Class 9

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 15 Circle Ex 15.1 वृत्त

Ex 15.1 Circle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
चित्र में O, वृत्त का केन्द्र, जीवा AB = 10 सेमी तथा व्यास AC = 26 सेमी है। जीवा AB की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए। [UP 2001, 03]
हल:

प्रश्न 2.
एक वृत्त की जीवा की लम्बाई 16 सेमी तथा वृत्त के केन्द्र से इसकी दूरी 6 सेमी है। तब वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 3.
वृत्त की एक जीवा की लम्बाई 8 सेमी तथा वृत्त के केन्द्र से इसकी दूरी 3 सेमी है। तब वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [UP 2003]
हलः

प्रश्न 4.
वृत्त के लघु वृत्तखण्ड का कोण ज्ञात कीजिए। [UP 2000]
हलः
अधिक कोण

प्रश्न 5.
एक वृत्त का केन्द्र 0 तथा त्रिज्या OP = 10 सेमी है। जीवा PQ पर लम्ब OR की लम्बाई 6 सेमी है। तब PQ का मान ज्ञात कीजिए। [UP 2000]
हलः
समकोण ∆OPR में, (OP)² = (OR)² + (PR)²
(10)² = (6)² + (PR)²
100 = 36 + (PR)²
100 – 36 = (PR)²
∴ PR = [latex]\sqrt{64}[/latex] = 8 सेमी
∴ जीवा PQ = 2 × PR = 2 × 8 = 16 सेमी

प्रश्न 6.
चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र है तथा OA = 5 सेमी।0 से AB पर लम्ब OC की लम्बाई 4 सेमी है तब जीवा AB का मान ज्ञात कीजिए। (UP 2009, 10, 11)
हलः
समकोण ∆OAC में,
(OA)² = (AC)² + (OC)²
(5)² = (AC)² + (4)²
25 = (AC)² +16
25 -16 = (AC)²
या (AC)² = 9
∴ AC = [latex]\sqrt{9}[/latex] = 3 सेमी
∴ जीवा AB = 2 × AC = 2 × 3 = 6 सेमी

प्रश्न 7.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा एक जीवा AB = 24 सेमी है। जीवा की वृत्त के केन्द्र O से दूरी 5 सेमी है। तब वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए। (UP 2009)
हलः
समकोण ∆OAP में,
(OA)² = (OP)² + (AP)²
(OA)² = (5)² + (12)² (∵ AP = AB /2)
(OA)² = 25 +144 = 169
OA = [latex]\sqrt{169}[/latex] = 13 सेमी
∴ वृत्त का व्यास = 2 × त्रिज्या
= 2 – 13 = 26 सेमी

प्रश्न 8.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा एक जीवा AB = 30 सेमी है तथा इसका व्यास AD = 34 सेमी है। जीवा AB की केन्द्र O से दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 15.1 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 9.
एक 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 8 सेमी की एक जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए। [UP 2005]
हल:
वृत्त की त्रिज्या OP = 5 सेमी
∵ वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 10.
एक 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 3 सेमी की दूरी पर जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (UP 2006)
हलः
समकोण ∆OAM में,
(OA)² = (OM)² + (AM )²
(5)² = (3)² + (AM)²
25 = 9 + (AM)²
25 – 9 = (AM)²
16 = (AM)²
∴ AM = [latex]\sqrt{16}[/latex] = 4 सेमी
∴ जीवा AB = 2 × AM = 2 × 4 = 8 सेमी

प्रश्न 11.
एक वृत्त की एक चाप दी गयी है। प्रदर्शित कीजिए कि वृत्त को पूरा कैसे किया जायेगा?
हलः
एक वृत्त का चाप AXB दिया है। वृत्त का केन्द्र ज्ञात करने के लिए AB को मिलाया। जीवा AB का लम्बार्द्धक खींचा, जो चाप को M बिन्दु पर काटता है। बिन्दु A अथवा B से कोई न्यूनकोण बनाती AY रेखा नीचे की ओर खींची। रेखा AY पर 90° का कोण बनाते हुए AX रेखा खींची जो AB के लम्बार्द्धक को बिन्दु O पर काटती है। अब बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर OA त्रिज्या परकार में लेकर एक वृत्त खींचा जो दिये गये । चाप को ही पूर्ण करता है।

प्रश्न 12.
दिये गये वृत्त का केन्द्र ज्ञात करने की विधि बताइये।
हलः
(1) वृत्त पर तीन बिन्दु A, B,C लिए।
(2) AB तथा BC को मिलाया।
(3) AB तथा BC के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो एक-दूसरे को बिन्दु O पर
काटते हैं।
(4) बिन्दु O वृत्त का अभीष्ट केन्द्र है।

Ex 15.1 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 13.
चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र, त्रिज्या 5 सेमी तथा OP ⊥ AB, OQ ⊥ CD व AB||CD, AB = 6 सेमी, CD = 8 सेमी है। PQ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 14.
यदि वृत्त का व्यास उसकी प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है तब सिद्ध कीजिए कि उसकी जीवाऐं समान्तर हैं।
हलः
प्रथम स्थिति : यदि वृत्त की दो जीवाऐं वृत्त के एक ही ओर हैं।
∵ वृत्त के केन्द्र तथा जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
∠OMA = ∠OMB = 90° (प्रत्येक 90°)
∠ONC = ∠OND = 90° (प्रत्येक 90°)
∠OMA = ∠ONC = 90° (संगत कोण)
तथा
∠OMB = ∠OND = 90° (संगत कोण)
परन्तु ये संगत कोण तभी बराबर होंगे जबकि AB ||CD
द्वितीय स्थिति : यदि वृत्त की दोनों जीवाऐं वृत्त के केन्द्र के विपरीत ओर हैं।
∵ वृत्त के केन्द्र तथा जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
∠OMA = ∠OMB = 90° (प्रत्येक 90°)
∠ONC = ∠OND = 90° (प्रत्येक 90°)
∠OMA = ∠OND = 90° तथा
∠OMB = ∠ONC = 90°
परन्तु ये कोण एकान्तर कोण हैं। ये कोण एकान्तर तभी हो सकते हैं जबकि
AB||CD
∵ वृत्त की जीवायें AB तथा CD समान्तर होंगी।

प्रश्न 15.
दो समान वृत्त परस्पर P व Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। P से एक रेखा, वृत्तों पर बिन्दु A व B से मिलती है। सिद्ध कीजिए कि QA = QB
हलः

चाप PQ दोनों वृत्तों में उभयनिष्ठ हैं।
∴ ∠QAP = ∠QBP
PQ उभयनिष्ठ जीवा
तथा
∠APQ = ∠QPB
(वृत्तों के शेष कोणों द्वारा बने कोण)
अतः ∆APQ ≅ ∆BPQ
∴ QA = QB

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.6 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.6 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Question)

निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
x² + 7x + 12
हल:
x² + 7x + 12 = x² + (3 + 4)x + 12 12 = 3 × 4
= x² + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)

प्रश्न 2.
x² – 14x + 48
हल:
x² – 14x + 48 = x² – (6 + 8)x + 48 (48 = 6 × 8)
= x² – 6x – 8x + 48 = x(x – 6) – 8(x – 6) = (x – 6)(x – 8)

प्रश्न 3.
x² – 7x – 18
हल:
x² – 7x – 18 = x² – (9 – 2)x – 18 = x² – 9x + 2x – 18 = x(x – 9) + 2(x – 9) = (x – 9)(x + 2)

प्रश्न 4.
x² – 25x + 84
हल:
x² – 25x + 84 = x² – (21 + 4)x + 84 (84 = 4 × 21)
= x² – 21x – 4x + 84= x(x -21)- 4(x – 21)= (x – 21)(x – 4)

प्रश्न 5.
2x² + 7x + 6
हल:
2x² + 7x + 6 = 2x² + (3 + 4)x + 6                         (2 × 6 = 12 ⇒ 12 = 3 × 4)
= 2x² + 3x + 4x + 6 = x(2x + 3) + 2(2x + 3) = (2x + 3)(x + 2)

प्रश्न 6.
2x² – 13x + 15
हलः
2x² – 13x + 15 = 2x² – (3 + 10)x + 15 (2 × 15 = 30 ⇒ 30 = 3 × 10)
= 2x² – 3x – 10x + 15 = x(2x – 3) – 5(2x – 3) = (2x – 3)(x – 5)

प्रश्न 7.
3x² – 14x + 8
हल:
3x² – 14x + 8 = 3x² – (2 + 12)x + 8 (3 × 8 = 24 ⇒ 24 = 12 × 2)
= 3x² – 2x – 12x + 8= x(3x – 2) – 4(3x – 2) = (3x – 2)(x – 4 )

प्रश्न 8.
3x² + 10x – 8
हलः
3x² + 10x – 8= 3x² + (12 – 2)x – 8 (3 × 8 = 24 ⇒ 24 = 2× 12)
= 3x² + 12x – 2x – 8 = 3x(x + 4) – 2(x + 4)= (x + 4)(3x – 2)

Ex 5.6 Polynomial and their Factors लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 9.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 8(x + 2)² + 2(x + 2) – 15
(ii) 12(x² + 7x)² – 8(x² + 7x)(2x – 1) – 15(2x – 1)²
(iii) (x² – 2x)² – 23(x² – 2x) + 120
(iv) (x + 2y)² + 5(x + 2y)(2x + y) + 6(2x + y)²
हलः
(i) 8(x + 2)² + 2(x + 2) – 15
माना x + 2 = y
= 8y² + 2y – 15
= 8y² +(12 – 10)y – 15 (8 × 15 = 120 ⇒ 120 = 12 × 10)
= 8y² + 12y – 10y – 15 = 4y(2y + 3) – 5(2y + 3)
= (2y + 3)(4y – 5)=[2(x + 2) + 3] [4(x + 2) – 5]
= [2x + 4 + 3][4x + 8 – 5) = (2x + 7) (4x + 3)

(ii) 12(x² + 7x)² – 8(x² + 7x)(2x – 1) – 15(2x – 1)²
हलः
x² + 7x = y तथा 2x – 1 = z
= 12y² – 8yz – 15z²
= 12y² – (18 – 10)yz – 15z² (12 × 15 = 180 ⇒ 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5)
= 12y² – 18ýz + 10yz – 15z²
= 6y (2y – 3z) + 5z(2y – 3z) = (2y – 3z)(6y + 5z)
= [2(x² + 7x) – 3(2x – 1)][6(x² + 7x) + 5(2x – 1)]
= [2x² + 14x – 6x + 3] [6x² + 42x + 10x – 5]
= [2x² + 8x + 3][6x² + 52x – 5]

(iii) (x² – 2x)² – 23(x² – 2x) + 120
हलः
x² – 2x = y
=y² – 23y + 120
= y² – (8 + 15)y + 120 (120 = 8 × 15)
= y² – 8y – 15y + 120 = y(y – 8) – 15(y – 8)
= (y – 15)(y – 8)
= (x² – 2x – 15)(x² – 2x – 8) (15 = 3 × 5 व 8 = 4 × 2)
= [x² – (5 – 3)x – 15][x² – (4 – 2)x – 8]
= [x² – 5x + 3x – 15][x² – 4x + 2x – 8]
=[x(x – 5) + 3(x – 5)][x(x – 4) + 2(x – 4)]
= [(x + 3)(x – 5)][(x – 4)(x + 2)]

(iv) (x + 2y)² + 5(x + 2y)(2x + y) + 6(2x + y)²
हलः
माना x + 2y = m तथा 2x + y = n
= m² + 5mn + 6n² = m² +(2 + 3)mn +6n²
= m² + 2mn + 3mn + 6n² = m(m + 2n) + 3n(m + 2n)
= (m + 2n)(m + 3n)
यहाँ [x + 2y + 2(2x + y)][x + 2y + 3(2x + y)]
=[x + 2y + 4x + 2y][x + 2y + 6x + 3y] = [5x + 4y][7x + 5y]

प्रश्न 10.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) [latex]\frac{1}{3} x^{2}[/latex] – 2x – 9
(ii) [latex]\frac{1}{4} x^{2}[/latex] + x – 3
(iii) 8x³ – 2x²y – 15xy²
(iv) 9x³y +41x²y² + 20xy³
हलः


(iii) 8x³ – 2x²y – 15xy² = x[8x² – 2xy -15y²]
= x[8x² – (12 – 10)xy -15y²] (∵ 8 × 15 = 120 ⇒ 120 = 12× 10)
= x[8x² – 12xy + 10xy – 15y²]
= x[4x(2x – 3y) + 5y(2x – 3y)] = x(2x – 3y)(4x + 5y)

(iv) 9x³y + 41x²y² + 20xy³ = xy[9x² + 41xy + 20y²]
= xy[9x² + (36 + 5)xy + 20y²] (9 × 20 = 180 ⇒ 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5)
= xy[9x² + 36xy + 5xy + 20y²]
= xy[9x(x + 4y) + 5y (x + 4y)] = xy(9x + 5y)(x + 4y)

प्रश्न 11.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x² +4x – 21
(ii) x² – 7x + 12
(iii) x² – 21x + 108
(iv) x² + 5x – 36
हल:
(i) x² + 4x – 21 = x² + (7 – 3)x – 21 (21 = 3 × 7)
= x² + 7x – 3x – 21 = x(x + 7) – 3(x + 7) = (x + 7)(x – 3)

(ii) x² – 7x + 12 = x² – (3 + 4)x + 12 (12 = 2 × 2 × 3)
= x² – 3x – 4x + 12 = x(x – 3) – 4(x – 3) = (x – 3)(x – 4)

(iii) x² – 21x + 108 = x² – (12 + 9)x + 108 (108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 12 × 9)
= x² – 12x – 9x + 108 = x(x – 12)- 9(x – 12) = (x – 12)(x – 9)

(iv) x² + 5x – 36 = x² + (9 – 4)x – 36 (36 = 2 × 2 × 3 × 3)
= x² + 9x – 4x – 36 = x(x + 9)- 4(x + 9) = (x + 9)(x – 4)

प्रश्न 12.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड इनके मध्य पद को विभक्त करके कीजिए
(i) x⁴ + 3x² – 28
(ii) x⁴ – 5x² + 4
हल:
(i) x⁴ + 3x² – 28 = x⁴ + (7 – 4)x² – 28 (∵ 28 = 2 × 2 × 7)
= x⁴ + 7x² – 4x² – 28 = x²(x² + 7) – 4(x² + 7)
= (x² + 7)(x² – 4) = (x² + 7)[(x)⁴ – (2)⁴] = (x² + 7)(x + 2)(x – 2)

(ii) x⁴ – 5x² + 4 = x⁴ – (1 + 4)x² + 4 (∵ 4 = 1 × 4)
= x⁴ – x² – 4x² + 4 = x²(x² – 1) – 4(x² – 1) = (x² – 1)(x² – 4)
= [(x)² – (1)²][(x²) – (2)²] = (x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2)

प्रश्न 13.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x² + [latex]4 \sqrt{2} x[/latex] + 6
(ii) x² + [latex]5 \sqrt{3} x[/latex] + 12
(iii) x² + [latex]5 \sqrt{5} x[/latex] + 30
(iv) x² + [latex]6 \sqrt{6} x[/latex] + 48
हलः

प्रश्न 14.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) [latex]\left(5 x-\frac{1}{x}\right)^{2}+5\left(5 x-\frac{1}{x}\right)+6[/latex]
(ii) (p + q)² – 20(p + q) – 125
(iii) (a² – a)² – 8(a² – a) + 12
(iv) (x² – 4x)(x² – 4x – 1) – 20
(v) (x² + x)² + 4(x² + x) – 12
(vi) (3x – 4)² – (3x – 4) – 42
हलः

(ii) (p + q)² – 20(p + q) – 125
माना P + q = x
= x² – 20x – 125 = x² – (25 – 5)x – 125
= x² – 25x + 5x – 125 = x(x – 25) + 5(x – 25)
= (x + 5)(x – 25)
∴ (p + q – 25)(p + q + 5)

(iii) (a² – a)² – 8(a² – a) + 12
माना a² – a = x
→ = x² – 8x + 12
= x² – (2 + 6)x + 12 = x² – 2x – 6x +12
= x(x – 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 6)
∴ (a² – a – 2)(a² – a – 6)
=[a² – (2 – 1)a – 2][a² – (3 – 2)a – 6]
=[a – 2a + a – 2][a² – 3a + 2a – 6]
= [a(a – 2) + 1(a – 2)][a(a – 3) + 2(a – 3)]
= (a – 2)(a + 1)(a – 3)(a + 2)

(iv) (x² – 4x)(x² – 4x -1) – 20
माना x² – 4x = y
⇒ = y (y – 1) – 20 = y² – y – 20
= y² – (5 – 4)y – 20
= y² – 5y + 4y – 20
= y(y – 5) + 4(y – 5) = (y – 5)(y + 4)
∴ (x² – 4x – 5)(x² – 4x + 4)
= [x² – (5 – 1)x – 5][x² – (2 + 2)x + 4]
= [x² – 5x + x – 5][x² – 2x – 2x + 4]
= [x(x – 5) + 16x – 5)][x(x – 2) – 2(x -2)]
= (x – 5) (x + 1) (x – 2) (x – 2) = (x – 5)(x + 1)(x – 2)²

(v) (x² + x)² + 46x² + x) – 12
माना x² + x = y
= y² + 4y – 12
= y² + (6 – 2)y – 12 = y² + 6y – 2y -12
= y(y + 6) – 2(y + 6) = (y + 6)(y – 2)
∴ (x² + x + 6) (x² + x – 2)
= (x² + x + 6)[x² + (2 – 1)x – 2] = (x² + x + 6)[x² + 2x – x – 2] = (x² + x + 6)[x(x + 2) – 1(x + 2)]
= (x² + x + 6)(x – 1)(x + 2)

(vi) (3x – 4)² – (3x – 4) – 42
माना 3x – 4 = y
→ = y² – y – 42 (∵ 42 = 2 × 3 × 7 = 6 × 7)
= y² – (7 – 6)y – 42 = y² – 7y + 6y – 42
= y(y – 7) + 6(y – 7) = (y – 7)(y + 6)
∴ (3x – 4 – 7)(3x – 4 + 6)
= (3x – 11)(3x + 2)

Ex 5.6 Polynomial and their Factors लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 15.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x⁴ – x² – 12
(ii) m⁸ – 11m⁴n⁴ – 80n⁸
हल:
(i) x⁴ – x² – 12
= x⁴ – (4 – 3)x² – 12
= x² – 4x² + 3x² – 12 = x²(x² – 4) + 3(x² – 4)
= (x² – 4)(x² + 3) = (x)² – (2)²(x² + 3)
= (x + 2)(x – 2)(x² + 3)

(ii) m⁸ – 11m⁴n⁴ – 80n⁸ (∵ 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5)
= m⁸ – (16 – 5)m⁴n⁴ – 80n⁸
= m⁸ – 16m⁴n⁴ + 5m⁴n⁸ – 80n⁸ = m⁴ (m⁴ – 16n⁴) + 5n⁴(m⁴ – 16n⁴)
= (m⁴ + 5n⁴)(m⁴ – 16n⁴) = (m⁴ + 5n⁴)(m² + 4n²)(m² – 4n²)
= (m⁴ + 5n⁴)(m² + 4n)(m + 2n)(m – 2n)

प्रश्न 16.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 2x² + 13x + 20
(ii) 6x² + 11x + 3
(iii) 9x² + 27x + 20
(iv) 2x² – 11x – 63
(v) 10x² – 9x – 7
(vi) 21x² + 5x – 6
हल:
(i) 2x² + 13x + 20 (∵ 2 × 20 = 2 × 2 × 2 × 5)
= 2x² + (5 + 8)x + 20 = 2x² + 5x + 8x + 20
= x(2x + 5) + 4(2x + 5) = (2x + 5)(x + 4)

(ii) 6x² + 11x +3 (∵ 6x 3 = 18 = 2 × 3 × 3)
= 6x² + (2 + 9)x + 3 = 6x² + 2x + 9x + 3
= 2x(3x + 1) + 3(3x + 1) = (3x + 1)(2x +3)

(iii) 9x² + 27x + 20 = 9x² + (12 + 15)x + 20 (∵ 9 × 20 = 3 × 3 × 2 × 2 × 5)
= 9x² + 12x + 15x + 20 = 3x(3x + 4) + 5(3x + 4)= (3x + 4)(3x + 5)

(iv) 2x² – 11x – 63 = 2x² – (18 – 7)x – 63 (∵ 2 × 63 = 2 × 3 × 3 × 7)
= 2x² – 18x + 7x – 63 = 2x(x – 9) + 7(x – 9) = (x – 9)(2x + 7)

(v) 10x² – 9x – 7 = 10x² – (14 – 5)x – 7 (∵ 10 × 7 = 2 × 5 × 7)
= 10x² – 14x + 5x -7 = 2x(5x – 7) + 1(5x – 7) = (5x – 7)(2x + 1)

(vi) 21x² + 5x – 6 = 21x² + (14 – 9)x – 6 (∵ 21 × 6 = 3 × 7 × 2 × 3)
= 21x² + 14x – 9x – 6 = 7x (3x + 2) – 3(3x + 2) = (3x + 2)(7x – 3)

प्रश्न 17.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) [latex]\frac{1}{2} x^{2}[/latex] + 4x + 6
(ii) 2x² – x + [latex]\frac{1}{8}[/latex]
हलः

प्रश्न 18.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 7(x + 2y)² – 25(x + 2y) + 12
(ii) 8(a + 1)² +2(a + 1)(b + 2) – 15(b + 2)²
(iii) 12(x² + 7x)² – 8(x² + 7x)(2x – 1) + (2x – 1)²
(iv) 2(y² + 2y)² – 5(y² + 2y) + 3
(v) 6(x² + 4x)² – 11(x² + 4x)- 10
हलः
(i) 7(x + 2y)² – 25(x + 2y) + 12
माना x + 2y = z
= 7z²– 25z + 12
= 7z² – (21 + 4)z + 12 (∵ 7 × 12 = 7 × 2 × 2 × 3)
=7z² – 21z – 4z + 12 = 7z(z – 3) – 4(z – 3)
= (z – 3)(7z – 4) =(x + 2y – 3)[7(x + 2y) – 4]
(x + 2y – 3)(7x + 14y – 4)

(ii) 8(a + 1)² + 2(a + 1)(b + 2) – 15(b + 2)²
माना (a + 1) = x तथा (b + 2) = y
= 8x² + 20y – 15y²
= 8x² +(12 – 10)xy – 15y² (∵ 15 × 8 = 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5)
= 8x² + 12xy – 10xy – 15y²
= 4x(2x + 3y) – 5y (2x + 3y) = (2x + 3y)(4x – 5y)
⇒ [2(a + 1) + 3(b + 2)][4(a + 1) – 5(b + 2)]
= [2a + 2+ 3b + 6][4a + 4 – 5b – 10]
= [2a + 3b + 8][4a – 5b – 6]

(iii) 12(x² + 7x)² – 8(x² + 7x)(2x – 1) + (2x – 1)²
माना x² + 7 x = m तथा 2x – 1 = n
12m² – 8mn +n²
= 12m² – (6 + 2)mn + n² (∵ 12 × 1 = 12 = 2 × 2 × 3)
= 12m² – 6mn – 2mn + n²
= 6m(2m – n) – n(2m – n)= (6m – n)(2m – n)
= [6(x² + 7x) – 2x + 1][2(x² + 7x) – 2x + 1]
= (6x² + 42x – 2x + 1)(2x² + 14x – 2x + 1)
= (6x² + 40x + 1)(2x² + 12x + 1)

(iv) 2(y² + 2y)² – 5(y² + 2y) + 3
माना y² + 2y = m
= 2m² – 5m + 3 = 2m² – (2 + 3)m + 3 (∵ 2 × 3 = 6)
= 2m² – 2m – 3m + 3 = 2m(m – 1) – 3(m – 1)
= [(2m – 3)(m – 1)] = [2(y² + 2y) – 3][y² + 2y – 1]
=[2y² + 4y – 3][y² + 2y – 1]

(v) 6(x² + 4x)² – 11(x² + 4x) – 10
माना x² + 4x = m
= 6m² – 11m – 10
= 6m² -(15 – 4)m – 10 (∵ 10 × 6 = 60 = 2 × 2 × 3 × 5)
= 6m² – 15m + 4m – 10 = 3m(2m – 5) + 2(2m – 5)
= (2m – 5)(3m + 2) = [2(x² + 4x) – 5][3(x² + 4x) + 2]
= [2x² + 8x – 5][3x² + 12x + 2]

प्रश्न 19.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए

हलः

प्रश्न 20.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए

हलः

प्रश्न 21.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए

हलः

प्रश्न 22.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 9a³b + 41a²b² + 20ab³
(ii) ax² + (4a² – 3b)x – 12ab
(iii) 25x² + 10xy – 8y²
(iv) 4x² + 20xy + 25y²
हलः
(i) 9a²b + 41a²b² + 20ab³ = ab[9a² + 41ab + 20b²] (∵ 9 × 20 = 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5)
= ab[9a² + (36 + 5)ab + 20b²] = ab[9a² + 36ab + 5ab + 20b²]
= ab[9a(a + 4b) + 5b(a + 4b)] = ab(9a + 5b)(a + 4b)]

(ii) ax² + (4a² – 3b)x – 12ab = ax² + 4a²x – 3bx – 12ab = ax(x + 4a) – 3b(x + 4a)
= (x + 4a)(ax – 3b)

(iii) 25x² + 10xy – 8y² = 25x² + (20 – 10)xy – 8y² (∵ 25 × 8 = 200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5)
= 25x² + 20xy – 10xy – 8y² = 5x(5x + 4y) – 2y(5x + 4y)
= (5x + 4y)(5x – 2y)

(iv) 4x² + 20xy + 25y² = 4x² + (10 + 10)xy + 25y² (∵ 4 × 25 = 100 = 10 × 10)
= 4x² + 10xy + 10xy + 25y² = 2x(2x + 5y) + 5y (2x + 5y)
= (2x + 5y)(2x + 5y)

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 16 Constructions Ex 16.1 रचनाऐं

प्रश्न 1.
एक ∆ ABC बनायें, जिसका आधार BC = 4 सेमी, ∠B = 60° तथा AB – AC = 1 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 4 सेमी की रेखा खींची तथा बिन्दु B पर एक कोण 60° का बनाया।
चरण 2 : इस 60° के कोण वाली रेखा पर 1 सेमी पर चाप D लगाया।
चरण 3 : बिन्दु D को C से मिलाकर DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो रेखा को A पर काटता है। A को C से मिलाया।

∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज PQR बनाये, जिसमें आधार QR = 4 सेमी, ∠R = 30° तथा PR – PQ = 1.1 सेमी है।
हलः

रचनाः
चरण 1: QR, 4 सेमी की रेखा खींची तथा ∠R, 30° का कोण बनाती हुई रेखा खींची।
चरण 2 : बिन्दु R से एक चाप लगाया जो 30° वाली रेखा को पीछे बढ़ाने पर बिन्दु D पर काटता है। QD को मिलाया। चरण 3 : QD का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो रेखा को P पर काटता है, PQ को मिलाया। ∆ PQR ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
एक ∆ ABC बनायें, जिसमें आधार BC = 4.5 सेमी, ∠B = 60° तथा AB + AC = 7 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 4.5 सेमी की एक रेखा खींची। उसके ∠B पर 60° का कोण बनाया।
चरण 2: 60° के कोण वाली रेखा से 7 सेमी की रेखा BD काटी तथा DC को मिलाया।
चरण 3 : भुजा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BD को बिन्दु A पर काटता है, AC को मिलाया।

इस प्रकार ∆ ABC ही अभीष्ट A है।

प्रश्न 4.
एक ∆ ABC बनाये, जिसमें ∠B = 45%, ∠C = 60° तथा शीर्ष A से आधार BC पर लम्ब 4.5 सेमी का
है।
हलः
रचनाः
चरण 1: AD, 4.5 सेमी की एक रेखा खींची। उसके बिन्दु A पर 30° का कोण ऊपर तथा 45° का कोण
नीचे की ओर बनाया।
चरण 2 : बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा खींची जो उपर बिन्दु C तथा नीचे बिन्दु B पर काटती है।
अत: ∆ ABC ही अभीष्ट ∆ है।

प्रश्न 5.
एक ∆ ABC बनाइए यदि इसका परिमाप 11 सेमी तथा आधार कोण 75° तथा 30° के है।
हलः
रचनाः
चरण 1: PQ, 11 सेमी की एक रेखा खींची। उसके बिन्दु P तथा Q पर क्रमशः 75° व 30° के कोण बनाये।
चरण 2 : ∠P व ∠Q के समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 3 : AP तथा AQ के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो आधार PQ को क्रमशः B व C पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 4: A को B तथा A को C से मिलाया।

∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 6.
एक ∆ ABC बनाये जिसका परिमाप 14 सेमी है तथा भुजाएं 2 : 3 : 4 के अनुपात में है।
हलः
रचना: ∆ ABC में परिमाप = 14 सेमी
माना AB = 2x,
BC = 3x,
AC = 4x
2x + 3x + 4x = 14
9x = 14

चरण 1: BC, 4.7 सेमी की एक रेखा खींची।
चरण 2: उसके बिन्दु B व C को केन्द्र मानकर क्रमशः 3.1 सेमी व 6.2 सेमी लम्बाई के चाप लगाये जो परस्पर A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 3 : A को B से तथा A को C से मिलाया।
अत: ∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए यदि इसकी ऊँचाई 5 सेमी है।
हलः
रचना :
चरण 1: PQ, एक रेखा खींची। उसके किसी बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई एक रेखा DE खींची।
चरण 2 : रेखा DE से DA, 5 सेमी की रेखा काटी।
चरण 3 : रेखा DE के बिन्दु A पर दोनों ओर 30° के कोण बनाये जो आधार PQ को क्रमश: B व C पर
काटते हैं।

अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 8.
एक समकोण A बनाये जब एक भुजा 3.5 सेमी तथा कर्ण व अन्य दो भुजाओं का योग 5.5 सेमी है। (NCERT Exemplar)
हलः
रचना :
चरण 1: BC, 3.5 सेमी की एक रेखा खींची। उसके किसी बिन्दु B पर 90° का कोण बनाती हुई 5.5 सेमी
की एक रेखा BD खींची।
चरण 2: बिन्दु D को C से मिलाया। तथा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा, जो BD को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद
करता है।
चरण 3 : A को C से मिलाया।

अत: ∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज ABC बनायें जिसमें BC = 4 सेमी, ∠B = 75° तथा माध्यिका 3.2 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 4 सेमी की एक रेखा खींची। उसके किसी बिन्दु B पर 75° का कोण बनाती हुई एक रेखा खींची।
चरण 2 : बिन्दु BC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BC को बिन्दु M पर काटता है।
चरण 3: बिन्दु M को केन्द्र मानकर 75° के कोण वाली रेखा पर एक चाप । काटा जो उसे A पर काटता है। A को C से मिलाया।

अत: ∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज हैं।

प्रश्न 10.
एक ∆ABC बनाये जिसमें आधार BC = 5.4 सेमी, A शीर्षलम्ब 2.6 सेमी है तथा AB को समद्विभाग करने वाली माध्यिका 3.5 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 5.4सेमी की एक रेखा खींची। उसके बिन्दु B पर नीचे की ओर 30° का कोण बनाया तथा उस रेखा पर 90° का कोण बनाती हुई एक रेखा खींची।
चरण 2: BC रेखा का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो उसे M पर काटता है तथा 90° वाली रेखा को O पर काटता है।
चरण 3: बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर BO दूरी परकार में लेकर एक वृत्तखण्ड खींचा। बिन्दु M को केन्द्र मानकर माध्यिका 3.5 सेमी से दो चाप लगाये जो वृत्तखण्ड को A व A’ पर काटते हैं।
चरण 4: A को B से तथा A को C से मिलाया। A’ को B तथा C से मिलया। अत: ∆ ABC तथा A’BC दो अभीष्ट त्रिभुज है। इस प्रकार ABC तथा A’BC दो त्रिभुज सम्भव है।

प्रश्न 11.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें आधार AB = 3.8 सेमी, AD = DC = 3.2 सेमी, BD = 4.1 सेमी तथा BC = 2.2 सेमी है। अब चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का एक त्रिभुज DAE बनायें।
हलः
रचनाः
चरण 1: AB, 3.8 सेमी की रेखा खींची। A का केन्द्र मानकर 3.2 सेमी से एक चाप तथा बिन्दु B को केन्द्र मानकर 4.1 सेमी से एक चाप लगाया जो परस्पर D पर काटता है।
चरण 2: बिन्दु D से 3.2 सेमी का एक चाप तथा 2.2 सेमी का एक चाप लगाया जो परस्पर C पर काटते हैं।
चरण 3 : BD, DC तथा BC को मिलाया। इस प्रकार ABCD एक चतुर्भुज है।
चरण 4: AB को आगे बढ़ाया तथा बिन्दु C से DB||CE खींची, फिर D को E से मिलाया।
अत: ∆DAE ही अभीष्ट त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल, चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर है।

प्रश्न 12.
एक चतुर्भुज PQRS बनायें जिसमें PQ = 3.5 सेमी, QR = 6.2 सेमी, ∠P = 60°, ∠Q=105° तथा
∠S = 75° है। इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का एक त्रिभुज बनायें।
हलः

चतुर्भुज का ∠R = 360° – (60° + 105° + 75°)
= 360° – 240° = 120°
रचनाः
चरण 1: PQ, 3.5 सेमी की रेखा खींची। बिन्दु P पर 60° तथा Q पर 105° का कोण बनाती हुई QR, 6.2 सेमी खींची।
चरण 2: QR के बिन्दु R पर 120° का कोण बनाती हुई रेखा खींची जो S पर काटती है। PQRS ही अभीष्ट चतुर्भुज है।
चरण 3 : PQ को आगे तक बढ़ाया तथा R से RT || SQ खींची। S को T से मिलाया।
इस प्रकार ∆ SPT ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 13.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 5.2 सेमी, BC = 6.4 सेमी, CD = 7.2 सेमी, ∠B = ∠C = 90° है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 6.4 सेमी की रेखा खींची।
चरण 2: उसके बिन्दु B व C पर 90° के कोण बनाती हुई रेखायें क्रमश: AB = 5.2 तथा CD = 7.2 सेमी खींची ।
चरण 3: A को D से मिलाया
इस प्रकार ABCD एक अभीष्ट चतुर्भुज होगा।

प्रश्न 14.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 5.4 सेमी, BC = 6 सेमी, AD = 4 सेमी, विकर्ण BD = 8.6
सेमी तथा विकर्ण AC = 10 सेमी है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC = 6 सेमी खींची, उसके बिन्दु B पर 5.4 सेमी का चाप लगाया तथा बिन्दु C पर 10 सेमी का चाप लगाया जो एक दूसरे को A पर काटते है। A को B तथा C से मिलाया।
चरण 2: बिन्दु A को केन्द्र मानकर 4 सेमी की दूरी से एक चाप तथा B को केन्द्र मानकर 8.6 सेमी की दूरी पर एक चाप लगाया जो । परस्पर D पर काटते हैं।

चरण 3 : A को D से तथा C को D से मिलाया।
अत: ABCD एक अभीष्ट चर्तुभुज है।

प्रश्न 15.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 3.5 सेमी, BC = 2.5 सेमी, CD =4 सेमी, ∠B =60° तथा
∠C = 135°। इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का एक त्रिभुज बनायें।
हलः
रचनाः
चरण 1: AB = 3.5 सेमी की रेखा खींची। उसके बिन्दु B पर 60° का कोण बनाती हुई रेखा 2.5 सेमी की
खींची।
चरण 2: बिन्दु C पर 135° का कोण बनाती हुई एक रेखा CD 4 सेमी की खींची। A को D से मिलाया।
चरण 3: BD को मिलाया तथा AB को आगे बिन्दु E तक बढ़ाया तथा बिन्दु C से BD के समान्तर CE रेखा
खींची। बिन्दु D को E से मिलाया।
अत: ∆DAE ही ऐसा अभीष्ट त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल दिये गये चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

प्रश्न 16.
एक आयत ABCD इस प्रकार खींचे कि AB = 6 सेमी तथा BC = 3.5 सेमी, तब दिये गये आयत के क्षेत्रफल में बराबर, आधार AB पर एक त्रिभुज बनायें।
हलः
रचनाः
चरण 1: AB = 6 सेमी की रेखा खींची। बिन्दु A पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा AD = 3.5 सेमी खींची।
चरण 2: बिन्दु B से 3.5 सेमी की रेखा से एक चाप तथा बिन्दु D को केन्द्र मानकर 6 सेमी दूरी से एक चाप
लगाया जो परस्पर C पर काटते है। D को C से तथा B को C से मिलाया।
चरण 3 : AC के समान्तर बिन्दु B पर BE रेखा खींची। बिन्दु A को बिन्दु E से मिलाया।

अत: ∆ ABE ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 17.
एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 6 सेमी, BC =5 सेमी, AC = 8 सेमी, ∠DAC = 30° तथा D,
AC से 2 सेमी की दूरी पर है।
हलः
रचनाः
चरण 1: BC, 5 सेमी की रेखा खींची। B पर 6 सेमी से तथा C पर 8 सेमी से चाप लगाये।
चरण 2: बिन्दु A पर 30° का कोण बनाती हुई रेखा खींची तथा AC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो AC
को बिन्दु M पर काटता है।
चरण 3: बिन्दु M से 2 सेमी लम्बाई से एक चाप घुमाया जो 30° वाली रेखा को बिन्दु D पर काटती है।
अब D को C से मिलाया।
अतः चतुर्भुज ABCD ही अभीष्ट चतुर्भुज है।

Ex 16.1 Constructions बहु विकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक परकार एवं एक पैमाने की सहायता से, किस एक कोण का बनाना संभव है-
(a) 37.5°
(b) 35°
(c) 40°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
37.5°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज को बनाना संभव है जब इसके दो कोण है-
(a) 90° और 100°
(b) 60° और 45°
(c) 90° और 110°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में 60° व 45° ऐसे दो कोण हैं, जिनका योग 180° से कम है। अत: इस स्थिति में एक त्रिभुज
बनाना सम्भव है।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज को बनाना संभव नहीं है जब इसके दो कोण है-
(a) 105° और 90°
(b) 90° और 45°
(c) 45° और 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में में 1050 और 90° ऐसे दो कोण हैं, जिनका योग 180° से अधिक है। अतः इस स्थिति में
एक त्रिभुज को बनाना सम्भव नहीं है।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 4.
∆ABC को बनाना, जब BC = 6 सेमी, ∠B = 45° संभव नहीं है जब AB और AC का अन्तर निम्न में से किसके बराबर है। (NCERT Exemplar)
(a) 5.9 सेमी
(b) 6.9 सेमी
(c) 5.0 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
6.9 सेमी। क्योंकि A की दो भुजाओं का अन्तर, किसी एक भुजा से अधिक नहीं होना चाहिए।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 5.
एक परकार एवं एक पैमाने की सहायता से, इस एक कोण का बनाना संभव नहीं है (NCERT Exemplar)
(a) 40°
(b) 37.5°
(c) 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
40°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
एक ∆ABC को बनायें जब BC = 3 सेमी, ∠C=60° संभव है जब AB और AC का अन्तर बराबर (NCERT Exemplar)
(a) 3.2 सेमी
(b) 2.8 सेमी
(c) 3.1 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
2.8 सेमी
∵ कोई ∆ सम्भव होगा यदि ∆ की दो भुजाओं की लम्बाइयों का अन्तर सदैव तीसरी भुजा से कम हो।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 7.
एक ∆ABC को बनायें जब AB = 6.5 सेमी, ∠B = 45° संभव नहीं है जब BC + CA =
(a) 6 सेमी
(b) 8 सेमी
(c) 8.5 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
6 सेमी
∵ ∆ABC सम्भव नहीं होगा, यदि दो भुजाओं का योगफल, तीसरी भुजा से कम है।
अतः विकल्प (a) सही है।

Ex 16.1 Constructions  स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित मापन के कोण बनाइये:
(i) 30°
(ii) 15°
(iii) [latex]22 \frac{1}{2} \circ[/latex] (NCERT)
हलः
रचनाः
(i) AB एक रेखा खींची। बिन्दु A पर एक चाप लगाया। उसी दूरी से उस चाप को काटा। यह 60° का
कोण बनता है। इस कोण का अर्द्धक खींचा। अत: ∠MAB, 30° का कोण बनता है।
(ii) 30° के कोण का समद्विभाजक खींचने पर 15° का कोण बनता है।
(iii) 45° के कोण का समद्विभाजक ही [latex]22 \frac{1}{2} \circ[/latex] का कोण बनाता है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित कोणों को बनाये तथा उनकी मापकर जाँच भी कीजिए। (NCERT)
(i) 75°
(ii) 105°
(iii) 135°
हलः
रचनाः
(i) AB रेखा खींची। उस पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा खींची। 90° के कोण तथा 60° के बीच बनने वाला कोण समद्विभाजक खींचा, जो 75° का कोण है।
(ii) 90° व 120° के बीच का कोण का समद्विभाजक कोण ही 105° का कोण होगा।
(iii) 120° व 150° के बीच का कोण का समद्विभाजक कोण ही 135° का कोण होगा।

प्रश्न 3.
दी गयी भुजा का एक समबाहु त्रिभुज बनायें तथा रचना के औचित्य की जाँच कीजिए। (NCERT)
हलः
रचनाः
चरण 1. BC, 4 सेमी खींची। उसके बिन्दु B तथा C से 4 सेमी की दूरी लेकर चाप लगाये।
चरण 2. ये चाप परस्पर A पर काटते है। A को B तथा C से मिलाया। अत: ∆ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक समचतुर्भुज बनाये जिसकी भुजा की लम्बाई 3.4 सेमी है तथा इसका एक कोण 45° का है।
हलः
रचना
चरण 1. सर्वप्रथम BC = 3.4 cm खींची, उसेक बिन्दु B तथा C पर 45° का कोण बनाती हुई रेखायें BA
तथा CD खींची।
चरण 2. A को D से मिलाया। अत: ABCD ही अभीष्ट समचतुर्भुज है।

प्रश्न 5.
एक ∆ABC बनायें जिसमें BC =5 सेमी, LB = 60° तथा AB+ AC = 7.5 सेमी है।
हलः
रचना
चरण 1. BC = 5 सेमी खींची, उसेक बिन्दु B पर 60° का कोण बनाती हुई
एक 7.5 सेमी की BD रेखा खींची।
चरण 2. D को C से मिलाया। तथा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा। जो BD को A पर काटता है।
चरण 3. A को C से मिलाया। अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 6.
एक समबाहु A बनायें यदि इसकी ऊँचाई 6 सेमी है तथा रचना के औचित्य की जाँच कीजिए।
हलः
रचना
चरण 1. एक रेखा खींची, उसके किसी बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा DE खींची।
चरण 2. DE से 6 सेमी का AD रेखाखण्ड काटा।
चरण 3. बिन्दु A पर ऊपर व नीचे 30° का कोण बनाती हुई रेखायें खींची जो रेखा को B तथा C पर काटती है। अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
एक ∆ABC बनायें जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° तथा AB + AC = 13 सेमी। (NCERT)
हलः
रचना
चरण 1. BC = 7 सेमी रेखा खींची, उसके बिन्दु B पर 75° का कोण बनाती हुई BE रेखा 13 सेमी की खींची।
चरण 2. E को C से मिलाया तथा EC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BE को बिन्दु A पर काटता है।
चरण 3. बिन्दु A को बिन्दु C से मिलाया। अत: AABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाएं 3.6 सेमी, 3 सेमी और 4.8 सेमी हैं।
सबसे छोटे कोण को समद्विभाजित करें तथा प्रत्येक भाग की माप भी ज्ञात कीजिए।
हलः
रचना
चरण 1. BC = 4.8 सेमी रेखा खींची।
चरण 2. उसके बिन्दु B पर 3 सेमी तथा बिन्दु C पर 3.6 सेमी दूरी लेकर चाप लगाये जो परस्पर A पर काटते है।
चरण 3. बिन्दु A को B तथा A को बिन्दु C से मिलाया।
∠ACB सबसे छोटा कोण है।
∠ACM तथा ∠BCM नापकर देखेंगे।
अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 9.
4 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड AB खींचिये। A और B से क्रमशः AB के लम्बवत् एक रेखा खींचिये। क्या ये रेखायें समान्तर है?
हलः रचना
चरण 1. AB = 4 सेमी खींची।
चरण 2. AB के बिन्दु A तथा B पर 90° के कोण बनाये।
चरण 3. एक निश्चित लम्बाई लेकर क्रमश: A व B को केन्द्र मानकर दो चाप लगाये।
चरण 4. दोनों चापों के शीर्षों को मिलाती हुई रेखा CD खींची।
AB||CD होगी।

प्रश्न 10.
एक चाँदे की सहायता से, 110° का एक कोण खींचियें और इसे समद्विभाजित कीजिए।
हल:
चरण 1. आधार BC खींचा।
चरण 2. बिन्दु B पर चाँदे की सहायता से 110° का कोण ∠ABC बनाया।
चरण 3. ∠ABC का समद्विभाजक BM खींचा BM ही अभीष्ट समद्विभाजक है।

प्रश्न 11.
एक ∆ABC बनायें जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी है।
हलः
रचना :
चरण 1. BC = 7 सेमी खींची। उसके बिन्दु B पर 75° का कोण बनाती हुई रेखा BD = 13 सेमी खींची।
चरण 2. बिन्दु D को C से मिलाया तथा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा, जो BD को बिन्दु A पर काटता है।
चरण 3. बिन्दु A को C से मिलाया। अत: AABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 12.
एक ∆ABC बनायें जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° तथा AB – AC = 3.5 सेमी है। (NCERT)
हलः
रचना :
चरण 1. BC = 8 सेमी खींची। उसके बिन्दु B पर 45° का कोण बनाती हुई BD = 3.5 सेमी खींची।
चरण 2. D को C से मिलाया तथा उसका लम्ब समद्विभाजक खींचा, जो BD को आगे बढ़ाने पर बिन्दु A पर
काटता है।
चरण 3. बिन्दु A को C से मिलाया। अत: ∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 13.
एक ∆PQR बनायें जिसमें QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° तथा PR – PQ = 2 सेमी है। (NCERT)
हलः
रचना :
चरण 1. QR = 6 सेमी खींची तथा बिन्दु Q पर 60° का कोण बनाती हुई XY’ रेखा खींची।
चरण 2. बिन्दु Q को केन्द्र मानकर QY’ = 2 सेमी काटी।
चरण 3. Y’ का R से मिलाया तथा : ‘R का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो YY’ को बिन्दु P पर काटता है।
चरण 4. बिन्दु P को R से मिलाया।
अतः ∆PQR ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 14.
एक ∆XYZ बनायें जिसमें ∠Y = 30, ∠z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 सेमी है। (NCERT)
हलः
रचना :
चरण 1. PQ रेखा 11 सेमी की खींची।
चरण 2. बिन्दु P पर 30° व Q पर 90° के कोण बनाकर उसके समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु X पर
प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 3. PX व QX के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो PQ को क्रमश: Y तथा Z पर काटते हैं।
X को Y तथा Z से मिलाया।
अत: ∆XYZ ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 15.
एक समकोण त्रिभुज बनायें जिसका आधार 12 सेमी है तथा इसके कर्ण और अन्य भुजाओं का योग 18 सेमी है। (NCERT)
हलः
अर्थात् समकोण ∆ABC में,
BC = 12 सेमी, AB + AC = 18 सेमी
रचना :
चरण 1. BC = 12 सेमी खींची। बिन्दु B पर 90° का कोण बनाते हुए BD = 18 सेमी खींची। D को C से मिलाया।
चरण 2. DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BD को A पर । प्रतिच्छेद करता है।

चरण 3. A को C से मिलाया।
∆ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 16.
14.5 सेमी परिमाप का एक समबाहु त्रिभुज बनायें।
हलः
रचना :
चरण 1. PQ = 14.5 खींची। बिन्दु P तथा Q पर 60° के कोण बनाये तथा उसके समद्विभाजक खींचे जो
परस्पर बिन्दु A पर काटते हैं।
चरण 2. PA तथा QA के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर PQ को क्रमश: B व C पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 3. A को B तथा C से मिलाया। अत: AABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 17.
एक आयत ABCD इस प्रकार खींचिये कि AB = 6 सेमी और BC = 3.5 सेमी, तब दिये गये आयत के क्षेत्रफल के बराबर, क्षेत्रफल का तथा आधार AB का एक त्रिभुज बनायें।
हलः
रचना :
चरण 1. AB = 6 सेमी खींची। उसके बिन्दु A व B पर 90° के कोण बनाती हुई रेखाये AD व BC 3.5सेमी
की खींची।
चरण 2. DC = 6 सेमी एक चाप बिन्दु D से लगाया, DC को मिलाया। इस प्रकार ABCD एक आयत है।
चरण 3. बिन्दु A को C से मिलाया, बिन्दु B से BE || AC खींची जो बढ़ी हुई DC को आगे बिन्दु E पर
मिलाती है।
चरण 4. बिन्दु A को E से मिलाया।

अत: ∆ABE अभीष्ट त्रिभुज है जिसका आधार AB = 6 सेमी।

प्रश्न 18.
दी गयी किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर [latex]22 \frac{1}{2}[/latex] का कोण बनाइये।
हलः
रचना :
चरण 1. आधार AB खींचा तथा उस पर 60° व 120° के कोण चाप लगाये।
चरण 2. 60° व 120° का समद्विभाजक कोण 90° का बनाया।
चरण 3. 90° का कोण समद्विभाजक कोण 45° है।
चरण 4. 45° के कोण का समद्विभाजक कोण [latex]22 \frac{1}{2}=[/latex] है।

प्रश्न 19.
परकार एवं पैमाने की सहायता से, 4 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए।
हलः
रचना :
चरण 1. BC = 4 सेमी खींची।
चरण 2. बिन्दु B व C को केन्द्र मानकर 4 सेमी दूरी लेकर दो चाप लगाये जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद
करते हैं।
चरण 3. बिन्दु A को B तथा C से मिलाया।

अतः ∆ABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 20.
परकार एवं पैमाने की सहायता से, एक 75° का कोण खींचिए और समद्विभाग कीजिए। रचना के चरण
भी लिखिए।
हलः
सर्वप्रथम BC, 5 सेमी एक सरल रेखा खींची। बिन्दु B पर 90° का कोण बनाती हुई BE रेखा खीची। अब 60° व 90° के बीच के चाप का अर्द्धक करते हुए BD रेखा खींची जो 75° के कोण की रेखा है। अब ∠DBC का अर्द्धक करती हुए एक रेखा BM खींची। यही BM रेखा 75° के कोण का समद्विभाजक होगा।

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.5 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.5 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Question)

निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 1 – 8)
प्रश्न 1.
x² + 6x + 9
हल:
x² + 6x + 9 = (x)² + 2 × 3 × x + (3)² = (x + 3)²

प्रश्न 2.
x² – 14x + 49
हल:
x² – 14x + 49 = (x)² – 2 × 7 × x + (7)² = (x – 7)²

प्रश्न 3.
9x² – 12x + 4
हल:
9x² – 12x + 4 = (3x)² – 2 × 3x × 2 + (2)² = (3x – 2)²

प्रश्न 4.
x² – 18x + 81
हल:
x² – 18x + 81 = (x)² – 2 × 9 × x + (9)² = (x – 9)²

प्रश्न 5.
x² – 4x + 4
हल:
x² – 4x + 4 = (x)² – 2 × 2 × x + (2)² = (x – 2)²

प्रश्न 6.
49 – 64x²
हल:
49 – 64x² = (7)² – (8x)² = (7 + 8x)(7 – 8x)

प्रश्न 7.
16x² – 9y²
हलः
16x² – 9y² = (4x)² – (3y)² = (4x + 3y)(4x – 3y)

प्रश्न 8.
5x² – 80y²
हलः
5x² – 80y² = 5[x² – 16y²] = 5[(x)² – (4y)²] = 5[(x + 4y)(x – 4y)]

Ex 5.5 Polynomial and their Factors लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 9.
(x + y)(x – y) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(x + y)(x – y)
वर्गान्तर सूत्र से = x² – y²

प्रश्न 10.
(x + y)³ – x – y के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हलः
(x + y)³ – x – y = (x + y)³ – (x + y)
= (x + y)[(x + y)² – 1]
= (x + y)[(x + y)² – (1)²]
= (x + y)[(x + y + 1)(x + y – 1)]

प्रश्न 11.
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 9x² – 25y²
(ii) 16 – 81x²
(iii) 100x² – 81y²
(iv) (a + b)² – 9c²
हल:
(i) 9x² – 25y² = (3x)² – (5y)² = (3x + 5y)(3x – 5y)
(ii) 16 – 81x² = (4)² – (9x)² = (4 + 9x)(4 – 9x)
(iii) 100x² – 81y² = (10x)² – (9y)² = (10x + 9y) (10x – 9y)
(iv) (a + b)² – 9c² = (a + b)² – (3c)² = (a + b + 3c)(a + b – 3c)

Ex 5.5 Polynomial and their Factors लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 12.
9x⁴ – 6x³b + x²b²
हल:
9x⁴ – 6x³b + x²b² = x²[9x² – 6xb + b²] = x²[(3x)² – 2 × 3x × b + (b)²] = x²[(3x – b)]

प्रश्न 13.
x² – x + [latex]\frac{1}{4}[/latex]
हलः
[latex]x^{2}-x+\frac{1}{4}=x^{2}-2 \times \frac{1}{2} \times x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}[/latex]

प्रश्न 14.
(a + b + c)² + 2(a + b + c)(a – b – c)+ (a – b – c)²
हलः
(a + b + c)² + 2(a + b + c) (a – b – c) + (a – b – c)² = [(a + b + c) + (a – b – c)]²
= [a + b + c + a – b – c]²
= [2a]² = 4a²

प्रश्न 15.
6x⁴ – 24x³y³ + 24y⁶x²
हल:
6x⁴ – 24x³y³ + 24y⁶x² = 6x²[x² – 4xy³ + 4y⁶]
= 6x²[(x)² – 2 × x × 2y³ + (2y³)²] = 6x²(x – 2y³)²

प्रश्न 16.
121x²y² + 110xyab + 25a²b²
हलः
121x²y² + 110xyab + 25a²b² = (11xy)² + 2 × 11xy × 5ab + (5ab)² = (11xy + 5ab)²

प्रश्न 17.
[latex]x^{2} z^{2}+\frac{1}{25} y^{2}-\frac{2}{5} x y z[/latex]
हल:
[latex]x^{2} z^{2}+\frac{1}{25} y^{2}-\frac{2}{5} x y z=(x z)^{2}+\left(\frac{1}{5} y\right)^{2}-2 \times x z \times \frac{1}{5} y=\left(x z-\frac{1}{5} y\right)^{2}[/latex]

प्रश्न 18.
3x³y – 243xy³
हलः
3x³y – 243xy³ = 3xy[x² – 81y²] = 3xy[(x)² – (9y)²] = 3xy[(x + 9y)(x – 9y)]

प्रश्न 19.
1 – 2xy – (x² + y²)
हलः
1 – 2xy – (x² + y²) = 1 – [2xy + x² + y²] = (1)² – [(x + y)²]
वर्गान्तर सूत्र से = (1 + x + y)(1 – x – y)

प्रश्न 20.
x² + 6x + 9 – 25y²
हल:
x² + 6x + 9 – 25y² = x² + 2 × 3 × x + (3)² – (5y)²
= (x + 3)² – (5y)² = (x + 3 + 5y)(x + 3 – 5y)

प्रश्न 21.
2xy – (x² + y² – z²)
हल:
2xy – (x² + y² – z²) = 2xy – x² – y² + z² = z² – (x² + y² – 2xy) = z² – (x – y)²
= (z + x – y)(z – x + y)

प्रश्न 22.
x² – y² – 2x + 1
हलः
x² – y² – 2x + 1 = x² – 2x + 1 – y²
= (x)² – 2 × x × 1 + (1)² – y²
= (x – 1)² – (y)² = (x – 1 + y)(x – 1 – y)

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 17 Heron’s Formula Ex 17.2 हीरोन का सूत्र

Ex 17.2 Heron’s Formula अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
दिये गये संलग्न चित्र में, समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात D कीजिए।
हलः

प्रश्न 2.
एक वर्ग और एक समबाहु त्रिभुज के परिमाप बराबर है। यदि वर्ग का विकर्ण [latex]12 \sqrt{2}[/latex] सेमी है, तब त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
वर्ग का परिमाप = समबाहु ∆ का परिमाप
4a = समबाहु ∆ का परिमाप… (1)
वर्ग का विकर्ण = [latex]12 \sqrt{2}[/latex]

प्रश्न 3.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। जहाँ, AB = 7 सेमी, DA = 15 सेमी, AC = 9 सेमी, BC = 6 सेमी तथा CD = 12 सेमी हैं।
हल:

Ex 17.2 Heron’s Formula लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 4.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 5 सेमी, BC = 12 सेमी, CD = 10 सेमी, DA = 13 सेमी और AC = 13 सेमी हैं।
हल:

प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुज का परिमाप 52 सेमी है। एक विकर्ण 24 सेमी है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 17.2 Heron’s Formula दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 6.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों ने सफाई अभियान के लिए एक रैली निकाली उन्होंने दो समूहों में, विभिन्न गलियों में चलकर मार्च किया। एक समूह ने गलियों AB, BC और CA में मार्च किया तथा अन्य समूह ने AC,CD और DA में मार्च किया। फिर उन्होंने इन गलियों द्वारा घेरे गए भागों को साफ किया यदि AB = 9 मी, BC = 40 मी, CD = 15 मी, DA = 28 मी तथा LB = 90° है, तो किस समूह ने अधिक सफाई की और कितनी अधिक विद्यार्थियों द्वारा सफाई किया गया कुल क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। [NCERT]
हलः

स्पष्ट है कि पहले समूह ने अधिक सफाई की ओर दूसरे समूह से 180 – 126² मी अधिक सफाई की । अब ,सफाई किया गया कुल क्षेत्रफल = 180 + 126 = 306 मी²

प्रश्न 7.
एक चतुर्भुज की भुजाएँ क्रमशः 5, 12, 14 और 15 मी के क्रम में ली गयी हैं तथा पहली दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 8.
एक पार्क, एक चतुर्भुज ABCD के आकार में है जिसमें ∠C =90°, AB = 9 मी, BC = 12 मी, CD = 5 मी और AD = 8 मी है। इसका क्षेत्रफल कितना है? (NCERT)
हलः

प्रश्न 9.
एक आयताकार मैदान की लम्बाई को 50% बढ़ाया गया है और इसकी चौड़ाई को 50% घटाया गया है तब हमें एक नया आयताकार मैदान प्राप्त होता है। नये मैदान का क्षेत्रफल क्या होगा?
हलः
माना आयताकार मैदान की लम्बाई = x मी
आयताकार मैदान की चौड़ाई = y मी
आयताकार मैदान का क्षेत्रफल = xy मी

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज के आकार की शीट जिसका परिमाप 32 मी है तथा जिसका एक विकर्ण 10 मी लम्बा है, की दोनों भुजाओं को ₹ 5 प्रति मी2 की दर से पेन्ट किया गया है। पेन्ट का व्यय ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 11.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 2016 सेमी है तथा इसकी भुजा 65 सेमी है। इसके विकर्ण ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 17.2 Heron’s Formula बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक ∆ ABC में, यदि AB = 7 सेमी, BC = 8 सेमी तथा CA = 5 सेमी है तो ∆ ABC का क्षेत्रफल है-
(a) 103[latex]\sqrt{3}[/latex] सेमी²
(b) 10 (3)² सेमी²
(c) 513 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
a = 7,
b = 8,
c = 5

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 4-3 सेमी2 है, इसका अर्द्ध-परिमाप है
(a) 8 सेमी
(b) 10 सेमी
(c) 6 सेमी
(d) 4 सेमी
हलः

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 13 सेमी और 14 सेमी हैं तथा अर्द्ध-परिमाप 18 सेमी है तब त्रिभुज की तीसरी भुजा है-
(a) 8 सेमी
(b) 9 सेमी
(c) 10 सेमी
d) 11 सेमी
हलः

प्रश्न 4.
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 2/3 सेमी 2 है, इसका अर्द्ध-परिमाप है-
(a) 3[latex]\sqrt{2}[/latex] सेमी
(b) 13 सेमी
(c) 4[latex]\sqrt{3}[/latex] सेमी
हलः

प्रश्न 5.
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की भुजा, जिसका कर्ण 5[latex]\sqrt{2}[/latex] सेमी है, होगी-
(a) 4 सेमी
(b) 5 सेमी
(c) 6 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी हैं तब इसका क्षेत्रफल है-
(a) 48 सेमी²
(b) 82 सेमी²
(c) 84 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
एक समकोण त्रिभुज का आधार 15 सेमी है तथा इसका कर्ण 25 सेमी है, तब इसका क्षेत्रफल है-
(a) 150 सेमी²
(b) 160 सेमी²
(c) 250 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज की भुजाएँ 5:12:13 के अनुपात में है तथा इसका परिमाप 120 सेमी है इसका क्षेत्रफल है-
(a) 180 सेमी²
(b) 480 सेमी²
(c) 380 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

प्रश्न 9.
एक समकोण त्रिभुज का आधार 10 सेमी तथा कर्ण 26 सेबी हैं, त्रिभुज का क्षेत्रफल है-
(a) 20 सेमी²
(b) 120 सेमी²
(c) 260 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

प्रश्न 10.
आधार 6 सेमी तथा ऊँचाई 8 सेमी वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है-
(a) 24 सेमी²
(b) 34 सेमी²
(c) 48 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

Ex 17.2 Heron’s Formula स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी दो भुजाएँ 8 सेमी और 11 सेमी है तथा परिमाप 32 सेमी
हलः

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज का परिमाप 300 मी है। यदि इसकी भुजाएँ 3:5:7 के अनुपात में है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 3.
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल [latex]16 \sqrt{3}[/latex] सेमी² है, इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 4.
एक त्रिभुजाकार भूखण्ड की भुजाएँ 6:7:8 के अनुपात में है तथा परिमाप 420 मी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 5.
भूमि का एक टुकड़ा, एक समचतुर्भुज ABCD के आधार का है जिसमें प्रत्येक भुजा की माप 100 मी है तथा विकर्ण AC, 160 मी लम्बा है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 6.
सफेद और काले रंग की त्रिभुजाकार चादरों को एक खिलौना बनाने में प्रयुक्त किया गया है (चित्र में दिखाये अनुसार ) खिलौना बनाने में प्रयुक्त काले और सफेद रंग की चादरों का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 7.
एक त्रिभुजाकार पार्क की भुजाएँ क्रमशः 8 मी, 10 मी और 6 मी हैं। 2 मी व्यास का एक छोटा वृत्ताकार क्षेत्र छोड़ा गया है तथा शेष बचे क्षेत्र को गुलाब उगाने के लिए प्रयुक्त किया गया है। गुलाबों को उगाने के लिए कितना क्षेत्रफल प्रयुक्त हुआ? (π = 3.14)
हलः
एक त्रिभुजाकार पार्क की भुजाएँ a = 8 मी,
b = 10 मी,
c = 6 मी

प्रश्न 8.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा जो बराबर नहीं है कि माप 24 सेमी है तथा इसका क्षेत्रफल 60 सेमी 2 है दिये गये समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 9.
एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ 26 सेमी और 28 सेमी हैं तथा इसका एक विकर्ण 30 सेमी है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
एक पार्क, एक चतुर्भुज ABCD के आकार का है जिसमें AB = 9 मी, BC = 12 मी, CD = 5 मी, AD = 8 मी और ∠C = 90° है। पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions