Class 10

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.3 त्रिभुज

प्रश्न 1.
यदि ∆ ABC ~ ∆ DEF तथा AB = 1.2 सेमी तथा DE = 1.4 सेमी है तो ∆ ABC और ∆ DEF के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः

दिया है
∆ ABC ~ ∆ DEF
AB = 1.2 सेमी
DE = 1.4 सेमी
चूँकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का (UPBoardSolutions.com) अनुपात उनकी संगत B भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए, (∆ ABC) का क्षेत्रफल = (AB)²
(∆ DEF) का क्षेत्रफल = (DE)²

प्रश्न 2.
यदि ∆ ABC ~ ∆ DEF तथा ∆ ABC का क्षेत्रफल 9 सेमी² है और ∆ DEF का क्षेत्रफल 16 सेमी² है व BC = 2.1 सेमी है तो EF ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
∆ABC ~ ∆DEF
∆ ABC का क्षेत्रफल = 9 सेमी²
∆DEF का क्षेत्रफल = 16 सेमी²
BC = 2.1 सेमी
ज्ञात करना है EF का (UPBoardSolutions.com) मान
चूँकि ∆ABC ~ ∆DEF

प्रश्न 3.
यदि ∆ ABC ~ ∆DEF है, यदि (∆ ABC) का क्षेत्रफल = 36 सेमी², (∆ DEF) का क्षेत्रफल = 64 सेमी² तथा DE = 6.2 सेमी है तो AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, ∆ABC ~ ∆DEF
∆ABC का क्षेत्रफल = 36 सेमी²
∆ DEF का क्षेत्रफल = 64 सेमी²
DE = 6.2 सेमी
हमें AB की लम्बाई ज्ञात (UPBoardSolutions.com) करनी है।
चूँकि ∆ABC ~ ∆ DEF

प्रश्न 4.
यदि ∆ ABC ~ ∆DEF तथा (∆ ABC) का क्षेत्रफल = 16 सेमी², (∆DEF) का क्षेत्रफल = 25 सेमी² तथा BC = 2.3 सेमी है तो EF ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, ∆ ABC ~ ∆ DEF
∆ ABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी²
∆ DEF का क्षेत्रफल (UPBoardSolutions.com) = 25 सेमी²
BC = 2.3 सेमी
हमें EF का मान ज्ञात करना है।
चूँकि, ∆ABC ~ ∆ DEF

प्रश्न 5.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 81 सेमी² तथा 49 सेमी² हैं। उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात कीजिए तथा उनकी संगत माध्यिकाओं का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो समरूप त्रिभुज क्रमशः हैं ∆ ABC और ∆ DEF
दिया है, ∆ ABC ~ ∆ DEF
∆ ABC का क्षेत्रफल = 81 सेमी²
∆DEF का क्षेत्रफल = 49 (UPBoardSolutions.com) सेमी² 

प्रश्न 6.
यदि ∆ ABC ~ ∆DEF तथा BC = 3 सेमी, EF = 4 सेमी और (∆ ABC) का क्षेत्रफल = 54 सेमी² है तो ∆ DEF का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, ∆ ABC ~ ∆ DEF
BC = 3 सेमी
EF = 4 सेमी
∆ ABC का क्षेत्रफल = 54 सेमी²
हमें ∆ DEF का क्षेत्रफल (UPBoardSolutions.com) ज्ञात करना है।
चूँकि ∆ ABC ~ ∆ DEF

प्रश्न 7.
दो समद्विबाहु त्रिभुजों के शीर्ष कोण समान हैं तथा उनके क्षेत्रफलों का अनुपात 36 : 25 है। तब उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो समद्विबाहु त्रिभुज क्रमशः ∆ ABC और ∆ DEF हैं।
∆ ABC में AB = AC
∆DEF में DE = DF
और दिया है, ∠A = ∠D

प्रश्न 8.
∆ ABC में, D तथा E क्रमशः AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं। ∆ ADE और ∆ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
दिया है, D और E क्रमश: ∆ABC की. भुजा AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं।

अतः AD = DB
AE = EC
∵ AB = AD + DB
∴ AB = AD + AD (AD = DB)
AB = 2AD
[latex]\frac{A B}{A D}[/latex] = 2 …(1)
और AC = AE + EC
AC = AE + AE (AE = EC)
AC = 2AE
[latex]\frac{A C}{A E}[/latex] = 2 …(2)
समीकरण (1) और (2) द्वारा, (UPBoardSolutions.com)

∴ ∆ADE का क्षेत्रफल : ∆ABC का क्षेत्रफल = 1 : 4

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 169 सेमी² तथा 121 सेमी² हैं। यदि बड़े त्रिभुज की बड़ी भुजा 26 सेमी हैं तो छोटे त्रिभुज की बड़ी भुजा ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो त्रिभुज ∆ ABC और ∆ DEF हैं।
दिया है ∆ABC ~ ∆ DEF
∆ABC का क्षेत्रफल = 121 सेमी²
∆ DEF का क्षेत्रफल = 169 सेमी², DF = 26 सेमी
माना ∆ DEF की बड़ी भुजा = DF
और ∆ ABC की बड़ी भुआ = AC
अब चूंकि, ∆ DEF ~ ∆ ABC

प्रश्न 10.
दिये गये चित्र में, PB तथा QA, रेखाखण्ड AB के लम्बवत् है। यदि PO = 5 सेमी,QO = 7 सेमी तथा ∆ POB का क्षेत्रफल = 150 सेमी² है। तो ∆QOA का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हलः
दिया है,
∠OBP = 90°
∠OAQ = 90°
OQ = 7 सेमी
OP = 5 सेमी
∆ POB का क्षेत्रफल = 150 सेमी²

हमें ∆QOA का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
∆ POB और ∆QOA में, (UPBoardSolutions.com)
∆ POB = ∆QOA (शीर्षाभिमुख कोण)
∆OBP = ∆QAO = (90°)
∴ ∆POB ~ ∆QOA (AA-समरूपता)

प्रश्न 11.
दो समरूप त्रिभुजों ABC तथा PQR के क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 है यदि BC = 4.5 सेमी है तो QR की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 12.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 100 सेमी² तथा 49 सेमी² हैं। यदि बड़े त्रिभुज की ऊँचाई 5 सेमी है तो दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो त्रिभुज ∆ ABC और ∆ DEF हैं।
दिया है, ∆ DEF का (UPBoardSolutions.com) क्षेत्रफल = 100 सेमी²
∆ABC का क्षेत्रफल = 49 सेमी²
∆ DEF की ऊँचाई = 5 सेमी
और ∆DEF ~ ∆ ABC
हमें ∆ ABC की ऊँचाई ज्ञात करनी है।
चूँकि ∆DEF ~ ∆ ABC

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग ABCD की एक भुजा BC को आधार लेकर बने एक त्रिभुज BCE का क्षेत्रफल, विकर्ण AC को आधार लेकर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
हलः
दिया है, ABCD एक वर्ग है तथा समबाहु त्रिभुज BCE तथा ACF क्रमशः भुजा BC तथा विकर्ण AC पर बने हैं।
हमें सिद्ध करना है कि ∆ BCE का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × ∆ ACF का क्षेत्रफल
चूँकि त्रिभुज BCE तथा ∆ ACF समबाहु हैं इसलिए उनके कोण भी बराबर होंगें। (प्रत्येक = 60°)

