Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.3

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.3 समान्तर श्रेणी

Ex 5.3 Arithmetic Progressions अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
0 व 500 के बीच 7 के गुणांकों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 व 500 के बीच 7 के गुणांक
7, 14, 21,……, 497
a = 7, d = 14 – 7 = 7 तथा (UPBoardSolutions.com) l = 497
तब l = a + (n – 1)d
या 497 = 7 + (n – 1) × 7
497 = 7 + 7n – 7
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प्रश्न 2.
5 से विभाजित होने वाली सभी दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
5 से विभाजित दो अंकों की सभी (UPBoardSolutions.com) संख्यायें :
10, 15, 20,……..95
a = 10, d = 15 – 10 = 5 तथा l = 95
तब l = a + (n – 1)d या 95 = 10 + (n – 1) × 5
95 = 10 + 5n – 5 या 95 = 5n + 5
95 – 5 = 5n या 5n = 90 या n = [latex]\frac{90}{5}[/latex] = 18
तथा Sn = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = [latex]\frac{18}{2}[/latex][2 × 10 + (18 – 1) × 5]
S18 = 9[20 + 17 × 5]
= 9[20 + 85]
= 9 × 105 = 945

प्रश्न 3.
यदि Sr, किसी समान्तर श्रेणी के r पदों का योग है तो S3n:(S2n – Sn) का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है Sr = [latex]\frac{r}{2}[/latex][2a + (r – 1)d]
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प्रश्न 4.
संख्या 5 व 7 का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या 5 व 7 का स०मा० = [latex]\frac{5+7}{2}=\frac{12}{6}[/latex] = 6

Ex 5.3 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 5.
यदि दो संख्याओं का अन्तर 4 तथा उनका (UPBoardSolutions.com) समान्तर माध्य 6 हो तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हलः
माना वे दोनों संख्याये a व b हैं।
तब प्रश्नानुसार, a – b = 4 …(1)
तथा समान्तर माध्य = 6
[latex]\frac{a+b}{2}[/latex] = 6
a + b = 12 …(2)
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a का मान समीकरण (2) में रखने पर
8 + b = 12
या b = 12 – 8 = 4
अतः दोनों संख्यायें 8,4 हैं।

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प्रश्न 6.
यदि संख्याएं a,b व c समान्तर श्रेणी में हैं तथा a व b का समान्तर माध्य (UPBoardSolutions.com) p तथा b व c का समान्तर माध्य q हो तो सिद्ध कीजिए कि p वq का समान्तर माध्य b होगा।
हल:
∵ संख्याये a, b व c समान्तर श्रेणी में है।
∴ 2b = a + c
प्रश्नानुसार, a व b का समान्तर माध्य = p
[latex]\frac{a+b}{2}[/latex] = P
या a + b = 2p …(1)
तथा b व c का समान्तर माध्य = q
[latex]\frac{b+c}{2}[/latex] = q
या c + b = 2q …(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
a + 2b + c = 2p + 2q
a + c + 2b = 2(p + q)
∵ a + c = 2b
तो 2b + 2b = 2(p + q)
[latex]\frac{4 b}{2}[/latex] = p + q
2b = p + q
[latex]\frac{p+q}{2}[/latex] = b
अतः इससे स्पष्ट है कि p व १ का समान्तर (UPBoardSolutions.com) माध्य b है।

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प्रश्न 7.
यदि a व b का समान्तर माध्य A है तो सिद्ध कीजिए कि
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हलः
∵ a व b का समान्तर माध्य A है।
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प्रश्न 8.
(i) माना 3 व 17 के बीच n समान्तर माध्य है तथा पहले व (UPBoardSolutions.com) अन्तिम समान्तर माध्य का अनुपात 3 : 1 है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) 7 व 37 के बीच 9 समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना 3 व 17 के बीच n समान्तर माध्य है।
तब समान्तर श्रेणी में
3, A1, A2, A3……An, 17
पदों की संख्या = n + 2 ,a = 3, l = 17
तब l = a + (n – 1)d
17 = 3 + (n + 2 – 1)d
17 = 3 + (n + 1)d
17 – 3 = (n + 1)d
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(ii) माना, 7, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, 37
तब a = 7, l = 37 तथा पदों की संख्या = 11
l = a + (n – 1)d से
37 = 7 + (11 – 1)d
37 – 7 = 10d
या 10d = 30, (UPBoardSolutions.com) d = [latex]\frac{30}{10}[/latex] = 3
A1 = a + d = 7 + 3 = 10,
A2 = a + 2d = 7 + 6 = 13
A3 = a + 3d = 7 + 9 = 16,
इसी प्रकार A4 = 19, A5 = 22, A6 = 25
A7 = 28, A8 = 31, A9 = 34
अतः 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34

