Safia

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 15 Probability Ex 15.1 प्रायिकता

Ex 15.1 Probability अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं तो अधिक-से-अधिक एक चित् प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि दो सिक्के एक साथ उछालने पर, सभी सम्भव परिणाम हैं HH, HT, TH,TT
∴ कुल. संभव परिणामों की संख्या = 4
यदि अधिक से अधिक एक (UPBoardSolutions.com) चित् प्राप्त होने की घटना E है।
तब अनुकूल परिणाम है HT, TH, HH
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
अतः अधिक से अधिक एक चित् आने की प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{3}{4}[/latex]

प्रश्न 2.
एक बार एक पाँसा फेंका जाता है तो प्राप्त संख्या के 3 से छोटी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
एक पाँसा एक बार फेंकने पर कुल संभव परिणामों की संख्या = 6
यदि 3 से छोटी संख्या प्राप्त होने की घटना E है
तब, अनुकूल परिणाम = 1, 2
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2

प्रश्न 3.
एक थैले में 3 से 20 तक की संख्याओं के कार्ड हैं और इन्हें अच्छी तरह से फेंटा गया है। थैले से यादृच्छया एक कार्ड निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर एक सम संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
एक थैले में 3 से 20 तक संख्या के कार्डों से एक कार्ड निकालने की कुल संभव परिणाम = 18
यदि कार्ड पर एक सम संख्या होने की घटना E है।
तब, अनुकूल परिणाम = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ..
∴ अनुकूल परिणाम की (UPBoardSolutions.com) संख्या = 9
तब, P(E) = [latex]\frac{9}{18}=\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 4.
एक बक्से में, 6, 7, 8,…,15 तक की अंकित संख्याओं के कार्ड हैं तथा इन्हें अच्छी तरह से फेंट दिया गया है। बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर 10 से छोटी संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
एक बक्से में, 6, 7, 8,…,15 तक अंकिंत कार्डों में से एक कार्ड निकालने के कुल संभव परिणाम = 10
यदि कार्ड पर 10 से छोटी संख्या आने की घटना E है
तब, अनुकूल परिणाम = 6, 7, 8, 9
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
तब, प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{4}{10}=\frac{2}{5}[/latex]

प्रश्न 5.
एक बक्से में 3 नीले, 2 सफेद तथा 4 लाल कंचे हैं। यदि बक्से से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह कंचा सफेद नहीं होगा?
हलः
यहाँ, नीले कंचे की संख्या = 3
सफेद कंचे की संख्या = 2
लाल कंचे की संख्या = 4
कुल कंचों की संख्या = 3 + 2 + 4 = 9
माना एक सफेद कंचा आने की घटना E है।
माना एक सफेद कंचा आने के परिणामों की संख्या = 2
∴ एक सफेद कंचा आने की प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{2}{9}[/latex]
∴ एक सफेद कंचा नहीं आने की (UPBoardSolutions.com) प्रायिकता P([latex]\overline{E}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{2}{9}=\frac{9-2}{9}=\frac{7}{9}[/latex]

प्रश्न 6.
एक थैले में 4 लाल और 6 काली गेंदे हैं। थैले से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। तो गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ लाल गेंद की संख्या = 4
काली गेंद की संख्या = 6
कुल गेंदों की संख्या = 4 + 6 = 10
यदि एक काली गेंद आने की घटना E है।
तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
∴ P(E) = [latex]\frac{6}{10}=\frac{3}{5}[/latex]

प्रश्न 7.
52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी हुई गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये पत्ते के एक काला बादशाह होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
52 पत्तों से एक पत्ता निकालने के कुल संभव परिणाम = 52
माना, E = एक काला बादशाह होने की घटना
तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 52 पत्तों में से कुल काले बादशाहों की संख्या
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या (UPBoardSolutions.com) = 2
तब, प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{2}{52}=\frac{1}{26}[/latex]

प्रश्न 8.
दो मित्र, वर्ष 2000 में जन्में हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनका जन्मदिन समान है।
हलः
चूँकि वर्ष 2000 लीप वर्ष है।
इसलिए वर्ष 2000 में कुल दिनों की संख्या = 366
∴ दोनों मित्रों के जन्मदिनों के कुल प्रकार = 366 × 366
यदि दोनों मित्रों का जन्मदिन एक ही है
तब, अनुकूल स्थितियों की संख्या = 366
तब, अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{366}{366 \times 366}=\frac{1}{366}[/latex]

प्रश्न 9.
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दो मित्रों के जन्मदिन भिन्न-भिन्न हैं। (लीप वर्ष नहीं)। (NCERT)
हलः
चूँकि संबंधित वर्ष लीप वर्ष नहीं है।
इसलिए कुल दिनों की संख्या = 365
∴ दोनों मित्रों के जन्मदिनों के कुल प्रकार = 365 × 365
जब, दोनों मित्रों के जन्मदिन (UPBoardSolutions.com) समान होने पर कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 365

प्रश्न 10.
यदि एक घटना के होने की प्रायिकता p है तब इसके विपरीत घटना के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि एक घटना के घटित होने की प्रायिकता p है
तब घटना के नहीं होने की प्रायिकता 1 – p होगी।

Ex 15.1 Probability लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 11.
एक असंभव घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि किसी एक परीक्षण के n संभव परिणाम है।
यदि A एक असंभव घटना है तो n संभव परिणामों में से कोई भी इसका समर्थन नहीं करेगा।
अर्थात् कुल अनुकूल परिणाम m = 0
अतः P(A) = [latex]\frac{m}{n}=\frac{0}{n}[/latex]
P(A) = 0

प्रश्न 12.
एक निश्चित घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि किसी एक परीक्षण के n संभव परिणाम है।
यदि A एक निश्चित घटना है, तब (UPBoardSolutions.com) सभी n संभव परिणाम इसका समर्थन करेंगे।
अर्थात् कुल अनुकूल परिणाम m = n

प्रश्न 13.
दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं तो दो संख्याओं के प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिनका योग 10 है।
हलः
हम जानते हैं कि जब दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं तब,
कुल संभव परिणामों की संख्या = 6 × 6 = 36
माना कि, दोनों पाँसों पर प्राप्त संख्या का योगफल 10 होने की घटना E है।
तब कुल अनुकूल परिणाम = (4, 6),(6, 4), (5, 5)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
तब अभीष्ट प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{3}{36}=\frac{1}{12}[/latex]

प्रश्न 14.
एक लॉटरी में, 8 उपहार तथा 16 खाली हैं। तब एक उपहार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ एक लॉटरी में, उपहार की संख्या = 8
खाली की संख्या (UPBoardSolutions.com) = 16
कुल संभव परिणाम = 8 + 16 = 24

प्रश्न 15.
यहाँ एक लॉटरी में, 10 उपहार तथा 25 खाली हैं। तो एक उपहार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ एक लाटॅरी में, उपहार की संख्या = 10
खाली की संख्या = 25
कुल संभव परिणाम = 10 + 25 = 35
माना एक उपहार प्राप्त होने की घटना A है।
तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
तब, अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{10}{35}=\frac{2}{7}[/latex]

प्रश्न 16.
क्या प्रायिकता है कि एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार हैं?
हलः
एक सामान्य वर्ष में दिनों की संख्या = 365
= 52 हफ्ते और 1 दिन
स्पष्ट है सामान्य वर्ष (UPBoardSolutions.com) में 52 रविवार होते हैं।
तब, शेष 1 दिन होना चाहिए:

• रविवार
• सोमवार
• मंगलवार
• बुधवार
• बृहस्पतिवार
• शुक्रवार
• शनिवार

तब, कुल संभव परिणाम = 7
एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार होने के लिए 7 परिणामों में स्थिति (i) घटित होगी।
∴ कुल अनुकूल परिणाम = 1
तब, एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता = [latex]\frac{1}{7}[/latex]

