Class 10

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.4 त्रिभुज

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज की निम्न भुजाएँ दी गई हैं। ज्ञात कीजिए कि यह त्रिभुज समकोण है या नहीं? a = 6 सेमी, b = 8 सेमी, c = 10 सेमी
हल:
a = 6 सेमी, b = 8 सेमी, c = 10 सेमी
a² + b² = (6)² + (UPBoardSolutions.com) (8)² = 36 + 64
= 100 = c²
∴ a² + b² = c²
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिया गया त्रिभुज समकोण है।

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं की लम्बाई AB = 9 सेमी, BC = 40 सेमी तथा AC = 41 सेमी है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है।
हल:
∆ ABC में, AB = 9 सेमी
BC = 40 सेमी, AC = 41 सेमी
(AB)² + (BC)² = (9)² + (40)² = 81 +1600 = 1681
= (AC)²
⇒ (AB)² + (BC)² = (AC)²
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ∆ ABC समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार है कि AB = AC = 13 सेमी, BC पर A की ऊँचाई की लम्बाई 5 सेमी है तो BC ज्ञात कीजिए।
हलः
समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, AB = 13 सेमी
AC = (UPBoardSolutions.com) 13 सेमी
AD = 5 सेमी
AD ⊥ BC

हमें BC ज्ञात करना है।
∆ ABD में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
AB² = AD² + BD²
132 = 5² + BD²
BD² = 169 – 25 = 144
BD = 12 सेमी
∆ ADC में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
AC² = AD² + DC²
132 = 52 + DC²
DC² = 169 – 25 = 144
DC = 12 सेमी
BC = BD + DC
BC = 12 + 12 = 24 सेमी

प्रश्न 4.
एक समचतुर्भुज की भुजा 10 सेमी है। इसके एक विकर्ण की लम्बाई 12 सेमी है तो इसके दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ABCD एक समचतुर्भुज है।
AB = BC = CD = DA = 10 सेमी
विकर्ण BD = 12 सेमी
हमें विकर्ण AC की लम्बाई ज्ञात करनी है।
चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते  है तो विकर्ण AC और BD बिन्दु E पर समकोण पर समद्विभाजित करेंगे।

BE = ED = [latex]\frac{B D}{2}=\frac{12}{2}[/latex] = 6 सेमी
∆ AEB में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
AB² = AE² + BE²
10² = AE²  + 6² (BE = 6 सेमी)
100 – 36 = AE²
AE² = 64 (UPBoardSolutions.com)
AE = 8 सेमी
∆ BEC में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
BC² = BE² + EC²
10² = 6² + EC²
100 -36 = EC²
EC² = 64
EC = 8 सेमी
विकर्ण AC = AE + EC
= 8 + 8 = 16 सेमी

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज का कर्ण, उसकी छोटी भुजा के दोगुने से 6 मीटर अधिक है। यदि तीसरी भुजा कर्ण से 2 मीटर कम है। तो त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ∆ ABC, B पर समकोण है
दिया है, AC = (2AB +6) मीटर
BC = (AC – 2) मीटर …(1)
हमें त्रिभुज की भुजा AB, BC और AC ज्ञात करनी है।
दिया है AC = 2AB +6
[latex]\frac{(A C-6)}{2}[/latex] = AB
∆ ABC में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AC² = AB² + BC²

4AC² = 5AC² – 28AC + 52
AC² – 28AC + 52 = 0
AC² – (26 +2)AC + 52 = 0
AC² – 26AC – 2AC + 52 = 0
AC(AC – 26) -2(AC – 26) = 0
(AC – 26)(AC – 2) = 0
AC – 26 = 0
AC = 26 मीटर
AC = 26, समी० (UPBoardSolutions.com) (1) में रखने पर,
BC = AC – 2 = 26 – 2 = 24 मीटर
AC = 26, समी० (2) में रखने पर,
AB = [latex]\frac{A C-6}{2}=\frac{26-6}{2}=\frac{20}{2}[/latex]
AB = 10 मीटर
AB = 10 मीटर, BC = 24 मीटर, AC = 26 मीटर

प्रश्न 6.
एक 15 मीटर लम्बी सीढ़ी एक गली में सतह से 9 मीटर ऊँची खिड़की पर लगी है। यदि इसके पाद को उसी स्थान पर रखकर, सीढ़ी गली के दूसरी ओर 12 मीटर ऊँची खिड़की पर पहुँचती है। गली की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना खिड़की की ऊँचाई गली के दोनों और क्रमशः AB = 9 मीटर और ED = 12 मीटर हैं।
सीड़ी की लम्बाई AC = EC = 15 मीटर
हमें गली की चौड़ाई BD ज्ञात करनी है।

∆ ABC में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
AC² = AB² + BC²
15² = 9² + BC²
BC² = 225 – 81 = 144
BC = 12 मीटर
अब ∆ EDC में (UPBoardSolutions.com) पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
EC² = ED² + CD²
15² = 12² + CD²
CD² = 225 – 144 = 81
CD = 9 मीटर
गली की चौड़ाई BD = BC +CD
= 12 + 9 = 21 मीटर

प्रश्न 7.
एक खेल के मैदान पर ऊर्ध्वाधर खड़े दो खम्भों की ऊँचाई 9 मीटर तथा 14 मीटर है यदि उनके पादों के बीच की दूरी 12 मीटर है तो उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः

माना AB और CD दो खम्भे हैं।
दिया है, AB = 9 मीटर
CD = 14 मीटर
BC = 12 मीटर
हमें शीर्षों के बीच की दूरी AD ज्ञात करनी है।
12 मीटर शीर्ष A से CD पर E बिन्दु पर लम्ब AE डाला गया।
AE = BC = 12 मीटर
EC = AB = 9 मीटर
DE = CD – EC
DE = 14 – 9 = 5 मीटर
अब ∆ AED में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AD² = AE² + ED²
AD² = 12² + 5²
AD² = 144 + 25 = 169
AD = 13 मीटर

प्रश्न 8.
∆ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका ∠C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2 AC² (NCERT)
हल:
∆ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है।

∠C = 90°
AC = BC
∆ ABC में पाइथागोरस (UPBoardSolutions.com) प्रमेय द्वारा
AB² = AC² + BC²
AB² = AC² + AC² (∵ BC = AC)
AB² = 2AC²

प्रश्न 9.
एक ∆ ABC का ∠B समकोण है तथा भुजाओं AB और AC के मध्य बिन्दु क्रमशः L और M हैं तो सिद्ध कीजिए कि 4LC² = AB² + 4 BC²
हल:

∆ LCB में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
LC² = LB² + BC²
दोनों और 4 से गुणा करने पर
4LC² = 4LB² + 4BC²
4LC² = (2LB)² + 4BC²
4LC² = (AB)² + 4BC² (∵ AB = 2LB)

प्रश्न 10.
एक समबाहु ∆ ABC में, BC के बिन्दु D पर मिलने वाला लम्ब AD डाला गया है। सिद्ध कीजिए कि AD² = 3BD²
हल:

∆ ABC समबाहु है
AB = BC = AC
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∆ ADB तथा (UPBoardSolutions.com) ∆ADC में,
AB = AC (दिया है)
∠B = ∠C (60°)
∠ADB = ∠ADC (90°)
∴ ∆ ADB ≅ ∆ ADC
⇒ इसलिए BD = DC
⇒ BD = DC = [latex]\frac{1}{2}[/latex] BC
∆ ADB में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
AB² = AD² + BD²
BC² = AD² + BD²
(2BD)² = AD² + BD² (∵ BC = 2BD)
4 BD² = AD² + BD²
AD² = 4 BD² – BD²
AD² = 3 BD²

प्रश्न 11.
2a इकाई का एक समबाहु त्रिभुज है। इसकी प्रत्येक ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

माना, ∆ ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
AD ऊँचाई BC पर
BE ऊँचाई AC पर
CF ऊँचाई AB पर
दिया है, AB = BC = CA = 2a
हमें ऊँचाई AD, BE, CF ज्ञात करनी है।
∆ ADB तथा ∆ ADC में,
AB = AC (समबाहु A) (UPBoardSolutions.com)
∠B = LC (प्रत्येक 60°)
∠ ADB = ∠ ADC (प्रत्येक 90°)
∴ ∆ ADB ≅ ∆ ADC
इसलिए BD = DC
इसी प्रकार AE = EC और AF = FB

∆ ADB में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AB² = AD² + DB²
(2a)² = AD² + a²
AD² = 4a² – a² = 3a²
ऊँचाई AD = a[latex] \sqrt{{3}} [/latex] इकाई
इसी प्रकार BE = CF = a[latex] \sqrt{{3}} [/latex] इकाई

प्रश्न 12.
∆ ABC का ∆C समकोण है तथा भुजाओं CA और CB के मध्य बिन्दु क्रमशः P और Q हैं तो सिद्ध कीजिए कि 4(AQ² + BP²) = 5AB² (NCERT)
हलः

दिया है, ∆ ABC में,
∆C = 90°
P और Q क्रमशः CA और CB मध्य बिन्दु हैं
CP = PA
और CQ = QB
हमें सिद्ध करना है 4(AQ² + BP²) = 5AB²
∆AQC में पाइथागोरस (UPBoardSolutions.com) प्रमेय द्वारा,
AQ² = AC² + CQ
⇒ 4AQ² = 4AC² + 4CQ
4AQ² = 4AC² + (2CQ²
4AQ² = 4AC² + CB² (CB = 2CQ)
⇒ 4AQ² = 4AC² + CB²  …(1)
अब ∆ PCB में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
BP² = PC² + CB²
⇒ 4BP² = 4PC² + 4CB²
⇒ 4BP² = (2PC)² + 4CB²
⇒ 4BP² = AC² +4CB² …(2) (2PC = AC)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
4AQ² + 4BP² = 4AC² + CB² + AC² + 4CB²
4(AQ² + BP²) = 5(AC² + CB)
4(AQ² + BP²) = 5AB² (∵ AB² = AC² + BC²)

प्रश्न 13.
एक समद्विबाहु ∆ ABC में, AB = AC तथा BD, B से भुजा AC के लम्बवत् है तो सिद्ध कीजिए कि BD² – CD ² = 2 CD AD
हलः
दिया है, ∆ ABC में,
AB = AC

BD ⊥ AC
सिद्ध करना है
BD² – CD²2 = 2CD · AD
∆ ABD में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
AB² = AD² + BD²
⇒ BD² = AB² – AD
⇒ BD² = AC² – AD² (∵ AB = AC)
⇒ BD² = (CD + AD)² – (UPBoardSolutions.com) AD² (∴ AC = CD + AD)
⇒ BD² = CD² + AD² + 2CD × AD – AD² [(a + b)² = a² + b² +2ab]
⇒ BD² = CD² + 2CD – AD
⇒ BD² – CD² = 2CD·AD

प्रश्न 14.
एक ∆ ABC में, कोण B तथा कोण C न्यून कोण हैं। यदि AC तथा AB पर क्रमशः लम्ब BE तथा CF खींचे गये हैं तो सिद्ध कीजिए कि BC² = AB × BF + AC × CE
हल:
∆ ABC में दिया है
∠B और ∠C न्यून कोण हैं

BE ⊥ AC
CF ⊥ AB
हमें सिद्ध करना है, BC² = AB × BF + AC × CE
∆ ABC में ऊँचाई BE के साथ
चूँकि ∠C न्यून कोण है ।
इसलिए, AB² = BC² + AC² – 2AC · CE …(1)
अब ∆ ABC में ऊँचाई CF के साथ
चूँकि ∠B न्यून कोण है ।
इसलिए, AC² = BC² + AB² – 2AB · BF …(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर
AB² + AC² = BC² + BC² + AC² + AB² – 2AC · CE – 2AB · BF
-2BC² = -2(AB · BF + AC · CE)
⇒ BC² = AB × BF + AC × CE

प्रश्न 15.
एक समकोण त्रिभुज ABC में, ∠C समकोण है तथा AC = [latex] \sqrt{{3}} [/latex] · BC हो तो सिद्ध कीजिए कि, ∠ABC = 60°
हल:
∆ABC में दिया है, ∠C = 90°
AC = [latex] \sqrt{{3}} [/latex]BC

[latex]\frac{A C}{B C}=\sqrt{3}[/latex]
सिद्ध करना है (UPBoardSolutions.com) ∠ABC = 60°
∆ ABC में, tan B = [latex]\frac{A C}{B C}[/latex]
tan B = 13
tanB = tan60°
∴ B = 60°
अतः ∠ABC = 60°

