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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 13 Surface Area and Volumes Ex 13.1 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

प्रश्न 1.
तीन घनों, जिनकी भुजाएँ क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी हैं, से एक घन बनायें तथा नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी ज्ञात करें।
हलः
माना नये घन की भुजा = a सेमी
तथा दिये गये तीन घनों की भुजायें a₁ = 3 सेमी, a₂ = 4 सेमी तथा a₃ = 5 सेमी हैं।
तब, नये घन का (UPBoardSolutions.com) आयतन = तीनों घनों का आयतन
a³ = a₁³ + a₂³ + a₃³
a³ = (3)³ + (4)³ + (5)³
a³ = 27 + 64 +125
a³ = 216
a³ = (6)³
a = 6 सेमी
नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × (6)² = 6 × 36 = 216 सेमी²

प्रश्न 2.
53 सेमी × 40 सेमी × 15 सेमी आकार का एक ठोस घनाभ पिघलाया जाता है तथा उससे बेलनाकार पाईप बनाये जाते हैं जिनका बाह्य एवं आन्तरिक व्यास क्रमशः 8 सेमी तथा 7 सेमी हैं। पाईप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
ठोस घनाभ की मापे, लम्बाई l = 53 सेमी, चौड़ाई b = 40 सेमी तथा ऊँचाई h = 15 सेमी
बेलनाकार पाईप का बाह्य तथा आन्तरिक व्यास क्रमशः 8 सेमी तथा 7 सेमी
तब R = [latex]\frac{8}{2}[/latex] = 4 = सेमी, r = [latex]\frac{7}{2}[/latex] = 3.5 सेमी
माना, पाईप की लम्बाई l सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार, बेलनाकार पाईप का (UPBoardSolutions.com) आयतन = ठोस घनाभ का आयतन
π(R² – r²)l = l × b × h
[latex]\frac{22}{7}[/latex] (4)² – (3.5)²] × l = 53 × 40 × 15

प्रश्न 3.
5.5 सेमी × 10 सेमी × 14 सेमी के एक घनाभ को पिघलाकर 1.75 सेमी व्यास तथा 2 मिमी मोटाई के कितने सिक्के बनाये जाते हैं?
हलः
घनाभ का आयतन = 5.5 × 10 × 14 = 770 सेमी³
सिक्के का व्यास = 1.75 सेमी
सिक्के की त्रिज्या r = [latex]\frac{1.75}{2}[/latex] सेमी
सिक्के की मोटाई h = 2 मिमी = [latex]\frac{2}{10}[/latex] = 0.2 सेमी
तब, एक सिक्के का आयतन = πr²h

प्रश्न 4.
11 डेकामी × 1 मी × 5 डेकामी  आकार की एक धातु की शीट से 5 सेमी व्यास की कितनी गोलियाँ बनायी जा सकती हैं?
हलः
धातु का आयतन = 11 डेकामी × 1 मीटर × 5 डेकामी
= 11 × 10 सेमी × 1 × 100 सेमी × 5 × 10 सेमी
= 110 × 100 × 50 = 550000 सेमी³
तथा गोली का व्यास = 5 (UPBoardSolutions.com) सेमी
तब गोली की त्रिज्या r = [latex]\frac{5}{2}[/latex] सेमी

प्रश्न 5.
दो घनों जिनमें प्रत्येक की भुजा 10 सेमी है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक घनाभ बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

दो घनों जिनमें प्रत्येक भुजा = 10 सेमी है।
तब, घनाभ की लम्बाई l = 10 +10 = 20 सेमी
चौड़ाई b = 10 सेमी तथा (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई h = 10 सेमी
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(20 × 10 + 10 × 10 + 10 × 20)
= 2(200 + 100 + 200) = 2 × 500 = 1000 सेमी²

प्रश्न 6.
2.2 डेकामी घन धातु से 0.25 सेमी व्यास का एक तार खींचा जाता है। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
तार का व्यास = 0.25 सेमी तब तार की त्रिज्या r = [latex]\frac{0.25}{2}[/latex] सेमी
माना, तार की लम्बाई = h सेमी
तब, प्रश्नानुसार, धातु का आयतन = 2.2 डेकामी घन
= 2.2 × 10 × 10 × 10 घन सेमी = 2200 घन सेमी
∵ धातु में से तार बनाया जाता है।
∴ तार का आयतन = घातु का आयतन

प्रश्न 7.
तीन घनों, जिनमें प्रत्येक की भुजा 5 सेमी है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक घनाभ बनाया जाता है। इससे प्राप्त धनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
तीन घनों, जिनमें प्रत्येक की (UPBoardSolutions.com) भुजा = 5 सेमी

तब, घनाभ की मांपें क्रमशः
लम्बाई l = 5 + 5 + 5 = 15 सेमी, चौड़ाई b = 5 सेमी तथा ऊँचाई h = 5 सेमी
अतः घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(15 × 5 + 5 × 5 + 5 × 15)
= 2(75 + 25 + 75)
= 2 × 175 = 350 सेमी²

प्रश्न 8.
2 सेमी व्यास के ठोस बेलन की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिससे 16 सेमी लम्बाई, बाह्य व्यास 20 सेमी तथा मोटाई 2.5 मिमी से एक खोखला बेलन बनाया जा सके।
हलः
माना, ठोस बेलन की लम्बाई । सेमी है।
ठोस बेलन का व्यास = 2 सेमी
ठोस बेलन की त्रिज्या r = [latex]\frac{2}{2}[/latex] = 1 सेमी
खोखले बेलन की लम्बाई H = 16 सेमी
खोखले बेलन का बाह्य व्यास (UPBoardSolutions.com) = 20 सेमी
खोखले बेलन की बाह्य त्रिज्या r₁ = [latex]\frac{20}{2}[/latex] = 10 सेमी
तथा मोटाई = 2.5 मिमी = [latex]\frac{2.5}{10}[/latex] सेमी = 0.25 सेमी
खोखले बेलन की भीतरी त्रिज्या r₂ = 10 – 0.25 = 9.75 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, ठोस बेलन का आयतन = खोखले बेलन का आयतन
πr²h = π(r₁² – r₂²)H
(1)² × h = [(10)² – (9.75)²] × 16
1 × h = [100 – 95.0625] × 16 = 4.9375 × 16
h = 79 सेमी

प्रश्न 9.
9 सेमी आन्तरिक त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोलीय कटोरा एक द्रव से भरा है। इस दव को 3 सेमी व्यास और 4 सेमी ऊँचाई वाले छोटे-छोटे बेलनाकार बोतलों में भरना है। कटोरा खाली करने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी?
हलः
अर्द्धगोलीय कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या R = 9 सेमी

प्रश्न 10.
25 वृत्तीय प्लेटों, जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या 10.5 सेमी तथा मोटाई 1.6 सेमी है, को एक के ऊपर एक ठोस वृत्तीय बेलन के रूप में रखा गया है। प्राप्त बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्तीय प्लेट की त्रिज्या r = 10.5 सेमी तथा मोटाई h = 1.6 सेमी
माना, ठोस बेलन की त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) R = 10.5 सेमी तथा ऊँचाई H = 1.6 × 25, H = 40 सेमी
बेलन का वक्रपृष्ठ = 2πRH = 2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10.5 × 40 = 2640 सेमी²
तथा बेलन का आयतन = πr²h = [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10.5 × 40 = 13860 सेमी³

प्रश्न 11.
एक धातुई गोले का व्यास 6 सेमी है। इसे पिघलाकर, एक व्यास 0.2 सेमी अनुप्रस्थ काट का तार बनाया जाता है। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
धातुई गोले का व्यास = 6 सेमी, तथा तार का व्यास = 0.2 सेमी
धातुई गोले की त्रिज्या R = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3 सेमी, तथा तार की त्रिज्या r = [latex]\frac{0.2}{2}[/latex] = 0.1 सेमी
माना, तार की लम्बाई = h सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार, तार का आयतन = धातुई गोले का आयतन

प्रश्न 12.
यदि खोखले गोले का आन्तरिक एवं बाह्य व्यास क्रमशः 6 सेमी तथा 10 सेमी है। यदि इसे पिघलाकर 14 सेमी व्यास के एक ठोस बेलन के रूप में बनाया जाता है। तो बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
खोखले गोले की आन्तरिक त्रिज्या r = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3 सेमी
खोखले गोले की बाह्य त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) R = [latex]\frac{10}{2}[/latex] = 5 सेमी
ठोस बेलन की त्रिज्या r₁ = [latex]\frac{14}{2}[/latex] = 7 सेमी
माना, बेलन की ऊँचाई = h सेमी
तब, प्रश्नानुसार, ठोस बेलन का आयतन = खोखले गोले का आयतन

प्रश्न 13.
एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई 8.4 सेमी तथा इसके आधार की त्रिज्या 2.1 सेमी है। इसे पिघलाकर, एक गोला बनाया जाता है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, गोले की त्रिज्या = r सेमी तथा शंकु की त्रिज्या R = 2.1 सेमी
और शंकु की ऊँचाई H = 8.4
सेमी तब, प्रश्नानुसार, गोले का आयतन = शंकु का आयतन

प्रश्न 14.
80 मी लम्बे तथा 50 मीटर चौड़े एक आयताकार टैंक में 500 व्यक्तियों को डुबाया जाता है। यदि प्रत्येक व्यक्ति द्वारा पानी के स्तर में 0.04 मीटर³ की वृद्धि की जाती है तो टैंक के पानी के स्तर में कुल बढ़ोतरी ज्ञात कीजिए।
हलः
आयताकार टैंक की लम्बाई l = 80 मीटर, चौड़ाई b = 50 मीटर
माना, पानी के स्तर में बढ़ोत्तरी = h मीटर
तब, प्रश्नानुसार, आयताकार टैंक (UPBoardSolutions.com) में ऊपर उठे पानी का आयतन = 500 × 0.04 मीटर³
l × b × h = 20 मी³
80 × 50 × h = 20
h = [latex]\frac{20}{80 \times 50}=\frac{1}{4 \times 50}=\frac{1}{200}[/latex] = 0.005 मीटर
h = 0.005 × 100 = 0.500 = 0.5 सेमी

प्रश्न 15.
12 सेमी आधार त्रिज्या तथा 24 सेमी ऊँचाई के धातु के एक शंकु को पिघलाकर 6 सेमी व्यास की कितनी ठोस वृत्तीय गेंद बनायी जा सकती हैं?
हलः
शंकु के आधार की त्रिज्या R = 12 सेमी तथा ऊँचाई H = 24 सेमी
ठोस वृत्तीय गेंद की त्रिज्या r = [latex]\frac{6}{2}[/latex] = 3 सेमी
तब, शंकु का आयतन = [latex]\frac{1}{3}[/latex]πR²H

प्रश्न 16.
21 सेमी व्यास के एक धातु के गोले को पिघलाकर 3.5 सेमी व्यास का तथा 3 सेमी ऊँचाई के छोटे कितने शंकु बनाये जा सकते हैं?
हलः
धातु के गोले का व्यास = 21 सेमी
धातु के गोले की त्रिज्या R = [latex]\frac{21}{2}[/latex] सेमी

प्रश्न 17.
एक गोल कैरम बाल जिसका व्यास 28 सेमी है, को पिघलाकर 35 सेमी आधार के व्यास वाला लम्ब वृत्तीय शंकु बनाया गया है। शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
गोल कैरम बाल का व्यास = 28 सेमी
गोल कैरम बाल की त्रिज्या r₁ = [latex]\frac{28}{2}[/latex] = 14 सेमी
तथा लम्बवृत्तीय शंकु का व्यास (UPBoardSolutions.com) = 35 सेमी व ऊँचाई h = ?
लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या r₂ = [latex]\frac{35}{2}[/latex] = 17.5 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, शंकु का आयतन = गोल कैरम बॉल का आयतन

प्रश्न 18.
1 सेमी आन्तरिक त्रिज्या वाले वत्ताकार पाईप से 80 सेमी/सेकण्ड की दर से एक खाली बेलनाकार टैंक जिसके आधार की त्रिज्या 40 सेमी है, में पानी भर रहा है। आधे घण्टे में टैंक में पानी का स्तर कितना ऊँचा उठेगा?
हल:
वृत्ताकार पाईप की आन्तरिक त्रिज्या r = 1 सेमी
तथा वृत्ताकार पाईप से पानी निकलने की रफ्तार = 80 सेमी/सेकण्ड
अर्थात् 1 सेकण्ड में पानी की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) h = 80 सेमी
तथा बेलनाकार टैंक के आधार की त्रिज्या R = 40 सेमी
माना, बेलनाकार टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई H सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार,
बेलनाकार टेंक में ऊपर उठे पानी का आयतन = [latex]\frac{1}{2}[/latex] घण्टे (1800 सेकण्ड) में वृत्ताकार पाईप द्वारा भरे पानी का आयतन
πR²H = πr²h × 1800
π × 40 × 40 × H = π × 1 × 1 × 80 × 1800
H =[latex]\frac{80 \times 1800}{40 \times 40}[/latex]
= 5 × 18 = 90 सेमी

प्रश्न 19.
एक खाली अर्द्धगोलीय बर्तन के आन्तरिक व बाह्य व्यास क्रमशः 21 सेमी तथा 25.2 सेमी हैं। 1 सेमी² सतह को पेंट करने में 10 पैसे लगते हैं। पूरे बर्तन को पेंट करने में कुल लागत ज्ञात कीजिए।
हलः
अर्द्धगोलीय बर्तन के आन्तरिक व बाह्य व्यास क्रमशः 21 सेमी तथा 25.2 सेमी है।
तब, बर्तन की बाह्य त्रिज्या R = [latex]\frac{25.2}{2}[/latex] = 12.6 सेमी
और बर्तन की आन्तरिक त्रिज्या r = [latex]\frac{21}{2}[/latex] = 10.5 सेमी
अर्द्धगोलीय बर्तन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πR² + πr²
3 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 12.6 × 12.6 + [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10.5 × 10.5
= 1496.88 + 346.5
= 1843.38 सेमी
∵ 1 सेमी² सतह को पेंट कराने की लागत = 10 पैसे
∴ 1843.38 सेमी² सतह को पेंट कराने की कुल लागत = 1843.38 × 10
= 18433.80 पैसे
= ₹[latex]\frac{18433.80}{100}[/latex] = ₹184.34
= ₹184.34

प्रश्न 20.
एक खोखले 14 सेमी लम्बे लम्ब वृत्तीय बेलन के आन्तरिक एवं बाह्य वक्र पृष्ठों का अन्तर 88 सेमी है। यदि बेलन को बनाने में लगी धातु का आयतन 176 सेमी³ है तो बेलन के आन्तरिक व बाह्य व्यास ज्ञात कीजिए। (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex])
हल:
माना, खोखले बेलन की बाह्य त्रिज्या r₁ तथा आन्तरिक त्रिज्या r₂ सेमी है।
तथा खोखले बेलन की लम्बाई (UPBoardSolutions.com) h = 14 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, बेलन के आन्तरिक व बाह्य वक्रपृष्ठों का अन्तर = 88 सेमी

प्रश्न 21.
40 सेमी आधार त्रिज्या के बेलनाकार टैंक, एक बेलनाकार पाईप से 2.52 किमी/घण्टा की दर से पानी भर रहा है। आधे घण्टे में टैंक में पानी का स्तर 3.15 मीटर बहता है तो पाईप का आन्तरिक व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, पाईप की आन्तरिक त्रिज्या = r सेमी तथा पाईप से निकले पानी की ऊँचाई h = 2.52 किमी
h = 2.52 × 1000 × 100 सेमी
h = 252000 सेमी
तथा बेलनाकार टैंक के आधार की त्रिज्या (UPBoardSolutions.com) R = 40 सेमी तथा टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई H = 3.15 मीटर
= 3.15 × 100 = 315 सेमी
तब, प्रश्नानुसार, [latex]\frac{1}{2}[/latex] घण्टे में पाईप द्वारा भरे पानी का आयतन = बेलनाकार टैंक में पानी का आयतन

अतः पाईप का आन्तरिक व्यास = 2r = 2 × 2 = 4 सेमी

प्रश्न 22.
एक 5 मीटर चौड़े कपड़े से 14 मीटर व्यास तथा 24 मीटर ऊँचाई का एक शंक्वाकार तम्बु बनाया गया है। यदि इसमें लगे कपडे का मूल्य ₹ 25 प्रति मीटर है तो कुल लागत ज्ञात कीजिए।
हलः
शंक्वाकार तम्बु का व्यास = 14 मीटर तथा ऊँचाई h = 24 मीटर
तब, शंक्वाकार तम्बु की त्रिज्या r = [latex]\frac{14}{2}[/latex] = 7 मीटर

तम्बु में लगे कपड़े की कुल लागत = 110 × 25 = ₹ 2750

प्रश्न 23.
पानी से भरे एक बेलनाकार टैंक को 225 लीटर प्रति मिनट की दर से खाली किया जाता है। यदि इसके आधार का व्यास 3 मीटर तथा ऊँचाई 3.5 मीटर है तो कितने समय बाद आधा टैंक खाली हो जायेगा?
हलः
बेलनाकार टैंक का व्यास = 3 मीटर तथा ऊँचाई h = 3.5 मीटर
बेलनाकार टैंक की त्रिज्या r = [latex]\frac{3}{2}[/latex] × 100 = 150 सेमी, h = 3.5 × 100 = 350 सेमी
बेलनाकार टैंक में पूरे भरे पानी का आयतन = πr²h
[latex]\frac{22}{7}[/latex] × 150 × 150 × 350 = 24750000 सेमी³
तब आधे बेलनाकार टैंक का आयतन = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 24750000 = 12375000 सेमी³
1 मिनट में खाली टैंक का आयतन = 225 लीटर = 225 × 1000 = 225000 सेमी³
अतः आधे टैंक को खाली करने में लगा समय = [latex]\frac{12375000}{225000}[/latex] = 55 मीटर

प्रश्न 24.
1.4 सेमी व्यास के 150 मारबल के गोले, 7 सेमी व्यास के बेलनाकार बर्तन, जिसमें कुछ पानी है, में डुबोये जाते हैं। बर्तन में पानी का बढ़ा स्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
मारबल के गोले का व्यास = 1.4 सेमी
मारबल के गोले की त्रिज्या r = [latex]\frac{1.4}{2}[/latex] = 0.7 सेमी
तथा बेलनाकार बर्तन का (UPBoardSolutions.com) व्यास = 7 सेमी
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या R = [latex]\frac{7}{2}[/latex] = 3.5 सेमी
माना, बेलनाकार बर्तन में पानी का बढ़ा स्तर = h सेमी
तब, प्रश्नानुसार, बेलनाकार बर्तन में बढ़े पानी का आयतन = 150 मारबल के गोलो का आयतन

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.1 चतुर्भज

प्रश्न 1.
एक समान्तर चतुर्भुज का एक कोण उसके संलग्न (Adjacent) कोण का है। तब समान्तर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 110°,68° व 82° हैं। चौथा कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ चतुर्भुज के चारों कोणों का योगफल = 360°
माना चतुर्भुज का चौथा कोण = x
110° + 68°+ 82°+ x = 360°
260°+ x = 360°
x = 360° – 260° =100°

प्रश्न 3.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में सिद्ध कीजिए कि उसके दो क्रमागत कोणों का योग 180° होता है।
हलः
ज्ञात है— ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें ∠1 = ∠3 तथा ∠2 = ∠4
सिद्ध करना है- ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 = 180°

उपपत्ति-समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
∠1 = ∠3
∠2 = ∠4
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠4
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
(∠1 + ∠2) + (∠3+ ∠4) = 360°
2(∠1 + ∠2) = 360°

प्रश्न 4.
एक समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण (3x – 2)° व (50 – x)° हैं। इसके प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 5.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। x व y के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
∠A = ∠D
12x + 7y = 28°+60°
12x + 7y = 88° …(1)

∠B = ∠C
180°- 12x – 28°= 180° – 7y – 60°
152°- 12x = 120°-7y
-12x + 7y = 120°- 152°
-12x + 7y = -32°
समी० (1), (2) को हल करने पर y = 4, x = 5

प्रश्न 6.
चित्र में, ABCD एक आयत है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ आयत के विकर्ण समान होते हैं तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

AO = OC तथा
OB = OD
∆OBC में,
OB = OC तथा
∠OBC = ∠OCB = 580
x = 58°

प्रश्न 7.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा ∠DAP = 20°, ∠BAP = 40° तथा ∠ABP = 80° हैं, तो ∠APD व ∠BPC के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जहाँ ∠DAP = 20°
∠BAP = 40° तथा ∠ABP = 80°
समान्तर चतुर्भुज ABCD में AB||CD तथा PA व PB तिर्यक रेखायें काटती हैं।
∠PAB = ∠APD = 40° (एकान्तर कोण)
∠BPC = ∠PBA = 80° (एकान्तर कोण)

प्रश्न 8.
चित्र में, ABCD एक वर्ग है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 9.
चित्र में, PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है तथा PO व OQ क्रमश: ∠P व ∠Q पर के समद्विभाजक हैं। PQ के समान्तर रेखा LOM खीचें। तब सिद्ध कीजिए कि
(i) PL = QM (NCERT Exemplar)
(ii) LO = OM

हलः

प्रश्न 10.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
∠BCD = ∠DAB = 50°
∆BCD में,
∠B + ∠C + ∠D = 180°
80° + 50° + x = 180°
x = 180° – (80°+ 50°)
= 180° – 130° = 50°

प्रश्न 11.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा E भुजा BC का मधा बिन्दु है। DE व AB को बढ़ाने पर ये बिन्दु F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि AF = 2AB
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा E, BC का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 12.
यदि समान्तर चतुर्भुज का एक कोण, सबसे छोटे कोण के दोगुने से 24° कम है तो इसके सभी कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 13.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB||DC तथा भुजा AD व BC के मध्य बिन्दु क्रमशः E व F हैं। यदि AB = 8 सेमी व DC = 6 सेमी हैं तब EF की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 14.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जहाँ ∠DAB = 70° व ∠DBC = 50° । ∠CDB व ∠ADB के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∠A = ∠C = 70° (सम्मुख कोण)

∆BDC में, ∠BDC + ∠DCB + ∠DBC = 180°
∴ ∠BDC + 70°+ 50° = 180°
∠BDC = 180°– (50° + 70°) = 60°
∠ADB = ∠DBC (एकान्तर कोण)
= 50°

प्रश्न 15.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जहाँ ∠A = 45°तब ∠B, ∠C व ∠D के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है व ∠A = 45°
∠C = ∠A = 45° (सम्मुख कोण)
∠A + ∠B = 180°

(समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योगफल 180° होता है।)
45°+ ∠B = 180°
∠B = 180°- 45° = 135°
∠D = ∠B = 135° (सम्मुख कोण)

प्रश्न 16.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर ……………………. समद्विभाजित करते हैं।
(ii) वर्ग के विकर्ण ………………………. व परस्पर लम्बवत् होते हैं।
(iii) यदि किसी समान्तर चतुर्भुज की क्रमागत भुजाएँ बराबर हैं तब यह अवश्य एक ………. है।
(iv) एक समान्तर चतुर्भुज के क्रमागत कोण ……………….. होते हैं।
(v) एक ………………….. समान्तर चतुर्भुज होता है यदि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर हो।
हलः
(i) 90° के कोण पर
(ii) बराबर
(iii) सम चतुर्भुज
(iv) सम्पूरक कोण
(v) चतुर्भुज

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 8 Coordinate Geometry Ex 8.1 निर्देशांक ज्यामिति

Ex 8.1 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
किसी बिन्दु का भुज किस चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है?
हलः
II तथा III चतुर्थांश में।

प्रश्न 2.
दो निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेद बिन्दु का नाम बताओ। (NCERT Exemplar)
हलः
दो निर्देशांक अक्षों का प्रतिच्छेद बिन्दु मूल बिन्दु कहलाता है।

प्रश्न 3.
बिन्दु (0, -9) किस अक्ष पर स्थित है?
हलः
∵ X-अक्ष निर्देशांक 0 है। इसलिए बिन्दु (0, -9) Y-अक्ष पर स्थित है।

प्रश्न 4.
बिन्दु (0, -6) की मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात करो।
हलः
बिन्दु (0, -6) में x-अक्ष निर्देशांक 0 है तथा y-अक्ष निर्देशांक -6 है इसलिए बिन्दु (0, -6) की मूल बिन्दु से दूरी 6 मात्रक है।

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु A(2, 0), B(-6, 0) तथा C(3, a – 3) x-अक्ष पर स्थित है तो a का मान ज्ञात करो।
हलः
∵ बिन्दु C, x-अक्ष पर स्थित है।
∴ बिन्दु C का y-अक्ष निर्देशांक = 0
a – 3 = 0 ⇒ a = 3

Ex 8.1 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 6.
वह चतुर्थांश ज्ञात कीजिए जिसमें निम्न बिन्दु स्थित हैं
(i) (-1,-4)
(ii) (4, 1)
(iii) (3, -2)
(iv) (-3, 1)
(v) (7, 2)
(vi) (-3, -2)
(vii) (-6, 4)
(viii) (2, -2)
हल:
(i) (-1, -4) स्थित होगा – तृतीय चतुर्थांश
(ii) (4, 1) स्थित होगा – प्रथम चतुर्थांश
(iii) (3, -2) स्थित होगा। – चतुर्थ चतुर्थांश
(iv) (-3, 1) स्थित होगा – द्वितीय चतुर्थांश
(v) (7, 2) स्थित होगा। – प्रथम चतुर्थांश
(vi) (-3, -2) स्थित होगा – तृतीय चतुर्थांश
(vii) (-6, 4) स्थित होगा – द्वितीय चतुर्थांश
(viii) (2, -2) स्थित होगा – चतुर्थ चतुर्थांश

Ex 8.1 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 11.
निम्न अंकित बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

हलः
बिन्दु P = (4, -6)
बिन्दु G = (3, 2)
बिन्दु N = (-1, -1)
बिन्दु Q = (-1, 3)
बिन्दु H = (-3, 1)
बिन्दु S = (5, 6)
बिन्दु I = (3, -2)

Ex 8.1 Coordinate Geometry बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
किसी बिन्दु A(4, 3) की y-अक्ष से लम्बवत् दूरी
(a) 4 इकाई
(b) 3 इकाई
(c) 2 इकाई
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
बिन्दु A (4, 3) की y-अक्ष से लम्बवत् दूरी = 4 इकाई

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
वह बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हों, वह किस चतुर्थांश में स्थित होगा (NCERT Exemplar)
(a) IV
(b) III
(c) II
(d) I
हल:
जिस बिन्दु के दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हों, वह बिन्दु तीसरे चतुर्थांश में होगा।.

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
बिन्दु A(7, 5) की y-अक्ष से लम्बवत् दूरी (इकाई में)- .
(a) 35 इकाई
(b) 12 इकाई
(c) 7 इकाई
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
x = 7
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.
द्वितीय चतुर्थांश में किसी बिन्दु के भुज एवं कोटि के चिह्न हैं (NCERT Exemplar)
(a) (+, +)
(b) (+, -)
(c) (-, +)
(d) (-, -)
हलः
द्वितीय चतुर्थांश में किसी बिन्दु के भुज एवं कोटि के चिह्न (-, +) होगा।
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 5.
किसी बिन्दु की कोटि धनात्मक किस चतुर्थांश में होती है?
(a) I, II
(b) II, III
(c) III, IV
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
किसी बिन्दु की कोटि धानात्मक प्रथम तथा द्वितीय चतुर्थांश में होगी।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
x-अक्ष पर सभी बिन्दुओं के भुज का मान (NCERT Exemplar)
(a) 0
(b) धनात्मक वास्तविक संख्या
(c) कोई वास्तविक संख्या
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
कोई वास्तविक संख्या।
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
वह बिन्दु, जिसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हो, किस चतुर्थांश में स्थित होगा?
(a) I
(b) II
(c) III
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
प्रथम चतुर्थांश।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 8.
यदि x ≠ y, तब (x, y) + (y, x), परन्तु यदि x = y तब
(a) (x, y) ≠ (y, x)
(b) (x, y) = (y, x)
(c) (x, y) = (-x, y)
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(x, y) = (y, x)
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 9.
यदि A = A(-2, 3), B = B(-3, 5 ) तब (A का भुज) – (B का भुज) = (NCERT Exemplar)
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) -3
हलः
A का भुज – B का भुज = -2 + 3 = 1
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 10.
यदि 0(0, 0), A(4, 0) तथा B (0, 6) तब ∆OAB का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में)
(a) 8
(b) 10
(c) 12
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∆OAB का क्षेत्रफल = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × OA × OB
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 4 × 6 = 12 वर्ग इकाई

अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 8.1 Coordinate Geometry स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
निम्न बिन्दुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करें।
(i) (3, 5)
(ii) (-3, 4)
(iii) (-3, -4)
हलः

प्रश्न 2.
बिन्दु A(2, 0), B(5, 0) तथा C(5, 3) को ग्राफ पर अंकित करें तथा एक बिन्द D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसके लिए ABCD एक वर्ग है।
हल:
ABCD एक वर्ग होगा यदि AB = BC = CD = DA
ग्राफ से स्पष्ट है कि AB = BC = CD = DA = 3 इकाई
∴ बिन्दु D के निर्देशांक = (2, 3)

प्रश्न 3.
x-अक्ष पर मूल बिन्दु के दायीं ओर, y-अक्ष से 5 इकाई दूरी पर एक बिन्दु है। यदि यह y-अक्ष पर मूल बिन्दु से नीचे x-अक्ष से 5 इकाई दूरी पर है तो उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करो।
हलः
बिन्दु M के निर्देशांक = (5, 0)
बिन्दु N के निर्देशांक = (0, -5)

प्रश्न 4.
वे क्रमित युग्म ज्ञात कीजिए जिसके लिए x + 3y = 6 तथा उनका अभिलम्ब ज्ञात कीजिए। इस तरह के कितने क्रमित युग्म प्राप्त किये जा सकते हैं तथा कितनों का आलेखन किया जा सकता है?
हलः
x + 3y = 6
x = 6 – 3y …………..(1)

x	6	3	0
y	0	1	2

इस प्रकार (6, 0) (3, 1) तथा (0, 2) क्रमित युग्म प्राप्त हो सकते हैं।
इस प्रकार अनन्त क्रमित युग्मों का आलेखन किया जा सकता है।

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में, ABCD एक आयत है जिसकी लम्बाई 6 सेमी तथा चौड़ाई 3 सेमी है। 0, रेखा AB का मध्य बिन्दु है। A, B, C व D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु A = (-3, 0)
बिन्दु B = (3, 0)
बिन्दु C = (3, 3)
बिन्दु D = (-3, 3)

प्रश्न 6.
बिन्दु P = (2, -6) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए तथा x व y-अक्ष पर इस बिन्दु से लम्ब क्रमशः PM व PN डालें तो M तथा N के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हलः
बिन्दु P = (2, -6) से x-अक्ष पर PM तथा y-अक्ष पर PN लम्ब
डालें। बिन्दु M के निर्देशांक = (2, 0)
M बिन्दु N के निर्देशांक = (0, -6)

प्रश्न 7.
तृतीय चतुर्थांश में स्थित उस आयत के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। जिसकी लम्बाई x-अक्ष पर p इकाई तथा y-अक्ष पर चौड़ाई q इकाई है।
हलः
II चतुर्थांश में आयत OPQR स्थित है।
बिन्दु O के निर्देशांक = (0, 0)
बिन्दु P के निर्देशांक = (0, -q)
बिन्दु Q के निर्देशांक = (-p, -4)
बिन्दु R के निर्देशांक = (-p, 0)

प्रश्न 8.
बिन्दुओं B(-5, 3), E(-3, -2), S(4, -2) तथा T(1, 3) को ग्राफ पेपर पर आलेखन करें तथा इनको क्रम से मिलायें, यह भी बताइये कि ये बिन्दु किस चतुर्थांश में स्थित हैं?
हलः
बिन्दु B, II चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु E, III चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु S, IV चतुर्थांश में स्थित है।’
बिन्दु T, I चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 9.
बिन्दु M के निर्देशांक (-2, 9) है इसको (1 + x, y²) तथा y > 0 से भी निरूपित करते हैं। निम्न बिन्दु किस चतुर्थांश में स्थित है, यह ज्ञात कीजिए। P(y, x), Q(s, x), R(x², y – 1), S(2x, -3y)
हलः
∵ बिन्दु M के निर्देशांक = (-2, 9)
बिन्दु M के निर्देशांक = (1 + x, y²)
x निर्देशांक की तुलना से, 1 + x = -2
x = -2 – 1 = -3
Y निर्देशांक की तुलना से, y² = 9
y = [latex]\sqrt{9}=[/latex] = +3 [∵ y > 0]
∴ बिन्दु P के निर्देशांक = (y, x) = (3, – 3) जो IV चतुर्थांश में है।
बिन्दु Q के निर्देशांक = (z, x) = (2, – 3) जो IV चतुर्थांश में है।
बिन्दु R के निर्देशांक = (x², y – 1) = (9, 2) जो I चतुर्थांश में है।
बिन्दु S के निर्देशांक = (2x, -3y) = (-6, -9) जो III चतुर्थांश में है।

प्रश्न 10.
संलग्न चित्र में, PQR एक समबाहु त्रिभुज है जिसके बिन्दु व R के निर्देशांक क्रमशः (0, 6) व (0, -6) हैं। शीर्ष P के निर्देशांक ज्ञात करो।
हलः
बिन्दु Q = (0, 6), बिन्दु R = (0, -6)
∴ OQ = 6 मात्रक, OR = 6 मात्रक
∴ QR = 6 + 6 = 12 मात्रक
∴ PR = PQ = 12 मात्रक
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई OP = QR × [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] = 12 × [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] = [latex]6 \sqrt{3}[/latex]
∴ बिन्दु P = ([latex]6 \sqrt{3}[/latex], 0)

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 12 Area Related to Circles Ex 12.4 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल

प्रश्न 1.
वर्गाकार टैंक की भुजा 40 मीटर है। उसके चारों ओर अर्द्धवृत्ताकार चार प्लॉट हैं। ₹ 1.25 प्रति वर्ग मीटर की दर से उन्हें सींचने का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
हलः
वर्गाकार टैंक की भुजा = 40 मीटर।

₹ 1.25 प्रति वर्ग मीटर की दर (UPBoardSolutions.com) से प्लॉटो को सींचने का कुल मूल्य
= 2512 × 1.25 = ₹3140

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि r त्रिज्या के वृत्ताकार क्षेत्र के चारों ओर h मीटर चौड़ाई के एक वृत्ताकार रास्ते का क्षेत्रफल πh(2r + h) वर्ग मीटर है।
हलः
वृत्ताकार क्षेत्र की आन्तरिक त्रिज्या = r मीटर तथा वृत्ताकार रास्ते की चौड़ाई = h मीटर
तब, वृत्ताकार क्षेत्र की बाा त्रिज्या R = (r + h) मीटर

वृत्ताकार रास्ते का क्षेत्रफल = π(R² – r²)
= π[(r + h)² – r²]
= π[r² + h² +2rh – r²]
= π[h² +2rh]
= πh(h + 2r) वर्ग मीटर

प्रश्न 3.
एक 40 सेमी भुजा के वर्ग के रूप में डेन कवर है जिसके अन्दर 441 छेद हैं। जिनमें प्रत्येक का व्यास 1 सेमी है। छेद से अलग वर्गाकार प्लेट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
वर्ग की भुजा a = 40 सेमी तब
वर्ग का क्षेत्रफल = a² = (40)² = 1600 सेमी²
छेद का व्यास (UPBoardSolutions.com) r = [latex]\frac{1}{2}[/latex] सेमी


अतः छेद से अलग वर्गाकार प्लेट का क्षेत्रफल
= 1600 – 346.5 = 1253.5 सेमी²

प्रश्न 4.
O केन्द्र तथा 21 सेमी व 7 सेमी त्रिज्या के दो संकेन्द्रीय वृत्तों की चाप क्रमशः AB व CD हैं। यदि ∠AOB = 30° तब छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (NCERT)

हलः
केन्द्र O वाले संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्यायें क्रमशः 21 सेमी व 7 सेमी हैं।
तथा ∠AOB = 30°
तब छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल (UPBoardSolutions.com) = त्रिज्यखण्ड AOB का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्ड COD का क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
40 मीटर व्यास का एक वृत्ताकार प्लॉट है। जिसके चारों ओर 3.5 मीटर चौड़ा एक रास्ता है। उस रास्ते पर ₹ 4 प्रति वर्ग मीटर के हिसाब से घास लगाने में कितना खर्च आयेगा?
हलः
वृत्ताकार प्लॉट का व्यास = 40 मीटर
वृत्ताकार प्लॉट की त्रिज्या r = [latex]\frac{40}{2}[/latex] = 20 मीटर
रास्ते की चौड़ाई = 3.5 मीटर
रास्ते सहित वृत्ताकार प्लॉट की त्रिज्या R = 20 + 3.5 = 23.5 मीटर
तब रास्ते का क्षेत्रफल = π [R² – r²]
= [latex]\frac{22}{7}[/latex](23.5)² – (20)²]
= [latex]\frac{22}{7}[/latex][552.25 – 400]
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 152.25 = 22 × 21.75
= 478.5 सेमी²
रास्ते पर ₹ 4 प्रति वर्ग मीटर की दर से घास लगाने का खर्च = 478.5 × 4 = ₹1914

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार तालाब जिसका व्यास 17.5 मीटर है, के चारों ओर 2 मीटर चौड़ा एक रास्ता है। ₹ 25 प्रति वर्ग मीटर की दर से रास्ते बनाने में कुल लागत ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
हलः
वृत्ताकार तालाब का व्यास = 17.5 मीटर
वृत्ताकार तालाब की त्रिज्या r = [latex]\frac{17.5}{2}[/latex] = 8.75 मीटर
रास्ते की चौड़ाई = 2 मीटर
तब, रास्ते सहित वृत्ताकार तालाब की त्रिज्या R = 8.75 + 2
R = 10.75 मीटर
वृत्ताकार रास्ते का क्षेत्रफल = π(R² – r²)
= 3.14[(10.75)² – (8.75)²]
= 3.14[115.5625 – 76.5625]
= 3.14 × 39 = 122.46 मीटर²
₹ 25 प्रति वर्ग मीटर की दर से (UPBoardSolutions.com) रास्ता बनाने में कुल लागत = 122.46 × 25 = ₹ 3061.50

प्रश्न 7.
72 मीटर परिमाप वाले अर्द्धवृत्ताकार क्षेत्र के चारों ओर 3.5 मीटर चौड़ा एक रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, अर्द्धवृत्ताकार क्षेत्र की त्रिज्या r मीटर है।
तब प्रश्नानुसार, अर्द्धवृत्ताकार क्षेत्र का परिमाप = 72 मीटर
2r + πr = 72 या r(2 + π) = 72

अर्द्धवृत्ताकार क्षेत्र के चारों ओर रास्ते की चौड़ाई = 3.5 मीटर
तब, रास्ते सहित अर्द्धवृत्ताकार क्षेत्र की (UPBoardSolutions.com) त्रिज्या R = 14 + 3.5 = 17.5 मीटर

प्रश्न 8.
24 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज में उसकी भुजाओं को स्पर्श करते हुए एक वृत्त खींचा गया है। त्रिभुज के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.732)
हलः
माना, वृत्त की त्रिज्या ON = r सेमी
तथा समबाहु ∆ ABC की प्रत्येक भुजा a = 24 सेमी
∵ समबाहु A का प्रत्येक कोण 60° का होता है।
∴ ∠OBN = 30°

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, AB व CD, O केन्द्र वाले एक वृत्त के व्यास हैं जो परस्पर लम्बवत् हैं। OD उसके समरूप वृत्त का व्यास है। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (NCERT)

हलः
O केन्द्र वाले वृत्त के व्यास AB = CD = 14 सेमी
तथा समरूप वृत्त का व्यास OD = 7
सेमी माना, O केन्द्र वाले (UPBoardSolutions.com) वृत्त की त्रिज्य R = [latex]\frac{14}{2}[/latex] = 7 सेमी
तथा समरूप वृत्त की त्रिज्या r = [latex]\frac{7}{2}[/latex] सेमी
तब, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = OD व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल + अर्द्धवृत्त OACB का क्षेत्रफल – ∆ ABC का क्षेत्रफल

प्रश्न 10.
संलग्न चित्र में एक समबाहु त्रिभुज ABC जोकि O केन्द्र तथा 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अन्दर स्थित है। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त की त्रिज्या r = 4 सेमी

∵ समबाहु A ABC का प्रत्येक कोण 60° है। अर्थात् ∠ABC = 60°
∴ केन्द्र O पर बना कोण (UPBoardSolutions.com) AOC = 120°

प्रश्न 11.
50 मीटर भुजा वाले वर्गाकार क्षेत्र के चारों कोनों पर चार गाय इस प्रकार बांधी गयी हैं कि वे कभी भी एक-दूसरे से नहीं मिल सकती। कितना क्षेत्र बिना चरे रह जायेगा?

हलः
वर्गाकार क्षेत्र की भुजा a = 50 मीटर
∵ वर्गाकार क्षेत्र के चारों कोनों पर चार गाय बाँधी गयी हैं।
∴ गाय की रस्सी की लम्बाई (UPBoardSolutions.com) r = [latex]\frac{50}{2}[/latex] = 25 मीटर
तब बिना चरे क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्गाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल – गाय द्वारा चरे भाग का क्षेत्रफल
= a² – 4 × त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

प्रश्न 12.
आयताकार मैदान की छोटी भुजाओं को व्यास मानकर दो अर्द्धवृत्त उसकी छोटी भुजाओं में जोड़े गये हैं। यदि आयत की भुजाएँ 36 मीटर व 24.5 मीटर हों तो मैदान का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex])
हलः
आयताकार मैदान की लम्बाई = 36 मीटर
तथा आयताकार मैदान की चौड़ाई = 24.5 मीटर
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 36 × 24.5 = 882 मीटर² 
∵ दो अर्द्धवृत्त आयत की छोटी भुजाओं (UPBoardSolutions.com) में जोड़े गये हैं।

अतः पूरे मैदान का क्षेत्रफल = 882 + 471.625
= 1353.625 मीटर²

प्रश्न 13.
एक आयताकार टुकडे की लम्बाई 20 मीटर व चौडाई 15 मीटर है। इसके चारों कोनों से 3.5 मीटर त्रिज्या के चार चतुर्थांश काटे गये हैं। शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
आयताकार टुकडे की लम्बाई l = 20 मीटर
आयताकार टुकडे की चौड़ाई b = 15 मीटर
चतुर्थांश की त्रिज्या r = 3.5 मीटर
तब शेष भाग का क्षेत्रफल = आयताकार (UPBoardSolutions.com) टुकडे का क्षेत्रफल – चारों चतुर्थांशों का क्षेत्रफल

प्रश्न 14.
एक समषटभुज, एक वृत्त के अन्दर स्थित है। यदि समषटभुज का क्षेत्रफल 24[latex] \sqrt{{3}} [/latex] वर्ग सेमी है तो वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
हलः
समषटभुज ABCDEF का क्षेत्रफल = (UPBoardSolutions.com) 24[latex] \sqrt{{3}} [/latex] सेमी²

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 7 Linear Equation in Two Variables Ex 7.1 दो चरों के रैखिक समीकरण

प्रश्न 1.
एक समीकरण का ग्राफ खींचिए, यदि
(i) x = 0, y = 4 समीकरण का एक हल है।
(ii) x = 1, y = 5 समीकरण का एक हल है।
(iii) (-4, -4) समीकरण के ग्राफ पर स्थित है।
(iv) रेखा (y – 2x = 4) और अक्षों के निर्देशांक के द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल
हलः

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रत्येक का ग्राफ खींचिए।
(i) x = 2
(ii) x = -4
(iii) x = -4
हलः

प्रश्न 3.
नीचे दिये गये समीकरणों के ग्राफ खींचिए।
(i) y = 2x (NCERT)
(ii) y = -3x
(iii) 3x + 4y =0
हलः

प्रश्न 4.
निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण के लिए चार हल ज्ञात कीजिए।
(i) 12x + 5y = 0
(ii) 5x – 3y = 0
(iii) 2(x – 1) + 3y = 4
(iv) 2x – 3(y – 2) = 1
हलः
(i) 12x + 5y = 0

प्रश्न 5.
समीकरण x + 2y – 4 = 0 का ग्राफ खींचिए तथा उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। जहाँ ग्राफ y-अक्ष को काटता है।
हलः

प्रश्न 6.
समीकरण y = 3x का ग्राफ खींचिए। ग्राफ से x का मान ज्ञात कीजिए। जब y = -3
हलः

प्रश्न 7.
समीकरण 2x + 3y = 11 का ग्राफ खींचिए। ग्राफ से y का मान ज्ञात कीजिए। जब x = 1
हलः

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज खींचिए जिसकी भुजाएं x = 0, y = 0 और x + y = 3.द्वारा निरूपित है।
हल:

Ex 7.1 Linear Equation in Two Variables बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
समीकरण 2x – y = 4 का आलेख x – अक्ष को किस बिन्दु पर काटेगा?
(a) (0, 2)
(b) (2, 0)
(c) (-2, 0)
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
x-अक्ष पर बिन्दु के लिए y = 0 रखने पर,
2x – 0 = 4 ⇒ x = 2
अतः बिन्दु (2, 0) है।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 2.
यदि (2a – 1, a) समीकरण 10x – 9y = 12 का हल है तो a =
(a) 2
(b) 1
(c) 1/2
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
यदि (2a – 1, a) दी गई समीकरण का हल है, तो यह समीकरण को सन्तुष्ट करेगा।
10(2a – 1) – 9a = 12
20a – 10 – 9a = 12
11a = 22 ⇒ a = 2
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.
x = 2 तथा y = -4 से सन्तुष्ट होने वाली समीकरणों की संख्या
(a) केवल एक
(b) केवल दो
(c) अनन्त
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
अनन्त
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.
y = -1 तथा y = 3 के ग्राफों के बीच की दूरी =
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
y = -1 तथा y = 3 के ग्राफों के बीच की दूरी = 3 + 1 = 4

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 5.
बिन्दु (a, a), a ≠ 0 स्थित है (NCERT Exemplar)
(a) x-अक्ष पर
(b) y-अक्ष पर
(c) रेखा y = x पर
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए बिन्दु का भुज तथा कोटि समान है, अतः यह बिन्दु y = x रेखा पर स्थित है।
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 6.
रैखिक समीकरण 3x + 2y = 6 का ग्राफ y-अक्ष को किस बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा?
(a) (3, 0)
(b) (0, 3)
(c) (2, 0)
(d) (0, 2)
हल:
y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु के लिए x = 0 रखने पर,
3 × 0 + 2y = 6
⇒ y = 3
अतः y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 3) होगा।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 7.
रेखा x = 3 निम्न में से किस बिन्दु से गुजरेगा?
(a) (3, 2)
(b) (2, 3)
(c) (0, 3)
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(3, 0) से
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 8.
y-अक्ष पर स्थित बिन्दु का रूप है
(a) (0, y),(y ≠ 0)
(b) (y, 0)
(c) (-y, 0)
(d) (x, x)
हलः
y-अक्ष पर स्थित बिन्दु के लिए x = 0
अतः बिन्दु (0, y) है।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 9.
2x + 5y = 10 को निरूपित करने वाली रेखा y-अक्ष के किस बिन्दु से मिलेगी?
(a) (2, 0)
(b) (0, 2)
(c) (1/2, 2)
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
y-अक्ष के लिए x = 0 रखने पर,
2 × 0 + 5y = 10 ⇒ y = [latex]\frac{10}{5}[/latex] = 2
रेखा बिन्दु (0, 2) पर मिलेगी।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 10.
बिन्दुओं (-1,1),(0, 0) तथा (1, -1) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण
(a) y = x
(b) x – y = 0
(c) x + y = 0
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में से x + y = 0, को प्रत्येक बिन्दु सन्तुष्ट करता है। अतः इन बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का
समीकरण x + y = 0 है।
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 11.
यदि (3, 2) समीकरण 3x – ky = 5 का हल है तब k =
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
हलः
∵ (3, 2) समीकरण 3x – ky = 5 का हल है, तो यह बिन्दु (3, 2), दी गयी समीकरण को सन्तुष्ट करेगा।
– 3 × 3 – k × 2 = 5 ⇒ -2k = -4 ⇒ k = 2
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 12.
x = 2 व y = -1 निम्न में से किसका हल होगा?
(a) x + y = 3
(b) x – y = 3
(c) x + y + 3 = 0
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में x – y = 3 समीकरण x = 2 व y = -1 से सन्तुष्ट हो जाता है।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 13.
ax + by + c = 0 का ज्यामितीय निरूपण
(a) सरल रेखा
(b) वृत्त
(c) बिन्दु .
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
सरल रेखा।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 14.
x = 5, y = 2 निम्न में से किसका हल है? (NCERT Exemplar)
(a) x – y = 7
(b) x + y = 7
(c) x + 2y = 7
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दिए गए विकल्पों में x + y = 7 समीकरण x = 5, y = 2 से सन्तुष्ट हो जाती है।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 15.
y = 8 का आलेख एक रेखा है जो
(a) x-अक्ष के समान्तर तथा मूलबिन्दु से 8 इकाई दूरी पर
(b) y-अक्ष के समान्तर तथा मूलबिन्दु से 8 इकाई दूरी पर
(c) (a) व (b) दोनों सत्य हैं।
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
x-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से 8 इकाई दूरी पर।
अतः विकल्प (a) सही है।

Ex 7.1 Linear Equation in Two Variables स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
एक पुस्तक का मूल्य, एक पैन के मूल्य से दोगुना है। इसे व्यक्त करने के लिए दो चरों का रैखिक समीकरण लिखिये।
हलः
माना पुस्तक का मूल्य = ₹ x तथा पैन का मूल्य = ₹ y
प्रश्नानुसार, x = 2y
x – 2y =0

प्रश्न 2.
विवेचना कीजिए, दो चरों के रैखिक समीकरण का आलेख, एक रेखा नहीं होती।
हलः
दो चरों के रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सरल रेखा होगी जो उस पर स्थित प्रत्येक बिन्दु को संतुष्ट करेगी।

प्रश्न 3.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। जिसके निर्देशांकों का योग 10 इकाई है।
हलः
x+ y = 10

प्रश्न 4.
2x + 3y = 12 का आलेख बनाइये। किस बिन्दु पर यह x-अक्ष तथा y-अक्ष को काटती है?
हलः

प्रश्न 5.
3x + 4y = 6 का आलेख बनाइए। किस बिन्दु पर यह :-अक्ष तथा y-अक्ष को काटती है?
हलः

प्रश्न 6.
c के किस मान के लिए समीकरण 2x + cy = 8 में x व y के मान समान होंगे?
हलः
2x + cy = 8
cy = 8 – 2x ……………(1)
c = [latex]\frac{8-2 x}{y}[/latex]
SHERPREE
∵ x तथा y के मान समान है।
∴ c = [latex]\frac{8-2 x}{x}[/latex] जहाँ x ≠ 0

प्रश्न 7.
किस बिन्दु पर रेखा x + y = 5, y-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से धनात्मक दिशा में 2 इकाई दूरी पर स्थित रेखा से मिलता है?
हल:
y-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से +2 इकाई दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण x = 2 ………..(1)
तथा x + y = 5 ………………. (2) रेखा का समीकरण है।
समीकरण (1) से मान रखने पर 2 + y = 5
y = 5 – 2 = 3
∴ बिन्दु = (2, 3) पर रेखा मिलती है।

प्रश्न 8.
एक शहर में ऑटो रिक्शा पहले किमी के लिए ₹ 10 तथा आगे के अन्य दूरी के प्रति किमी ₹ 4 लेता है। इस तथ्य को रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त करके, उसके आलेख खींचें।
हलः

प्रश्न 9.
एक गाड़ी को खींचने के लिए, उसके द्वारा प्रदत्त बल, त्वरण के समानुपाती है। इस कथन को दो चरों के रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए तथा उसका ग्राफ खींचिए। स्थिर द्रव्यमान 6 किग्रा वह बल ज्ञात कीजिए जो निम्न त्वरण के द्वारा लगेगा। (NCERT Exemplar)
(i) 5 मी/से²
(ii) 6 मी/से²
हलः
y = mx जहाँ y = बल, x = चर तथा m अचर है।
(i) m = 6 किग्रा, त्वरण x = 5 मी/सेकण्ड²
बल y = mx = 5 × 6 = 30 न्यूटन
(ii) m = 6 किग्रा, त्वरण x = 6 मी/सेकण्ड²
बल y = mx = 6 × 6 = 36 न्यूटन

प्रश्न 10.
एक पिता एवं उसके पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः x तथा y है। 5 वर्ष पहले पिता की आयु, अपने पुत्र की आयु के 7 गुने से 2 अधिक है। इस कथन को रैखिक समीकरण द्वारा व्यक्त कीजिए।
हलः
x – 5 = 7(y – 5) + 2
x – 5 = 7y – 35 + 2
x – 7y – 5 + 33 = 0
x – 7y + 28 = 0

प्रश्न 11.
यदि x = 2, y =1 समीकरण 2x + 3y = m का हल है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
2x + 3y =m
2 × 2 + 3 × 1 = m
4 + 3 = m ⇒ m = 7

प्रश्न 12.
एक आयताकार बाग का परिमाप 80 मीटर है। यदि लम्बाई 5 मीटर कम कर दी जाए तथा चौड़ाई 5 मीटर बढ़ा दी जाए तब इसका क्षेत्रफल 55 वर्ग मीटर बढ़ जाता है, इस कथन को रैखिक समीकरण द्वारा व्यक्त कीजिए।
हलः
माना आयताकार बाग की लम्बाई = x मीटर
आयताकार बाग की चौड़ाई = y मीटर
आयताकार बाग का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई) = 2(x + y)
2(x + y) = 80 ………………(1)
आयताकार बाग का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = xy
तथा (x – 5)(y + 5) = xy + 55

प्रश्न 13.
एक नाव धारा के विपरीत 8 किमी तथा धारा की दिशा में 16 किमी की दूरी 6 घण्टे में पूरी करती है। इस कथन को रैखिक समीकरण में व्यक्त कीजिए।
हलः
माना नाव की चाल = x किमी/घण्टा
धारा की चाल = y किमी/घण्टा
धारा की दिशा में नाव की चाल = (x + y) किमी/घण्टा
धारा की विपरीत दिशा में नाव की चाल = (x – y) किमी/घण्टा

प्रश्न 14.
3x – 2y = 4 तथा x + y – 3 = 0 के आलेख एक ही पेपर पर खींचकर दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 15.
यदि बिन्दु A(3, 5) तथा B(1, 4) रेखा ax + by = 7 के आलेख पर स्थित हो तो a व b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि रेखा ax + by = 7, बिन्दु A व बिन्दु B से जाती है, तो दिए गए बिन्दु, रेखा को सन्तुष्ट करते हैं, अतः
x = 3, y = 5 रखने पर,
3a + 5b = 7 ……………….. (1)
x = 1, y = 4 रखने पर,
a + 4b = 7 ……………… (2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
a = -1, b = 2

प्रश्न 16.
रेखाओं 2x + y = 6 तथा 2x – y + 2 = 0 के आलेख खींचे तथा दोनों रेखाओं से घिरे क्षेत्र को छायांकित कर, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 17.
एक संख्या, उसके अंकों को पलटकर बनी संख्या से 27 अधिक है। यदि इकाई व दहाई के अंक क्रमशः x व y हैं तो उपरोक्त कथन को प्रदर्शित करने वाली रैखिक समीकरण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना इकाई का अंक = x तथा दहाई का अंक = y
अतः संख्या = 10y + x
तथा अंकों को पलटकर बनने वाली संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार, (10y + x) – (10x + y) = 27
-9x + 9y = 27
या x – y = -3
x – y + 3 = 0

प्रश्न 18.
रैखिक समीकरण 4x – 3y + 4 = 0 तथा 4x + 3y – 20 = 0 का आलेख बनाइये तथा इन रेखाओं व x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 19.
यदि बिन्दु (2, -2) रैखिक समीकरण 5x + ky = 4 पर स्थित है तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गई रैखिक समीकरण 5x + ky = 4
x = 2, y = -2 रखने पर,
5 × 2 + k(-2) = 4
10 – 2k = 4
-2k = -6 ⇒ k = 3

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