प्रश्न 17.
एक सिक्का, एक बार उछाला जाता है तो एक चित् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?
हलः
एक सिक्का, एक बार उछालने में कुल संभव परिणाम = H, T
∴ कुल संभव परिणामों की संख्या = 2
एक चित् प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
तब अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 18.
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता न तो लाल और न ही एक बेगम है।
हलः
52 पत्तों में से एक पत्ता निकालने में,
कुल संभव परिणाम = 52
52 पत्तों में लाल पत्तों की संख्या = 26
काली बेगमों की (UPBoardSolutions.com) संख्या = 2
∴ कुल न आने वाले पत्तों की संख्या = 26 + 2 = 28
इसलिए एक पत्ता न आने वाले के अनुकूल परिणामों की संख्या = 28
तब अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{28}{52}=\frac{7}{13}[/latex]

प्रश्न 19.
52 पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी हुई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तो निकाले गये पत्ते के एक बादशाह होने की क्या प्रायिकता है?
हलः
52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकालने में कुल संभव परिणाम = 52
माना, निकाले गए एक पत्ते के बादशाह होने की घटना A है।
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
तब एक बादशाह आने की प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{4}{52}=\frac{1}{13}[/latex]

प्रश्न 20.
यदि एक खेल के जीतने की प्रायिकता 0.7 है तो इसे हारने की क्या प्रायिकता है?
हलः
माना एक खेल के जीतने की प्रायिकता P(A) है।
तब, दिया है P(A) = 0.7
∴ खेल हारने की प्रायिकता P([latex]\overline{A}[/latex]) = 1 – P(A)
P([latex]\overline{A}[/latex]) = 1 – 0.7
P([latex]\overline{A}[/latex]) = 0.3

Ex 15.1 Probability लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 21.
अंग्रेजी वर्णमाला से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर व्यंजन है।
हलः अ
ंग्रेजी वर्णमाला में कुल अक्षर = 26
26 अक्षरों में से एक अक्षर चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 26
अंग्रेजी वर्णमाला में कुल (UPBoardSolutions.com) व्यंजनों की संख्या = 21
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 21
तब, अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{21}{26}[/latex]

प्रश्न 22.
एक बक्से में, 1 से 20 तक की अंकित संख्याओं के 20 कार्ड हैं बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो निकाले गये पत्ते पर संख्या के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) 2 और 3 से विभाजित
(ii) एक अभाज्य संख्या
हल:
1 से 20 तक अंकित संख्या के कार्यों से 1 कार्ड निकालने में,
कुल संभव परिणाम = 20
(i) माना निकाले गये कार्ड की संख्या 2 और 3 से विभाजित होने की घटना A है।
तब, 2 से विभाजित होने वाली संख्या = 2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16, 18, 20
∴ 2 से विभाजित होने वाले कार्डों की कुल संख्या = 10
3 से विभाजित होने वाली संख्या = 3, 6, 9,12, 15, 18
∴ 3 से विभाजित होने वाले (UPBoardSolutions.com) कार्डों की कुल संख्या = 6
तब कुल अनुकूल स्थितियों की संख्या = 10 + 6 = 16
∴ अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{16}{20}=\frac{4}{5}[/latex]

(ii) माना निकाला गया पत्ता एक अभाज्य संख्या होने की घटना B है।
तब अनुकूल परिणाम = 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
तब अभीष्ट प्रायिकता P(B) = [latex]\frac{8}{20}=\frac{2}{5}[/latex]

प्रश्न 23.
एक थैले में समान आकार के 30 कार्ड हैं जिन पर 1 से 30 तक की संख्याएँ लिखी हुई हैं। थैले से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये कार्ड पर, 3 से विभाजित संख्या नहीं है।
हल:
1 से 30 तक अंकित संख्या वाले कार्यों से एक कार्ड निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 30
1 से 30 तक 3 से विभाजित होने वाली संख्याएँ = 3, 6, 9, 12,15,18, 21, 24, 27, 30
कुल संख्याएँ = 10
∴ 3 से विभाजित नहीं होने वाली संख्याओं की संख्या = 30 – 10 = 20
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
तब अभीष्ट प्रायिकता P(B) = [latex]\frac{20}{30}=\frac{2}{3}[/latex]

प्रश्न 24.
एक बक्से में, 11 से 60 तक की संख्याओं के कार्ड रखे गये हैं। यदि बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये पत्ते पर संख्या है-
(i) एक विषम संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाजित
(iv) 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या
हल:
11 से 60 तक की संख्याओं के कार्डों से एक कार्ड निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 50
(i) निकाले गये कार्ड पर एक विषम संख्या है—
कुल अनुकूल परिणाम = 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59
कुल परिणामों की संख्या = 25
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{25}{50}=\frac{1}{2}[/latex]

(ii) निकाले गये कार्ड पर एक पूर्ण वर्ग संख्या है—
तब अनुकूल परिणाम = 16, 25,3 6, 49
कुल अनुकूल परिणामों की (UPBoardSolutions.com) संख्या = 4
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{4}{50}=\frac{2}{25}[/latex]

(iii) निकाले गये कार्ड की संख्या 5 से विभाजित है-
तब अनुकूल परिणाम = 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60
अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{10}{50}=\frac{1}{5}[/latex]

(iv) निकाले गये कार्ड की संख्या, 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या है-
तब अनुकूल परिणाम = 11, 13, 17, 19
अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{4}{50}=\frac{2}{25}[/latex]

प्रश्न 25.
संख्याओं 1, 2, 3,…, 25 में से एक अभाज्य संख्या चुनने की क्या प्रायिकता है जब प्रत्येक संख्या का चुना जाना समप्रायिक है?
हल:
संख्या 1 से 25 तक में से एक संख्या चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 25
माना चुनी गयी संख्या एक अभाज्य होने की घटना A है।
तब अनुकूल परिणाम = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
∴ कुल अनुकूल स्थितियाँ = 9
तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{9}{25}[/latex]

प्रश्न 26.
1000 टिकटों की एक लॉटरी में, 5 उपहार हैं। यदि किसी एक द्वारा लॉटरी का एक टिकट खरीदा जाता है तो, उसके एक उपहार जीतने की क्या प्रायिकता है?
हलः
1000 टिकटों की एक लॉटरी में (UPBoardSolutions.com) से एक लॉटरी आने में कुल संभव परिणाम = 1000
यहाँ उपहारों की संख्या = 5
तब एक उपहार जीतने की प्रायिकता = [latex]\frac{5}{1000}=\frac{1}{200}[/latex] = 0.005

प्रश्न 27.
यदि संख्याओं -2, -1, 0, 1, 2 में से एक संख्या x यादृच्छया चुनी जाती है तो क्या प्रायिकता है कि x² < 2?
हलः
संख्या –2, -1, 0, 1, 2 में से एक संख्या x चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 5
माना एक संख्या x² < 2 आने की घटना A है।
तब अनुकूल (UPBoardSolutions.com) परिणाम = -1, 0, 1
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{3}{5}[/latex]

प्रश्न 28.
संख्याओं 1, 2, 3 में से एक संख्या x चुनी गई तथा संख्याओं 1, 4, 9 में से यादृच्छया एक संख्या y चुनी गई तो क्या प्रायिकता है कि दो संख्याओं की xy गुणा, 9 से छोटी होगी?
हलः
संख्या 1, 2, 3 में से एक संख्या x चुनने में कुल परिणाम = 3
संख्या 1, 4, 9 में से एक संख्या y चुनने में कुल परिणाम = 3
इसलिए एक संख्या xy चुनने के कुल संभव परिणाम = 3 × 3 = 9
माना दो संख्याओं की xy गुणा, 9 से छोटी होने की घटना A है।
तब, अनुकूल परिणाम = (1, 4), (1, 1), (2, 1), (2, 4), (3, 1)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
∴ अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{5}{9}[/latex]

