधियों से हल कीजिए किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4

प्र 4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि (UPBoardSolutions.com) उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्धार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है, जबकि एक विधार्थी B को,जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते है | नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए|
(ii) एक भिन्न [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex] हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है| वह भिन्न ज्ञात कीजिए|
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे (UPBoardSolutions.com) प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई | यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश ५०अन्क अर्जित करता टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है | एक कार A से तथा दूसरी कार b से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है | यदि ए कारे भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं | दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए|
(v) एक आयात का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है| आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए|

प्रश्नावली 3.6 (NCERT Page 74)

प्र 1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों (UPBoardSolutions.com) के युग्म में बदल करके हल कीजिए :

प्र 2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है| उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए|

(ii) 2 महिलाएँ एंव 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ- साथ 4 (UPBoardSolutions.com) दिन में पूरा कर सकते है | जबकि 3 महिलाएँ एंव 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते है ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक महिला कितना समय लेगी | पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा|
(iii) रूही 300 km दुरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दुरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दुरी बस द्वारा तय करती है | यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं | यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं| रेलगाड़ी एंव बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए|

प्रश्नावली 3.7 (NCERT Page 75)

प्र 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है| अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है| कैथी और धरम की आयु का अन्तर 300 वर्ष है| अणि (UPBoardSolutions.com) और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए|

प्र 2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी (UPBoardSolutions.com) बन जाऊँगा’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए की उनकी क्रमशः कल्या संपत्तिया हैं ?

प्र 3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते(UPBoardSolutions.com) रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए|

प्र 4. एक कक्षा के विधार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है| यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक होते, तो पंक्ति कम होती| यदि पंक्ति में 3 विधार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं| कक्षा में विधार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए|

प्र 5. एक त्रिभुज ∆ABC में, ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B) है| (UPBoardSolutions.com) त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए|

प्र 6. समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए| इन रेखाओं और y -अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए| इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए|

प्र 7. निम्न रैखिक समीकरणों (UPBoardSolutions.com) के युग्मों को हल कीजिए :
(i) px + qy = p – q
qx – pq = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) [latex]\frac { x }{ a }[/latex] – [latex]\frac { y }{ b }[/latex] = 0
ax + by = a² + b²
(iv) (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b) (x + y ) = a² + b²
(v) 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604

 

प्र 8. ABCD एक चतुर्भुज है इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए|

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