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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.2 समान्तर श्रेणी

Ex 5.2 Arithmetic Progressions अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
1 से 100 तक सभी प्राकृतिक संख्याओं (UPBoardSolutions.com) का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
1 से 100 तक सभी प्राकृतिक संख्याओं से बनी समान्तर श्रेणी 1, 2, 3, 4…..100
प्रथम पद a = 1, सार्वअन्तर d = 2 – 1 = 1 तथा n = 100
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₁₀₀ = [latex]\frac{100}{2}[/latex][2 × 1 + (100 – 1) × 1]
= 50[2 + 99] = 50 × 101
= 5050

प्रश्न 2.
प्रथम 200 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रथम 200 प्राकृतिक संख्यायें : 1, 2, 3, 4,…. 200
a = 1, d = 2 – 1 = 1, n = 200
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₁₀₀ = [latex]\frac{200}{2}[/latex][2 × 1 + (200 – 1) × 1]
= 100[2 + 199]
= 100 × 201
= 20100

प्रश्न 3.
100 से छोटी सभी सम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
100 से छोटी सभी सम प्राकृतिक (UPBoardSolutions.com) संख्यायें निम्न है।
2, 4, 6, 8….98
a = 2,d = 4 – 2 = 2 तथा अन्तिम पद l = 98, n = ?
l = a + (n – 1)d
98 = 2 + (n – 1) × 2
98 = 2 + 2n – 2
98 = 2n या n = [latex]\frac{98}{2}[/latex] = 49

प्रश्न 4.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 11 से विभाज्य है।
हल:
तीन अंकों की सभी संख्यायें जो 11 से विभाज्य है
110, 121, 132,…… 990
a = 110, d = 121 – 110 = 11 तथा अन्तिम पद l = 990
माना श्रेणी में पदों की संख्या = n
तब l = a + (n – 1)d
या 990 = 110 + (n – 1) × 11
990 = 110 + 11n – 11
या 990 = 99 + 11n
990 – 99 = 11n
11n = 891
n = [latex]\frac{891}{11}[/latex] = 81

प्रश्न 5.
सभी दो अंकों वाली विषम धनात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
सभी दो अंकों वाली विषम संख्यायें .
11, 13, 15, 17….99
a = 11, d = 13 – 11 = 2 तथा l = 99
माना श्रेणी में पदों की संख्या n है।
∴ l = a + (n – 1)d या 99 = 11 + (n – 1) × 2
99 = 11 + 2n – 2 या 99 = 9 + 2n
99 – 9= 2n या 2n = 90 या n = [latex]\frac{90}{2}[/latex] = 45

प्रश्न 6.
तीन अंकों वाली सभी संख्याओं (UPBoardSolutions.com) का योग ज्ञात कीजिए जो 7 की गुणज है।
हल:
तीन अंकों की सभी संख्याये जो 7 की गुणज है।
105, 112, 119,….994
तब a = 105, d = 112 – 105 = 7 तथा l = 994
l = a + (n – 1)d या 994 = 105 + (n – 1) × 7
994 = 105 + 7n – 7 या 994 = 98 + 7n

प्रश्न 7.
तीन अंकों की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 13 से विभाज्य हैं।
हल:
तीन अंकों की सभी संख्याये जो 13 से विभाज्य है : 104, 117, 130,… 988
अब a = 104, d = 117 – 104 = 13, l = 988, n = ?
l = a + (n – 1)d या 988 = 104 + (n – 1) × 13
988 = 104 + 13n – 13 या 988 = 91 – 13n
988 – 91 = 13n या 13n = 897 या n = [latex]\frac{897}{13}[/latex] = 69

प्रश्न 8.
निम्न का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 8 के प्रथम 15 गुणजों का (NCERT)
(ii) प्रथम 40 धन पूर्णांकों का जो विभाजित है
(a) 3
(b) 5
(c) 6 से (NCERT)
हलः
(i) 8 के प्रथम 15 गुणज निम्नलिखित है।
8, 16, 24…..120
तब a = 8, d = 16 – 8 = 8 तथा l = 120
और n = 5

(ii) (a) प्रथम 40 धनपूर्णांक जो 3 से विभाजित है—
3, 6, 9…..120
∴ a = 3, d = 6 – 3 = 3 तथा l = 120, n = 40

(b) प्रथम 40 धन पूर्णांक जो 5 से विभाजित हैं-
5, 10, 15,…. 200
तब a = 5, d = 10 – 5 = 5 तथा n = 40

(c) प्रथम 40 धन पूर्णांक जो 6 से विभाजित हैं—
6, 12, 18,….240
तब, a = 6,d = 12 – 6 = 6 तथा n = 40

प्रश्न 9.
निम्न में प्रथम n पदों का (UPBoardSolutions.com) योगफल ज्ञात कीजिए :
(i) प्राकृतिक संख्याएँ
(ii) विषम संख्याएँ
(iii) सम संख्याएँ
हल:
(i) प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4…. n
a = 1, d = 2 – 1 = 1

(ii) विषम संख्यायें 1, 3, 5, 7….n
a = 1, d = 3 – 1 = 2

(iii) सम संख्यायें 2, 4, 6,……n
a = 2, d = 4 – 2 = 2

प्रश्न 10.
(i) प्रथम 100 सम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 5 से विभाज्य हैं।
(ii) 1 तथा 100 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो3 से विभाज्य हैं।
(iii) 100 तथा 1000 के बीच की सभी (UPBoardSolutions.com) प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 5 से विभाज्य
(iv) 50 तथा 500 के बीच के सभी पूर्णाकों का योग ज्ञात कीजिए, जो 7 से विभाज्य हैं।
(v) 100 तथा 800 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 7 से विभाज्य
(vi) 1 तथा 100 की बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 5 से विभाज्य नहीं ैं।
हल:
(i) प्रथम 100 सम प्राकृतिक संख्यायें जो 5 से विभाज्य है।
10, 20, 30…..
a = 10, d = 20 – 10, n = 100
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]= [latex]\frac{100}{2}[/latex] [2 × 10 + (100 – 1) × 10]
S₁₀₀ = 50[20 + 99 × 10] = 50[20 + 990] = 50 × 1010 = 50500