प्रश्न 16.
∆ PQR में, QM ⊥ PR तथा PR² – PQ² = QR² है तो सिद्ध कीजिए कि QM² = PM × MR (NCERT)
हल:

∆ PQR में, दिया है QM ² PR
PR² – PQ² = QR²
हमें सिद्ध करना है-
QM² = PM × MR
चूँकि दिया है PR² – PQ² = QR²
⇒ (PM + MR)² – (QM² + PM²) = (QM² + MR²
(∵ PR = PM + MR, ∆PQM में PQ² = QM² + PM², ∆QMR में, QR² = QM² + MR²)
⇒ PM² + MR² + 2PM · MR (UPBoardSolutions.com) – QM² – PM² = QM² + MR 2
⇒ 2QM² = 2PM – MR
⇒ QM² = PM × MR

प्रश्न 17.
एक सीढ़ी का पाद एक दीवार से 6 मीटर की दूरी पर है तथा यह जमीन से 8 मीटर ऊँची एक खिड़की तक पहुंचती है। यदि सीढ़ी को इस तरह विस्थापित किया जाता है कि इसका पाद, तल से 8 मीटर दूर हो। इसकी टिप (शीर्ष) किस ऊँचाई तक पहुँचेगी।
हलः
हमें EB ज्ञात करना है।
∆ ABC में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

AC² = AB² + BC²
AC² = 8² +6²
AC² = 64 + 36
AC² = 100 = (10)²
AC = 10 मीटर
चूँकि सीड़ी की लम्बाई = AC = DE = 10 मीटर
अब ∆ EBD में पाइथागोरस (UPBoardSolutions.com) प्रमेय द्वारा
ED² = EB² + BD²
10² = EB² + 82
100 – 64 = EB²
EB² = 36 = (6)²
EB = 6 मीटर

प्रश्न 18.
एक त्रिभुज की भुजाएं 5 सेमी, 12 सेमी तथा 13 सेमी हैं। 13 सेमी वाली भुजा पर उसके सम्मुख शीर्ष से डाले गये लम्ब की लम्बाई (दशमलव के एक अंक तक) ज्ञात कीजिए।
हल:

∆ABC में, AC² + BC² = 52 + 122
= 25 + 144 = 169
= (13)²
∴ AC² + BC² = AB²
∴ ∆ ABC समकोण त्रिभुज है और ∠C = 90°
∴ ∠A और ∠B न्यून कोण होंगे।
⇒ ∴ CD² = AD × BD
CD² = (AB – BD) × BD
CD² = AB · BD – BD²

प्रश्न 19.
एक समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 10 सेमी है। यदि इसका एक विकर्ण 16 सेमी है तो दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
समचतुर्भुज ABCD में,
दिया है, AB = BC = CD = DA = 10 सेमी
विकर्ण AC = 16 सेमी
हमें विकर्ण BD ज्ञात करना है

समचतुर्भुज के (UPBoardSolutions.com) विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ AE = EC = [latex]\frac{16}{2}[/latex] = 8 सेमी
और BE = ED
अब ∆ABE में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AB² = AE² + BE²
10² = 8² + BE²
100 – 64 = BE²
BE² = 36 = 6²
BE = 6 सेमी
∴ ED = BE = 6 सेमी
विकर्ण BD = BE + ED
= 6 + 6 = 12 सेमी

प्रश्न 20.
18 मीटर ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खूटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लम्बाई 24 मीटर है। (NCERT)
हलः

दिया है, AB = 18 मीटर
AC = 24 मीटर
हमें खम्भे से खूटे की दूरी (BC) ज्ञात करनी है
∆ABC में पाइथागोरस (UPBoardSolutions.com) प्रमेय द्वारा
AC² = AB² + BC²
24² = 18² + BC²
BC² = 576 – 324
BC² = 252
BC = [latex] \sqrt{{125}} [/latex]
BC = 6[latex] \sqrt{{7}} [/latex] मीटर

प्रश्न 21.
एक त्रिभुज की भुजाएँ (a -1) सेमी०, 2[latex] \sqrt{{a}} [/latex] सेमी० तथा (a + 1) सेमी० हैं। तो ज्ञात कीजिए कि क्या त्रिभुज समकोण है ?
हलः
दिया है ∆ ABC में, AB = (a – 1) सेमी
BC = 2[latex] \sqrt{{a}} [/latex], CA = (a +1) सेमी
AB² + BC² = (a – 1)² + (2[latex] \sqrt{{a}} [/latex])²
= a² + 1 – 2a + 4a
= a² + 1 + 2a = (a + 1)²
AB² + BC² = (AC)
अतः पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ∆ ABC (समकोण है)

प्रश्न 22.
एक समकोण त्रिभुज में, यदि कर्ण के समकोण से एक लम्ब खींचा गया है तो सिद्ध कीजिए कि लम्ब का वर्ग, कर्ण की दो रेखाखण्डों के गुणनफल बराबर है।
हलः
माना ABC समकोण त्रिभुज है

∠B = 90°
B से AC पर लम्ब BD खींचा गया। हमें सिद्ध करना है
BD² = CD × AD
∆ABC में, ∠B = 90° तब पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
AC² = AB² + BC²
∆ ADB में, ∠D = 90° तब पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
AB² = AD² + DB²
∆BDC में ∠D = 90° तब (UPBoardSolutions.com) पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
BC² = BD² + DC²
समीकरण (2) और (3) को जोड़ने पर,
AB² + BC² = AD² + DB² + BD² + CD²
AC² = AD² + 2BD² + CD² [(1) के प्रयोग से]
(AD + DC)² = AD² + 2BD² + CD²
AD² + DC² + 2AD × CD = AD² + 2BD² + CD²
2AD × CD = 2BD²
⇒ BD² = AD × CD

प्रश्न 23.
एक त्रिभुज ABC है। जिसमें AB = AC तथा D, BC पर कोई बिन्दु है तो सिद्ध कीजिए कि AB² – AD² = BD·CD
हल:
∆ ABC में, दिया है AB = AC
तथा D,BC पर कोई बिन्दु है।
हमें सिद्ध करना है— AB² – AD² = BD·CD
AE ⊥ BC खींचा।

∆AEB तथा ∆AEC में,) AB = AC
AE = AE [उभयनिष्ठ]
∠B = ∠c [∵ AB = AC]
∴ ∆AEB ≅ ∆AEC
⇒ BE = CE
∵ ∆AED और ∆AEB, बिन्दु E (UPBoardSolutions.com) पर समकोण त्रिभुज हैं
इसलिए AD² = AE² + DE²
और AB² = AE² + BE²
AB² – AD² = BE² – DE²
AB² – AD² = (DE + DE) (BE – DE)
AB² – AD² = (CE + DE) (BE – DE)
AB² – AD² = CD × BD
इस प्रकार AB² – AD² = BD × CD

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.2 समान्तर श्रेणी

Ex 5.2 Arithmetic Progressions अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
1 से 100 तक सभी प्राकृतिक संख्याओं (UPBoardSolutions.com) का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
1 से 100 तक सभी प्राकृतिक संख्याओं से बनी समान्तर श्रेणी 1, 2, 3, 4…..100
प्रथम पद a = 1, सार्वअन्तर d = 2 – 1 = 1 तथा n = 100
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₁₀₀ = [latex]\frac{100}{2}[/latex][2 × 1 + (100 – 1) × 1]
= 50[2 + 99] = 50 × 101
= 5050

प्रश्न 2.
प्रथम 200 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रथम 200 प्राकृतिक संख्यायें : 1, 2, 3, 4,…. 200
a = 1, d = 2 – 1 = 1, n = 200
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₁₀₀ = [latex]\frac{200}{2}[/latex][2 × 1 + (200 – 1) × 1]
= 100[2 + 199]
= 100 × 201
= 20100

प्रश्न 3.
100 से छोटी सभी सम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
100 से छोटी सभी सम प्राकृतिक (UPBoardSolutions.com) संख्यायें निम्न है।
2, 4, 6, 8….98
a = 2,d = 4 – 2 = 2 तथा अन्तिम पद l = 98, n = ?
l = a + (n – 1)d
98 = 2 + (n – 1) × 2
98 = 2 + 2n – 2
98 = 2n या n = [latex]\frac{98}{2}[/latex] = 49

प्रश्न 4.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 11 से विभाज्य है।
हल:
तीन अंकों की सभी संख्यायें जो 11 से विभाज्य है
110, 121, 132,…… 990
a = 110, d = 121 – 110 = 11 तथा अन्तिम पद l = 990
माना श्रेणी में पदों की संख्या = n
तब l = a + (n – 1)d
या 990 = 110 + (n – 1) × 11
990 = 110 + 11n – 11
या 990 = 99 + 11n
990 – 99 = 11n
11n = 891
n = [latex]\frac{891}{11}[/latex] = 81

प्रश्न 5.
सभी दो अंकों वाली विषम धनात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
सभी दो अंकों वाली विषम संख्यायें .
11, 13, 15, 17….99
a = 11, d = 13 – 11 = 2 तथा l = 99
माना श्रेणी में पदों की संख्या n है।
∴ l = a + (n – 1)d या 99 = 11 + (n – 1) × 2
99 = 11 + 2n – 2 या 99 = 9 + 2n
99 – 9= 2n या 2n = 90 या n = [latex]\frac{90}{2}[/latex] = 45

प्रश्न 6.
तीन अंकों वाली सभी संख्याओं (UPBoardSolutions.com) का योग ज्ञात कीजिए जो 7 की गुणज है।
हल:
तीन अंकों की सभी संख्याये जो 7 की गुणज है।
105, 112, 119,….994
तब a = 105, d = 112 – 105 = 7 तथा l = 994
l = a + (n – 1)d या 994 = 105 + (n – 1) × 7
994 = 105 + 7n – 7 या 994 = 98 + 7n

प्रश्न 7.
तीन अंकों की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 13 से विभाज्य हैं।
हल:
तीन अंकों की सभी संख्याये जो 13 से विभाज्य है : 104, 117, 130,… 988
अब a = 104, d = 117 – 104 = 13, l = 988, n = ?
l = a + (n – 1)d या 988 = 104 + (n – 1) × 13
988 = 104 + 13n – 13 या 988 = 91 – 13n
988 – 91 = 13n या 13n = 897 या n = [latex]\frac{897}{13}[/latex] = 69

प्रश्न 8.
निम्न का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 8 के प्रथम 15 गुणजों का (NCERT)
(ii) प्रथम 40 धन पूर्णांकों का जो विभाजित है
(a) 3
(b) 5
(c) 6 से (NCERT)
हलः
(i) 8 के प्रथम 15 गुणज निम्नलिखित है।
8, 16, 24…..120
तब a = 8, d = 16 – 8 = 8 तथा l = 120
और n = 5

(ii) (a) प्रथम 40 धनपूर्णांक जो 3 से विभाजित है—
3, 6, 9…..120
∴ a = 3, d = 6 – 3 = 3 तथा l = 120, n = 40

(b) प्रथम 40 धन पूर्णांक जो 5 से विभाजित हैं-
5, 10, 15,…. 200
तब a = 5, d = 10 – 5 = 5 तथा n = 40

(c) प्रथम 40 धन पूर्णांक जो 6 से विभाजित हैं—
6, 12, 18,….240
तब, a = 6,d = 12 – 6 = 6 तथा n = 40

प्रश्न 9.
निम्न में प्रथम n पदों का (UPBoardSolutions.com) योगफल ज्ञात कीजिए :
(i) प्राकृतिक संख्याएँ
(ii) विषम संख्याएँ
(iii) सम संख्याएँ
हल:
(i) प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4…. n
a = 1, d = 2 – 1 = 1

(ii) विषम संख्यायें 1, 3, 5, 7….n
a = 1, d = 3 – 1 = 2

(iii) सम संख्यायें 2, 4, 6,……n
a = 2, d = 4 – 2 = 2

प्रश्न 10.
(i) प्रथम 100 सम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 5 से विभाज्य हैं।
(ii) 1 तथा 100 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो3 से विभाज्य हैं।
(iii) 100 तथा 1000 के बीच की सभी (UPBoardSolutions.com) प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 5 से विभाज्य
(iv) 50 तथा 500 के बीच के सभी पूर्णाकों का योग ज्ञात कीजिए, जो 7 से विभाज्य हैं।
(v) 100 तथा 800 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 7 से विभाज्य
(vi) 1 तथा 100 की बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 5 से विभाज्य नहीं ैं।
हल:
(i) प्रथम 100 सम प्राकृतिक संख्यायें जो 5 से विभाज्य है।
10, 20, 30…..
a = 10, d = 20 – 10, n = 100
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]= [latex]\frac{100}{2}[/latex] [2 × 10 + (100 – 1) × 10]
S₁₀₀ = 50[20 + 99 × 10] = 50[20 + 990] = 50 × 1010 = 50500

