Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.5

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.5 द्विघात समीकरण

Ex 4.5 Quadratic Equations संख्याओं तथा भिन्नों पर आधारित प्रश्न

प्रश्न 1.
दो संख्याओं का योग 16 तथा उनके व्युत्क्रमों का योग (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac{1}{3}[/latex] है, संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना एक संख्या = x तथा दूसरी संख्या = y है।
प्रश्नानुसार, पहली शर्त x + y = 16 …(1)

x² + 48 = 16x
या x² – 16x + 48 = 0
x² – 12x – 4x + 48 = 0
x(x – 12) – 4(x – 12) = 0
(x – 12)(x – 4) = 0
जब x – 12 = 0, तब x = 12
तथा जब x – 4 = 0, तब x = 4
x के मान समी० (2) में रखने पर,

अतः संख्याऐं 12, 4 या 4, 12

प्रश्न 2.
दो संख्याओं का योग 18 और उनके व्युत्क्रमों (UPBoardSolutions.com) का योग [latex]\frac{1}{4}[/latex] है। संख्याएं ज्ञात कीजिए।
हलः
माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
प्रश्नानुसार, पहली शर्त x + y = 18 …(1)

x² + 72 = 18x
या x² – 18x + 72 = 0
x² – 12x – 6x + 72 = 0
x(x – 12) – 6(x – 12) = 0
(x – 12)(x – 6) = 0
जब x – 12 = 0, तब x = 12
तथा जब x – 6 = 0, तब x = 6
x के मान समी० (2) में रखने पर,

अतः संख्याएँ 12, 6 या 6, 12

प्रश्न 3.
दो संख्या a व b का योग 15 तथा उनके व्युत्क्रमों [latex]\frac{1}{a}[/latex] तथा [latex]\frac{1}{b}[/latex] का योग [latex]\frac{3}{10}[/latex] है| a व b ज्ञात कीजिए
हलः
प्रश्नानुसार, पहली शर्त
a + b = 15 …(1)

या a² – 15a + 50 = 0
a² – 10a – 5a + 50 = 0
a(a – 10) – 5(a – 10) = 0
(a – 10)(a – 5) = 0
जब a – 10 = 0 , तब a = 10
जब 4 – 5 = 0 , तब a = 5
a के मान समी० (2) में रखने पर,
जब a = 10, तब b = [latex]\frac{50}{10}[/latex] = 5
तथा जब a = 5, तब b = [latex]\frac{50}{10}[/latex] = 10
अतः a, b = 10, 5 या 5, 10

प्रश्न 4.
दो संख्याओं का अन्तर 5 तथा उनके व्युत्क्रमों का अन्तर [latex]\frac{1}{10}[/latex] है। संख्याऐं ज्ञात कीजिए।
हलः
माना वे दोनों संख्यायें x व x – 5 हैं।
प्रश्नानुसार, संख्याओं के व्युत्क्रमों का अन्तर = [latex]\frac{1}{10}[/latex]

x² – 5x = 50
x² – 5x – 50 = 0
x² – 10x + 5x – 50 = 0
x(x – 10) + 5 (x – 10) = 0
(x – 10)(x + 5) = 0
x – 10 = 0 तथा x + 5 = 0
x = 10 , x = – 5
यदि पहली संख्या x = 10 तो दूसरी (UPBoardSolutions.com) संख्या x – 5 = 10 – 5 = 5
तथा यदि पहली संख्या x = – 5 तो दूसरी संख्या x – 5 = – 5 – 5 = – 10
अतः संख्याएँ = 10, 5 या – 5, – 10

प्रश्न 5.
एक संख्या व उसके व्युत्क्रम का योगफल [latex]\frac{17}{4}[/latex] है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना अभीष्ट संख्या = x तब संख्या का व्युत्क्रम = [latex]\frac{1}{x}[/latex]

4(x² + 1) = 17x
4x² + 4 = 17x
4x² – 17x + 4 = 0
4x² – 16x – x + 4 = 0
4x(x – 4) – 1(x – 4) = 0
(4x – 1)(x – 4) = 0
यदि 4x – 1 = 0, तब 4x = 1 या x = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
तथा यदि x – 4 = 0 तब x = 4
अतः अभीष्ट संख्या = x = 4 या [latex]\frac{1}{4}[/latex]

प्रश्न 6.
दो प्राकृत संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है। छोटी संख्या का वर्ग, बड़ी संख्या से 4 गुना है। संख्याऐं ज्ञात कीजिए।
हलः
माना बड़ी संख्या = x तथा छोटी संख्या = y है।
तब प्रथम शर्त से, x² – y² = 45 …(1)
द्वितीय शर्त से, y² = 4x …(2)
समी० (2) से y2 का मान समी० (1) में रखने पर,
x² – 4x = 45
x² – 4x – 45 = 0
x² – 9x + 5x – 45 = 0
x(x – 9) + 5(x – 9) = 0
(x – 9)(x + 5) = 0
x – 9 = 0 तथा x + 5 = 0
अतः x = 9 , x = – 5 (अमान्य)
यदि बड़ी संख्या x = 9 तब समी० (2) से,
y² = 4 × 9 ⇒ y² = 36
y = [latex] \sqrt{{36}} [/latex] = ± 6
अतः संख्याएँ 9, 6 या 9, – 6 होंगी।

प्रश्न 7.
एक भिन्न का अंश, उसके हर से 2 कम है। (UPBoardSolutions.com) यदि अंश व हर दोनों में 1 जोड़ा जाये तथा मूल तथा संशोधित भिन्न का योग [latex]\frac{19}{15}[/latex] है। मूल भिन्न ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, भिन्न का हर = x तथा अंश = x – 2