(ii) 1 तथा 100 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें जो 3 से विभाज्य हैं।
3, 6, 9, 12,…..99
a = 3,d = 6 – 3 = 3 तथा अन्तिम पद l = 99
तब l = a + (n – 1)d या 99 = 3 + (n – 1) × 3
99 = 3 + 3n – 3 या 99 = 3n या n = [latex]\frac{99}{3}[/latex] = 33

(iii) 100 तथा 1000 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें जो 5 से विभाज्य है।
105, 110, 115, …..995
a = 105, d = 110 – 105 = 5, तथा l = 995
तब, l = a + (n – 1)d या 995 = 105 + (n – 1) × 5
995 = 105 + 5n – 5 या 995 = 100 + 5n
995 – 100 = 5n या 5n = 895 या n = [latex]\frac{895}{5}[/latex] = 179

(iv) 50 तथा 500 के बीच के सभी पूर्णांक, जो 7 से विभाज्य हैं :
56, 63, 70,…..497
a = 56,d = 63 – 56 = 7 तथा l = 497
तब, l = a + (n – 1)d या 497 = 56 + (n – 1) × 7
497 = 56 + 7n – 7 या 497 = 49 + 7n
497 – 49 = 7n या 7n = 448 या n = [latex]\frac{448}{7}[/latex] = 64

= 32[112 + 63 × 7]
= 32[112 + 445] = 32 × 553 = 17696

(v) 100 तथा 800 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें, जो 7 से विभाज्य हैं :
105, 112, 119,……798
a = 105, d = 112 – 105 = 7 तथा l = 798
तब, l = a + (n – 1)d या 798 = 105 + (n – 1) × 7
798 = 105 + 7n – 7 या 798 = 7n + 98
798 – 98 = 7n या 7n = 700 या (UPBoardSolutions.com) n = [latex]\frac{700}{7}[/latex] = 100
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{100}{2}[/latex][2 × 105 + (100 – 1) × 7]
S₁₀₀ = 50[210 + 99 × 7]
= 50[210 + 693] = 50 × 903 = 45150

(vi) 1 तथा 100 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें
2, 3, 4, 5, 6,……99
तब a = 2, d = 3 – 2 = 1 तथा l = 99
l = a + (n – 1)d या 99 = 2 + (n – 1) × 1 या 99 = 2 + n – l
99 = n + 1 या n = 99 – 1 = 98
तथा, 1 और 100 के बीच सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग
S_n =[latex]\frac{n}{2}[/latex] [2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{98}{2}[/latex][2 × 2 + (98 – 1) × 1]
= 49[4 + 97] = 49 × 101 = 4949
अब वें संख्यायें, जो 5 से विभाज्य है। उनका योग :
5, 10, 15,…..95
a = 5, d = 10 – 5 = 5 तथा l = 95
तब l = a + (n – 1)d
या 95 = 5 + (n – 1) × 5 या 95 = 5 + 5n – 5
95 = 5n या n = [latex]\frac{95}{5}[/latex] = 19
तथा S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{19}{2}[/latex][2 × 5 + (19 – 1) × 5]
= [latex]\frac{19}{2}[/latex] [10+ 18 × 5] = [latex]\frac{19}{2}[/latex][10 + 90]
= [latex]\frac{19}{2}[/latex] × 100 = 19 × 50 = 950
अतः 1 तथा 100 के बीच उन सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग जो 5 से विभाज्य नहीं हैं
= 4949 – 950 = 3999

Ex 5.2 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 11.
समान्तर श्रेणी 10, 6, 2… के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 10, 6, 2…. के प्रथम (UPBoardSolutions.com) 16 पदों का योग
a = 10, d = 6 – 10 = – 4 तथा n = 16
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{16}{2}[/latex][2 × 10 + (16 – 1) × – 4]
S₁₆ = 8[20 + 15 × – 4]
= 8[20 – 60] = 8 × – 40 = – 320

प्रश्न 12.
एक समान्तर श्रेणी 1, 3, 5, 7, 9… के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 1, 3, 5, 7, 9…. के प्रथम 20 पदों का योग
यहाँ, प्रथम पद a = 1,
सार्वअन्तर d = 3 – 1 = 2 तथा n = 20
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{20}{2}[/latex][2 × 1 + (20 – 1) × 2]
S₂₀ = 10[2 + 19 × 2] = 10[2 + 38]
= 10 × 40 = 400

प्रश्न 13.
समान्तर श्रेणी 5, 8, 11, 14… के प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 5, 8, 11, 14… के प्रथम 24 पदों का योग
यहाँ, a = 5, d = 8 – 5 = 3, n = 24
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₂₄ = [2 × 5 + (24 – 1) × 3]
= 12[10 + 23 × 3] = 12[10 + 69]
= 12 × 79 = 948

प्रश्न 14.
5 + 13 + 21 + … + 181 का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
5 + 13 + 21 + ….. + 181 का योग
a = 5, d = 13 – 5 = 8 तथा l = 181, n = ?
अब l = a + (n – 1)d या 181 = 5 + (n – 1) × 8
181 = 5 + 8n – 8 या 181 = 8n – 3
181 + 3 =8n या 8n = 184 या (UPBoardSolutions.com) n = [latex]\frac{184}{8}[/latex] = 23
तथा S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{23}{2}[/latex][ 2 × 5 + (23 – 1) × 8]
S₂₃ = [latex]\frac{23}{2}[/latex] [10 + 22 × 8]
= [latex]\frac{23}{2}[/latex][10 + 176]
= [latex]\frac{23}{2}[/latex] × 186 = 23 × 93 = 2139

प्रश्न 15.
5 + 9 + 13 + … + 81 का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
5 + 9 + 13 + …. + 81 का योग
a = 5, d = 9 – 5 = 4,1 = 81, n= ? तथा S_n = ?
तब l = a + (n – 1)d या 81 = 5 + (n – 1) × 4
81 = 5 + 4n – 4 या 81 = 1 + 4n
81 – 1 = 4n या 4n = 80 या n = [latex]\frac{80}{4}[/latex] = 20
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₂₀ = [latex]\frac{20}{2}[/latex][2 × 5 + (20 – 1)4]
तथा S₂₀ = 10[10 + 19 × 4]
= 10[10 + 76] = 10 × 86 = 860

