Class 10

UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry

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प्रश्नावली 7.1 (NCERT Page 177)

प्र. 1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)

प्र. 2. बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की (UPBoardSolutions.com) दूरी ज्ञात कीजिए। एक शहर B एक अन्य शहर A से 36 किमी. पूर्व (east) और 15 किमी. उत्तर (north) की ओर है। शहर B की शहरे A से बिना वास्तविक मापन के दूरी ज्ञात कीजिए।

प्र. 3. निर्धारित कीजिए की क्या बिन्दु (1, 5), (2, 3) और (UPBoardSolutions.com) (-2, -11) सरेंखी हैं|

प्र. 4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) (UPBoardSolutions.com) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं |

प्र. 5. किसी कक्षा में. चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति 7.8 में दर्शाया गया है | चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने तक के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम (UPBoardSolutions.com) नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है ?’ चमेली इससे सहमत नहीं है ?’ दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है|

प्र. 6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चर्तुभुज का प्रकार (UPBoardSolutions.com) (यदि कोई है तो) बताइए तथाअपने उतर के लिए करण भी दीजिए :
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

प्र. 7. x – अक्ष मान पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (UPBoardSolutions.com) (-2, 9) से समदूरस्थ हैं|
हल : माना A (2, -5), B (-2, 9), तथा x-अक्ष पर बिंदु P (x, 0), हैं|

प्र. 8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P (2, -3) और (UPBoardSolutions.com) Q (10, y ) के बीच की दुरी 10 मात्रक है|

प्र. 9. यदि Q (0, 1) बिन्दुओं P (5, -3) और R (x, 6) से समदूरस्थ है, (UPBoardSolutions.com) तो x के मान ज्ञात कीजिए| दुरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए|

प्र. 10. x और y में एक ऐसा संबध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (UPBoardSolutions.com) (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो|

प्रश्नावली 7.2 (NCERT Page 183)

प्र. 1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1, 7) और (UPBoardSolutions.com) (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है |

प्र. 2. बिन्दुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

प्र. 3. आपके स्कूल में खेल -कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चुने से परस्पर 1m की दुरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं | AD के अनुदिश परस्पर 1m की दुरी पर 100 गमले रखे हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है| निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है |प्रीत आठवीं (UPBoardSolutions.com) पंक्ति में AD के [latex]\frac { 1 }{ 5 }[/latex] भाग के बराबर की दूरी दौडती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड देती है दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी ( बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

प्र. 4. बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिन्दु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है|

प्र. 5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A (1, -5) और B (-4, 5) (UPBoardSolutions.com) को मिलाने वाला रेखाखंड x- अक्ष से विभाजित होता है| इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए|

प्र. 6. यदि बिन्दु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में (UPBoardSolutions.com) लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए |

प्र. 7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है (UPBoardSolutions.com) जिसका केंद्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं|

प्र. 8. यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक (UPBoardSolutions.com) ज्ञात कीजिए ताकि AP = [latex]\frac { 3 }{ 7 }[/latex] AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो|

प्र. 9.बिन्दुओं A (-2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार (UPBoardSolutions.com) बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

प्र. 10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (UPBoardSolutions.com) (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं

प्रश्नावली 7.3 (NCERT Page 188)

प्र. 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4) (UPBoardSolutions.com)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)

प्र. 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘4’ का मान ज्ञात कीजिए, (UPBoardSolutions.com) ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों|
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)

प्र. 3. शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के (UPBoardSolutions.com) मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ। अनुपात ज्ञात कीजिए।

प्र. 4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (UPBoardSolutions.com) (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।

प्र. 5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A (4, -6), (UPBoardSolutions.com) B (3, -2) और C (5, 2) हैं।

प्रश्नावली 7.4 (NCERT Page 188)

प्र. 1. बिन्दुओं A (2, -2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को (UPBoardSolutions.com) रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए|
हलः माना दिए गये बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB को रेखा 2x + y – 4 = 0 बिन्दु C पर है k : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।

प्र. 2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिउंदु (UPBoardSolutions.com) (x, y), (1, 2) और (7, 0) सरेंखी हैं|