(ii) 1 तथा 100 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें जो 3 से विभाज्य हैं।
3, 6, 9, 12,…..99
a = 3,d = 6 – 3 = 3 तथा अन्तिम पद l = 99
तब l = a + (n – 1)d या 99 = 3 + (n – 1) × 3
99 = 3 + 3n – 3 या 99 = 3n या n = [latex]\frac{99}{3}[/latex] = 33

(iii) 100 तथा 1000 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें जो 5 से विभाज्य है।
105, 110, 115, …..995
a = 105, d = 110 – 105 = 5, तथा l = 995
तब, l = a + (n – 1)d या 995 = 105 + (n – 1) × 5
995 = 105 + 5n – 5 या 995 = 100 + 5n
995 – 100 = 5n या 5n = 895 या n = [latex]\frac{895}{5}[/latex] = 179

(iv) 50 तथा 500 के बीच के सभी पूर्णांक, जो 7 से विभाज्य हैं :
56, 63, 70,…..497
a = 56,d = 63 – 56 = 7 तथा l = 497
तब, l = a + (n – 1)d या 497 = 56 + (n – 1) × 7
497 = 56 + 7n – 7 या 497 = 49 + 7n
497 – 49 = 7n या 7n = 448 या n = [latex]\frac{448}{7}[/latex] = 64

= 32[112 + 63 × 7]
= 32[112 + 445] = 32 × 553 = 17696

(v) 100 तथा 800 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें, जो 7 से विभाज्य हैं :
105, 112, 119,……798
a = 105, d = 112 – 105 = 7 तथा l = 798
तब, l = a + (n – 1)d या 798 = 105 + (n – 1) × 7
798 = 105 + 7n – 7 या 798 = 7n + 98
798 – 98 = 7n या 7n = 700 या (UPBoardSolutions.com) n = [latex]\frac{700}{7}[/latex] = 100
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{100}{2}[/latex][2 × 105 + (100 – 1) × 7]
S₁₀₀ = 50[210 + 99 × 7]
= 50[210 + 693] = 50 × 903 = 45150

(vi) 1 तथा 100 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें
2, 3, 4, 5, 6,……99
तब a = 2, d = 3 – 2 = 1 तथा l = 99
l = a + (n – 1)d या 99 = 2 + (n – 1) × 1 या 99 = 2 + n – l
99 = n + 1 या n = 99 – 1 = 98
तथा, 1 और 100 के बीच सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग
S_n =[latex]\frac{n}{2}[/latex] [2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{98}{2}[/latex][2 × 2 + (98 – 1) × 1]
= 49[4 + 97] = 49 × 101 = 4949
अब वें संख्यायें, जो 5 से विभाज्य है। उनका योग :
5, 10, 15,…..95
a = 5, d = 10 – 5 = 5 तथा l = 95
तब l = a + (n – 1)d
या 95 = 5 + (n – 1) × 5 या 95 = 5 + 5n – 5
95 = 5n या n = [latex]\frac{95}{5}[/latex] = 19
तथा S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{19}{2}[/latex][2 × 5 + (19 – 1) × 5]
= [latex]\frac{19}{2}[/latex] [10+ 18 × 5] = [latex]\frac{19}{2}[/latex][10 + 90]
= [latex]\frac{19}{2}[/latex] × 100 = 19 × 50 = 950
अतः 1 तथा 100 के बीच उन सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग जो 5 से विभाज्य नहीं हैं
= 4949 – 950 = 3999

Ex 5.2 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 11.
समान्तर श्रेणी 10, 6, 2… के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 10, 6, 2…. के प्रथम (UPBoardSolutions.com) 16 पदों का योग
a = 10, d = 6 – 10 = – 4 तथा n = 16
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{16}{2}[/latex][2 × 10 + (16 – 1) × – 4]
S₁₆ = 8[20 + 15 × – 4]
= 8[20 – 60] = 8 × – 40 = – 320

प्रश्न 12.
एक समान्तर श्रेणी 1, 3, 5, 7, 9… के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 1, 3, 5, 7, 9…. के प्रथम 20 पदों का योग
यहाँ, प्रथम पद a = 1,
सार्वअन्तर d = 3 – 1 = 2 तथा n = 20
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{20}{2}[/latex][2 × 1 + (20 – 1) × 2]
S₂₀ = 10[2 + 19 × 2] = 10[2 + 38]
= 10 × 40 = 400

प्रश्न 13.
समान्तर श्रेणी 5, 8, 11, 14… के प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 5, 8, 11, 14… के प्रथम 24 पदों का योग
यहाँ, a = 5, d = 8 – 5 = 3, n = 24
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₂₄ = [2 × 5 + (24 – 1) × 3]
= 12[10 + 23 × 3] = 12[10 + 69]
= 12 × 79 = 948

प्रश्न 14.
5 + 13 + 21 + … + 181 का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
5 + 13 + 21 + ….. + 181 का योग
a = 5, d = 13 – 5 = 8 तथा l = 181, n = ?
अब l = a + (n – 1)d या 181 = 5 + (n – 1) × 8
181 = 5 + 8n – 8 या 181 = 8n – 3
181 + 3 =8n या 8n = 184 या (UPBoardSolutions.com) n = [latex]\frac{184}{8}[/latex] = 23
तथा S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{23}{2}[/latex][ 2 × 5 + (23 – 1) × 8]
S₂₃ = [latex]\frac{23}{2}[/latex] [10 + 22 × 8]
= [latex]\frac{23}{2}[/latex][10 + 176]
= [latex]\frac{23}{2}[/latex] × 186 = 23 × 93 = 2139

प्रश्न 15.
5 + 9 + 13 + … + 81 का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
5 + 9 + 13 + …. + 81 का योग
a = 5, d = 9 – 5 = 4,1 = 81, n= ? तथा S_n = ?
तब l = a + (n – 1)d या 81 = 5 + (n – 1) × 4
81 = 5 + 4n – 4 या 81 = 1 + 4n
81 – 1 = 4n या 4n = 80 या n = [latex]\frac{80}{4}[/latex] = 20
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₂₀ = [latex]\frac{20}{2}[/latex][2 × 5 + (20 – 1)4]
तथा S₂₀ = 10[10 + 19 × 4]
= 10[10 + 76] = 10 × 86 = 860

प्रश्न 16.
18 + 15, + 13 + …. ( – 49[latex]\frac{1}{2}[/latex]) का योग ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 17.
श्रेणी 18,16,14… के कितने (UPBoardSolutions.com) पदों का योग शून्य होगा?
हलः
श्रेणी 18, 16, 14….
माना श्रेणी के n पदों का योग शून्य है।
अर्थात् S_n = 0 तथा a = 18, d = 16 – 18 = – 2
[latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = 0
[latex]\frac{n}{2}[/latex][2 × 18 + (n – 1) × – 2] = 0
n[36 – 2n + 2] = 0
36 – 2n + 2 = 0
38 = 2n या n = [latex]\frac{38}{2}[/latex] = 19
अत : n = 19

प्रश्न 18.
निम्नलिखित श्रेणियों का योगफल ज्ञात कीजिए :
(i) 1, 3, 5, 7… 12 पदों तक।
(ii) 0.7 + 0.71 + 0.72 + … 100 पदों तक।
(iii) a + b, a – b, a – 3b…22 पदों तक।
(iv) (a – b)² + (a² + b²) + (a² + b²) + … + [(a + b)² + 6(ab)]
हल:
(i) 1, 3, 5, 7,…. 12 पदों तक योग ।
a = 1, d = 3 – 1 = 2, n = 12
तथा S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₁₂ = [latex]\frac{12}{2}[/latex][2 × 1 + (12 – 1) × 2]
= 6[2 + 11 × 2] = 6[2 + 22]
= 6 × 24 = 144

(ii) 0.7 + 0.71 + 0.72 + ….100 पदों तक
a = 0.7, d = 0.71 – 0.7 = 0.01, n = 100
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{100}{2}[/latex] [2 × 0.7 + (100 – 1) × 0.01]
S₁₀₀ = 50[1.4 + 99 × 0.01]
= 50[1.4 + 0.99]
= 50 × 2.39
= 119.5

(iii) a + b, a – b, a – 3b,…. 22 पदों की (UPBoardSolutions.com) संख्या
a = a + b, d = a – b – a – b = – 2b, n = 22
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = [latex]\frac{22}{2}[/latex] [2(a + b) + (22 – 1) × – 2b]
S₂₂ = 11[2a + 2b – 42b]
= 11[2a – 40b]
S₂₂ = (22a – 440b)

(iv) (a – b)² + (a² + b²) + (a + b)² + …. + [(a + b)² + 6(ab)]
a = (a – b)², d = (a² + b²) – (a – b)² = (a² + b²) – (a² + b² – 2ab)
a = a² + b² – 2ab, d = a² + b² – a² – b² + 2ab = 2ab
तथा l = (a + b)² + 6(ab) = a² + b² + 2ab + 6ab = a² + b² + 8ab
माना, श्रेणी में पदों की संख्या = n
तब l = a + (n – 1)d
a² + b² + 8ab = a² + b² – 2ab + (n – 1) × 2ab
a² + b² + 8ab = a² + b² – 2ab + 2abn – 2ab
a² + b² + 8ab – a² – b² + 4ab = 2abn
[latex]\frac{12ab}{2ab}[/latex] = n या n = 6
तथा श्रेणी के n पदों का योग S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₆ = [latex]\frac{6}{2}[/latex][2(a² + b² – 2ab) + (6 – 1) × 2ab]
3[2a² + 2b² – 4ab + 10ab]
= 3[2a² + 2b² + 6ab]
=3 × 2[a² + b² + 3ab]
अत : S₆ = 6(a² + b² + 3ab)

प्रश्न 19.
निम्नलिखित समीकरणों (UPBoardSolutions.com) को हल कीजिए :
(i) 1 + 6 + 11 + 16 + … + x = 148
(ii) 2 + 5 + 8 + 11 + … + x = 345
हलः
(i) 1 + 6 + 11 + 16 + ….. + x = 118
a = 1, d = 6 – 1 = 5 तथा l = x
माना, समान्तर श्रेणी में पदों की संख्या = n
तब l = a + (n – 1)d
x = 1 + (n – 1) × 5
x = 1 + 5n – 5
x = 5n – 4

x + x² + 4 + 4x = 1480
x² + 5x + 4 – 1480 = 0
x² + 5x – 1476 = 0
x² + 41x – 36x – 1476 = 0
x (x + 41) – 36(x + 41) = 0
(x + 41)(x – 36) = 0
x + 41 = 0 तथा x – 36 = 0
x = – 41 (अमान्य), x = 36
अतः x = 36

(ii) 2 + 5 + 8 + 11 + …. + x = 345
a= 2,d = 5 – 2 = 3 तथा l = x
माना श्रेणी में पदों की (UPBoardSolutions.com) संख्या = n
तब l = a + (n – 1)d
x = 2 + (n – 1) × 3
x = 2 + 3n – 3
x = 3n – 1 या x + 1 = 3n या n = [latex]\frac{x+1}{3}[/latex]
तथा S_n = 345
[latex]\frac{n}{2}[/latex](a + l) = 345
[latex]\left(\frac{x+1}{6}\right)[/latex](2 + x ) = 345
2x + x² + 2 + x = 345 × 6
x² + 3x + 2 = 2070
x² + 3x + 2 – 2070 = 0
x² + 3x – 2068 = 0
x² + 47x – 44x – 2068 = 0
x(x + 47) – 44(x + 47) = 0
(x + 47)(x – 44) = 0
x + 47 = 0 तथा x – 44 = 0
x = – 47 (अमान्य), x = 44
x = 44

प्रश्न 20.
एक समान्तर श्रेणी के 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) जिसका पहला पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 5 तथा 75 हैं।
हलः
पहला पद a = 5, अन्तिम पद l = 75, n = 15