प्रश्न 16.
18 + 15, + 13 + …. ( – 49[latex]\frac{1}{2}[/latex]) का योग ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 17.
श्रेणी 18,16,14… के कितने (UPBoardSolutions.com) पदों का योग शून्य होगा?
हलः
श्रेणी 18, 16, 14….
माना श्रेणी के n पदों का योग शून्य है।
अर्थात् S_n = 0 तथा a = 18, d = 16 – 18 = – 2
[latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = 0
[latex]\frac{n}{2}[/latex][2 × 18 + (n – 1) × – 2] = 0
n[36 – 2n + 2] = 0
36 – 2n + 2 = 0
38 = 2n या n = [latex]\frac{38}{2}[/latex] = 19
अत : n = 19

प्रश्न 18.
निम्नलिखित श्रेणियों का योगफल ज्ञात कीजिए :
(i) 1, 3, 5, 7… 12 पदों तक।
(ii) 0.7 + 0.71 + 0.72 + … 100 पदों तक।
(iii) a + b, a – b, a – 3b…22 पदों तक।
(iv) (a – b)² + (a² + b²) + (a² + b²) + … + [(a + b)² + 6(ab)]
हल:
(i) 1, 3, 5, 7,…. 12 पदों तक योग ।
a = 1, d = 3 – 1 = 2, n = 12
तथा S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₁₂ = [latex]\frac{12}{2}[/latex][2 × 1 + (12 – 1) × 2]
= 6[2 + 11 × 2] = 6[2 + 22]
= 6 × 24 = 144

(ii) 0.7 + 0.71 + 0.72 + ….100 पदों तक
a = 0.7, d = 0.71 – 0.7 = 0.01, n = 100
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
= [latex]\frac{100}{2}[/latex] [2 × 0.7 + (100 – 1) × 0.01]
S₁₀₀ = 50[1.4 + 99 × 0.01]
= 50[1.4 + 0.99]
= 50 × 2.39
= 119.5

(iii) a + b, a – b, a – 3b,…. 22 पदों की (UPBoardSolutions.com) संख्या
a = a + b, d = a – b – a – b = – 2b, n = 22
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = [latex]\frac{22}{2}[/latex] [2(a + b) + (22 – 1) × – 2b]
S₂₂ = 11[2a + 2b – 42b]
= 11[2a – 40b]
S₂₂ = (22a – 440b)

(iv) (a – b)² + (a² + b²) + (a + b)² + …. + [(a + b)² + 6(ab)]
a = (a – b)², d = (a² + b²) – (a – b)² = (a² + b²) – (a² + b² – 2ab)
a = a² + b² – 2ab, d = a² + b² – a² – b² + 2ab = 2ab
तथा l = (a + b)² + 6(ab) = a² + b² + 2ab + 6ab = a² + b² + 8ab
माना, श्रेणी में पदों की संख्या = n
तब l = a + (n – 1)d
a² + b² + 8ab = a² + b² – 2ab + (n – 1) × 2ab
a² + b² + 8ab = a² + b² – 2ab + 2abn – 2ab
a² + b² + 8ab – a² – b² + 4ab = 2abn
[latex]\frac{12ab}{2ab}[/latex] = n या n = 6
तथा श्रेणी के n पदों का योग S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S₆ = [latex]\frac{6}{2}[/latex][2(a² + b² – 2ab) + (6 – 1) × 2ab]
3[2a² + 2b² – 4ab + 10ab]
= 3[2a² + 2b² + 6ab]
=3 × 2[a² + b² + 3ab]
अत : S₆ = 6(a² + b² + 3ab)

प्रश्न 19.
निम्नलिखित समीकरणों (UPBoardSolutions.com) को हल कीजिए :
(i) 1 + 6 + 11 + 16 + … + x = 148
(ii) 2 + 5 + 8 + 11 + … + x = 345
हलः
(i) 1 + 6 + 11 + 16 + ….. + x = 118
a = 1, d = 6 – 1 = 5 तथा l = x
माना, समान्तर श्रेणी में पदों की संख्या = n
तब l = a + (n – 1)d
x = 1 + (n – 1) × 5
x = 1 + 5n – 5
x = 5n – 4

x + x² + 4 + 4x = 1480
x² + 5x + 4 – 1480 = 0
x² + 5x – 1476 = 0
x² + 41x – 36x – 1476 = 0
x (x + 41) – 36(x + 41) = 0
(x + 41)(x – 36) = 0
x + 41 = 0 तथा x – 36 = 0
x = – 41 (अमान्य), x = 36
अतः x = 36

(ii) 2 + 5 + 8 + 11 + …. + x = 345
a= 2,d = 5 – 2 = 3 तथा l = x
माना श्रेणी में पदों की (UPBoardSolutions.com) संख्या = n
तब l = a + (n – 1)d
x = 2 + (n – 1) × 3
x = 2 + 3n – 3
x = 3n – 1 या x + 1 = 3n या n = [latex]\frac{x+1}{3}[/latex]
तथा S_n = 345
[latex]\frac{n}{2}[/latex](a + l) = 345
[latex]\left(\frac{x+1}{6}\right)[/latex](2 + x ) = 345
2x + x² + 2 + x = 345 × 6
x² + 3x + 2 = 2070
x² + 3x + 2 – 2070 = 0
x² + 3x – 2068 = 0
x² + 47x – 44x – 2068 = 0
x(x + 47) – 44(x + 47) = 0
(x + 47)(x – 44) = 0
x + 47 = 0 तथा x – 44 = 0
x = – 47 (अमान्य), x = 44
x = 44

प्रश्न 20.
एक समान्तर श्रेणी के 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) जिसका पहला पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 5 तथा 75 हैं।
हलः
पहला पद a = 5, अन्तिम पद l = 75, n = 15