30x² – 30x – 30 = 19x² + 19x
30x² – 30x – 30 – 19x² – 19x = 0
11x² – 49x – 30 = 0
11x² – 55x + 6x – 30 = 0
11x(x – 5) + 6(x – 5) = 0
(x – 5) (11x + 6) = 0
जब x – 5 = 0 ⇒ x = 5
जब 11x + 6 = 0 ⇒ x= [latex]-\frac{6}{11}[/latex] (अमान्य)
अत: अभीष्ट भिन्न = [latex]\frac{x-2}{x}=\frac{5-2}{5}=\frac{3}{5}[/latex]

प्रश्न 8.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 88 है यदि बड़ी संख्या, छोटी के दोगुने से 5 कम है तब संख्याऐं ज्ञात कीजिए।
हलः
माना बड़ी संख्या = x तथा छोटी संख्या = y है।
तब पहली शर्तानुसार, x² – y² = 88 ….(1)
दूसरी शर्तानुसार, x = 2y – 5 …(2)
समी० (2) से x का मान समी० (1) में रखने पर,
(2y – 5)² – y² = 88
4y² + 25 – 20y – y² = 88
3y² – 20y + 25 – 88 = 0
3y² – 20y – 63 = 0
3y² – 27y + 7y – 63 = 0
3y(y – 9) + 7(y – 9) = 0
(y – 9)(3y + 7) = 0 (UPBoardSolutions.com)
यदि y – 9 = 0, तब y = 9
तथा यदि 3y + 7 = 0, तब y = [latex]-\frac{7}{3}[/latex] (अमान्य)
अतः y = 9 समी० (2) में रखने पर,
x = 2y – 5
⇒ x = 2 × 9 – 5
⇒ x = 18 – 5
⇒ x = 13
अतः बड़ी संख्या = 13 तथा छोटी संख्या = 9

Ex 4.5 Quadratic Equations समय एवं दूरी पर आधारित प्रश्न

प्रश्न 9.
एक रेलगाड़ी एक नियत चाल से 300 किमी की दूरी तय करती है। यदि इसकी चाल को 5 किमी/घण्टा बढ़ा दिया जाये तो वह यात्रा 2 घण्टे कम में पूरी करती है। रेलगाड़ी की मूल चाल ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, रेलगाड़ी की मूल चाल = x किमी/घण्टा
रेलगाड़ी को 300 किमी की दूरी तय करने में लगा समय =
चाल = घण्ट यदि रेलगाड़ी की चाल 5 (UPBoardSolutions.com) किमी/घण्टा बढा दी जाये तो
अब रेलगाड़ी की चाल = (x + 5) किमी/घण्टा
फिर रेलगाड़ी को 300 किमी दूरी तय करने में लगा समय = [latex]\frac{300}{x+5}[/latex] घण्टे

x² + 5x = 750
x² + 5x – 750 = 0
x² + 30x – 25x – 750 = 0
x(x + 30) – 25(x + 30) = 0
(x + 30)(x – 25) = 0
यदि x + 30 = 0, तब x = – 30 (अमान्य)
तथा x – 25 = 0, तब x = 25
अतः रेलगाड़ी की मूल चाल = 25 किमी/घण्टा

प्रश्न 10.
एक हवाई जहाज की चाल यदि सामान्य चाल से (UPBoardSolutions.com) 100 किमी/घण्टा बढ़ा दी जाये तो 1200 किमी की यात्रा पूरी करने में उसे 1 घण्टा कम लगेगा। हवाई जहाज की सामान्य चाल ज्ञात कीजिए।
हलः
माना हवाई जहाज की चाल = x किमी/घण्टा
तथा चाल बढ़ाने पर चाल = (x + 100) किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार, दूरी = 1200 किमी

x² + 100x = 120000
x² + 100x – 120000 = 0
x² + 400 x – 300x – 120000 = 0
x(x + 400) – 300(x + 400) = 0
(x + 400)(x – 300) = 0
यदि x + 400 = 0, तब x = – 400 (अमान्य)
तथा यदि x – 300 = 0, तब x = 300
अतः हवाई जहाज की चाल = 300 किमी/घण्टा

प्रश्न 11.
एक हवाई जहाज अपने निश्चित समय से 50 मिनट की देरी से उड़ता है तथा 1250 किमी की दूरी पर स्थिति गन्तव्य पर सही समय पर पहुँचने के लिए अपनी चाल को 250 किमी/घण्टा बढ़ाना पड़ता है। उसकी सामान्य चाल ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, हवाई जहाज की सामान्य चाल = x किमी/घण्टा
तथा चाल बढ़ाने पर हवाई जहाज की चाल = (x + 250) किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार, दूरी = 1250 किमी

x² + 250 x = 62500 × 6
⇒ x² + 250x – 375000 = 0
⇒ x² + 750x – 500x – 375000 = 0
⇒ x(x + 750) – 500(x + 750) = 0
⇒ (x + 750)(x – 500) = 0
यदि x + 750 = 0 तब x = – 750 (अमान्य)
तथा यदि x – 500 = 0 तब (UPBoardSolutions.com) x = 500
अतः हवाई जहाज की सामान्य चाल = 500 किमी/घण्टा