प्रश्न 21.
तीन संख्याएँ, एक समान्तर श्रेणी में हैं जिनका योग 24 है तथा उनके वर्गों का योग 200 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी की तीन संख्याये (a – d), a , (a + d) हैं।
प्रश्नानुसार, I – शर्त a – d + a + a + d = 24
3a = 24 या a = [latex]\frac{24}{2}[/latex] = 8
तथा II – शर्त (a – d)² + a² + (a + d) = 200
a = 8 रखने पर
(8 – d)²2 + (8)² + (8 + d)² = 200
64 + d² – 16d + 64 + 64 + d² + 16d = 200
192 + 2d² = 200
2d² = 200 – 192
d² = [latex]\frac{8}{2}[/latex] या d = [latex] \sqrt{{4}} [/latex] = 2
अतः तीनों संख्यायें a – d, a, a + d
= 8 – 2, 8, 8 + 2
= 6, 8, 10

प्रश्न 22.
यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों (UPBoardSolutions.com) का योग दिया है, S_n = (3n² – n) तो ज्ञात कीजिए।
(i) n वाँ पद
(ii) इसका पहला पद
(iii) सार्वअन्तर
हलः
दिया है, S_n = 3n² – n
n = n – 1 रखने पर
S_n-1 = 3(n – 1)² – (n – 1) = 3(n² + 1 – 2n) – n + 1
= 3n² + 3 – 6n – n + 1 = 3n² – 7n + 4
(i) T_n = S_n – S_n-1 = (3n² – n) – (3n² – 7n + 4)
= 3n² – n – 3n² + 7n – 4 = 6n – 4
अतः समान्तर श्रेणी का n वाँ पद = (6n – 4)

(ii) T_n = 6n – 4
n = 1, 2, 3…. रखने पर
T₁ = 6 × 1 – 4 = 6 – 4 = 2
T₂ = 6 × 2 – 4 = 12 – 4 = 8
T₃ = 6 × 3 – 4 = 18 – 4 = 14
तब, समान्तर श्रेणी 2, 8, 14..
अतः श्रेणी का पहला पद a = 2

(iii) सार्वअन्तर d = 8 – 2 = 6

प्रश्न 23.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac{1}{2}[/latex](3n² + 7n) है, तब इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए तथा इसका 20 वाँ पद भी लिखिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n = [latex]\frac{1}{2}[/latex](3n² + 7n)

Ex 5.2 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 24.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग 4n² + 2n है तो समान्तर श्रेणी का n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है S_n = 4n² + 2n
तब n = (n – 1) रखने पर
S_n-1 = 4(n – 1)² + 2(n – 1)
= 4(n² + 1 – 2n) + 2n – 2
= 4n² + 4 – 8n + 2n – 2
= 4n² – 6n + 2
तो समान्तर श्रेणी का n वाँ पद
T_n = S_n – S_n-1 = (4n² + 2n) – (4n² – 6n + 2)
T_n = 4n² + 2n – 4n² + 6n – 2 = (8n – 2)

प्रश्न 25.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का (UPBoardSolutions.com) योग 5n² + 3n है यदि इसका n वाँ पद 168 है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n = 5n² + 3n
तब, माना = 5n² + 3n तथा t_n = 168
n = (n – 1) रखने पर
S_n-1 = 5(n – 1)² + 3(n – 1) = 5(n² + 1 – 2n) + 3n – 3
S_n-1 = 5n² + 5 – 10n + 3n – 3 = 5n² – 7n + 2
तब, T_n = S_n – S_n-1
T_n = (5n² + 3n) – (5n² – 7n + 2)
T_n = 5n² + 3n – 5n² + 7n – 2
T_n = 10n – 2
168 = 10n – 2 या 168 + 2 = 10n
10n = 170 या n = [latex]\frac{170}{10}[/latex]
n = 17

प्रश्न 26.
यदि एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योग (3n² + 4n) है। इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए तथा समान्तर श्रेणी भी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, S_n = 3n² + 4n
तब, n = (n – 1) रखने पर
S_n-1 = 3(n – 1) + 4(n – 1) = 3(n² + 1 – 2n) + 4n – 4
S_n-1 = 3n² + 3 – 6n + 4n – 4 = 3n² – 2n – 1
समान्तर श्रेणी का n वाँ पद T_n = S_n – S_n-1 से
T_n = (3n² + 4n) – (3n² – 2n – 1)
= 3n² + 4n – 3n² + 2n – 1
T_n = (6n + 1)
अब n = 1, 2, 3….. रखने पर,
T₁ = 6 × 1 + 1 = 6 + 1 = 7
T₂ = 6 × 2 + 1 = 12 + 1 = 13
T₃ = 6 × 3 + 1 = 18 + 1 = 19
अतः श्रेणी का n वाँ पद = (6n + 1)
तथा समान्तर श्रेणी 7,13,19,

प्रश्न 27.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का (UPBoardSolutions.com) योग ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद a_n = 7 – 3n है।
हलः
समान्तर श्रेणी का n वाँ पद a_n = 7 – 3n
n = 1, 2, 3…. रखने पर
a₁ = 7 – 3 × 1 = 7 – 3 = 4
a₂ = 7 – 3 × 2 = 7 – 6 = 1
a₃ = 7 – 3 × 3 = 7 – 9 = – 2
समान्तर श्रेणी 4, 1, – 2….
तब a = 4, d = 1 – 4 = – 3 तथा n = 25

प्रश्न 28.
एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद (- 4n + 15) दिया है। इस समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी का n वाँ पद T_n = – 4n + 15 दिया है।
तब, n = 1, 2, 3…. रखने पर
T₁ = – 4 × 1 + 15 = – 4 + 15 = 11
T₂ = – 4 × 2 + 15 = – 8 + 15 = 7
T₃ = – 4 × 3 + 15 = – 12 + 15 = 3
अतः समान्तर श्रेणी, 11,7,3….
तब, a= 11, d = 7 – 11 = – 4 तथा n = 20

प्रश्न 29.
एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योग S_n = 3n² + 5n दिया है। इसका कौन – सा पद 164 है?
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का n वाँ पद 164 है। अर्थात् T_n = 164 तब, .
S_n = 3n² + 5n
n = n – 1 रखने पर
S_n-1 = 3(n – 1)² + 5(n – 1)
= 3(n² + 1 – 2n) + 5n – 5
S_n-1 = 3n² + 3 – 6n + 5n – 5 = 3n² – n – 2
∴ T_n = S_n – S_n-1 = 2n² + 5n – (3n² – n – 2)
T_n = 3n² + 5n – 3n² + n + 2 = 6n + 2
∵ T_n = 164
164 = 6n + 2
164 – 2 = 6n
या 162 = 6n
या n = [latex]\frac{162}{6}[/latex] ⇒ n = 27
n = 27 वाँ पद

प्रश्न 30.
यदि प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओं का (UPBoardSolutions.com) योग, प्रथम n विषम संख्याओं के योग के k गुने के बराबर है। तब k ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रथम n सम – प्राकृतिक संख्याये = 2, 4, 6,….n
तब a = 2, d = 4 – 2 = 2, n = n

प्रश्न 31.
यदि एक समान्तर श्रेणी का पहला पद, दूसरा तथा अन्तिम पद क्रमशः a, b तथा 2a हैं। इसका योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी का पहला पद = a तथा दूसरा पद = b
और अन्तिम पद l = 2a तब d = b – a
∵ l = a + (n – 1)d
2a = a + (n – 1)(b – a)
2a = a + nb – na – b + a
2a = 2a – b + nb – na
2a – 2a + b= n(b – a)
b = n(b – a) या n = [latex]\frac{b}{b-a}[/latex]

प्रश्न 32.
समान्तर श्रेणी के प्रथम 21 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 8 है तथा चौथा पद 14 है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद (UPBoardSolutions.com) a तथा सार्वअन्तर d है।
प्रश्नानुसार, दूसरा पद = 8
a + d = 8 …(1)
तथा चौथा पद = 14

प्रश्न 33.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें 3 वाँ पद 7 है तथा 7 वाँ पद, तीसरे – पद के 3 गुने से 2 अधिक है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, समान्तर श्रेणी का 3 वाँ पद 7
a + 2d = 7 …(1)
समान्तर श्रेणी का 7 वाँ पद = a + 6d
प्रश्नानुसार, a + 6d = 3(a + 2d) + 2
a + 6d = 3a + 6d + 2
a + 6d – 3a – 6d = 2
– 2a = 2 या – a = [latex]\frac{2}{2}[/latex] या a = – 1
a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
– 1 + 2d = 7 या 2d = 7 + 1 या d = [latex]\frac{2}{2}[/latex] = 4
a = – 1, d = 4 तथा n = 20

प्रश्न 34.
यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों (UPBoardSolutions.com) का योग S_n दिया गया है, S_n = (3n² – 4n), तब इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया गया है, S_n = (3n² – 4n)
n = n – 1 रखने पर
S_n-1 = 3(n – 1)² – 4(n – 1) = 3(n² + 1 – 2n) – 4n + 4
S_n-1 = 3n² + 3 – 6n – 4n + 4 = 3n² – 10n + 7
अतः श्रेणी का n वाँ पद T_n = S_n – S_n-1
= 3n² – 4n – (3n² – 10n + 7)
= 3n² – 4n – 3n² + 10n – 7
= 6n – 7

प्रश्न 35.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 8 पदों का योग 100 है तथा इसके प्रथम 19 पदों का योग 551 है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, श्रेणी के प्रथम 8 पदों का योग = 100

प्रश्न 36.
समान्तर श्रेणी के 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 2 है तथा 4 वाँ पद 8 है।
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार, दूसरा पद = 2
a + d = 2 …(1)
तथा 4 वाँ पद = 8

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 3 = 2 या a = 2 – 3 = – 1
a = – 1, d = 3, n = 51

प्रश्न 37.
यदि समान्तर श्रेणी का 5 वाँ पद तथा 12 वाँ पद क्रमशः (UPBoardSolutions.com) – 4 तथा – 18 हैं तो समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, 5 वाँ पद = – 4
a + 4d = – 4 …..(1)
तथा 12 वाँ पद = – 18 ….(2)

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 4 × – 2 = – 4
a – 8 = – 4
a = – 4 + 8 = 4
a = 4, d = –2, n = 20

प्रश्न 38.
एक समान्तर श्रेणी में पहला पद 22 है,n वाँ पद (UPBoardSolutions.com) – 11 है तथा प्रथम n पदों का योग 66 है। n तथा सार्वअन्तर d ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी का पहला पद a = 22
प्रश्नानुसार, n वाँ पद = – 11
a + (n – 1)d = – 11
22 + nd – d = – 11
nd – d = – 11 – 22
nd – d= – 33 …(1)
तथा प्रथम n पदों का योग = 66
[latex]\frac{n}{6}[/latex][2a + (n – 1)d] = 66
n[2 × 22 + nd – d] = 132
समीकरण (1) से,
n[44 + ( – 33)] = 132
n[44 – 33] = 132
11n= 132
या n = [latex]\frac{132}{11}[/latex] = 12
n का मान समीकरण (1) में रखने पर, (UPBoardSolutions.com)
12d – d = – 33
या 11d = – 33
d= [latex]\frac{-33}{11}[/latex] = – 3
अतः n = 12, d= – 3

प्रश्न 39.
यदि एक समान्तर श्रेणी का 10 वाँ पद 21 है तथा इसके प्रथम 10 पदों का योग 120 है तो इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
प्रश्नानुसार, 10 वाँ पद 21
a + 9d = 21 …(1)
तथा प्रथम 10 पदों का योग = 120
[latex]\frac{10}{2}[/latex][2a + (10 – 1)d] = 120
5[2a + 9d] = 120
[2a + 9d] = [latex]\frac{120}{5}[/latex]

a = 3 a का मान समीकरण (1) में रखने पर
3 + 9d = 21
या 9d = 21 – 3 या d = [latex]\frac{19}{2}[/latex] = 2
अतः श्रेणी का n वाँ पद = a + (n – 1)d
= 3 + (n – 1) × 2
= 3 + 2n – 2 = (2n + 1)

प्रश्न 40.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग (UPBoardSolutions.com) 63 है तथा इसके अगले 7 पदों का योग 161 है तो इस समान्तर श्रेणी का 28 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार, प्रथम 7 पदों का योग = 63
a + a + d + a + 2d + a + 3d + a + 4d + a + 5d + a + 6d = 63
7a + 21d = 63
a + 3d = 9 …(1)
तथा इसके अगले 7 पदों का योग = 161
a + 7d + a + 8d + a + 9d + a + 10d + a + 11d + a + 12d + a + 13d = 161
7a + 70d = 161

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 3 × 2 = 9
या a + 6 = 9
या a = 9 – 6 = 3
a = 3 तथा d = 2
तो समान्तर श्रेणी का 28 वाँ पद = a + 27d
= 3 + 27 × 2 = 3 + 54 = 57

प्रश्न 41.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम सात पदों का योग (UPBoardSolutions.com) 182 है। यदि इसका 4 वाँ पद तथा 17 वाँ पद 1 : 5 के अनुपात में है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार, समान्तर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग = 182
∴ a + a + d + a + 2d + a + 3d + a + 4d + a + 5d + a + 6d = 182
7a + 21d = 182
a + 3d = 26 …(1)

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 3 × 8 = 26
या a + 24 = 26
या a = 26 – 24 = 2
a = 2 तथा d = 8
अतः समान्तर श्रेणी a, a + d, a + 2d….
= 2, 2 + 8, 2 + 2 × 8….
= 2, 10, 2 + 16….
= 2, 10, 18, ….