प्र. 3.बिन्दुओं (6, -6), (3, 7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए|

प्र. 4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं) वर्ग (UPBoardSolutions.com) के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए|

हलः माना वर्ग ABCD में A (-1, 2) और C (3, 2) सम्मुख शीर्ष हैं।
माना अज्ञात शीर्ष B के निर्देशांक (3, 3) (UPBoardSolutions.com) हैं। चूंकि एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं।

प्र. 5. कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विधार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है | गुलमोहर की पौध को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है | इस भूखंड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है | विधार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे (UPBoardSolutions.com) के बीज बोने हैं |
(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
(ii) यदि मूलबिंदु C हो, त्रिभुज ΔPQR के निर्देशांक क्या होंगे| साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए| आप क्या देखते हैं ?

हलः (i) A को मूल बिन्दु (origin) और AD तथा AB के निर्देशांक अक्ष लेने पर हमें प्राप्त होता है कि
P के निर्देशांक (4, 6), Q के निर्देशांक (3, 2), R के निर्देशांक (6, 5) ΔPQR के शीर्ष हैं।
(ii) बिन्दु C के मूल बिन्दु और CB तथा CD को निर्देशांक-अक्ष लेने पर ΔPQR के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
P (12, 2), Q (13, 6) और R (10, 3)
अब, क्षे. (ΔPQR) [जबकि P(4, 6), Q(3, 2) और R(6, 5) हैं]
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [4 (2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2)]
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [-12 – 3 + 24] (UPBoardSolutions.com) = [latex]\frac { 9 }{ 2 }[/latex] वर्ग इकाई
क्षे. (ΔPQR)
[जब P(12, 2), २(13, 6) और R(10, 3) हैं]
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [12 (6 – 3) + 13 (3 – 2) + 10 (2 – 6]
= [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [36 + 13 – 40] = [latex]\frac { 9 }{ 2 }[/latex] वर्ग इकाई
इस प्रकार, दोनों अवस्थाओं में ΔPQR का क्षेत्रफल एक ही है।

प्र. 6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं | भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की [latex]\frac { AD }{ AB }[/latex] = [latex]\frac { AE }{ AC }[/latex] = [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] है| त्रिभुज ΔADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना त्रिभुज ΔABC के क्षेत्रफल से (UPBoardSolutions.com) कीजिए|

प्र. 7. मान लीजिए A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं |
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है | बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2 : 1 हो|
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के (UPBoardSolutions.com) निर्देशांक ज्ञात कीजिए की BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो|
(iv) आप क्या देखते हैं ?
[नोट : वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है|]
(v) यदि A (x1, y1 ), B (x2, y2 ) और C (x3, y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, (UPBoardSolutions.com) तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

प्र. 8. बिन्दुओं A (-1, -1), B (-1, 4), C (5, 4) और D (5, -1) से एक आयात ABCD बनता है| PQR और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं| क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक (UPBoardSolutions.com) समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए|

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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables

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प्रश्नावली 3.1 (NCERT Page 49)

प्र. 1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था | अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए|
हल :
माना आफ़ताब की वर्त्तमान आयु = x वर्ष
और उसकी पुत्री की वर्त्तमान आयु = y वर्ष
7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = x – 7 वर्ष
और उसकी पुत्री की आयु (UPBoardSolutions.com) = y – 7 वर्ष
स्थित – I
x – 7 = 7(y – 7)
x – 7 = 7y – 49
x – 7y = 7 – 49
x – 7y = – 42 ……… (1)
3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = x + 3 वर्ष
और उसकी पुत्री की आयु = y + 3 वर्ष
स्थित – II
x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x – 3y = 9 – 3
x – 3y = 6 ……. (2)
बीजगणितीय रूप में :
x – 7y = – 42 ……… (1)
x – 3y = 6 ……. (2)

प्र. 2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रू में 3 बल्ले तथा 6 (UPBoardSolutions.com) गेंदे खरीदी बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदे 1300 रू में खरीदीं इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए
हल : माना एक बल्ले का मूल्य = x रुपये
और एक गेंद का मूल्य = y रुपये
अत: बीजगणितीय निरूपण
3x + 6y = 3900 ………. (1) और
x + 2y = 1300 ………. (2)
समी० (1) से
3x + 6y = 3900
3(x + 2y) = 3990
या x + 2y = 1300
x = 1300 – 2y
इसी प्रकार समी० (2) से
x + 2y = 1300
x = 1300 – 2y