प्रश्न 12.
मुम्बई तथा पुणे के बीच की 192 किमी की दूरी तय करने में फास्ट ट्रेन, धीमी ट्रेन से 2 घण्टे कम लेती है। यदि धीमी ट्रेन की औसत चाल, फास्ट ट्रेन से 16 किमी/घण्टा कम है तो प्रत्येक ट्रेन की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हलः
माना फास्ट ट्रेन की चाल = x किमी/घण्टा
तथा धीमी ट्रेन की चाल = (x – 16) किमी/घण्टा
मुम्बई तथा पुणे के बीच की दूरी = 192 किमी


x² – 16x = 1536
x² – 16x – 1536 = 0
x² – 48x + 32x – 1536 = 0
x (x – 48) + 32(x – 48) = 0
(x – 48)(x + 32) = 0
यदि x – 48 = 0, तब x (UPBoardSolutions.com) = 48
तथा यदि x + 32 = 0, तब x = – 32 (अमान्य)
अतः फास्ट ट्रेन की चाल = 48 किमी/घण्टा
तथा धीमी ट्रेन की चाल = 48 – 16 = 32 किमी/घण्टा

प्रश्न 13.
एक यात्री की सामान्य चाल में 5 किमी प्रति घण्टा की वृद्धि कर देने पर वह 300 किमी दूरी तय करने में 2 घण्टे कम समय लेता है। उसकी सामान्य (मूल) चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना यात्री की चाल x किमी प्रति घण्टा है। तब
300 किमी दूरी तय करने में यात्री को लगा समय =
∵ 5 किमी प्रति घण्टा अधिक होने पर यात्री की चाल = (x + 5) किमी प्रति घण्टा
∴ 300 किमी दरी तय करने में (UPBoardSolutions.com) यात्री को लगा समय =  घण्टा
प्रश्नानुसार, (x + 5) किमी प्रति घण्टा की चाल से चलने में यात्री को लगा समय
= x किमी प्रति घण्टा की चाल से चलने में यात्री को लगा समय – 2 घण्टे

300x = (300 – 2x)(x + 5)
300x = 300x – 2x² + 1500 – 10x
– 2x² – 10x + 1500 = 0
x² + 5x – 750 = 0
x² + 30x – 25x – 750 = 0
x(x + 30) – 25(x + 30) = 0
(x + 30)(x – 25) = 0
जब x + 30 = 0, तब x = – 30
तथा यदि x – 25 = 0, तब x = 25
परन्तु x = – 30 अमान्य है, क्योंकि यात्री की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इसलिए x = 25
अतः यात्री की चाल = x किमी प्रति घण्टा = 25 किमी प्रति घण्टा

Ex 4.5 Quadratic Equations क्षेत्रमिति तथा ज्यामिति पर आधारित प्रश्न

प्रश्न 14.
एक समकोण त्रिभुज के रूप के एक (UPBoardSolutions.com) घास के मैदान का कर्ण, उसकी छोटी भुजा के दो गुने से 1 मीटर अधिक है। यदि तीसरी भुजा, उसकी छोटी भुजा से 7 मीटर बड़ी है। तब उसकी भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समकोण त्रिभुज की छोटी भुजा = x मीटर

कर्ण = (2x + 10) मीटर और तीसरी भुजा = (x + 7) मीटर
समकोण त्रिभुज ABC में,
पाइथागोरस प्रमेय से, (कर्ण)² = (आधार) ² + (लम्ब)²
(2x + 1)² = (x)² + (x + 7)²
4x² + 1 + 4x = x² + x² + 49 + 14x
4x² + 1 + 4x – x² – x² – 49 – 14x = 0
2x² – 10x – 48 = 0
2(x² – 5x – 24) = 0
x² – 5x – 24 = 0
x² – 8x + 3x – 24 = 0
x(x – 8) + 3(x – 8) = 0
(x – 8)(x + 3) = 0
x – 8 = 0 तथा x + 3 = 0
x = 8 , x = – 3 (अमान्य)
अतः समकोण त्रिभुज की छोटी भुजा = 8 मीटर
कर्ण = 2x + 1 = 2 × 8 + 1 = 16 + 1 = 17 मीटर
तथा तीसरी भुजा = x + 7 = 8 + 7 = 15 मीटर

प्रश्न 15.
एक हाल की लम्बाई उसकी चौड़ाई से 5 मीटर (UPBoardSolutions.com) अधिक है। यदि हाल के फर्श का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है तो हाल की लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, हॉल की चौड़ाई = x मीटर
तथा हॉल की लम्बाई = (x + 5) मीटर
प्रश्नानुसार, हॉल के फर्श का क्षेत्रफल = 84 वर्ग मीटर
लम्बाई × चौड़ाई = 84
(x + 5) × x = 84
x² + 5x – 84 = 0
x² + 12x – 7x – 84 = 0
x(x + 12) – 7(x + 12) = 0
(x + 12)(x – – 7) = 0
यदि x + 12 = 0, तब x = – 12 (अमान्य)
तथा यदि x – 7 = 0, तब x = 7
अतः हॉल की लम्बाई x + 5 = 7 + 5 = 12 मीटर
तथा हॉल की चौडाई x = 7 मीटर