प्रश्न 42.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम १ पदों का योग 63q – 3q² है यदि (UPBoardSolutions.com) इसका p वाँ पद – 60 है। तो p का मान ज्ञात कीजिए तथा इसका 11 वाँ पद भी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
प्रश्नानुसार, दिया है S_q = 63q – 3q²
तथा q = q – 1 रखने पर
S_q-1 = 63(q – 1) – 3(q – 1)²
= 63(q – 1) – 3(q² + 1 – 2q)
S_q-1 = 63q – 63 – 3q² – 3 + 6q
= – 3q² + 69q – 66
अतः श्रेणी का q वाँ पद T_q = S_q – S_q-1
T_q = (63q – 3q²) – (- 3q² + 69q – 66)
= 63q – 3q² + 3q² – 69q + 66
T_q = – 6q + 66
q = 1, 2, 3…. रखने पर
T₁ = – 6 × 1 + 66 = – 6 + 66 = 60
T₂ = – 6 × 2 + 66 = – 12 + 66 = 54
T₃ = – 6 × 3 + 66 = – 18 + 66 = 48
तब समान्तर श्रेणी 60, 54, 48….
a = 60,d = 54 – 60 = – 6
अतः श्रेणी का P वाँ पद = – 60
a + (P – 1)d = – 60
60 + (P – 1) × – 6 = – 60
60 – 6p + 6 = – 60
66 – 6p = – 60
या 66 + 60 = 6p
126 = 6p या p = [latex]\frac{126}{6}[/latex] = 21 (UPBoardSolutions.com)
तथा श्रेणी का 11 वाँ पद = a + 10d
= 60 + 10 × – 6 = 60 – 60 = 0
अतः P = 21 तथा श्रेणी का 11 वाँ पद = 0

प्रश्न 43.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n द्वारा निरूपित किया है तो सिद्ध कीजिए S₁₂ = 3(S₈ – S₄) (NCERT Exemplar)
हलः
समान्तर श्रेणी के n पदों का योग = S_n
या  S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
तब,   S₁₂ = [latex]\frac{12}{2}[/latex][2a + (12 – 1d]
S₁₂ = 6[2a + 11d] …(1)
S₈ = [latex]\frac{8}{2}[/latex][2a + (8 – 1)d]
S₈ = 4[2a + 7d] ..(2)
S₄ = [latex]\frac{4}{2}[/latex][2a + (4 – 1)d]
S₄ = 2[2a + 3d] …(3)
सिद्ध करना है S₁₂ = 3(S₈ – S₄)
R.H.S = 3(S₈ – S₄)
= 3[4(2a + 7d) – 2(2a + 3d)] [समीकरण (2) व समीकरण (3) से]
= 3[8a + 28d – 4a – 6d]
= 3[4a + 22d]
= 3 × 2[2a + 11d]
= 6[2a + 11d]
= S₁₂ = L.H.S

प्रश्न 44.
एक समान्तर श्रेणी का पहला तथा अन्तिम पद (UPBoardSolutions.com) क्रमशः 5 तथा 45 हैं। यदि इसके सभी पदों का योग 400 है तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर d और पदों की संख्या n है।
तब, a = 5 तथा l = 45, S_n = 400

प्रश्न 45.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 9 पदों का योग 162 है। इसके 6 वें पद तथा 13 वें पद का अनुपात 1 : 2 है। समान्तर श्रेणी का पहला तथा 15 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार, समान्तर श्रेणी के प्रथम 9 पदों का योग = 162
[latex]\frac{9}{2}[/latex][2a + (9 – 1)d] = 162
2a + 8d = [latex]\frac{162 \times 2}{9}[/latex]
2a + 8d = 18 × 2 या 2a + 8d = 36
a + 4d = 18 …(1)

d का मान समीकरण (2) में रखने पर
a – 2 × 3 = 0
या a – 6 = 0 या a = 6
श्रेणी का 15 वाँ पद= a + 14d = 6 + 14 × 3
= 6 + 42
= 48
अतः पहला पद = 6 तथा 15 वाँ पद = 48

प्रश्न 46.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है (UPBoardSolutions.com) तथा इसका पहला पद 10 है। इसका 25 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद, a = 10 तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505
[latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = 1505
[latex]\frac{14}{2}[/latex][2 × 10 + (14 – 1)d] = 1505
7[20 + 13d] = 1505
20 + 13d = [latex]\frac{1505}{7}[/latex]
20 + 13d = 215
13d = 215 – 20 = 195
d = [latex]\frac{195}{13}[/latex] = 15
अतः श्रेणी का 25 वाँ पद = a + 24d = 10 + 24 × 15
= 10 + 360 = 370

प्रश्न 47.
यदि एक समान्तर श्रेणी के 7 पदों का योग 49 है तथा 17 पदों (UPBoardSolutions.com) का योग 289 है तो इसके n पदों का योग ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, श्रेणी के 7 पदों का योग = 49
[latex]\frac{7}{2}[/latex][2a + (7 – 1)d] = 49

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
2a + 6 × 2 = 14 या 2a + 12 = 14
2a = 14 – 12
या 2a = 2 या a = [latex]\frac{-2}{2}[/latex] = 1
a = 1, d = 2
तो श्रेणी के n के पदों का योग = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2 × 1 + (n – 1) × 2]
= [latex]\frac{n}{2}[/latex][2 + 2n – 2]
= [latex]\frac{n}{2}[/latex] × 2n = n²

प्रश्न 48.
एक समान्तर श्रेणी का पहला पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 7 तथा 49 है। यदि इसके सभी पदों का योग 420 है तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर d है।
तथा पहला पद a = 7 तथा अन्तिम पद = 49
तब श्रेणी के सभी पदों का योग = 420
[latex]\frac{n}{2}[/latex](a + l) = 420
n(7 + 49) = 420 × 2
56n = 840
n = [latex]\frac{840}{56}[/latex] = 15
तथा l = a + (n – 1)d
49 = 7 + (15 – 1)d
49 – 7 = 14d
[latex]\frac{42}{14}[/latex] = d या d = 3
अतः सार्वअन्तर d = 3

प्रश्न 49.
समान्तर.श्रेणी – 12, – 9, – 6,…21 के पदों की संख्या ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए, यदि इस श्रेणी के प्रत्येक पद में 1 जोड़ दिया जाये तो इस प्रकार की बनी समान्तर श्रेणी के सभी पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी – 12, – 9, – 6,…….21
a = – 12, d = (- 9) – (-12) = –9 + 12 = 3, l = 21
माना श्रेणी में पदों की संख्या’ = n
l = a + (n – 1)d
21 = – 12 + (n – 1) × 3
21 = – 12 + 3n – 3
21 = – 15 + 3n
21 + 15 = 3n
या 3n = 36
n = [latex]\frac{36}{3}[/latex] = 12
∴ n = 12
यदि श्रेणी के प्रत्येक पद में 1 जोड़ दिया जाये तो श्रेणी
– 12 + 1, – 9 + 1, – 6 + 1,…….,21 + 1
– 11, – 8, – 5, ……. 22
तब a = – 11, तथा n = 22
समान्तर श्रेणी के सभी पदों का यो = [latex]\frac{n}{2}[/latex](a + l)
= [latex]\frac{12}{2}[/latex] (-11 + 22)
= 6 × 11 = 66
अत: n = 12 तथा सभी पदों का योग = 66

Ex 5.2 Arithmetic Progressions दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 50.
(i) एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका 7 वाँ पद 30 है तथा 13 वाँ पद 54
(ii) श्रेणी 15 + 11 + 7… के कितने पदों का योग 35 है?
(iii) एक समान्तर श्रेणी 25, 22, 19,… के कुछ (UPBoardSolutions.com) पदों का योग 116 है। इसका अन्तिम पद ज्ञात कीजिए तथा पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) एक समान्तर श्रेणी में पहला पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 7 तथा 57 है। यदि इसके सभी पदों का योग 352 है। तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार,
7वाँ पद = 30
a + 6d = 30 …(1)
13 वाँ पद = 54

(ii) श्रेणी 15 + 11 + 7 ……
a = 15, d = 11 – 15 = – 4
माना श्रेणी के n पदों का योग = 35
[latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = 35
n[2 × 15 + (n – 1) × – 4] = 35 × 2
n[30 – 4n + 4] = 70
n[34 – 4n] = 70
34n – 4n² – 70 = 0
-4n² + 34n – 70 = 0
– 2[2n² – 17n + 35] = 0
2n² – 17n + 35 = 0
2n² – 10n – 7n + 35 = 0
2n(n – 5) – 7(n – 5) = 0
(n – 5)(2n – 7) = 0
n – 5 = 0 तथा 2n – 7 = 0
n = 5, n = [latex]\frac{7}{2}[/latex] (अमान्य)
अतः n – 5

(iii) समान्तर श्रेणी 25, 22, 19….
a = 25, d = 22 – 25 = – 3
माना श्रेणी के n पदों का योग (UPBoardSolutions.com) = 116
तब [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = 116
n[2 × 25 + (n – 1) × – 3] = 232
n[50 – 3n + 3] = 232
n[53 – 3n] = 232
53n – 3n² = 232
-3n² + 53n – 232 = 0
3n² – 53n + 232 = 0
3n² – 29n – 24n + 232 = 0
n(3n – 29) – 8(3n – 29) = 0
(3n – 29)(n – 8) = 0
3n – 29 = 0 तथा n – 8 = 0
n = [latex]\frac{29}{3}[/latex] (अमान्य) n = 8
तथा l = a + (n – 1)d
l = 25 + (8 – 1) × – 3 = 25 – 7 × 3
l = 25 – 21 = 4
अतः अन्तिम पद l = 4 तथा पदों की संख्या = 8

(iv) समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 7 तथा अन्तिम पद l = 57
माना, श्रेणी के n पदों का योग = 352
तब [latex]\frac{n}{2}[/latex](a + l) = 352
[latex]\frac{n}{2}[/latex](7 + 57) = 352
[latex]\frac{n}{2}[/latex] × 64 = 352
32n = 352
n = [latex]\frac{352}{32}[/latex] = 11
अतः पदों की संख्या = 11

प्रश्न 51.
एक समान्तर श्रेणी के 35 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 2 है तथा 7 वाँ पद 22 है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, श्रेणी का दूसरा पद = 2
a + d = 2 …(1)

प्रश्न 52.
यदि एक समान्तर श्रेणी का पहला पद 2 है तथा इसके (UPBoardSolutions.com) प्रथम पाँच पदों का योग, अगले पाँच पदों के योग का [latex]\frac{1}{4}[/latex] है। तब सिद्ध कीजिए कि समान्तर श्रेणी का 20 वाँ पद – 112 है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का पहला पद a = 2 तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार,
a + a + d + a + 2d + a + 3d + a + 4 = [latex]\frac{1}{4}[/latex](a + 5d + a + 6d + a + 7d + a + 8d + a + 9d)
5a + 10d = [latex]\frac{1}{4}[/latex](5a + 35d)
20a + 40d = 5a + 35d या 20a – 5a + 40d – 35d = 0
15a + 5d = 0
a = 2 रखने पर 15 × 2 + 5d = 0 या 30 + 5d = 0 या 5d = – 30 या d = – 6
अतः a_n = a + (n – 1)d
a₂₀ = 2 + (20 – 1) × – 6
a₂₀ = 2 – 19 × 6 = 2 – 114 = – 112
अतः समान्तर श्रेणी का 20 वाँ पद = – 112

