Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 6.3

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 6.3 निर्देशांक ज्यामिति

Ex 6.3 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
(7, 5), (5, 7) व (-3, 3) शीर्षों वाले (UPBoardSolutions.com) त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए।
हलः
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प्रश्न 2.
(6, 0) व (0, 8) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हलः
(6, 0) तथा (0, 8) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु = [latex]\left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right)[/latex] = (3, 4)

प्रश्न 3.
बिन्दुओं (-3, 4) व (3, -4) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हलः
(-3, 4) तथा (3, -4) का मध्य बिन्दु = [latex]\left(\frac{-3+3}{2}, \frac{4-4}{2}\right)[/latex]
= [latex]\left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right)[/latex] = (0, 0)

प्रश्न 4.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो (0, 0) व (4, 0) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 3 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
हलः
1 : 3 में अन्त:विभाजन करने वाले (UPBoardSolutions.com) बिन्दु के निर्देशांक
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प्रश्न 5.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (2, -3) व (-4, 6) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
हलः
यदि (2, -3) तथा (-4, 6) को मिलाने वाली रेखा को एक बिन्दु 1 : 2 के अनुपात में अन्तःविभाजन करता है
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अतः बिन्दु के निर्देशांक = (0, 0).

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प्रश्न 6.
उस बिन्दु का भुज ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (0, 4) व (0, 8) को मिलाने वाली रेखा को 3 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
हल:
3 : 1 के अनुपात में अन्त:विभाजन करने वाले बिन्दु (UPBoardSolutions.com) का x निर्देशांक = [latex]\frac{3 \times 0+1 \times 0}{3+1}=\frac{0}{4}[/latex] = 0

प्रश्न 7.
यदि बिन्दु (4, 0), बिन्दुओं (-8, 13) व (x, 7) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु है। तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि (4, 0), (-8, 13) तथा (x, 7) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु है तो
[latex]\frac{4}{1}=\frac{-8+x}{2}[/latex]
8 = -8 + x
8 + 8 = x
∴ x = 16

प्रश्न 8.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए, जिसमें (-4, -3) व (5, 2) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष को काटता है।
हल:
∵ बिन्दु x-अक्ष को काटता (UPBoardSolutions.com) है इसलिए y = 0
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Ex 6.3 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 9.
त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (-1, 3), (-3, 2) व (5, -1) हैं । सिद्ध कीजिए कि शीर्ष A से डाली गयी माध्यिका की लम्बाई [latex]\sqrt{\frac{41}{4}}[/latex] इकाई है।
हलः
माना बिन्दु A = (-1, 3), B = (-3, 2),C = (5, -1)
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प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज के शीर्ष (3, -2), (-3, 4), (1, 8) व (7, 4) हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाएँ एक समान्तर चतुर्भुज बनाती हैं।
हलः
माना A = (3, -2), B = (-3, 4), C = (1, 8) व D = (7, 4) एक चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
तथा P,Q, R व S भुजा AB, BC, CD व (UPBoardSolutions.com) DA के मध्य बिन्दु हैं।
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∵ विकर्ण PR + विकर्ण sQ
∴ P,Q, R, S एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

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Ex 6.3 Coordinate Geometry दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(1, 4), B(2, -3) व C(-1, -2) हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक [latex]\left(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right)[/latex] हैं।
हल:
∆ABC में A = (1, 4), B = (2, -3),C = (-1, -2)
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प्रश्न 12.
एक बिन्दु P, किसी रेखाखण्ड AB को 3 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है। यदि बिन्दु A व B के निर्देशांक क्रमशः (4, 3) व (2, 1) हैं। सिद्ध कीजिए कि P के निर्देशांक (-2, -3) हैं।
हलः
माना बिन्दु A = (4, 3), बिन्दु B = (2, 1), बिन्दु (UPBoardSolutions.com) P, AB रेखा को 3 : 2 के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करती है।
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∴ बिन्दु P के निर्देशांक = (-2, -3)

प्रश्न 13.
किसी वृत्त के व्यास के एक सिरे के निर्देशांक (3, 5) हैं। यदि केन्द्रक के निर्देशांक (6,6) हो तो व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त में व्यास का मध्य बिन्दु केन्द्र होता है।
केन्द्र के निर्देशांक = (6, 6), माना व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक = (x, y)
[latex]\frac{6}{1}=\frac{3+x}{2}[/latex]
12 = 3 + x
12 – 3 =x
9 = x
तथा [latex]\frac{6}{1}=\frac{5+y}{2}[/latex]
12 = 5 + y
12 – 5 = y
7 = y
∴ व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक = (9, 7)

प्रश्न 14.
किसी समान्तर चतुर्भुज के तीन क्रमागत शीर्षों के निर्देशांक (-1, 0), (3, 1) व (2, 2) हैं। सिद्ध कीजिए कि चौथे शीर्ष के निर्देशांक (-2, 1) होंगे।
हलः
माना A = (-1, 0), B = (3, 1), C = (2, 2) व (UPBoardSolutions.com) D = (x, y) एक समान्तर चतुर्भुज के निर्देशांक हैं।
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∵ [latex]\frac{y+1}{2}=\frac{1}{1}[/latex]
y + 1 = 2
y = 2 – 1 = 1
∴ बिन्दु D = (x, y) = (-2, 1)

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प्रश्न 15.
किसी ∆ ABC में, D भुजा BC का मध्य बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि
AB2 + CA2 = 2(AD2 + DC2)
हलः
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माना बिन्दु B के निर्देशांक (UPBoardSolutions.com) = (-a, 0)
C के निर्देशांक = (a, 0)
A के निर्देशांक = (0, b)
मध्य बिन्दु D के निर्देशांक = (0, 0)
AB2 + CA2 = (0 + a)2 + (b – 0) + (0 – a)2 + (b – 0)2
= a2 + b2 + a2 + b2
= 2(a2 + b2) = 2(DC2 + AD2)

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