प्रश्न 29.
एक थैले में 6 लाल, 8 काली तथा 4 सफेद गेंदे हैं। इनमें से, एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है तो क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद काली नहीं है?
हलः
दिया है, लाल गेंद = 6, काली गेंद = 8, सफेद गेंद = 4
एक गेंद थैले में से निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 6 + 8 + 4 = 18
अब गेंदे जो काली (UPBoardSolutions.com) नहीं हैं = 6 + 4 = 10
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
इसलिए, प्रायिकता P(काली गेंद नहीं है) = [latex]\frac{10}{18}=\frac{5}{9}[/latex]

प्रश्न 30.
एक थैले में 2 से 90 तक की लिखी संख्याओं के कार्ड हैं थैले से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) एक दो अंकों की संख्या
(ii) एक संख्या जो एक पूर्ण वर्ग है।
हल:
2 से 90 तक की संख्याओं के कार्डों में से एक कार्ड निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 89
(i) माना निकाले गये कार्ड पर एक दो अंकों की संख्या होने की घटना A है।
तब अनुकूल परिणाम = 89 – 8 = 81

(ii) माना निकाले गये कार्ड पर पूर्ण वर्ग संख्या होने की घटना B है।
तब कुल अनुकूल परिणाम = 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
तब, प्रायिकता P(B) = [latex]\frac{8}{89}[/latex]

Ex 15.1 Probability दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 31.
52 पत्तों की एक गड्डी में से सभी गुलाम, बेगम और बादशाह निकाल दिये जाते हैं। शेष बचे पत्तों को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है तब इनमें से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, निकाला गया पत्ता है-
(i) एक काली तस्वीर वाला पत्ता
(ii) एक लाल पत्ता
हलः
हम जानते हैं कि 52 पत्तों की गड्डी में चार गुलाम, चार बेगम और चार बादशाह होते हैं।
अत: गुलाम, बेगम और (UPBoardSolutions.com) बादशाह निकालने के बाद, शेष बचे पत्तों की संख्या = 52 – 12 = 40
40 पत्तों में से एक पत्ता निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 40
(i) माना एक काली तस्वीर वाला पत्ता आने की घटना A है।
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 0
तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{0}{40}[/latex] = 0
(ii) 40 पत्तों की गड्डी में कुल लाल पत्ते =
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
∴ प्रायिकता P (एक लाल पत्ता) = [latex]\frac{20}{40}=\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 32.
ताश के पत्तों की एक गड्डी में से सभी लाल तस्वीर वाले पत्ते निकाल दिये जाते हैं। शेष बचे पत्तों को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है तथा तब इनमें से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता है-
(i) एक लाल पत्ता
(ii) एक तस्वीर वाला पत्ता
(iii) एक चिड़ी का पत्ता
हलः
लाल तस्वीर वाले पत्ते = 6
52 पत्तों में से लाल तस्वीर वाले पत्ते निकालने पर शेष बचे पत्ते = 52 – 6 = 46
46 पत्तों में से एक पत्ता निकालने परे,
कुल संभव परिणाम = 46
(i) 46 पत्तों में कुल लाल पत्तों की संख्या = 26 – 6 = 20
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
∴ प्रायिकता P (एक लाल पत्ता) = [latex]\frac{20}{46}=\frac{10}{23}[/latex]

(ii) 46 पत्तों में तस्वीर वाले पत्ते = 6
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
तब अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{6}{46}=\frac{3}{23}[/latex]

(iii) 46 पत्तों में चिड़ी के पत्तों की कुल संख्या = 13
तब कुल अनुकूल परिणामों (UPBoardSolutions.com) की संख्या = 13
∴ अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{13}{46}[/latex]

प्रश्न 33.
12 व्यक्तियों के एक समूह में, 3 बहुत अधिक बीमार हैं, 6 बहुत अधिक ईमानदार व शेष बहुत अधिक दयालु हैं। समूह से एक व्यक्ति चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया व्यक्ति-
(i) बहुत अधिक बीमार
(ii) बहुत अधिक दयालु या ईमानदार हो।
हलः
दिया है, अधिक बीमार = 3
अधिक ईमानदार = 6
बहुत अधिक दयालु = 3
कुल व्यक्ति = 12
12 व्यक्तियों में से एक व्यक्ति चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 12
(i) बहुत अधिक बीमार व्यक्तियों की संख्या = 3
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
∴ अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{3}{12}=\frac{1}{4}[/latex]

(ii) बहुत अधिक दयालु या ईमानदार व्यक्तियों की संख्या = 3 + 6 = 9
तब कुल अनुकूल स्थितियों (UPBoardSolutions.com) की संख्या = 9

प्रश्न 34.
एक पाँसे को दो बार उछाला गया है। तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (NCERT)
(i) किसी भी बार 5 ऊपर नहीं आयेगा।
(ii) ठीक एक बार ही 5 ऊपर आयेगा।
हलः
हम जानते हैं कि एक पाँसे को दो बार उछालने पर कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36
5 अंक आने की संभावना = (1, 5), (2, 5 ), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
(i) किसी भी बार 5 ऊपर नहीं आयेगा –
5 आने की प्रायिकता = [latex]\frac{11}{36}[/latex]
हम जानते हैं कि
5 आने की प्रायिकता +5 नहीं आने की प्रायिकता = 1
⇒ 5 नहीं आने की प्रायिकता = 1 – [latex]\frac{11}{36}[/latex]
⇒ = [latex]\frac{36-11}{36}=\frac{25}{36}[/latex]

(ii) ठीक एक बार ही 5 ऊपर आयेगा-
कम से कम एक बार 5 आने की प्रायिकता = [latex]\frac{11}{36}[/latex]

प्रश्न 35.
दो पाँसे एक साथ उछाले जाते हैं तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) दोनों पर कभी भी 5 ऊपर नहीं आये।
(ii) कम-से-कम एक पर 5 आये।
(iii) दोनों पाँसों के ऊपर 5 आये।
हलः
हम जानते हैं कि दो पाँसे उछालते पर,
कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36
(i) दोनों पाँसों पर कभी भी 5 ऊपर न आने पर,
कुल अनुकूल परिणाम = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 6)
कुल अनुकूल परिणामों (UPBoardSolutions.com) की संख्या = 25
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{25}{36}[/latex]

(ii) कम से कम एक पर 5 आने पर, कुल अनुकूल परिणाम,
= (1, 5), (2, 5), (3, 5),(4, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),(5, 5), (5, 6)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{11}{36}[/latex]

(iii) दोनों पाँसों के ऊपर 5 आने पर,
कुल अनुकूल परिणाम = (5, 5)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{1}{36}[/latex]

प्रश्न 36.
एक बक्से में 90 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 90 संख्याएँ अंकित हैं यदि इस बक्से से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी-
(i) एक दो अंकों की संख्या
(ii) एक पूर्ण-वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या (NCERT)
हलः
कुल अंकित संख्याएँ = 90
अतः कुल संभव परिणाम = 90
(i) दो अंकों की एक संख्या-
दो अंकों की संख्याओं की संख्या = 90 – 9 = 81
अतः कुल अनुकूल परिणाम = 81
∴ दो अंकों की एक संख्या आने की प्रायिकता = [latex]\frac{81}{90}=\frac{9}{10}[/latex]

(ii) 1 से 90 के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ = 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81
पूर्ण वर्ग संख्याओं की संख्या = 9
प्रायिकता (एक पूर्ण वर्ग संख्या) = [latex]\frac{9}{90}=\frac{1}{10}[/latex]

(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या-
1 से 90 के बीच 5 से विभाज्य संख्या = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90
कुल 5 से विभाज्य (UPBoardSolutions.com) संख्या = 18
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 18
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{18}{90}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}[/latex]

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.2 त्रिभुजों की सर्वांगसमता

प्रश्न 1.
दिये गये चित्र में यदि ∠X = ∠Y तथा AB = CB तब सिद्ध कीजिए कि AE = CD
हल:

प्रश्न 2.
यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण उन कोणों को समद्विभाजित करते हैं, जिनसे वे जुड़े हुए हैं तो सिद्ध कीजिए कि वे विकर्ण परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:

प्रश्न 3.
ABC एक न्यूनकोण त्रिभुज है। B से AC पर लम्ब, Cसे AB पर लम्ब के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि AB = AC हल:
∆BCE तथा ∆BCF में

प्रश्न 4.
एक समकोण त्रिभुज में, एक न्यूनकोण अन्य कोण का दुगुना है, तो सिद्ध कीजिए कि कर्ण, छोटी भुजा का दुगुना है।
हलः

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.1 त्रिभुजों की सर्वांगसमता

प्रश्न 1.
चित्र में वर्ग ABCD में एक बिन्दु x है। AX पर एक वर्ग AXYZ बनाया जाता है। सिद्ध कीजिए कि BX = DZ
हलः
समकोण ∆AXB तथा समकोण ∆AZD में
AB = AD (वर्ग की भुजाएँ)
AZ = AX (वर्ग की भुजाएँ)

R.H.S समरूपता से
∆AXB ≅ ∆AZD
∴ BX = DZ

प्रश्न 2.
दिये गये चित्र में AD और BC परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए:
(i) AB = CD तथा AC = BD
(ii) ∠BCD = ∠CBA तथा ∠DAC = ∠ADB
हलः

(i) ∆AOB तथा ∆COD में,

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF बराबर हैं। तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समद्विबाहु है। (संकेतः माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु इन्हें 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।)
हल:

प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में, एक वर्ग PQRS तथा SRT एक समबाहु त्रिभुज है तो सिद्ध कीजिए (NCERT)
(i) PT = QT
(ii) ∠QRT = 150°
हलः

प्रश्न 5.
ABC एक समबाहु त्रिभुज है, D कोई इसका अन्तः केन्द्र है। DC पर एक समद्विबाहु त्रिभुज DEC खींचा गया है। [चित्र में दिखाये (DE = DC) अनुसार] तो सिद्ध कीजिए कि ∆BDC तथा ∆CDE सर्वांगसम हैं।
हल:

प्रश्न 6.
भुजा AB = AC का एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है तथा ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक परस्पर O पर
प्रतिच्छेद करते हैं। तो सिद्ध कीजिए कि BO = CO तथा AO, ∠BAC का समद्विभाजक है।
हल:

प्रश्न 7.
दिये गये चित्र में, BA ⊥ AC तथा DE ⊥ EF इस प्रकार है कि BA = DE तथा DF = BC तो सिद्ध कीजिए कि AC = EF
हलः

प्रश्न 8.
दिये गये चित्र में, QX तथा RX, ∆PQR के क्रमशः ∠Q तथा ∠R के समद्विभाजक हैं यदि XS ⊥ QR तथा XT ⊥ PQ तो सिद्ध कीजिए-
(i) ∆XTQ = ∆XSQ
(ii) PX, ∠P का समद्विभाजक है।
हलः

प्रश्न 9.
चित्र में, ∠1 = ∠2, AC ⊥ CD तथा AB ⊥ BD तो सिद्ध कीजिए कि BD = CD
हलः

प्रश्न 10.
एक ∆PQR की भुजाएँ PQ व PR समान हैं तथा PR और PQ पर बिंदु S और T इस प्रकार हैं कि ∠PSQ और ∠PTR समकोण हैं तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज PTR और PSQ सर्वांगसम हैं। यदि QS तथा RT, X पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि PTX तथा PSX सर्वांगसम हैं।
हलः

प्रश्न 11.
दिये गये चित्र में, AB = EF, BC = DE, AB ⊥ BD तथा FE ⊥ CE तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD = ∆FEC
हलः

प्रश्न 12.
चित्र में, AB = AC तथा ∠ACD = 115°, तब ∠BAC = ?
हल:

प्रश्न 13.
चित्र में, ABCD एक वर्ग है तथा EF, BD के समांतर है। R, EF का मध्य बिन्दु है A तो सिद्ध कीजिए कि-
(i) BE = DF
(ii) AR, ∠BAD का समद्विभाजक है।
(iii) यदि AR को बढ़ाते हैं तो यह C से होकर गुजरेगा।
हल:

प्रश्न 14.
चित्र में, यदि AB = 3 सेमी, AC = 3 सेमी तथा ∠A = 50° तब ∠B = ?
हलः

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 10 Lines and Angle Ex 10.2 रेखाएँ एवं कोण

Ex 10.2 Lines and Angle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
दी गयी आकृति में, AB || DE तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABC + ∠BCD = 180°+ ∠CDE
हलः
बिन्दु C से होकर एक रेखा MCN खींची जबकि AB || MN
माना
∠MCD = x
∠MCB = y

∠CDE = ∠ MCD = x
LHS ∵ ∠ABC + ∠BCD = 180 – y + x + y [∵ ∠ABC = ∠BCN = 180°- y एकान्तर कोण]
= 180 + x = 180 + ∠CDE = RHS

प्रश्न 2.
दी गयी आकृति में, AB, CD के समान्तर है, x ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ AB||CD
बिन्दु T से होती हुई AB तथा CD के समान्तर रेखा MN खींची।
∠ TAB + ∠ATN = 180° (अन्तः कोण युग्म)
140 + ∠ATN – 180°
∠ATN = 180 – 140 = 40°
∵ ∠DCT + ∠NTC = 180°
150 + ∠NTC = 180°
∠NTC = 180 – 150 = 30°
∴ x = ∠ATN + ∠NTC = 40 + 30 = 70°

प्रश्न 3.
निम्न प्रत्येक आकृति में x° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
(i) AB तथा CD के समान्तर एक रेखा FEM खींची।
∠ABE + ∠FEB = 180°
140 + ∠FEB = 180°
∠FEB = 180 – 140 = 40°
∠CDE + ∠FED = 180°
135 + ∠FED = 180° (अन्तः युग्म कोण)
∠FED = 180 – 135 = 45°
∴ ∠FEB + ∠FED = 40 + 45 = 85°
∴ x = 85°

(ii) बिन्दु E से होती हुई एक रेखा MN खींची
∠MEA = ∠BAE = 50° (एकान्तर कोण)
∠MEC = ∠ECD = 70° (एकान्तर कोण)
∴ ∠MEA + ∠MEC = 50 + 70 = 120°
∴ x = 120°

(iii) बिन्दु E से होती हुई MN रेखा खींची
माना ∠MEB = a
a = 180°- 60° = 120°
∴ b = 180°- 30° = 150°
∵ x = a + b
= 120° + 150° = 270°

प्रश्न 4.
दी गयी आकृति में, AB|| CD तथा कोई बिन्दु P दर्शाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABP + ∠BPD + ∠CDP = 360°
हल:

∵ AB||CD
तथा P बिन्दु से होती हुई एक सरल रेखा EF खींची
माना ∠BPE = x तथा ∠DPE = y
∠MBP = 180 – ∠ABP ……….. (1)
तथा ∠NDP = 180 – ∠PDC …………..(2)
∠MBP = x (एकान्तर कोण)
∠NDP = y (एकान्तर कोण)
समीकरण (1) से 180 – ∠ABP = x ……… (3)
समीकरण (2) से 180 – ∠PDC = y …………. (4)
समीकरण (3) व (4) को जोडने पर,
180 – ∠ABP + 180 – ∠PDC = x + y
360 – ∠ABP – ∠CDP = ∠BPD
∴ 360° = ∠ABP + ∠BPD + ∠CDP

प्रश्न 5.
दी गयी आकृति में, x ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC का बहिष्कोण = x
∆ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है

∴ ∠CBD = ∠ACB + ∠CAB
∴ ∠CBD = 70 + 60 = 130°
∴ x = 130°

प्रश्न 6.
दी गयी आकृति में, l||m||n और ∠1 = 60°, ∠2 ज्ञात कीजिए।
हल:

∠1 = 60° ∵ l || m || n
∠1 = ∠3 (संगत कोण)
= 60°
∴ ∠4 = 180° – 60° = 120°
∠2 = ∠4 = 120° (एकान्तर कोण)

प्रश्न 7.
आकृति में, भुजाओं BA और DC द्वारा निर्मित एक चतुर्भुज दर्शाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि a + b = x + y यदि AB||DC.
हलः

∵ ∠BCD = 180 – a
∠BAD = 180 – b
चतुर्भुज के चारो कोणों का योग = 360
180 – a + y + 180 – b + x = 360
x + y = a + b

प्रश्न 8.
दी गयी आकृति में, AB||CD और ∠F = 30°, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ ∠AFE = 30°
∠ECH = ∠AFE = 30° (एकान्तर कोण)
∠ECD = 30 + 90 = 120°

प्रश्न 9.
दी गयी आकृति में, यदि AC||DE, तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∠MCD = 180° – ∠EDC
= 180° – 55° = 125
x = ∠MCD (शीर्षाभिमुख कोण)
= 125°

प्रश्न 10.
दी गयी आकृति में, ∠ABC की भुजाओं BA और BC, ∠DEF की क्रमशः भुजाओं ED और EF के समान्तर है तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABC + ∠DEF = 180°
हल:
∵ ∠ABC + ∠EDC = 180° (अन्तः युग्म कोण) …………….(1)
परन्तु ∠EDC = ∠DEF ………….. (2)

समीकरण (2) का मान समीकरण (1) में रखने पर
∠ABC + ∠DEF = 180°

प्रश्न 11.
दी गयी आकृति में AB||CD और DE||CF, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ AB || CD
∴ ∠BAC = ∠ACD
50 = y (एकान्तर कोण) …………(1)
∵ DE ||CF
x = 70 + y (एकान्तर कोण) …………(2)
समीकरण (2) में y का मान रखने पर
x = 70 + 50 = 120°

प्रश्न 12.
दी गयी आकृति में BD||CE, तो x, y और z ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ FDE = 180 – 120 = 60°
∴ y = 60° (संगत कोण)
∠DBC = 180 – 70 = 110°
∆ABD में,
∠DBC = ∠BAD + ∠ADB
110 = x + 60
(∵ ∠ADB = 180 – 120 = 60°)
x = 110 – 60 = 50°
x = 50°
z = ∠BCE = 70° (संगत कोण)

प्रश्न 13.
दी गयी आकृति में समान्तर रेखायें l, m, n एक तिर्यक रेखा P द्वारा क्रमशः x, y और z पर प्रतिच्छेद होती है। तो ∠1, ∠2 तथा ∠3 ज्ञात कीजिए।
हलः

∠4 = 180° – 50° = 130°
∠4 = ∠1 = 130° (संगत कोण)
∠1 = ∠2 = 130° (संगत कोण)
∠3 = ∠1 = 130° (एकान्तर कोण)

प्रश्न 14.
दी गयी आकृति में l₁||l₂ और m₁|| m₂ क्यों हैं, कारण दीजिए?
हलः

∠NQR = QRS = 130°
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।
∴ m₁||m₂
∠PQR = 180° – 130° = 50°
∠MPS = ∠PQR = 50° (संगत कोण)
∴ l₁||l₂

Ex 10.2 Lines and Angle विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
चित्र में x और y के मान ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि AB||CD.
हल:
AB||CD
x = 130° (संगत कोण)
y = 130° (शीर्षाभिमुख कोण)

प्रश्न 2.
चित्र में, यदि AB||CD, CD||EF और y : z = 3 : 7, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∠EPN = ∠CNM

180 – z = y
∴ y + z = 180° …………..(1)
माना ∠y = 3a
∠z = 7a
3a + 7a = 180
10a = 180 ⇒ a = [latex]\frac{180}{10}[/latex] = 18
∴ y = 3 × 18 = 54°
∵ z + y = 180
∴ z + 54 = 180°
∴ z = 180 – 54 = 126°
∴ ∠x = 2x = 126° (संगत कोण)

प्रश्न 3.
चित्र में, यदि AB||CD, EF⊥CD और ∠GED = 126°, ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:

∵ AB||CD
∠AGE = ∠GED = 126° (एकान्तर कोण)
∠GEF = 126° – ∠FED
= 126° – 90° = 36°
∠FGE = 180° – ∠AGE = 180 – 126 = 54°

प्रश्न 4.
चित्र में यदि PQ||ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° तो ∠QRS ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

PQ को आगे M तक बढ़ाया
तथा
∠AMR = 130° (संगत कोण)
∠MQR = 180°- 110 = 70°
∠QMR = 180 – 130 = 50°
∆QRM में तथा ∠QRS = 180°- (∠MQR + ∠QMR)
= 180°- (70 + 50)
= 180 – 120 = 60°

प्रश्न 5.
चित्र में यदि AB||CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° तो और y ज्ञात कीजिए।
हल:
∆PQR में, AB||CD
x = 50° (एकान्तर कोण)
∵ बहिष्कोण ∠PRD = ∠QPR + ∠PQR
∠PRD = y + x
127 = y + 50
127 – 50 = y
77° = y

प्रश्न 6.
चित्र में PQ और RS दो दर्पण है जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गये है। एक आपतन किरण AB दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB||CD है।
हलः

∵ ∠3 = ∠4 ……………. (1)
P तथा ∠1 = ∠2 …………. (2)
परन्तु ∠3 = ∠2 …………… (3) (एकान्तर कोण) ,
समीकरण (1) व (3) से ∠2 = ∠4 …………….. (4)
समीकरण (2) व (3) से ∠1 = ∠3 ………………… (5)
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने पर
∠2 + ∠1 = ∠4 + ∠3
∴ ∠BCD = ∠ABC
परन्तु ये एकान्तर कोण है।
∴ AB||CD

प्रश्न 7.
चित्र में ∆PQR की भुजाएँ QP और RQ को क्रमशः बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

∠QPR = 180 – 135 = 45°
∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ
(∆ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है)
110 = 45 + ∠PRQ
110 – 45 = ∠PRQ
65° = ∠PRQ

प्रश्न 8.
चित्र में ∠X = 62°, ∠XYZ = 547, यदि ∆XYZ में YO और ZO क्रमशः ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।
हल:
∆XYZ में ∠XZY = 180°– (62 + 54)
180 – 116 = 64°
∵ YO तथा ZO क्रमशः ∠XYZ तथा ∠XZY के समद्विभाजक है।

∴ ∠OYZ = [latex]\frac{54}{2}[/latex] = 27
तथा ∠OZY = [latex]\frac{64}{2}[/latex] = 32°
∠YOZ = 180 – (27 + 32)
= 180 – 59 = 121°

प्रश्न 9.
चित्र में यदि AB||DE, ∠BAC = 35°, ∠CDE = 53° तो ∠DCE ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

∵ AB||DE
∠BAC = ∠DEC = 35° (एकान्तर कोण)
∆CDE में,
∠DCE = 180° – (53 + 35)
= 180 – 88 = 92°

प्रश्न 10.
चित्र में यदि रेखाएं PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75°, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:

∆PRT में, PTR = 180 – (95 + 40)
= 180 – 135 = 45°
∠PTR = ∠QTS = 45° (शीर्षाभिमुख कोण)
∠TQS = 180 – (45 + 75)
= 180 – 120 = 60°

प्रश्न 11.
चित्र में यदि PS ⊥ RS, PT||SR और ∠STR = 28° और ∠QRT = 65° तो x और y के मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

बहिष्कोण
∠QRT = ∠STR + ∠TSR
65 = 28 + ∠TSR
65 – 28 = ∠TSR
37 = ∠TSR
x = 37° [एकान्तर कोण]
∆TPS में,
90 + x + y = 180
90 + 37 + y = 180
127 + y = 180
y = 180 – 127 ⇒ y = 53°

प्रश्न 12.
चित्र में ∆PQR की भुजा QR को एक बिन्दु तक बढाया गया। यदि ∠PQR और ∠PRS के समअर्द्धक, बिन्दु T पर मिलते है तब सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠QPR (NCERT)
हल:

∵ ∠QPR = 180 – ∠PQR – ∠PRQ
= 180 – 2∠TQR – (180 – ∠PRS)
= 180 – 2∠TQR – 180+∠PRS
= -2TQR + 2∠TRS
= 2(∠TRS – ∠TQR)
= 2∠QTR
या [latex]\frac{1}{2}[/latex] ∠QPR = ∠QTR

Ex 10.2 Lines and Angle बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
यहाँ x के किस मान के लिए l || m होगी?
(a) 20
(b) 30
(c) 50
(d) 45
हलः

l||m होगी, यदि संगत कोण बराबर होंगे। तब
2x – 30° = x + 20°
⇒ 2x – x = 30° + 20°
⇒ x = 50°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 2.
x के किस मान के लिए l||m होगी?
(a) 25
(b) 35
(c) 45
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

l||m होगी, यदि
4x + (3x + 5) – 180°
⇒ 7x + 5 = 180°
⇒ 7x = 180 – 5 = 175°
⇒ x =[latex]\frac{175^{\circ}}{7}[/latex] = 25°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.
यदि दो कोण परस्पर पूरक हैं तब प्रत्येक कोण है
(a) न्यूनकोण
(b) समकोण
(c) अधिक कोण
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
न्यूनकोण।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 4.
एक कोण की माप उसके पूरक की 5 गुनी है तब कोण की माप है।
(a) 25°
(b) 50°
(c) 75°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना कोण = x°, पूरक कोण = (90 – x)°
तब x = 5(90°- x)
⇒ x = 450° – 5x
⇒ x + 5x = 450° ⇒ 6x = 450
⇒ x = [latex]\frac{450}{6}[/latex] = 75°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 5.
एक कोण जिसकी माप 180° से अधिक किन्तु 360° से कम हो, कहलाता है
(a) परावर्तित कोण
(b) न्यून कोण
(c) अधिक कोण
(d) ऋजु कोण
हलः
परावर्तित कोण
अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
दो पूरक कोण इस प्रकार हैं कि एक की माप का दोगुना, अन्य की माप के तीन गुने के बराबर है। दो मापों का बड़ा है।
(a) 54°
(b) 64°
(c) 63°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना बड़ा कोण = x°, पूरक कोण = (90 –x)°
2x = 3 × (90 – x)
2x = 270° – 3x ⇒ 5x = 270°
⇒ x = [latex]\frac{270}{5}[/latex] = 54°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 7.
दो सरल रेखाएँ AB और CD, एक-दूसरे को 0 पर काटती हैं। यदि ∠BOD = 63° तब ∠BOC =
(a) 63°
(b) 17°
(c) 153°
(d) 117°
हलः

∠BOD + ∠ BOC = 180°
⇒ 63° + ∠ BOC = 180°
⇒ ∠BOC = 180° – 63°
⇒ ∠BOC = 117°
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 8.
यदि AB = x + 3, BC = 2x और AC = 4x – 5, तब x के किस मान के लिए B, AC पर स्थित है?
(a) 5
(b) 6
(c) 8
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
बिन्दु B, AC पर स्थित होगा, यदि
AC = AB + BC
⇒ 4x – 5 = x + 3 + 2x
⇒ 4x – 5 = 3x + 3 ⇒ x = 8
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 9.
कोण की माप जो स्वयं का पूरक है
(a) 45°
(b) 55°
(c) 90°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
45°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 10.
एक त्रिभुज का एक बाह्य कोण 110° और दो अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं। ये बराबर कोण है
(a) 45°
(b) 55°
(c) 90°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना अन्त:कोण = x°
तब बाह्य कोण = अन्त:कोणों का योग
110° = x° + x°
⇒ 2x = 110° ⇒ x = [latex]\frac{110^{\circ}}{2}[/latex] = 55°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 11.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तब त्रिभुज है (NCERT Exemplar)
(a) समकोण
(b) समद्विबाहु
(c) समबाहु
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समकोण।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 12.
यदि दो सम्पूरक कोणों के बीच का अन्तर 40° है तब कोण है.
(a) 70°, 120°
(b) 70°, 110°
(c) 210°, 150°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना कोण = x°; सम्पूरक कोण = (180° – x)
x – (180° – x) = 40°
⇒ 2x = 220° ⇒ x = [latex]\frac{220}{2}[/latex] = 110°
सम्पूरक कोण = 180° – 110° = 70°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 13.
यदि दो पूरक कोणों के बीच का अनुपात 2 : 3 है तब कोण है
(a) 36°, 54°
(b) 30°, 60°
(c) 20°, 70°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना एक कोण = x°, पूरक कोण = (90° – x)

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 14.
संलग्न चित्र में, यदि l||m, तब x =
(a) 30°
(b) 40°
(c) 70°
(d) इनमें से कोई नहीं

हलः

यदि l||m, तब
∠EDO = ∠COB = 70°
⇒ ∠BOA = 180° – 70° = 110°
∆ABO में, x°+ 110°+ 30° = 180°
x = 180° – 140°
⇒ x = 40°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 15.
संलग्न चित्र में, यदि AB||CD, तब x =
(a) 110°
(b) 115°
(c) 100
(d) इनमें से कोई नहीं

हलः
∠FAE = 180 – 132 = 48°
∵ PF ||CE
⇒ ∠FAE = ∠AEC = 48°
तथा AB||CD
⇒ ∠AEC = ∠ECD = 48°

∵ PA||CE
⇒ ∠APG = ∠ECP = 180 – 148 =32°
अतः बिन्दु C पर
x + ∠ECD + ∠ECP = 180°
x + 48 + 32 = 180°
⇒ x = 180° – 80 = 100°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 16.
यदि AB और CD दो समान्तर रेखाएँ हैं, PQ, AB और CD को क्रमशः E तथा F पर काटती है। EL, ∠FEB का समद्विभाजक है यदि ∠LEB = 35%, तब ∠CFQ =
(a) 90°
(b) 65°
(c) 110°
(d) 140°
हलः

दिया है,
∠LEB = 35°
∵ EL, ∠FEB का समद्विभाजक है, तब
∠FEL = 70°
⇒ ∠AEF = 180° – 70° = 110°
⇒ ∠CFQ = ∠AEF = 110° (एकान्तर कोण)
∴ ∠CFQ = 110°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 17.
तिर्यक रेखा के एक ही ओर यदि दो अन्तः कोणों का अनुपात 2 : 3 है तो बड़ा कोण = (NCERT)
(a) 56°
(b) 125°
(c) 108°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दो अन्त:कोणों का अनुपात = 2 : 3
अतः कोण = 2x तथा 3x
तब 2x + 3x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = [latex]\frac{180}{5}[/latex] = 36°
अतः बड़ा कोण = 3 × 36° = 108°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 18.
एक कोण इसके सम्पूरक के तीन गुने के बराबर है। कोण की माप है
(a) 125°
(b) 130°
(c) 135°
(d) 120°
हलः
माना कोण = x°; सम्पूरक कोण = (180° – x)
तब x = 3(180° – x)
⇒ x = 540 – 3x
⇒ 4x = 540 ⇒ x = [latex]\frac{540}{4}[/latex] = 135°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 19.
दिया गया है कि ∠POR = 3x और ∠QOR = 2x + 10°, यदि POQ एक सरल रेखा है तब x =
(a) 25°
(b) 30°
(c) 34°
(d) 44°
हल:
∵ POQ एक सरल रेखा है।
∴ ∠POR + ∠QOR = 180°
⇒ 3x + 2x + 10 = 180°
⇒ 5x + 10 = 180°
⇒ 5x = 180° – 10 = 170
⇒ x = [latex]\frac{170}{5}[/latex] = 34°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 20.
दो पूरक कोण इस प्रकार हैं कि एक की माप का दोगुना, अन्य की माप के तीन गुने के बराबर है। छोटे कोण की माप है।
(a) 36°
(b) 40°
(c) 56°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना एक कोण = x°, पूरक कोण = (90° – x)
⇒ 3x = 2(90 – x)
⇒ 3x = 180 – 2x
⇒ 5x = 180° ⇒ x = [latex]\frac{180}{5}[/latex] = 36°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 21.
संलग्न चित्र में, यदि l||m तब x =
(a) 95°
(b) 45°
(c) 55°
(d) 65°
हल:

∵ l||m
तब ∠BAO = ∠OCD = 40
∆OAB में, ∠OAB + ∠ABO + ∠BOA = 180°
40° + 55° + ∠BOA = 180°
∠BOA = 180° – 95 = 85°
अब बिन्दु O पर,
x + ∠AOB = 180°
⇒ x + 85 = 180°
⇒ x = 180° – 85 = 95°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 22.
संलग्न चित्र में, l||m और m||n यदि x : y = 3 : 2 तब x =
(a) 108°
(b) 72°
(c) 1200
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

दिया है, x : y = 3 : 2
⇒ x = 3k, y = 2k
x + y = 3k +2k
5k = 180° ⇒ k = [latex]\frac{180^{\circ}}{5}[/latex] = 36°
⇒ x = 3 × 36 = 108°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 23.
एक त्रिभुज का एक बाह्य कोण 105° है तथा इसके अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं तब प्रत्येक बराबर कोण की माप है (NCERT Exemplar)

हलः
माना अन्तः कोण = x°
तब त्रिभुज का बाह्य कोण = अन्तः कोणों का योग
105° = x + x
⇒ 2x = 105 ⇒ x = [latex]\frac{105}{2}=52 \frac{1}{2}^{\circ}[/latex]
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 24.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण 130, है तब अन्य दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच कोण है (NCERT Exemplar)
(a) 145°
(b) 155°
(c) 65°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∆DAB में, ∠AOB = 130°
तथा PA तथा PB क्रमशः ∠OAB तथा ∠OBA के समद्विभाजक हैं।
माना ∠OAB = 2x, ∠OBA = 2y

तब ∠OAP = ∠PAB = x
तथा ∠OBP = ∠PBA = y
∆APB में, x + y + ∠APB = 180°
∠APB = 180° – (x + y) …………………. (1)
∆AOB में, 2x + 2y + 130° = 180°
2x + 2y = 50
x + y = 25 …………………….(2)
समी० (2) से x + y का मान समी० (1) में रखने पर,
∠APB = 180 – 25 = 155°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 25.
दिए गए चित्र में ज्ञात कीजिए कि a + b =
(a) 127°
(b) 107°
(c) 45°
(d) 54°
हलः


अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 26.
संलग्न चित्र में, AOB एक सरल रेखा है। ∠COD की माप =
(a) 80°
(b) 60°
(c) 120°
(d) 160°
हलः
बिन्दु O पर,

x + 20 + 2x – 20 + 60 = 180°
⇒ 3x + 60° = 180°
⇒ 3x = 120°
⇒ x = 40°
∠COD = 2 × 40 – 20 = 60°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 27.
यदि एक कोण की माप, उसके सम्पूरक कोण की माप की दोगुनी है। तब इसकी माप है
(a) 90°
(b) 110°
(c) 135°
(d) 120°
हलः
माना कोण = x, सम्पूरक कोण = 180° – x
x = 2(180° – x)
⇒ x = 360° – 2x
⇒ 3x = 360° ⇒ x = [latex]\frac{360^{\circ}}{3}[/latex] = 120°
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 28.
एक कोण की माप जो स्वयं का सम्पूरक है
(a) 90°
(b) 110°
(c) 45°
(d) 135°
हलः
90°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 29.
(90°-x) का पूरक है
(a) x
(b) 90°+ x
(c) –x
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(90° – x) का पूरक कोण = 90° – (90°– x)
= 90° – 90° + x = x
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 30.
एक कोण की माप जो स्वयं का पूरक है
(a) 30°
(b) 90°
(c) 45°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना कोण = x, पूरक कोण = 90° –x
x = 90° – x
⇒ x + x = 90°
⇒ 2x = 90° ⇒ x = [latex]\frac{90}{2}[/latex] = 45°
अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 10.2 Lines and Angle स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
यह दिया गया है कि ∠XYZ = 64° और XY को एक बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी गयी जानकारी से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समअर्द्धक करती है तो ∠XYQ और परावर्तित ∠QYP ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ YQ किरण, ∠ZYP को समअर्द्धक करती है
माना ∠ZYQ = ∠QYP = x
64 + x + x = 180
64 + 2x = 180
2x = 180 – 64 = 116
x = [latex]\frac{116}{2}[/latex] = 58

∴ ∠XYQ = 64 + x = 64 + 58 = 122°
∠QYP = 58°
परावर्तित कोण ∠QYP = 360 – 58 = 302°

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि यदि दो रेखायें परस्पर प्रतिच्छेद करती है तब शीर्षाभिमुख कोण बराबर हैं।
हलः
रेखा AB व CD एक दूसरे को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है।
∠AOC + ∠AOD = 180° ………………….. (1)
∠AOD + ∠BOD = 180° ……………… (2)

समीकरण (1) व (2) की तुलना से
∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD
∴ ∠AOC = ∠BOD
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि ∠AOD = ∠BOC
∴ शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

प्रश्न 3.
सलंग्न चित्र में, OD, ∠AOC का और OE, ∠BOC का समद्विभाजक है तथा OD⊥OE तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु A, O और B सरेख हैं।
हलः

∵ OD⊥OE ∴ ∠DOE = 90° ………………. (1)
माना ∠AOC = 2x तथा ∠BOC = 2y
∴ ∠AOD = ∠COD = x
तथा ∠BOE = ∠COE = y
∵ ∠AOD + ∠DOC + ∠COE + ∠BOE
= x + x + y + y = 2x + 2y
= 2(x + y)
= 2 × 90° = 180°
∵ समीकरण (1) से ∠DOE = ∠DOC + ∠COE = x + y = 90°
∴ AOB एक सरल रेखा है तथा A,O,B संरेख है।

प्रश्न 4.
यदि एक तिर्यक द्वारा दो समान्तर रेखायें प्रतिच्छेद होती हैं तब सिद्ध कीजिए कि किन्ही दो के संगत कोणों के समद्विभाजक समान्तर हैं।
हल:

माना AB||CD तथा MN एक तिर्यक रेखा काटती है।
∠MPB = ∠MQD (संगत कोण)
2 से भाग करने पर
[latex]\frac{\angle M P B}{2}=\frac{\angle M Q D}{2}[/latex]
∴ ∠MPT = ∠MQV
परन्तु ये संगत कोण है
PT||QN

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में ∆PQR की भुजा QR को एक बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠QPR
हलः

∵ ∠QPR = 180 – ∠PQR – ∠PRQ
= 180 – 2∠TQR – (180 – ∠PRS)
= 180 – 2∠TQR – 180+∠PRS
= -2TQR + 2∠TRS
= 2(∠TRS – ∠TQR)
= 2∠QTR
या [latex]\frac{1}{2}[/latex] ∠QPR = ∠QTR

प्रश्न 6.
यदि एक तिर्यक रेखा द्वारा दो समान्तर रेखाएँ प्रतिच्छेद होती हैं तो सिद्ध कीजिए कि अन्तः कोणों के दो युग्मों के समद्विभाजक, एक आयत के रूप के हैं।
हलः

∠APQ, ∠BPQ तथा ∠PQC तथा ∠PQD के समद्विभाजक खीचें।
माना ∠BPQ = ∠QPB = x
∵ 2x + 2y = 180
x + y = 90 ………….. (1)
∵ x + y = 90
∴ चारों कोण 90° के होंगे।
∆PTQ तथा PSQ में सिद्ध कर सकते हैं कि PT = QS तथा TQ = PS
अत: PTQS एक आयत है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक युग्म के समद्विभाजकों के शीर्षाभिमुख कोण, एक समान सरल रेखा पर है।
हलः

∠1 = ∠3 ………….. (1)
∠2 = ∠4 ………….. (2)
एक रेखा EF खींची।
∠2 = ∠x + ∠y, ∠2 + ∠1 + ∠4 + ∠3 = 360°,
∠4 = ∠m + ∠n रखने पर
∠x + ∠y + ∠1 + ∠m + ∠n + ∠3 = 360° (∠x +∠1 + ∠m) + (∠y + ∠3 + ∠n) = 360°
∴ प्रत्येक ∠x + ∠1 + ∠m = ∠y + ∠3 + ∠n
∴ शीर्षाभिमुख कोण ∠2 व ∠4 एक समान रेखा पर स्थित हैं = 180°

प्रश्न 8.
यदि दो सरल रेखायें परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं। तो सिद्ध कीजिए कि एक कोण के समद्विभाजक के विपरीत किरण, शीर्षाभिमुख कोण को प्रतिच्छेद करती है।
हलः
माना ∠AOT = m तथा ∠TOD = n
m + z + y = 180 ……………… (1)
n + x + y = 180 …………….. (2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना से
m + z + y = n + z + y

∴ m = n
∴ रेखा TM, शीर्षाभिमुख कोण को प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रश्न 9.
यदि दो सरल रेखायें एक रेखा पर लम्ब है तो सिद्ध कीजिए कि वे परस्पर समान्तर हों?
हलः
यदि PQ व MN रेखा AB पर लम्ब हैं।
∵ ∠AQP = ∠ANM = 90°
परन्तु ये संगत कोण हैं।
∴ PQ||MN

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि यदि एक कोण की दो भुजा, दूसरे कोण की भुजा के लम्बवत् है तो कोण या तो बराबर होंगे या सम्पूरक।
हलः
कोण बराबर होंगे यदि उनका योग 180° होगा अर्थात् सम्पूरक होंगे।

प्रश्न 11.
संलग्न चित्र में, यदि PQ⊥PS, PQ ||RS, ∠SQR = 28° तथा ∠QRT = 65° तो x, y और z के मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ PQ⊥PS तथा ∠SPQ = 90°
∆SQR में,
z = 180 – 65 = 115°
∵ PQ||RS, ∠PQR = ∠QRT
x + 28 = 65
x = 65 – 28 = 37°
समकोण ∆PSQ में, y = 180 – (90 + 37)
= 180 – 127 = 53°

प्रश्न 12.
दिये गये चित्र में, यदि ∠COE = 2x° और / BOD = x°, तो x ज्ञात कीजिए। (जहाँ OD, ∠AOB का समद्विभाजक है और OE, ∠AOC का समद्विभाजक है)
हलः

∵ OD, ∠AOB का समद्विभाजक है
∴ ∠AOD =∠BOD = x
तथा OE, ∠AOC का समद्विभाजक है
∠COE =∠AOE = 2x
∴ ∠BOD + ∠AOD + ∠AOE +∠COE = 180
x + x + 2x + 2x = 180
6x = 180
x = [latex]\frac{180}{6}[/latex] = 30°

प्रश्न 13.
यदि दो सरल रेखाएँ परस्पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है, कि एक के कोण की माप 90° है, तो सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक के शेष कोण की माप 90° है।
हलः
l तथा m रेखाएँ एक-दूसरे को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं, कि
∠AOB = 90°
तब शेष ∠AOB = ∠AOC = 180°- 90° = 90°
इसी प्रकार ∠BOD =∠ COD = 90°

प्रश्न 14.
यदि एक कोण की भुजा क्रमशः अन्य दूसरे कोण की भुजा के समान्तर है, तो सिद्ध कीजिए कि दो कोण या तो बराबर हैं, या सम्पूरक।
हलः
कोण बराबर होंगे यदि उनका कोण 180° होगा अर्थात् सम्पूरक होंगे।

प्रश्न 15.
यदि दो सरल रेखाएँ समान रेखा के लम्बवत् हैं तो सिद्ध कीजिए कि वे परस्पर समान्तर हैं।
हलः
यदि PQ व MN रेखा AB पर लम्ब है।

∴ ∠AQP = ∠ANM = 90°
परन्तु ये संगत कोण हैं।
PQ||MN

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 14 Statistics Ex 14.6 सांख्यिकी

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से, कम प्रकार का तोरण खींचे।

तथा इसकी माध्यिका भी ज्ञात कीजिए।
हलः


y-अक्ष पर एक बिन्दु P (0, 25) लेते हैं (UPBoardSolutions.com) तथा x-अक्ष के समान्तर PQ खींची जो वक्र पर Q पर मिलती है। एक लम्ब QM, X-अक्ष पर खींचते हैं जो x-अक्ष को M पर काटता है।
अतः माध्यिका = 41.3

प्रश्न 2.
निम्नलिखित वितरण एक कारखाने के 50 श्रमिकों की दैनिक आय को दर्शाता है। (NCERT)

उपरोक्त वितरण की कम प्रकार की संचयी बारम्बारता वितरण लिखिए।
हलः
कम प्रकार की संचयी बारम्बारता वितरण-

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन को एक अधिक प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में रूपान्तरित कीजिए।

उपरोक्त बंटन की कम प्रकार की संचयी बारम्बारता वितरण लिखिए।
हलः

प्रश्न 4.
एक पौधे की 50 पत्तियों की चौडाई मिलीमीटर में मापी जाती है तथा इनका संचयी बारम्बारता वितरण निम्न प्रकार दर्शाया गया है। इसके लिए बारम्बारता बंटन सारणी बनाइये।

हलः

प्रश्न 5.
निम्नलिखित बंटन के लिए कम प्रकार का तथा अधिक प्रकार का तोरण खींचिए तथा इसकी माध्यिका ज्ञात कीजिए।

हलः
(i) कम प्रकार की श्रेणी

(ii) अधिक प्रकार की श्रेणी


एक लम्ब LM x-अक्ष पर खींचते हैं। जो x-अक्ष को M पर काटता है।
अतः माध्यिका = 60

प्रश्न 6.
दोनों प्रकार के तोरण खींचकर माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त बंटन का कम प्रकार का संचयी बारम्बारता बंटन लिखिए।
हल:
(i) से कम प्रकार की श्रेणी

(ii) से अधिक प्रकार की श्रेणी

लम्ब LM x-अक्ष पर खींचते हैं, जो x-अक्ष को M पर काटता है।
अतः माध्यिका = 75

प्रश्न 7.
नीचे दिए गए आँकडों के लिए अधिक प्रकार का तोरण खींचे जो 100 विद्यार्थियों के अंको को दर्शाते हैं।

हलः

प्रश्न 8.
नीचे दिया गया बंटन एक कारखाने के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है:

उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में रूपान्तरित कीजिए।
हलः

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