प्रश्न 53.
यदि एक समान्तर श्रेणी में m पदों का योग, n पदों के योग के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि (m + n) वें पद का योग शून्य है।
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर (UPBoardSolutions.com) d है:
तब, प्रश्नानुसार, m पदों का योग = n पदों का योग
[latex]\frac{m}{2}[/latex][2a + (m – 1)d] = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
m[2a + (m – 1)d] = n[2a + (n – 1)d]
2am + (m – 1)md = 2an + (n – 1)nd
2am – 2an = (n – 1)nd – (m – 1)md
2a(m – n) = [n² – n – m² + m]d
2a(m – n) = [n² – m² – n + m]d
2a(m – n) = [(n + m)(n – m) – 1(n – m)]d
2a(m – n) = (n – m)(m + n – 1)d

प्रश्न 54.
यदि एक समान्तर श्रेणी के p, q तथा r पदों का योग क्रमशः a, b तथा c है। तो सिद्ध कीजिए कि

(NCERT Exemplar)
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद A तथा सार्वअन्तर D है, तब प्रश्नानुसार,

प्रश्न 55.
यदि दो समान्तर श्रेणी के n पदों के योग का अनुपात (UPBoardSolutions.com) 14 – 4n : 3n + 5 है। उनके 8 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, दो समान्तर श्रेणी के प्रथम पद क्रमशः a₁ तथा a₂ और सार्वअन्तर क्रमश: d₁ तथा d₂ हैं।

प्रश्न 56.
यदि एक समान्तर श्रेणी के p वाँ पद [latex]\frac{1}{q}[/latex] तथा q वाँ पद [latex]\frac{1}{p}[/latex] है तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग [latex]\frac{1}{2}[/latex](pq + 1) है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d हैं।

प्रश्न 57.
यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग q है तथा प्रथम व पदों का योग p है तो निम्न का योग ज्ञात कीजिए :
(i) (p + q) पदों का
(ii) (p – q) पदों का
हल:
(i) माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।

प्रश्न 58.
यदि एक समान्तर श्रेणी के n, 2n तथा 3n पदों (UPBoardSolutions.com) का योग क्रमशः S₁, S₃ तथा S₃ है तो सिद्ध कीजिए कि S₃ = 3(S₂ – S₁) (NCERT)
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।

प्रश्न 59.
यदि समीकरण (b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0 के मूल बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, b तथा c एक समान्तर श्रेणी में हैं।
हलः
समीकरण (b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0
A = (b – c), B = (c – a), C = (a – b)
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ B² – 4AC = 0
(c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0
c² + a² – 2ca – 4(ab – b² – ca + bc) = 0
c² + a² – 2ca – 4ab + 4b²+ 4ca – 4bc = 0
4b² – 4ab – 4bc = -c² – a² + 2ca – 4ca
4b² – 4b(a + c) = -c² – a² – 2ca
4b² – 4b(a + c) = -(c² + a² + 2ca)
4b² – 4b(a + c) = -(a + c)²
4b² = 4b(a + c) – (a + c)²
4b² = (a + c)[4b – a – c]
∵ a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं।
∴ 2b = a + c
4b² = 2b(4b – a – c)
[latex]\frac{4 b^{2}}{2 b}[/latex] = 4b – a – c
2b = 4b – a – c
a + c = 4b – 2b
a + c = 2b
या 2b = a + c
अतः a, b तथा c एक समान्तर श्रेणी में है।

प्रश्न 60.
यदि S_n = n²p तथा S_m = m²p, m ≠ n है (UPBoardSolutions.com) तो सिद्ध कीजिए कि S_p = p³
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
यदि S_n = n²p

d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
2a + (n – 1)2p = 2np
2a + 2np – 2p = 2np
2a = 2np – 2np + 2p
2a = 2p
सिद्ध करना हैं S_p = p³
L. H. S. S_p = [latex]\frac{p}{2}[/latex][2a + (p – 1)d]
2a व d का मान रखने पर,
S_p = [latex]\frac{p}{2}[/latex][2p + (p – 1)2p]
= [latex]\frac{p}{2}[/latex] × 2p[1 + p – 1]
= p² × p = p³ = R.H.S.

प्रश्न 61.
यदि S₁, S₂, S₃ तीन समान्तर श्रेणी के n पदों का योग है। (UPBoardSolutions.com) जिनका प्रथम पद 1 है तथा सार्वअन्तर क्रमशः 1, 2 तथा 3 है तो सिद्ध कीजिए कि S₁ + S₃ = 2S₂
हलः

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.1 समान्तर श्रेणी

Ex 5.1 Arithmetic Progressions अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac{4}{5}[/latex], x तथा 2 हैं तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद [latex]\frac{4}{5}[/latex], x, 2 हैं

प्रश्न 2.
x के किस मान के लिए 2x + 1, 13, 5x – 3, एक समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं?
हलः
दी गयी समान्तर श्रेणी 2x + 1, 13, 5x – 3
∵ श्रेणी समान्तर है अतः
13 – (2x + 1) = 5x – 3 – 13 (UPBoardSolutions.com)
⇒ 13 – 2x – 1 = 5x – 16
⇒ 12 – 2x = 5x – 16
⇒ 28 = 7x
⇒ x = 4

प्रश्न 3.
समान्तर श्रेणी [latex]\frac{1}{2 a}, \frac{1 – 2 a}{2 a}, \frac{1 – 4 a}{2 a}[/latex],… का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 4.
श्रेणी 10, 7, 4,… का 30 वा पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गयी श्रेणी 10, 7, 4, ……
यहाँ प्रथम पद a = 10 तथा सार्वान्तर d = 7 – 10 = – 3
हम जानते हैं कि a_n = a + (n – 1)d
a₃₀ = 10 + (30 – 1) × – 3
a₃₀ = 10 + 29 × – 3
a₃₀ = 10 – 87
a₃₀ = – 77

प्रश्न 5.
समान्तर श्रेणी 14, 9, 4, – 1, – 6,… का 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 14, 9, 4, – 1, – 6….
यहाँ a = 14,d = – 5
अतः a₁₂ = a + (12 – 1)d
= a + 11d
= 14 + 11 × – 5
= 14 – 55
= – 41

प्रश्न 6.
श्रेणी 5, 11, 17, 23… का n (UPBoardSolutions.com) वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गयी श्रेणी 5, 11, 17, 23…
यहाँ a = 5, d = 6
अतः n वाँ पद a_n = a + (n – 1)d
⇒ a_n = 5 + (n – 1)6
⇒ a_n = 5 + 6n – 6
⇒ a_n = 6n – 1

प्रश्न 7.
श्रेणी 6, [latex]7 \frac{3}{9}, 9 \frac{1}{2}, 11 \frac{1}{4}[/latex],… का 37 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः

अतः a₃₇ = a + (37 – 1)d
= 6 + 36d
= 6 + 36 × [latex]\frac{4}{3}[/latex]
= 6 + 12 × 4
= 6 + 48
= 54

प्रश्न 8.
समान्तर श्रेणी 72, 63, 54,…. का कौन – सा पद शून्य है ?
हलः
माना समान्तर श्रेणी 72, 63, 54,….. का n वाँ पद शून्य है।
अतः a_n = a + (n – 1)d सूत्र से
दिया है a_n = 0, a = 72, d = – 9
0 = 72 + (n – 1) × – 9
⇒ 0 = 72 – 9n + 9
⇒ 9n = 81
⇒ n = 9
अतः श्रेणी का 9 वाँ पद (UPBoardSolutions.com) शून्य है।

प्रश्न 9.
समान्तर श्रेणी 100, 90, 80…. का कौन – सा पद शून्य है?
हलः
माना समान्तर श्रेणी 100, 90, 80…. का n वाँ पद शून्य है।
तब, a = 100, d = 90 – 100 = – 10
अतः a_n = a + (n – 1)d
0 = 100 + (n – 1) × – 10
⇒ 0 = 100 – 10n + 10
⇒ 10n = 110
⇒ n = [latex]\frac{110}{10}[/latex]
⇒ n = 11
अतः श्रेणी का 11 वाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
समान्तर श्रेणी 24, 21, 18…. का कौन – सा पद पहला ऋणात्मक पद है?
हलः
माना श्रेणी 24, 21, 18…. का n (UPBoardSolutions.com) वाँ पद ऋणात्मक है
यहाँ a = 24, d = – 3
∴ a_n = a + (n – 1)d <0
a_n = 24 + (n – 1)(- 3) < 0
⇒ 24 – 3n + 3 < 0
⇒ 27 < 3n ⇒ n > [latex]\frac{27}{3}[/latex] = 9
n > 9
अतः श्रेणी का 10वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

Ex 5.1 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 11.
समान्तर श्रेणी 5, 9, 13, 17, … का कौन – सा पद 81 है?
हलः
माना इस समान्तर श्रेणी का n वाँ पद 81 है।
अतः दी गई श्रेणी 5, 9, 13, 17, …
यहाँ a = 5, d = 4, a_n = 81
अतः सूत्र से,
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 81 = 5 + (n – 1)4
⇒ 81 = 5 + 4n – 4
⇒ 81 = 4n + 1
⇒ 81 – 1 = 4n
⇒ 80 = 4n
⇒ n = 20 वाँ पद

प्रश्न 12.
समान्तर श्रेणी – 11, – 8, – 5,….49 का (UPBoardSolutions.com) अन्त से चौथा पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गयी समान्तर श्रेणी – 11, – 8 – 5, ….49
अत : a= – 11
d= – 8 – (- 11) = 3
अतः अन्तिम पद l = 49
हम जानते हैं कि
अन्त से चौथा पद = l – (4 – 1)d
= 49 – 3 × 3
= 49 – 9 = 40

प्रश्न 13.
समान्तर श्रेणी 3, 8, 13,….253 का अन्त से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
दी गयी श्रेणी 3, 8, 13,….253
यहाँ प्रथम पद, a = 3, सार्वान्तर d = 8 – 3 = 5 तथा अन्तिम पद l = 253
अतः अन्त से 12वाँ पद = l – (12 – 1)d
= 253 – 11 × 5
= 253 – 55 = 198

प्रश्न 14.
समान्तर श्रेणी 213, 205, 197, …,37 का मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 213, 205, 197, …,37
अतः यहाँ a = 213, d = – 8
अतः श्रेणी में पदों की संख्या a_n = a + (n – 1)d
⇒ 37 = 213 + (n – 1) x – 8
⇒ 37 = 213 – 8n + 8
⇒ 8n = 221 – 37
⇒ 8n = 184
⇒ n = [latex]\frac{184}{8}[/latex] ⇒ n = 23
चूँकि पदों की संख्या n = 23 विषम है।
अतः मध्य पद = [latex]\frac{n+1}{2}=\frac{23+1}{2}=\frac{24}{2}[/latex] = 2
अतः a₁₂ = a + 11d
= 213 + 11 × – 8
= 213 – 88 = 125

प्रश्न 15.
(i) यदि एक समान्तर श्रेणी का n (UPBoardSolutions.com) वाँ पद (2n – 1) है तो इसका 7 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
(ii) निम्न श्रेणी में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
4, 7, 10,…, 148
(iii) अनुक्रम – 7, – 2, 3, 8…. का कौन – सा पद 88 है?
(iv) अनुक्रम 4, 9, 14,19,…. का कौन – सा पद 104 है?
(v) सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम 4, 9,14,19…. का 20 वाँ पद 99 है?
हल:
(i) दिया है a_n = 2n – 1
अतः a₇ = 2 x 7 – 1
⇒ a₇ = 14 – 1
⇒ a₇ = 13

(ii) श्रेणी, 4,7 , 10, ….,148
माना श्रेणी में पदों की संख्या n है।
अतः a_n = a + (n – 1)d
⇒ 148 = 4 + (n – 1)3
⇒ 148 = 4 + 3n – 3
⇒ 148 =3n + 1
⇒ 3n = 147
⇒ n = 49

(iii) माना श्रेणी का n वाँ पद 88 है। तब,
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 88 = – 7 + (n – 1) x 5 [∵ a = -7 तथा d = 5]
⇒ 88 = – 7 + 5n – 5
⇒ 5n – 12 = 88
⇒ 5n = 88 + 12
⇒ 5n = 100
⇒ n = [latex]\frac{100}{5}[/latex]
⇒ n= 20

(iv) दी गयी श्रेणी (UPBoardSolutions.com) 4, 9, 14, 19,….
माना श्रेणी का n वाँ पद 104 है। अतः
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 104 = 4 + (n – 1)5 [∵ a = 4 तथा d = 5]
⇒ 104= 4 + 5n – 5
⇒ 104 = 5n – 1
⇒ 5n = 105
⇒ n= 21