प्रश्न 16.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 640 वर्ग मीटर है। (UPBoardSolutions.com) यदि उनके परिमाप में 64 मीटर का अन्तर है तो वर्गों की भुजा ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दोनों वर्गों की भुजायें क्रमश: x मीटर तथा y मीटर हैं।
तब पहले वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² = x² वर्ग मीटर
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = y² वर्ग मीटर
और पहले वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा = 4x मीटर
दूसरे वर्ग का परिमाप = 4y मीटर
प्रश्नानुसार, दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग = 640 वर्ग मीटर
x² + y² = 640 …(1)
तथा दोनों वर्गों के परिमाप का अन्तर = 64
4x – 4y = 64
या 4 (x – y) = 64
x – y = [latex]\frac{64}{4}[/latex] या x – y= 16 …(2)
समी० (2) से, x – 16 = y या y = x – 16
y का मान समी० (1) में रखने पर,
x² + (x – 16)² = 640
या x² + x² + 256 – 32x – 640 = 0
2x² – 32x – 384 = 0
या 2(x² – 16x – 192) = 0
x² – 16x – 192 = 0
x² – 24x + 8x – 192 = 0
x (x – 24) + 8 (x – 24) = 0
(x – 24)(x + 8) = 0
यदि x – 24 = 0, तब x = 24
तथा यदि x + 8 = 0, तब x = – 8 (अमान्य)
x का मान समी० (2) में रखने पर,
24 – y = 16
– y = 16 – 24 या y = 8
अतः पहले वर्ग की भुजा = 24 मीटर तथा दूसरे वर्ग की भुजा = 8 मीटर

प्रश्न 17.
एक अध्यापक अपने छात्रों को एक ड्रिल के लिए ठोस वर्ग के रूप में व्यवस्थिति करता है तो 24 छात्र शेष बचते हैं। यदि वह वर्ग का आकार 1 विद्यार्थी को जोड़कर बढ़ाता है तो 25 विद्यार्थी कम पड़ते हैं। विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना विद्यार्थियों की संख्या = x तथा वर्ग की भुजा = y
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, x – 24 = y²
x – y² = 24 …(1)
तथा यदि वर्ग का आकार (भुजा) = y + 1
तब x + 25 = (y + 1)²
x + 25 = y² + 1 + 2y

2y = 48 या y = 24
y का मान समी० (1) में रखने पर,
x – (24)² = 24
x – 576 = 24
या x = 24 + 576 = 600
अतः विद्यार्थियों की संख्या = 600

प्रश्न 18.
13 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क के एक व्यास के (UPBoardSolutions.com) दोनों अन्तः बिन्दुओं पर बने फाटकों A व B से खम्भे की दूरियों का अन्तर 7 हो। क्या ऐसा सम्भव है? यदि है तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खम्भा गाड़ना है। (NCERT In text)
हलः
माना फाटक A से खम्भे की दूरी = x मीटर
तथा फाटक B से खम्भे की दूरी = x – 7 मीटर
C (खम्भा ) वृत्ताकार पार्क का व्यास = 13 मीटर

प्रश्नानुसार, पाइथागोरस प्रमेय से, AC² + BC² = AB²
x² + (x – 7)² = (13)²
x² + x² + 49 – 14x = 169
2x²– 14x + 49 – 169 = 0
2x² – 14x – 120 = 0
या 2(x² – 7x – 60) = 0
x² – 7x – 60 = 0
या x² – 12x + 5x – 60 = 0
x(x – 12) + 5(x – 12) = 0
(x – 12)(x + 5) = 0
यदि x – 12 = 0, तब x = 12
तथा यदि x + 5 = 0, तब x = – 5 (अमान्य)
अतः फाटक A से खम्भे की दूरी = 12 मीटर
तथा फाटक B से खम्भे की दूरी = 12 – 7 = 5 मीटर

Ex 4.5 Quadratic Equations आयु पर आधारित प्रश्न

प्रश्न 19.
एक वर्ष पहले एक व्यक्ति की आयु अपने पुत्र की आयु से 8 गुनी थी। अब उसकी आयु अपने पुत्र की आयु के वर्ग के बराबर है। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हलः
माना व्यक्ति की आयु = x वर्ष
तथा पुत्र की आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार, पहली शर्त, (x – 1) = 8 (y – 1)
x – 1 = 8y – 8
x – 8y = – 8 + 1
x – 8y = – 7 …(1)
दूसरी शर्त, x = y² …(2)
समी० (2) से x का मान समी० (1) में रखने पर,
y² – 8y = – 7
⇒ y² – 8y + 7 = 0
⇒ y² – 7y – y + 7 = 0
⇒ y(y – 7) – 1(y – 7) = 0
(y – 7) (y – 1) = 0
यदि y – 7 = 0 तब y = 7
तथा यदि y – 1 = 0, तब y = 1 (अमान्य)
समी० (2) से, x = (7)² = 49
अतः पिता की आयु = 49 वर्ष तथा पुत्र की आयु = 7 वर्ष

प्रश्न 20.
एक लड़की की आयु, अपनी बहन की (UPBoardSolutions.com) आयु से दोगुनी है। चार वर्ष बाद दोनों की आयु का गुणनफल 160 है। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हलः
माना लड़की की बहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा लड़की की वर्तमान आयु = 2x वर्ष
प्रश्नानुसार, चार वर्ष बाद दोनों की आयु का गुणनफल = 160
(x + 4) × (2x + 4) = 160
2x² + 4x + 8x + 16 – 160 = 0
2x² + 12x – 144 = 0
2(x² + 6x – 72) = 0
x² + 6x – 72 = 0
x² + 12x – 6x – 72 = 0
x(x + 12) – 6(x + 12) = 0
(x + 12)(x – 6) = 0
यदि x + 12 = 0, तब x = – 12 (अमान्य)
तथा x – 6 = 0, तब x = 6
अतः लड़की की बहन की आयु x = 6 वर्ष
तथा लड़की की आयु 2x = 2 × 6 = 12 वर्ष

प्रश्न 21.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आय ज्ञात कीजिए।
“दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है, चार वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल 48 वर्ष था।” (NCERT)
हलः
माना एक मित्र की आयु = x वर्ष
तथा दूसरे मित्र की आयु = (20 –x) वर्ष
प्रश्नानुसार, चार वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल = 48
(x – 4) × (20 – x – 4) = 48
(x – 4) × (16 – x) = 48
16x – x² – 64 + 4x – 48 = 0
x² + 20x – 112 = 0
x² – 20x + 112 = 0
अतः स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 22.
दो बहनों की आयु का गुणनफल 104 तथा (UPBoardSolutions.com) अन्तर 5 वर्ष है। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, दोनों बहनों की वर्तमान आयु x वर्ष तथा y वर्ष हैं।
तब प्रश्नानुसार, दोनों बहनों की आयु का गुणनफल = 104
xy = 104
या y = [latex]\frac{104}{x}[/latex] …(1)
तथा दोनों की आयु का अन्तर = 5 वर्ष
x – y = 5
समी० (1) से y का मान समी० (2) में रखने पर,

या x² – 104 = 5x
x² – 104 = 5x
x² – 5x – 104 = 0
x² – 13x + 8x – 104 = 0
x(x – 13) + 8(x – 13) = 0
(x – 13)(x + 8) = 0
यदि x – 13 = 0, तब x = 13
तथा यदि x + 8 = 0, तब x = –8 (अमान्य)
समी० (1) से, y = [latex]\frac{104}{13}[/latex] = 8
अतः दोनों बहनों की आयु 13 वर्ष व 8 वर्ष है।

Ex 4.5 Quadratic Equations विविध प्रश्न

प्रश्न 23.
एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने (UPBoardSolutions.com) वाली भुजाएँ 3(x + 1) तथा (2x – 1) सेमी हैं। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी है तो त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 3(x + 1) तथा (2x – 1) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × समकोण बनाने वाली भुजाओं का गुणनफल
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 3(x + 1)x (2x – 1)
तब प्रश्नानुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 30 वर्ग सेमी
त्रिभुज के क्षेत्रफल के उक्त दोनों मानों को बराबर रखने पर,
[latex]\frac{1}{2}[/latex] 3(x + 1)x (2x – 1) = 30
(x + 1)(2x – 1) = [latex]\frac{30 \times 2}{3}[/latex] = 10 × 2
2x² + 2x – x – 1 = 20
2x² + x – 1 – 20 = 0
2x² + x – 21 = 0
2x² – 6x + 7x – 21 = 0
2x(x – 3) + 7(x – 3) = 0
(2x + 7)(x – 3) = 0
तथा 2x + 7 = 0 तब 2x = – 7 या x = [latex]-\frac{7}{2}[/latex]
और यदि x – 3 = 0 तब x = 3
परन्तु x = [latex]-\frac{7}{2}[/latex] अमान्य है, क्योंकि त्रिभुज की भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकती हैं।
इसलिए x = 3 ⇒ 3(x + 1) = 3(3 + 1) = 12 सेमी
तथा 2x – 1 ⇒ 2 × 3 – 1 = 6 – 1 = 5 सेमी
अतः समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 5 व 12 सेमी हैं।

प्रश्न 24.
एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 17 सेमी है तथा अन्य दोनों भुजाओं का अन्तर 7 सेमी है, त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।
हलः
माना समकोण त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x सेमी
तथा दूसरी भुजा (x + 7) सेमी है।
∵ दोनों भुजाओं में 7 सेमी का अन्तर दिया है।
तब, समकोण त्रिभुज में, कर्ण² = आधार² + लम्ब²
17² = x² + (x + 7)²
x² + (x + 7)² = 17²
x² + (x² + 14x + 49) = 289
2x² + 14x + 49 – 289 = 0
2x² + 14x – 240 = 0
x² + 7x – 120 = 0
x² – 8x + 15x – 120 = 0
x(x – 8) + 15(x – 8) = 0
(x – 8)(x + 15) = 0
यदि x + 15 = 0 तब x = – 15
तथा यदि x – 8 = 0 तब x = 8
परन्तु x = – 15 अमान्य है, क्योंकि (UPBoardSolutions.com) त्रिभुज की भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए, x = 8 सेमी
तथा दूसरी भुजा = x + 7 = 8 + 7 = 15 सेमी

प्रश्न 25.
वे दो क्रमागत प्राकृत संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 545 है।
हलः
माना दो अभीष्ट क्रमागत प्राकृत संख्याएँ x तथा x + 1 हैं।
प्रश्नानुसार, संख्याओं के वर्गो का योगफल = 545
अर्थात् x² + (x + 1)² = 545
x² + (x² + 2x + 1) = 545
2x² + 2x + 1 – 545 = 0
2x² + 2x – 544 = 0
x² + x – 272 = 0
x² + 17x – 16x – 272 = 0
x(x + 17) – 16(x + 17) = 0
(x + 17)(x – 16) = 0
यदि x + 17 = 0 तब x = – 17
तथा यदि x – 16 = 0 तब x = 16
परन्तु x = – 17 अमान्य है क्योंकि x एक प्राकृतिक संख्या है।
इसलिए, x = 16 ⇒ x + 1 = 17
अतः अभीष्ट क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ = 16 तथा 17

प्रश्न 26.
तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योगफल 149 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हलः
माना अभीष्ट तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ x – 1, x तथा x + 1 हैं।
तब, प्रश्नानुसार
संख्याओं के वर्गों का योगफल = 149
(x – 1) + x² + (x + 1)² = 149
(x² – 2x + 1) + x² + (x² + 2x + 1) = 149
3x² + 2 – 149 = 0
3x² – 147 = 0
3x² = 147
x² = [latex]\frac{147}{3}[/latex]
x² = 49 या x² = 7²
x = ±7
x = + 7 x = –7, अमान्य है, क्योंकि x एक प्राकृतिक संख्या है।
अतः x = 7 ⇒ x + 1 = 7 + 1 = 8
x – 1 = 7 – 1 – 6
अतः अभीष्ट तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ = 6, 7, 8

प्रश्न 27.
ऐसी दो क्रमागत धनात्मक सम (UPBoardSolutions.com) संख्याऐं ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 452 है।
हलः
माना दो क्रमागत धनात्मक सम संख्याएँ 2x तथा 2x + 2 हैं।
तब प्रश्नानुसार, (2x)² + (2x + 2)² = 452
4x² + (4x² + 8x + 4) = 452
8x² + 8x + 4 – 452 = 0
8x² + 8x – 448 = 0
x² + x – 56 = 0
x² + 8x – 7x – 56 = 0
x(x + 8) – 7(x + 8) = 0
(x + 8)(x – 7) = 0
यदि x + 8 = 0, तब x = – 8
तथा यदि x – 7 = 0, तब x = 7
परन्तु x = – 8 अमान्य है, क्योंकि 2x एक धन सम पूर्णांक है।
अतः x = 7 ⇒ 2x = 2 × 7 = 14
तथा 2x + 2 = 2 × 7 + 2 = 14 + 2 = 16
अतः अभीष्ट क्रमागत धन सम पूर्णांक 14 तथा 16 हैं।

प्रश्न 28.
ऐसी दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याऐं ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योगफल 130 है।
हलः
माना दो अभीष्ट क्रमागत (UPBoardSolutions.com) धन विषम पूर्णांक 2x – 1 तथा 2x – 3 हैं।
तब प्रश्नानुसार,
संख्याओं के वर्गों का योगफल = 130
अर्थात् (2x – 1)² + (2x – 3)² = 130
4x² – 4x + 1 + 4x² – 12x + 9 = 130
8x² – 16x + 10 – 130 = 0
8x² – 16x – 120 = 0
2x² – 4x – 30 = 0
x² – 2x – 15 = 0
x² – 5x + 3x – 15 = 0
x(x – 5) + 3(x – 5) = 0
(x – 5)(x + 3) = 0
यदि x + 3 = 0 तब x = – 3
तथा यदि x – 5 = 0 तब x = 5
परन्तु x = – 3 अमान्य है, क्योंकि 2x – 1 एवं (2x – 3) एक धन विषम पूर्णांक हैं।
अतः x = 5 तब
2x – 1 = 2 × 5 – 1 = 9, 2x – 3 = 2 × 5 – 3 = 7
अतः अभीष्ट क्रमागत धन विषम पूर्णांक = 7, 9

प्रश्न 29.
15 मीटर लम्बाई, 12 मीटर चौड़ाई के एक कमरे के चारों ओर एक 90 वर्ग मीटर क्षेत्रफल का बरामदा है, बरामदे की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना कमरे के बाहर बरामदे की चौड़ाई = x मी
कमरे का क्षेत्रफल = 15 × 12 = 180 मी²
बरामदे सहित कमरे की लम्बाई = (15 + 2x) मी
बरामदे सहित कमरे की चौड़ाई = (12 + 2x) मी
बरामदे सहित कमरे का क्षेत्रफल = (15 + 2x)(12 + 2x) मी²
∵ बरामदे सहित कमरे का क्षेत्रफल – कमरे का क्षेत्रफल = बरामदे का क्षेत्रफल

(15 + 2x)(12 + 2x) – 15 × 12 = 90
180 + 30x + 24x + 4x² – 180 = 90
4x² + 54x – 90 = 0
2[2x² + 27x – 45] = 0
2x² + 27x – 45 = [latex]\frac{0}{2}[/latex]
2x² + 27x – 45 = 0
2x² + (30 – 3)x – 45 = 0
2x² + 30x – 3x – 45 = 0
2x(x + 15) – 3(x + 15) = 0
(x + 15)(2x – 3) = 0
(i) x + 15 = 0
x = – 15 अमान्य (∵ बरामदे की चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)
(ii) 2x – 3 = 0
2x = 3
x = [latex]\frac{3}{2}[/latex] = 1.5 मी
∴ बरामदे की चौड़ाई 1.5 मीटर होगी।

प्रश्न 30.
एक आयताकार मैदान की लम्बाई में 3 मीटर की वृद्धि तथा चौड़ाई में 2 मीटर की कमी कर दी जाये तो उसका क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है। यदि इसकी लम्बाई 2 मीटर घटा दी जाये व चौड़ाई 3 मीटर बढ़ा दी जाये तो उसका क्षेत्रफल 5 वर्ग मीटर बढ़ जाता है। मैदान की लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना आयताकार मैदान की चौड़ाई = y मीटर
तथा मैदान की लम्बाई = x मीटर
तब, मैदान का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = xy वर्ग मीटर
प्रथम शर्तानुसार, मैदान की लम्बाई 3 (UPBoardSolutions.com) मीटर बढ़ाने तथा चौड़ाई 2 मीटर घटाने पर क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है।
(x + 3)(y – 2) = xy
xy = 2x + 3y – 6 = xy
– 2x + 3y = 6
2x – 3y = – 6 …(1)
द्वितीय शर्तानुसार,
यदि लम्बाई 2 मीटर घटा दें तथा चौड़ाई 3 मीटर बढ़ा दे तो क्षेत्रफल 5 वर्ग मीटर बढ़ जाता है।
(x – 2) (y + 3) = xy + 5
xy – 2y + 3x – 6 = y + 5
– 2y + 3x = 6 + 5
3x – 2y = 11 …(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर
y = 8, x = 9
अतः आयताकार मैदान की लम्बाई = x मीटर = 9 मीटर
मैदान की चौड़ाई = y मीटर = 8 मीटर

प्रश्न 31.
एक आयताकार मैदान की लम्बाई में 2 मीटर की वृद्धि और चौड़ाई में 3 मीटर की कमी कर दी जाये तो मैदान का क्षेत्रफल 45 वर्ग मीटर कम हो जाता है। परन्तु यदि लम्बाई में 2 मीटर की कमी तथा चौड़ाई में 2 मीटर की वृद्धि कर दी जाये तो क्षेत्रफल 10 वर्ग मीटर बढ़ जाता है। मैदान की लम्बाई तथा चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना आयताकार मैदान की लम्बाई = x मीटर
तथा मैदान की चौड़ाई = y मीटर
तब प्रश्नानुसार,
प्रथम शर्तानुसार, मैदान की लम्बाई 2 मीटर (UPBoardSolutions.com) बढ़ायी जाती है तथा चौड़ाई 3 मीटर घटायी जाये तो मैदान का क्षेत्रफल 45 वर्ग मीटर घट जाता है।
∴ (x + 2)(y – 3) = xy – 45
xy – 3x + 2y – 6 = xy – 45
– 3x + 2y – 6 = – 45
3x – 2y = 45 – 6
3x – 2y = 39 ….(1)
द्वितीय शर्तानुसार, यदि मैदान की लम्बाई 2 मीटर घटा दी जाये तथा चौड़ाई 2 मीटर बढ़ा दी जाये तो मैदान का क्षेत्रफल 10 वर्ग मीटर बढ़ जाता है।
∴ (x – 2) (y + 2) = xy + 10
xy – 2y + 2x – 4 = xy + 10
2x – 2y = 10 + 4
2x – 2y = 14 …(2)
समीकरण (1) व (2) से,

– 2y = – 36
y = 18
अतः मैदान की लम्बाई = x मीटर = 25 मीटर
तथा मैदान की चौड़ाई = y मीटर = 18 मीटर

प्रश्न 32.
दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का गणनफल 18 है। जब संख्या में से 63 घटा दिया जाता है तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो अंकों की संख्या का दहाई का अंक = x
∵ अंकों का गुणनफल = 18
∴ इकाई का अंक = [latex]\frac{18}{x}[/latex]
तब अभीष्ट संख्या = 10 × दहाई का (UPBoardSolutions.com) अंक + इकाई का अंक

10x² + 18 – 63x = 180 + x²
10x² – x² – 63x + 18 – 180 = 0
9x² – 63x – 162 = 0
x² – 7x – 18 = 0
x² + 2x – 9x – 18 = 0
x(x + 2) – 9(x + 2) = 0
(x + 2)(x – 9) = 0
जब x + 2 = 0 तब x = – 2 अमान्य है क्योंकि दहाई का अंक x ऋणात्मक नहीं हो सकता।
इसलिए x = 9, तब अभीष्ट संख्या = [latex]\frac{10 x^{2}+18}{x}=\frac{10 \times 9^{2}+18}{9}[/latex] = 92

प्रश्न 33.
दो अंकों की संख्या के अंकों का गुणनफल (UPBoardSolutions.com) 18 है। जब संख्या में से 27 घटाया जाये तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो अंकों की संख्या का दहाई का अंक = x
∵ अंकों का गुणनफल = 18
∴ इकाई का अंक = [latex]\frac{18}{x}[/latex]
तब अभीष्ट संख्या = 10 × दहाई का अंक + इकाई का अंक

10x² + 18 – 27x = 180 + x²
10x² – x² – 27x + 18 – 180 = 0
9x² – 27x – 162 = 0
x² – 3x – 18 = 0
x² – 6x + 3x – 18 = 0
x(x – 6) + 3(x – 6) = 0
(x – 6)(x + 3) = 0
जब x + 3 = 0 तब x = – 3
तथा यदि x – 6 = 0 तब x = 6
परन्तु x = – 3 अमान्य है, क्योंकि दहाई का अंक x ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अत: x = 6

प्रश्न 34.
एक परीक्षा में रिजुता के गणित व अंग्रेजी के अंकों का योग 30 है। यदि उसके गणित में 2 अंक अधिक तथा अग्रेजी में 3 अंक कम आये तो उसके द्वारा प्राप्त अंकों का गुणनफल 210 है। दोनों विषयों में उसके द्वारा (UPBoardSolutions.com) अलग – अलग प्राप्त अंक ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना रिजुता के गणित में अंक = x
तथा अंग्रेजी में अंक = (30 – x) अंक है।
तब, प्रश्नानुसार,
(x + 2) × (30 – x – 3) = 210
(x + 2) × (27 – x) = 210
27x – x² + 54 – 2x – 210 = 0
-x² + 25x – 156 = 0
x² – 25x + 156 = 0
x² – 12x – 13x + 156 = 0
x (x – 12) – 13(x – 12) = 0
(x – 12)(x – 13) = 0
यदि x – 12 = 0, तब x = 12
तथा यदि x – 13 = 0, तब x = 13
अब 30 – x = 30 – 12 = 18 या 30 – x = 30 – 13 = 17
अतः रिजुता के गणित तथा अंग्रेजी में अंक क्रमशः 12, 18 या 13, 17 हैं।

प्रश्न 35.
दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योग 394 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, पहला विषम धन पूर्णांक = x
तथा दूसरा विषम धन पूर्णांक = x + 2
प्रश्नानुसार, (x)² + (x + 2)² = 394
x² + x² + 4 + 4x – 394 = 0
2x² + 4x – 390 = 0
2(x² + 2x – 195) = 0
x² + 2x – 195 = 0
x² + 15x – 13x – 195 = 0
x(x + 15) – 13(x + 15) = 0
(x + 15)(x – 13) = 0
जब x + 15 = 0, तब x = – 15 (अमान्य)
तथा जब x – 13 = 0, तब x = 13
अतः पहली विषम संख्या = x = 13
तथा दूसरी विषम संख्या = x + 2 = 13 + 2 = 15