प्रश्न 21.
तीन संख्याएँ, एक समान्तर श्रेणी में हैं जिनका योग 24 है तथा उनके वर्गों का योग 200 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी की तीन संख्याये (a – d), a , (a + d) हैं।
प्रश्नानुसार, I – शर्त a – d + a + a + d = 24
3a = 24 या a = [latex]\frac{24}{2}[/latex] = 8
तथा II – शर्त (a – d)² + a² + (a + d) = 200
a = 8 रखने पर
(8 – d)²2 + (8)² + (8 + d)² = 200
64 + d² – 16d + 64 + 64 + d² + 16d = 200
192 + 2d² = 200
2d² = 200 – 192
d² = [latex]\frac{8}{2}[/latex] या d = [latex] \sqrt{{4}} [/latex] = 2
अतः तीनों संख्यायें a – d, a, a + d
= 8 – 2, 8, 8 + 2
= 6, 8, 10

प्रश्न 22.
यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों (UPBoardSolutions.com) का योग दिया है, S_n = (3n² – n) तो ज्ञात कीजिए।
(i) n वाँ पद
(ii) इसका पहला पद
(iii) सार्वअन्तर
हलः
दिया है, S_n = 3n² – n
n = n – 1 रखने पर
S_n-1 = 3(n – 1)² – (n – 1) = 3(n² + 1 – 2n) – n + 1
= 3n² + 3 – 6n – n + 1 = 3n² – 7n + 4
(i) T_n = S_n – S_n-1 = (3n² – n) – (3n² – 7n + 4)
= 3n² – n – 3n² + 7n – 4 = 6n – 4
अतः समान्तर श्रेणी का n वाँ पद = (6n – 4)

(ii) T_n = 6n – 4
n = 1, 2, 3…. रखने पर
T₁ = 6 × 1 – 4 = 6 – 4 = 2
T₂ = 6 × 2 – 4 = 12 – 4 = 8
T₃ = 6 × 3 – 4 = 18 – 4 = 14
तब, समान्तर श्रेणी 2, 8, 14..
अतः श्रेणी का पहला पद a = 2

(iii) सार्वअन्तर d = 8 – 2 = 6

प्रश्न 23.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac{1}{2}[/latex](3n² + 7n) है, तब इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए तथा इसका 20 वाँ पद भी लिखिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n = [latex]\frac{1}{2}[/latex](3n² + 7n)

Ex 5.2 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 24.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग 4n² + 2n है तो समान्तर श्रेणी का n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है S_n = 4n² + 2n
तब n = (n – 1) रखने पर
S_n-1 = 4(n – 1)² + 2(n – 1)
= 4(n² + 1 – 2n) + 2n – 2
= 4n² + 4 – 8n + 2n – 2
= 4n² – 6n + 2
तो समान्तर श्रेणी का n वाँ पद
T_n = S_n – S_n-1 = (4n² + 2n) – (4n² – 6n + 2)
T_n = 4n² + 2n – 4n² + 6n – 2 = (8n – 2)

प्रश्न 25.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का (UPBoardSolutions.com) योग 5n² + 3n है यदि इसका n वाँ पद 168 है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n = 5n² + 3n
तब, माना = 5n² + 3n तथा t_n = 168
n = (n – 1) रखने पर
S_n-1 = 5(n – 1)² + 3(n – 1) = 5(n² + 1 – 2n) + 3n – 3
S_n-1 = 5n² + 5 – 10n + 3n – 3 = 5n² – 7n + 2
तब, T_n = S_n – S_n-1
T_n = (5n² + 3n) – (5n² – 7n + 2)
T_n = 5n² + 3n – 5n² + 7n – 2
T_n = 10n – 2
168 = 10n – 2 या 168 + 2 = 10n
10n = 170 या n = [latex]\frac{170}{10}[/latex]
n = 17

प्रश्न 26.
यदि एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योग (3n² + 4n) है। इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए तथा समान्तर श्रेणी भी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, S_n = 3n² + 4n
तब, n = (n – 1) रखने पर
S_n-1 = 3(n – 1) + 4(n – 1) = 3(n² + 1 – 2n) + 4n – 4
S_n-1 = 3n² + 3 – 6n + 4n – 4 = 3n² – 2n – 1
समान्तर श्रेणी का n वाँ पद T_n = S_n – S_n-1 से
T_n = (3n² + 4n) – (3n² – 2n – 1)
= 3n² + 4n – 3n² + 2n – 1
T_n = (6n + 1)
अब n = 1, 2, 3….. रखने पर,
T₁ = 6 × 1 + 1 = 6 + 1 = 7
T₂ = 6 × 2 + 1 = 12 + 1 = 13
T₃ = 6 × 3 + 1 = 18 + 1 = 19
अतः श्रेणी का n वाँ पद = (6n + 1)
तथा समान्तर श्रेणी 7,13,19,

प्रश्न 27.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का (UPBoardSolutions.com) योग ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद a_n = 7 – 3n है।
हलः
समान्तर श्रेणी का n वाँ पद a_n = 7 – 3n
n = 1, 2, 3…. रखने पर
a₁ = 7 – 3 × 1 = 7 – 3 = 4
a₂ = 7 – 3 × 2 = 7 – 6 = 1
a₃ = 7 – 3 × 3 = 7 – 9 = – 2
समान्तर श्रेणी 4, 1, – 2….
तब a = 4, d = 1 – 4 = – 3 तथा n = 25

प्रश्न 28.
एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद (- 4n + 15) दिया है। इस समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी का n वाँ पद T_n = – 4n + 15 दिया है।
तब, n = 1, 2, 3…. रखने पर
T₁ = – 4 × 1 + 15 = – 4 + 15 = 11
T₂ = – 4 × 2 + 15 = – 8 + 15 = 7
T₃ = – 4 × 3 + 15 = – 12 + 15 = 3
अतः समान्तर श्रेणी, 11,7,3….
तब, a= 11, d = 7 – 11 = – 4 तथा n = 20