प्र. 3. 2kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रू था | एक (UPBoardSolutions.com) महीने बाद 4 kg सेब और दो kg अंगूर का मूल्य 300 रू हो जाता है |इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए
हल : माना एक किलों सेब का मूल्य = x रुपया
और एक किलो अंगूर का मूल्य = y रुपया
अत: बीजगणितीय निरूपण :
2x + y = 160 ……… (1)
4x + 2y = 300 …….. (2)
ग्राफीय निरूपण :
समी० (1) से
2x + y = 160
y = 160 – 2x
अब समी० (2) से (UPBoardSolutions.com)
4x + 2y = 300
या 2x + y = 150
y = 150 – 2x

प्रश्नावली 3.2 (NCERT Page 55)

प्र. 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए
(i) कक्षा x के 10 विधार्थियों ने एक गणित की पहेली (UPBoardSolutions.com) प्रतियोगिता में भाग लिया यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लडको और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए
हल :
माना लड़कियों की संख्या = x
तथा लड़कों की संख्या = y
प्रश्नानुसार,
लड़के और लडकियाँ की कुल संख्या 10 है|
इसलिए, x + y = 10 …….. (1)
लड़कों से लड़कियाँ 4 अधिक हैं |
इसलिए, x – y = -4 …….. (2)
समी० (1) के लिए (UPBoardSolutions.com) तालिका
x + y = 10
⇒ y = 10 – x
समी० (2) के लिए तालिका
x – y = -4
⇒ y = x + 4

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं (UPBoardSolutions.com) कि बिंदु (3, 5) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |
इसलिए, पेन्सिल का मूल्य = 3 और कलम का मूल्य = 5 है|

प्र 2. अनुपातों [latex]\frac { { { a }_{ 1 } } }{ { a }_{ 2 } }[/latex], [latex]\frac { { { b }_{ 1 } } }{ { b }_{ 2 } }[/latex] और [latex]\frac { { { c }_{ 1 } } }{ { c }_{ 2 } }[/latex] की तुलना कर ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
(i) 5x – 4y +8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x +3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0

प्र० 3. अनुपातों [latex]\frac { { { a }_{ 1 } } }{ { a }_{ 2 } }[/latex], [latex]\frac { { { b }_{ 1 } } }{ { b }_{ 2 } }[/latex] और [latex]\frac { { { c }_{ 1 } } }{ { c }_{ 2 } }[/latex] की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगतः
(i) 3x + 2y = 5;
2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8;
4x – 6y = 9
(iii) [latex]\frac { 3 }{ 2 }[/latex] x – [latex]\frac { 5 }{ 3 }[/latex] y = 7;
9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11
-10x + 6y = -22
(v) [latex]\frac { 4 }{ 3 }[/latex] x + 2y = 8; (UPBoardSolutions.com)
2x + 3y = 12

प्र० 4. निम्न रैखिक समीकरणों के (UPBoardSolutions.com) युग्मों में से कौन से युग्म संगत /असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0

प्र० 5. एक आयताकार बाग़ जिसकी लंम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, (UPBoardSolutions.com) का अर्धपरिमाप 36m है| बाग़ की विमाएँ ज्ञात कीजिए|
हल : माना आयताकार बाग की लंबाई = x m
और चौड़ाई = y m है|
अर्धपरिमाप = 36 m

प्र० 6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है दी चरों में एक (UPBoardSolutions.com) ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिछेद करती रेखाएँ हों
(ii) समांतर रेखाएँ हों|
(iii) संपाती रेखाएँ हों
हल : 2x + 3y – 8 = 0 …… (i) (दिया है)
हमें एक और ऐसी ही रैखिक समीकरण खींचना है जिससे प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाए हो
रेखाए प्रतिच्छेद करती हो इसके लिए

प्र० 7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का (UPBoardSolutions.com) ग्राफ खींचिए x- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए

प्रश्नावली 3.3 (NCERT Page 59)

प्र० 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

प्र० 2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें (UPBoardSolutions.com) ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो |
हल :
2x + 3y = 11 ……. (i)
2x – 4y = – 24 ….. (ii)
समीकरण (i) से
2x + 3y = 11

प्र 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के (UPBoardSolutions.com) अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 किमी. दूरी के लिए भाड़ा 105 है तथा 15 किमी. के लिए भाड़ा 155 है। नियत भाड़ा तथा
प्रति किमी. भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी. यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह [latex]\frac { 9 }{ 11 }[/latex] हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह [latex]\frac { 5 }{ 6 }[/latex] हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

प्रश्नावली 3.4 (NCERT Page 63)

प्र 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल (UPBoardSolutions.com) कीजिए कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) [latex]\frac { x }{ 2 }[/latex] + [latex]\frac { 2y }{ 3 }[/latex] = -1 और x – [latex]\frac { y }{ 3 }[/latex] = 3

प्र 2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 (UPBoardSolutions.com) में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] हो जाती है। यह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से रे 50 तथा 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 और 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच (UPBoardSolutions.com) दिनों तक रखने के 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) माना भिन्न का अंश = x और भिन्न का हर =y

प्रश्नावली 3.5 (NCERT Page 69)

प्र 1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक (UPBoardSolutions.com) अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है | अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज – गुणन विधि से ज्ञात कीजिए
(i) x – 3y = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0

प्र 2. (i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b) x + ( a + b) y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक (UPBoardSolutions.com) समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?
3x + y = 1
(2k – 1) x + (k – 1) y = 2k + 1

(UPBoardSolutions.com)

प्र 3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज – गुणन विधियों से हल कीजिए किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4

प्र 4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि (UPBoardSolutions.com) उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्धार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है, जबकि एक विधार्थी B को,जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते है | नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए|
(ii) एक भिन्न [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex] हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है| वह भिन्न ज्ञात कीजिए|
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे (UPBoardSolutions.com) प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई | यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश ५०अन्क अर्जित करता टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है | एक कार A से तथा दूसरी कार b से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है | यदि ए कारे भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं | दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए|
(v) एक आयात का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है| आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए|

प्रश्नावली 3.6 (NCERT Page 74)

प्र 1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों (UPBoardSolutions.com) के युग्म में बदल करके हल कीजिए :

प्र 2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है| उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए|

(ii) 2 महिलाएँ एंव 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ- साथ 4 (UPBoardSolutions.com) दिन में पूरा कर सकते है | जबकि 3 महिलाएँ एंव 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते है ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक महिला कितना समय लेगी | पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा|
(iii) रूही 300 km दुरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दुरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दुरी बस द्वारा तय करती है | यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं | यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं| रेलगाड़ी एंव बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए|

प्रश्नावली 3.7 (NCERT Page 75)

प्र 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है| अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है| कैथी और धरम की आयु का अन्तर 300 वर्ष है| अणि (UPBoardSolutions.com) और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए|

प्र 2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी (UPBoardSolutions.com) बन जाऊँगा’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए की उनकी क्रमशः कल्या संपत्तिया हैं ?

प्र 3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते(UPBoardSolutions.com) रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए|

प्र 4. एक कक्षा के विधार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है| यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक होते, तो पंक्ति कम होती| यदि पंक्ति में 3 विधार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं| कक्षा में विधार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए|

प्र 5. एक त्रिभुज ∆ABC में, ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B) है| (UPBoardSolutions.com) त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए|

प्र 6. समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए| इन रेखाओं और y -अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए| इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए|

प्र 7. निम्न रैखिक समीकरणों (UPBoardSolutions.com) के युग्मों को हल कीजिए :
(i) px + qy = p – q
qx – pq = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) [latex]\frac { x }{ a }[/latex] – [latex]\frac { y }{ b }[/latex] = 0
ax + by = a² + b²
(iv) (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b) (x + y ) = a² + b²
(v) 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604

 

प्र 8. ABCD एक चतुर्भुज है इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए|

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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials

These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 10 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials.

प्रश्नावली 2.1 (NCERT Page 31)

प्र. 1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हलः
(i) दिया गया ग्राफ -अक्ष के समान्तर है।
यह x-अक्ष को किसी भी बिन्दु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है।
शून्यकों की संख्या = 0
(ii) दिया गया p(x) का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या =1
(iii) p(x) का ग्राफ x-अक्ष (UPBoardSolutions.com) को तीन बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 3
(iv) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को दो बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 2
(v) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 4
(vi) p(x) का ग्राफ -अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 3 (UPBoardSolutions.com)

प्रश्नावली 2.2 (NCERT Page 36)

प्र. 1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s +1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² +8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4

प्र. 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, (UPBoardSolutions.com) जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं :
(i) [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] , -1
(ii) √2, [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex]
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) [latex]\frac { -1 }{ 4 }[/latex] , [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex]
(vi) 4, 1

प्रश्नावली 2.3 (NCERT Page 39)

प्र. 1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, (UPBoardSolutions.com) निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²

प्र. 2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को (UPBoardSolutions.com) भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 (UPBoardSolutions.com)

प्र. 4. यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) (UPBoardSolutions.com) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : भाज्य p(x) = x³ – 3x² + x + 2
भागफल q(x) = x – 2,
शेषफल r(x) = -2x + 4
भाजक g(x) = ?
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
p(x) = g(x) × q(x) + r(x) (UPBoardSolutions.com)
x³ – 3x² + x + 2 = g(x) (x – 2) + (- 2x + 4)
x³ – 3x² + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)
g(x) (x – 2) = x³ – 3x² + 3x – 2

प्र. 5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के (UPBoardSolutions.com) ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
(iii) घात r(x) = 0
 विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हुए प्रत्येक (UPBoardSolutions.com) का एक-एक उदाहरण इस प्रकार हैः ।

प्रश्नावली 2.4 (NCERT Page 40)

प्र. 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात (UPBoardSolutions.com) बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex], 1, -2;
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1

प्र० 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों (UPBoardSolutions.com) का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।

प्र० 3. यवि बहुपव x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।

प्र० 4. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक (UPBoardSolutions.com) 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।

प्र० 5. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।

Hope given UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 are helpful to complete your homework.
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UP Board Class 10 English Book Solution Pdf download are the part of UP Board Solutions for Class 10. Here we have given UP Board Books Class 10th English Solutions Pdf.

UP Board Class 10 English Book Solutions

SECTION A
ENGLISH READER

PROSE SECTION

• Chapter 1 The Enchanted Pool (C. Rajagopalachari)
• Chapter 2 A Letter to God (G.L. Fuentes)
• Chapter 3 The Ganga (Jawaharlal Nehru)
• Chapter 4 Socrates (Rhoda Power) [Adapted]
• Chapter 5 Torch Bearers (W.M. Ryburn)
• Chapter 6 Our Indian Music : Stories and Anecdotes (R. Srinivasan)
  • Matching of Words

POETRY SECTION

• Chapter 1 The Fountain (James Russell Lowell)
• Chapter 2 The Psalm of Life (H. W. Longfellow)
• Chapter 3 The Village Song (Sarojini Naidu)
• Chapter 4 The Nation Builders (Ralph Waldo Emerson)

SUPPLEMENTARY READER

• Chapter 1 The Inventor Who Kept His Promise
• Chapter 2 The Judgement-Seat of Vikramaditya (Sister Nivedita)
• Chapter 3 My Greatest Olympic Prize (Jesse Owens)

SECTION B
GRAMMAR

1. The Sentence : Kinds
2. Parts of a Sentence
3. The Verb : Kinds
4. Primary Auxiliaries (Be, Have, Do)
5. Modal Auxiliaries
6. Negative Sentences
7. Interrogative Sentences
8. Tenses and Their Uses (Active Voice)
9. Tenses and Their Uses (Passive Voice)
10. Parts of Speech
11. Reporting (Direct/Indirect Speech)
12. Completion of Sentences
13. Word-Formation
14. Punctuation
15. Spelling
    • Translation
    • Passages for Translation
    • Comprehension: Unseen Passages

Section ‘A’ : Mode of Reading or Reading Style
Section ‘B’ : Knowledge of Grammar
Section ‘C’ : Mode of Creative Writing

• Monthly Test Paper-1
• Monthly Test Paper-2
• Monthly Test Paper-3
• Model Paper

We hope the given UP Board Class 10 English Book Solution Pdf download will help you. If you have any query regarding UP Board Books Class 10th English Solutions Pdf, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.

These Sample papers are part of CBSE Sample Papers for Class 10 Maths. Here we have given CBSE Sample Papers for Class 10 Maths Paper 10.

CBSE Sample Papers for Class 10 Maths Paper 10

Board	CBSE
Class	X
Subject	Maths
Sample Paper Set	Paper 10
Category	CBSE Sample Papers

Students who are going to appear for CBSE Class 10 Examinations are advised to practice the CBSE sample papers given here which is designed as per the latest Syllabus and marking scheme as prescribed by the CBSE is given here. Paper 10 of Solved CBSE Sample Paper for Class 10 Maths is given below with free pdf download solutions.

Time allowed: 3 Hours
Maximum Marks: 80

General Instructions

• All questions are compulsory.
• The question paper consists of 30 questions divided into four sections A, B, C and D.
• Section A contains 6 questions of 1 mark each. Section B contains 6 questions of 2 marks each. Section C contains 10 questions of 3 marks each. Section D contains 8 questions of 4 marks each.
• There is no overall choice. However, an internal choice has been provided in four questions of 3 marks each and three questions of 4 marks each. You have to attempt only one of the alternatives in all such questions.
• Use of calculators is not permitted.

Section – A

Question 1.
a and b are two positive integers such that the least prime factor of a is 3 and the least prime factor of his 5. Then calculate the least prime factor of (a + b). [2014]

Question 2.
Find the centroid of the triangle whose vertices are (-1,1), (-3,4) and (8,-11)

Question 3.
If sin A= [latex]\frac { 1 }{ 2 } [/latex] (0° < A < 90°) then find the value of cos³ A – 3 cos A [2014,2015]

Question 4.
Write the nature of roots of quadratic equation 4x² + 4 √3x + 3 = 0

Question 5.
In ∆ABC, if X and Y are points on AB and AC respectively such that [latex]\frac { AX }{ XB } [/latex] = [latex]\frac { 3 }{ 4 } [/latex], AY = 5cm and YC = 9cm, then state whether XYand BC parallel or not. [2015,2016]

Question 6.
If a_n = [latex]\frac { n(n-3) }{ n+4 } [/latex] then find 18^th term of this sequence.

Section – B

Question 7.
Express the number [latex]0.\overline { 3178 } [/latex] in the form of rational number [latex]\frac { a }{ b } [/latex].

Question 8.
A factory had 120 workers in January and 90 of them were female workers. In February, another 15 male workers are added. A worker is then picked at random. Calculate the probability of picking a female worker.

Question 9.
The sum of the digits of a two digit number is 8. The number obtained by reversing the digits exceeds the original number by 18. Find the given number.

Question 10.
If P (x,y) is any point on the line joining the points A (a, 0) andB (0, b), then show that [latex]\frac { x }{ a } [/latex] + [latex]\frac { y }{ b } [/latex] = 1

Question 11.
If p,q, r are in A.P. then find the value of p³ + r³ – 8q³.

Question 12.
Ajar contains only green, white and yellow marbles. The probability of selecting a green marble and white marble randomly from a jar is 1/4 and 1/3 respectively. If this jar contains 10 yellow marbles, what is the total number of marbles in the jar ?

Section – C

Question 13.
Prove that 3 + 2 √5 is irrational.

Question 14.
On dividing x³ – 3x² + x + 2 by a polynomial g(x), the quotient and remainder were x – 2 and -2x + 4 respectively. Find g(x).

Question 15.

Question 16.

Question 17.
From given fig. express ‘x’ in terms of a, b, c.

In figure, two line segments AC and BD intersect each other at the point P such that PA = 6 cm, PB = 3 cm, PC = 2.5 cm, PD = 5 cm, ∠APB = 50° and ∠CDP = 30° Then, find the value of ∠PBA

Question 18.
In fig. A circle touches the side BC of ∆ABC at P and touches AB and AC produced at Q and R respectively. If AQ= 5 cm, find the perimeter of ∆ABC.

Question 19.
Solve the equations :

Question 20.
Find the area of a triangle with vertices (a, b + c), (b, c + a) and (c, a + b).

Question 21.
In the given figure, OACB is a quadrant of a circle with centre O and radius 3.5 an. If OD=2an, find the area of the shaded region. [2017]

Question 22.
In figure, a tent is in the shape of a cylinder surmounted by a conical top of same diameter. If the height and diameter of cylindrical part are 2.1 m and 3 m respectively and the slant height of conical part is 2.8 m, find the cost of canvas needed to make the tent if the canvas is available at the rate of ₹ 500/sq. metre. ( Use π = [latex]\frac { 22 }{ 7 } [/latex] ) [2016]

OR
Prove that the largest possible sphere is carved out from a wooden solid cube of side 7 cm. Find the volume of the wood left. ( Use π = [latex]\frac { 22 }{ 7 } [/latex] ) [2014]

Section – D

Question 23.
In a triangle, if the square of one side is equal to the sum of the squares of the other two sides, then prove that the angle opposite to the first side is a right angle.
OR
Prove that if a line divides any two sides of a triangle in the same ratio, then the line is parallel to the third side.

Question 24.
Aboy onhorizontal plane finds bird flying at a distance of 100 m from him at an elevation of30°. Agirl standing on the roofof20 metre high building, finds the angle of elevation ofthe same bird to be 45°. Both the boy and the girl are on opposite sides of the bird. Find the distance of bird from the girl.
OR
A 1.2 m tall girl spots a balloon moving with the wind in a horizontal line at a height of 88.2 m from the ground. The angle of elevation of the balloon from the eyes of the girl at= any instant is 60°. After sometime, the angle of elevation reduces to 30°. Find the distance travelled by the balloon during the interval.

Question 25.
If the p^th term of an A.P. is ( [latex]\frac { 1 }{ q } [/latex] ) and its q^th term is ( [latex]\frac { 1 }{ p } [/latex] ). show that the sume of its first pq term is [latex]\frac { 1 }{ 2 } [/latex] (pq + 1).

Question 26.
Roots of the quadratic equation 36x² – 12ax + (a² – b²) = 0 are [latex]\frac { a+b }{ c } [/latex] and [latex]\frac { a-b }{ c } [/latex] then, find the value of c.
OR
Find the real roots of the equation x^2/3 + x^1/3 – 2 = 0

Question 27.
A farmer connects a pipe ofintemal diameter 20 cm from a canal into a cylindrical tank which is 10 m in
diameter and 2 m deep. If the water flows through the pipe at the rate of 4 km per hour, in how much time will the tank be filled completely? [2014]

Question 28.
The following table shows marks secures by 140 students in an examination :

Marks	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
No. of Student	20	24	40	36	20

Calculation of mean by Step-deviation method.

Question 29.

Question 30.
Construct a tangent to a circle of radius 4 cm from a point on the concentric circle of radius 6 cm and measure its length.

Solutions

Solution 1.
Least prime factor of (a + b) is 2. Because a + b= 8 and least prime factor of 8 is 2. Since,

Solution 2.

Solution 3.

Solution 4.
∵ 4x² + 4√3 x + 3 = 0
So,determinant = b2 – 4ac = (4√3)² -4 × 4 × 3 = 0 Hence,
Hence, roots are real and equal

Solution 5.

Solution 6.

Solution 7.
Let x = 0.31783178 …(i)
Multiply by 10000
10000 x = 3178.31783178 …..(ii)
Subtracting (i) from (ii)
10000x = 3178.3178 …..
x = 0.3178 ….

Solution 8.
Initial number of workers = 120
When 15 male workers are added, then the total number of workers = 120 + 15 = 135
Number of female workers = 90
Probability of female workers = [latex]\frac { 90 }{ 135 } [/latex] = [latex]\frac { 2 }{ 3 } [/latex]

Solution 9.
Let the unit digits be x
∴ Tens’ digits = 8 – x
∴ Required number = 10(8 – x) + x = 80 – 9x
Reverse number = 10x + (8 – x) = 9x + 8
∴ (9x + 8) – (80 – 9x) = 18
⇒ x = 5
∴ Tens digit = 8 – 5 = 3
∴ Required number = 35

Solution 10.
As the point P (x, y) lies on the line joining the points A (a, 0) and B (0, b), the points A, B and P are collinear
⇒ a(b – y) + 0 (y – 0) + x (0 – b) = 0
⇒ ab – ay – bx = 0 ⇒ bx + ay = ab
⇒ [latex]\frac { x }{ a } [/latex] + [latex]\frac { y }{ b } [/latex] = 1

Solution 11.
∵ 2q = p + r
∴ p + r – 2q = 0
so, p³ + r³ – 8q³ = 3 × p × r × (-2q) = -6 pqr

Solution 12.
Let the no. of green marbles = x
Let the no. of white marbles = y
∴ Total no. ofmarbles = x + y + 10

Solution 13.

Solution 14.
We know that, if p(x) and g(x) are any two polynomials with g(x) ≠ 0, then we can find polynomials q (x) and r (x) such that

Solution 15.

Solution 16.

Solution 17.

Solution 18.
To Find : Perimeter of ∆ABC
Let AQ = 5 cm
and
AQ = AR ….. (i)
BQ = BP ….. (ii)
CP = CR ….. (iii)
(Tangent drawn from an external points are equal)

∴ Perimeter of ∆ABC = AB + BC + CA
= AB + BP + PC + CA [∵ BC = BP + PC]
= (AB + BQ) + (CR + CA) from (ii) and (iii)
= AQ + AR [∵ AQ = AR from (i)]
=AQ+AQ = 2 AQ =2 × 5 = 10cm
∴ Perimeter of ∆ABC = 10 cm.

Solution 19.

Solution 20.

Solution 21.

Solution 22.
Canvas needed to make the tent = C.S.A of the conical part + C.S.A ofthe cylindrical part Given that
Radius of the conical part = Radius of the cylindrical part = [latex]\frac { 3 }{ 2 } [/latex] m
Slant height ofthe conical part = l = 2.8 m
Height of the cylindrical part = h = 2.1 m

Solution 23.

Solution 24.
Let P, B and A be the positions of the bird, boy and girl respectively.
Given PB = 100m, AC = 20m, Let PM = xm.
In right-angled ∆PBO, we have,

OR
Suppose P be the position of the balloon if its angle of elevation from the eyes of the girl is 60° and Q be the position if angle of elevation is 30°.

Solution 25.

Solution 26.

Solution 27.
Internal diameter of pipe = 20 cm
Internal radius of pipe = 10 cm
Radius of cylindrical tank = 5 m = 500 cm
Height of cyclindrical tank = 200 cm
Water flows in 1 hour = 400000 cm
Let we assume the height of pipe = 400000 cm
Now, volume of tank = πr² h = π (500)² (200) = 50000000 π cm³
Volume of water flow in hour = π (20)² (400000) = 160000000 π
Time taken = [latex]\frac { 5 }{ 16 } [/latex] hour = [latex]\frac { 5 }{ 16 } [/latex] × 60 min = [latex]\frac { 300 }{ 16 } [/latex] min = [latex]\frac { 75 }{ 4 } [/latex] × 60 sec = 1125 sec or 18.75 min

Solution 28.

Solution 29.

Solution 30.

Steps of construction :

1. Draw two circles with common centre O and of radii 4cm and 6cm.
2. Take any point P on the outer circle.
3. Joint the point P to the centre O.
4. Draw perpendicular bisector of PO, which intersects PO at point Q.
5. With centre Q and radius PQ or QO, draw a circle, which intersects the inner circle at points R and S.
6. Draw rays PR and PS.
   Thus, PR and PS are the required tangents.
   By measurement PR = 4.5 cm = PS.

Verification by Actual Calculation :

Join O to RandS.
Since, OR and OS are the radius through the point of contact of the tangent to the circle.
∴ OR ⊥PR and OS ⊥ PS
PR= √OP² – OR²
= √36 – 16 = √20
= 4.5 cm (Approximately)
Since, PR and PS are two tangents from an exterior point to the same circle
∴ PR = PS = 4.5 cm (Approximately)
Hence verified.

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