(v) दी गयी श्रेणी 4, 9, 14, 19, ….
अतः a₂₀ = a + 19d
⇒ a₂₀ = 4 + 19 x 5
⇒ a₂₀ = 4 + 95
⇒ a₂₀ = 99

प्रश्न 16.
यदि एक समान्तर श्रेणी के पहले p पदों (UPBoardSolutions.com) का योग ap² + bp है। तब इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के p पदों का योग = ap² + bp
तब S_p = ap² + bp
S_p-1 = a(p – 1)² + b(p – 1)
S_p-1 = a(p² + 1 – 2p) + bp – b
S_p-1 = ap² – 2ap + a + bp – b
समान्तर श्रेणी का p वाँ पद = T_p
∴ T_p = S_p – S_p-1
T_p = (ap² + bp) – (ap² – 2ap + a + bp – b)
T_p = 2ap – a + b
T_p = a(2p – 1) + b
p= 1, 2, 3,… रखने पर,
T₁ = a(2 × 1 – 1) + b = a(2 – 1) + b = a + b
T₂ = a(2 × 2 – 1) + b = a(4 – 1) + b = 3a + b
T₃ = a(2 × 3 – 1) + b = a(6 – 1) + b = 5a + b
अतः समान्तर श्रेणी a + b, 3a + b, 5a + b,…
तब सार्वअन्तर d = (3a + b) – (a + b)
= 3a + b – a – b – 2a
अतः समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर = 2a

प्रश्न 17.
एक समान्तर श्रेणी का पहला पद 6 है (UPBoardSolutions.com) तथा सार्वअन्तर – 3 है तब इसका 16 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि a_n = a + (n – 1)d
अतः a₁₆ = a + (16 – 1)d
a₁₆ = 6 + 15 × – 3 (यहाँ a = 6, d = – 3,)
a₁₆ = 6 – 45
= – 39

प्रश्न 18.
एक समान्तर श्रेणी का चौथा पद 14 है तथा 12 वाँ पद 70 है तब इसका पहला पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है : a₄ = 14 तथा a₁₂ = 70
अतः 14 = a + 3d …(1)
70 = a + 11d …(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर
– 8d = – 56
⇒ d = 7
d का मान समीकरण (1) में रखने पर
14 = a + 3 × 7
14 = a + 21
a = – 7

प्रश्न 19.
एक समान्तर श्रेणी का पहला पद p है तथा सार्वअन्तर q है। इसका 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, पहला पद = p
सार्वअन्तर d = q
अतः a₁₀ = a + 9d
⇒ a₁₀ = p + 9q

Ex 5.1 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 20.
एक समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए जिसका 3 (UPBoardSolutions.com) वाँ पद 16 है तथा 7 वाँ पद उसके 5 वें पद से 12 अधिक (NCERT)
हलः
दिया है,
a₃ = 16
⇒ a + 2d = 16 ….(1)
a₇ – a₅ = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
6d – 4d = 12
2d = 12
⇒ d = 6
d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 2 × 6 = 16
⇒ a = 16 – 12
⇒ a = 4
अतः श्रेणी 4, 10, 16, 22,…

प्रश्न 21.
एक समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए जिसमें a₂₅ – a₁₂ = – 52
हलः
दिया है, a₂₅ – a₁₂ = – 52
⇒ a + 24d – a – 11d = –52
⇒ 24d – 11d = -52
⇒ 13d = -52
⇒ d = – 4

प्रश्न 22.
n के किस मान के लिए, समान्तर श्रेणी (UPBoardSolutions.com) 63, 65, 67, … तथा 3, 10, 17,… के n वें पद बराबर हैं?
हलः
दी गई श्रेणी 63, 65, 67….
अतः a_n = a + (n – 1)d
a_n = 63 + (n – 1)2
a_n = 63 + 2n – 2
a_n = 61 + 2n …(1)
पुनः श्रेणी 3, 10, 17, ….
अतः a_n = 3 + (n – 1)7
⇒ a_n = 3 + 7n – 7
⇒ a_n = 7n – 4 …(2)
दिया है! दोनों श्रेणीयों में n वें पद बराबर है।
अतः 61 + 2n = 7n – 4
⇒ 5n = 65
⇒ n = 13

प्रश्न 23.
समान्तर श्रेणी 8, 14, 20, 26,… का कौन – सा पद 41 वें पद से 72 अधिक होगा?
हलः
दी गयी श्रेणी, 8, 14, 20, 26,…
माना इस श्रेणी का nवाँ पद 41वें पद से 72 अधिक है। अतः
a_n – a₄₁ = 72
⇒ [a + (n – 1)d] – [a + 40d] = 72
⇒ a + nd – d – a – 40d = 72
⇒ nd – 41d = 72
⇒ n × 6 – 41 × 6 = 72
⇒ 6n = 72 + 246
⇒ 6n = 318 ⇒ n = [latex]\frac{318}{6}[/latex]
⇒ n = 53

प्रश्न 24.
समान्तर श्रेणी 3, 15, 27, 39,… का (UPBoardSolutions.com) कौन – सा पद इसके 21 वें पद से 120 अधिक है?
हलः
दी गयी श्रेणी, 3, 15, 27, 39,…
माना इस श्रेणी का nवाँ पद 21वें पद से 120 अधिक है। अतः
a_n – a₂₁ = 120
⇒ [a + (n – 1)d] – [a + 20d] = 120
⇒ a + nd – d – a – 20d = 120
⇒ nd – 21d = 120
⇒ (n – 21)d = 120
⇒ (n – 21) × 12 = 120 (∵ d = 12)
⇒ n – 21 = 10
⇒ n = 10 + 21
⇒ n= 31

प्रश्न 25.
एक समान्तर श्रेणी का 9 वाँ पद, दूसरे पद का 6 गुना है। यदि इसका 5 वाँ पद 22 है। तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है। दिया है :
a₉ = 6 × a₂
⇒ a + 8d = 6(a + b)
⇒ a + 8d = 6a + 6d
⇒ 5a = 2d
⇒ a = [latex]\frac{2 d}{5}[/latex]
तथा a₅ = 22 …(1)
a + 4d = 22
समी० (1) से a का मान रखने पर,
[latex]\frac{2 d}{5}[/latex] + 4d = 22
⇒ 2d + 20d = 22 × 5
⇒ 22d = 22 × 5
⇒ d = 5
अतः a = [latex]\frac{2 \times 5}{5}[/latex] = 2
अतः समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, 17,…

प्रश्न 26.
एक समान्तर श्रेणी का 24 वाँ पद, 10 वें पद का 2 गुना (UPBoardSolutions.com) है। तो सिद्ध कीजिए कि इसका 72 वाँ पद, 15 वें पद का चार गुना है।
हलः
दिया है : a₂₄ = 2 × a₁₀
⇒ a + 23d = 2 × (a + 9d)
⇒ a + 23d = 2a + 18d
⇒ a = 5d ….(1)
अतः a₇₂ = a + 71d
a₇₂ = 5d + 71d [समीकरण (1) से a = 5d रखने पर]
⇒ a₇₂ = 76d
= 4 × 19d …(2)
पुनः a₁₅ = a + 14d
⇒ a₁₅ = 5d + 14d
⇒ a₁₅ = 19d …(3)
⇒ समीकरण (2) तथा (3) से
a₇₂ = 4 × a₁₅ यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 27.
एक समान्तर श्रेणी के 5 वें तथा 9 वें पदों का योग 30 है। यदि इसका (UPBoardSolutions.com) 25 वाँ पद, इसके 8 वें पद का तीन गुना है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
∵ a₅ + a₉ = 30
⇒ a + 4d + a + 8d = 30
⇒ 2a + 12d = 30
⇒ a + 6d = 15 …(1)
दिया है., a₂₅ = 3 × a₈
⇒ a + 24d = 3 × (a + 7d)
⇒ a + 24d = 3a + 21d
⇒ a = [latex]\frac{3 d}{2}[/latex] …(2)
समीकरण (2) से a का मान समीकरण (1) में रखने पर
[latex]\frac{3 d}{2}[/latex] + 6d = 15
⇒ 3d + 12d = 15 × 2
⇒ 15d = 15 × 2
⇒ 15d = 30
⇒ d = 2
तथा a = 3
अतः श्रेणी 3, 5, 7, 9….

प्रश्न 28.
101 तथा 999 के बीच की प्राकृतिक संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जोकि 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं।
हलः
∵ 101 तथा 999 के बीच प्राकृतिक संख्यायें जोकि 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं।
∴ 110, 120, 130, …, 990
तब a= 110 तथा d = 120 – 110 = 10 तथा अन्तिम पद l = 990
l = a + (n – 1)d
990 = 110 + (n – 1) × 10
990 – 110 = (n – 1) × 10
880 = (n – 1) × 10
⇒ [latex]\frac{880}{10}[/latex] = n – 1
88 = n – 1
88 + 1 = n या n = 89
अत: 101 तथा 999 के बीच प्राकृतिक संख्याओं (UPBoardSolutions.com) की संख्या जो 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं = 89

Ex 5.1 Arithmetic Progressions दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 29.
(i) सिद्ध कीजिए कि a_n = 4n + 5 के द्वारा स्पष्ट अनुक्रम < a_n > एक समान्तर अनुक्रम है तथा समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर भी ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि एक अनुक्रम का n वाँ पद, a_n = n² – n + 1 है तो इसके प्रथम पाँच पद ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) दिया है a_n = 4n + 5
अतः a₁ = 4 × 1 + 5 = 9
a₂ = 4 × 2 + 5 = 13
a₃ = 4 × 3 + 5 = 17
अतः श्रेणी a₁, a₂,a₃,…. या 9,13,17,…
एक समान्तर अनुक्रम है।
अतः सार्वअन्तर, d = a₂ – 44
⇒ d = 13 – 9
⇒ d = 4

(ii) दिया है, a_n = n² – n + 1
n = 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
a₁ = 1² – 1 + 1 = 1
a₂ = 2² – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3
a₃ = 3² – 3 + 1 = 9 – 3 + 1 = 7
a₄ = 4² – 4 + 1= 16 – 4 + 1 = 13
a₅ = 5² – 5 + 1 = 25 – 5 + 1 = 21
अतः प्रथम पाँच पद 1, 3, 7, 13, 21

प्रश्न 30.
यदि एक समान्तर श्रेणी का 9 वाँ पद – 6 है तथा (UPBoardSolutions.com) सार्वअन्तर [latex]\frac{5}{4}[/latex] है तो इसका 25 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, a₉ = – 6 तथा d = [latex]\frac{5}{4}[/latex]
⇒ a + 8d = – 6
⇒ a + 8 × [latex]\frac{5}{4}[/latex] = – 6
⇒ a + 10 = – 6
⇒ a = – 16
अतः a₂₅ = a + 24d
= – 16 + 24 × [latex]\frac{5}{4}[/latex]
= – 16 + 6 × 5 = – 16 + 30
⇒ a₂₅ = 14

प्रश्न 31.
सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए जोकि 9 के द्वारा विभाजित है।
हलः
हम जानते हैं कि 108 तथा 999 क्रमशः सबसे छोटी (UPBoardSolutions.com) तथा बड़ी संख्याएँ हैं जोकि 9 से विभाजित हैं अतः श्रेणी 108, 117, 124,…999 होगी।
अत: a = 108, d = 9 तथा l = 999
a_n = 108 + (n – 1) × 9
⇒ 999 = 108 + 9n – 9
⇒ 999 – 108 = 9n – 9
⇒ 9n – 9 =891
⇒ 9n = 891 + 9
⇒ 9n = 900
⇒ n = [latex]\frac{900}{9}[/latex]
⇒ n = 100
अतः पदों की संख्या = 100

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 6.4 निर्देशांक ज्यामिति

Ex 6.4 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (0, 4), (0, – 4) व (6, 0) हैं।
हलः

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(0 + 0 + 24) – (0 – 24 + 0)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][24 + 24] (UPBoardSolutions.com) = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 48 = 24 वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (4, 6), (3, 4) व (6, 2) हैं।
हलः

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(16 + 6 + 36) – (18 + 24 + 8)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][158 – 50] = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 8 = 4 वर्ग इकाई

प्रश्न 3.
यदि बिन्दु A(x, y), B(3, 2) व C(1, 3) सरेख हैं तब x व y में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हलः

बिन्दु A(x, y), B(3, 2), C(1, 3) संरेख होंगे
∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(2x + 9 + y) – (3y + 2 + 3x)]
0 = [latex]\frac{1}{2}[/latex][-x – 2y + 7]
0 × 2 = –x – 2y + 7
x + 2y = 7

प्रश्न 4.
यदि बिन्दु (a, 0), (1, – 1) व (11, 4) सरेख हैं तब a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(-a + 4 + 0) – (0 – 11 + 4a)]
0 = [latex]\frac{1}{2}[/latex] (UPBoardSolutions.com) [-a + 4 + 11 – 4a]
0 × 2 = – 5a + 15
0 = – 5a + 15 ⇒ 5a = 15
a = [latex]\frac{15}{5}[/latex] = 3.