प्रश्न 29.
एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योग S_n = 3n² + 5n दिया है। इसका कौन – सा पद 164 है?
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का n वाँ पद 164 है। अर्थात् T_n = 164 तब, .
S_n = 3n² + 5n
n = n – 1 रखने पर
S_n-1 = 3(n – 1)² + 5(n – 1)
= 3(n² + 1 – 2n) + 5n – 5
S_n-1 = 3n² + 3 – 6n + 5n – 5 = 3n² – n – 2
∴ T_n = S_n – S_n-1 = 2n² + 5n – (3n² – n – 2)
T_n = 3n² + 5n – 3n² + n + 2 = 6n + 2
∵ T_n = 164
164 = 6n + 2
164 – 2 = 6n
या 162 = 6n
या n = [latex]\frac{162}{6}[/latex] ⇒ n = 27
n = 27 वाँ पद

प्रश्न 30.
यदि प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओं का (UPBoardSolutions.com) योग, प्रथम n विषम संख्याओं के योग के k गुने के बराबर है। तब k ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रथम n सम – प्राकृतिक संख्याये = 2, 4, 6,….n
तब a = 2, d = 4 – 2 = 2, n = n

प्रश्न 31.
यदि एक समान्तर श्रेणी का पहला पद, दूसरा तथा अन्तिम पद क्रमशः a, b तथा 2a हैं। इसका योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी का पहला पद = a तथा दूसरा पद = b
और अन्तिम पद l = 2a तब d = b – a
∵ l = a + (n – 1)d
2a = a + (n – 1)(b – a)
2a = a + nb – na – b + a
2a = 2a – b + nb – na
2a – 2a + b= n(b – a)
b = n(b – a) या n = [latex]\frac{b}{b-a}[/latex]

प्रश्न 32.
समान्तर श्रेणी के प्रथम 21 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 8 है तथा चौथा पद 14 है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद (UPBoardSolutions.com) a तथा सार्वअन्तर d है।
प्रश्नानुसार, दूसरा पद = 8
a + d = 8 …(1)
तथा चौथा पद = 14

प्रश्न 33.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें 3 वाँ पद 7 है तथा 7 वाँ पद, तीसरे – पद के 3 गुने से 2 अधिक है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, समान्तर श्रेणी का 3 वाँ पद 7
a + 2d = 7 …(1)
समान्तर श्रेणी का 7 वाँ पद = a + 6d
प्रश्नानुसार, a + 6d = 3(a + 2d) + 2
a + 6d = 3a + 6d + 2
a + 6d – 3a – 6d = 2
– 2a = 2 या – a = [latex]\frac{2}{2}[/latex] या a = – 1
a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
– 1 + 2d = 7 या 2d = 7 + 1 या d = [latex]\frac{2}{2}[/latex] = 4
a = – 1, d = 4 तथा n = 20

प्रश्न 34.
यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों (UPBoardSolutions.com) का योग S_n दिया गया है, S_n = (3n² – 4n), तब इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया गया है, S_n = (3n² – 4n)
n = n – 1 रखने पर
S_n-1 = 3(n – 1)² – 4(n – 1) = 3(n² + 1 – 2n) – 4n + 4
S_n-1 = 3n² + 3 – 6n – 4n + 4 = 3n² – 10n + 7
अतः श्रेणी का n वाँ पद T_n = S_n – S_n-1
= 3n² – 4n – (3n² – 10n + 7)
= 3n² – 4n – 3n² + 10n – 7
= 6n – 7

प्रश्न 35.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 8 पदों का योग 100 है तथा इसके प्रथम 19 पदों का योग 551 है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, श्रेणी के प्रथम 8 पदों का योग = 100

प्रश्न 36.
समान्तर श्रेणी के 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 2 है तथा 4 वाँ पद 8 है।
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार, दूसरा पद = 2
a + d = 2 …(1)
तथा 4 वाँ पद = 8

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 3 = 2 या a = 2 – 3 = – 1
a = – 1, d = 3, n = 51

प्रश्न 37.
यदि समान्तर श्रेणी का 5 वाँ पद तथा 12 वाँ पद क्रमशः (UPBoardSolutions.com) – 4 तथा – 18 हैं तो समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, 5 वाँ पद = – 4
a + 4d = – 4 …..(1)
तथा 12 वाँ पद = – 18 ….(2)

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 4 × – 2 = – 4
a – 8 = – 4
a = – 4 + 8 = 4
a = 4, d = –2, n = 20

प्रश्न 38.
एक समान्तर श्रेणी में पहला पद 22 है,n वाँ पद (UPBoardSolutions.com) – 11 है तथा प्रथम n पदों का योग 66 है। n तथा सार्वअन्तर d ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी का पहला पद a = 22
प्रश्नानुसार, n वाँ पद = – 11
a + (n – 1)d = – 11
22 + nd – d = – 11
nd – d = – 11 – 22
nd – d= – 33 …(1)
तथा प्रथम n पदों का योग = 66
[latex]\frac{n}{6}[/latex][2a + (n – 1)d] = 66
n[2 × 22 + nd – d] = 132
समीकरण (1) से,
n[44 + ( – 33)] = 132
n[44 – 33] = 132
11n= 132
या n = [latex]\frac{132}{11}[/latex] = 12
n का मान समीकरण (1) में रखने पर, (UPBoardSolutions.com)
12d – d = – 33
या 11d = – 33
d= [latex]\frac{-33}{11}[/latex] = – 3
अतः n = 12, d= – 3

प्रश्न 39.
यदि एक समान्तर श्रेणी का 10 वाँ पद 21 है तथा इसके प्रथम 10 पदों का योग 120 है तो इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
प्रश्नानुसार, 10 वाँ पद 21
a + 9d = 21 …(1)
तथा प्रथम 10 पदों का योग = 120
[latex]\frac{10}{2}[/latex][2a + (10 – 1)d] = 120
5[2a + 9d] = 120
[2a + 9d] = [latex]\frac{120}{5}[/latex]

a = 3 a का मान समीकरण (1) में रखने पर
3 + 9d = 21
या 9d = 21 – 3 या d = [latex]\frac{19}{2}[/latex] = 2
अतः श्रेणी का n वाँ पद = a + (n – 1)d
= 3 + (n – 1) × 2
= 3 + 2n – 2 = (2n + 1)