प्रश्न 14.
एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा पर समबाहु त्रिभुज खींचा गया है। तो सिद्ध कीजिए कि कर्ण पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल, अन्य दो भुजाओं पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हलः

माना ∆ ABC एक समकोण त्रिभुज है
∆ ADB, ∆ BEC, (UPBoardSolutions.com) ∆ AFC समबाहु त्रिभुज है।
AFC और ∆ BEC में सभी कोण बराबर होंगे।

प्रश्न 15.
एक त्रिभुज ABC है। PQ एक सीधी रेखा है। AB, P में मिल रही है। तथा AC, Q में, यदि AP = 1 सेमी, PB = 3 सेमी, AQ = 1.5 सेमी, QC = 4.5 सेमी है। तो सिद्ध कीजिए कि ∆APQ का क्षेत्रफल, ∆ ABC के क्षेत्रफल का [latex]\frac{1}{16}[/latex] है।
हलः

प्रश्न 16.
दो समरूप त्रिभुजों की संगत ऊँचाईयाँ क्रमश: 6 सेमी तथा 9 सेमी हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, दो त्रिभुज ∆ ABC और ∆ DEF हैं
∆ ABC की ऊँचाई = AL = 6 सेमी
∆DEF की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई = AM = 9 सेमी
दिया है, ∆ ABC ~ ∆DEF

⇒ ∆ABC का क्षेत्रफल : ∆DEF का क्षेत्रफल = 4 : 9

प्रश्न 17.
∆ ABC में, भुजा AB, P द्वारा विभाजित है तथा AP : PB = 1 : 2, AC पर एक बिन्दु 0 है तथा PQ||BC है। ∆ ABC के क्षेत्रफल तथा समलम्ब चतुर्भुज BPQC के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, AP : PB = 1 : 2
PQ || BC
∆ ABC और ∆APQ में,
∠ABC = ∠APQ (संगत कोण)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∴ ∆ABC ~ ∆APQ


⇒ ∆ABC का क्षेत्रफल : समलम्ब चतुर्भुज PBCQ का क्षेत्रफल = 9 : 8

प्रश्न 18.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमश: 100 सेमी² तथा 64 सेमी² हैं। यदि छोटे त्रिभुज की माध्यिका 5.6 सेमी है। तो दूसरे की संगत माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो त्रिभुज हैं ABC तथा DEF
दिया है, ∆ ABC ~ ∆ DEF
∆ ABC का क्षेत्रफल = 64 सेमी²
∆DEF का क्षेत्रफल = 100 सेमी²
∆ ABC की (UPBoardSolutions.com) माध्यिका = 5.6 सेमी
हमें ∆ DEF की माध्यिका ज्ञात करनी है।

प्रश्न 19.
∆ ABC, A पर समकोण है तथा AD ⊥ BC है। यदि BC = 13 सेमी और AC = 5 सेमी है तो ∆ ABC तथा ∆ ADC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है (UPBoardSolutions.com) ∠ BAC = 90°
AD ⊥ BC
BC = 13 सेमी, AC = 5 सेमी


⇒ ∆ ABC का क्षेत्रफल : ∆ ADC का क्षेत्रफल = 169 : 25

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.4 द्विघात समीकरण

प्रश्न 1.
k का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए (UPBoardSolutions.com) समीकरण x² – 4x + k = 0 के मूल वास्तविक और भिन्न
हलः
x² – 4x + k = 0
यहाँ a = 1, b = – 4, c = k
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं
∴ विविक्तकर, D > 0
या b² – 4ac > 0
( – 4)² – 4 × 1 × k > 0
16 – 4k > 0
16 > 4k   या   [latex]\frac{16}{4}[/latex] > k
k < 4

प्रश्न 2.
यदि P, q और r वास्तविक हैं तथा p ≠ q तब सिद्ध (UPBoardSolutions.com) कीजिए कि समीकरण (p – q)x² + 5(p + q)x – 2(p – q) = 0 के मूल वास्तविक और असमान हैं।
हलः
समीकरण (p – q)x² + 5(p + q)x – 2(p – q) = 0
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= {5 (p + q)}² – 4(p – q) × – 2(p – q)
= 25 (p² + q² + 2pq) + 8(p – q)²
= 25p2²+ 25q² + 50 pq + 8(p² + q² – 2pq)
= 25p² + 25q² + 50pq + 8p² + 8q² – 16pq
= 33p² + 33q² + 34pq
∵ D > 0
∴ दी गई समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हैं। इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x² + 5kx + 16 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हैं।
हलः
x² + 5kx + 16 = 0
यहाँ a = 1, b = 5k, c = 16
∵ समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं
∴ b² – 4ac < 0
(5k)² – 4 × 1 × 16 < 0
25k² – 64 < 0
k² < [latex]\frac{64}{25}[/latex] k < [latex]\sqrt{\frac{64}{25}}[/latex]
या k < [latex]\pm \frac{8}{5}[/latex]
या -[latex]\frac{8}{5}[/latex] < k < [latex]\frac{8}{5}[/latex] [∵ x² – a < 0 ⇒ – a < x < a]

प्रश्न 4.
k के किस मान के लिए, (4 – k)x² + (2k + 4)x + (8k + 1) = 0 पूर्ण वर्ग है?
हलः
(4 – k)x² + (2k + 4)x + (8k + 1) = 0
यहाँ a = (4 – k), b = (2k + 4), c = (8k + 1)
∵ मूल पूर्ण वर्ग हैं।
∴ b² – 4ac > 0
(2k + 4)² – 4(4 – k)(8k + 1) > 0
4k² + 16 + 16k – 4(32k + 4 – 8k² – k) > 0 (UPBoardSolutions.com)
4k² + 16 + 16k – 4( – 8k² + 31k + 4) > 0
4[k² + 4 + 4k + 8k² – 31k – 4] > 0
9k² – 27k > 0
9k(k – 3) > 0
जब 9k > 0 तब k > 0
जब k – 3 > 0 तब k > 3

प्रश्न 5.
k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x² + k(2x + k – 1) + 2 = 0 के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
हलः
समीकरण x² + k (2x + k – 1) + 2 = 0
x² + 2kx + k² – k + 2 = 0
यहाँ a = 1, b = 2k, c = k² – k + 2
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(2k)² – 4 × 1 × (k² – k + 2) = 0
4k² – 4k² + 4k – 8 = 0
4k – 8 = 0
k = [latex]\frac{8}{4}[/latex] ⇒ k = 2

प्रश्न 6.
निम्नलिखित प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) जिसके लिए निम्न समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
(i) x² – 2(k + 1)x + k² = 0
(ii) k²x² – 2(2k – 1)x + 4 = 0
(iii) (k + 1)x² – 2(k – 1)x + 1 = 0
(iv) kx(x – 2) + 6 = 0 (NCERT)
(v) x² – 4kx + k = 0
हलः
(i) x² – 2(k + 1)x + k² = 0
यहाँ a = 1, b = – 2(k + 1), c = k²
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
[- 2(k + 1)]² – 4 × 1 × k² = 0
4(k + 1)² – 4k² = 0
4 (k² + 1 + 2k – k²) = 0
1 + 2k = 0 या k= [latex]-\frac{1}{2}[/latex]

(ii) k²x² – 2(2k – 1)x + 4 = 0
यहाँ a = k², b = – 2(2k – 1), c = 4
∵ समीकरण के मूल वास्तविक (UPBoardSolutions.com) और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
[- 2(2k – 1)]² – 4 × k² × 4 = 0
4(2k – 1)² – 16k² = 0
4[(2k – 1)² – 4k²] = 0
4k² + 1 – 4k – 4k² = 0
1 – 4k = 0 या 1 = 4k
k = [latex]\frac{1}{4}[/latex]

(iii) (k + 1)x² – 2(k – 1)x + 1 = 0
यहाँ a = (k + 1), b = – 2(k – 1), c = 1
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
[- 2(k – 1)]² – 4 × (k + 1) × 1 = 0
4 (k – 1)² – 4(k + 1) = 0
4[(k – 1)² – (k + 1)] = 0
k² + 1 – 2k – k – 1 = 0
k² – 3k = 0 या k(k – 3) = 0
∴ k = 0 तथा k – 3 = 0 या k = 3
अत: k = 0, 3

(iv) kx(x – 2) + 6 = 0
या kx² – 2kx + 6 = 0
यहाँ a = k, b = – 2k, c = 6
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(- 2k)² – 4 × k × 6 = 0
4k² – 24k = 0
4k (k – 6) = 0
∴ 4k = 0 तथा k – 6 = 0
k = 0 , k = 6
अत: k = 0, 6

(v) x² – 4kx + k = 0
यहाँ a = 1, b = – 4k, c = k
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(- 4k)² – 4 × 1 × k = 0
16k² – 4k = 0
4k (4k – 1) = 0
∴ 4k = 0 तथा 4k – 1 = 0
k = 0, k = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
अत:k = 0, [latex]\frac{1}{4}[/latex]

प्रश्न 7.
यदि समीकरण (b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0 (UPBoardSolutions.com) के मूल बराबर हैं तब सिद्ध कीजिए कि 2b = a + c अर्थात् a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं।
हलः
(b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0
यहाँ a = (b – c), b = (c – a), c = (a – b)
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0
c² + a² – 2ca – – 4(ab – b² – ca + bc) = 0
c² + a² – 2ca – 4ab + 4b² + 4ca – 4bc = 0
c² + a² + 2ca + 4b² – 4ab – 4bc = 0
c² + a² + (- 2b)² + 2ca + 2a(- 2b) + 2(- 2b)c = 0
(c + a – 2b)² = 0
c + a = 2b
या 2b = a + c
अर्थात् a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं। इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
k के किस मान के लिए, द्विघात समीकरण (UPBoardSolutions.com) (3k + 1)x² + 2(k + 1)x + 1 = 0 के मूल बराबर हैं?
हलः
(3k + 1) x² + 2(k + 1)x + 1 = 0
यहाँ a = (3k + 1), b = 2(k + 1), c = 1
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
[2(k + 1)]² – 4(3k + 1) × 1 = 0
4(k + 1)² – 4(3k + 1) = 0
4 [(k + 1)² – (3k + 1)] = 0
k² + 1 + 2k – 3k – 1 = 0
k² – k = 0
k(k – 1) = 0
तब, k = 0 तथा k – 1 = 0 ⇒ k = 1
अत: k = 0, k = 1

प्रश्न 9.
k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए द्विघात समीकरण (UPBoardSolutions.com) (k + 1)x² – 6(k + 1)x + 3(k + 9) = 0, k ≠ – 1 के मूल बराबर हैं तथा मूलों को भी ज्ञात कीजिए।
हलः
(k + 1)x² – 6(k + 1)x + 3(k + 9) = 0 जहाँ k ≠ – 1
यहाँ a = (k + 1), b = – 6(k + 1), c = 3(k + 9)
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं। अतः
∴ b² – 4ac = 0
[- 6(k + 1)]² – 4 × (k + 1) × 3 (k + 9) = 0
36(k + 1)² – 12(k + 1) (k + 9) = 0
12(k + 1)[3 (k + 1) – (k + 9)] = 0
(k + 1)(3k + 3 – k – 9) = 0
(k + 1)(2k – 6) = 0
अतः 2k – 6 = 0 (∵ k≠ – 1)
या 2k = 6
या k = 3
k का मान समीकरण में रखने पर, (3 + 1)x² – 6(3 + 1)x + 3(3 + 9) = 0
4x² – 24x + 3 × 12 = 0
4x² – 24x + 36 = 0
x² – 6x + 9 = 0
(x)² – 2 × 3 × x + (3)² = 0
(x – 3)² = 0
अतः x = 3, 3

प्रश्न 10.
यदि – 5, एक द्विघात समीकरण 2x² + px – 15 = 0 का मूल है और द्विघात समीकरण p(x² + x) + k = 0 के मूल बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
द्विघात समीकरण 2x² + px – 15 = 0 का एक मूल –5 है।
तो x = – 5 रखने पर,
2(- 5)² + p(- 5) – 15 = 0
या 50 – 5p – 15 = 0
35 – 5p = 0 या 35 = 5p
या [latex]\frac{35}{5}[/latex] = p या p = 7
तथा द्विघात समीकरण p(x² + x) (UPBoardSolutions.com) + k = 0
∵ p = 7
∴ 7(x² + x) + k = 0
या 7x² + 7x + k = 0
यहाँ a = 7, b = 7, c = k
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(7)² – 4 × 7 × k = 0
49 – 28k = 0 या – 28k = – 49
28k = 49 या k = [latex]\frac{49}{28}=\frac{7}{4}[/latex]

प्रश्न 11.
यदि समीकरण (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0 के मूल बराबर हैं तो सिद्ध कीजिए कि a = 0 या a³ + b³ + c³ = 3abc
हलः
समीकरण (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0
A = c² – ab, B = -2(a² – bc), C = b² – ac
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ (B)² – 4AC = 0
[- 2(a² – bc)]² – 4(c² – ab)(b² – ac) = 0
4(a² – bc)² – 4(b²c² – ac³ – ab³ + a²bc) = 0
4(a⁴ + b²c² – 2a²bc – b²c² + ac³ + ab³ – a²bc) = 0
a⁴ + ab³ + ac³ – 3a²bc = 0
a(a³ + b³ + c³ – 3abc) = 0
a = 0 तथा a³ + b³ + c³ – 3abc = 0
a³ + b³ + c³ = 3abc
अतः a = 0 या a³ + b³ + c³ = 3abc इति सिद्धम्।(UPBoardSolutions.com)

प्रश्न 12.
यदि समीकरण (a + b)x² – 2(ac + bd) x + (c² + d²) = 0 के मूल बराबर हैं, तो सिद् कीजिए कि [latex]\frac{a}{b}=\frac{c}{d}[/latex]
हलः
समीकरण (a² + b²)x² – 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0
A = a² + b², B = – 2(ac + bd), C = (c² + d²)
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ B² – 4AC = 0
[- 2 (ac + bd)]² – 4(a² + b²)(c² + d²) = 0
4(ac + bd)² – 4(a²c² + a²d² + b²c² + b²d²)= 0
4[a²c² + b²d² + 2acbd – a²c² – a²d² – b²c² – b²d²] = 0
-a²d² – b²c² + 2acbd = 0
– [(ad)² + (bc)² – 2acbd] = 0
(ad – bc)² = 0
ad – bc = 0
ad = bc
[latex]\frac{a}{b}=\frac{c}{d}[/latex] इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.
यदि द्विघात समीकरण 3x² + px – 8 = 0 का एक मूल 2 है और(UPBoardSolutions.com) द्विघात समीकरण 4x² – 2px + k = 0 के मूल बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
द्विघात समीकरण 3x² + px – 8 = 0 का एक मूल 2 है।
तो x = 2 रखने पर,
3(2)² + px2 – 8 = 0
या 3 × 4 + p × 2 – 8 = 0
12 + 2p – 8 = 0
या 4 + 2p = 0
या 2p = – 4 या p = [latex]-\frac{4}{2}[/latex]
p = – 2
तथा द्विघात समीकरण 4x² – 2px + k = 0 में p = – 2 रखने पर,
∴ 4x² – 2( – 2)x + k = 0
या 4x² + 4x + k = 0
यहाँ a = 4, b = 4, c = k
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(4)² – 4 × 4 × k = 0
16 – 16k = 0
या – 16k = – 16
या k = [latex]\frac{16}{16}[/latex] ⇒ k = 1

प्रश्न 14.
यदि समीकरण ax² + 2bx + c = 0 और bx² – 2[latex] \sqrt{{ac}} [/latex] x + b = 0 के मूल साथ – साथ वास्तविक हैं तो सिद्ध कीजिए कि b² = ac अर्थात् a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
हलः
यदि समीकरण ax² + 2bx + c = 0 और bx² – 2[latex] \sqrt{{ac}} [/latex]x + b = 0 के मूल वास्तविक हैं।
(2b)² – 4ac = (- 2[latex] \sqrt{{ac}} [/latex])² – 4b × b
4b² – 4ac = 4ac – 4b²
4b² + 4b² = 4ac + 4ac
8b² = 8ac
b² = ac
अर्थात् a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हैं। इति सिद्धम्।

प्रश्न 15.
यदि समीकरण lx² + nx + n = 0 के मूलों का (UPBoardSolutions.com) अनुपात p : q है तब सिद्ध कीजिए-
[latex]\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{n}{l}}=0[/latex] (UP 2006, 08, 15)
हलः
माना समीकरण lx² + nx + n = 0 के मूल α व β हैं।

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 त्रिभुज

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में ∆ ACB ~ ∆ APQ है यदि BC = 8 सेमी, PQ = 4 सेमी, BA = 6.5 सेमी, AP = 2.8 सेमी है तो CA तथा AQ ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
BC = 8 सेमी PQ = 4 सेमी, (UPBoardSolutions.com) BA = 6.5 सेमी

AP = 2.8 सेमी
दिया है, ∆ACB ~ ∆APQ

⇒ AC = 5.6 cm
तथा AQ = 3.25 cm

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में, QA तथा PB, AB के  लम्बवत् है। यदि AQ = 10 सेमी, BO = 6 सेमी तथा PB = 9 सेमी है तो AQ ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
AO = 10 सेमी
BO = 6 सेमी
PB = 9 सेमी

∵ AQ तथा PB रेखा AB के (UPBoardSolutions.com) लम्बवत् है अत: ∆OAQ तथा ∆OPB समकोणीय त्रिभुज है।
अतः ∆OPB में,
(OP)² = (OB)² + (PB)²
OP² = (6)² + (9)²
OP² = 36 + 81
OP² = 117
OP² = [latex]\sqrt{117}=\sqrt{13 \times 9}[/latex]
= 3[latex] \sqrt{{13}} [/latex] सेमी
∆OAQ तथा ∆OPB समरूप हैं।
[latex]\frac{O A}{O B}=\frac{O Q}{O P}[/latex]
⇒ [latex]\frac{10}{6}=\frac{O Q}{3 \sqrt{13}}[/latex]
⇒ OQ = 5[latex] \sqrt{{13}} [/latex] सेमी
अब ∆OAQ में,

OQ² = OA² + AQ²
⇒ (5[latex] \sqrt{{13}} [/latex])² = 10² + AQ²
⇒ AQ² = 25 × 13 – 100
⇒ AQ² = 325 – 100
⇒ AQ² = 225
⇒ AQ = 15 सेमी

प्रश्न 3.
10 सेमी ऊँची एक ऊर्ध्वाधर छड़ी की छाया 8 सेमी लम्बी बनती है। ठीक उसी समय एक मीनार की छाया 30 सेमी है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
ऊर्ध्वाधर छड़ी की लम्बाई CE = 10 cm जमीन पर 8 cm की छाया बनाती है।
माना कि मीनार की ऊँचाई h (UPBoardSolutions.com) है।
मीनार की छाया की लम्बाई = 30 सेमी

अब ∆ ABD तथा ∆ DEC
में ∠ABD = ∠ECD
∠D = ∠D
तब समरूपता की AA-कसौटी द्वारा
∆ABD ~ ∆ DEC

प्रश्न 4.
एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ a तथा b और कर्ण c हैं। कर्ण पर एक ऊँचाई x है तो सिद्ध कीजिए कि ab = cx
हलः
दिया है, AC = b, BC = a
AB = c और CD = x

∆ABC तथा ∆BCD में
∠BCA = ∠CDB [प्रत्येक कोण = 90°]
और ∠B = ∠B
अतः समरूपता की (UPBoardSolutions.com) AA – कसौटी से,
∆ABC ~ BCD
[latex]\frac{A C}{C D}=\frac{B A}{B C}[/latex]
[latex]\frac{b}{x}=\frac{c}{a}[/latex]
⇒ ab = cx

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में ∠A = ∠CED है तो सिद्ध कीजिए कि ∆CAB ~ ∆CED तथा x का मान भी ज्ञात कीजिए।
हलः

दिया है, ∠A = ∠CED
∆EDC में,
(EC)² = DC² + DE ²
(10)² = 8² + x²
100 = 64 + x²
x² = 100 – 64
x = [latex] \sqrt{{36}} [/latex]
x = 6 सेमी
∆ABC तथा ∆ADE
∠ABC = ∠EDC में
∠ABC = ∠EDC [प्रत्येक कोण = 90°]
तथा ∠C = ∠C
यह समरूपता की (UPBoardSolutions.com) AA-कसौटी का पालन करती है।
∆CAB ~ ∆CED

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में ∠CAB = 90° तथा AD ⊥BC है। यदि AC = 75 सेमी, AB = 1 मी० तथा BD = 1.25 मीटर है तो AD का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

दिया है, AB = 1 मीटर = 100 सेमी
AC = 75 सेमी और BD = 125 सेमी
∆ BAC और ∆ BDA में यहाँ,
∠BAC = ∠ BDA (UPBoardSolutions.com) (समकोण)
और ∠B = ∠B
अतः (AA-समरूपता से)

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में, यदि AB ⊥ BC तथा DE ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC ~ ∆ AED
हल:

∆ ABC तथा ∆ AED में
∠ABC = ∠AED = 90°
∠ BAC = ∠EAD (समान कोण)
= ∠A
अतः समरूपता की AA-कसौटी से,
∆ABC ~∆ AED (UPBoardSolutions.com) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में, यदि ∠A = ∠C है तो सिद्ध कीजिए कि ∆AOB ~ ∆COD
हलः

दिया है,
∠A = ∠C = 90°
तथा ∠1 = ∠2 (शीर्षाभिमुख कोण)
∆ AOB तथा ∆CDO में,

अतः SAS समरूपता द्वारा,
∠A = ∠C
तथा ∠B = ∠D
अतः ∆ AOB ~ ∆CDO (UPBoardSolutions.com) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में, ∠ ABC = 90° तथा BD ⊥ AC है यदि AB = 5.7 सेमी०, BD = 3.8 सेमी० तथा CD = 5.4 सेमी० हो तो BC ज्ञात कीजिए।
हलः

दिया है,
∠ABC = 90°
AB = 5.7 सेमी, BD = 3.8 सेमी
CD = 5.4 सेमी, BC = ?
∵ ∆ABC तथा ∆BDC में यहाँ
∠ABC = ∠CDA (UPBoardSolutions.com) = 90°
और ∠C = ∠C
अतः (AA-समरूपता से)
∆BAC ~ ∆BDA

प्रश्न 10.
∆ ABC तथा ∆ DEF में, यह दिया गया है कि, AB = 5 सेमी०, BC = 4 सेमी०, CA = 4.2 सेमी०, DE = 10 सेमी०, EF = 8 सेमी० तथा FD = 8.4 सेमी० है। यदि AL I BC तथा DM L EF है तो AL:DM ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 11.
दी गई आकृति में, दो त्रिभुज BEP तथा CPD दिये गये हैं तो सिद्ध कीजिए कि
BP × PD = EP × PC
हल:

∆ EPB तथा ∆DPC में,
∠ PEB = ∠ PDC = 90°
∠ EPB = ∠DPC (शीर्षाभिमुख कोण)
इस प्रकार AA-कसौटी की समरूपता से,
∆ EPB ~ ∆DPC
⇒ [latex]\frac{E P}{D P}=\frac{P B}{P C}[/latex]
⇒ BP × DP = EP × PC यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 12.
∆ ABC की भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु P तथा Q हैं। यदि AP = 3 सेमी०, PB = 6 सेमी०, AQ = 5 सेमी० तथा QC = 10 सेमी० है तो सिद्ध कीजिए कि BC = 3PQ
हलः
दिया है,

AP = 3 सेमी, PB = 6 सेमी,
AQ = 5 सेमी, QC = 10 सेमी
∆ ABC में, PQ ||BC (UPBoardSolutions.com)
⇒ [latex]\frac{A B}{A P}=\frac{A Q}{A E}[/latex]
तथा ∠A = ∠A
तब समरूपता की कसौटी (SAS) द्वारा

प्रश्न 13.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा APQ एक सरल रेखा है जो बढ़ाने पर BC से बिन्दु P पर तथा DC से बिन्दु Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि BP व DQ से बना आयत AB व AD से बने आयत के बराबर होता है।
हलः
स्वयं हल (UPBoardSolutions.com) कीजिए।

प्रश्न 14.
एक चतुर्भुज ABCD है। जिसमें AD = BC यदि P, Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD तथा AD के मध्य बिन्दु हैं तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समचतुर्भुज है।
हलः
माना कि एक चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि इसकी भुजाओं AB, BC,CD तथा DA के क्रमशः मध्य-बिन्दु P,Q, R, S हैं तब हमें सिद्ध करना है कि PQRS एक समचतुर्भुज है।
अब AC को मिलाया।
∆ABC में, P तथा Q, AB तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
∵ दिया है
AB = BC
अतः AP = PB = BQ = CQ
PQ || AC …(1)
इसी प्रकार ∆ ACD में, R तथा S क्रमशः CD तथा DA के मध्य-बिन्दु हैं।
तब SR || AC …(2)

समीकरण (1) तथा (2) से यहाँ है
PQ || AC तथा SR || AC
इसलिये PQ || SR (UPBoardSolutions.com)
इसी प्रकार ∆ABD, ∆BCD हैं
PS ||QR
अत: PQRS एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 15.
दी गई आकृति में, ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है तथा AB||DC यदि ∆ AED तथा ∆ BEC समरूप है तो सिद्ध कीजिए कि AD = BC

हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 16.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, AB||DC तथा DC = 2AB, AB के आगे EF दर्शायी गयी है। AD, F द्वारा तथा BC, E द्वारा काटे गये हैं तथा [latex]\frac{B E}{E C}=\frac{3}{4}[/latex] विकर्ण DB, EF को G पर प्रतिच्छेद करता है तो सिद्ध कीजिए कि 7FE = 10AB

हल:
∆DFG तथा ∆ DAB में ज्ञात हैं।
∠1 = ∠2 [∵ AB ||DC ∴ ∠1 तथा ∠2 संगत कोण है।]
∠ FDG = ∠ADB (सर्वनिष्ठ)
अतः समरूपता (UPBoardSolutions.com) की AA-कसौटी से,
∆DFG ~ ∆DAB

प्रश्न 17.
दी गई आकृति में, एक त्रिभुज ABC है जो C पर समकोण है तथा DE ⊥ AB है। तो सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC ~ ∆ ADE तथा AE और DE की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

त्रिभुज ABC तथा ∆ ADE में
∠ACB = ∠ AED = 90°
और ∠BAC = ∠ DAE (UPBoardSolutions.com)
अतः समरूपता की AA-कसौटी से,
∆ABC ~ ∆ ADE

प्रश्न 18.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष D से, एक रेखा खींची गई है जो भुजा BA तथा BC को क्रमशः E तथा F पर प्रतिच्छेद करती है। तो सिद्ध कीजिए कि :

हलः
त्रिभुज EAD तथा ∆ DCF में,
∠1 = ∠2 [∵ AB ||DC ∴ संगत कोण बराबर है।]
∠3 = ∠4 [∵ AD||BC ∴ संगत कोण बराबर है।]
इसलिये समरूपता की (UPBoardSolutions.com) AA-कसौटी द्वारा,
∆ EAD ~ ∆DCF

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 8 Circles Ex 8.2 वृत्त

Ex 8.2 Circles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
दिये गये चित्र में 0 केन्द्र वाले एक वृत्त के  बिन्दु A पर PAQ एक स्पर्शी है तथा ∠BAQ = 60° तब ∠ABC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ACB = ∠BAQ = 60° (एकान्तर वृत्त खण्ड के कोण बराबर होते हैं।)
∠BAC = 90° (UPBoardSolutions.com) (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°
∴ ∠ABC = 180° – (∠ACB + ∠BAC)
= 180° – (60° + 90° )
= 180° -150°
= 30°

प्रश्न 2.
दिये गये चित्र में, O केन्द्र वाले वृत्त के किसी बिन्दु P पर TPT’ एक स्पर्शी है। यदि ∠ APT = 65° तथा ∠ POA = x° हो तो x का मान क्या होगा?
हलः
वृत्त की परिधि पर एक बिन्दु M लिया। A को (UPBoardSolutions.com) M से तथा P को M से मिलाया।

∴ ∠ AMP = ∠APT = 65° (एकान्तर वृत्त खण्ड के कोण)
∠POA = x
2 × ∠AMP
= 2 × 65°
= 130°

प्रश्न 3.
दिये गये चित्र में ∠AOB = 108° तथा AT वृत्त के बिन्दु A पर स्पर्शी है तथा AB एक जीवा है। तब ∠ BAT का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ ∠AOB = 2 × ∠APB
एक ही वृत्तखण्ड द्वारा वृत्त के केन्द्र पर बना कोण उसी वृत्तखण्ड द्वारा परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।

∠APB = [latex]\frac{\angle A O B}{2}[/latex]
= [latex]\frac{108^{\circ}}{2}[/latex]
= 54°
∠BAT = ∠ APB = 54° (UPBoardSolutions.com) [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण]

प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त के बिन्दु P से स्पर्श रेखा PQ पर एक बिन्दु Q इस प्रकार है कि PQ = 4 सेमी तथा ∠PQO = 45°। तब वृत्त की त्रिज्या की माप ज्ञात कीजिए।
हलः
O से बिन्दु P को मिलाया।
∵ वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

∠OPQ = 90°
∠PQO + ∠OPQ + ∠ POQ = 180°
∴ ∠POQ = 180° – (90° + 45°)
= 180° -135°
= 45°
∵ ∠PQO = ∠POQ = 45°
∴ PQ = PO = 4 सेमी

प्रश्न 5.
दिये गये चित्र में, PQ बिन्दु K पर स्पर्शी है। यदि ∠N वृत्त का व्यास है तथा ∠ KLN = 30° तब ∠ PKL का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

∆KLN में, ∠LKN = 90° (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
∠ LNK = 180° – (∠ LKN + ∠ KLN)
= 180° – (90°+ 30°)
= 180° – 120°
= 60°
∠PKL = ∠ LNK = 60° [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं।]

प्रश्न 6.
दिये गये चित्र में AOB, O केन्द्र वाले वृत्त का व्यास है। तथा ∠ ADC = 125° तब ∠ BAC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।

∠ABC + ∠ADC = 180°
∠ABC +125° = 180°
∠ABC = 180°-125°
∠ABC = 550
तथा ∠ACB = 90° (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
∴ ∆ ABC में,
∠ABC + ∠ACB + ∠ BAC = 180°
∠ BAC = 180° – (55° + 90° )
= 180° – 145°
= 35°

प्रश्न 7.
दिये गये चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र है तथा वृत्त के बिन्दु P पर T’PT एक स्पर्शी है। इसके अन्दर एक ∆ ABP खींचा गया है। यदि ∠ BPT = 60° तब ∠ BAP का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∠BAP = ∠ BPT = 60° [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]

प्रश्न 8.
दिये गये चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। वृत्त के एक बिन्दु B पर PBQ एक स्पर्शी है। यदि ∠DBP = 65° तब ∠ BCD का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∠BAD = ∠DBP = 65° [एकान्तर (UPBoardSolutions.com) वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं ]

∵ ABCD चक्रीय चतुर्भुज में,
∠BCD + ∠BAD = 180°
∠BCD + 65° = 180°
∠BCD = 180°- 65°
= 115°

प्रश्न 9.
दिये गये चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। बिन्दु A व C पर खींची गई स्पर्शी एक-दूसरे से बिन्दु P पर मिलती हैं। यदि । ∠ABC = 100° तब ∠ APC का मान ज्ञात कीजिए।

हलः
O को A तथा C से मिलाया।
∠OCP = ∠OAP = 90° [त्रिज्या का स्पर्श रेखा के साथ बना कोण ]
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°
∠ADC = 180° – 100°
= 80°
लघु ∠AOC = 2 × ∠ADC
= 2 × 80°
= 160° [ केन्द्र पर बना कोण वृत्त की परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।]
∴ चतुर्भुज APCO में,
∠OCP + ∠ APC + ∠OAP + लघु ∠AOC = 360°
90°+ ∠ APC + 90° + 160° = 360°
∠APC + 340° = 360°
∠APC = 360° – 340°
= 20°

प्रश्न 10.
वृत्त के बाहर एक बिन्दु P से वृत्त पर दो स्पर्शियाँ PA व PC खींची गयी हैं। इनके बीच का कोण θ है। बिन्दु C से PA के समान्तर एक जीवा CB खींची जाती है। तब ∠ BAC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ PA||CB तथा PM तिर्यक रेखा काटती है।
∴ ∠ MCB = ∠CPA = θ (UPBoardSolutions.com) (संगत कोण)
∠BAC = ∠ MCB = θ (एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण)

प्रश्न 11.
दिये गये चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त के बाहर एक बिन्दु T से वृत्त पर दो स्पर्शी TP व TQ खींची गयी हैं। यहाँ स्पर्श जीवा वृत्त के शेष भाग से ∠ PAQ = 70° बनाती है। तब दोनों स्पर्शियों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ PAQ = ∠PQT = 70° [ एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]
∵ TP = TQ
∴ ∠PQT = ∠QPT = 70°
∆ PQT में, ∠ PTQ = 180° – (70° + 70°)
= 180°- 140°
= 40°

Ex 8.2 Circles लघु उत्तरीय प्रश्न-1(Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 12.
दिये गये चित्र में, एक रेखा PAT वृत्त को बिन्दु A पर स्पर्श करती है। यदि ∠PAC = 40° तथा ∠BAT = 55° तब ∠CAB का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∠CAB = 180° – (∠CAP + ∠BAT)
= 180° – (40° + 55°)
= 180°- 95°
= 85°

प्रश्न 13.
दिये गये चित्र में रेखा PAT वृत्त को बिन्दु A पर स्पर्श करती है। बिन्दु A से एक जीवा AB इस प्रकार खींची जाती है जो रेखा PAT से 46° का कोण बनाती है। ∠ ACB, रेखाखण्ड ACB में कोण है। ∠ACB की माप ज्ञात कीजिए।
हलः

वृत्त की परिधि पर एक बिन्दु M लिया। M को A तथा B से मिलाया।
∠AMB = ∠ BAT = 46° (UPBoardSolutions.com) [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]
∵ AMBC एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠AMB + ∠ ACB = 180°
46°+ ∠ACB = 180°
∠ACB = 180° – 46° = 134°

प्रश्न 14.
दिये गये चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त के बिन्दु P पर एक स्पर्शी T’PT खींची जाती है। जो कि केन्द्र पर ∠ POQ बनाती है। यदि ∠QPT = α तब ∠ POQ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ ∠OPT = 90° [त्रिज्या का स्पर्श रेखा के साथ कोण ]
∠OPQ = 90° – α
∠OQP = ∠OPQ = 90° – α
∠OQP = ∠OPQ = 90° – α [∆OPQ में, OP = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)]
∆OPQ में, OP = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∆OPQ में, ∠POQ = 180° – (∠OPQ + ∠OQP)
= 180° – (90° – α + 90° – a)
= 180° – (180° – 2α)
= 180° – 180° + 2α
= 2α

प्रश्न 15.
दिये गये चित्र में, PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है। वृत्त के एक बिन्दु Q पर एक स्पर्शी AQT खींची जाती है। यदि ∠ SQA = 65° तब ∠QRS की माप ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ SPQ = ∠ SQA = 65° (एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण)
∵ PQRS एक चक्रीय (UPBoardSolutions.com) चतुर्भुज है।
∠ SPQ + ∠ SRQ = 180°
65°+ ∠SRQ = 180°
∠SRQ = 180° – 65°
∠SRQ = 115°

प्रश्न 16.
दिये गये चित्र में, वृत्त के बिन्दु A पर PAT एक स्पर्शी है। BC वृत्त का व्यास P है तथा ∠ ABC = 30° तब ∠ PAB व ∠ TAC के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ ABC में,

∠ BAC = 90° [अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।]
∠ ACB = 180° – (30° + 90°)
= 180° – 120° = 60°
∴ ∠ PAB = ∠ ACB = 60° (एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण)
∠ TAC = ∠ABC = 30° (एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण)

Ex 8.2 Circles लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 17.
दिये गये चित्र में ∆ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है तथा AB = AC सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC के परिवृत्त के बिन्दु A पर खींची गई स्पर्शी BC के समान्तर होगी।
हलः
ज्ञात हैः

∆ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC तथा उसका परिवृत्त खींचा गया है। उसके बिन्दु A पर परिवृत्त की स्पर्श रेखा PAQ खींची गयी है।
सिद्ध करना है: PQ || BC
उपपत्तिः समद्विबाहु ∆ ABC में,
AB = AC
∠ ABC = ∠ ACB …(1)
∠ PAB = ∠ ACB …(2) (UPBoardSolutions.com) [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण]
समीकरण (1) व (2) से,
∠ PAB = ∠ABC …(3)
इसी प्रकार ∠QAC = ∠ ACB
परन्तु समीकरण (3) व (4) संगत कोण हैं तथा बराबर हैं। परन्तु यह तभी सम्भव है
जब PQ||BC इति सिद्धम्

प्रश्न 18.
दिये गये चित्र में, AB वृत्त का व्यास तथा AC वृत्त की जीवा है तथा ∠ BAC = 30° है। बिन्दु C पर स्पर्शी AB को बढ़ाने पर मिले बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि BC = BD
हलः
ज्ञात है: AB वृत्त का व्यास तथा AC वृत्त की जीवा है। ∠ BAC = 30° तथा C पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है।

सिद्ध करना है: BC = BD
उपपत्तिः ∆BCD में, ∠CBD = 30° + 90° = 120° [∆ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।]
∠BCD = ∠CAB = 30° [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]
अब ∆ BCD में,
∠BDC = 180° – (∠ BCD + ∠CBD)
= 180° – (30° + 120°)
= 180° – 150° = 30°
∴ ∆BCD संमद्विबाहु त्रिभुज होगा जिसमें BC = BD होगी। इति सिद्धम्

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त की जीवा के शीर्षों पर खींची गई स्पर्शी, जीवा से समान कोण बनाती है।
हलः
दिया हैः O केन्द्र वाला वृत्त तथा जीवा MN जिसके बिन्दु M व N पर दो स्पर्श रेखायें खींची गई हैं।

सिद्ध करना है: ∠ PMN = ∠ MNR
तथा ∠QMN = ∠ SNM
रचनाः वृत्त की परिधि पर दो बिन्दु T व S लिये तथा M,N को T तथा M,N को S से भी मिलाया।
उपपत्तिः ∠ PMN = ∠ MSN …(1)
तथा ∠RNM = ∠MSN …(2) [ एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]
समीकरण (1) व (2) की तुलना करने पर
∠PMN = ∠RNM
इसी प्रकार (UPBoardSolutions.com) ∠QMN = ∠MTN …(3) [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण]
∠ SNM = ∠ MTN …(4)
समीकरण (3) व (4) की तुलना करने पर
∠QMN = ∠ SNM
इस प्रकार प्रत्येक जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखायें जीवा पर समान कोण बनायेंगी। इति सिद्धम्

प्रश्न 20.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है और TPQ इसकी स्पर्श रेखा है। यदि ∠RPQ = 60° है तो ∠POR का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ ∠OPQ = 90° [त्रिज्या का स्पर्श रेखा के साथ कोण ]
∠OPR = 90° – 60°
⇒ ∠OPR = 30°
∠ORP = ∠OPQ = 30° [∆OPQ में, OP = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)]
∆OPQ में, ∠ POR = 180° – (∠OPR + ∠ORP)
= 180 – (30° + 30°)
= 180°- 600
= 120°

प्रश्न 21.
वृत्त के केन्द्र से 5 सेमी दूरी पर स्थित एक बिन्दु A से स्पर्शी की लम्बाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ वृत्त की स्पर्शी, वृत्त (UPBoardSolutions.com) के स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या के लम्बवत् है।

∴ ∠OTA = 90°
∴ ∆OTA में, OA² = OT² + AT²
(5)² = OT² + (4)²
25 – 16 = OT²
OT² = 9
OT = 3 सेमी
अतः वृत्त की त्रिज्या = 3 सेमी

प्रश्न 22.
संलग्न चित्र में, 3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के परिगत एक ∆ ABC इस प्रकार है कि रेखाखण्ड BD व DC की लम्बाई क्रमशः 6 व 9 सेमी हैं। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 54 सेमी² है, तो AB व AC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 23.
O केन्द्र वाले वृत्त पर एक बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्शी PA व PB खींची गयी हैं। यदि ∠ PAB = 50° तब ∠AOB का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

दिया है, बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्शी PA तथा PB हैं
तथा ∠ PAB = 50°, ∠AOB = ?
∵ PA ⊥ OA ⇒ ∠OAP = 90°
तथा PB ⊥ OB ⇒ ∠OBP = 90°
∵ बाह्य बिन्दु से वृत्त के केन्द्र पर (UPBoardSolutions.com) बने कोण बिन्दु पर बने कोण का दोगुना होता है।
अतः ∠AOB = 2 × ∠APB
= 2 × 50 = 100°

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 8 Circles Ex 8.1 वृत्त

Ex 8.1 Circles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
6 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के केन्द्र से 8 सेमी दूर स्थित एक बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

∆OPQ में, (PQ)² = (OQ)² + (OP)²
(PQ)² = (6)² + (8)²
= 36 + 64
= 100
PQ = [latex] \sqrt{{100}} [/latex] (UPBoardSolutions.com) = 10 सेमी

प्रश्न 2.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। जिसकी दो जीवाएँ AB व CD परस्पर बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि CE = 4 सेमी तथा ED = 2 सेमी है तब AE EB का मान ज्ञात कीजिए
हलः

AE · EB = CE · ED
= 4 × 2 (UPBoardSolutions.com)
= 8 सेमी²

प्रश्न 3.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। जिसकी दो जीवाएँ AB व CD परस्पर बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि CE = 4 सेमी तथा ED = 6 सेमी है तब AE व EB आसन्न भुजाओं वाले आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

AE · EB = CE · ED
= 4 × 6 (UPBoardSolutions.com)
= 24 सेमी²

प्रश्न 4.
चित्र में PT एक स्पर्शी है। यदि PT = 12 सेमी तथा PB = 8 सेमी तब जीवा AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

AP · BP = PT²
AP·8 = (12)²
AP = [latex]\frac{144}{8}[/latex] (UPBoardSolutions.com) = 18 सेमी
जीवा AB = AP – BP
= 18 – 8
= 10 सेमी

प्रश्न 5.
चित्र में, PAB वृत्त की एक छेदक रेखा है तथा PT वृत्त की स्पर्शी है। यदि PA = 5 सेमी, AB = 15 सेमी तब PT की लम्बाई क्या होगी?
हलः

PA · PB = (PT)²
5·20 = (PT)² (UPBoardSolutions.com) (∵ PB = PA + AB)
PT = [latex] \sqrt{{100}} [/latex] = 10 सेमी

Ex 8.1 Circles लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-1)

प्रश्न 6.
एक बिन्दु A, वृत्त के केन्द्र से 26 सेमी दूर है तथा A से वृत्त पर स्पर्शी की लम्बाई 24 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ वृत्त की त्रिज्या, स्पर्श बिन्दु P पर (UPBoardSolutions.com) स्पर्श रेखा के साथ 90° का कोण बनाती है।
∴ समकोण ∆OPA में,

(OA)² = (OP)² + (PA)²
(26) = (OP)² + (24)²
676 = (OP)² + 576
676 – 576 = (OP)²
(OP)² = 100
OP = [latex] \sqrt{{100}} [/latex] = 10 सेमी
∴ वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है।

प्रश्न 7.
चित्र में PT, O केन्द्र वाले वृत्त की स्पर्शी है। यदि OP = 17 सेमी तथा OT = 8 सेमी तब स्पर्शी PT की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

OP = 17 सेमी तथा OT = 8 सेमी
∵ वृत्त की त्रिज्या OT (UPBoardSolutions.com) स्पर्श रेखा TP के बिन्दु T पर लम्ब है।
∴ समकोण ∆OTP में,
(OP)² = (OT)² + (TP)²
(17)² = (8)² + (TP)²
289 = 64 + (TP)²
289 – 64 = (TP)²
225 = (TP)²
∴ TP = [latex] \sqrt{{1225}} [/latex] = 15 सेमी
∴ स्पर्श रेखा की लम्बाई = 15 सेमी

प्रश्न 8.
चित्र में O वृत्त का केन्द्र है तथा इसकी त्रिज्या 1.5 सेमी है। बिन्दु P, O से 3.9 सेमी दूरी पर है। बिन्दु P से वृत्त पर स्पर्शी PT है। PT की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

∠OTP = 90° 1 (UPBoardSolutions.com) [वृत्त की त्रिज्या तथा स्पर्श रेखा के बीच का कोण ]
समकोण ∆OTP में,
(OP)² = (OT )² + (TP)²
(3.9)² = (1.5)² + (TP)²
15.21 = 2.25 + (TP)²
15.21 – 2.25 = (TP)²
12.96 = (TP)²
∴ TP = [latex] \sqrt{{12.96}} [/latex] = 3.6 सेमी

प्रश्न 9.
चित्र में यदि AP = 8 सेमी, CP = 6 सेमी तथा PD = 4 सेमी है तब AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ AP · PB = CP · PD
8 × PB = 6 × 4
PB = [latex]\frac{6 \times 4}{8}[/latex] = 3 सेमी
∴ जीवा AB = AP + (UPBoardSolutions.com) PB = 8 + 3 = 11 सेमी

प्रश्न 10.
निम्न प्रत्येक चित्र में x के मान ज्ञात कीजिए-

हलः
(i) AE·EB = CE · ED (∵ AE = x, EB = 2.5 सेमी, CE = 3 सेमी, ED = 5 सेमी)
x × 2.5 = 3 × 5
x = [latex]\frac{3 \times 5}{2.5}[/latex]= 6 सेमी

(ii) PA · PB = PC · PD
7 × 16 = 6 × (6 + x) (UPBoardSolutions.com) [∵ PB = 9 + 7 = 16 व PD = (6 + x)]
112 = 6(6 + x)
[latex]\frac{112}{6}[/latex] = (6 + x) या 18.67 = 6 + x
या x = 18.67 – 6 = 12.67 सेमी

प्रश्न 11.
चित्र में किसी वृत्त के बिन्दु T पर स्पर्शी PT है तथा PAB वृत्त की एक छेदक रेखा है। यदि PA = 9 सेमी तथा AB = 7 सेमी तब PT की माप ज्ञात कीजिए।
हल:

∵ PA = 9 सेमी
PB = PA + AB
= 9 + 7 = 16 सेमी
PA · PB = (PT)²
9 × 16 = (PT)²
144 = (PT)²
∴ PT = [latex] \sqrt{{144}} [/latex] = 12 सेमी

Ex 8.1 Circles लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 12.
चित्र में PA व PB स्पर्शी इस प्रकार हैं कि PA = 9 सेमी तथा ∠ APB = 60° है तब जीवा AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ किसी बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखायें

PA = PB = 9 सेमी
∴ ∠ PAB = ∠ PBA
∵ ∠PAB + ∠ PBA + ∠APB = 180°
2∠PBA + LAPB = 180°
2∠PBA + 60° = 180°
2∠PBA = (UPBoardSolutions.com) 120°
⇒ ∠PBA = 60°
∴ ∠PAB = 60°
∴ ∆ PAB एक समबाहु A है।
PA = PB = AB = 9 सेमी

प्रश्न 13.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। बिन्दु से वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्शी PQ इस प्रकार है कि PQ = 4 सेमी तथा ∠PQO = 45°। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:

∵ वृत्त की त्रिज्या, स्पर्श रेखा के बिन्दु P पर लम्बवत् होगी।
∴ ∠OPQ = 90°
∠PQO = 45°
∆OPQ में, ∠POQ = 180° – (90° +45°)
= 180° -135°
= 45°
∴ समद्विबाहु ∆OPQ में,
PQ = PO = 4 सेमी
∴ वृत्त की त्रिज्या OP = 4 सेमी

प्रश्न 14.
O केन्द्र वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाखण्ड BC व BD इस प्रकार हैं कि ∠CBD = 120° है। सिद्ध कीजिए कि OB = 2BC
हलः

चतुर्भुज BCOD में,
∠BCO = ∠BDO = 90° (वृत्त की त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण)
∠CBD + ∠COD = 180°
120° + ∠COD (UPBoardSolutions.com) = 180°
∠COD = 180° – 120° = 60°

प्रश्न 15.
∆ ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें BC = 6 सेमी तथा AB = 8 सेमी है। ∆ ABC के अन्तर्गत एक 0 केन्द्र तथा x त्रिज्या का वृत्त है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

BMON एक वर्ग होगा, क्योंकि
∠ABC = 90°
∠BNO = ∠BMO = 90° [त्रिज्या तथा स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण]
शेष ∠MBN = ∠MON = 90° (UPBoardSolutions.com) [चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है व ∠ABC = 90° (दिया है)]
∴ BMON एक वर्ग है।
माना MB = BN = a
AN = AT = b
CM – CT = c
समकोण त्रिभुज में,

∴ वर्ग BMON की भुजा a = x = 2 सेमी

प्रश्न 16.
एक चतुर्भुज ABCD के अन्दर एक वृत्त इस प्रकार है कि BC = 38 सेमी, BQ = 27 सेमी, DC = 25 सेमी तथा AD, DC पर लम्ब है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः

∠PDS = 90°
∠OPD = ∠OSD = 90° [स्पर्श रेखा तथा त्रिज्या के बीच का कोण]
∠ PDS + ∠OPD + ∠OSD + ∠POS = 360°
∠POS = 360° – (UPBoardSolutions.com) (90° +90° + 90°)
= 360°- 270° = 90°
∴ POSD एक वर्ग है।
माना DS = DP = x
SC = CR = y
BQ = BR = 27 [ एक ही बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ]
∴ y = BC – BR
= 38 – 27
= 11
DC = x + y = 25
y का मान रखने पर x +11 = 25
x = 25 – 11
= 14 सेमी
अतः DS = DP = OP = OS एक वर्ग की भुजाएँ हैं।
∴ वृत्त की त्रिज्या = 14 सेमी

प्रश्न 17.
एक वृत्त, त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC व CA को क्रमशः बिन्दु P,Q व R पर अन्तः स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि AP + BQ + CR = PB +QC + RA = [latex]\frac{1}{2}[/latex] (∆ ABC का परिमाप)
हलः
दिया है: ∆ ABC में, अन्तः वृत्त का केन्द्र O है। जो त्रिभुज की भुजाओं AB, BC तथा CA को क्रमशः P, Q तथा R पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है: AP + BQ + CR = PB + QC + RA = [latex]\frac{1}{2}[/latex] (∆ ABC का परिमाप)

उपपत्तिः ∵ किसी (UPBoardSolutions.com) बिन्दु से वृत्त पर खींची दोनों स्पर्शियाँ बराबर होती हैं।
∴ AP = AR …(1)
BQ = BP …(2)
CR = CQ …(3)
समीकरण (1), (2) व (3) को जोड़ने पर
AP + BQ + CR = AR + PB + QC
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][AB + BC + CA)

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