Class 10

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 15 Probability Ex 15.1 प्रायिकता

Ex 15.1 Probability अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं तो अधिक-से-अधिक एक चित् प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि दो सिक्के एक साथ उछालने पर, सभी सम्भव परिणाम हैं HH, HT, TH,TT
∴ कुल. संभव परिणामों की संख्या = 4
यदि अधिक से अधिक एक (UPBoardSolutions.com) चित् प्राप्त होने की घटना E है।
तब अनुकूल परिणाम है HT, TH, HH
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
अतः अधिक से अधिक एक चित् आने की प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{3}{4}[/latex]

प्रश्न 2.
एक बार एक पाँसा फेंका जाता है तो प्राप्त संख्या के 3 से छोटी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
एक पाँसा एक बार फेंकने पर कुल संभव परिणामों की संख्या = 6
यदि 3 से छोटी संख्या प्राप्त होने की घटना E है
तब, अनुकूल परिणाम = 1, 2
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2

प्रश्न 3.
एक थैले में 3 से 20 तक की संख्याओं के कार्ड हैं और इन्हें अच्छी तरह से फेंटा गया है। थैले से यादृच्छया एक कार्ड निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर एक सम संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
एक थैले में 3 से 20 तक संख्या के कार्डों से एक कार्ड निकालने की कुल संभव परिणाम = 18
यदि कार्ड पर एक सम संख्या होने की घटना E है।
तब, अनुकूल परिणाम = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ..
∴ अनुकूल परिणाम की (UPBoardSolutions.com) संख्या = 9
तब, P(E) = [latex]\frac{9}{18}=\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 4.
एक बक्से में, 6, 7, 8,…,15 तक की अंकित संख्याओं के कार्ड हैं तथा इन्हें अच्छी तरह से फेंट दिया गया है। बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर 10 से छोटी संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
एक बक्से में, 6, 7, 8,…,15 तक अंकिंत कार्डों में से एक कार्ड निकालने के कुल संभव परिणाम = 10
यदि कार्ड पर 10 से छोटी संख्या आने की घटना E है
तब, अनुकूल परिणाम = 6, 7, 8, 9
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
तब, प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{4}{10}=\frac{2}{5}[/latex]

प्रश्न 5.
एक बक्से में 3 नीले, 2 सफेद तथा 4 लाल कंचे हैं। यदि बक्से से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह कंचा सफेद नहीं होगा?
हलः
यहाँ, नीले कंचे की संख्या = 3
सफेद कंचे की संख्या = 2
लाल कंचे की संख्या = 4
कुल कंचों की संख्या = 3 + 2 + 4 = 9
माना एक सफेद कंचा आने की घटना E है।
माना एक सफेद कंचा आने के परिणामों की संख्या = 2
∴ एक सफेद कंचा आने की प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{2}{9}[/latex]
∴ एक सफेद कंचा नहीं आने की (UPBoardSolutions.com) प्रायिकता P([latex]\overline{E}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{2}{9}=\frac{9-2}{9}=\frac{7}{9}[/latex]

प्रश्न 6.
एक थैले में 4 लाल और 6 काली गेंदे हैं। थैले से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। तो गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ लाल गेंद की संख्या = 4
काली गेंद की संख्या = 6
कुल गेंदों की संख्या = 4 + 6 = 10
यदि एक काली गेंद आने की घटना E है।
तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
∴ P(E) = [latex]\frac{6}{10}=\frac{3}{5}[/latex]

प्रश्न 7.
52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी हुई गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये पत्ते के एक काला बादशाह होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
52 पत्तों से एक पत्ता निकालने के कुल संभव परिणाम = 52
माना, E = एक काला बादशाह होने की घटना
तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 52 पत्तों में से कुल काले बादशाहों की संख्या
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या (UPBoardSolutions.com) = 2
तब, प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{2}{52}=\frac{1}{26}[/latex]

प्रश्न 8.
दो मित्र, वर्ष 2000 में जन्में हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनका जन्मदिन समान है।
हलः
चूँकि वर्ष 2000 लीप वर्ष है।
इसलिए वर्ष 2000 में कुल दिनों की संख्या = 366
∴ दोनों मित्रों के जन्मदिनों के कुल प्रकार = 366 × 366
यदि दोनों मित्रों का जन्मदिन एक ही है
तब, अनुकूल स्थितियों की संख्या = 366
तब, अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{366}{366 \times 366}=\frac{1}{366}[/latex]

प्रश्न 9.
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दो मित्रों के जन्मदिन भिन्न-भिन्न हैं। (लीप वर्ष नहीं)। (NCERT)
हलः
चूँकि संबंधित वर्ष लीप वर्ष नहीं है।
इसलिए कुल दिनों की संख्या = 365
∴ दोनों मित्रों के जन्मदिनों के कुल प्रकार = 365 × 365
जब, दोनों मित्रों के जन्मदिन (UPBoardSolutions.com) समान होने पर कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 365

प्रश्न 10.
यदि एक घटना के होने की प्रायिकता p है तब इसके विपरीत घटना के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि एक घटना के घटित होने की प्रायिकता p है
तब घटना के नहीं होने की प्रायिकता 1 – p होगी।

Ex 15.1 Probability लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 11.
एक असंभव घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि किसी एक परीक्षण के n संभव परिणाम है।
यदि A एक असंभव घटना है तो n संभव परिणामों में से कोई भी इसका समर्थन नहीं करेगा।
अर्थात् कुल अनुकूल परिणाम m = 0
अतः P(A) = [latex]\frac{m}{n}=\frac{0}{n}[/latex]
P(A) = 0

प्रश्न 12.
एक निश्चित घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि किसी एक परीक्षण के n संभव परिणाम है।
यदि A एक निश्चित घटना है, तब (UPBoardSolutions.com) सभी n संभव परिणाम इसका समर्थन करेंगे।
अर्थात् कुल अनुकूल परिणाम m = n

प्रश्न 13.
दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं तो दो संख्याओं के प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिनका योग 10 है।
हलः
हम जानते हैं कि जब दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं तब,
कुल संभव परिणामों की संख्या = 6 × 6 = 36
माना कि, दोनों पाँसों पर प्राप्त संख्या का योगफल 10 होने की घटना E है।
तब कुल अनुकूल परिणाम = (4, 6),(6, 4), (5, 5)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
तब अभीष्ट प्रायिकता P(E) = [latex]\frac{3}{36}=\frac{1}{12}[/latex]

प्रश्न 14.
एक लॉटरी में, 8 उपहार तथा 16 खाली हैं। तब एक उपहार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ एक लॉटरी में, उपहार की संख्या = 8
खाली की संख्या (UPBoardSolutions.com) = 16
कुल संभव परिणाम = 8 + 16 = 24

प्रश्न 15.
यहाँ एक लॉटरी में, 10 उपहार तथा 25 खाली हैं। तो एक उपहार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ एक लाटॅरी में, उपहार की संख्या = 10
खाली की संख्या = 25
कुल संभव परिणाम = 10 + 25 = 35
माना एक उपहार प्राप्त होने की घटना A है।
तब, अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
तब, अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{10}{35}=\frac{2}{7}[/latex]

प्रश्न 16.
क्या प्रायिकता है कि एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार हैं?
हलः
एक सामान्य वर्ष में दिनों की संख्या = 365
= 52 हफ्ते और 1 दिन
स्पष्ट है सामान्य वर्ष (UPBoardSolutions.com) में 52 रविवार होते हैं।
तब, शेष 1 दिन होना चाहिए:

• रविवार
• सोमवार
• मंगलवार
• बुधवार
• बृहस्पतिवार
• शुक्रवार
• शनिवार

तब, कुल संभव परिणाम = 7
एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार होने के लिए 7 परिणामों में स्थिति (i) घटित होगी।
∴ कुल अनुकूल परिणाम = 1
तब, एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता = [latex]\frac{1}{7}[/latex]

प्रश्न 17.
एक सिक्का, एक बार उछाला जाता है तो एक चित् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?
हलः
एक सिक्का, एक बार उछालने में कुल संभव परिणाम = H, T
∴ कुल संभव परिणामों की संख्या = 2
एक चित् प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
तब अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 18.
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता न तो लाल और न ही एक बेगम है।
हलः
52 पत्तों में से एक पत्ता निकालने में,
कुल संभव परिणाम = 52
52 पत्तों में लाल पत्तों की संख्या = 26
काली बेगमों की (UPBoardSolutions.com) संख्या = 2
∴ कुल न आने वाले पत्तों की संख्या = 26 + 2 = 28
इसलिए एक पत्ता न आने वाले के अनुकूल परिणामों की संख्या = 28
तब अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{28}{52}=\frac{7}{13}[/latex]

प्रश्न 19.
52 पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी हुई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तो निकाले गये पत्ते के एक बादशाह होने की क्या प्रायिकता है?
हलः
52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकालने में कुल संभव परिणाम = 52
माना, निकाले गए एक पत्ते के बादशाह होने की घटना A है।
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
तब एक बादशाह आने की प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{4}{52}=\frac{1}{13}[/latex]

प्रश्न 20.
यदि एक खेल के जीतने की प्रायिकता 0.7 है तो इसे हारने की क्या प्रायिकता है?
हलः
माना एक खेल के जीतने की प्रायिकता P(A) है।
तब, दिया है P(A) = 0.7
∴ खेल हारने की प्रायिकता P([latex]\overline{A}[/latex]) = 1 – P(A)
P([latex]\overline{A}[/latex]) = 1 – 0.7
P([latex]\overline{A}[/latex]) = 0.3

Ex 15.1 Probability लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 21.
अंग्रेजी वर्णमाला से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर व्यंजन है।
हलः अ
ंग्रेजी वर्णमाला में कुल अक्षर = 26
26 अक्षरों में से एक अक्षर चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 26
अंग्रेजी वर्णमाला में कुल (UPBoardSolutions.com) व्यंजनों की संख्या = 21
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 21
तब, अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{21}{26}[/latex]

प्रश्न 22.
एक बक्से में, 1 से 20 तक की अंकित संख्याओं के 20 कार्ड हैं बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो निकाले गये पत्ते पर संख्या के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) 2 और 3 से विभाजित
(ii) एक अभाज्य संख्या
हल:
1 से 20 तक अंकित संख्या के कार्यों से 1 कार्ड निकालने में,
कुल संभव परिणाम = 20
(i) माना निकाले गये कार्ड की संख्या 2 और 3 से विभाजित होने की घटना A है।
तब, 2 से विभाजित होने वाली संख्या = 2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16, 18, 20
∴ 2 से विभाजित होने वाले कार्डों की कुल संख्या = 10
3 से विभाजित होने वाली संख्या = 3, 6, 9,12, 15, 18
∴ 3 से विभाजित होने वाले (UPBoardSolutions.com) कार्डों की कुल संख्या = 6
तब कुल अनुकूल स्थितियों की संख्या = 10 + 6 = 16
∴ अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{16}{20}=\frac{4}{5}[/latex]

(ii) माना निकाला गया पत्ता एक अभाज्य संख्या होने की घटना B है।
तब अनुकूल परिणाम = 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
तब अभीष्ट प्रायिकता P(B) = [latex]\frac{8}{20}=\frac{2}{5}[/latex]

प्रश्न 23.
एक थैले में समान आकार के 30 कार्ड हैं जिन पर 1 से 30 तक की संख्याएँ लिखी हुई हैं। थैले से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये कार्ड पर, 3 से विभाजित संख्या नहीं है।
हल:
1 से 30 तक अंकित संख्या वाले कार्यों से एक कार्ड निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 30
1 से 30 तक 3 से विभाजित होने वाली संख्याएँ = 3, 6, 9, 12,15,18, 21, 24, 27, 30
कुल संख्याएँ = 10
∴ 3 से विभाजित नहीं होने वाली संख्याओं की संख्या = 30 – 10 = 20
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
तब अभीष्ट प्रायिकता P(B) = [latex]\frac{20}{30}=\frac{2}{3}[/latex]

प्रश्न 24.
एक बक्से में, 11 से 60 तक की संख्याओं के कार्ड रखे गये हैं। यदि बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये पत्ते पर संख्या है-
(i) एक विषम संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाजित
(iv) 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या
हल:
11 से 60 तक की संख्याओं के कार्डों से एक कार्ड निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 50
(i) निकाले गये कार्ड पर एक विषम संख्या है—
कुल अनुकूल परिणाम = 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59
कुल परिणामों की संख्या = 25
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{25}{50}=\frac{1}{2}[/latex]

(ii) निकाले गये कार्ड पर एक पूर्ण वर्ग संख्या है—
तब अनुकूल परिणाम = 16, 25,3 6, 49
कुल अनुकूल परिणामों की (UPBoardSolutions.com) संख्या = 4
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{4}{50}=\frac{2}{25}[/latex]

(iii) निकाले गये कार्ड की संख्या 5 से विभाजित है-
तब अनुकूल परिणाम = 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60
अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{10}{50}=\frac{1}{5}[/latex]

(iv) निकाले गये कार्ड की संख्या, 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या है-
तब अनुकूल परिणाम = 11, 13, 17, 19
अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
∴ प्रायिकता P = [latex]\frac{4}{50}=\frac{2}{25}[/latex]

प्रश्न 25.
संख्याओं 1, 2, 3,…, 25 में से एक अभाज्य संख्या चुनने की क्या प्रायिकता है जब प्रत्येक संख्या का चुना जाना समप्रायिक है?
हल:
संख्या 1 से 25 तक में से एक संख्या चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 25
माना चुनी गयी संख्या एक अभाज्य होने की घटना A है।
तब अनुकूल परिणाम = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
∴ कुल अनुकूल स्थितियाँ = 9
तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{9}{25}[/latex]

प्रश्न 26.
1000 टिकटों की एक लॉटरी में, 5 उपहार हैं। यदि किसी एक द्वारा लॉटरी का एक टिकट खरीदा जाता है तो, उसके एक उपहार जीतने की क्या प्रायिकता है?
हलः
1000 टिकटों की एक लॉटरी में (UPBoardSolutions.com) से एक लॉटरी आने में कुल संभव परिणाम = 1000
यहाँ उपहारों की संख्या = 5
तब एक उपहार जीतने की प्रायिकता = [latex]\frac{5}{1000}=\frac{1}{200}[/latex] = 0.005

प्रश्न 27.
यदि संख्याओं -2, -1, 0, 1, 2 में से एक संख्या x यादृच्छया चुनी जाती है तो क्या प्रायिकता है कि x² < 2?
हलः
संख्या –2, -1, 0, 1, 2 में से एक संख्या x चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 5
माना एक संख्या x² < 2 आने की घटना A है।
तब अनुकूल (UPBoardSolutions.com) परिणाम = -1, 0, 1
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{3}{5}[/latex]

प्रश्न 28.
संख्याओं 1, 2, 3 में से एक संख्या x चुनी गई तथा संख्याओं 1, 4, 9 में से यादृच्छया एक संख्या y चुनी गई तो क्या प्रायिकता है कि दो संख्याओं की xy गुणा, 9 से छोटी होगी?
हलः
संख्या 1, 2, 3 में से एक संख्या x चुनने में कुल परिणाम = 3
संख्या 1, 4, 9 में से एक संख्या y चुनने में कुल परिणाम = 3
इसलिए एक संख्या xy चुनने के कुल संभव परिणाम = 3 × 3 = 9
माना दो संख्याओं की xy गुणा, 9 से छोटी होने की घटना A है।
तब, अनुकूल परिणाम = (1, 4), (1, 1), (2, 1), (2, 4), (3, 1)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
∴ अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{5}{9}[/latex]

प्रश्न 29.
एक थैले में 6 लाल, 8 काली तथा 4 सफेद गेंदे हैं। इनमें से, एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है तो क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद काली नहीं है?
हलः
दिया है, लाल गेंद = 6, काली गेंद = 8, सफेद गेंद = 4
एक गेंद थैले में से निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 6 + 8 + 4 = 18
अब गेंदे जो काली (UPBoardSolutions.com) नहीं हैं = 6 + 4 = 10
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
इसलिए, प्रायिकता P(काली गेंद नहीं है) = [latex]\frac{10}{18}=\frac{5}{9}[/latex]

प्रश्न 30.
एक थैले में 2 से 90 तक की लिखी संख्याओं के कार्ड हैं थैले से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) एक दो अंकों की संख्या
(ii) एक संख्या जो एक पूर्ण वर्ग है।
हल:
2 से 90 तक की संख्याओं के कार्डों में से एक कार्ड निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 89
(i) माना निकाले गये कार्ड पर एक दो अंकों की संख्या होने की घटना A है।
तब अनुकूल परिणाम = 89 – 8 = 81

(ii) माना निकाले गये कार्ड पर पूर्ण वर्ग संख्या होने की घटना B है।
तब कुल अनुकूल परिणाम = 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
तब, प्रायिकता P(B) = [latex]\frac{8}{89}[/latex]

Ex 15.1 Probability दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 31.
52 पत्तों की एक गड्डी में से सभी गुलाम, बेगम और बादशाह निकाल दिये जाते हैं। शेष बचे पत्तों को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है तब इनमें से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, निकाला गया पत्ता है-
(i) एक काली तस्वीर वाला पत्ता
(ii) एक लाल पत्ता
हलः
हम जानते हैं कि 52 पत्तों की गड्डी में चार गुलाम, चार बेगम और चार बादशाह होते हैं।
अत: गुलाम, बेगम और (UPBoardSolutions.com) बादशाह निकालने के बाद, शेष बचे पत्तों की संख्या = 52 – 12 = 40
40 पत्तों में से एक पत्ता निकालने पर,
कुल संभव परिणाम = 40
(i) माना एक काली तस्वीर वाला पत्ता आने की घटना A है।
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 0
तब अभीष्ट प्रायिकता P(A) = [latex]\frac{0}{40}[/latex] = 0
(ii) 40 पत्तों की गड्डी में कुल लाल पत्ते =
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
∴ प्रायिकता P (एक लाल पत्ता) = [latex]\frac{20}{40}=\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 32.
ताश के पत्तों की एक गड्डी में से सभी लाल तस्वीर वाले पत्ते निकाल दिये जाते हैं। शेष बचे पत्तों को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है तथा तब इनमें से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता है-
(i) एक लाल पत्ता
(ii) एक तस्वीर वाला पत्ता
(iii) एक चिड़ी का पत्ता
हलः
लाल तस्वीर वाले पत्ते = 6
52 पत्तों में से लाल तस्वीर वाले पत्ते निकालने पर शेष बचे पत्ते = 52 – 6 = 46
46 पत्तों में से एक पत्ता निकालने परे,
कुल संभव परिणाम = 46
(i) 46 पत्तों में कुल लाल पत्तों की संख्या = 26 – 6 = 20
तब कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
∴ प्रायिकता P (एक लाल पत्ता) = [latex]\frac{20}{46}=\frac{10}{23}[/latex]

(ii) 46 पत्तों में तस्वीर वाले पत्ते = 6
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
तब अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{6}{46}=\frac{3}{23}[/latex]

(iii) 46 पत्तों में चिड़ी के पत्तों की कुल संख्या = 13
तब कुल अनुकूल परिणामों (UPBoardSolutions.com) की संख्या = 13
∴ अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{13}{46}[/latex]

प्रश्न 33.
12 व्यक्तियों के एक समूह में, 3 बहुत अधिक बीमार हैं, 6 बहुत अधिक ईमानदार व शेष बहुत अधिक दयालु हैं। समूह से एक व्यक्ति चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया व्यक्ति-
(i) बहुत अधिक बीमार
(ii) बहुत अधिक दयालु या ईमानदार हो।
हलः
दिया है, अधिक बीमार = 3
अधिक ईमानदार = 6
बहुत अधिक दयालु = 3
कुल व्यक्ति = 12
12 व्यक्तियों में से एक व्यक्ति चुनने में,
कुल संभव परिणाम = 12
(i) बहुत अधिक बीमार व्यक्तियों की संख्या = 3
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
∴ अभीष्ट प्रायिकता P = [latex]\frac{3}{12}=\frac{1}{4}[/latex]

(ii) बहुत अधिक दयालु या ईमानदार व्यक्तियों की संख्या = 3 + 6 = 9
तब कुल अनुकूल स्थितियों (UPBoardSolutions.com) की संख्या = 9

प्रश्न 34.
एक पाँसे को दो बार उछाला गया है। तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (NCERT)
(i) किसी भी बार 5 ऊपर नहीं आयेगा।
(ii) ठीक एक बार ही 5 ऊपर आयेगा।
हलः
हम जानते हैं कि एक पाँसे को दो बार उछालने पर कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36
5 अंक आने की संभावना = (1, 5), (2, 5 ), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
(i) किसी भी बार 5 ऊपर नहीं आयेगा –
5 आने की प्रायिकता = [latex]\frac{11}{36}[/latex]
हम जानते हैं कि
5 आने की प्रायिकता +5 नहीं आने की प्रायिकता = 1
⇒ 5 नहीं आने की प्रायिकता = 1 – [latex]\frac{11}{36}[/latex]
⇒ = [latex]\frac{36-11}{36}=\frac{25}{36}[/latex]

(ii) ठीक एक बार ही 5 ऊपर आयेगा-
कम से कम एक बार 5 आने की प्रायिकता = [latex]\frac{11}{36}[/latex]

प्रश्न 35.
दो पाँसे एक साथ उछाले जाते हैं तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) दोनों पर कभी भी 5 ऊपर नहीं आये।
(ii) कम-से-कम एक पर 5 आये।
(iii) दोनों पाँसों के ऊपर 5 आये।
हलः
हम जानते हैं कि दो पाँसे उछालते पर,
कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36
(i) दोनों पाँसों पर कभी भी 5 ऊपर न आने पर,
कुल अनुकूल परिणाम = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 6)
कुल अनुकूल परिणामों (UPBoardSolutions.com) की संख्या = 25
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{25}{36}[/latex]

(ii) कम से कम एक पर 5 आने पर, कुल अनुकूल परिणाम,
= (1, 5), (2, 5), (3, 5),(4, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),(5, 5), (5, 6)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{11}{36}[/latex]

(iii) दोनों पाँसों के ऊपर 5 आने पर,
कुल अनुकूल परिणाम = (5, 5)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{1}{36}[/latex]

प्रश्न 36.
एक बक्से में 90 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 90 संख्याएँ अंकित हैं यदि इस बक्से से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी-
(i) एक दो अंकों की संख्या
(ii) एक पूर्ण-वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या (NCERT)
हलः
कुल अंकित संख्याएँ = 90
अतः कुल संभव परिणाम = 90
(i) दो अंकों की एक संख्या-
दो अंकों की संख्याओं की संख्या = 90 – 9 = 81
अतः कुल अनुकूल परिणाम = 81
∴ दो अंकों की एक संख्या आने की प्रायिकता = [latex]\frac{81}{90}=\frac{9}{10}[/latex]

(ii) 1 से 90 के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ = 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81
पूर्ण वर्ग संख्याओं की संख्या = 9
प्रायिकता (एक पूर्ण वर्ग संख्या) = [latex]\frac{9}{90}=\frac{1}{10}[/latex]

(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या-
1 से 90 के बीच 5 से विभाज्य संख्या = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90
कुल 5 से विभाज्य (UPBoardSolutions.com) संख्या = 18
∴ कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 18
अतः अभीष्ट प्रायिकता = [latex]\frac{18}{90}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}[/latex]

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 12 Area Related to Circles Ex 12.1 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या 8.4 सेमी है। वृत्त की परिधि तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त की त्रिज्या r = 8.4 सेमी
तब, वृत्त की परिधि = 2πr
2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 8.4 = 44 × 1.2
= 52.8 सेमी
तथा वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 8.4 × 8.4
= 22 × 1.2 × 8.4
= 221.76 सेमी²
अतः वृत्त की (UPBoardSolutions.com) परिधि = 52.8 सेमी, क्षेत्रफल = 221.76 सेमी²

प्रश्न 2.
एक अर्द्धवृत्त आकार के प्रोटैक्टर का परिमाप 108 सेमी है। प्रोटैक्टर का व्यास ज्ञात कीजिए। [π = [latex]\frac{22}{7}[/latex]]
हलः
माना, अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = r सेमी
तब, अर्द्धवृत्त की (UPBoardSolutions.com) परिमाप = 108 सेमी
2r + πr = 108

अतः प्रोटैक्टर का व्यास = 2r = 2 × 21 = 42 सेमी

प्रश्न 3.
दो वृत्तों की परिधि 2:3 के अनुपात में है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ दो वृत्तों की परिधि 2:3 के अनुपात में है।
∴ माना, पहले वृत्त की त्रिज्या r₁ व दूसरे वृत्त की त्रिज्या r₂ है तथा दोनों वृत्तों की परिधि क्रमश: 2x व 3x है।
तब पहले वृत्त की (UPBoardSolutions.com) परिधि = 2x इकाई

प्रश्न 4.
एक समबाहु त्रिभुज के अन्तर्गत वृत्त का क्षेत्रफल 154 सेमी है। त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए। (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex], [latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.73)
हलः
माना, समबाहु ! ABC की प्रत्येक भुजा = a सेमी तथा उसके अन्तर्गत वृत्त की त्रिज्या = r सेमी तब, प्रश्नानुसार,

a = 14[latex] \sqrt{{3}} [/latex] सेमी
अतः समबाहु ! ABC की परिमाप = 3a = 3 × 14[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
= 42 × 1.73 = 72.66 = 72.7 सेमी

प्रश्न 5.
एक वृत्त के अन्दर एक वर्ग खींचा गया है। वृत्त व वर्ग के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, O केन्द्र वाले वृत्त की त्रिज्या = r इकाई तथा वृत्त के अन्दर खींचे गये वर्ग ABCD की भुजा a इकाई है।
तब, वर्ग का विकर्ण = (UPBoardSolutions.com) वृत्त का व्यास
a[latex] \sqrt{{2}} [/latex] = 2r

अतः वृत्त व वर्ग के क्षेत्रफलों का अनुपात = π : 2

प्रश्न 6.
एक वलय के आकार का दौड़ने वाला पथ है। जिसकी आन्तरिक परिधि 352 मीटर तथा बाह्य परिधि 396 मीटर है। पथ की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, वलय की बाहय त्रिज्या R मीटर तथा आन्तरिक त्रिज्या r मीटर है।
तब, प्रश्नानुसार, वलय की बाह्य (UPBoardSolutions.com) परिधि = 396 मीटर
2πR = 396
2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] R = 396 या R = [latex]\frac{396 \times 7}{44}[/latex] = 63 मीटर
तथा वलय की आन्तरिक परिधि = 352 मीटर
2πr = 352
2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex]r = 352 या r = [latex]\frac{352 \times 7}{44}[/latex] = 56 मीटर
अतः पथ की चौड़ाई = R – r = 63 – 56 = 7 मीटर

प्रश्न 7.
एक तार को 28 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में मोड़ा गया है। दोबारा इससे एक वर्ग बनाया जाता है। वर्ग की भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
वृत्त की त्रिज्या r = 28 सेमी तथा माना, वर्ग की भुजा = a सेमी है।
तब, प्रश्नानुसार, वर्ग का परिमाप = वृत्त का परिमाप
4a = 2πr
4a = 2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 28
4a = 176
a = [latex]\frac{176}{4}[/latex] = 44 सेमी
अतः वर्ग की भुजा = 44 सेमी

प्रश्न 8.
एक बस के पहिए का व्यास 140 सेमी है। 66 किमी/घण्टा की चाल प्राप्त करने के लिए पहिये को एक मिनट में कितने चक्कर काटने पडेंगे?
हलः
दिया है, बस की चाल = 66 किमी/घण्टा
∵ 1 घण्टे में बस द्वारा चली गई दूरी = 66 किमी
∴ 1 मिनट में बस द्वारा चली गई दूरी (UPBoardSolutions.com) = [latex]\frac{66}{60}=\frac{11}{10}[/latex] किमी
[latex]\frac{11}{10}[/latex] × 1000 × 100 सेमी = 110000 सेमी
अब, ∵ बस के पहिए का व्यास = 140 सेमी
∴ बस के पहिए की त्रिज्या r = [latex]\frac{140}{2}[/latex] = 70 सेमी
बस के पहिए द्वारा 1 चक्कर में चली गई दूरी = पहिए की परिधि

प्रश्न 9.
एक कागज की शीट आयत ABCD के रूप की इस प्रकार है कि AB = 40 सेमी और AD = 28 सेमी। एक अर्द्ध वृत्ताकार भाग जिसका व्यास BC है, इसमें से काटा गया है। शेष बची शीट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
आयताकार शीट ABCD में, AB = 40 सेमी तथा AD = 28 सेमी
कागज की आयताकार शीट का क्षेत्रफल = 40 × 28 = 1120 सेमी²
तथा अर्द्धवृत्ताकार भाग का व्यास BC = 28 सेमी [∵ BC = AD]
अर्द्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या r = [latex]\frac{28}{2}[/latex] = 14 सेमी
अर्द्धवृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल (UPBoardSolutions.com) = [latex]\frac{\pi r^{2}}{2}=\frac{22 \times 14 \times 14}{7 \times 2}[/latex] = 308 सेमी²
शेष बची शीट का क्षेत्रफल = 1120 – 308 = 812 सेमी²

प्रश्न 10.
एक लड़का 140 प्रति मिनट चक्करों के हिसाब से साइकिल चलाता है। यदि पहिये का व्यास 60 सेमी है। तो लड़के द्वारा चलायी गयी साइकिल की चाल प्रति घण्टा ज्ञात कीजिए।
हलः
पहिये का व्यास = 60 सेमी
पहिये की त्रिज्या r = [latex]\frac{60}{2}[/latex] = 30 सेमी
साइकिल द्वारा 1 चक्कर में चली दूरी = पहिये की परिधि
= 2πr = 2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 30 = [latex]\frac{1320}{7}[/latex] सेमी
∵ लड़के द्वारा 1 मिनट में लगाये चक्करों की संख्या = 140
तब, 140 चक्करों में चली (UPBoardSolutions.com) दूरी = [latex]\frac{1320}{7}[/latex] × 140 = 26400 सेमी
= [latex]\frac{26400}{1000 \times 100}[/latex] किमी = 0.264 किमी
तथा समय = 1 घण्टा = 60 मिनट
∵ 1 मिनट में चली गई दूरी = 0.264 किमी
∴ 60 मिनट में चली गई दूरी = 0.264 × 60 = 15.84 किमी
अतः साइकिल की चाल = 15.84 किमी/घण्टा

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 11 Height and Distance Ex 11.3 ऊँचाई एवं दूरी

प्रश्न 1.
15 मीटर ऊँची एक इमारत के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। तथा इस इमारत के पाद से उस मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई तथा इमारत व मीनार के बीच की दूरी  ज्ञात कीजिए। [[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.732]
हलः
माना, मीनार की ऊँचाई BC = h मीटर
तथा इमारत व मीनार (UPBoardSolutions.com) के बीच की दूरी AB = x मीटर
तब, समकोण ∆ ABC में,



x का मान समी० (1) में रखने पर,
h = [latex] \sqrt{{3}} [/latex] × 12.99
= 1.732 × 12.99 = 22.5
अतः मीनार की ऊचाई = 22.5 मीटर तथा इमारत व मीनार के बीच की दूरी = 12.99 मीटर

प्रश्न 2.
पानी की सतह से 16 मीटर ऊपर एक जहाज की छत पर खड़े एक व्यक्ति का एक पहाड़ी के शीर्ष एवं पाद से उन्नयन कोण एवं अवनमन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। पहाड़ी की ऊँचाई व उसकी जहाज से दूरी ज्ञात कीजिए। [[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.732]
हलः
माना पहाड़ी की ऊँचाई BE = h मीटर
तथा पहाड़ी से जहाज (UPBoardSolutions.com) की दूरी AB = x मीटर
समकोण ∆ABC में,


तथा x = 16[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 16 × 1.732 = 27.71
अतः पहाड़ी की ऊँचाई = 64 मीटर तथा पहाड़ी से मीनार की दूरी = 27.71 मीटर

प्रश्न 3.
समुद्र तल से 100 मीटर ऊँचे प्रकाश ग्रह के शिखर से प्रकाश ग्रह की ओर जाते हुए जहाज का अवनमन कोण 30° से बढ़कर 60° हो जाता है। निरीक्षण काल में जहाज द्वारा तय की गयी दूरी ज्ञात कीजिए। [[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.732]
हल:
माना निरीक्षण काल में (UPBoardSolutions.com) जहाज द्वारा तय की गई दूरी
AD = x मीटर
तथा DB = y मीटर
समकोण ∆DBC में,



अतः निरीक्षण काल में जहाज द्वारा तय की गई दूरी = 115.47 मीटर

प्रश्न 4.
एक प्रकाश स्तम्भ के एक ओर दो जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 30° हैं। यदि दोनों जहाजों के बीच की दूरी 200 मीटर है तो प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना प्रकाश स्तम्भ (UPBoardSolutions.com) की ऊँचाई BC = h मीटर
तथा BD = x मीटर
समकोण ∆DBC में,



अतः प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई = 273.2 मीटर

प्रश्न 5.
एक मीनार के शीर्ष से सतह पर एक बिन्दु A से उन्नयन कोण 30° है। मीनार के पाद की ओर 20 मीटर चलने पर प्राप्त बिन्दु B से यह उन्नयन कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई तथा इसकी बिन्दु A से दूरी  ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, मीनार की ऊँचाई CD = h मीटर
तथा BC = x मीटर (UPBoardSolutions.com)



अतः मीनार की ऊँचाई = 17.32 मीटर
तथा बिन्दु A से मीनार (UPBoardSolutions.com) की दूरी = x + 20 = 10 + 20 = 30 मीटर

प्रश्न 6.
7 मीटर ऊँची एक इमारत के शीर्ष से, एक केबल टॉवर के शीर्ष पर उन्नयन कोण 60° है तथा टॉवर के पाद पर अवनमन कोण 30° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना टॉवर की ऊँचाई BC = h मीटर
तथा AB = x (UPBoardSolutions.com) मीटर
समकोण ∆ABD में,

प्रश्न 7.
एक हवाई जहाज 210 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। किसी क्षण नदी के दोनों किनारों पर विपरीत दिशा में स्थित है दो बिन्दुओं से हवाई जहाज के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हैं। नदी की चौडाई ज्ञात कीजिए। [[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.73]
हलः
माना, नदी की चौड़ाई AD = x मीटर तथा BD = y मीटर
समकोण ∆DBC में, (UPBoardSolutions.com)


समी० (1) से y का मान समी० (2) में रखने पर,
x – 70[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 210
x = 210 + 70[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
= 210 + 70 × 1.73
= 210 + 121.1 = 331.1 (UPBoardSolutions.com)
अतः नदी की चौड़ाई = 331.1 मीटर

प्रश्न 8.
सतह से 60 मीटर ऊपर एक घर की खिडकी का विपरीत दिशा में स्थित दसरे घर के शीर्ष व पाद से उन्नयन व अवनमन कोण क्रमशः 60° व 45° हैं। सिद्ध कीजिए कि विपरीत दिशा में स्थित घर की ऊँचाई 60(1 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex]) मीटर है।
हलः
माना, घर की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई AE = h मीटर तथा AB = x मीटर
समकोण ∆ ABC में,


समी० (1) से x का मान समी० (2) में रखने पर,
60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = h – 60
60 + 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = h
h = 60 (1 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex])
अतः घर की ऊँचाई = 60 (1 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex]) मीटर इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
दो स्तम्भों के बीच क्षैतिज दूरी 15 मीटर है। एक स्तम्भ के शीर्ष से दूसरे स्तम्भ के शीर्ष पर अवनमन कोण 30° है। यदि दूसरे स्तम्भ की ऊँचाई 24 मीटर है तो पहले स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पहले स्तम्भ की ऊँचाई AD = h मीटर
समकोण ∆ ABC में,


अतः पहले स्तम्भ की ऊँचाई 15.34 मीटर है।

प्रश्न 10.
एक प्रकाश स्तम्भ के शीर्ष व पाद से 60 मीटर ऊँची एक इमारत के शीर्ष पर उन्नयन व अवनमन कोण क्रमशः 30° व 60° हैं। निम्न के मान ज्ञात कीजिए-
(i) इमारत व प्रकाश स्तम्भ  की ऊँचाईयों का अन्तर
(ii) इमारत व प्रकाश स्तम्भ के बीच की दूरी।
हलः
माना, प्रकाश स्तम्भ (UPBoardSolutions.com) की ऊँचाई AD = h मीटर
तथा AB = x मीटर
समकोण ∆ABC में,


समी० (1) से x का मान समी० (2) में रखने पर,
[latex] \sqrt{{3}} [/latex] h = 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 20[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
[latex] \sqrt{{3}} [/latex] h = 40[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
h = 40
तथा x = 20[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
= 20 × 1.732 = 34.64
अतः (i) इमारत व प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाइयों का अन्तर = 60 – 40 = 20 मीटर
(ii) इमारत व प्रकाश स्तम्भ के बीच की दूरी = 34.64 मीटर

प्रश्न 11.
एक चिमनी के शीर्ष से एक स्तम्भ के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° हो जाता है तथा चिमनी के पाद से, स्तम्भ के शीर्ष का अवनमन कोण 45° है। यदि स्तम्भ की ऊँचाई 40 मीटर है तो चिमनी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, चिमनी की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) AE = h मीटर तथा AB = x मीटर
समकोण ∆ABC में,


समी० (1) से x का मान समी० (2) में रखने पर,
[latex] \sqrt{{3}} [/latex] × 40 = h – 40
1.73 × 40 = h – 40
69.28 + 40 = h
h = 109.28 मीटर
अतः चिमनी की ऊँचाई = 109.28 मीटर

प्रश्न 12.
200 मीटर ऊँची एक पहाड़ी के शीर्ष से एक स्तम्भ के शीर्ष एवं पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 60° हैं। स्तम्भ की ऊँचाई तथा उसकी पहाड़ी से दूरी ज्ञात कीजिए। ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.73)
हलः
माना स्तम्भ की ऊँचाई AD = h मीटर
तथा स्तम्भ की पहाड़ी से दूरी AB = x मीटर


अतः स्तम्भ की ऊँचाई = 133.33 मीटर तथा स्तम्भ से पहाड़ी की दूरी = 115.33 मीटर

प्रश्न 13.
एक टॉवर के दक्षिण में स्थित एक बिन्दु A पर टॉवर के शीर्ष से उन्नयन कोण α तथा पूर्व में स्थित बिन्दु B से उन्नयन कोण β है। यदि AB = d, तब सिद्ध कीजिए कि टॉवर की ऊँचाई [latex]\frac{d}{\sqrt{\cot ^{2} \alpha+\cot ^{2} \beta}}[/latex] है।
हलः
माना टॉवर की ऊँचाई OP = h है। जिसके दक्षिण में
बिन्दु A तथा पूर्व में बिन्दु (UPBoardSolutions.com) B हैं।
तथा ∠OAP = α व ∠OBP = β
दिया है, AB = d
अत: ∆OAP में,

प्रश्न 14.
एक इमारत में सतह से 10 मीटर की ऊँचाई पर एक खिडकी है। सतह पर स्थित एक बिन्दु P पर खिड़की से अवनमन कोण 30° है। इमारत के शीर्ष से इस बिन्दु P का उन्नयन कोण 60° है। इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, इमारत की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) QS = h मीटर तथा PQ = x मीटर
समकोण ∆PQR में,


समी० (1) से x का मान समी० (2) में रखने पर,
h = [latex] \sqrt{{3}} [/latex] × 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 30
अतः इमारत की ऊँचाई = 30 मीटर

प्रश्न 15.
जमीन.पर एक बिन्दु A से एक जेट फाइटर का उन्नयन कोण 60° है। 10 सेकण्ड की उड़ान के बाद यह उन्नयन कोण 30° हो जाता है। यदि जैट 648 किमी/घण्टा की चाल से उड़ रहा है तो अचर ऊँचाई ज्ञात कीजिए। जिस पर जैट उड़ रहा हैं।
हल:
माना, जैट की अचर ऊँचाई BC = DE = h मीटर
तथा AB = x मीटर


अतः जैट की अचर ऊँचाई = 1558.8 मीटर

प्रश्न 16.
बादलों से एक झील पर स्थित बिन्दु पर उन्नयन कोण α है तथा इसकी झील में परछाई का अवनमन कोण β है। सिद्ध कीजिए कि बादलों से निरीक्षण बिन्दु के बीच की दूरी [latex]\frac{2 h \sec \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}[/latex] हैं।
हलः
समकोण ∆PQR में, (UPBoardSolutions.com)

प्रश्न 17.
एक प्रकाश स्तम्भ के शीर्ष से उसके विपरीत दिशाओं में दो जहाजों के अवनमन कोण α व β हैं। यदि प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई h मीटर है तथा जहाजों को मिलाने वाली रेखा प्रकाश स्तम्भ के तल से होकर जाती है। तो सिद्ध कीजिए कि दोनों जहाजों के बीच की दरी [latex]\frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta}[/latex] है।
हलः
माना, दोनों जहाजों के बीच (UPBoardSolutions.com) की दूरी AD = x मीटर
तथा AB = y मीटर
समकोण ∆ABC में,

प्रश्न 18.
समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे प्रकाश स्तम्भ के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 45° हैं। यदि प्रकाश स्तम्भ के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, दोनों जहाजों की बीच (UPBoardSolutions.com) की दूरी AB = x मीटर
तथा BC = y मीटर
समकोण ∆BCD में,


[latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{60}{x+y}[/latex]
x+ y = 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] …(2)
समी० (1) से y का मान समी० (2) में रखने पर,
x + 60 = 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex]
x = 60[latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 60 = 60 ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 1)
अतः दोनों जहाजों के बीच की दूरी = 60 ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] -1) मीटर

प्रश्न 19.
एक हवाई जहाज कुछ ऊँचाई से अपने बायें व दायें एक नदी में दो जहाजों से अवनमन कोण 30° व 45° पाता है। यदि दोनों जहाजों के बीच की दूरी 100 मीटर हो तो हवाई जहाज किस ऊँचाई पर उड रहा है?
हलः
माना, हवाई जहाज की ऊँचाई BD = h मीटर
तथा BC = x मीटर
समकोण ∆DBC में,



अतः हवाई जहाज की ऊँचाई = 36.6 मीटर

प्रश्न 20.
एक पहाडी के शीर्ष से मीनार के पाद पर उन्नयन कोण 60° है तथा मीनार के शीर्ष से, पहाडी के पाद पर उन्नयन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है तो पहाडी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, पहाड़ी की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) AE = h मीटर तथा AB = x मीटर


अतः पहाड़ी की ऊँचाई 150 मीटर है।

प्रश्न 21.
एक नदी के किनारे खड़ा एक व्यक्ति देखता है कि दूसरे किनारे पर ठीक उसके सामने खड़े एक वृक्ष का उन्नयन कोण 60° है। जब वह व्यक्ति किनारे से 40 मीटर दूर जाता है तो वृक्ष का उन्नयन कोण 30° हो जाता है। वृक्ष की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना वृक्ष की ऊँचाई CD = h मीटर
तथा नदी की चौड़ाई BC = x मीटर


x का मान समी० (1) में रखने पर,
h = 20[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 20 × 1.732
h = 34.64 मीटर
अतः वृक्ष की ऊँचाई = 34.64 मीटर तथा नदी की चौड़ाई = 20 मीटर

प्रश्न 22.
क्षैतिज तल पर स्थित एक लम्बवत् मीनार के शीर्ष पर एक ध्वज दण्ड लगा है। मीनार के पाद से 9 मीटर दूर स्थित बिन्दु से ध्वज दण्ड़ के शीर्ष एवं पाद पर उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। मीनार व ध्वज दण्ड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना, मीनार की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) BC = h मीटर
तथा ध्वज दण्ड की ऊँचाई CD = x मीटर



अतः मीनार की ऊँचाई = 3[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर तथा ध्वजदण्ड की ऊँचाई = 6[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर

प्रश्न 23.
एक सीधे क्षैतिज सड़क के लम्बवत् एक हवाई जहाज से सतह पर स्थित दो क्रमागत मील के पत्थरों (जो जहाज के विपरीत दिशा में है) से अवनमन कोण क्रमशः α व β हैं। सिद्ध कीजिए कि सड़क से ऊपर हवाई जहाज की ऊँचाई [latex]\frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \beta}[/latex] मील होगी।
हलः
माना, हवाई जहाज की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) BC = h मील
तथा AB = x मील

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 11 Height and Distance Ex 11.2 ऊँचाई एवं दूरी

Ex 11.2 Height and Distance बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक ऊर्ध्वाधर खम्भे की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर है तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा-
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना सूर्य का उन्नयन (UPBoardSolutions.com) कोण = θ
दिया है, खम्भे की ऊँचाई AB = खम्भे की छाया BC


अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 2.
50 मीटर ऊँची मीनार का पृथ्वी के किसी बिन्दु पर अवनमन कोण 30° है तब मीनार के आधार से उस बिन्दु की दूरी है-
(a) 25 मीटर
(b) 25[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
(c) 50[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
बिन्दु A पर बना अवनमन कोण = 30°
∠ PAC = ∠ACB = 30°


अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 3.
एक खम्भे के शीर्ष के उन्नयन कोण A की स्पर्शज्या उसकी छाया की [latex]\frac{3}{4}[/latex] गुणा है। खम्भे की ऊँचाई तथा छाया की लम्बाई का अनुपात है-
(a) 3 : 4
(b) 4 : 3
(c) 2 : 3
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

प्रश्न 4.
एक झण्डा पताका के पाद से  एक बिन्दु A, 50 मीटर की दूरी पर है यदि ∠ PAB = 60°, तो झण्डा पताका की ऊँचाई है-
(a) 25[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
(b) 25[latex] \sqrt{{2}} [/latex] मीटर
(c) 50[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 11.2 Height and Distance लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 5.
यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है तो सिद्ध कीजिए कि 15 मीटर ऊँचे खम्भे की छाया का अन्तर 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर होगा।
हलः
खम्भे की ऊँचाई PQ = 15 मीटर
माना QR = x मीटर
RS = y मीटर

∴ खम्भे की छाया की लम्बाई (UPBoardSolutions.com) में अन्तर y = 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक 5 मीटर ऊँचे बिजली के खम्भे के पाद से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° तथा खम्भे के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2003]
हलः
माना BQ = AM = x मीटर तथा PM = y मीटर
AB = MQ = 5 मीटर

प्रश्न 7.
दो बिन्दुओं A व B जो मीनार के आधार से क्रमश: 100 मीटर व 25 मीटर की दूरी पर है। एक ही क्षैतिज रेखा में हैं तथा कोटिपूरक हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ∠ PAQ = 0
कोटिपूरक कोण (UPBoardSolutions.com) ∠PBQ = 90° – θ
माना मीनार की ऊँचाई PQ = h मीटर



∴ मीनार की ऊँचाई h = 50 मीटर

प्रश्न 8.
क्षैतिज तल पर खडे एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शीर्ष का उसी तल पर स्थित बिन्दु O से उन्नयन कोण 15° है। मीनार की ओर 80 मीटर चलने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2006, 11]
हलः
माना AB मीनार की ऊँचाई १ मीटर है। (UPBoardSolutions.com) बिन्दु 0 से शीर्ष पर 15° का कोण बनता है।
OP = 80 मीटर
माना PB = x मीटर

प्रश्न 9.
क्षैतिज समतल के किसी बिन्दु से उसी समतल में स्थित एक टीले की चोटि का उन्नयन कोण θ है। उस बिन्दु से ϕ के कोण पर टीले की चोटी की ओर k दूरी तय करने के उपरान्त टीले का उन्नयन कोण α हो जाता है। सिद्ध कीजिए कि टीले की ऊँचाई [latex]\frac{k(\cos \phi-\sin \phi \cot \alpha)}{(\cot \theta-\cot \alpha)}[/latex] है।[UP 2007]
हलः
माना बिन्दु O से टीले की चोटी B का उन्नयन कोण θ है जबकि B के ठीक नीचे बिन्दु A है।
∠AOB = θ
∠AOC = ϕ
OC = k ?
बिन्दु C से AB तथा OA (UPBoardSolutions.com) पर क्रमशः लम्ब CD तथा CE डाले।
∠DCB = α
टीले की ऊँचाई AB = h
समकोण ∆OEC में,

प्रश्न 10.
एक वृक्ष का ऊपरी भाग हवा से टूटकर भूमि से जा लगा है तथा भूमि से 45° माप का कोण बनाता है। वृक्ष की जड़ से उस बिन्दु की दूरी जहाँ वृक्ष का शीर्ष भूमि को छूता है, 6 मीटर हो तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2008]
हलः
माना वृक्ष PAQ का ऊपरी भाग AP, हवा (UPBoardSolutions.com) से बिन्दु A पर टूटकर AO स्थिति ग्रहण कर लेता है, अर्थात् वृक्ष का शिखर P, भूमि को बिन्दु O पर छूता है।
∴ OA = AP
OQ = 6 मीटर
∠QOA = 45°
माना AQ = x मीटर, OA = y मीटर
समकोण ∆OQA में,


∴ वृक्ष की ऊँचाई = PA + AQ = x + y
= 6 + 6[latex] \sqrt{{2}} [/latex] = 6 (1 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex])
= 6 (1 + 1.414) = 6 (2.414) = 14.48 मीटर

प्रश्न 11.
दो मीनारों के बीच की दूरी 140 मीटर है। दूसरी मीनार के शीर्ष से देखने पर प्रथम मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। यदि दूसरी मीनार की ऊँचाई 60 मीटर है, तो प्रथम मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। NCERT; UP 2010]
हलः
PM = QB = 140 मीटर
माना AM = x मीटर
MB = PQ = 60 मीटर

प्रश्न 12.
सूर्य के प्रकाश में 45 मीटर ऊँची मीनार की छाया 4573 मीटर है तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए। [UP 2004,01]
हलः
समकोण ∆ ABC में, (UPBoardSolutions.com)

प्रश्न 13.
60 मीटर ऊँचे पहाड़ की चोटि से एक मीनार के शीर्ष तथा आधार के अवनमन कोण 30° व 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2006]
हलः
माना मीनार की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई AB = h मीटर
तथा BQ = AM = x मीटर
समकोणं ∆PAM में,
tan30° = [latex]\frac{P M}{x}[/latex]

प्रश्न 14.
एक अपूर्ण मन्दिर के आधार से 30 मीटर क्षैतिज दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से मन्दिर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है तो ज्ञात कीजिए कि मन्दिर को कितना ऊँचा और बनाया जाये कि उसी बिन्दु पर मन्दिर के नये शिखर का उन्नयन कोण 60° हो जाये। ([latex] \sqrt{{3}} [/latex] = 1.732) [UP 2009]
हलः
माना मन्दिर को h ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) तक ऊपर उठाया जाए।
∴ PR = h मीटर
माना PQ = x मीटर
समकोण ∆PQA में,

प्रश्न 15.
क्षैतिज तल पर स्थित एक बिन्दु से किसी ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की चोटी के उन्नयन कोण की माप θ है। स्तम्भ की ओर a दूरी बढ़ने पर उन्नयन कोण 45° तथा पुनः b दूरी बढ़ने पर वह (90° – θ) हो जाता है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2011]
हलः
माना स्तम्भ की ऊँचाई = h
SR = a, MS = b, QM = x (माना)
समकोण ∆ PQM में,

प्रश्न 16.
सड़क के एक ओर एक मीनार तथा दूसरी ओर एक मकान स्थित है। मीनार के शीर्ष से मकान के शीर्ष तथा आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हैं। यदि मकान की ऊँचाई 10 मीटर है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2005]
हलः
माना MQ = NR = x मीटर
मकान की ऊँचाई MN (UPBoardSolutions.com) = 10 मीटर
मीनार की ऊँचाई PR = h मीटर
MN = QR = 10 मीटर
∴ PQ = PR – QR
= (h -10) मीटर

प्रश्न 17.
किसी बिन्दु पर एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण की स्पर्शज्या [latex]\frac{5}{3}[/latex] है। मीनार की ओर 32 मीटर चलने पर शिखर के उन्नयन कोण की स्पर्श [latex]\frac{5}{2}[/latex] हो जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2011]
हलः

Ex 11.2 Height and Distance दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 18.
एक वायुयान, जो 1200 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। दो जलयान, जो एक ही दिशा में है, अपनी ओर आते हुए पाता है। जलयानों के अवनमन कोण क्रमश: 60° व 30° हैं। जलयानों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 19.
100 मीटर चौडी सड़क के दोनों ओर एक समान ऊँचाई के दो खम्भे हैं। सड़क पर स्थित किसी बिन्दु से खम्भों के शीर्षों के उन्नयन कोण 60° व 30° हैं। उस बिन्दु की स्थिति तथा खम्भों की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दोनों खम्भों की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई = h मीटर
QT = x मीटर
∴ TS = (100 – x) मीटर

समी० (2) में समी० (1) से h का मान रखने पर
100 – x = 13([latex] \sqrt{{3}} [/latex]x)
100 – x = 3x
100 = 3x + x ⇒ 100 = 4x
x = [latex]\frac{100}{4}[/latex] ⇒ x = 25 मीटर
∴ बिन्दु T, पहले खम्भे से 25 मीटर तथा दूसरे खम्भे से (100 – 25) = 75 मीटर दूर स्थित होगा। समीकरण (1) में x का मान रखने पर
h = [latex] \sqrt{{3}} [/latex]x = 13 x 25 = 2513 मीटर
∴ खम्भों की ऊँचाई = 25[latex] \sqrt{{3}} [/latex] मीटर

प्रश्न 20.
एक 60 मीटर ऊँचे भवन से एक मीनार के शीर्ष एवं आधार के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
भवन MN की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) = 60 मीटर
माना मीनार PQ की ऊँचाई = h मीटर
∠MPT = 30°, ∠ MQN = 60°
समकोण ∆MTP में,

प्रश्न 21.
क्षैतिज पर एक बिन्दु जो मीनार के पाद से 40 मीटर दूर स्थित है, उस पर मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार के ऊपर रखे टैंक का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई तथा टैंक की गहराई ज्ञात कीजिए। [NCERT]
हलः
माना मीनार की ऊँचाई PQ = h मीटर
तथा टैंक की ऊँचाई TP = x मीटर
समकोण ∆ PQM में,

प्रश्न 22.
15 मीटर ऊँचे भवन के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है तथा भवन के पाद से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। तब मीनार की ऊँचाई तथा भवन से मीनार की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः
भवन की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) AB = 15 मीटर
मीनार की ऊँचाई PQ = h मीटर
माना AM = BQ = x मीटर
∵ AB = MQ = 15 मीटर
PM = PQ – MQ = h – 15 मीटर
समकोण ∆ AMP में,

प्रश्न 23.
एक ऊर्ध्वाधर मीनार के ऊपरी सिरे पर 5 मीटर लम्बा एक झण्डे का डण्डा लगा है। मीनार के पाद के क्षैतिज तल के एक बिन्दु से झण्डे के निचले तथा ऊपरी सिरों के उन्नयन कोण 30° व 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना मीनार BP की ऊँचाई (UPBoardSolutions.com) = h मीटर, QP = x मीटर
तथा AB = 5 मीटर

प्रश्न 24.
एक लड़का जमीन पर खडे होकर पतंग उड़ा रहा है। जिसकी डोरी 100 मीटर लम्बी तथा उन्नयन कोण 30° है। दूसरा लड़का 10 मीटर ऊँचे एक मकान की छत पर खड़ा होकर पतंग उड़ा रहा है। जिसका उन्नयन कोण 45° है। दोनों लड़के पतंगों के विपरीत ओर खड़े हैं। पहली पतंग से लड़ाने के लिए दूसरी पतंग की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः
दोनों लड़के क्रमशः (UPBoardSolutions.com) B व P पर स्थित हैं।
समकोण ∆ ABC में,

प्रश्न 25.
एक प्रकाश गृह के शीर्ष से दो जलयानों के अवनमन कोण 45° व 30° पूर्व की ओर हैं। यदि जलयानों के बीच की दूरी 200 मीटर है तो प्रकाश गृह की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना प्रकाश गृह की (UPBoardSolutions.com) ऊँचाई PQ = h मीटर
QA = x मीटर


∴ प्रकाश गृह की ऊँचाई h = 273.2 मीटर

प्रश्न 26.
एक जलयान की छत पर जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊपर है, एक व्यक्ति का किसी पहाड़ी के शीर्ष से उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के तल का अवनमन कोण 30° देखता है। पहाड़ी की जलयान से दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
माना पहाड़ी की ऊँचाई = h मीटर व AB = MQ = 10 मीटर
पुनः . माना BQ = AM = x मीटर
समकोण ∆ PAM में, (UPBoardSolutions.com)


समीकरण (1) में x का मान रखने पर
[latex] \sqrt{{3}} [/latex] × 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex] = h – 10
30 = h – 10 (UPBoardSolutions.com)
30 + 10 = h
h = 40 मीटर
∴ पहाड़ी की जलयान से दूरी = 10[latex] \sqrt{{3}} [/latex]मीटर
तथा पहाड़ी की ऊँचाई = 40 मीटर

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.1 त्रिभुज

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में DE ||BC यदि AD = 2.5 सेमी, DB = 3 सेमी तथा AE = 3.75 सेमी है तो AC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,

AD = 2.5 cm
DB = 3 cm
AE = 3.75
अब ∆ABC में, DE||BC
तब आधारभूत समानुपातिका (UPBoardSolutions.com) प्रमेय से,

अतः AC = AE + EC
= 3.75 +4.5 = 8.25 सेमी

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में DE ||BC यदि AD = 1.7 सेमी, AB = 6.8 सेमी तथा AC = 9 सेमी है तो AE का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,

AD = 1.7 सेमी
AB = 6.8 सेमी
AC = 9 सेमी (UPBoardSolutions.com)
अतः हम जानते हैं कि

प्रश्न 3.
दो समान त्रिभुजों ABC तथा PQR का परिमाप क्रमशः 32 सेमी तथा 24 सेमी हैं। यदि PQ = 12 सेमी है तो AB का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
चूँकि समान त्रिभुजों की संगत भुजाओं का (UPBoardSolutions.com) अनुपात उनके परिमाप के अनुपात के बराबर होता है।

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC में, AD, ∠A का अर्द्धक है। जो भुजा BC पर D पर मिलता है।
(i) यदि AB = 5.6 सेमी, AC = 6 सेमी, DC = 3 सेमी है तो BC ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि AD = 5.6 सेमी, BC = 6 सेमी, BD = 3.2 सेमी है तो AC ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) AB = 5.6 cm
AC = 6 cm
DC = 3cm (UPBoardSolutions.com)
BC = ?

चित्र से, BC = BD + DC
BC = BD + 3 …(1)
हम जानते हैं त्रिभुज के किसी कोण से (UPBoardSolutions.com) भुजा पर डाला गया लम्ब समकोण होता है। अतः ∆ADC से,
AC² = AD² + DC²
6² = AD² +3²
36 = AD² + 9
AD² = 27
AD = [latex] \sqrt{{27}} [/latex] = 3[latex] \sqrt{{3}} [/latex] cm
इसी प्रकार ∆ABD में,
AB² = BD² + AD²
(5.6)² = BD² + 27
BD² = 4.36
BD = 2.08 cm
अतः BC = BD + DC
= 2.08 +3
= 5.08 सेमी

(ii) दिया है,
AD = 5.6 सेमी
BC = 6 सेमी
BD = 3.2 सेमी
AC = ?

∆ABC में,
BC = BD + DC
6 = 3.2 + DC
DC = 6 – 3.2
DC = 2.8 सेमी
∆ADC में,
AC² = AD² + DC²
AC² = (5.6)² + (2.8)²
AC² = 31.36 + 7.84
AC² = 39.2
AC = 6.26 सेमी

प्रश्न 5.
एक समान्तर चतुर्भज ABCD है, भुजा BC पर एक बिन्दु P है तथा DP को बढ़ाने पर AB से बिन्दु L पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए कि
(i) [latex]\frac{D P}{P L}=\frac{D C}{B L}[/latex]
(ii) [latex]\frac{D L}{D P}=\frac{A L}{D C}[/latex]
हल:
(i) ∆ALD में, ज्ञात है

प्रश्न 6.
एक चतुर्भुज ABCD है तथा P,Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD व DA के ट्राईसैक्सन बिन्दु A व C के सम्मुख हैं। तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
हलः
माना चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि (UPBoardSolutions.com) इनकी भुजाओं के मध्य बिन्दु क्रमशः P, Q, R, S हैं।
अब AC को मिलाया

∆ABC में, P तथा Q, AB तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
तब PQ|| AC …(1)
इसी प्रकार ∆ACD में, R तथा S क्रमशः DC तथा DA के मध्य बिन्दु हैं
तब SR || AC …(2)
समी० (1) तथा (2) से,
PQ || AC तथा SR || AC
इसलिये PQ|| SR
इसी प्रकार, ∆ ABD तथा ABDC हैं।
PS||QR
अतः PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
एक ∆ ABC की भुजा BC का अर्द्धक D है। O AD पर कोई बिन्दु है। AC तथा AB में बिन्दु E तथा F मिल जाने पर BO तथा CO बनते हैं। AD को x तक बढ़ाया इसलिए D,OX का मध्य बिन्दु है तो सिद्ध कीजिए कि
(i) AO : AX = AF : AB
(ii) FE||BC
हल:
B और CX को मिलाया।
दिया है, BD = CD और OD = DX
इस प्रकार, BC तथा Ox (UPBoardSolutions.com) एक-दूसरे को काटते हैं।

⇒ OB, XC समान्तर है।
⇒ BX||CO और CX||BO
⇒ BX ||CF और CX||BE
⇒ BX ||OF और CX||OE

इस प्रकार E तथा F, AB तथा AC इस प्रकार है जोकि AB तथा AC को समान अनुपात में बाँटते हैं। अतः थेल्स प्रमेय के व्युत्क्रम से,
FE || BC

प्रश्न 8.
एक ∆ ABC में, बिन्दु D तथा E क्रमशः भुजाओं AB व AC पर हैं। तब प्रत्येक निम्नलिखित के लिए सिद्ध कीजिए कि DE || BC
(i) AD = 5.7 सेमी, BD = 9.5 सेमी, AE = 3.3 सेमी, EC = 5.5 सेमी
(ii) AB = 12 सेमी, AD = 8 सेमी, AE = 12 सेमी तथा AC = 18 सेमी
हलः
(i) दिया है, AD = 5.7 सेमी, (UPBoardSolutions.com) BD = 9.5 सेमी, AE = 3.3 सेमी, EC = 5.5 सेमी
हम जानते हैं कि

[latex]\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}[/latex]
⇒ AD × EC = AE × BD
⇒ [latex]\frac{5.7}{9.5}=\frac{3.3}{5.5}[/latex]
⇒ 5.7 × 5.5 = 9.5 × 3.3
⇒ 31.35 = 31.35
यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक अनुपात में प्रतिच्छेद करती है तब वह तीसरी भुजा के समान्तर होती है आधारभूत समानुपातिका की मूल प्रमेय की व्युत्क्रमानुपाती सिद्धान्त से, DE ||BC यही सिद्ध करना था।

(ii) दिया है, AB = 12 सेमी, AD = 8 सेमी, AE = 12 सेमी तथा AC = 18 सेमी


यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक अनुपात (UPBoardSolutions.com) में प्रतिच्छेद करती है तब वह तीसरी भुजा के समान्तर होती है, आधारभूत समानुपातिका की मूल प्रमेय की व्युत्क्रमानुपाती सिद्धान्त से, DE ||BC यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 9.
एक ∆ABC में, भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E है तथा DE||BC है। यदि AD = 2.4 सेमी, AE = 3.2 सेमी, DE = 2 सेमी, BC = 5 सेमी है तो BD तथा CE ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D व E हैं तथा DE ||BC है।
दिया है, AD = 2.4 सेमी, AE = 3.2 सेमी, (UPBoardSolutions.com) DE = 2 सेमी तथा BC = 5 सेमी BD = ? तथा CE = ?


यदि BD = 3.6 सेमी तथा CE = 4.8 सेमी

प्रश्न 10.
एक ∆ABC की भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E हैं तथा DE ||BC और BD = CE है। तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हलः
यहाँ ∆ABC है जिसमें बिन्दु D तथा E भुजाओं AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं तथा DE ||BC अतः हमें सिद्ध करना है कि AB = AC
∆ ABC में ∠B का अर्द्धक BE है, इसलिये
[latex]\frac{A B}{B C}=\frac{A E}{E C}[/latex] …(1)
∆ ABC में, ∠C का अर्द्धक CD है इसलिये
[latex]\frac{A C}{B C}=\frac{A D}{D B}[/latex] …(2)
अब BD||CE तब आधारभूत (UPBoardSolutions.com) समानुपातिक प्रमेय के विलोम द्वारा,
[latex]\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}[/latex] …(3)
समी० (1), (2) तथा (3) से,
[latex]\frac{A B}{B C}=\frac{A C}{B C}[/latex]
⇒ AB = AC
अत: ∆ ABC समद्विबाहु है।

प्रश्न 11.
बिन्दुओं L, M, N के तीन रेखाखण्ड OA,OB तथा Oc ऐसे लिए गए हैं कि LM ||AB तथा MN||BC लेकिन न तो L, M, N न ही A,B,C समरेख हैं। तो सिद्ध कीजिए कि LN||AC
हलः
बिन्दुओं L,M, N के तीन रेखाखण्ड OA, OB तथा OC ऐसे लिए गए हैं कि LM ||AB तथा MN ||BC
परन्तु, L, M, N तथा A, B, C समरेख नहीं हैं।

⇒ ∆ONL में C तथा A क्रमश: ON तथा OL (UPBoardSolutions.com) को समान अनुपात में बाँटते हैं। अत: तब थेल्स के आधारभत समानुपातिक प्रमेय के विलोम से, LN || AC यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 12.
त्रिभुज ABC का कोई अन्तः बिन्दु ० है। ∠AOB, ∠BOC तथा ∠COA का अर्द्धक भुजाओं AB, BC तथा CA से क्रमशः बिन्दुओं D, E तथा F में मिलता है। तो सिद्ध कीजिए कि
AD × BE × CF = DB × EC × FA
हल:
∆AOD में,
OD, ∠AOB का लम्बर्द्धक है।

प्रश्न 13.
माना ∆ABC का मध्य AD है। ∠ADB तथा ∠ADC के अर्द्धक, AB तथा AC में क्रमशः E तथा F मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि EF ||BC
हलः
दिया है- ∆ABC में माध्यिका AD और DE और (UPBoardSolutions.com) DF, कोण ADB तथा ∠ADC के लम्बर्द्धक हैं।
सिद्ध करना है- EF||BC

उपपत्ति-∆ADB में, DE, ∠ADB का लम्बर्द्धक है।
[latex]\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E B}[/latex] …(1)
∆ADC में,
DF, ∠ADC का लम्बर्द्धक है,
[latex]\frac{A D}{D C}=\frac{A F}{F C}[/latex] …(2) [∵ AD माध्यिका है, ∴ BD = DC]
समी० (1) तथा (2) से,
[latex]\frac{A E}{E B}=\frac{A F}{F C}[/latex]
इस प्रकार ∆ABC में रेखाखण्ड EF, (UPBoardSolutions.com) भुजाओं AB तथा AC को समान अनुपात में बाँटता है।
अतः EF || BC

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