Class 10

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 12 Area Related to Circles Ex 12.3 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल

प्रश्न 1.
एक जीवा PQ की लम्बाई 12 सेमी है जो वृत्त के केन्द्र पर 120° का कोण बनाती है। जीवा PQ द्वारा काटे गये लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
जीवा PQ की लम्बाई 12 सेमी तथा (UPBoardSolutions.com) वृत्त के केन्द्र पर बना कोण θ = 120° है।
माना, वृत्त की त्रिज्या OP = r सेमी
तब समकोण ∆ PRO में

प्रश्न 2.
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा AB वृत्त के केन्द्र पर एक समकोण बनाती है। दीर्घ तथा लघु वृत्तखण्डों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
वृत्त की त्रिज्या r = 10 सेमी तथा (UPBoardSolutions.com) केन्द्र पर बना कोण θ = 90°

वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = [latex]\frac{22}{7}[/latex](10)²
= [latex]\frac{22 \times 100}{7}=\frac{2200}{7}[/latex] = 314.3 सेमी²
दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
= 314.3 – 28.5 = 285.8 सेमी²
अतः लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल 28.5 सेमी² तथा दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल 285.8 सेमी²

प्रश्न 3.
वृत्त की एक जीवा केन्द्र पर एक कोण θ बनाती है। यदि जीवा द्वारा काटे गये लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल, वृत्त के क्षेत्रफल का [latex]\frac{1}{8}[/latex] है तो सिद्ध कीजिए कि-

हलः
माना, वृत्त की त्रिज्या = r इकाई तथा कोण θ है।
तब, प्रश्नानुसार
[latex]\frac{1}{8}[/latex] × वृत्त का क्षेत्रफल (UPBoardSolutions.com) = जीवा द्वारा काटे गये लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
दो चाप A व B चित्र में दर्शाये गये हैं। चाप A,0 केन्द्र व OP त्रिज्या वाले वृत्त का भाग है तथा चाप B, M केन्द्र तथा PM त्रिज्या वाले वृत्त का भाग है। यहाँ M, PQ का मध्य बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि दोनों चापों द्वारा सीमाबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल 25 ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] – [latex]\frac{\pi}{6}[/latex]) सेमी² है।

हलः
O केन्द्र वाले वृत्त की त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) OP = 10 सेमी, ∵ OP = OQ

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 12 Area Related to Circles Ex 12.2 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल

प्रश्न 1.
21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त से एक त्रिज्यखण्ड काटा जाता है। त्रिज्यखण्ड का कोण 150° है। चाप की लम्बाई तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त की त्रिज्या r = 21 सेमी तथा त्रिज्यखण्ड (UPBoardSolutions.com) का कोण θ = 150°, चाप को लम्बाई l सेमी है।

अतः चाप की लम्बाई 55 सेमी तथा क्षेत्रफल = 577.5 सेमी²

प्रश्न 2.
एक वृत्त की त्रिज्या 35 सेमी तथा एक चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण 72° है। चाप की लम्बाई तथा त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त की त्रिज्या r = 35 सेमी तथा केन्द्र पर बनाया गया कोण θ = 72°


अतः चाप की लम्बाई l = 44 सेमी, क्षेत्रफल = 770 सेमी²

प्रश्न 3.
21 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त से एक त्रिज्यखण्ड काटा गया है। त्रिज्यखण्ड का कोण 120° है। चाप की लम्बाई तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त की त्रिज्या r = 21 सेमी (UPBoardSolutions.com) तथा त्रिज्यखण्ड का कोण θ = 120°

अतः चाप की लम्बाई 1 = 44 सेमी, क्षेत्रफल A = 462 सेमी²

प्रश्न 4.
वृत्त के एक चाप की लम्बाई 20 π सेमी है तथा जिसका केन्द्र पर कोण 144° है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त के एक चाप की लम्बाई l = 20 π सेमी तथा केन्द्र पर बना कोण θ = 144°
तथा माना, वृत्त की (UPBoardSolutions.com) त्रिज्या = r सेमी है।।

अतः वृत्त की त्रिज्या 25 सेमी है।

प्रश्न 5.
एक वृत्त से 56° के कोण पर काटे गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 4.4 सेमी² है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, वृत्त की त्रिज्या = r सेमी
तथा त्रिज्यखण्ड का कोण θ = 56°
तब, प्रश्नानुसार, त्रिज्यखण्ड का (UPBoardSolutions.com) क्षेत्रफल = 4.4 सेमी²

प्रश्न 6.
5.2 सेमी की त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड की परिधि 16.4 सेमी है। त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त की त्रिज्या r = 5.2 सेमी तथा त्रिज्यखण्ड की परिधि = 16.4 सेमी
l + 2r = 16.4
l + 2 × 5.2 = 16.4
l + 10.4 = 16.4
l = 16.4 – 10.4 = 6 सेमी
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2} l r=\frac{1}{2}[/latex] × 6 × 5.2 = 15.6 सेमी²

प्रश्न 7.
एक घड़ी की छोटी तथा बडी सुइयाँ क्रमश: 4 सेमी तथा 6 सेमी लम्बी हैं। दो दिन में इनके द्वारा चली गयी दूरियों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, घड़ी की छोटी सुई की लम्बाई (त्रिज्या) r₁ = 4 सेमी
तथा घड़ी की बड़ी सुई की लम्बाई (त्रिज्या) r₂ = 6 सेमी
∵ घड़ी की छोटी सुई 12 घण्टे में एक चक्कर लगाती है।
∴ 2 दिन (48 घण्टे) में 4 चक्कर लगायेंगी
अतः घड़ी की छोटी सुई (UPBoardSolutions.com) द्वारा 2 दिन में चली गयी दूरी = 2π₁ × 4
= 2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 4 × 4 = [latex]\frac{704}{7}[/latex] सेमी
तथा घड़ी की बड़ी सुई 1 घण्टे में एक चक्कर लगाती है तब वह 2 दिन (48 घण्टे) में 48 चक्कर लगायेंगी।
अतः घड़ी की बड़ी सुई द्वारा 2 दिन में चली गई दूरी = 2πr₂ × 48
= 2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 6 × 48 = [latex]\frac{12672}{7}[/latex] सेमी
दोनों सुईयों द्वारा 2 दिनों में चली गई दूरियों का योग
[latex]\frac{704}{7}+\frac{12672}{7}=\frac{13376}{7}[/latex] = 1910.85 सेमी

प्रश्न 8.
एक वृत्त मे केन्द्र O तथा त्रिज्या 5 सेमी, एक जीवा AB की लम्बाई 5[latex] \sqrt{{3}} [/latex] सेमी है। त्रिज्यखण्ड AOB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त की त्रिज्या r = 5 सेमी तथा जीवा AB की लम्बाई = 5[latex] \sqrt{{3}} [/latex] सेमी
माना, त्रिज्यखण्ड AOB का कोण = θ

प्रश्न 9.
एक घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई [latex] \sqrt{{21}} [/latex] सेमी है। घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 7:00 A.M. तथा 7:05 A.M. के बीच में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई r = [latex] \sqrt{{21}} [/latex] सेमी
घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 7:00 A.M. तथा 7:05 A.M. तक का समय = 5 मिनट
∵ 60 मिनट में घड़ी की मिनट की सुई द्वारा बना कोण = 360°
∴ 5 मिनट में घड़ी की मिनट की (UPBoardSolutions.com) सुई द्वारा बना कोण = [latex]\frac{360 \times 5}{60}[/latex]
θ = 30°
घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 7:00 A.M. तथा 7:05 A.M. के बीच में रचित क्षेत्रफल

प्रश्न 10.
5 सेमी त्रिज्या की एक पुली के रिम पर प्रत्यास्थ (elastic) बेल्ट रखी है। बेल्ट के एक बिन्दु को केन्द्र 0 से 10 सेमी दूर बिन्दु P तक खींचा जाता है। पुली के रिम के सम्पर्क में आने वाली बेल्ट की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
स्वयं हल (UPBoardSolutions.com) करें।

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 10 Trigonometrical Ratios and Identities Ex 10.3 त्रिकोणमितीय अनुपात एवं असमिकाएँ

Ex 10.3 Trigonometrical Ratios and Identities अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

निम्न के मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
sin(90° – θ)
हल:
sin(90° – θ) = cosθ

प्रश्न 2.
tan(90° + θ)
हल:
tan(90° + θ) = – cotθ

प्रश्न 3.
cos(180° – θ)
हलः
cos(180° – θ) (UPBoardSolutions.com) = – cosθ

प्रश्न 4.
cos37° cosec53°
हल:
cos37° cosec53° = cos 37°.cosec(90° – 37°) = cos 37° sec37° = cos 37°.[latex]\frac{1}{\cos 37^{\circ}}[/latex] = 1

प्रश्न 5.
tan210°
हलः
tan210° = tan(180° + 30°) = tan30° = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]

प्रश्न 6.
[latex]\frac{\cos 55^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}[/latex]
हलः

प्रश्न 7.
sin 225°
हलः
sin 225° = sin(180° + 45°) (UPBoardSolutions.com) = – sin 45° = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex]

Ex 10.3 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 8.
sin 27° sec63° का मान ज्ञात कीजिए|
हलः
sin 27°.sec 63° = sin 27°.sec(90° – 27°)
= sin 27°.cosec27°
=sin 27°.[latex]\frac{1}{\sin 27^{\circ}}[/latex] = 1

प्रश्न 9.
tan 37° tan 53° का मान ज्ञात कीजिए|
हलः
tan 37°.tan 53°= tan 37°. (UPBoardSolutions.com) tan(90° – 37°)
= tan37°.cot 37°
= tan37°.[latex]\frac{1}{\tan 37^{\circ}}[/latex] = 1

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए: sin (180° + θ) = cos(90° + θ)
हलः
LHS → sin(180° + θ) = – sinθ
RHS → cos (90° + θ) = – sinθ
RHS = LHS

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए: tan 45° – cot 45° = 0
हलः
LHS = tan 45° – cot (UPBoardSolutions.com) 45° = 1 – 1 = 0 = RHS

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए: [latex]\frac{\cos 21^{\circ}}{\sin 69^{\circ}}+\frac{\sin 59^{\circ}}{\cos 31^{\circ}}[/latex] = 2
हलः

Ex 10.3 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

सिद्ध कीजिए कि
प्रश्न 13.
(i) sin 210°= – 1/2
(ii) tan 225°= 1
(iii) sec 210° = [latex]-\frac{2}{\sqrt{3}}[/latex]
(iv) cosec 225°= [latex]- \sqrt{{2}} [/latex]
हलः
(i) LHS = sin 210°= sin(180° + 30°) = – sin 30° = [latex]-\frac{1}{2}[/latex] = RHS
(ii) LHS = tan 225° = tan(180° + 45°) = tan 45° = 1 = RHS
(iii) LHS = sec 210° = sec(180° + 30°) (UPBoardSolutions.com) = – sec 30°= [latex]-\frac{2}{\sqrt{3}}[/latex] = RHS
(iv) LHS = cosec 225° = cosec(180° + 45° ) = – sec 45° = [latex]- \sqrt{{2}} [/latex] = RHS

प्रश्न 14.
[latex]\frac{\sin 35^{\circ}}{\cos 55^{\circ}}+\frac{\cos 55^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}[/latex] – 4cos60° = 0
हलः

प्रश्न 15.

हलः

Ex 10.3 Trigonometrical Ratios and Identities दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

सिद्ध कीजिए कि –
प्रश्न 16.

हलः

प्रश्न 17.

हलः

प्रश्न 18.
tan240° + sin120° = [latex]\frac{3 \sqrt{3}}{2}[/latex]
हलः

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 10 Trigonometrical Ratios and Identities Ex 10.2 त्रिकोणमितीय अनुपात एवं असमिकाएँ

Ex 10.2 Trigonometrical Ratios and Identities अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
sec 45° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sec 45° का मान (UPBoardSolutions.com) [latex] \sqrt{{2}} [/latex] होता है।

प्रश्न 2.
tan 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan60° का मांन [latex] \sqrt{{3}} [/latex] होता है।

प्रश्न 3.
यदि tanθ = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex], तब θ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि tanθ = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex] तो tanθ = tan30° अत: θ = 30°

प्रश्न 4.
cos 60° × sin 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
cos60° × sin60° (UPBoardSolutions.com) = [latex]\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}[/latex]

Ex 10.2 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 5.
यदि θ = 30°, तब सिद्ध कीजिए कि sin2θ = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
हलः
यदि θ = 30° ∴ sin20 = sin2 × 30° = sin60° = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

प्रश्न 6.
यदि θ = 45°, तब सिद्ध कीजिए कि sin2θ = 1
हलः
यदि θ = 45° ∴ sin20 (UPBoardSolutions.com) = sin2 × 45° = sin90° = 1

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि sin30°.cosec30°.tan30° = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]
हल:
sin30° × cosec30° × tan30° = [latex]\frac{1}{2} \times \frac{2}{1} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]

Ex 10.2 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

निम्न की सत्यता की जाँच कीजिए –
प्रश्न 8.
cos60° cos45° – sin60°sin 45° = [latex]\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}[/latex]
हल:
LHS = cos 60°.cos 45° – sin60°sin 45°

प्रश्न 9.
cos30°cos45° – sin30° sin 45° = [latex]\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}[/latex]
हलः
LHS = cos 30°cos 45° – sin30°sin 45°

प्रश्न 10.
cosec²30°sin² 45° – sec²60° = -2
हलः
LHS = (UPBoardSolutions.com) cosec ²30°sin²45° – sec²60°
= (2)² · [latex]\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}[/latex] – (2)²
= 4·[latex]\frac{1}{2}[/latex] – 4 = – 2 = RHS

प्रश्न 11.
4cos²60° + 4sin² 45° – sin² 30° = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
हल:
LHS = 4 cos²60° + 4sin² 45° – sin²30°

प्रश्न 12.
cos 90° = 1 – 2 sin² 45° = 2 cos² 45° – 1
हल:
cos 90° = 1 – 2 sin²45° = 2 cos² 45° – 1
LHS → cos 90 = 0
RHS = 1 – 2 sin² 45°

प्रश्न 13.
cos60° = 1 – 2 sin² 30° = 2 cos²30° – 1
हल:
cos 60° = 1 – 2 sin² 30° = 2 cos² 30° – 1

प्रश्न 14.
cos² 30° + cos² 45° + cos²60° = sin² 30° + sin² 45° + sin² 60°
हल:
LHS = cos²30° + (UPBoardSolutions.com) cos² 45° + cos²60°

Ex 10.2 Trigonometrical Ratios and Identities दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि cot² 30° + cot² 45° + cot² 60° = [latex]\frac{13}{3}[/latex]
हल:
LHS = cot² 30° + cot² 45° + cot²60°

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि 2(sin² 45° + cot²30°) – 3(cosec²60° – sec²60°) = 15
हल:
LHS = 2(sin² 45° + cot²30°) – 3(cosec²60° – sec²60°)

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि 4 cot² 45° – sec²60° + sin²30° = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
हलः
LHS = 4cot² 45° – sec²60° + sin²30° (UPBoardSolutions.com)
= 4 x (1)² – (2)² + [latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/latex]
= 4 – 4 + [latex]\frac{1}{4}[/latex] = [latex]\frac{1}{4}[/latex] = RHS

प्रश्न 18.
यदि tan(A – B) = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex], व tan(A + B) = [latex] \sqrt{{3}} [/latex], तब A व B के मान ज्ञात कीजिए।
हलः

A का मान समीकरण (2) में रखने पर 45° + B = 60°
B = 60° – 45° = 150

प्रश्न 19.
यदि sin(A – B) = cos(A + B) = [latex]\frac{1}{2}[/latex], तब A व B के मान ज्ञात कीजिए।
हलः

समी० (1) में A (UPBoardSolutions.com) का मान रखने पर
45° – B = 30°
– B = 30° – 450
– B = -15° ⇒ B = 150

प्रश्न 20.
यदि A = 30%, तो सिद्ध कीजिए कि –
(i) sin 3A = 3 sin A – 4 sin³ A

हलः
यदि A = 30°
sin³A = 3sinA – 4sin³ A
LHS → sin3 × 30° = sin90° = 1

प्रश्न 21.
यदि A = 45° तथा B = 30°, तो सिद्ध कीजिए कि –
(i) tan(A + B) = [latex]\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}[/latex]
(ii) sin(A + B) = sin (UPBoardSolutions.com) A cos B + cos A sin B
(iii) cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B
हलः
यदि A = 45° और B = 30°

प्रश्न 22.
यदि θ = 30°, तब सिद्ध कीजिए कि cosθ = [latex]\sqrt{\frac{1+\cos 2 \theta}{2}}[/latex]
हलः

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 10 Trigonometrical Ratios and Identities Ex 10.1 त्रिकोणमितीय अनुपात एवं असमिकाएँ

Ex 10.1 Trigonometrical Ratios and Identities अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि sinθ = [latex]\frac{3}{5}[/latex], तब tanθ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः


पाइथागोरस प्रमेय से, (कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²
(5)² = (3)² + (UPBoardSolutions.com) (आधार)²
25 = 9 + (आधार)²
25 – 9 = (आधार)²
16 = (आधार)²
[latex] \sqrt{{16}} [/latex] = आधार
4 = आधार

प्रश्न 2.
यदि cosθ = [latex]\frac{1}{3}[/latex], तब sinθ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

पाइथागोरस प्रमेय से, (कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²
(3)² = (लम्ब)² + (1)²
9 = (लम्ब)² + 1
9 – 1 = (लम्ब)²
8 = (लम्ब)²

प्रश्न 3.
यदि costθ = [latex]\frac{4}{5}[/latex], तब tanθ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः


पाइथागोरस प्रमेय से, (कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²
(5)² = (लम्ब)² + (4)
25 = (लम्ब)² + 16
25 – 16 = (UPBoardSolutions.com) (लम्ब)²
9 = (लम्ब)²
∴ लम्ब = [latex] \sqrt{{9}} [/latex] = 3

प्रश्न 4.
यदि secθ = 2, तब cot@ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः


पाइथागोरस प्रमेय से, (कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²
(2)² = (लम्ब)² + (1)²
4 = (लम्ब)² + 1
4 – 1 = (लम्ब)²
3 = (लम्ब)²
∴ लम्ब = [latex] \sqrt{{3}} [/latex]

प्रश्न 5.
यदि tanθ = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex], तब [latex]\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ tanθ = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]

प्रश्न 6.
यदि sinθ = [latex]\frac{4}{5}[/latex], तब 3 secθ – 5 cosθ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 10.1 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 7.
यदि 4tan@ = 3, तब सिद्ध कीजिए कि : [latex]\frac{4 \sin \theta+3 \cos \theta}{8 \sin \theta+5 \cos \theta}=\frac{6}{11}[/latex]
हलः

प्रश्न 8.
यदि cosθ = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि 4 cos³θ – 3 cosθ = 0
हलः

प्रश्न 9.
यदि tanθ = [latex] \sqrt{{2}} [/latex] -1, तब सिद्ध कीजिए कि cotθ = [latex] \sqrt{{2}} [/latex] + 1
हलः

प्रश्न 10.
यदि cosθ = [latex]\frac{4}{5}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{\tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{\sin \theta}{\sec \theta}[/latex]
हलः

प्रश्न 11.
यदि sinθ = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि 4 cos³θ – 3 cosθ = -1
हल:

प्रश्न 12.
यदि tanθ = 2, तब सिद्ध कीजिए कि secθ sinθ + tan²θ – cosec²θ = [latex]\frac{19}{4}[/latex]
हल:

Ex 10.1 Trigonometrical Ratios and Identities दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 13.
यदि sinθ = [latex]\frac{a}{b}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि (tanθ – cotθ) = [latex]\frac{2 a^{2}-b^{2}}{a \sqrt{b^{2}-a^{2}}}[/latex].
हलः

प्रश्न 14.
यदि cotθ = [latex]\frac{3}{4}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta}[/latex] = 7
हल:

प्रश्न 15.
यदि tanθ = [latex]\frac{a}{b}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{a \sin \theta-b \cos \theta}{a \sin \theta+b \cos \theta}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}[/latex]
हल:

प्रश्न 16.
यदि tanθ = [latex]\frac{4}{3}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}[/latex] = 3
हलः

प्रश्न 17.
यदि costθ = [latex]\frac{5}{13}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{2 \sin \theta-3 \cos \theta}{4 \sin \theta-9 \cos \theta}[/latex] = 3
हलः

प्रश्न 18.
यदि sinθ = [latex]\frac{4}{5}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{4 \tan \theta-5 \cos \theta}{\sec \theta+\cot \theta}=\frac{28}{29}[/latex]
हलः

प्रश्न 19.
यदि tanθ = [latex] \sqrt{{2}} [/latex] – 1, तब सिद्ध कीजिए कि sinθ cosθ = [latex]\frac{\sqrt{2}}{4}[/latex]
हलः

प्रश्न 20.
यदि cosecθ = [latex]\frac{5}{3}[/latex], तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{\cos \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta}=-\frac{1}{5}[/latex]
हलः

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