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Ex 5.3 Arithmetic Progressions दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 9.
यदि x, y, z समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि
(x + 2y – z)(2y + z – x) (z + x – y) = 4xyz
हल:
∵ x, y व z समान्तर श्रेणी में है।
∴ 2y = x + z
सिद्ध करना हैं (x + 2y – z)(2y + z – x)(z + x – y) = 4xyz
L. H. S. = (x + 2y – z)(2y + z – x)(z + x – y)
∵ 2y = x + z
∴ (x + x + z – z)(x + z + z – x) (2y – y)
= (2x)(2z)(y)
= 4xyz = R.H.S

प्रश्न 10.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि
(i) b + c, c + a, a + b भी समान्तर (UPBoardSolutions.com) श्रेणी में होंगे।
(ii) b + c – a, c + a – b, a + b – c भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
(iii) [latex]\boldsymbol{a}\left(\frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{b}}+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{c}}\right), \mathbf{b}\left(\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{c}}+\frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{a}}\right), \mathbf{c}\left(\frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{a}}+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{b}}\right)[/latex] भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
(iv) a2(b + c), b2(c + a), c2(a + b) भी समान्तर श्रेणी में होंगे यदि ab + bc + ca = 0
हलः
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं।
तब 2b = a + c
(i) b + c, c + a, a + b भी समान्तर श्रेणी में हैं।
2(c + a) = b + c + a + b
2c + 2a – c – a = 2b
2b = a + c
अतः इससे स्पष्ट हैं कि b + c, c + a, a + b (UPBoardSolutions.com) भी समान्तर श्रेणी हैं।

(ii) b + c – a, c + a – b, a + b – c समान्तर श्रेणी में हैं।
2(c + a – b) = b + c – a + a + b – c
2c + 2a – 2b = 2b
2c + 2a = 2b + 2b
या 4b = 2(c + a)
[latex]\frac{4 b}{2}[/latex] = (c + a)
या 2b = c + a
अत: b + c – a, c + a – b, a + b – c समान्तर श्रेणी में हैं।

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(iv) ∵ a2(b + c), b2(c + a), c2(a + b) समान्तर श्रेणी में हैं।
प्रत्येक पद में abc जोड़ने पर
a2(b + c) + abc, b2(c + a) + abc, c2(a + b) + abc (UPBoardSolutions.com) भी समान्तर श्रेणी में हैं।
a(ab + ac + bc), b(bc + ab + ac), c(ca + bc + ab) समान्तर श्रेणी में हैं।
2 × b(ab + bc + ac) = (a + c)(ab + bc + ca)
(2b – a – c)(ab + bc + ab) = 0
ab + bc + ac = 0

प्रश्न 11.
यदि b2 + c2, c2 + a2, a2 + b2 समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}[/latex] भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
हल: ∵ b2 + c2, c2 + ad, a2 + b2 समान्तर श्रेणी में हैं।
2(c2 + a2) = b2 + c2 + a2 + b2
2c2 + 2a2 – c2 – a2 = 2b2
c2 + a2 = 2b2
या 2b2 = c2 + a2
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2ab + 2ac + 2b2 + 2bc = ac + c2 + 2bc (UPBoardSolutions.com) + a2 + ac + 2ab
2b2 = c2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac – 2ab – 2ac – 2bc
2b2 = c2 + a2 …(2)
समीकरण (1) व (2) से स्पष्ट है कि [latex]\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}[/latex] समान्तर श्रेणी में हैं।

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प्रश्न 12.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{1}{b c}, \frac{1}{c a}, \frac{1}{a b}[/latex] भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
हलः
∵ a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं।
∴ प्रत्येक पद में abc में भाग देने पर,
[latex]\frac{a}{a b c}, \frac{b}{a b c}, \frac{c}{a b c}[/latex] भी समान्तर श्रेणी में हैं।
[latex]\frac{1}{b c}, \frac{1}{a c}, \frac{1}{a b}[/latex] भी समान्तर श्रेणी में हैं।

प्रश्न 13.
यदि a2, b2, c2 समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए (UPBoardSolutions.com) कि [latex]\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}[/latex] भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
हलः
∵ a2, b2, c2 समान्तर श्रेणी में हैं।
∴ प्रत्येक पद में (ab + bc + ca) जोड़ने पर
(a2 + ab + bc + ca), (b2 + ab + bc + ca), (c2 + ab + bc + ca)
(a + b)(c + a), (a + b)(b + c), (c + a)(b + c) समान्तर श्रेणी में हैं।
प्रत्येक पद में (a + b)(b + c)(c + a) से भाग देने पर
[latex]\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}[/latex] समान्तर श्रेणी में हैं।

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