प्रश्न 40.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग (UPBoardSolutions.com) 63 है तथा इसके अगले 7 पदों का योग 161 है तो इस समान्तर श्रेणी का 28 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार, प्रथम 7 पदों का योग = 63
a + a + d + a + 2d + a + 3d + a + 4d + a + 5d + a + 6d = 63
7a + 21d = 63
a + 3d = 9 …(1)
तथा इसके अगले 7 पदों का योग = 161
a + 7d + a + 8d + a + 9d + a + 10d + a + 11d + a + 12d + a + 13d = 161
7a + 70d = 161

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 3 × 2 = 9
या a + 6 = 9
या a = 9 – 6 = 3
a = 3 तथा d = 2
तो समान्तर श्रेणी का 28 वाँ पद = a + 27d
= 3 + 27 × 2 = 3 + 54 = 57

प्रश्न 41.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम सात पदों का योग (UPBoardSolutions.com) 182 है। यदि इसका 4 वाँ पद तथा 17 वाँ पद 1 : 5 के अनुपात में है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार, समान्तर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग = 182
∴ a + a + d + a + 2d + a + 3d + a + 4d + a + 5d + a + 6d = 182
7a + 21d = 182
a + 3d = 26 …(1)

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 3 × 8 = 26
या a + 24 = 26
या a = 26 – 24 = 2
a = 2 तथा d = 8
अतः समान्तर श्रेणी a, a + d, a + 2d….
= 2, 2 + 8, 2 + 2 × 8….
= 2, 10, 2 + 16….
= 2, 10, 18, ….

प्रश्न 42.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम १ पदों का योग 63q – 3q² है यदि (UPBoardSolutions.com) इसका p वाँ पद – 60 है। तो p का मान ज्ञात कीजिए तथा इसका 11 वाँ पद भी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
प्रश्नानुसार, दिया है S_q = 63q – 3q²
तथा q = q – 1 रखने पर
S_q-1 = 63(q – 1) – 3(q – 1)²
= 63(q – 1) – 3(q² + 1 – 2q)
S_q-1 = 63q – 63 – 3q² – 3 + 6q
= – 3q² + 69q – 66
अतः श्रेणी का q वाँ पद T_q = S_q – S_q-1
T_q = (63q – 3q²) – (- 3q² + 69q – 66)
= 63q – 3q² + 3q² – 69q + 66
T_q = – 6q + 66
q = 1, 2, 3…. रखने पर
T₁ = – 6 × 1 + 66 = – 6 + 66 = 60
T₂ = – 6 × 2 + 66 = – 12 + 66 = 54
T₃ = – 6 × 3 + 66 = – 18 + 66 = 48
तब समान्तर श्रेणी 60, 54, 48….
a = 60,d = 54 – 60 = – 6
अतः श्रेणी का P वाँ पद = – 60
a + (P – 1)d = – 60
60 + (P – 1) × – 6 = – 60
60 – 6p + 6 = – 60
66 – 6p = – 60
या 66 + 60 = 6p
126 = 6p या p = [latex]\frac{126}{6}[/latex] = 21 (UPBoardSolutions.com)
तथा श्रेणी का 11 वाँ पद = a + 10d
= 60 + 10 × – 6 = 60 – 60 = 0
अतः P = 21 तथा श्रेणी का 11 वाँ पद = 0

प्रश्न 43.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n द्वारा निरूपित किया है तो सिद्ध कीजिए S₁₂ = 3(S₈ – S₄) (NCERT Exemplar)
हलः
समान्तर श्रेणी के n पदों का योग = S_n
या  S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
तब,   S₁₂ = [latex]\frac{12}{2}[/latex][2a + (12 – 1d]
S₁₂ = 6[2a + 11d] …(1)
S₈ = [latex]\frac{8}{2}[/latex][2a + (8 – 1)d]
S₈ = 4[2a + 7d] ..(2)
S₄ = [latex]\frac{4}{2}[/latex][2a + (4 – 1)d]
S₄ = 2[2a + 3d] …(3)
सिद्ध करना है S₁₂ = 3(S₈ – S₄)
R.H.S = 3(S₈ – S₄)
= 3[4(2a + 7d) – 2(2a + 3d)] [समीकरण (2) व समीकरण (3) से]
= 3[8a + 28d – 4a – 6d]
= 3[4a + 22d]
= 3 × 2[2a + 11d]
= 6[2a + 11d]
= S₁₂ = L.H.S

प्रश्न 44.
एक समान्तर श्रेणी का पहला तथा अन्तिम पद (UPBoardSolutions.com) क्रमशः 5 तथा 45 हैं। यदि इसके सभी पदों का योग 400 है तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर d और पदों की संख्या n है।
तब, a = 5 तथा l = 45, S_n = 400

प्रश्न 45.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 9 पदों का योग 162 है। इसके 6 वें पद तथा 13 वें पद का अनुपात 1 : 2 है। समान्तर श्रेणी का पहला तथा 15 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार, समान्तर श्रेणी के प्रथम 9 पदों का योग = 162
[latex]\frac{9}{2}[/latex][2a + (9 – 1)d] = 162
2a + 8d = [latex]\frac{162 \times 2}{9}[/latex]
2a + 8d = 18 × 2 या 2a + 8d = 36
a + 4d = 18 …(1)

d का मान समीकरण (2) में रखने पर
a – 2 × 3 = 0
या a – 6 = 0 या a = 6
श्रेणी का 15 वाँ पद= a + 14d = 6 + 14 × 3
= 6 + 42
= 48
अतः पहला पद = 6 तथा 15 वाँ पद = 48

प्रश्न 46.
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है (UPBoardSolutions.com) तथा इसका पहला पद 10 है। इसका 25 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद, a = 10 तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505
[latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = 1505
[latex]\frac{14}{2}[/latex][2 × 10 + (14 – 1)d] = 1505
7[20 + 13d] = 1505
20 + 13d = [latex]\frac{1505}{7}[/latex]
20 + 13d = 215
13d = 215 – 20 = 195
d = [latex]\frac{195}{13}[/latex] = 15
अतः श्रेणी का 25 वाँ पद = a + 24d = 10 + 24 × 15
= 10 + 360 = 370

प्रश्न 47.
यदि एक समान्तर श्रेणी के 7 पदों का योग 49 है तथा 17 पदों (UPBoardSolutions.com) का योग 289 है तो इसके n पदों का योग ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, श्रेणी के 7 पदों का योग = 49
[latex]\frac{7}{2}[/latex][2a + (7 – 1)d] = 49

d का मान समीकरण (1) में रखने पर
2a + 6 × 2 = 14 या 2a + 12 = 14
2a = 14 – 12
या 2a = 2 या a = [latex]\frac{-2}{2}[/latex] = 1
a = 1, d = 2
तो श्रेणी के n के पदों का योग = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
S_n = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2 × 1 + (n – 1) × 2]
= [latex]\frac{n}{2}[/latex][2 + 2n – 2]
= [latex]\frac{n}{2}[/latex] × 2n = n²

प्रश्न 48.
एक समान्तर श्रेणी का पहला पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 7 तथा 49 है। यदि इसके सभी पदों का योग 420 है तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर d है।
तथा पहला पद a = 7 तथा अन्तिम पद = 49
तब श्रेणी के सभी पदों का योग = 420
[latex]\frac{n}{2}[/latex](a + l) = 420
n(7 + 49) = 420 × 2
56n = 840
n = [latex]\frac{840}{56}[/latex] = 15
तथा l = a + (n – 1)d
49 = 7 + (15 – 1)d
49 – 7 = 14d
[latex]\frac{42}{14}[/latex] = d या d = 3
अतः सार्वअन्तर d = 3

प्रश्न 49.
समान्तर.श्रेणी – 12, – 9, – 6,…21 के पदों की संख्या ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए, यदि इस श्रेणी के प्रत्येक पद में 1 जोड़ दिया जाये तो इस प्रकार की बनी समान्तर श्रेणी के सभी पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी – 12, – 9, – 6,…….21
a = – 12, d = (- 9) – (-12) = –9 + 12 = 3, l = 21
माना श्रेणी में पदों की संख्या’ = n
l = a + (n – 1)d
21 = – 12 + (n – 1) × 3
21 = – 12 + 3n – 3
21 = – 15 + 3n
21 + 15 = 3n
या 3n = 36
n = [latex]\frac{36}{3}[/latex] = 12
∴ n = 12
यदि श्रेणी के प्रत्येक पद में 1 जोड़ दिया जाये तो श्रेणी
– 12 + 1, – 9 + 1, – 6 + 1,…….,21 + 1
– 11, – 8, – 5, ……. 22
तब a = – 11, तथा n = 22
समान्तर श्रेणी के सभी पदों का यो = [latex]\frac{n}{2}[/latex](a + l)
= [latex]\frac{12}{2}[/latex] (-11 + 22)
= 6 × 11 = 66
अत: n = 12 तथा सभी पदों का योग = 66

Ex 5.2 Arithmetic Progressions दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 50.
(i) एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका 7 वाँ पद 30 है तथा 13 वाँ पद 54
(ii) श्रेणी 15 + 11 + 7… के कितने पदों का योग 35 है?
(iii) एक समान्तर श्रेणी 25, 22, 19,… के कुछ (UPBoardSolutions.com) पदों का योग 116 है। इसका अन्तिम पद ज्ञात कीजिए तथा पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) एक समान्तर श्रेणी में पहला पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 7 तथा 57 है। यदि इसके सभी पदों का योग 352 है। तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार,
7वाँ पद = 30
a + 6d = 30 …(1)
13 वाँ पद = 54

(ii) श्रेणी 15 + 11 + 7 ……
a = 15, d = 11 – 15 = – 4
माना श्रेणी के n पदों का योग = 35
[latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = 35
n[2 × 15 + (n – 1) × – 4] = 35 × 2
n[30 – 4n + 4] = 70
n[34 – 4n] = 70
34n – 4n² – 70 = 0
-4n² + 34n – 70 = 0
– 2[2n² – 17n + 35] = 0
2n² – 17n + 35 = 0
2n² – 10n – 7n + 35 = 0
2n(n – 5) – 7(n – 5) = 0
(n – 5)(2n – 7) = 0
n – 5 = 0 तथा 2n – 7 = 0
n = 5, n = [latex]\frac{7}{2}[/latex] (अमान्य)
अतः n – 5

(iii) समान्तर श्रेणी 25, 22, 19….
a = 25, d = 22 – 25 = – 3
माना श्रेणी के n पदों का योग (UPBoardSolutions.com) = 116
तब [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d] = 116
n[2 × 25 + (n – 1) × – 3] = 232
n[50 – 3n + 3] = 232
n[53 – 3n] = 232
53n – 3n² = 232
-3n² + 53n – 232 = 0
3n² – 53n + 232 = 0
3n² – 29n – 24n + 232 = 0
n(3n – 29) – 8(3n – 29) = 0
(3n – 29)(n – 8) = 0
3n – 29 = 0 तथा n – 8 = 0
n = [latex]\frac{29}{3}[/latex] (अमान्य) n = 8
तथा l = a + (n – 1)d
l = 25 + (8 – 1) × – 3 = 25 – 7 × 3
l = 25 – 21 = 4
अतः अन्तिम पद l = 4 तथा पदों की संख्या = 8

(iv) समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 7 तथा अन्तिम पद l = 57
माना, श्रेणी के n पदों का योग = 352
तब [latex]\frac{n}{2}[/latex](a + l) = 352
[latex]\frac{n}{2}[/latex](7 + 57) = 352
[latex]\frac{n}{2}[/latex] × 64 = 352
32n = 352
n = [latex]\frac{352}{32}[/latex] = 11
अतः पदों की संख्या = 11

प्रश्न 51.
एक समान्तर श्रेणी के 35 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 2 है तथा 7 वाँ पद 22 है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब प्रश्नानुसार, श्रेणी का दूसरा पद = 2
a + d = 2 …(1)

प्रश्न 52.
यदि एक समान्तर श्रेणी का पहला पद 2 है तथा इसके (UPBoardSolutions.com) प्रथम पाँच पदों का योग, अगले पाँच पदों के योग का [latex]\frac{1}{4}[/latex] है। तब सिद्ध कीजिए कि समान्तर श्रेणी का 20 वाँ पद – 112 है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का पहला पद a = 2 तथा सार्वअन्तर d है।
तब, प्रश्नानुसार,
a + a + d + a + 2d + a + 3d + a + 4 = [latex]\frac{1}{4}[/latex](a + 5d + a + 6d + a + 7d + a + 8d + a + 9d)
5a + 10d = [latex]\frac{1}{4}[/latex](5a + 35d)
20a + 40d = 5a + 35d या 20a – 5a + 40d – 35d = 0
15a + 5d = 0
a = 2 रखने पर 15 × 2 + 5d = 0 या 30 + 5d = 0 या 5d = – 30 या d = – 6
अतः a_n = a + (n – 1)d
a₂₀ = 2 + (20 – 1) × – 6
a₂₀ = 2 – 19 × 6 = 2 – 114 = – 112
अतः समान्तर श्रेणी का 20 वाँ पद = – 112

प्रश्न 53.
यदि एक समान्तर श्रेणी में m पदों का योग, n पदों के योग के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि (m + n) वें पद का योग शून्य है।
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर (UPBoardSolutions.com) d है:
तब, प्रश्नानुसार, m पदों का योग = n पदों का योग
[latex]\frac{m}{2}[/latex][2a + (m – 1)d] = [latex]\frac{n}{2}[/latex][2a + (n – 1)d]
m[2a + (m – 1)d] = n[2a + (n – 1)d]
2am + (m – 1)md = 2an + (n – 1)nd
2am – 2an = (n – 1)nd – (m – 1)md
2a(m – n) = [n² – n – m² + m]d
2a(m – n) = [n² – m² – n + m]d
2a(m – n) = [(n + m)(n – m) – 1(n – m)]d
2a(m – n) = (n – m)(m + n – 1)d

प्रश्न 54.
यदि एक समान्तर श्रेणी के p, q तथा r पदों का योग क्रमशः a, b तथा c है। तो सिद्ध कीजिए कि

(NCERT Exemplar)
हलः
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद A तथा सार्वअन्तर D है, तब प्रश्नानुसार,

प्रश्न 55.
यदि दो समान्तर श्रेणी के n पदों के योग का अनुपात (UPBoardSolutions.com) 14 – 4n : 3n + 5 है। उनके 8 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, दो समान्तर श्रेणी के प्रथम पद क्रमशः a₁ तथा a₂ और सार्वअन्तर क्रमश: d₁ तथा d₂ हैं।

प्रश्न 56.
यदि एक समान्तर श्रेणी के p वाँ पद [latex]\frac{1}{q}[/latex] तथा q वाँ पद [latex]\frac{1}{p}[/latex] है तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग [latex]\frac{1}{2}[/latex](pq + 1) है।
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d हैं।

प्रश्न 57.
यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग q है तथा प्रथम व पदों का योग p है तो निम्न का योग ज्ञात कीजिए :
(i) (p + q) पदों का
(ii) (p – q) पदों का
हल:
(i) माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।

प्रश्न 58.
यदि एक समान्तर श्रेणी के n, 2n तथा 3n पदों (UPBoardSolutions.com) का योग क्रमशः S₁, S₃ तथा S₃ है तो सिद्ध कीजिए कि S₃ = 3(S₂ – S₁) (NCERT)
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।

प्रश्न 59.
यदि समीकरण (b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0 के मूल बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, b तथा c एक समान्तर श्रेणी में हैं।
हलः
समीकरण (b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0
A = (b – c), B = (c – a), C = (a – b)
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ B² – 4AC = 0
(c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0
c² + a² – 2ca – 4(ab – b² – ca + bc) = 0
c² + a² – 2ca – 4ab + 4b²+ 4ca – 4bc = 0
4b² – 4ab – 4bc = -c² – a² + 2ca – 4ca
4b² – 4b(a + c) = -c² – a² – 2ca
4b² – 4b(a + c) = -(c² + a² + 2ca)
4b² – 4b(a + c) = -(a + c)²
4b² = 4b(a + c) – (a + c)²
4b² = (a + c)[4b – a – c]
∵ a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं।
∴ 2b = a + c
4b² = 2b(4b – a – c)
[latex]\frac{4 b^{2}}{2 b}[/latex] = 4b – a – c
2b = 4b – a – c
a + c = 4b – 2b
a + c = 2b
या 2b = a + c
अतः a, b तथा c एक समान्तर श्रेणी में है।

प्रश्न 60.
यदि S_n = n²p तथा S_m = m²p, m ≠ n है (UPBoardSolutions.com) तो सिद्ध कीजिए कि S_p = p³
हलः
माना, समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
यदि S_n = n²p

d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
2a + (n – 1)2p = 2np
2a + 2np – 2p = 2np
2a = 2np – 2np + 2p
2a = 2p
सिद्ध करना हैं S_p = p³
L. H. S. S_p = [latex]\frac{p}{2}[/latex][2a + (p – 1)d]
2a व d का मान रखने पर,
S_p = [latex]\frac{p}{2}[/latex][2p + (p – 1)2p]
= [latex]\frac{p}{2}[/latex] × 2p[1 + p – 1]
= p² × p = p³ = R.H.S.

प्रश्न 61.
यदि S₁, S₂, S₃ तीन समान्तर श्रेणी के n पदों का योग है। (UPBoardSolutions.com) जिनका प्रथम पद 1 है तथा सार्वअन्तर क्रमशः 1, 2 तथा 3 है तो सिद्ध कीजिए कि S₁ + S₃ = 2S₂
हलः

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions