Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 त्रिभुज

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में ∆ ACB ~ ∆ APQ है यदि BC = 8 सेमी, PQ = 4 सेमी, BA = 6.5 सेमी, AP = 2.8 सेमी है तो CA तथा AQ ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
BC = 8 सेमी PQ = 4 सेमी, (UPBoardSolutions.com) BA = 6.5 सेमी
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 1
AP = 2.8 सेमी
दिया है, ∆ACB ~ ∆APQ
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 2
⇒ AC = 5.6 cm
तथा AQ = 3.25 cm

UP Board Solutions

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में, QA तथा PB, AB के  लम्बवत् है। यदि AQ = 10 सेमी, BO = 6 सेमी तथा PB = 9 सेमी है तो AQ ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
AO = 10 सेमी
BO = 6 सेमी
PB = 9 सेमी
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 3
∵ AQ तथा PB रेखा AB के (UPBoardSolutions.com) लम्बवत् है अत: ∆OAQ तथा ∆OPB समकोणीय त्रिभुज है।
अतः ∆OPB में,
(OP)2 = (OB)2 + (PB)2
OP2 = (6)2 + (9)2
OP2 = 36 + 81
OP2 = 117
OP2 = [latex]\sqrt{117}=\sqrt{13 \times 9}[/latex]
= 3[latex] \sqrt{{13}} [/latex] सेमी
∆OAQ तथा ∆OPB समरूप हैं।
[latex]\frac{O A}{O B}=\frac{O Q}{O P}[/latex]
⇒ [latex]\frac{10}{6}=\frac{O Q}{3 \sqrt{13}}[/latex]
⇒ OQ = 5[latex] \sqrt{{13}} [/latex] सेमी
अब ∆OAQ में,
UP Board Solutions
OQ2 = OA2 + AQ2
⇒ (5[latex] \sqrt{{13}} [/latex])2 = 102 + AQ2
⇒ AQ2 = 25 × 13 – 100
⇒ AQ2 = 325 – 100
⇒ AQ2 = 225
⇒ AQ = 15 सेमी

प्रश्न 3.
10 सेमी ऊँची एक ऊर्ध्वाधर छड़ी की छाया 8 सेमी लम्बी बनती है। ठीक उसी समय एक मीनार की छाया 30 सेमी है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
ऊर्ध्वाधर छड़ी की लम्बाई CE = 10 cm जमीन पर 8 cm की छाया बनाती है।
माना कि मीनार की ऊँचाई h (UPBoardSolutions.com) है।
मीनार की छाया की लम्बाई = 30 सेमी
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 4
अब ∆ ABD तथा ∆ DEC
में ∠ABD = ∠ECD
∠D = ∠D
तब समरूपता की AA-कसौटी द्वारा
∆ABD ~ ∆ DEC
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 5

UP Board Solutions

प्रश्न 4.
एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ a तथा b और कर्ण c हैं। कर्ण पर एक ऊँचाई x है तो सिद्ध कीजिए कि ab = cx
हलः
दिया है, AC = b, BC = a
AB = c और CD = x
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 6
∆ABC तथा ∆BCD में
∠BCA = ∠CDB [प्रत्येक कोण = 90°]
और ∠B = ∠B
अतः समरूपता की (UPBoardSolutions.com) AA – कसौटी से,
∆ABC ~ BCD
[latex]\frac{A C}{C D}=\frac{B A}{B C}[/latex]
[latex]\frac{b}{x}=\frac{c}{a}[/latex]
⇒ ab = cx

UP Board Solutions

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में ∠A = ∠CED है तो सिद्ध कीजिए कि ∆CAB ~ ∆CED तथा x का मान भी ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 7
दिया है, ∠A = ∠CED
∆EDC में,
(EC)2 = DC2 + DE 2
(10)2 = 82 + x2
100 = 64 + x2
x2 = 100 – 64
x = [latex] \sqrt{{36}} [/latex]
x = 6 सेमी
∆ABC तथा ∆ADE
∠ABC = ∠EDC में
∠ABC = ∠EDC [प्रत्येक कोण = 90°]
तथा ∠C = ∠C
यह समरूपता की (UPBoardSolutions.com) AA-कसौटी का पालन करती है।
∆CAB ~ ∆CED

UP Board Solutions

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में ∠CAB = 90° तथा AD ⊥BC है। यदि AC = 75 सेमी, AB = 1 मी० तथा BD = 1.25 मीटर है तो AD का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 8
दिया है, AB = 1 मीटर = 100 सेमी
AC = 75 सेमी और BD = 125 सेमी
∆ BAC और ∆ BDA में यहाँ,
∠BAC = ∠ BDA (UPBoardSolutions.com) (समकोण)
और ∠B = ∠B
अतः (AA-समरूपता से)
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 9

UP Board Solutions

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में, यदि AB ⊥ BC तथा DE ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC ~ ∆ AED
हल:
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 10
∆ ABC तथा ∆ AED में
∠ABC = ∠AED = 90°
∠ BAC = ∠EAD (समान कोण)
= ∠A
अतः समरूपता की AA-कसौटी से,
∆ABC ~∆ AED (UPBoardSolutions.com) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में, यदि ∠A = ∠C है तो सिद्ध कीजिए कि ∆AOB ~ ∆COD
हलः
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 11
दिया है,
∠A = ∠C = 90°
तथा ∠1 = ∠2 (शीर्षाभिमुख कोण)
∆ AOB तथा ∆CDO में,
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 12
अतः SAS समरूपता द्वारा,
∠A = ∠C
तथा ∠B = ∠D
अतः ∆ AOB ~ ∆CDO (UPBoardSolutions.com) यही सिद्ध करना था।

UP Board Solutions

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में, ∠ ABC = 90° तथा BD ⊥ AC है यदि AB = 5.7 सेमी०, BD = 3.8 सेमी० तथा CD = 5.4 सेमी० हो तो BC ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 13
दिया है,
∠ABC = 90°
AB = 5.7 सेमी, BD = 3.8 सेमी
CD = 5.4 सेमी, BC = ?
∵ ∆ABC तथा ∆BDC में यहाँ
∠ABC = ∠CDA (UPBoardSolutions.com) = 90°
और ∠C = ∠C
अतः (AA-समरूपता से)
∆BAC ~ ∆BDA
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 14

UP Board Solutions

प्रश्न 10.
∆ ABC तथा ∆ DEF में, यह दिया गया है कि, AB = 5 सेमी०, BC = 4 सेमी०, CA = 4.2 सेमी०, DE = 10 सेमी०, EF = 8 सेमी० तथा FD = 8.4 सेमी० है। यदि AL I BC तथा DM L EF है तो AL:DM ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 15

प्रश्न 11.
दी गई आकृति में, दो त्रिभुज BEP तथा CPD दिये गये हैं तो सिद्ध कीजिए कि
BP × PD = EP × PC
हल:
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 16
∆ EPB तथा ∆DPC में,
∠ PEB = ∠ PDC = 90°
∠ EPB = ∠DPC (शीर्षाभिमुख कोण)
इस प्रकार AA-कसौटी की समरूपता से,
∆ EPB ~ ∆DPC
⇒ [latex]\frac{E P}{D P}=\frac{P B}{P C}[/latex]
⇒ BP × DP = EP × PC यही सिद्ध करना था।

UP Board Solutions

प्रश्न 12.
∆ ABC की भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु P तथा Q हैं। यदि AP = 3 सेमी०, PB = 6 सेमी०, AQ = 5 सेमी० तथा QC = 10 सेमी० है तो सिद्ध कीजिए कि BC = 3PQ
हलः
दिया है,
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 17
AP = 3 सेमी, PB = 6 सेमी,
AQ = 5 सेमी, QC = 10 सेमी
∆ ABC में, PQ ||BC (UPBoardSolutions.com)
⇒ [latex]\frac{A B}{A P}=\frac{A Q}{A E}[/latex]
तथा ∠A = ∠A
तब समरूपता की कसौटी (SAS) द्वारा
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 18

प्रश्न 13.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा APQ एक सरल रेखा है जो बढ़ाने पर BC से बिन्दु P पर तथा DC से बिन्दु Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि BP व DQ से बना आयत AB व AD से बने आयत के बराबर होता है।
हलः
स्वयं हल (UPBoardSolutions.com) कीजिए।

UP Board Solutions

प्रश्न 14.
एक चतुर्भुज ABCD है। जिसमें AD = BC यदि P, Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD तथा AD के मध्य बिन्दु हैं तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समचतुर्भुज है।
हलः
माना कि एक चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि इसकी भुजाओं AB, BC,CD तथा DA के क्रमशः मध्य-बिन्दु P,Q, R, S हैं तब हमें सिद्ध करना है कि PQRS एक समचतुर्भुज है।
अब AC को मिलाया।
∆ABC में, P तथा Q, AB तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
∵ दिया है
AB = BC
अतः AP = PB = BQ = CQ
PQ || AC …(1)
इसी प्रकार ∆ ACD में, R तथा S क्रमशः CD तथा DA के मध्य-बिन्दु हैं।
तब SR || AC …(2)
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 19
समीकरण (1) तथा (2) से यहाँ है
PQ || AC तथा SR || AC
इसलिये PQ || SR (UPBoardSolutions.com)
इसी प्रकार ∆ABD, ∆BCD हैं
PS ||QR
अत: PQRS एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 15.
दी गई आकृति में, ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है तथा AB||DC यदि ∆ AED तथा ∆ BEC समरूप है तो सिद्ध कीजिए कि AD = BC
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 20
हलः
स्वयं हल कीजिए।

UP Board Solutions

प्रश्न 16.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, AB||DC तथा DC = 2AB, AB के आगे EF दर्शायी गयी है। AD, F द्वारा तथा BC, E द्वारा काटे गये हैं तथा [latex]\frac{B E}{E C}=\frac{3}{4}[/latex] विकर्ण DB, EF को G पर प्रतिच्छेद करता है तो सिद्ध कीजिए कि 7FE = 10AB
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 21
हल:
∆DFG तथा ∆ DAB में ज्ञात हैं।
∠1 = ∠2 [∵ AB ||DC ∴ ∠1 तथा ∠2 संगत कोण है।]
∠ FDG = ∠ADB (सर्वनिष्ठ)
अतः समरूपता (UPBoardSolutions.com) की AA-कसौटी से,
∆DFG ~ ∆DAB
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 22
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 23
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 24

UP Board Solutions

प्रश्न 17.
दी गई आकृति में, एक त्रिभुज ABC है जो C पर समकोण है तथा DE ⊥ AB है। तो सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC ~ ∆ ADE तथा AE और DE की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 25
त्रिभुज ABC तथा ∆ ADE में
∠ACB = ∠ AED = 90°
और ∠BAC = ∠ DAE (UPBoardSolutions.com)
अतः समरूपता की AA-कसौटी से,
∆ABC ~ ∆ ADE
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 26

UP Board Solutions

प्रश्न 18.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष D से, एक रेखा खींची गई है जो भुजा BA तथा BC को क्रमशः E तथा F पर प्रतिच्छेद करती है। तो सिद्ध कीजिए कि :
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 27
हलः
त्रिभुज EAD तथा ∆ DCF में,
∠1 = ∠2 [∵ AB ||DC ∴ संगत कोण बराबर है।]
∠3 = ∠4 [∵ AD||BC ∴ संगत कोण बराबर है।]
इसलिये समरूपता की (UPBoardSolutions.com) AA-कसौटी द्वारा,
∆ EAD ~ ∆DCF
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 28

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Leave a Comment