प्रश्न 5.
तीन बिन्दु संरेख होंगे यदि वे किस पर स्थित होंगे?
हलः
तीन बिन्दु संरेख कहलाते हैं यदि वे एक सरल रेखा में स्थित होंगे।

Ex 6.4 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (x, y),( – 5, 7) व (-4, 5) संरेख हैं तो सिद्ध कीजिए कि 2x + y + 3 = 0
हलः

यदि बिन्दु (x, y), (-5, 7),(-4, 5) संरेख हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
[latex]\frac{1}{2}[/latex] (UPBoardSolutions.com) [(7x – 25 – 4y) – (-5y – 28 + 5x)] = 0
7x – 25 – 4y + 5y + 28 – 5x = 0
2x + y + 3 = 0

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, 2), (3, 3) व (-1, 1) संरेख हैं।
हल:

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(3 + 3 – 2) – (6 – 3 + 1)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][4 – 4] = 0 वर्ग इकाई
∵ ∆ का क्षेत्रफल 0 है, ∴ तीनों बिन्दु संरेख होंगे।

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (3, [latex]-\frac{7}{2}[/latex]), ([latex]\frac{7}{2}[/latex] – 1) व [latex]\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)[/latex] हैं। सिद्ध कीजिए कि उसका क्षेत्रफल [latex]\frac{15}{8}[/latex] वर्ग इकाई है।
हल:

Ex 6.4 Coordinate Geometry दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a, b + c), (b, c + a) व (c, a + b) संरेख हैं।
हल:

∆ का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(ac + a + ba + b² + cb + c²) – (b² + bc + c² + ca + a² + ab)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][0] (UPBoardSolutions.com) = 0 वर्ग इकाई
∴ ये बिन्दु संरेख हैं।

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु (x, y),(2, 3) व (-3, 4) संरेख हैं तो सिद्ध कीजिए कि x + 5y = 17
हल:

∵ ये बिन्दु सरेख हैं।
∴ ∆ का क्षेत्रफल = 0
[latex]\frac{1}{2}[/latex][(3x – 8 – 3y) – (2y – 9 + 4x)] = 0
3x + 8 – 3y – 2y + 9 – 4x = 0
-x – 5y = – 17
( – ) से गुणा करने पर,
x + 5y = 17

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल [latex]\frac{41}{2}[/latex] वर्ग इकाई है जिसके शीर्ष (1, 1), (3, 4), (5, -2) व (4, -7) हैं।
हलः
माना ABCD एक चतुर्भुज है जिसके शीर्षों के निर्देशांक
A = (1, 1), B = (3, 4), C = (5, -2) व D = (4, -7) हैं।


चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex][(4 – 6 – 35 + 4) – (3 + 20 – 8 – 7)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] (UPBoardSolutions.com) [(8 – 4) – (23 – 15)]
= [latex]\frac{1}{2}[/latex][-33 – 8] = [latex]-\frac{41}{2}[/latex]
(-) चिहन छोड़ने पर = 41 वर्ग इकाई

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष (3, 0), (0, 6) व (6, 9) हैं। एक रेखा DE, AB व AC को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करती है। तब सिद्ध कीजिए कि ∆ABC = 9∆ADE
हल:
बिन्दु D, AB को 1 : 2 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है।

∆ADE का क्षेत्रफल = [latex]\frac{5}{2}[/latex] वर्ग इकाई
∴ ∆ABC = 9∆ADE

प्रश्न 13.
एक बिन्दु इस प्रकार गति करता है कि उसकी बिन्दु (ae, 0) व (-ae, 0) से दूरी सदैव 2a रहती है। सिद्ध कीजिए कि उस बिन्दु का बिन्दुपथ [latex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}[/latex] = 1 होगा। जहाँ b² = a²(1 – e²)
हलः
माना बिन्दु के निर्देशांक = (h, k)
(h, k) की (ae, 0) से दूरी + (-ae,0) से दूरी = 2a

प्रश्न 14.
एक बिन्दु इस प्रकार गति करता है कि उसकी बिन्दु (-g, -f) से दूरी सदैव a इकाई है। सिद्ध कीजिए कि उस बिन्दु का बिन्दुपथ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है, जहाँ c = g² + f² – a²
हलः
माना बिन्दु के निर्देशांक = (h, k)
बिन्दु (h, k) की (-g, – f) से दूरी = a (UPBoardSolutions.com)
[latex]\sqrt{(h+g)^{2}+(k+f)^{2}}=a[/latex]
वर्ग करने पर, (h + g)² + (k + f)² = a²
h² + g² + 2hg + k² + f² + 2kf = a²
h² + k² + 2gh + 2kf + g² + f² – a = 0
बिन्दुपथ के लिए
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
जहाँ c = g² + f² – a²

प्रश्न 15.
यदि तीन बिन्दु (a, 0), (0, b) व (x, y) संरेख हैं तब सिद्ध कीजिए कि [latex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}[/latex] = 1
हलः

तीन बिन्दु (a, 0), (0, b), (x, y) संरेख हैं यदि ∆ का क्षेत्रफल = 0
[latex]\frac{1}{2}[/latex][(ab + 0 + 0) – (0 + bx + ay)] = 0
ab – bx – ay = 0
ab = bx + ay
1 = [latex]\frac{b x}{a b}+\frac{a y}{a b}[/latex]
∴ [latex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}[/latex] = 1

प्रश्न 16.
यदि (-1, 3) व (4, -2) को मिलाने वाली रेखा बिन्दु (a, b) से होकर जाती है तो सिद्ध कीजिए कि a + b = 2
हलः
तीन बिन्दु (-1, 3),(4, -2) (UPBoardSolutions.com) तथा (a, b) से होकर एक रेखा जाती है।
∴ इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

[latex]\frac{1}{2}[/latex][(2 + 4b – 3a) – (12 – 2a – b)] = 0
3a + 4b + 2 – 12 + 2a + b = 0
5a + 5b = 10
5(a + b) = 10
a + b = [latex]\frac{10}{2}[/latex] = 5

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 6.3 निर्देशांक ज्यामिति

Ex 6.3 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
(7, 5), (5, 7) व (-3, 3) शीर्षों वाले (UPBoardSolutions.com) त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 2.
(6, 0) व (0, 8) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हलः
(6, 0) तथा (0, 8) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु = [latex]\left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right)[/latex] = (3, 4)

प्रश्न 3.
बिन्दुओं (-3, 4) व (3, -4) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हलः
(-3, 4) तथा (3, -4) का मध्य बिन्दु = [latex]\left(\frac{-3+3}{2}, \frac{4-4}{2}\right)[/latex]
= [latex]\left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right)[/latex] = (0, 0)

प्रश्न 4.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो (0, 0) व (4, 0) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 3 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
हलः
1 : 3 में अन्त:विभाजन करने वाले (UPBoardSolutions.com) बिन्दु के निर्देशांक

प्रश्न 5.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (2, -3) व (-4, 6) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
हलः
यदि (2, -3) तथा (-4, 6) को मिलाने वाली रेखा को एक बिन्दु 1 : 2 के अनुपात में अन्तःविभाजन करता है

अतः बिन्दु के निर्देशांक = (0, 0).

प्रश्न 6.
उस बिन्दु का भुज ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (0, 4) व (0, 8) को मिलाने वाली रेखा को 3 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
हल:
3 : 1 के अनुपात में अन्त:विभाजन करने वाले बिन्दु (UPBoardSolutions.com) का x निर्देशांक = [latex]\frac{3 \times 0+1 \times 0}{3+1}=\frac{0}{4}[/latex] = 0

प्रश्न 7.
यदि बिन्दु (4, 0), बिन्दुओं (-8, 13) व (x, 7) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु है। तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि (4, 0), (-8, 13) तथा (x, 7) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु है तो
[latex]\frac{4}{1}=\frac{-8+x}{2}[/latex]
8 = -8 + x
8 + 8 = x
∴ x = 16

प्रश्न 8.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए, जिसमें (-4, -3) व (5, 2) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष को काटता है।
हल:
∵ बिन्दु x-अक्ष को काटता (UPBoardSolutions.com) है इसलिए y = 0

Ex 6.3 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 9.
त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (-1, 3), (-3, 2) व (5, -1) हैं । सिद्ध कीजिए कि शीर्ष A से डाली गयी माध्यिका की लम्बाई [latex]\sqrt{\frac{41}{4}}[/latex] इकाई है।
हलः
माना बिन्दु A = (-1, 3), B = (-3, 2),C = (5, -1)

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज के शीर्ष (3, -2), (-3, 4), (1, 8) व (7, 4) हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाएँ एक समान्तर चतुर्भुज बनाती हैं।
हलः
माना A = (3, -2), B = (-3, 4), C = (1, 8) व D = (7, 4) एक चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
तथा P,Q, R व S भुजा AB, BC, CD व (UPBoardSolutions.com) DA के मध्य बिन्दु हैं।


∵ विकर्ण PR + विकर्ण sQ
∴ P,Q, R, S एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

Ex 6.3 Coordinate Geometry दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(1, 4), B(2, -3) व C(-1, -2) हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक [latex]\left(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right)[/latex] हैं।
हल:
∆ABC में A = (1, 4), B = (2, -3),C = (-1, -2)

प्रश्न 12.
एक बिन्दु P, किसी रेखाखण्ड AB को 3 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है। यदि बिन्दु A व B के निर्देशांक क्रमशः (4, 3) व (2, 1) हैं। सिद्ध कीजिए कि P के निर्देशांक (-2, -3) हैं।
हलः
माना बिन्दु A = (4, 3), बिन्दु B = (2, 1), बिन्दु (UPBoardSolutions.com) P, AB रेखा को 3 : 2 के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करती है।

∴ बिन्दु P के निर्देशांक = (-2, -3)

प्रश्न 13.
किसी वृत्त के व्यास के एक सिरे के निर्देशांक (3, 5) हैं। यदि केन्द्रक के निर्देशांक (6,6) हो तो व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त में व्यास का मध्य बिन्दु केन्द्र होता है।
केन्द्र के निर्देशांक = (6, 6), माना व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक = (x, y)
[latex]\frac{6}{1}=\frac{3+x}{2}[/latex]
12 = 3 + x
12 – 3 =x
9 = x
तथा [latex]\frac{6}{1}=\frac{5+y}{2}[/latex]
12 = 5 + y
12 – 5 = y
7 = y
∴ व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक = (9, 7)

प्रश्न 14.
किसी समान्तर चतुर्भुज के तीन क्रमागत शीर्षों के निर्देशांक (-1, 0), (3, 1) व (2, 2) हैं। सिद्ध कीजिए कि चौथे शीर्ष के निर्देशांक (-2, 1) होंगे।
हलः
माना A = (-1, 0), B = (3, 1), C = (2, 2) व (UPBoardSolutions.com) D = (x, y) एक समान्तर चतुर्भुज के निर्देशांक हैं।

∵ [latex]\frac{y+1}{2}=\frac{1}{1}[/latex]
y + 1 = 2
y = 2 – 1 = 1
∴ बिन्दु D = (x, y) = (-2, 1)

प्रश्न 15.
किसी ∆ ABC में, D भुजा BC का मध्य बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि
AB² + CA² = 2(AD² + DC²)
हलः

माना बिन्दु B के निर्देशांक (UPBoardSolutions.com) = (-a, 0)
C के निर्देशांक = (a, 0)
A के निर्देशांक = (0, b)
मध्य बिन्दु D के निर्देशांक = (0, 0)
AB² + CA² = (0 + a)² + (b – 0) + (0 – a)² + (b – 0)²
= a² + b² + a² + b²
= 2(a² + b²) = 2(DC² + AD²)

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