Safia

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 20 Statistics Ex 20.3 (सांख्यिकी)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आँकड़ों के लिए आयत-चित्र बनाइये:

हलः

प्रश्न 2.
निम्नलिखित आँकड़ों के लिए आयत-चित्र बनाइये:

हलः

निम्नलिखित आँकड़ों के लिए एक आयत-चित्र बनाइये-

प्रश्न 3.
एक प्रवेश परीक्षा में, 100 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों को निम्नलिखित सारणी में दर्शाया गया है।

आँकड़ों को आयत-चित्र के रूप में निरूपित कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
निम्नलिखित आँकड़ों से एक बारंबारता बहुभुज बनाइये।

हलः
बारंबारता सारणी

प्रश्न 5.
निम्नलिखित आँकड़ों से एक बारंबारता बहुभुज बनाइये।

हलः

प्रश्न 6.
निम्नलिखित आँकड़ों के लिए एक आयत-चित्र बनाइये:

हलः
इसके लिए बारबारता सारणी है।

प्रश्न 7.
एक शहर में श्रमिकों के कुल घर का खर्च ( ₹ में) का बंटन निम्नलिखित है:

हलः

प्रश्न 8.
निम्नलिखित आँकड़ों का बारंबारता बहुभुज बनाइये।

हलः

प्रश्न 9.
नीचे दी गई सारणी में एक चिड़ियाघर के 840 पशु पक्षियों को इस प्रकार दर्शाया गया है:

उपरोक्त आँकड़ों का दण्ड आलेख निरूपित कीजिए।
हलः

प्रश्न 10.
दिल्ली से चार शहरों की हवाई दूरी (किमी में) नीचे दी गई है:

उपरोक्त आँकड़ों का दण्ड आलेख निरूपित कीजिए।
हलः

प्रश्न 11.
दिया है। वर्ष

उपरोक्त आँकड़ों का दण्ड आलेख निरूपित कीजिए
हलः

प्रश्न 12.
दिया है:

उपरोक्त आँकड़ों का दण्ड आलेख निरूपित कीजिए
हलः

प्रश्न 13.
दिया है:

उपरोक्त आँकड़ों का दण्ड आलेख निरूपित कीजिए
हलः

Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.2 त्रिभुज

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में ∆ ACB ~ ∆ APQ है यदि BC = 8 सेमी, PQ = 4 सेमी, BA = 6.5 सेमी, AP = 2.8 सेमी है तो CA तथा AQ ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
BC = 8 सेमी PQ = 4 सेमी, (UPBoardSolutions.com) BA = 6.5 सेमी

AP = 2.8 सेमी
दिया है, ∆ACB ~ ∆APQ

⇒ AC = 5.6 cm
तथा AQ = 3.25 cm

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में, QA तथा PB, AB के  लम्बवत् है। यदि AQ = 10 सेमी, BO = 6 सेमी तथा PB = 9 सेमी है तो AQ ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
AO = 10 सेमी
BO = 6 सेमी
PB = 9 सेमी

∵ AQ तथा PB रेखा AB के (UPBoardSolutions.com) लम्बवत् है अत: ∆OAQ तथा ∆OPB समकोणीय त्रिभुज है।
अतः ∆OPB में,
(OP)² = (OB)² + (PB)²
OP² = (6)² + (9)²
OP² = 36 + 81
OP² = 117
OP² = [latex]\sqrt{117}=\sqrt{13 \times 9}[/latex]
= 3[latex] \sqrt{{13}} [/latex] सेमी
∆OAQ तथा ∆OPB समरूप हैं।
[latex]\frac{O A}{O B}=\frac{O Q}{O P}[/latex]
⇒ [latex]\frac{10}{6}=\frac{O Q}{3 \sqrt{13}}[/latex]
⇒ OQ = 5[latex] \sqrt{{13}} [/latex] सेमी
अब ∆OAQ में,

OQ² = OA² + AQ²
⇒ (5[latex] \sqrt{{13}} [/latex])² = 10² + AQ²
⇒ AQ² = 25 × 13 – 100
⇒ AQ² = 325 – 100
⇒ AQ² = 225
⇒ AQ = 15 सेमी

प्रश्न 3.
10 सेमी ऊँची एक ऊर्ध्वाधर छड़ी की छाया 8 सेमी लम्बी बनती है। ठीक उसी समय एक मीनार की छाया 30 सेमी है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हलः
ऊर्ध्वाधर छड़ी की लम्बाई CE = 10 cm जमीन पर 8 cm की छाया बनाती है।
माना कि मीनार की ऊँचाई h (UPBoardSolutions.com) है।
मीनार की छाया की लम्बाई = 30 सेमी

अब ∆ ABD तथा ∆ DEC
में ∠ABD = ∠ECD
∠D = ∠D
तब समरूपता की AA-कसौटी द्वारा
∆ABD ~ ∆ DEC

प्रश्न 4.
एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ a तथा b और कर्ण c हैं। कर्ण पर एक ऊँचाई x है तो सिद्ध कीजिए कि ab = cx
हलः
दिया है, AC = b, BC = a
AB = c और CD = x

∆ABC तथा ∆BCD में
∠BCA = ∠CDB [प्रत्येक कोण = 90°]
और ∠B = ∠B
अतः समरूपता की (UPBoardSolutions.com) AA – कसौटी से,
∆ABC ~ BCD
[latex]\frac{A C}{C D}=\frac{B A}{B C}[/latex]
[latex]\frac{b}{x}=\frac{c}{a}[/latex]
⇒ ab = cx

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में ∠A = ∠CED है तो सिद्ध कीजिए कि ∆CAB ~ ∆CED तथा x का मान भी ज्ञात कीजिए।
हलः

दिया है, ∠A = ∠CED
∆EDC में,
(EC)² = DC² + DE ²
(10)² = 8² + x²
100 = 64 + x²
x² = 100 – 64
x = [latex] \sqrt{{36}} [/latex]
x = 6 सेमी
∆ABC तथा ∆ADE
∠ABC = ∠EDC में
∠ABC = ∠EDC [प्रत्येक कोण = 90°]
तथा ∠C = ∠C
यह समरूपता की (UPBoardSolutions.com) AA-कसौटी का पालन करती है।
∆CAB ~ ∆CED

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में ∠CAB = 90° तथा AD ⊥BC है। यदि AC = 75 सेमी, AB = 1 मी० तथा BD = 1.25 मीटर है तो AD का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

दिया है, AB = 1 मीटर = 100 सेमी
AC = 75 सेमी और BD = 125 सेमी
∆ BAC और ∆ BDA में यहाँ,
∠BAC = ∠ BDA (UPBoardSolutions.com) (समकोण)
और ∠B = ∠B
अतः (AA-समरूपता से)

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में, यदि AB ⊥ BC तथा DE ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC ~ ∆ AED
हल:

∆ ABC तथा ∆ AED में
∠ABC = ∠AED = 90°
∠ BAC = ∠EAD (समान कोण)
= ∠A
अतः समरूपता की AA-कसौटी से,
∆ABC ~∆ AED (UPBoardSolutions.com) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में, यदि ∠A = ∠C है तो सिद्ध कीजिए कि ∆AOB ~ ∆COD
हलः

दिया है,
∠A = ∠C = 90°
तथा ∠1 = ∠2 (शीर्षाभिमुख कोण)
∆ AOB तथा ∆CDO में,

अतः SAS समरूपता द्वारा,
∠A = ∠C
तथा ∠B = ∠D
अतः ∆ AOB ~ ∆CDO (UPBoardSolutions.com) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में, ∠ ABC = 90° तथा BD ⊥ AC है यदि AB = 5.7 सेमी०, BD = 3.8 सेमी० तथा CD = 5.4 सेमी० हो तो BC ज्ञात कीजिए।
हलः

दिया है,
∠ABC = 90°
AB = 5.7 सेमी, BD = 3.8 सेमी
CD = 5.4 सेमी, BC = ?
∵ ∆ABC तथा ∆BDC में यहाँ
∠ABC = ∠CDA (UPBoardSolutions.com) = 90°
और ∠C = ∠C
अतः (AA-समरूपता से)
∆BAC ~ ∆BDA

प्रश्न 10.
∆ ABC तथा ∆ DEF में, यह दिया गया है कि, AB = 5 सेमी०, BC = 4 सेमी०, CA = 4.2 सेमी०, DE = 10 सेमी०, EF = 8 सेमी० तथा FD = 8.4 सेमी० है। यदि AL I BC तथा DM L EF है तो AL:DM ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 11.
दी गई आकृति में, दो त्रिभुज BEP तथा CPD दिये गये हैं तो सिद्ध कीजिए कि
BP × PD = EP × PC
हल:

∆ EPB तथा ∆DPC में,
∠ PEB = ∠ PDC = 90°
∠ EPB = ∠DPC (शीर्षाभिमुख कोण)
इस प्रकार AA-कसौटी की समरूपता से,
∆ EPB ~ ∆DPC
⇒ [latex]\frac{E P}{D P}=\frac{P B}{P C}[/latex]
⇒ BP × DP = EP × PC यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 12.
∆ ABC की भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु P तथा Q हैं। यदि AP = 3 सेमी०, PB = 6 सेमी०, AQ = 5 सेमी० तथा QC = 10 सेमी० है तो सिद्ध कीजिए कि BC = 3PQ
हलः
दिया है,

AP = 3 सेमी, PB = 6 सेमी,
AQ = 5 सेमी, QC = 10 सेमी
∆ ABC में, PQ ||BC (UPBoardSolutions.com)
⇒ [latex]\frac{A B}{A P}=\frac{A Q}{A E}[/latex]
तथा ∠A = ∠A
तब समरूपता की कसौटी (SAS) द्वारा

प्रश्न 13.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा APQ एक सरल रेखा है जो बढ़ाने पर BC से बिन्दु P पर तथा DC से बिन्दु Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि BP व DQ से बना आयत AB व AD से बने आयत के बराबर होता है।
हलः
स्वयं हल (UPBoardSolutions.com) कीजिए।

प्रश्न 14.
एक चतुर्भुज ABCD है। जिसमें AD = BC यदि P, Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD तथा AD के मध्य बिन्दु हैं तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समचतुर्भुज है।
हलः
माना कि एक चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि इसकी भुजाओं AB, BC,CD तथा DA के क्रमशः मध्य-बिन्दु P,Q, R, S हैं तब हमें सिद्ध करना है कि PQRS एक समचतुर्भुज है।
अब AC को मिलाया।
∆ABC में, P तथा Q, AB तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
∵ दिया है
AB = BC
अतः AP = PB = BQ = CQ
PQ || AC …(1)
इसी प्रकार ∆ ACD में, R तथा S क्रमशः CD तथा DA के मध्य-बिन्दु हैं।
तब SR || AC …(2)

समीकरण (1) तथा (2) से यहाँ है
PQ || AC तथा SR || AC
इसलिये PQ || SR (UPBoardSolutions.com)
इसी प्रकार ∆ABD, ∆BCD हैं
PS ||QR
अत: PQRS एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 15.
दी गई आकृति में, ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है तथा AB||DC यदि ∆ AED तथा ∆ BEC समरूप है तो सिद्ध कीजिए कि AD = BC

हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 16.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, AB||DC तथा DC = 2AB, AB के आगे EF दर्शायी गयी है। AD, F द्वारा तथा BC, E द्वारा काटे गये हैं तथा [latex]\frac{B E}{E C}=\frac{3}{4}[/latex] विकर्ण DB, EF को G पर प्रतिच्छेद करता है तो सिद्ध कीजिए कि 7FE = 10AB

हल:
∆DFG तथा ∆ DAB में ज्ञात हैं।
∠1 = ∠2 [∵ AB ||DC ∴ ∠1 तथा ∠2 संगत कोण है।]
∠ FDG = ∠ADB (सर्वनिष्ठ)
अतः समरूपता (UPBoardSolutions.com) की AA-कसौटी से,
∆DFG ~ ∆DAB

प्रश्न 17.
दी गई आकृति में, एक त्रिभुज ABC है जो C पर समकोण है तथा DE ⊥ AB है। तो सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC ~ ∆ ADE तथा AE और DE की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

त्रिभुज ABC तथा ∆ ADE में
∠ACB = ∠ AED = 90°
और ∠BAC = ∠ DAE (UPBoardSolutions.com)
अतः समरूपता की AA-कसौटी से,
∆ABC ~ ∆ ADE

प्रश्न 18.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष D से, एक रेखा खींची गई है जो भुजा BA तथा BC को क्रमशः E तथा F पर प्रतिच्छेद करती है। तो सिद्ध कीजिए कि :

हलः
त्रिभुज EAD तथा ∆ DCF में,
∠1 = ∠2 [∵ AB ||DC ∴ संगत कोण बराबर है।]
∠3 = ∠4 [∵ AD||BC ∴ संगत कोण बराबर है।]
इसलिये समरूपता की (UPBoardSolutions.com) AA-कसौटी द्वारा,
∆ EAD ~ ∆DCF

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 20 Statistics Ex 20.2 सांख्यिकी

प्रश्न 1.
संचयी बारंबारता बंटन को समझाइये।
हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 2.
एक बारंबारता बंटन तथा एक संचयी बारंबारता बंटन के बीच अन्तर समझाइये।
हलः
स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित ‘कम प्रकार की’ संचयी बारंबारता सारणी को साधारण बारंबारता सारणी में बदलिये।

हलः
साधारण बारंबारता सारणी

प्रश्न 4.
निम्न तालिका से एक संचयी बारंबारता बंटन लिखिये :

हलः

प्रश्न 5.
40 व्यक्तियों के भारो (किग्रा में) का बंटन निम्नलिखित है:

(i) वर्ग 40-45, 45-50 के वर्ग-चिह्न निकालिये।
(ii) संचयी बारंबारता बंटन सारणी बनाइये।
हलः
संचयी बारंबारता बंटन सारणी

प्रश्न 6.
एक कक्षा के 50 विद्यार्थियों की लम्बाइयों के निम्नलिखित बारंबारता बंटन से अज्ञात प्रविष्टियाँ (a,b, c,d,e,f,g) ज्ञात कीजिए।

हलः
a =12 …. (1)
a+ b = 25 …. (2)
समीकरण (2) से,
b = 25 – 12 = 13
c = 25 + 10 = 35
c+d = 43 ⇒ 35 + d = 43 ⇒ d = 8
∵ 43+ e = 48 ⇒ e = 48 – 43 = 5
48+ 2 = f ⇒ f = 50
तथा g = 50

प्रश्न 7.
निम्नलिखित आँकड़ों से एक बारंबारता बंटन सारणी तैयार कीजिए।

तथा निम्न के मान ज्ञात कीजिए:
(i) वर्ग-अन्तरालों की माप क्या है?
(ii) अन्तराल 20-30 का वर्ग-चिह्न क्या है?
(iii) तृतीय वर्ग-अन्तराल की निम्न सीमा क्या है?
हलः

(i) वर्ग अन्तरालों की माप = 10
(ii) अन्तराल 20-30 का वर्ग चिह्न 25 है।
(iii) तृतीय वर्ग-अन्तराल की निम्न सीमा 20 है।

प्रश्न 8.
एक हॉस्पिटल में एक दिन के चिकित्सा उपचार में 360 रोगियों की आयु निम्नलिखित है:

एक संचयी बारंबारता बंटन सारणी बनाइये।
हलः

प्रश्न 9.
निम्नलिखित संचयी बारंबारता सारणी, कक्षा X के विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाती है:
संचयी बारंबारता बंटन सारणी

एक बारंबारता सारणी बनाइये।
हलः
बारंबारता बंटन सारणी

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आँकड़ों से एक संचयी बारंबारता सारणी बनाइये।

हलः
संचयी बारंबारता सारणी

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 20 Statistics Ex 20.1 सांख्यिकी

प्रश्न 1.
शब्द “सांख्यिकी’ द्वारा
(i) एकवचन रूप में,
(ii) बहुवचन रूप में तुम क्या समझते हो?
हलः
सांख्यिकी वह विज्ञान है जिसमें किसी अनुसन्धान क्षेत्र से सम्बन्धित आँकडो का संकलन, वर्गीकरण, सारणीकरण, प्रस्तुतीकरण, विश्लेषण निर्वचन तथा पूर्वानुमान, किसी निश्चित उद्देश्य की पूर्ति हेतू किया जाता है।

प्रश्न 2.
30 विद्यार्थियों ने एक परीक्षा में निम्न अंक प्राप्त किए-
20, 23, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 36, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 45, 48, 44, 50, 50, 52, 53, 54, 56, 56, 58, 61, 62, 65, 65
वर्ग अन्तराल 20-29, 30-39, 40-49, 50-59 तथा 60-69 लेकर इन्हें बारंबारता बंटनीय रूप में दर्शाइये।
हलः

प्रश्न 3.
एक सोसाइटी में 30 घरों के पानी के बिल (र में ) नीचे दिये गये हैं।
वर्ग-माप 10 लेकर एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए:
30, 32, 45, 54, 74, 78, 108, 112, 66, 76, 88, 40, 14, 20, 15, 35, 44, 66 , 75, 84, 95, 96, 102, 110, 88, 74, 112, 14, 34, 44
हलः

प्रश्न 4.
निम्नलिखित आँकड़ों के प्रयोग से एक बारंबारता सारणी बनाइयेः
315, 320, 324, 317, 324, 319, 320, 317, 323, 325, 316, 318, 321, 322, 325, 319, 324, 321, 316, 319, 320, 320, 322, 323.
हल:

प्रश्न 5.
नीचे 16 विद्यार्थियों की लम्बाइयाँ इंचों में दी गई हैं। 5 के वर्ग-अन्तराल के प्रयोग से एक बारंबारता
बंटन सारणी बनाइये :
62, 70, 72, 64, 65, 71, 70, 60, 64, 72, 60, 61, 69, 70, 64, 71
हलः

प्रश्न 6.
एक बंटन के वर्ग-चिह्न 104, 114, 124, 134, 144, 154 तथा 164 हैं। वर्ग-माप तथा वर्ग-सीमा निकालिये।
हलः
वर्ग माप = 10
वर्ग सीमा = 100-110,110-120, 120-130,130-140,140-150, 150-160,160-170, 170-180 है।

प्रश्न 7.
एक सोसाइटी के 40 घरों के बिजली के बिल (र में) नीचे दिये गये हैं :
116, 127, 107, 100, 80, 82, 91, 101, 65, 95,87,81, 105, 129, 92, 75, 89, 78,87, 81, 59,52, 65, 101, 115, 108,95, 65, 98, 62,84, 76, 63, 128, 121, 61, 118, 108, 116, 130.
वर्गीकृत-बारंबारता सारणी बनाइये।
हलः

प्रश्न 8.
नीचे दिये गये आँकड़ों से एक बारंबारता सारणी तैयार कीजिए।
90, 97, 92, 95, 93, 95, 93, 85, 93, 85, 83, 77, 83, 77, 74, 60, 71, 65, 74, 80, 87, 82, 81, 76, 61, 63, 58, 58, 56, 57
हलः

प्रश्न 9.
30 विद्यार्थियों के गणित में अन्तिम अंक निम्न प्रकार दिये गये हैं:
53, 61, 48, 60, 78, 68, 55, 100, 67, 90, 75, 88, 77, 37, 84, 58, 60, 48, 62, 56, 44, 58, 52, 64, 98, 59, 70, 39, 56, 60.
(i) इन अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। जैसे – 30-39 एक समूह, 40-49 दूसरा समूह आदि।
(ii) अधिकतम स्कोर क्या है?
(iii) निम्नतम स्कोर क्या है?
(iv) परास क्या है?
(v) यदि उत्तीर्ण अंक 40 है तो कितने अनुत्तीर्ण हैं?
(vi) 75 या अधिक अंक कितने विद्यार्थियों ने प्राप्त किए?
(vii) 50 से 60 के बीच कौन-सा प्रेक्षण वास्तव में नहीं होगा।
(viii) 50 से कम अंक कितनों ने प्राप्त किए?
हलः
(i) सारणी 30-49, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79, 80-89, 90-99 तथा 100-109 तक बनाओ।
(ii) 100
(iii) 37
(iv) 63
(v) 2
(vi) 8
(vii) 51, 54,57
(viii) 5

प्रश्न 10.
दी गई समावेशी श्रृंखला को अपवर्जी श्रृंखला में बदलिए :

हलः
अपवर्जी सारणी

प्रश्न 11.
वर्ग अन्तराल 13.5 – 15.5 का मध्य-बिन्दु क्या है?
हल:
14.5

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Triangles Ex 7.1 त्रिभुज

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में DE ||BC यदि AD = 2.5 सेमी, DB = 3 सेमी तथा AE = 3.75 सेमी है तो AC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,

AD = 2.5 cm
DB = 3 cm
AE = 3.75
अब ∆ABC में, DE||BC
तब आधारभूत समानुपातिका (UPBoardSolutions.com) प्रमेय से,

अतः AC = AE + EC
= 3.75 +4.5 = 8.25 सेमी

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में DE ||BC यदि AD = 1.7 सेमी, AB = 6.8 सेमी तथा AC = 9 सेमी है तो AE का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,

AD = 1.7 सेमी
AB = 6.8 सेमी
AC = 9 सेमी (UPBoardSolutions.com)
अतः हम जानते हैं कि

प्रश्न 3.
दो समान त्रिभुजों ABC तथा PQR का परिमाप क्रमशः 32 सेमी तथा 24 सेमी हैं। यदि PQ = 12 सेमी है तो AB का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
चूँकि समान त्रिभुजों की संगत भुजाओं का (UPBoardSolutions.com) अनुपात उनके परिमाप के अनुपात के बराबर होता है।

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC में, AD, ∠A का अर्द्धक है। जो भुजा BC पर D पर मिलता है।
(i) यदि AB = 5.6 सेमी, AC = 6 सेमी, DC = 3 सेमी है तो BC ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि AD = 5.6 सेमी, BC = 6 सेमी, BD = 3.2 सेमी है तो AC ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) AB = 5.6 cm
AC = 6 cm
DC = 3cm (UPBoardSolutions.com)
BC = ?

चित्र से, BC = BD + DC
BC = BD + 3 …(1)
हम जानते हैं त्रिभुज के किसी कोण से (UPBoardSolutions.com) भुजा पर डाला गया लम्ब समकोण होता है। अतः ∆ADC से,
AC² = AD² + DC²
6² = AD² +3²
36 = AD² + 9
AD² = 27
AD = [latex] \sqrt{{27}} [/latex] = 3[latex] \sqrt{{3}} [/latex] cm
इसी प्रकार ∆ABD में,
AB² = BD² + AD²
(5.6)² = BD² + 27
BD² = 4.36
BD = 2.08 cm
अतः BC = BD + DC
= 2.08 +3
= 5.08 सेमी

(ii) दिया है,
AD = 5.6 सेमी
BC = 6 सेमी
BD = 3.2 सेमी
AC = ?

∆ABC में,
BC = BD + DC
6 = 3.2 + DC
DC = 6 – 3.2
DC = 2.8 सेमी
∆ADC में,
AC² = AD² + DC²
AC² = (5.6)² + (2.8)²
AC² = 31.36 + 7.84
AC² = 39.2
AC = 6.26 सेमी

प्रश्न 5.
एक समान्तर चतुर्भज ABCD है, भुजा BC पर एक बिन्दु P है तथा DP को बढ़ाने पर AB से बिन्दु L पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए कि
(i) [latex]\frac{D P}{P L}=\frac{D C}{B L}[/latex]
(ii) [latex]\frac{D L}{D P}=\frac{A L}{D C}[/latex]
हल:
(i) ∆ALD में, ज्ञात है

प्रश्न 6.
एक चतुर्भुज ABCD है तथा P,Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD व DA के ट्राईसैक्सन बिन्दु A व C के सम्मुख हैं। तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
हलः
माना चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि (UPBoardSolutions.com) इनकी भुजाओं के मध्य बिन्दु क्रमशः P, Q, R, S हैं।
अब AC को मिलाया

∆ABC में, P तथा Q, AB तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
तब PQ|| AC …(1)
इसी प्रकार ∆ACD में, R तथा S क्रमशः DC तथा DA के मध्य बिन्दु हैं
तब SR || AC …(2)
समी० (1) तथा (2) से,
PQ || AC तथा SR || AC
इसलिये PQ|| SR
इसी प्रकार, ∆ ABD तथा ABDC हैं।
PS||QR
अतः PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
एक ∆ ABC की भुजा BC का अर्द्धक D है। O AD पर कोई बिन्दु है। AC तथा AB में बिन्दु E तथा F मिल जाने पर BO तथा CO बनते हैं। AD को x तक बढ़ाया इसलिए D,OX का मध्य बिन्दु है तो सिद्ध कीजिए कि
(i) AO : AX = AF : AB
(ii) FE||BC
हल:
B और CX को मिलाया।
दिया है, BD = CD और OD = DX
इस प्रकार, BC तथा Ox (UPBoardSolutions.com) एक-दूसरे को काटते हैं।

⇒ OB, XC समान्तर है।
⇒ BX||CO और CX||BO
⇒ BX ||CF और CX||BE
⇒ BX ||OF और CX||OE

इस प्रकार E तथा F, AB तथा AC इस प्रकार है जोकि AB तथा AC को समान अनुपात में बाँटते हैं। अतः थेल्स प्रमेय के व्युत्क्रम से,
FE || BC

प्रश्न 8.
एक ∆ ABC में, बिन्दु D तथा E क्रमशः भुजाओं AB व AC पर हैं। तब प्रत्येक निम्नलिखित के लिए सिद्ध कीजिए कि DE || BC
(i) AD = 5.7 सेमी, BD = 9.5 सेमी, AE = 3.3 सेमी, EC = 5.5 सेमी
(ii) AB = 12 सेमी, AD = 8 सेमी, AE = 12 सेमी तथा AC = 18 सेमी
हलः
(i) दिया है, AD = 5.7 सेमी, (UPBoardSolutions.com) BD = 9.5 सेमी, AE = 3.3 सेमी, EC = 5.5 सेमी
हम जानते हैं कि

[latex]\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}[/latex]
⇒ AD × EC = AE × BD
⇒ [latex]\frac{5.7}{9.5}=\frac{3.3}{5.5}[/latex]
⇒ 5.7 × 5.5 = 9.5 × 3.3
⇒ 31.35 = 31.35
यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक अनुपात में प्रतिच्छेद करती है तब वह तीसरी भुजा के समान्तर होती है आधारभूत समानुपातिका की मूल प्रमेय की व्युत्क्रमानुपाती सिद्धान्त से, DE ||BC यही सिद्ध करना था।

(ii) दिया है, AB = 12 सेमी, AD = 8 सेमी, AE = 12 सेमी तथा AC = 18 सेमी


यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक अनुपात (UPBoardSolutions.com) में प्रतिच्छेद करती है तब वह तीसरी भुजा के समान्तर होती है, आधारभूत समानुपातिका की मूल प्रमेय की व्युत्क्रमानुपाती सिद्धान्त से, DE ||BC यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 9.
एक ∆ABC में, भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E है तथा DE||BC है। यदि AD = 2.4 सेमी, AE = 3.2 सेमी, DE = 2 सेमी, BC = 5 सेमी है तो BD तथा CE ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D व E हैं तथा DE ||BC है।
दिया है, AD = 2.4 सेमी, AE = 3.2 सेमी, (UPBoardSolutions.com) DE = 2 सेमी तथा BC = 5 सेमी BD = ? तथा CE = ?


यदि BD = 3.6 सेमी तथा CE = 4.8 सेमी

प्रश्न 10.
एक ∆ABC की भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E हैं तथा DE ||BC और BD = CE है। तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हलः
यहाँ ∆ABC है जिसमें बिन्दु D तथा E भुजाओं AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं तथा DE ||BC अतः हमें सिद्ध करना है कि AB = AC
∆ ABC में ∠B का अर्द्धक BE है, इसलिये
[latex]\frac{A B}{B C}=\frac{A E}{E C}[/latex] …(1)
∆ ABC में, ∠C का अर्द्धक CD है इसलिये
[latex]\frac{A C}{B C}=\frac{A D}{D B}[/latex] …(2)
अब BD||CE तब आधारभूत (UPBoardSolutions.com) समानुपातिक प्रमेय के विलोम द्वारा,
[latex]\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}[/latex] …(3)
समी० (1), (2) तथा (3) से,
[latex]\frac{A B}{B C}=\frac{A C}{B C}[/latex]
⇒ AB = AC
अत: ∆ ABC समद्विबाहु है।

प्रश्न 11.
बिन्दुओं L, M, N के तीन रेखाखण्ड OA,OB तथा Oc ऐसे लिए गए हैं कि LM ||AB तथा MN||BC लेकिन न तो L, M, N न ही A,B,C समरेख हैं। तो सिद्ध कीजिए कि LN||AC
हलः
बिन्दुओं L,M, N के तीन रेखाखण्ड OA, OB तथा OC ऐसे लिए गए हैं कि LM ||AB तथा MN ||BC
परन्तु, L, M, N तथा A, B, C समरेख नहीं हैं।

⇒ ∆ONL में C तथा A क्रमश: ON तथा OL (UPBoardSolutions.com) को समान अनुपात में बाँटते हैं। अत: तब थेल्स के आधारभत समानुपातिक प्रमेय के विलोम से, LN || AC यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 12.
त्रिभुज ABC का कोई अन्तः बिन्दु ० है। ∠AOB, ∠BOC तथा ∠COA का अर्द्धक भुजाओं AB, BC तथा CA से क्रमशः बिन्दुओं D, E तथा F में मिलता है। तो सिद्ध कीजिए कि
AD × BE × CF = DB × EC × FA
हल:
∆AOD में,
OD, ∠AOB का लम्बर्द्धक है।

प्रश्न 13.
माना ∆ABC का मध्य AD है। ∠ADB तथा ∠ADC के अर्द्धक, AB तथा AC में क्रमशः E तथा F मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि EF ||BC
हलः
दिया है- ∆ABC में माध्यिका AD और DE और (UPBoardSolutions.com) DF, कोण ADB तथा ∠ADC के लम्बर्द्धक हैं।
सिद्ध करना है- EF||BC

उपपत्ति-∆ADB में, DE, ∠ADB का लम्बर्द्धक है।
[latex]\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E B}[/latex] …(1)
∆ADC में,
DF, ∠ADC का लम्बर्द्धक है,
[latex]\frac{A D}{D C}=\frac{A F}{F C}[/latex] …(2) [∵ AD माध्यिका है, ∴ BD = DC]
समी० (1) तथा (2) से,
[latex]\frac{A E}{E B}=\frac{A F}{F C}[/latex]
इस प्रकार ∆ABC में रेखाखण्ड EF, (UPBoardSolutions.com) भुजाओं AB तथा AC को समान अनुपात में बाँटता है।
अतः EF || BC

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