प्रश्न 36.
तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि पहली संख्या का वर्ग तथा शेष दो के गुणनफलों का योग 46 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हलः
माना तीन क्रमागत धन पूर्णांक x, (x + 1), (x + 2) हैं।
प्रश्नानुसार, x² + (x + 1)(x + 2) = 46
x² + x² + 2x + x + 2 – 46 = 0
2x² + 3x – – 44 = 0
2x² + 11x – 8x – 44 = 0
x(2x + 11) – 4(2x + 11) = 0
(2x + 11)(x – 4) = 0
जब 2x + 11 = 0, तब x = [latex]-\frac{11}{2}[/latex] (अमान्य)
तथा जब x – 4 = 0, तब x = 4
अतः तीन क्रमागत धनपूर्णांक = x, x + 1, x + 2
= 4, 4 + 1, 4 + 2 = 4, 5, 6

प्रश्न 37.
संख्या 7 के दो क्रमागत गुणज (multiple) (UPBoardSolutions.com) के वर्गों का योग 637 है। गुणज ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, संख्या 7 के दो क्रमागत गुणज x व (x + 7) हैं।
तब प्रश्नानुसार, (x)² + (x + 7)² = 637
x² + x² + 49 + 14x – 637 = 0
2x² + 14x – 588 = 0
या 2(x² + 7x – 294) = 0
x² + 7x – 294 = 0
x² + 21x – 14x – 294 = 0
x (x + 21) – 14 (x + 21) = 0
या (x + 21)(x – 14) = 0
यदि x + 21 = 0, तब x = –21 (अमान्य)
तथा यदि x – 14 = 0 तब x = 14
अतः संख्या 7 के दो गुणज x = 14 तथा x + 7 = 14 + 7 = 21

प्रश्न 38.
दो क्रमागत सम संख्याओं के वर्गों का योग 340 है। संख्याऐं ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पहली सम संख्या = x
तथा दूसरी सम संख्या = x + 2
प्रश्नानुसार, (x)2 + (x + 2)² = 340
x² + x² + 4 + 4x – 340 = 0
2x² + 4x – 336 = 0
2(x² + 2x – 168) = 0
x² + 2x – 168 = 0
x² + 14x – 12x – 168 = 0
x (x + 14) – 12(x + 14) = 0.
(x + 14)(x – 12) = 0
(x + 14)(x – 12) = 0
यदि x + 14 = 0, तब x = – 14 (अमान्य)
तथा यदि x – 12 = 0, तब x = 12
अतः दो सम संख्याएं x = 12
तथा x + 2 = 12 + 2 = 14

प्रश्न 39.
दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 8 है, (UPBoardSolutions.com) उसके अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या मूल संख्या से 18 कम है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो अंकों की संख्या का दहाई का अंक = x
∵ अंकों का योगफल = 8
∴ इकाई का अंक = 8 – x
तब अभीष्ट संख्या = 10 × दहाई का अंक + इकाई का अंक
= 10x + (8 – x)
= 9x + 8
अंको के स्थान बदलने पर बनी संख्या = x + 10 (8 – x)
= x + 80 – 10x
= 80 – 9x
तब प्रश्नानुसार, 80 – 9x = (9x + 8) – 18
80 – 9x – 9x = – 10
– 9x – 9x = – 10 – 80
18x = 90
x = [latex]\frac{90}{18}[/latex]
⇒ x = 5
अतः दहाई का अंक = 5
∴ इकाई का अंक = 8 – x = 8 – 5 = 3
अतः अभीष्ट संख्या = 10x + (8 – x)
= 9x + 8
= 9 × 5 + 8
= 45 + 8 = 53

प्रश्न 40.
एक समकोण त्रिभुज का विकर्ण 3[latex] \sqrt{{10}} [/latex] सेमी है। यदि उसकी छोटी भुजा को तीन गुना तथा बड़ी भुजा को दोगुना किया जाये तो नये विकर्ण की लम्बाई 9[latex] \sqrt{{5}} [/latex] सेमी हो जाती है। त्रिभुज की (UPBoardSolutions.com) भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना समकोण त्रिभुज की बड़ी भुजा = x सेमी तथा छोटी भुजा = y सेमी है।
प्रश्नानुसार, समकोण त्रिभुज का कर्ण = 3[latex] \sqrt{{10}} [/latex]
तब पाइथागोरस प्रमेय से,
(बड़ी भुजा)² + (छोटी भुजा)² = (विकर्ण)²
x² + y² = (3[latex] \sqrt{{10}} [/latex])²
x² + y² = 90 …(1)
तथा समकोण त्रिभुज की बड़ी भुजा = 2x सेमी तथा छोटी भुजा = 3x सेमी
विकर्ण = 9[latex] \sqrt{{5}} [/latex] सेमी
तब (2x)² + (3y)² = (9[latex] \sqrt{{5}} [/latex])²
4x² + 9y² = 405 …(2)
समी० (1) को 4 से गुणा करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
x² + (3)² = 90
या x² + 9 = 90
x² = 90 – 9
या x² = 81
या x = [latex] \sqrt{{81}} [/latex] = 9
अतः त्रिभुज की बड़ी भुजा = 9 सेमी तथा छोटी भुजा = 3 सेमी

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