Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 4 Algebraic Identities Ex 4.5 बीजगणितीय सर्वसमिकाऐं
प्रश्न 1.
निम्न के मान ज्ञात कीजिए।
(a) (25)3 – (75)3 + (50)3
(b) (0.2)3 – (0.3)3 + (0.1)3 (NCERT Exemplar)
(c) (1.5)3 – (0.9)3 – (0.6)3
(d) (-12)3 + 73 + 53
हलः
(a) (25)3 – (75)3 + (50)3
= (25)3 – (25 + 50)3 + (50)3
= (25)3 – (25)3 – (50)3 – 3 × 25 × 50(25 + 50) + (50)3
=-3 × 25 × 50 × 75 = -281250
(b) (0.2)3 – (0.3)3 + (0.1)3
= (0.2)3 – (0.2 + 0.1) + (0.1) 3
= (0.2)3 s – (0.2)3 – (0.1)3 – 3 × 0.2 × 0.1 × (0.2 + 0.1) + (0.1)3
=-3 × 0.2 × 0.1 × (0.3) = -0.018
(c) (1.5)3 – (0.9)3 – (0.6)3
= (0.9 + 0.6)3 – (0.9)3 – (0.6)3
= (0.9)3 + (0.6)3 + 3 × 0.9 × 0.6 × (0.9 + 0.6) – (0.9)3 – (0.6)3
= 3 × 0.9 × 0.6 × 1.5 = 2.430
(d) (-12)3 + 73 + 53
⇒ 73 + (-7 – 5)3 + 53
⇒ 73 + (-7)3 + (-5)3 + 3 × (-7)(-5)(-7 – 5) + 53
= 3 × -7 × -5(-12)= 105 × (-12) = -1260
प्रश्न 2.
यदि x + y + z = 9 और x2 + y2 + z2 = 35, तब x3 + y3 + z3 – 3xyz के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) ……..(1)
∵ x + y + z = 9
वर्ग करने पर .
x2 + y2 + z2 + 2(xy + y + zx) = 81
35 + 2(xy + yz + zx) = 81
2(xy + yz + zx) = 81 – 35 = 46
xy + yz + zx = [latex]\frac{46}{2}[/latex] = 23
समी० (1) से
x3 + y3 + z3 – 3xyz = 9(35 – 23) = 9 × 12 = 108
प्रश्न 3.
यदि x + y + z = 8 और xy + yz + z x = 26, तब x3 + y3 + x 3 – 3xyz के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ x + y + z = 8
वर्ग करने पर
(x + y + z) = (8)
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 64
x2 + y2 + z2 + 2(26) = 64
x2 + y2 + z2 = 64 – 52 = 12
∵ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
= (8)(12 – 26)
= (8)(-14) = – 112
प्रश्न 4.
निम्न के मान ज्ञात कीजिए।
(i) (3x – 4y + 5z)(9x2 + 16y2 + 25z2 + 12xy – 15yz + 20yz)
(ii) (3x + 2y + 2z)(9x2 + 4y2 + 4z2 -6xy – 4yz – 6xz)
(iii) (2x – y + 3z)(4x2 + y2 + 9z2 + 2xy + 3yz -6xz) (NCERT Exemplar)
हलः
(i) (3x – 4y + 5z)(9x2 + 16y2 + 25z2 + 12xy – 15xz + 20yz)
= (3x) + (-4y) + (5z)3 – 3[3x × – 4y × 5z]
=27x3 – 64y3 + 125z3 + 180xyz
(ii) (3x + 2y + 2z(9x2 + 4y2 + 4z2 – 6xy -4yz – 6zx)
= (3x)3 + (2y) + (2z)3 – 3[3x × 2y × 2z]
=27x2 + 8y2 + 8z2 – 36xyz
(iii) (2x – y + 3z)(4x2 + y2 – 9z2 + 2xy + 3yz – 6xz)
= (2x)3 + (-y)3 + (3z)3 – 3[2x × -y × 3z]
= 8x3 – y3 + 27z3 + 18xyz
Ex 4.5 Algebraic Identities विविध प्रश्नावली
प्रश्न 1.
सर्वसमिका का प्रयोग करके निम्न के मान ज्ञात कीजिए। [NCERT]
(1) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हलः
(i) 103 × 107 = (100 + 3) × (100 + 7)
= (100)2 + (3 + 7) × 100 + 3 × 7
=10000 + 1000 + 21 = 11021
(ii) 95 × 96 = (100 – 5) × (100 – 4)
= (100)2 (5 + 4) × 100 + 5 × 4
= 10000 – 900 + 20 = 9120
(iii) 104 × 96 = (100 + 4) × (100 – 4)
= (100)2 – (4)2
= 10000 – 16 = 9984
प्रश्न 2.
हल:
प्रश्न 3.
यदि [latex]x+\frac{1}{x}[/latex] = 11, सिद्ध कीजिए कि [latex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}[/latex] = 119
हल:
प्रश्न 4.
यदि [latex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}[/latex] = 66, सिद्ध कीजिए कि [latex]x-\frac{1}{x}[/latex] = ±8
हलः
प्रश्न 5.
यदि x = 4, y =3, z = 2 तब सिद्ध कीजिए कि 4x2 + y2 + 25z2 + 4xy – 10yz – 20xz =1
हल:
L.H.S. = 4x2 + y2 + 25z2 + 4xy -10yz – 20xz
= (-2x)2 + (-y)2 + (58)2 + 2(-2x)(-y) + 2(-y) (5z) + 2(5z)(-2x)
= (-2x – y + 5z)2
= (-2 × 4 – 3 + 5 × 2)2 = (-1)2 = 1 = R.H.S.
प्रश्न 6.
यदि x + y = 12 व xy = 27, तब सिद्ध कीजिए कि x3 + y3 = 756
हलः
∵ x + y = 12
घन करने पर x3 + y3 + 3xy (x + y) = 1728
x3 + y3 + 3 × 27 (12) = 1728
x3 + y3 + 972 = 1728
x3 + y3 = 1728 – 972 = 756
प्रश्न 7.
यदि [latex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}[/latex] = 83, तब सिद्ध कीजिए कि [latex]x^{3}-\frac{1}{x^{3}}[/latex] = 756
हलः
प्रश्न 8.
यदि x + y + z =8 व xy + yz + zx=20, तब सिद्ध कीजिए कि x3 + y3 + z3 – 3xyz = 32
हल:
∵ x + y + x = 8 ……….(1)
वर्ग करने पर
x2 + y2 + z2 + 2(xy + ys + ax) = 64
x2 + y2 + z2 = 64-2(xy + yz + zx)
∵ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + 2)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
= (8)[64 – 2(xy + yz + zx)-(xy + yz + zx)]
= 8[64 – 3(xy + yz + zx)]
= 8[64 – 3 × 20] = 8 × 4 = 32
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
हलः
L.H.S. = 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy -2yz – 2zx
= x2 + x2 + y2 + y2 + z2 + z2 – 2xy -2yz – 2zx
= (x2 + y2 – 2xy) + (y2 + x2 – 2yz) + (x2 + x2 – 2zx)
= (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = R.H.S.
प्रश्न 10.
[latex]\left(\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right)^{2}[/latex] का विस्तार कीजिए। [NCERT]
हलः
प्रश्न 11.
विस्तार कीजिए – (-2x + 5y – 3z)2 [NCERT]
हलः
(-2x + 5y – 3z)2 = (-2x)2 + (5y)2 + (-3z)2 + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-2x)(-3z)
= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12xz
प्रश्न 12.
[latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हलः
Ex 4.5 Algebraic Identities बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)
सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
(a) 320
(b) 322
(c) 321
(d) 222
हलः
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 2.
यदि x – y = 5 व xy = 12, तब x2 + y2 =
(a) 49
(b) 25
(c) 144
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
x – y = 5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x – y)2 = 52
⇒ x2 + y2 – 2xy = 25
⇒ x2 + y2 – 2(12) = 25
⇒ x2 + y2 = 49
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 3.
(a) 100
(b) 127
(c) 10
(d) 12
हलः
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 4.
(a) 194
(b) 144
(c) 124
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 5.
(a) 15
(b) 105
(c) 25 .
(d) 5
हलः
अतः विकल्प (d) सही है।
प्रश्न 6.
(a) 17
(b) 4
(c) 17/4
(d) 19/4
हलः
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 7.
यदि x + y + z =9, xy + yz + xz = 23, तब x3 + y3 + z3 – 3xyz =
(a) 100
(b) 81
(c) 108
(d) 123
हलः
x + y + z = 9
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x + y + z)2 = 81
⇒ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 81
⇒ x2 + y2 + z2 = 81 – 2 × 23 = 35
∵ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 –xy –yz – zx)
= 9 × (35 – 23)
= 9 × 12 = 108
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 8.
यदि [latex]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}[/latex] = 1, तब x3 + y3 =
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 0
हलः
अतः विकल्प (d) सही है।
प्रश्न 9.
यदि x – y = -8 व xy = -12, तब x3 – y3 =
(a) 224
(b) -224
(c) 234
(d) -234
हलः
x – y = -8
दोनों पक्षों का घन करने पर,
(x – y)3 = (-8)3
⇒ x3 – y3 – 3xy (x – y) = -512
⇒ x3 – y3 = -512 + 3xy (x – y)
⇒ x3 – y3 = -512 + 3(-12)(-8) = -512 + 288
⇒ x3 – y3 = -224
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 10.
यदि x + y + z = 9 व xy + yz + zx = 23, तब x2 + y2 + z2 =
(a) 25
(b) 35
(c) 45
(d) 305
हलः
x + y + z =9
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x + y + z)2 = 92
⇒ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 81
⇒ x2 + y2 + z2 = 81 – 2(xy + yz + zx)
= 81 – 2 × 23 (∵ xy + yz + zx = 23)
= 81 – 46 = 35
अतः विकल्प (b) सही है।
Ex 4.5 Algebraic Identities स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)
प्रश्न 1.
(2x – y + z)2 का विस्तार कीजिए।
हलः
(2x – y + z)2 = (2x)2 + (-y)2 + (z)2 – 2. 2x . y + 2(-y) (z) + 2(2x)(z)
=4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz + 4xz
प्रश्न 2.
(3a + 4b + 5c)2 का विस्तार कीजिए।
हलः
(3a + 4b + 5c)2 = 9a2 + 16b2 + 25c2 + 24ab + 40 bc + 30ac
प्रश्न 3.
(4a – 2b – 3c)2 का विस्तार कीजिए।
हलः
(4a – 2b – 3c)2 = (4a)2 + (-2b)2 + (-3c)2 – 16ab + 12bc – 24ac
= 16a2 + 4b2 + 9c2 – 16ab + 12bc – 24ac
प्रश्न 4.
सर्वसमिका का प्रयोग करके (28)3 + (-15)3 + (-13)3 का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(28)3 + (-15)3 + (-13)3 = (15 + 13)3 + (-15)3 + (-13)3
= (15)3 + (13)3 + 3 × 15 × 13(15 + 13) – (15)3 – (13)3
= 3 × 15 × 13(15 + 13) = 16380
प्रश्न 5.
(104)3 का मान सर्वसमिका का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए। .
हलः
(104)3 = (100 + 4)3
(100)3 + (4)3 + 3 × 100 × 4(100 + 4)
= 1000000 + 64 + 124800 = 1124864
प्रश्न 6.
यदि 3x – 7y = 10 व xy = -1, तब सिद्ध कीजिए कि 9x2 + 49y2 = 58
हलः
3x – 7y = 10
दोनों ओर का वर्ग करने पर
9x2 + 49y2 – 42xy = 100
9x2 + 49y2 – 42 × (-1) = 100
9x2 + 49y2 = 100 – 42 = 58
प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि x2 + y2 + z2 – xy – y – zx; x, y व z के सभी मानों के लिए सदैव धनात्मक होगा।
हल:
x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = [latex]\frac{1}{2}[/latex] [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
∵ (x – y)2,(y – z)2, (z – x)2
पूर्ण वर्ग है जो हमेशा धनात्मक होते हैं।
अतः इसका योग सदैव धनात्मक होगा।
प्रश्न 8.
यदि x2 + y2 + z2 = 20 व x + y + z = 0, तब सिद्ध कीजिए xy + yz + zx = -10
हल:
x + y + z = 0
वर्ग करने पर, (x + y + z)2 = 0
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0
20 + 2(xy + yz + zx) = 0
2(xy + yz + zx) = 0 – 20 = -20
xy + yz + zx = [latex]\frac{-20}{2}[/latex] = -10
प्रश्न 9.
यदि x + y + z = 6 व xy + yz + zx = 11, तब सिद्ध कीजिए x3 + y3 + z3 -3xyz = 18
हलः
∵ x + y + z = 6 ……………. (1)
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) ……..(2)
समी० (1) का वर्ग करने पर
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 36
x2 + y2 + z2 + 2(11) = 36
x2 + y2 + z2 = 36 – 22 = 14
समी० (2) में x2 + y2 + z2 का मान रखने पर
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (6) (14 – 11) = (6) (3) = 18
प्रश्न 10.
x3 + y3 + z3 का मान ज्ञात कीजिए, यदि x + y + z = 11, x2 + y2 + z2 = 45 व xyz = 40
हलः
x + y + z = 11 …………….(1)
समी० (1) का वर्ग करने पर
∵ (x + y + z)2 = 121
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 121
2(xy + yz + zx) = 121 – 45 = 76
∴ xy + yz + zx = [latex]\frac{76}{2}[/latex] = 38
x3 + y3+ z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
x3 + y3 + z3 – 3 × 40 = (11)(45 – 38) = (11)(7) = 77
x3 + y3 + z3 = 77 + 120 = 197
प्रश्न 11.
x3 + y3 + z3 का मान ज्ञात कीजिए, यदि x + y + z = 15, ‘xy + yz + zx = 71 व xys = 10
हलः
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
x3 + y3 + z3 – 3 × 10 = (15) [x2 + y2 z2 – 71] ………… (1)
x + y + z = 15 …………………. (2)
समी० (2) का वर्ग करने पर
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 225
x2 + y2 + z2 + 2(71) = 225
x2 + y2 + z2 = 225 – 142
x2 + y2 + z2 = 83 का मान समी० (1) में रखने पर
समी० (1) से, x3 + y3 + z3 – 30 = 15[83 – 71]
x3 + y3 + z3 – 30 = 15 × 12 = 180
x3 + y3 + z3 = 180 + 30 = 210
प्रश्न 12.
x3 – 8y3 – 36xy – 216 का मान ज्ञात कीजिए, यदि x = 2y + 6
हल:
x = 2y + 6 का मान रखने पर,
(2y + 6)3 – 8y3 – 36(2y + 6)y – 216
= 8y3 + 216 + 36y (2y + 6) – 8y3 – 72y2 – 216y – 216
= 72y2 + 216y – 72y2 – 216y = 0
प्रश्न 13.
x3 + y3 + z3 – 3xyz का मान ज्ञात कीजिए, यदि x + y + z = 14 व x2 + y2 + z2 = 60
हलः
x + y + z = 14 ………………(1)
वर्ग करने पर,
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 196
60 + 2(xy + yz + zx) = 196
2(xy + yz + zx) = 196 – 60 = 136
xy + yz + zx = [latex]\frac{136}{2}[/latex] = 68
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx]
= (14)[60 – 68] = 14 × (-8) = -112
प्रश्न 14.
यदि 4x2 + y2 = 40 व xy =6, तब सिद्ध कीजिए कि 2x + y = ± 8
हलः
4x2 + y2 = 40
⇒ (2x)2 + (y)2 + 2(2x)(y) = 40 + 2(2x)(y)
⇒ (2x + y)2 = 40 + 4(6) = 40 + 24
⇒ (2x + y)2 = 64 ⇒ (2x + y) = ± 8
प्रश्न 15.
हलः
प्रश्न 16.
यदि 2x + 3y = 8 व xy = 2, तब सिद्ध कीजिए कि 4x2 + 9y2 = 40
हलः
2x + 3y = 8
वर्ग करने पर, 4x2 + 9y2 + 2(2x)(3y) = 64
⇒ 4x2 + 9y2 = 64 – 12(xy) = 64 – 12 × 2 = 40
प्रश्न 17.
हलः
प्रश्न 18.
हलः
प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि (x + y + z)2 – (x – y – z)2 = 4x ( y + z)
हलः
L.H.S. = (x + y + z)2 – (x – y – z)2
= x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) – (x2 + y2 + z2 – 2xy + 2yz – 2zx)
= 4xy + 4xz = 4x(y + z) = R.H.S.
प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि (4x + 2y)3 – (4x – 2y)3 = 16y3 + 192x2y
हलः
माना a = 4x + 2y, b = 4x – 2y
a3 – b3 = (a – b) (a2 + b2 + ab)
अब a2 = (4x + 2y)2 = 16x2 + 4y2 + 16xy
b2 =(4x – 2y)2 =16x2 + 4y2 – 16xy
ab =16x2 – 4y2
तब बायाँ पक्ष =(4x + 2y)3 – (4x – 2y)3
= (4y)[16x2 + 4y2 + 16xy +16x2 + 4y2 – 16xy + 16x2 – 4y2]
= 4y(48x2 + 4y2) = 16y3 + 192x2y = दायाँ पक्ष
प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि 7x3 + 8y3 -(4x + 3y)(16x2 – 12xy + 9y3) = -57x3 – 19y3
हलः
L.H.S. = 7x3 +8y3 – (4x + 3y)(16x2 – 12xy + 9y2)
= 7x3 + 8y3 – [(4x)3 +(3y)3]
= 7x3 + 8y3 – (64x3 + 27y3)
= 7x3 + 8y3 – 64x3 – 27y3
= – 57x3 – 19y3 = R.HS.
